二次函数练习顶点式练习题
顶点式专题训练(含答案解析)
顶点式专题训练（含答案解析）一、填空题（本大题共3小题，共9.0分）x2−x+3用配方法化成y=a(x−ℎ)2+k的形式是______ ；该二次函数图象的顶点坐标是1.把二次函数y=−14______ ．2.将二次函数y=x2−2x化为顶点式的形式为：______ ．3.把二次函数y=x2−2x−1配方成顶点式为______ ．二、解答题（本大题共12小题，共96.0分）4.已知二次函数y=−2x2+8x−6，完成下列各题：(1)将函数关系式用配方法化为y=a(x+ℎ)2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴；(2)它的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，求S△ABC．5.已知二次函数y=−2x2+8x−4，完成下列各题：(1)将函数关系式用配方法化为y=a(x+ℎ)2+k形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．(2)若它的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，求△ABC的面积．6.已知二次函数y=x2−6x+8．(1)将解析式化成顶点式；(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．7.已知二次函数y=x2+2x−3．(1)将y=x2+2x−3用配方法化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)求该二次函数的图象的顶点坐标．8.用配方法将二次函数化成y=a(x−ℎ)2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴①y=2x2+6x−12②y=−0.5x2−3x+3．9.已知二次函数y=x2−6x+5．(1)将y=x2−6x+5化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；(3)当y>0时，求x的范围．10.已知二次函数y=2x2−8x+6．(1)把它化成y=a(x−ℎ)2+k的形式为：______ ．(2)直接写出抛物线的顶点坐标：______ ；对称轴：______ ．(3)求该抛物线于坐标轴的交点坐标．11.(1)解方程：12x(x−1)−(x−1)=0．(2)已知抛物线y=−2x2+8x−6，请用配方法把它化成y=a(x−ℎ)2+k的形式，并指出此抛物线的顶点坐标和对称轴．12.已知二次函数y=−12x2+x+32．(1)用配方法将此二次函数化为顶点式；(2)求出它的顶点坐标和对称轴方程．13.用配方法把二次函数y=x2−3x−4化成y=a(x−ℎ)2+k的形式，并写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．14.用配方法把函数y=−3x2−6x+10化成y=a(x−ℎ)2+k的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．15.已知二次函数y=x2−4x+3．(1)将函数化成y=(x−ℎ)2+k的形式；(2)写出该函数图象的顶点坐标和对称轴．答案和解析【答案】(x+2)2+4；(−2,4)1. y=−142. y=(x−1)2−13. y=(x−1)2−24. 解：(1)y=−2x2+8x−6=−2(x2−4x+3)=−2(x2−4x+4−4+3．=−2(x−2)2+2，∴顶点坐标为(2,2)，对称轴为直线x=2．(2)令−2(x−2)2+2=0解得：x1=3，x2=1．∴A(3,0)，B(1,0)∴AB=3−1=2．∴C(2,2)，×2×2=2．∴S△ABC=125. 解：(1)y=−2x2+8x−4=−2(x2−4x)−4=−2(x2−4x+4−4)−4=−2(x−2)2+4.所以，抛物线的顶点坐标为(2,4)，对称轴为直线x=2．(2)令y=0得−2(x−2)2+4=0，(x−2)2=2，所以x−2=±√2，所以x1=2+√2，x2=2−√2．所以与x轴的交点坐标为A(2+√2,0)，B(2−√2,0)．×[(2+√2)−(2−√2)]×4=4√2．∴S△ABC=126. 解：(1)y=x2−6x+8=x2−6x+9−1=(x−3)2−1；(2)开口向上，对称轴是x=3，顶点坐标是(3,−1)；(3)x>3时，y随x的增大而增大；x<3时，y随x增大而减小．7. 解：(1)y=x2+2x−3=x2+2x+1−1−3 =(x+1)2−4．(2)∵y=(x+1)2−4，∴该二次函数图象的顶点坐标是(−1,−4)．8. 解：①y=2x2+6x−12=2(x+32)2−332，则该抛物线的顶点坐标是(−32,−332)，对称轴是x=−32；②y=−0.5x2−3x+3=−12(x+3)2+152，则该抛物线的顶点坐标是(−3,152)，对称轴是x=−3．9. 解：(1)y=x2−6x+5=x2−6x+9−4=(x−3)2−4；(2)∵y=(x−3)2−4，∴该二次函数图象的对称轴是直线x=3，顶点坐标是(3,−4)；(3)x2−6x+5=0，x1=1，x2=5，当x<1或x>5时，y>0．10. y=2(x−2)2−2；(2,−2)；x=211. 解：(1)12x(x−1)−(x−1)=0，分解因式得：(x−1)(12x−1)=0，可化为：x−1=0或12x−1=0，解得：x1=1，x2=2；(2)∵y=−2x2+8x−6=−2(x2−4x+4)+8−6=−2(x−2)2+2，∴此抛物线的顶点坐标是(2,2)，对称轴为直线x=2．12. 解：(1)二次函数y=−12x2+x+32=−12(x−1)2+2；(2)∵二次函数y=−12(x−1)2+2，∴二次函数的顶点坐标为(1,2)，抛物线的对称轴为x=1．13. 解：y=x2−3x−4=(x−32)2−254，则函数图象的开口方向向上，对称轴是x=32，顶点坐标(32,−254).14. 解：∵y=−3x2−6x+10=−3(x+1)2+13，∴开口向下，对称轴x=−1，顶点坐标(−1,13)，最大值13．15. 解：(1)y=x2−4x+4−4+3=(x−2)2−1；(2)图象的顶点坐标是(2,−1)，对称轴是：x=2．【解析】1. 解：y=−14x2−x+3=−14(x2+4x)+3=−14(x+2)2+4，∴顶点(−2,4)．(x+2)2+4，(−2,4)．故答案为：y=−14利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，可把一般式转化为顶点式，从而得出顶点坐标．此题考查了二次函数表达式的一般式与顶点式的转换，并要求熟练掌握顶点公式．2. 解：y=x2−2x=x2−2x+1−1=(x−1)2−1，故答案为y=(x−1)2−1．利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．本题考查的是二次函数的三种形式，题目中给出的是一般形式，利用配方法可以化成顶点式．3. 解：y=x2−2x−1=(x2−2x+1)−1−1=(x−1)2−2，故选答案为y=(x−1)2−2．