高中数学祖暅原理的典型例题
2020新教材高中数学第十一章立体几何初步11.1.6祖暅原理与几何体的体积练习新人教B版必修第四册
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课后篇巩固提升基础巩固1.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为( ) A.1∶3∶4 B.1∶3∶2 C.1∶2∶4D.1∶4∶2R ,则V 圆锥=13πR 2·2R=23πR 3,V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3,V 球=43πR 3.所以V 圆锥∶V 圆柱∶V 球=23∶2∶43=1∶3∶2.故选B .2.正方体的内切球的体积为36π,则此正方体的表面积是 ( )A.216 B .72 C .108 D .6483.长方体三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积是( ) A.6√3 B.3√6 C.11D.12a ,b ,c ,则ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc )2=108,∴V=abc=6√3.4.圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为( ) A.3 B.4 C.5D.6,V=13(π+2π+4π)h=7π,∴h=3.5.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为( )A.1B.12 C.√32D.34R ,圆锥底面半径r ,高都为h ,由已知得2Rh=rh ,∴r=2R.故V 柱∶V 锥=πR 2h ∶13πr 2h=34.故选D .6.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为( ) A.1 B.2C.3D.4R 、r (R>r ),则由题意得{4π3R 3+4π3R 3=12π,2πR +2πR =6π,解得{R =2,R =1.故R-r=1.故选A .7.(多选题)如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E ,F ,且EF=√22,则下列结论正确的是( )A.AC ⊥平面BEFB.AE ,BF 始终在同一个平面内C.EF ∥平面ABCDD.三棱锥A-BEF 的体积为定值AC ⊥平面BB 1D 1D ,即AC ⊥平面BEF ,∴A 对;∵EF ∥BD ,BD ⊂面ABCD ,EF ⊄面ABCD ,得EF ∥平面ABCD ,∴C 对;∵S △BEF =12×√22×1=√24,设AC ,BD 交于点O , AO ⊥平面BB 1D 1D ,AO=√22 ∴V A-BEF =13×√24×√22=112,∴D 对;∵B ,E ,F 同在平面BB 1D 1D 上,而A 不在平面BB 1D 1D 上,∴AE ,BF 不在同一个平面内,B 错误.故选ACD .8.已知圆锥SO 的高为4,体积为4π,则底面半径r= .r ,则13πr 2×4=4π,解得r=√3,即底面半径为√3.39.已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等,则球O 的半径为 .O 的半径为r ,则43πr 3=23,解得r=√6R3.√6π10.一个正方体的八个顶点都在体积为43π的球面上,则正方体的表面积为 .解析由43πR 3=43π,得R=1.设正方体的棱长为a ,则√3a=2R ,所以a=3,故正方体的表面积S 表=6a 2=6×(√3)2=8.11.将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中,钢球全部没入水中,水面升高4 cm,则钢球的半径是 .4cm,则钢球的体积为V=π×32×4=36π,即有43πR 3=36π,所以R=3cm .12.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm 3),每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,空心部分也为球心相同的球.请你计算出它的内径(π取3.14,结果精确到1 cm,2.243≈11.240 98).50cm 的钢球的质量为7.9×43π×(502)3≈516792(g),街心花园中钢球的质量为145000g,而145000<516792, 所以钢球是空心的.设球的直径为2x cm,那么球的质量为7.9×[43π×(502)3-43πR 3]=145000.解得x 3≈11240.98,∴x ≈22.4,2x ≈45(cm).即钢球是空心的,其内径约为45cm .能力提升1.如图,在三棱台ABC-A 1B 1C 1中,AB ∶A 1B 1=1∶2,则三棱锥A 1-ABC ,B-A 1B 1C ,C-A 1B 1C 1的体积之比为( ) A.1∶1∶1B .1∶1∶2C .1∶2∶4D .1∶4∶4h ,S △ABC =S ,则R △R 1R 1R 1=4S ,所以R R 1-RRR =13S △ABC ·h=13Sh ,R R -R 1R 1R 1=13R △R 1R 1R 1·h=43Sh.又V 台=13h (S+4S+2S )=73Sh ,所以R R -R 1R 1R =V 台-R R 1-RRR −R R -R 1R 1R 1=73Sh-13Sh-43Sh=23Sh.所以所求体积之比为1∶2∶4.故选C .2.三棱锥P-ABC 的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M ,N 分别在BC 和PO 上,且CM=x ,PN=2x (x ∈[0,3]),下列四个图象大致描绘了三棱锥N-AMC 的体积V 与x 的变化关系,其中正确的是( )V=13S △AMC ·NO=13(12×3R ×sin30°)·(8-2x )=-12(x-2)2+2,x ∈[0,3].故选A .3.两个相同的正四棱锥组成如图①所示的几何体,可放入棱长为1的正方体(如图②)内,使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有( )A.1个B .2个C .3个D .无穷多个,截面如图③所示.图③可见正方形中内接正方形的面积S 不可能唯一,故V=13×S ×12×2不唯一.4.有64个直径都为R4的球,记它们的体积之和为V 甲,表面积之和为S 甲;一个直径为a 的球,记其体积为V 乙,表面积为S 乙,则( ) A.V 甲>V 乙且S 甲>S 乙 B.V 甲<V 乙且S 甲<S 乙 C.V 甲=V 乙且S 甲>S 乙 D.V 甲=V 乙且S 甲=S 乙V 甲=16πa 3,S 甲=4πa 2,V 乙=16πa 3,S 乙=πa 2,∴V 甲=V 乙,且S 甲>S 乙.故选C .5.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,则这两个球的半径之差为 .R 、r (R>r ),则{4πR 2-4πR 2=48π,2πR +2πR =12π,即{R -R 2=12,R +R =6.所以R-r=2.6.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28 cm,则这个几何体的总高度为 cm .1cm 和半径为3cm 的两个圆柱的高分别为h 1cm 和h 2cm,则由题意知π·32·h 2+π·12·(20-h 2)=π·12·h 1+π·32·(28-h 1),整理得8π(h 1+h 2)=232π,所以h 1+h 2=29.7.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化公路上的积雪之用),已建仓库的底面直径为12 m,高4 m .养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积和表面积. (2)哪个方案更经济?方案一中仓库的底面直径变成16m,半径r 1为8m,高h 1为4m,则圆锥的母线长l 1=4√5m,所以仓库的体积V 1=13πR 12h 1=2563π(m 3).表面积S 1=πr 1l 1=32√5π(m 2).方案二中仓库的高h 2变成8m,半径r 2为6m,则圆锥的母线长为l 2=10m .所以仓库的体积V 2=13πR 22h 2=2883π(m 3)=96π(m 3),表面积S 2=πr 2l 2=60π(m 2).(2)因为V 2>V 1,S 2<S 1, 故方案二比方案一更经济.8.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm .(1)这种“浮球”的体积是多少 cm 3(结果精确到0.1)?(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?因为半球的直径是6cm,可得半径R=3cm,所以两个半球的体积之和为V 球=43πR 3=43π·27=36π(cm 3).又圆柱筒的体积为V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3).所以这种“浮球”的体积是V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm3).(2)根据题意,上下两个半球的表面积是S球表=4πR2=4×π×9=36π(cm2),又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2),所以1个“浮球”的表面积为S=36π+12π104=48π104(m2).因此,2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S=2500×48π104=12π(m2).因为每平方米需要涂胶100克,所以共需要胶的质量为100×12π=1200π(克).。
A2000=高一数学 祖暅原理 ppt
h
h
h
h
h
h
小 它 排 开 液 体 的
H h
球 的 等 于 体 积
体 积
观察： 观察：半球的体积与底面积相等的旋转体体积对比
R α 结论： 结论： V圆 圆 < V半半 < V圆 圆
设球的半径为R,截面半径为r,平 面α与截面的距离为 l 那么 r = 因此 S圆 = π
圆环面积 S圆环 = πR 2 − π l 2
R2 − l2
2 2
= π (R − l ) = πR 2 − π l 2
r2
∴
L
S圆 = S圆环
O2
P
r
l
RKBiblioteka O1l lBN
α
1 2
o
V球 = π R 2 ⋅ R − 所以 V球 =
4 3
o
根据祖日恒原理，这两个几何体的体积相等，即
1 3
π R2 ⋅ R =
2 3
π R3
π R3
作业： 作业：
P35复习参考题A P35复习参考题A组：5，6. 复习参考题 P37复习参考题B P37复习参考题B组：2, 4. 复习参考题 名门基训：P7-P8 作业 1
祖暅原理
夹在两个平行平面间的两个几何体， 被平行于两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体的体积相等。
β
α 几何画板
一个三棱柱可以分割成三个三棱锥
C1 A1 B1 C1 A1 B1
C
B C
B
A
A
怎样求球的体积? 怎样求球的体积
实验： 实验：排液法测小球的体积
祖暅原理｜高中数学命题热点（一）
祖暅原理｜高中数学命题热点（一）祖暅原理祖暅（中国南北朝时期数学家、天文学家，祖冲之之子），沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算，得出“幂势既同，则积不容异”的结论。
“幂势既同，则积不容异”。
“幂”是截面积，“势”是立体的高。
是指两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。
也就是界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。
注：牟合方盖当一正立方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。
刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。
规之为圆囷，径二寸，高二寸。
又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。
八棋皆似阳马，圆然也。
按合盖者，方率也。
丸其中，即圆率也。
”高中数学中祖暅原理的命题方式1、与立体几何三视图结合A．158 B．162 C．182 D．32本题首先根据三视图，本质上和祖暅原理关联不大，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为2、祖暅原理的理解①祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的原理，意思是两个等高的几何体，若在同高处的截面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个等高的几何体，P：A，B的体积相等．q:A,B在同高处的截面积恒相等．根据祖暅原理可知，P是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、求体积一般上海高考试题和模拟试题出现较多先根据椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,通过计算可知高相等时截面面积相等,因而由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.② 【2019·黑龙江高考模拟】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅满足祖暅原理的条件.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为（）先构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积。
人教版高中数学必修二《祖暅原理与空间几何体体积》
面 积s和高h的积。
V柱体= sh
推论 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
总结 柱体体积公式及其探索思路？
柱体的体积公式Ｖ柱体＝Ｓｈ
柱体的代表 Ｖ长方体＝Ｓｈ
+
等底面积等高 的任意两个柱 体的体积相等
探究点二 锥体的体积计算公式
问题5：两个底面积相等、高也相等的棱锥
D
C
的底面面积为
1S 2
高是h,所以棱锥
C AA'DD'
B
的体积
VC A'DD
1 1 Sh 32
1 Sh 6
余下的体积
Sh 1 Sh 5 Sh 66
所以体积比为 1: 5
探究点四 球体的体积计算公式
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放 入圆柱
（圆锥）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？
探究点二 锥体的体积计算公式
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 ?
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
问题6：三棱柱分割
成三个三棱锥,他们三个 的体积相等吗？为什么？
A’
A’
A C’
B’
C’ B’
C 积公式
高
S为底面面积， h为柱体高
学以致用
例1：如图，在长方体 ABCD ABCD 中，
截下一个棱锥 C ADD ,求棱锥的体积与剩
余部分的体积之比。
D'
解： 长方体可以看成直四棱柱 ADD'A' BCC'B'
原创1：11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
1
＝
tan60°
∴AD＝
3，
∴R－r＝ 3 ，BD＝A1D·tan 60°＝3 3 ，
∴R＋r＝3 3 ，∴R＝2 3 ，r＝ 3 ，h＝3.
1
∴V圆台＝ π(R2＋Rr＋r2)h
3
1
＝ π×[(2
3
3)2＋2 3 × 3 ＋( 3)2]×3＝21π.
典例精析
新知探索
锥体的体积
直三棱柱可以分成三个三棱锥，如果锥体的底面积为S,高为h，
1
3
则锥体的体积计算公式为V锥体= Sh.
C1
B1
A1
A
B1
C1
B
C
A1
B
C
C1
C
A
B
A
新知探索
台体的体积
棱台与圆台统称为台体.