由于二次项系数为1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．本题考查了二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).4. (1)利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴即可；(2)令y=0解关于x的一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可；本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握配方法的操作整理成顶点式形式求出顶点坐标和对称轴更加简便．5. (1)利用配方法即可解决问题；(2)求出A、B、C三点坐标即可解决问题；本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6. (1)利用配方法将解析式化成顶点式；(2)根据二次函数的性质解答；(3)根据抛物线的开口方向、对称轴以及二次函数的性质解答．本题考查的是二次函数的三种形式、配方法的应用以及二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．7. 本题考查了二次函数的性质以及二次函数的三种形式.二次函数的解析式有三种形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；②顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；③交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).(1)利用配方法先加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，再把一般式转化为顶点式即可；(2)根据顶点坐标的求法，得出顶点坐标即可；8. ①②利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，可把一般式转化为顶点式，从而得出顶点坐标和对称轴．此题考查了二次函数表达式的一般式与顶点式的转换，并要求熟练掌握顶点公式和对称轴公式．9. (1)利用配方法把一般式化为顶点式；(2)根据二次函数的性质解答；(3)求出x2−6x+5=0的解，解答即可．本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．10. 解：(1)y=2x2−8x+6=2(x2−4x+4)−8+6=2(x−2)2−2；(3)∵y=2x2−8x+6，∴当y=0时，2x2−8x+6=0，解得x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)；当x=0时，y=6，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,6)．故答案为y=2(x−2)2−2；(2,−2)，x=2．(1)利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；(2)根据二次函数的性质，利用二次函数的顶点式即可求出抛物线的顶点坐标与对称轴；(3)把y=0代入y=2x2−8x+6，解方程求出x的值，从而得到抛物线与x轴的交点坐标；把x=0代入y=2x2−8x+6，求出y的值，从而得到抛物线与y轴的交点坐标．本题考查了二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).同时考查了二次函数的性质以及抛物线与坐标轴交点坐标的求法．11. (1)先将把方程左边化为两个一次因式积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出方程的解即可得到原方程的解；(2)先利用配方法提出二次项系数，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，再根据二次函数的性质即可写出抛物线的对称轴和顶点坐标．本题考查了二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质及解一元二次方程−因式分解法，难度适中．12. (1)利用配方法将二次函数的一般式变形为顶点式，此题得解；(2)根据二次函数的顶点式，结合二次函数的性质即可得出顶点坐标以及对称轴．本题考查了二次函数的三种形式以及二次函数的性质，利用配方法将二次函数的一般式变形为顶点式是解题的关键．13. 运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键，14. (1)这个函数的二次项系数是−3，配方法变形成y=(x+ℎ)2+k的形式，配方的方法是把二次项，一次项先分为一组，提出二次项系数−3，加上一次项系数的一半，就可以变形成顶点式的形式．(2)二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a(x−ℎ)2+k(a≠0，且a，h，k是常数)，它的对称轴是x=ℎ，顶点坐标是(ℎ,k)．本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标的考查，是中考中经常出现的问题．15. (1)把一般式利用配方法化为顶点式即可；(2)利用顶点式求得顶点坐标和对称轴即可．此题考查二次函数的解析式的三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).。
22.1.4练习1二次函数化顶点式
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
3．（2010•安徽）若二次函数 y＝x2+bx+5 配方后为 y＝（x﹣2）2+k，则 b、k 的值分别为
（）
A．0，5
B．0，1
C．﹣4，5
D．﹣4，1
【分析】可将 y＝（x﹣2）2+k 的右边运用完全平方公式展开，再与 y＝x2+bx+5 比较，即
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25 C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25
Байду номын сангаас
3．（2010•安徽）若二次函数 y＝x2+bx+5 配方后为 y＝（x﹣2）2+k，则 b、k 的值分别为
（ ）A．0，5 B．0，1 C．﹣4，5 D．﹣4，1
4．（2010•泰安）将 y＝2x2﹣12x﹣12 变为 y＝a（x﹣m）2+n 的形式，则 m•n＝
A．y＝﹣ （x﹣2）2+2
B．y＝ （x﹣2）2+4
C．y＝﹣ （x+2）2+4
D．y＝
2+3
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方 式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：y＝﹣ x2﹣x+3＝﹣ （x2+4x+4）+1+3＝﹣ （x+2）2+4