V台体=V大锥体- V小锥体
新知探索
台体的体积
已知四棱台上、下底面面积分别为S1,S2，而且高为h，求这个棱台的体积.
典例精析
题型六：补体法求几何体的体积
例6 一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线
长分别为2和3，则该几何体的体积为（
A.5π
B.6π
C.20π
D.10π
）
【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，
如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
3
2πr=2π
h2+r2=4
1
3，所以它的体积为 ×π×12×
3
3=
3
π.
3
课堂小结
底面积
公式
祖暅原理专题
用祖暅原理得出 Ω 的体积为
．
图5
图6
解 如图 6，过双曲线上一点 P（ x1，y） 作平行
于 x 轴的直线与渐近线右侧交于
Q（
x2 ，y）
，则
x
2 1
=
9y2 16
+
9，x22
=
9y2 （ 0 ≤ y ≤ 4）
16
，有 π（
x21
－
x22 ）
=
9π，
根据祖暅原理，可知这个旋转体的体积等于底面半
径是 3 高是 4 的圆柱的体积，即体积是 36π． 例 5 由曲线 x2 = 2y，x2 = － 2y，x = 2，x = － 2 围
上海 高 考 题 填 空 题
压轴题） 在 xOy 平面
上，将 两 个 半 圆 弧
（ x － 1） 2 + y2 = 1（ x
≥ 1） 和（ x － 3） 2 +
y2 = 1（ x ≥ 3） 、两条
直线 y = 1 和 y = － 1
图1
围成的封闭图形记为 D，如图 1 中阴影部分．记 D 绕 y
轴旋转一周而成的几何体为 Ω，过（ 0，y） （ | y | ≤ 1）
x2 圆 a2
+
y2 b2
= 1（
a，b ∈ Ｒ，a
＞ 0，b ＞ 0） 中，P（ x0，y0） 是椭圆第一象限内曲线
上一点，则直线 y
=
－
bx， a
图4
直线 y = 0，直线 y = y0（ y0
≤
槡2 2
b）
与椭圆围成的区域，绕 y 旋转半周，（ 半个倒
置的圆锥与半个“椭圆台”） ，求该组合体的体积．
祖暅原理的典型例题
祖暅原理及其典型例题解析1. 祖暅原理的基本原理祖暅原理（Principle of Superposition）是波动理论中的重要原理之一。
该原理指出，当在波动介质中存在多个波同时传播时，各个波的效果将独立地叠加（相加），形成一个新的波动状态。
波动的叠加效应在许多现象中都有重要的应用，如干涉、衍射、共振等。
具体地说，祖暅原理表明，当多个波同时存在于同一介质中时，每个波将独立地传播和扩散，且各个波的振幅相互独立地叠加。
叠加后，各个波的振幅相互加强或减弱，从而形成新的波。
这个新的波的振幅和相位将由各个波的特性（振幅、频率、波长等）及其相对位置决定。
2. 典型例题解析为了更好地理解祖暅原理，我们来看一个典型的例题 - 干涉现象。
实验装置：一个单光源照在两个狭缝S1和S2上，这两个狭缝在闪烁的屏上留下光斑。
我们可以调整狭缝的宽度和距离，以便观察到不同的干涉现象。
问题描述：当光线通过这两个狭缝时，为什么屏幕上会出现明暗相间的干涉条纹？解析：根据光的波动理论，光可以看做是一种波动现象。
当光通过狭缝时，从每个狭缝出射的光波将在空间中相互叠加，形成干涉现象。
这个现象可以通过祖暅原理来解释。
假设狭缝S1和S2上的光源都是单色光。
当这两个光源发射的波长和频率相同且相位相同（如两个狭缝上的光线经过相同的距离后才到达屏幕上的某一点），则两个波将会在该点上相互叠加，振幅相加。
这个点上的光强将增大，形成亮纹。
当两个狭缝上的光源发射的波长和频率相同但相位相差半个波长（如两个狭缝上的光线经过不同的距离后才到达屏幕上的某一点），则两个波将会在该点上相互叠加，振幅相消。
这个点上的光强将减小，形成暗纹。
根据这个原理，我们可以解释到，当两个狭缝上的光源发射的波长和频率相同时，屏幕上将会出现明暗相间的干涉条纹，这是因为这些条纹是由不同点上的光波振幅的叠加和抵消所形成的。
如果我们调整狭缝的间距或者改变光源的波长和频率，那么干涉现象也会发生变化。
新高考 高中数学 必修四 课件+类型题11.1.6祖暅原理与几何体的体积
3．半径为 R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是
()
A．2 2R3
B．4πR3 3
C． 3R3 9
[答案] D
D．8 3R3 9
[解析] 设正方体的棱长为 a，则 3a2＝4R2，∴a＝233R，
∴该正方体的体积 V＝a3＝(233R)3＝893R3.
4．将一铜球放入底面半径为16 cm的圆柱玻璃容器中，水 面升高9 cm，则这个铜球的半径为________ cm.
两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个 几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定， 若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一 个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在 被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两 几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无 数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同， 则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说， 它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。
所以 OA＝OB＝OC．
于是 O 为 AC 的中点，在 Rt△ABC 中， AC＝ AB2＋BC2＝ 62＋82＝10，AO＝5， 则 SO＝ SA2－AO2＝ 132－52＝12， 根据棱锥的体积公式： V 三棱锥＝13Sh＝13S△ABC·SO ＝13×12×6×8×12＝96.