故选：C． 10．（2014•成都校级自主招生）将 y＝（2x﹣1）•（x+2）+1 化成 y＝a（x+m）2+n 的形式
（x﹣3）2﹣10 ．
用顶点式求二次函数解析式
一、 用顶点式求二次函数解析式。
例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0） 解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2)(把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y把点（3,0）代入得：03)13(2=+-a 解得：43-=a ∴抛物线解析式为：3)1(432+--=x y练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5）2．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式；3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．4．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7．把抛物线y ＝(x －1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式．8．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝53 ，求这条抛物线的解析式； 10． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。
二、 用三个点求二次函数解析式 例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7） 解：设二次函数的解析式为：c bx ax y ++=2 把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==532c b a ∴抛物线解析式为：5322+-=x x y 练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9） 12.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式。
初中数学--二次函数一般式和顶点式--练习题含答案
数学试卷一、填空题（共50小题；共250分）1.请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y=．2.写出一个开口向下，顶点在第一象限的二次函数的表达式.3.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1)，且经过点B(1,0)，则抛物线的函数关系式为．4.抛物线的顶点在原点，且过点(3,−27)，则这条抛物线的解析式为．5.二次函数y=−x2−2x+1化成y=a(x−ℎ)2+k的形式是．6.已知一抛物线与抛物线y=−1x2+3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是3(−5,0)．根据以上特点，试写出该抛物线的表达式为．7.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(−1,0)，(1,−2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．8.若把函数y=x2+6x+5化为y=(x−m)2+k的形式，其中m，k为常数，则k−m=．9.已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，1；与y轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是．10.请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线对应的函数表达式：．11.若二次函数的图象开口向下，且经过(2,−3)点．符合条件的一个二次函数的解析式为．12.若把二次函数y=x2+6x+2化为y=(x−ℎ)2+k的形式，其中ℎ，k为常数，则ℎ+k=．13.将二次函数y=x2−2x−5化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为y=．14.抛物线的顶点坐标为(1,−2)，且过点(2,3)，则函数的关系式：．15.如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=(x−2)2+1，那么c的值为．16.若抛物线y=ax2经过点(−3,4)，则这函数的解析式是．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．写出一个函数y=x2+c，使它的图象与正方形ABCD有公共点，这个函数的表达式为．18.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：对称轴为直线x=2；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．19.已知二次函数的图象开口向下，且其图象顶点位于第一象限内，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式为（表示为y= a(x+m)2+k的形式）．20.把二次函数y=x2−12x化为形如y=a(x−ℎ)2+k的形式：．21.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(2,11)和点(−1,−7)，则它的解析式为．22.将二次函数y=x2−2x化为顶点式的形式为：．23.形状与y=−1x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是(4,5)2的抛物线的解析式．24.用配方法将二次函数y=4x2−24x+26写y=a(x−ℎ)2+k的形式是．25.将二次函数y=x2−4x+5化成y=(x−ℎ)2+k的形式，则y=．26.用配方法将y=1x2−2x+1写成y=a(x−ℎ)2+k的形式，结果3为．27.若把函数y=x2−2x−3化为y=(x−m)2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=．28.将y=2x2−12x−12变为y=a(x−m)2+n的形式，则m⋅n=．29.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0)，与y轴的交点为B(0,3)，对称轴为直线x=1，则该抛物线对应的函数表达式为．30.将函数y=x2−2x+3写成y=a(x−ℎ)2+k的形式为．31.请写出一个图象的对称轴是直线x=1，且经过(0,1)点的二次函数的表达式：．32.将抛物线y=x2−6x+5化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为．33.