典型例题
类型一、柱体的体积
欧啦 ·数学
临渊羡鱼，不如退而结网！
新高考·人教B版 ·必修4
第十一章
立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
一、祖暅（gèng）原理
公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到 祖暅的开立圆术。祖暅在求球体积时，使用一个原理： “幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势” 是立体的高。
必修2 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积(共30张PPT)
1 Ｖ圆台＝ 3 πh
(r r 1r 2 r 2 )
2 1
2
反思感悟
问题8：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大 上底缩小
S 0 1 1 V Sh S S V ( S S S S )h V Sh 3 3 S为底面面积， S为底面面积， S，S’分别为上、下 h为柱体高 h为锥体高 底面面积，h 为台体 高
知道它们前后的体积相等的条件为:
1 .高度相同 2.同一层上每页纸大小(面积)一样 3.每层与放作业本的桌面平行
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的 影响，尤其是父亲的影响，他从小对数学具有浓 厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与 他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体， 球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为 “卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由 意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的 这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。
例1：如图，在长方体 ABCD ABC D 中， 截下一个棱锥 C ADD ,求棱锥的体积与剩 余部分的体积之比。 D'
解： 长方体可以看成直四棱柱 ADD' A' BCC ' B '
设它的底面 ADD A 面积为S，高为h， 则它的体积为V Sh 因为棱锥 C A' DD'
探究点二 锥体的体积计算公式
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 ? 等底面积等高的 任意两个锥体的 体积相等
+
A’ B’
C’
问题6：三棱柱分割
成三个三棱锥,他们三个 的体积相等吗？为什么？
11.1.6祖暅原理与几何体的体积2024-2025学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第四册
式进行运算、解答.
【变式训练2】 已知圆台的上底面面积为16π cm2,下底面半径为6 cm,母线
长为10 cm,求圆台的侧面积和体积.
解:由题意知,圆台的上底面半径r'=4 cm,下底面半径r=6 cm,母线长l=10
cm,于是S圆台侧=π(r+r')l=100π(cm2).
中底面半径R=2,高H=1,
则圆柱体积V=πR2H=4π.
Rt△BOC绕直线l旋转一周形成圆锥,其中底面半径r=1,高h=1,
1 2 π
则圆锥体积 V'= πr h= ,
3
3
π 11π
因此所得几何体的体积为 V-V'=4π- =
.
3
3
延伸探究
将本例中的直角梯形绕CD所在直线旋转一周,求形成的曲面所围成的几
③台体的体积
如果台体的上、下底面面积分别为 S1,S2,高为 h,那么台体的体积计算公式
1
为 V 台体=3 (2 +
2 1 + 1)ℎ.
4
④如果球的半径为 R,那么球的体积计算公式为 V 球=3 π3.
3.(1)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积为(
)
A.15π B.30π C.12π D.36π
面,所以降水量应是桶中雨水的体积除以圆台上底面的面积.
2 345
正解:同上可求得桶中雨水的体积 V=
π(cm3),因此,这次的降水量为
3
2 345π
3
2 ≈2.17 cm≈22(mm).
π×19
防范措施
1.准确理解相关概念.
2.将题中图形合理拆补为常见几何体.
计算一些复杂几何体的体积的方法，祖暅原理
计算一些复杂几何体的体积的方法，祖暅原理
很多同学平时只注重解题刷题，却不知很多方法原理的来历背景和妙处，往往成了做题的机器，然后会说学数学到底有什么用，真正让你用数学知识去解决问题的时候又慌了，今天一起来学习这个人教A版必修里2立体几何里的祖暅原理。
祖暅是祖冲之的儿子，是一位博学多才的数学家，他继承家学，在数学上的主要成就是推算出球体的体积公式（很多人会用，但是不知道怎么来的），祖暅原理也称祖式原理，一个涉及几何求积的著名命题，公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术，祖暅在求球体积时，使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”。
“幂”是截面积，“势”是立体的高。
意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等。
内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
祖暅之《缀术》有云：
“缘幂势既同，则积不容异。
”
下面我们来看看祖暅原理在高考中的应用
在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家阿基米德发现，但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂，二者有异曲同工之妙。
根据这一原理就可以求出牟合方盖的体积，然后再导出球的体积。
这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积上面。
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里发现。
于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。
其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。
4.24祖暅原理与几何体的体积作业
祖暅原理与几何体的体积一、单选题1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为（ ）A ．B ．64C ．16D ．962．一平面截球O 的圆面，球心到这个平面的距离是2cm ，则球O 的体积是( )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．cm 3D ．108πcm 3 3．如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为（ ）A ．8:27B ．2:3C ．4:9D ．2:9 4．如图，棱柱ABC A B C '''-的体积为1，则四棱锥C AA B B ''-的体积是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．345．已知圆柱的高等于1，侧面积等于4π，则这个圆柱的体积等于（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 6．若三棱柱111ABC A B C -的体积为8，过AB ，AC ，11A B 中点截去一个小的三棱柱，则剩下的几何体的体积为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．7 7．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的体积为（ ）A 3aB 3aC ．373a π D 3a 8．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：A ．224cm π，B ．215cm π，C ．224cm π，D ．以上都不正确． 9．将若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）A． B ．6cm C ． D ． 10．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅满足祖暅原理的条件.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为( )A B C D ．43π二、多选题11．已知ABC ∆的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =.下列说法正确的是（ ） A ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π B ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π D ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π 12．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（ ）A ．圆柱的侧面积为22R πB ．圆锥的侧面积为22R πC ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2。
学案43柱锥台和球的体积