将函数y=x2−2x+4化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为．34.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(1,−2)，该图象与x轴的另一交点为C，则AC的长为．35.把二次函数的表达式y=x2−4x+6化为y=a(x−ℎ)2+k的形式，那么ℎ+k=．36.抛物线y=−x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为．37.已知二次函数y=x2+bx+c，当x=2时，y=0；当x=−1时，y=3，则这个二次函数的解析式为．38.把二次函数y=−1x2+3x+3化成y=a(x+m)2+k的形式4为．39.二次函数的图象的顶点坐标是(−2,3)，它与y轴的交点坐标是(0,−3)．40.将y=(2x−1)(x+2)+1化成y=a(x−ℎ)2+k的形式为．41.二次函数y=x2−2x+6化为y=(x−m)2+k的形式，则m+k=．42.将二次函数y=x2−4x+9化成y=a(x−ℎ)2+k的形式．43.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=−1，当x=−2与1时，2 y=0，则这个二次函数的解析式是．44.将二次函数y=x2−4x+5化为y=(x−ℎ)2+k的形式，那么ℎ+k=．45.已知二次函数y=−x2+2x−3，用配方法化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为．46.若将二次函数y=x2−2x+3配方为y=a(x−ℎ)2+k的形式，则y=．47.若把二次函数y=x2−2x+3化为y=(x−m)2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=．48.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,2)和(−1,−6)两点，则a+c=．49.把y=−1x2+6x−17配方成y=a(x+ℎ)2+k的形式是．250.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2)，B(4,3)，C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线对应的函数表达式为．答案第一部分1.−x2+2x（答案不唯一）2.y=−3(x−2)2+3（不唯一）3.y=−x2+4x−3【解析】设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+1，将B(1,0)代入y=a(x−2)2+1得，a=−1，函数解析式为y=−(x−2)2+1，展开得y=−x2+4x−3．4.y=−3x25.y=−(x+1)2+26.y=1(x+5)237.x≥12【解析】解析：依题意，有解得{b=−1,c=−2,∴y=x2−x−2，对称轴为x=12，时，y随x的增大而增大．∴当x≥128.−19.y=2x2−8x+610.y=x2−4x+3（答案不唯一）11.y=−x2−2x+5（答案不唯一）【解析】由题意得，二次函数的图象开口向下，且经过(2,−3)点，y=−x2−2x+5符合要求．但答案不唯一．12.−1013.(x−1)2−614.y=5(x−1)2−215.516.y=49x217.答案不惟一，如y=x2．（说明：写成y=x2+c的形式时，c的取值范围是−2≤c≤1）18.y=(x−1)(x−3)，y=−(x−1)(x−3)，y=15(x+1)(x−5)，y=−15(x+1)(x−5)写出其中一个即可19.y=−(x−1)2+1（答案不唯一）20.y=(x−6)2−3621.y=x2+5x−322.y=(x−1)2−123.y=12(x−4)2+524.y=4(x−3)2−1025.(x−2)2+126.y=13(x−3)2−227.−328.−90【解析】y=2x2−12x−12=2(x2−6x+9)−30=2(x−3)2−30.所以m=3，n=−30．29.y=−x2+2x+330.y=(x−1)2+231.y=x2−2x+1（答案不唯一）32.y=(x−3)2−433.y=(x−1)2+334.3【解析】提示：解析式为y=x2−x−2.35.436.y=−x2+2x+337.y=x2−2x38.y=−14(x−6)2+1239.y=−32(x+2)2+340. y =2(x +34)2−17841. 642. y =(x −2)2+543. y =x 2+32x −1 44. 345. y =−(x −1)2−246. (x −1)2+247. 3【解析】y =x 2−2x +3=(x −1)2+2，∴m =1，k =2．∴m +k =3．48. −249. y =−12(x −6)2+1 50. y =18x 2−14x +2 或 y =−18x 2+34x +2 【解析】∵A (0,2)，B (4,3)，C 三点在抛物线上，∴c =2，16a +4b +2=3，又 ∵ 点 C 在直线 x =2 上，且点 C 到抛物线对称轴的距离等于 1， ∴ 对称轴为直线 x =1 或 x =3，当对称轴为直线 x =1 时，{−b 2a =1,16a +4b +2=3. 解得 {a =18,b =−14. ∴y =18x 2−14x +2， 当对称轴为直线 x =3 时，{−b 2a =3,16a +4b +2=3. 解得 {a =−18,b =34. ∴y =−18x 2+34x +2．。
二次函数顶点式
一．知识梳理(一）．二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，例题1：抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（1，3），则b ＝，c ＝.1.将抛物线c bx ax y ++=2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到1422--=x x y ，则a ＝，b ＝，c ＝.(二)．二次函数的对称轴、顶点、最值，与坐标轴交点（技法：如果解析式为顶点式()k h x a y +-=2，则对称轴x=h,顶点（h,k ）,最值:当x=h 函数有最值为k ；如果解析式为一般式c bx ax y ++=2则对称轴为）2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a =-时，y 有最值244ac b a -． 例题2：抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为.对称轴. 2.抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是. 3.抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线.4.已知二次函数3222++-=a ax x y ，当a 时，该函数y 的最小值为05.已知二次函数m x x y +-=62的最小值为１，那么m ＝6.抛物线y=x 2一3x+2与y 轴交点的坐标是.与x 轴交点的坐标.(三)．函数的图象特征与a 、b 、c 的关系技法：对于c bx ax y ++=2的图象特征与a 、b 、c 的关系为：①抛物线开口由a 定，上正下负；②对称轴位置a 、b 定，左同右异，b 为0时是y 轴；③与y 轴的交点由c 定，上正下负，c 为0时过原点。