高一（上）数学学案43——柱、锥、台和球的体积【知识目标】1．祖暅原理（1）祖暅原理：____________，则积不容异，这就是说，夹在两个________平面间的两个几何体，被__________这两个平面的________平面所截，如果截得的两个截面的面积总________，那么这两个几何体的体积相等．（2）应用祖暅原理可以说明：等__________、等______的两个柱体或锥体的体积相等．2．柱、锥、台的体积（1）柱体的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝______.底面半径是r，高是h 的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱＝__________.（2）如果一个锥体的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体＝__________.如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥＝__________.（3）如果一个台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，那么它的体积是V台体＝__________________.如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r，高是h，则它的体积是V圆台＝________________. 3．球的表面积和体积设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的______倍，球的体积V＝__________.【典型例题】例1 .三棱锥的顶点为P，已知三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，若PA＝2，PB＝3，PC ＝4.求三棱锥P－ABC的体积．变式训练1.已知正三棱锥P－ABC(如图所示)，侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，AB＝2，求此三棱锥的体积．例2.已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)的上、下底面边长分别是2 cm与4 cm，侧棱长是 6 cm，试求该三棱台的体积与表面积．路漫漫其修远兮第1 页共 4 页吾将上下而求索路漫漫其修远兮 第 2 页 共 4 页 吾将上下而求索变式训练2.一个正四棱台的斜高为12 cm ，侧棱长为13 cm ，侧面积为720 cm2，求它的体积．例3.球的体积是32π3，则此球的表面积是( ) A ．12π B ．16π C.16π3 D.64π3例4.一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为( )A.100π3cm3B.208π3cm3 C.500π3cm3 D.41613π3cm3变式训练3.球的截面把垂直于截面的直径分成1∶3的两段，若截面圆半径为3，则球的体积为( )A ．16π B.16π3 C.32π3D ．43π变式训练4.有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．例5.在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比．变式训练5.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．路漫漫其修远兮 第 3 页 共 4 页 吾将上下而求索求：（1）圆锥的侧面积； （2）圆锥的内切球的体积．例6.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．【A 组训练题】1.圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )A.233π B ．23π C.736π D.733π 2.圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( )A.288π cm3B.192πcm3 C.288π cm3或192πcm3 D ．192π cm3 3.直径为6的球的表面积和体积分别是( )A ．144π，144πB ．144π，36πC ．36π，144πD ．36π，36π4.如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )A ．8∶27B ．2∶3C ．4∶9D ．2∶95.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A ．1倍B ．2倍 C.95倍 D.74倍6.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________．7.若一个球的体积为43π，则它的表面积为______．【B 组训练题】路漫漫其修远兮 第 4 页 共 4 页 吾将上下而求索1.四面体ABCD 中，公共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，6，3，若它的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．33πD ．16π2.一个水平放置的圆柱形储油桶，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是( )A.14B.14－12πC.18D.12π－183.有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为________．4.一个底面直径是32 cm 的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm ，则这个球的表面积是________．5.如图所示，在长方体 ABCD —A1B1C1D1中，AB ＝6，AD ＝4，AA1＝3.分别过BC ，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝V AEA1—DFD1，V2＝VEBE1A —FCF1D1，V3＝VB1E1B —C1F1C ，若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为________．6.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm 的半球形的冰淇凌，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇凌的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇凌融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料。
祖暅原理
祖暅原理1.（2019届浙江高考4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 322.（2019届金山二模14）在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A 、B 的体积不相等”是“A 、B 在等高处的截面面积不恒相等”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3.（2013届上海高考理科13）在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)y (||1)y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值__________4.（2016届杨浦高三二模理科14）课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法，祖暅原理也可用来求旋转体的体积，现介绍用祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式，请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为221425x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于 .5.（2009届普陀二模13）由曲线22x y =，22x y =-，2x =，2x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ；满足224x y +≤，22(1)1x y +-≥，22(1)1x y ++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式 .。
祖暅原理(高中数学)原卷版