例题3：二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则a ，b,c 的符号是.7.如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过A （3，0），二次函数图象对称轴为1x =，给出四个结论：①24b ac >；②0bc <；③20a b +=；④0a b c ++=，其中正确结论是.O yx第7题图(四)．求二次函数解析式（1）通过平移变换 例题4：抛物线223x y -=向左平移３个单位，再向下平移４个单位，所得到的抛物线的关系式为。
顶点式练习题
顶点式练习题1.已知点（a ，8）在二次函数y=ax 2的图象上，则a 的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．±2D ．±2.抛物线y=223）（ x +4顶点坐标是（ ）A ．（3，4）B ．（﹣3，4）C ．（3，﹣4）D ．（2，4）3.对于函数y=﹣2（x ﹣m ）2的图象，下列说法不正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是x=mC ．最大值为0D ．与y 轴不相交4.．对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x ＞1时，y 随x 的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．抛物线y=2x 2﹣3的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．x 轴上D ．y 轴上6．抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）A ．（3，5）B ．（﹣3，5）C ．（3，﹣5）D ．（﹣3，﹣5）7．下列抛物线中，顶点坐标是（﹣2，0）的是（ ）A ．y=x 2+2B ．y=x 2﹣2C ．y=（x+2）2D ．y=（x ﹣2）28．下列关于抛物线y=﹣x 2+2的说法正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．顶点坐标为（﹣1，2）C ．在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大D ．抛物线与x 轴有两个交点9．已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞010．将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）211.将抛物线y=4x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y=4（x+2）2+3 B．y=4（x+2）2﹣3 C．y=4（x﹣2）2+3 D．y=4（x﹣2）2﹣312．当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A． B．C．D．13．若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．14．将二次函数y=（x﹣2）2+3的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为．15．二次函数y=ax2（a＞0）的图象经过点（1，y1）、（2，y2），则y1y216．若二次函数y=ax2的图象经过点（﹣1，2），则二次函数y=ax2的解析式是．17．已知函数y=﹣（x﹣1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1y2（填“＜”、“＞”或“=”）18．函数的图象是抛物线，则m= ．19．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是．20．二次函数y=x2+1的最小值是．21．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的大小关系为．。
初中数学 二次函数一般式和顶点式 练习题(含答案)
数学试卷一、填空题（共50小题；共250分）1. 请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y=．2. 写出一个开口向下，顶点在第一象限的二次函数的表达式 .3. 若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1)，且经过点B(1,0)，则抛物线的函数关系式为．4. 抛物线的顶点在原点，且过点(3,−27)，则这条抛物线的解析式为．5. 二次函数y=−x2−2x+1化成y=a(x−ℎ)2+k的形式是．x2+3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(−5,0)．根据以上6. 已知一抛物线与抛物线y=−13特点，试写出该抛物线的表达式为．7. 如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(−1,0)，(1,−2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．8. 若把函数y=x2+6x+5化为y=(x−m)2+k的形式，其中m，k为常数，则k−m=．9. 已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，1；与y轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是．10. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线对应的函数表达式：．11. 若二次函数的图象开口向下，且经过(2,−3)点．符合条件的一个二次函数的解析式为．12. 若把二次函数y=x2+6x+2化为y=(x−ℎ)2+k的形式，其中ℎ，k为常数，则ℎ+k=．13. 将二次函数y=x2−2x−5化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为y=．14. 抛物线的顶点坐标为(1,−2)，且过点(2,3)，则函数的关系式：．15. 如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=(x−2)2+1，那么c的值为．16. 若抛物线y=ax2经过点(−3,4)，则这函数的解析式是．17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．写出一个函数y=x2+c，使它的图象与正方形ABCD有公共点，这个函数的表达式为．18. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：对称轴为直线x=2；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．19. 已知二次函数的图象开口向下，且其图象顶点位于第一象限内，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式为（表示为y=a(x+m)2+k的形式）．20. 把二次函数y=x2−12x化为形如y=a(x−ℎ)2+k的形式：．21. 二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(2,11)和点(−1,−7)，则它的解析式为．22. 将二次函数y=x2−2x化为顶点式的形式为：．x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是(4,5)的抛物线的解析23. 形状与y=−12式．24. 用配方法将二次函数y=4x2−24x+26写y=a(x−ℎ)2+k的形式是．25. 将二次函数y=x2−4x+5化成y=(x−ℎ)2+k的形式，则y=．x2−2x+1写成y=a(x−ℎ)2+k的形式，结果为．26. 用配方法将y=1327. 若把函数y=x2−2x−3化为y=(x−m)2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=．28. 将y=2x2−12x−12变为y=a(x−m)2+n的形式，则m⋅n=．29. 若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0)，与y轴的交点为B(0,3)，对称轴为直线x=1，则该抛物线对应的函数表达式为．30. 将函数y=x2−2x+3写成y=a(x−ℎ)2+k的形式为．31. 请写出一个图象的对称轴是直线x=1，且经过(0,1)点的二次函数的表达式：．32. 将抛物线y=x2−6x+5化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为．33. 将函数y=x2−2x+4化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为．34. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(1,−2)，该图象与x轴的另一交点为C，则AC的长为．35. 把二次函数的表达式y=x2−4x+6化为y=a(x−ℎ)2+k的形式，那么ℎ+k=．36. 抛物线y=−x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为．37. 已知二次函数y=x2+bx+c，当x=2时，y=0；当x=−1时，y=3，则这个二次函数的解析式为．x2+3x+3化成y=a(x+m)2+k的形式为．38. 把二次函数y=−1439. 二次函数的图象的顶点坐标是(−2,3)，它与y轴的交点坐标是(0,−3)．40. 将y=(2x−1)(x+2)+1化成y=a(x−ℎ)2+k的形式为．41. 二次函数y=x2−2x+6化为y=(x−m)2+k的形式，则m+k=．42. 将二次函数y=x2−4x+9化成y=a(x−ℎ)2+k的形式．时，y=0，则这个二次函43. 一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=−1，当x=−2与12数的解析式是．44. 将二次函数y=x2−4x+5化为y=(x−ℎ)2+k的形式，那么ℎ+k=．45. 已知二次函数y=−x2+2x−3，用配方法化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为．46. 若将二次函数y=x2−2x+3配方为y=a(x−ℎ)2+k的形式，则y=．47. 若把二次函数y=x2−2x+3化为y=(x−m)2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=．48. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,2)和(−1,−6)两点，则a+c=．x2+6x−17配方成y=a(x+ℎ)2+k的形式是．49. 把y=−1250. 设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2)，B(4,3)，C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线对应的函数表达式为．答案第一部分1. −x 2+2x （答案不唯一 ）2. y =−3(x −2)2+3 （不唯一）3. y =−x 2+4x −3【解析】设抛物线的解析式为 y =a (x −2)2+1，将 B (1,0) 代入 y =a (x −2)2+1 得，a =−1，函数解析式为 y =−(x −2)2+1，展开得 y =−x 2+4x −3．4. y =−3x 25. y =−(x +1)2+26. y =13(x +5)27. x ≥12【解析】解析：依题意，有{0=(−1)2−b +c,−2=1+b +c,解得 {b =−1,c =−2,∴y =x 2−x −2，对称轴为 x =12，∴ 当 x ≥12 时，y 随 x 的增大而增大．8. −19. y =2x 2−8x +610. y =x 2−4x +3（答案不唯一）11. y =−x 2−2x +5（答案不唯一）【解析】由题意得，二次函数的图象开口向下，且经过 (2,−3) 点， y =−x 2−2x +5 符合要求．但答案不唯一．12. −1013. (x −1)2−614. y =5(x −1)2−215. 516. y =49x 217. 答案不惟一，如 y =x 2．（说明：写成 y =x 2+c 的形式时，c 的取值范围是 −2≤c ≤1）18. y =(x −1)(x −3)，y =−(x −1)(x −3)，y =15(x +1)(x −5)，y =−15(x +1)(x −5) 写出其中一个即可19. y =−(x −1)2+1（答案不唯一）20. y =(x −6)2−3621. y =x 2+5x −322. y =(x −1)2−123. y =12(x −4)2+524. y =4(x −3)2−1025. (x −2)2+126. y =13(x −3)2−2 27. −328. −90【解析】y=2x 2−12x −12=2(x 2−6x +9)−30=2(x −3)2−30.所以 m =3，n =−30．29. y =−x 2+2x +330. y =(x −1)2+231. y =x 2−2x +1（答案不唯一）32. y =(x −3)2−433. y =(x −1)2+334. 3【解析】提示：解析式为 y =x 2−x −2 .35. 436. y =−x 2+2x +337. y =x 2−2x38. y =−14(x −6)2+1239. y =−32(x +2)2+340. y =2(x +34)2−17841. 642. y =(x −2)2+543. y =x 2+32x −1 44. 345. y =−(x −1)2−246. (x −1)2+247. 3【解析】y =x 2−2x +3=(x −1)2+2，∴m =1，k =2．∴m +k =3．48. −249. y =−12(x −6)2+150. y =18x 2−14x +2 或 y =−18x 2+34x +2【解析】∵A (0,2)，B (4,3)，C 三点在抛物线上，∴c =2，16a +4b +2=3，又 ∵ 点 C 在直线 x =2 上，且点 C 到抛物线对称轴的距离等于 1， ∴ 对称轴为直线 x =1 或 x =3，当对称轴为直线 x =1 时，{−b 2a =1,16a +4b +2=3. 解得 {a =18,b =−14. ∴y =18x 2−14x +2， 当对称轴为直线 x =3 时，{−b 2a =3,16a +4b +2=3. 解得 {a =−18,b =34. ∴y =−18x 2+34x +2．。