专题22 祖暅原理高中数学考题题组训练一、单选题1．我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差．图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以1为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2)，从而求得该帐篷的体积为（）A．23B．43C．3πD．23π2．祖暅，又名祖暅之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子.他在《级术》中提出“幂势既同，则积不容异”的结论，其中“幂”是面积.“势”是高，意思就是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等（如图①）.这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积，若某艺术品如图①所示，高为40cm，底面为边长20cm 的正三角形挖去以底边为直径的圆（如图①），则该艺术品的体积为（ ）A ．3100010003cm 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3200020003cm 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3200032000cm 9π⎫-⎪⎪⎝⎭D ．3100031000cm 9π⎫⎪⎪⎝⎭3．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．这个原理能够帮助人们计算3D 打印时的材料耗费问题.3D 打印属于快速成形技术的一种，是将粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层喷涂，逐渐堆叠累积的方式来构造物体的技术，可以用来制造结构复杂的物件．根据祖暅原理，对于3D 打印制造的零件，如果能找到另一个与其高相等，并在所有等高处的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算该几何体的体积得到打印的零件的体积．现在要用3D 打印技术制造一个零件，其在高为h 的水平截面的面积为()()24,02S h h h π=-≤≤，则该零件的体积为（ ）A ．43πB ．83πC ．163πD ．323π 4．图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”，他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年，人们还用过一些类似的公式，根据 3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（ ）A ．3169d V ≈B ．32d VC ．3300157d V ≈D ．3158d V ≈5．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖）．设两个圆柱底面半径为R ，牟合方盖与其内切球的体积比为4:π．则此帐篷距底面2R 处平行于底面的截面面积为（ ）A ．234R πB ．23R πC ．243R πD ．23R6．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘微的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，即：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，上述原理称为“祖暅原理”.一个上底面边长为1，下底面边长为2，侧棱长为13“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A 7392B ．163C ．183D ．217．祖暅（公元56-世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容易.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β距离为d 的平面截两个几何体得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆总成立.据此，短轴AB 长为3cm ，长半轴CD 为2cm 的椭半球体的体积是（ ）A ．33cm πB ．36πcmC ．348cm πD ．396cm π 8．祖暅是南北朝时代伟大的科学家，在数学上有突出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异.”其意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>中()0y m m ≤>的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底面直径为2a ，高为m 的圆柱体后，所得几何体与底面半径为am b，高为m 的圆锥均放置于平面β上（几何体底面在β内）．与平面β平行且到平面β距离为()0h h m ≤≤的平面与两几何体的截面面积分别为S S 圆圆环，，可以证明S S =圆圆环总成立．依据上述原理，()22144y x y -=≤的双曲线旋转体的体积为（ ）A ．44π3B ．56π3C ．28π3D ．32π39．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3的三分之一圆，由此推算三棱锥的体积为（ ）A 22B 42C ．2πD ．163π 10．我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线2(0)y x y L =≤≤绕y 轴旋转一周得几何体Z ，将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何体Z ，得截面圆的面积为2()l l ππ=.由此构造右边的几何体1Z ：其中AC ⊥平面α，AC L =，1AA α⊂，1AA π=，它与Z 在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ 为矩形，且PQ π=，FP l =，则几何体Z 的体积为A ．2L πB ．3L πC ．212L πD ．312L π 11．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于A ．243a b πB ．243ab π C ．22a b π D ．22ab π 12．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设,A B 为两个同高的几何体，:,p A B 在等高处的截面积不恒相等，:,q A B 的体积不相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.根据祖暅原理，对于3D 打印制造的零件，如果能找到另一个与其高相等，并在所有等高处的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算几何体的体积得到打印的零件的体积.现在要用3D 打印技术制造一个高为2的零件，该零件的水平截面面积为S ，随高度h 的变化而变化，变化的关系式为()()2(0)42S h h h π=-≤≤，则该零件的体积为（ ） A ．43π B ．83π C ．163π D ．323π 14．用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等．现将椭圆221(0)925x y y +=≥绕y 轴旋转一周后得一半橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A ．15πB ．30πC ．45πD ．60π 15．刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆困，径二寸，高二寸．又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方益”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC 的边长为r ，设OP h =，过P 点作平面PQRS 平行于平面OABC ．OS OO r ==，由勾股定理有22PS PQ r h ==-PQRS 面积是22r h -．如果将图一的几何体放在棱长为r 的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于2h ．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h ，不难发现对于任何高度h ，此截面面积必为2h ，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（ ）注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等A ．383rB ．383r πC ．3163rD ．3163r π 16．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线2:C y x =，直线l 为曲线C 在点(1,1)处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得的几何体为T .给出以下四个几何体：图①是底面直径和高均为1的圆锥；图①是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图①是底面边长和高均为1的正四棱锥；图①是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体.根据祖暅原理，以上四个几何体中与T 的体积相等的是A ．①B ．①C ．①D ．①17．祖原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.满足2216x y +≤的点(,)x y 组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为1V ，由曲线2216x y -=，y x =±，4y =±围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为2V ，则1V ､2V 满足以下哪个关系式（ ）A ．1212V V =B ．1223V V =C ．122V V =D ．12V V =18．南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积总是相等，则这两个立体的体积相等.