二次函数定义、顶点式
二次函数定义、顶点式1.下列函数中，是二次函数的有______________ ①y=1-2x 2；②y=21x ；③y=x(1-x)；④y=(1-2x)(1+2x). 2.关于函数y=3x 2的性质表述正确的一项是( ) A.无论x 为任何实数，y 的值总为正 B.当x 值增大时，y 的值也增大 C.它的图象关于y 轴对称 D.它的图象在第一、三象限内3.已知点(-1，y 1)，(2，y 2)，(-3，y 3)都在函数y=x 2的图象上，则( ) A.y 1<y 2<y 3 B.y 1<y 3<y 2C.y 3<y 2<y 1D.y 2<y 1<y 34.设A(-2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y=-(x+1)2+a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( ) A.y 1＞y 2＞y 3 B.y 1＞y 3＞y 2 C.y 3＞y 2＞y 1D.y 3＞y 1＞y 25.分别求出符合下列条件的抛物线y=ax 2的解析式： (1)经过点(-3，2)；_______________________(2)与y=31x 2开口大小相同，方向相反.___________________6.求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2)_______________ (2)与y=12x 2的开口大小相同,方向相反_______________(3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4_________________7.已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是( )8.下列四个二次函数：①y=x 2，②y=-2x 2，③y=21x 2，④y=3x 2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是_______________9.如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y=ax 2；②y=bx 2；③y=cx 2；④y=dx 2，则a 、b 、c 、d 的大小关系为( ) A.a ＞b ＞c ＞d B.a ＞b ＞d ＞c C.b ＞a ＞c ＞d D.b ＞a ＞d ＞c9题11题10.若二次函数y=m m mx -2的图象开口向下，则m=____11.已知二次函数y=2x 2的图象如图所示，将x 轴沿y 轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A,B 两点，则△AOB 的面积为________. 12.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____.13.抛物线y=21(x+3)2的顶点坐标是______,对称轴是_________14.抛物线y=－41x 2+1，y=－41(x+1)2与抛物线y=－41(x 2+1)的_____相同，_____不同.15.已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是______. 16．抛物线2)1(-=x y 沿y 轴方向向上或向下平移后，经过点（3，0），则所得抛物线的解析式为 ．17.若将抛物线y=x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的解析式为___________________,顶点坐标是______. 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=-2(x-h)2+k ，则下列结论正确的是( )18题19题A.h>0,k>0B.h<0,k>0C.h<0,k<0D.h>0,k<019.如图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物线的解析式是____________ 20.说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：21．已知抛物线),,0()(2是常数n m a n m x a y ≠++=开口向下，顶点在第二象限，则a 0，m 0，n 0（填“>”“=”、“<”）． 22．若直线3y x m =+经过第一、三、四象限，则抛物线2()1y x m =-+的顶点必在_________象限23．在图中抛物线2)(m x a y +=与直线m ax y +=可能是（ ）24．抛物线n m x y ++=2)(向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，则m =______,n =______25.已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,则m=______n=_______.26．若点A(2,m)在函数y=x 2-1的图象上，则点A 关于x 轴的对称点的坐标是_____.27.二次函数y=ax 2与直线y=2x-1的图象交于点P(1，m).(1)写出二次函数的表达式，并指出x 取何值时，该表达式的y 随x 的增大而增大？(2)指出抛物线的顶点坐标和对称轴.28.已知二次函数y=ax 2(a ≠0)与一次函数y=kx-2的图象相交于A 、B 两点，如图所示，其中A(-1,-1),求△OAB 的面积.29.把二次函数y=a(x-h)2+k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=21(x+1)2-1的图象. (1)试确定a ，h ，k 的值；(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k 的开口方向，对称轴和顶点坐标.30.在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且过点B(3,0)(1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得的图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.31.