如图，两个半径均为1的圆柱体垂直相交，则其重叠部分体积为（ ）A ．43B ．163C ．43πD ．3π二、多选题 19．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k ，则两个几何体的体积比也为k .如下图所示，已知线段AB 长为4，直线l 过点A 且与AB 垂直，以B 为圆心，以1为半径的圆绕l 旋转一周，得到环体M ；以A ，B 分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N ；过AB 且与l 垂直的平面为β，平面//αβ，且距离为h ，若平面α截圆柱体N 所得截面面积为1S ，平面α截环体M 所得截面面积为2S ，则下列结论正确的是（ ）A ．圆柱体N 的体积为4πB ．212S S π=C ．环体M 的体积为8πD ．环体M 的体积为28π20．祖暅（公元5—6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β距离为d 的平面截两个几何体得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆总成立，若椭半球的短轴6AB =，长半轴5CD =，则下列结论正确的是（ ）A．椭半球体的体积为30πB．椭半球体的体积为15πC．如果4CF FD=，以F为球心的球在该椭半球内，那么当球F体积最大时，该椭半球体挖去球F后，体积为86 3πD．如果4CF FD=，以F为球心的球在该半球内，那么当球F体积最大时，该椭半球体挖去球F后，体积为29π三、填空题21．祖暅，祖冲之之子，南北朝时代伟大的科学家，于5世纪末提出下面的体积计算原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么两个几何体的体积相等，现有如图的半椭球体与被挖去圆锥的圆柱等高，且平行于底面的平面在任意高度截两几何体所得截面面积相等，已知圆柱高为h，底面半径为r，则半椭球的体积是________.22．我国南北朝时代的祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，即祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等(如图1)．在xOy平面上，将双曲线的一支2214xy-=及其渐近线12y x=和直线y=0，y= 2围成的封闭图形记为D，如图2中阴影部分．记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω，利用祖暅原理试求Ω的体积为________．23．我国南北朝时期的数学家祖暅(杰出数学家祖冲之的儿子)，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线2:C y x =，直线l 为曲线C 在点()1,1处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C ､直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω.过()0,y (01y ≤≤)作Ω的水平截面，所得截面面积()214S y π=-(用y 表示)，试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出Ω体积为___________.24．祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.这就是著名的祖暅原理，祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的的体积推导半球体的体积，其示意图如图一所示.利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线C 的方程为()2111y x x =--≤≤，将C 围绕y 轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理它可用一个直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为___________.四、双空题25．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k ，则两个几何体的体积比也为k .已知线段AB 长为4，直线l 过点A 且与AB 垂直，以B 为圆心，以1为半径的圆绕l 旋转一周，得到环体M ；以A ，B 分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N ；过AB 且与l 垂直的平面为β，平面//αβ，且距离为h ，若平面α截圆柱体N 所得截面面积为1S ，平面α截环体M 所得截面面积为2S ，则12S S =________，环体M 体积为_________.26．祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C 的焦点在y 轴上，离心率233,23，则双曲线方程为___________；若直线0x =，1x =在第一象限内与C 及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕x 轴旋转一周所得几何体的体积为___________27．祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果裁得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．现已知直线2y =±与双曲线221x y -=及其渐近线围成的平面图形G 如图所示，若将图形G 被直线(22y t t =-≤≤）所截得的两条线段绕y 轴旋转一周，则形成的旋转面的面积S =_________；若将图形G 绕y 轴旋转一周，则形成的旋转体的体积V =___________．28．美丽的广州塔，以其窈窕的身姿被广州人民亲昵地称为“小蛮腰”，它的整体轮廓可以看成是双曲线的一部分绕虚轴旋转得到的．以下是研究广州塔的一个数学题型：将曲线()221060,04225x y y x -=≤≤>与x 轴、60y =围成的部分绕y 轴旋转一周，得到一旋转体，直线y h =绕y 轴旋转一周形成的平面截此旋转体所得截面圆的面积为______．根据祖暅原理．．．．，构造适当的一个或多个．．．．．几何体，求出此旋转体的体积为______．（提示：祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等）29．《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成果.《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等，该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为46，下底直径为6cm，上下底面间的距离为3cm，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是________cm；卧足杯的容积是________3cm（杯的厚度忽略不计）.30．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图①是一个椭圆球形瓷凳，其轴截面为图①中的实线图形，两段曲线是椭圆22219x ya+=的一部分，若瓷凳底面圆的直径为4，高为6，则2a=__________；利用祖暅原理可求得该椭圆球形瓷凳的体积为__________。
每日一题[263]祖暅原理
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每日一题[263]祖暅原理
2013年全国高中数学联赛四川省预赛第10题：
关于曲线的下列命题：
① 曲线关于原点对称；
② 曲线关于直线对称；
③ 曲线所围成的面积小于；
④ 曲线所围成的面积大于．
其中的真命题是_______．（写出所有真命题的编号）
正确答案是①④．
解先考虑对称性，再比较面积．
① 由于对曲线上任意一点均有
于是曲线关于原点对称；
② 由于并不是对曲线上任意一点均有
如
，于是曲线并不关于直线对称；
③④ 问题即比较曲线与圆
围成的区域面积．由于两者均分布在
的区域内，且当时，两条曲线对应的横坐标的值均为，因此可以利用祖暅原理将平面区域的面积比较问题转化为纵坐标一致的截线段长度的比较问题．
事实上，任何一条平行于的直线
被两条曲线截得的线段长分别为（曲线）以及（圆），而前者任何时候都大于后者（因为小于的整数的算术平方根比自身大），因此根据祖暅原理的推论可得曲线所围成的面积大于圆所围成的面积，如图．。
祖暅原理的例子应用
祖暅原理的例子应用祖暅原理概述祖暅原理是一种用于解决问题的思维工具，能够帮助人们更好地理解问题的本质，并提供创造性的解决方案。
该原理由俄罗斯心理学家阿尔泰尔·祖暅于1965年提出。
祖暅原理认为，问题的本质和解决方案之间通常存在着隐藏的联系，人们可以通过寻找这种联系来找到创新的解决办法。
祖暅原理的应用实例以下是几个应用祖暅原理的实例，帮助您更好地理解该原理和其在实际问题中的应用。
1. 快餐行业的例子•问题：快餐行业需要提高顾客的满意度和服务质量，同时降低等待时间。
•祖暅原理应用：将银行排队系统与快餐点餐系统相结合，顾客可以提前在线下单并预约取餐时间，到店后只需扫码领取食物，避免长时间排队等待。
•好处：大大提高了顾客满意度和服务质量，减少了等待时间，提升了快餐业务的效率和竞争力。
2. 垃圾分类的例子•问题：城市中垃圾分类存在难度大、效果不佳等问题，如何提高垃圾分类的准确性和普及率？•祖暅原理应用：利用可视化智能垃圾桶，在垃圾桶上设置相应颜色和标识，如图案和文字，以指导居民正确将垃圾分类投放。
•好处：提高了居民的垃圾分类准确率，降低了污染物对环境的影响，推动了城市垃圾分类工作的发展。
3. 交通拥堵问题的例子•问题：城市交通拥堵严重，如何减少交通拥堵、提高交通效率？•祖暅原理应用：借鉴地铁和高铁的无人机指挥系统，引入智能交通监控和调度系统，通过无人机对交通情况进行实时监测和指挥，调整信号灯的时机和道路的通行方向。
•好处：提高了城市的交通效率，减少了交通拥堵和能源浪费，提升了居民的出行便利性和生活质量。
4. 制造业生产过程的例子•问题：制造业生产过程中存在低效率、高成本等问题，如何提高生产效率和降低生产成本？•祖暅原理应用：借鉴精益生产模式，对生产线布局进行优化，通过流水线、自动化装配、追求零库存等方法，提高生产效率。
•好处：降低了制造过程的时间和成本，提高了产品的质量和市场竞争力，为制造业提供了持续发展的动力。
人教B版高中数学必修第四册课后习题 第十一章 立体几何初步 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课后训练巩固提升1.已知直角三角形的两直角边边长分别为a,b,分别以这两个直角边所在直线为轴,旋转一周所形成的几何体的体积比为( ) A.a ∶b B.b ∶a C .1a ∶bD.b ∶1aa 的直角边所在直线为旋转轴时,所形成的圆锥体积V 1=13×π×b 2×a=ab 2π3;以边长为b 的直角边所在直线为旋转轴时,所形成的圆锥体积V 2=13×π×a 2×b=a 2bπ3,所以V 1V 2=ba.2.侧棱长为2的正三棱锥,若底面周长为9,则该正三棱锥的体积是( ) A .9√32B .9√34C .3√22D .3√34,底面正三角形的边长为3,侧棱在底面上的射影长为√3,正三棱锥的高为h=√22-(√3)2=1,因此V 正三棱锥=13S 底·h=13×12×32×sin60°×1=3√34.3.若将球O 的半径扩大到原来的2倍,得到球O 1,将球O 的半径缩小到原来的12得到球O 2,则V O 1∶V O 2=( )A.64B.32C.16D.8解析:设球O 的半径为1,则球O 1的半径为2,球O 2的半径为12,可得V O 1=43π×23,V O 2=43π×123,因此V O 1V O 2=23(12) 3=64.4.已知高为3的直棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为1的正三角形,如图所示,则三棱锥B'-ABC 的体积为( )A .14B .12C .√36D .√34V 三棱锥B'-ABC =13·BB'·S △ABC =13×3×12×√32×12=√34.5.已知圆柱的侧面展开图是长12 cm,宽8 cm 的矩形,则这个圆柱的体积为( ) A .288πcm 3 B .192πcm 3C .288πcm 3或192πcm 3 D.192π cm 3解析:当圆柱的高为8cm 时,V=π×122π2×8=288πcm 3;当圆柱的高为12cm时,V=π×82π2×12=192πcm 3.6.已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为 .√3S 上=6√3,S 下=24√3,高h=2,所以V 台体=13h(S 上+S 下+√S 上·S 下)=13×2×(6√3+24√3+12√3)=28√3.7.用半径为20 cm 的半圆形铁片卷成一个无底的倒圆锥形容器(接缝处忽略不计),则该容器的容积为 .3r, 则2πr=12×2π×20,解得r=10. ∵母线长l=20, ∴圆锥的高h=10√3. ∴V=13π×102×10√3=1000√3π3.8.如图,棱锥的底面ABCD 是一个矩形,AC 与BD 交于点M,VM 是棱锥的高,若VM=4 cm,AB=4 cm,VC=5 cm,求棱锥的体积.VM 是棱锥的高, ∴VM ⊥MC.在Rt △VMC 中,MC=√VC 2-VM 2=√52-42=3(cm),∴AC=2MC=6cm. 在Rt △ABC 中,BC=√AC 2-AB 2=√62-42=2√5(cm). ∵S 底=AB·BC=4×2√5=8√5(cm 2),h=VM=4cm, ∴V 锥=13S 底·h=13×8√5×4=32√53(cm 3),即该棱锥的体积为32√53cm 3. 9.一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6 cm,高为20 cm 的圆锥形铅锤,如图所示.当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降多少?解:由已知得圆锥形铅锤的体积为13×π×622×20=60π(cm 3).设水面下降的高度为xcm,则π(202)2x=60π,解得.1.如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( ) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍解析:半径大的球,体积也大.设三个球的半径分别为1,2,3,则最大球的半径为3,其体积为43π×33,其余两个球的体积之和为43π×13+43π×23,故43π×27÷43π+43π×8=3.2.体积为52的圆台,其中一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积是( ) A.54 B.54π C.58 D.58πr,则由题意得下底面半径为3r.设圆台的高为h 1,则13πh 1(r 2+9r 2+3r·r)=52,即πr 2h 1=12.设原圆锥的高为h,由相似知识得r 3r =h -h 1h,从而h=32h 1,因此V 原圆锥=13π(3r)2×h=3πr 2×32h 1=92×12=54.3.已知正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此正三棱锥的体积为( )A .2√23B .√2C .√23D .4√232,侧面均为直角三角形, ∴侧棱长为√2,三条侧棱两两垂直. 故正三棱锥的体积V=13×12×(√2)2×√2=√23. 4.如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面一边A 1B 1作一个平行于棱CC 1的平面A 1B 1EF,这个平面分三棱台成两部分(其中一部分为三棱柱A 1B 1C 1-FEC)的体积之比为( )A.1∶2B.2∶3C.3∶4D.4∶5S,由上、下底面对应边的比为1∶2,可知下底面面积为4S.设棱台的高为h,则棱台的体积V 台=13h(S+√S ·4S +4S)=73Sh.∵棱柱A 1B 1C 1-FEC 的体积为V 柱=S·h,∴V 柱V 台-V 柱=Sh73Sh -Sh =34.5.如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,则圆柱、圆锥、球的体积之比为 .∶1∶2R,则V 柱=πR 2·2R=2πR 3,V 锥=13πR 2·2R=2πR 33,V 球=43πR 3,所以V 柱∶V 锥∶V 球=2πR 3∶2πR 33∶4πR 33=3∶1∶2.6.已知一个长方体的某三个面的面积分别是√2,√3,√6,则这个长方体的体积为 . √6a,b,c, 则{ab =√2,ac =√3,bc =√6,三式相乘可知(abc)2=6,所以长方体的体积V=abc=√6.7.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由..理由:由题图可知,半球形冰激凌的半径为4cm,圆锥形空杯子的高为10cm,底面半径为4cm,所以V半球=12×43π×43=128π3(cm3),V圆锥=1 3π×42×10=160π3(cm3).因为V半球<V圆锥,所以,冰激凌融化了,不会溢出杯子.8.正方形ABCD的边长为1,如图①所示,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,以AE,EF,AF为折痕,折叠这个正方形,使点B,C,D重合于一点P,得到一个三棱锥如图②所示,求此三棱锥的体积.图①图②B=∠C=∠D=90°,∴翻折后∠APE=∠EPF=∠APF=90°.∴Rt △PEF 可以看作是三棱锥的底面,而AP 可以看作是三棱锥的高. 比较发现,AP=1,PE ⊥PF,PE=PF=12,∴V A-PEF =13S △PEF ·AP=13×12×12×12×1=124.。
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高中数学祖暅原理的典型例题
高中数学中，祖暅原理（也称为鸽巢原理或抽屉原理）是一种重要的组合数学思想，用于解决箱子和物品之间的配对问题。
它指出，如果有n个物品要放入m个箱子，而n>m，那么至少有一个箱子中会放置多个物品。
下面是一个典型的例题，用于帮助理解祖暅原理的应用：
例题：假设有8个苹果和4个盘子，要将这些苹果放入盘子中。
按照祖暅原理，至少有一个盘子中会放置多个苹果。
解析：根据祖暅原理，我们可以得出结论，即使每个盘子只放一个苹果，我们也至少需要5个盘子来放置8个苹果。
而这里只有4个盘子，因此至少有一个盘子中会放置多个苹果。
这个例题很好地展示了祖暅原理的应用。
当物品的数量大于箱子的数量时，必然会出现至少一个箱子中装有多个物品的情况。
祖暅原理在实际生活中有很多应用，例如：
1. 生日问题：在一个房间里，至少有多少人才能确保至少两人生日相同？根据祖暅原理，这个数量为23人。
因为一年有365天，所以
至少要有365+1=366人才能确保至少有两人生日相同。
2. 选课问题：如果有50门选修课程，而每个学生只能选择5门课程，那么至少要有多少名学生才能确保每门课程都有学生选择？根据祖暅原理，至少需要11名学生。
因为每个学生可以选择5门课程，所以总共可以选择的组合数为50选5，约为2118760。
而如果学生人数少于11人，就无法满足每门课程都有学生选择的条件。
综上所述，祖暅原理是高中数学中的重要思想，可以帮助我们解决一些组合问题。
在解题过程中，我们需要注意正确理解问题并合理运用祖暅原理，以得出准确的结论。