已知抛物线y=-(x-m)2+1与x 轴的交点为A ，B(B 在A 的右边)，与y 轴的交点为C.(1)写出m=1时与抛物线有关的三个正确结论； (2)当点B 在原点的右边，点C 在原点下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.32、已知二次函数()212--=x y ，（1）当32≤≤x 时，求函数的最值.（2）当30≤≤x 时，求函数的最值.33．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线2x y =都相同，对称轴与抛物线2)2(+=x y 相同，且顶点的纵坐标为－1．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求这条抛物线与1+=x y 的两交点坐标及这两点的距离．34．如图12，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线213.55y x =-+运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．（1）球在空中运行的最大高度为多少米？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？35．如图所示，抛物线2)(m x y --=的顶点为A ，直线l ：m x y 33-=与y 轴的交点为B ，其中0>m .（1）写出抛物线对称轴及顶点A 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）证明点A 在直线l 上，并求出OAB ∠的度数； （3）动点Q 在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P ，使以P 、Q 、A 为顶点的三角形与OAB ∆全等？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，说明理由.。
人教版九年级上册《二次函数顶点式和一般式》同步练习
二次函数顶点式和一般式课前检测：在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )函数y=a （x -h ）2+k （顶点式）的图像和性质1. 抛物线y=（x+1）2+2的顶点坐标是_________，对称轴是________2. 将抛物线y= -（x -2）2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的解析式是________3.抛物线()3-1212+-=x y ，开口向 ，对称轴 ，顶点坐标是 ,当x _____时，y 随x 的增大而增大；当x _____时，y 随x 的增大而减小；当x _____时，函数y 有_____值,这个值是_______。
4.已知A(−1,y1),B(2,y2)是抛物线y=−(x+2)2+1上的两点,则y1,y2的大小关系( )A. y1>y2B. y1≥y2C. y1<y2D. y1≤y25.对于抛物线()31212++-=x y ，下列结论：①抛物线的开口向下 ②对称轴为直线x =1 ③顶点坐标为（—1,3） ④x ＞1时，y 随x 的增大而减小，其中正确的个数为（ ） A 、 1个 B 、2个 C 、 3个 D 、 4个根据顶点、对称轴求抛物线解析式1.把抛物线y=-2(x -1)2向上平移k 个单位使所得的抛物线经过点（-2，-10）.求k 的值.2.抛物线的顶点为（1,2），且形状与y=x2相同，开口向上，求抛物线的解析式。
3.抛物线的顶点为（2,-3），且经过（1，-1），求抛物线的解析式。
4.已知二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数y=（x-1）2+2．（1）求b，c的值；（2）当1≤x≤4时，求二次函数y=x2+bx+c的最大值和最小值．5.已知二次函数y=(x+m)2+k的顶点为(1,−4)(1)求二次函数的解析式及图象与x轴交于A. B两点的坐标。
(2)将二次函数的图象沿x轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的解析式。
二次函数练习题(解析式)
二次函数练习题——求解析式一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中(h,k)是抛物线的顶点坐标两根式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是抛物一线与x轴的两个交点的横坐标1.抛物线过(－1,10)、(1,4)、(2,7)三点，求抛物线的解析式。
2.二次函数y=ax2+bx+c有最小值为－8，且a：b：c=1：2：(－3),求此函数的解析式。
3.抛物线的对称轴是x=2，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式。
4.二次函数y=ax2+bx+c，x=－2时y=－6,x=2时y=10,x=3时y=24,求此函数的解析式。
5.抛物线的顶点为（2，－3），且过（－1，2），求此抛物线的解析式。
6.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。
7.二次函数y=ax2+bx+c，x=6时y=0,x=4时y有最大值为8，求此函数的解析式。
8.二次函数y=ax2+bx+c，当x＜6时y随x的增大而减小，x＞6时y随x的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。
9.抛物线过点（1，0）、（5，0）、（3，－2），求此抛物线的解析式。
10.二次函数y=ax2+bx+c右边的二次三项式的两根分别为－3和1，且x=－4时y=10，求此函数的解析式。
11.抛物线与x轴的两个交点的横坐标是－3和1，且过点（0，3/2），求此抛物线的解析式。
12.二次函数x=－2时y有最小值为－3，且它的图象与x轴的两个交点的横坐标的积为3，求此函数的解析式。
13.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。
14.求抛物线y=x2－2x－1,关于x轴对称图形的解析式。
二次函数配方法练习题
二次函数配方法练习题
1. 已知二次函数的顶点坐标为(2, -3)，且过点(0, 1)，求该二次函数的解析式。
2. 将二次函数y = 2x^2 - 4x + 3进行配方，得到顶点式。
3. 已知抛物线y = ax^2 + bx + c的顶点为(-1, 4)，且抛物线与x 轴交于点(3, 0)，求a、b、c的值。
4. 将二次函数y = 3x^2 - 6x + 5进行配方，求出它的顶点坐标和对称轴。
5. 已知二次函数y = x^2 - 2x - 3，求该函数的最小值。
6. 将二次函数y = 4x^2 - 12x + 9进行配方，求出它的顶点坐标和对称轴。
7. 已知抛物线y = -2x^2 + 4x + 1，求该抛物线的顶点坐标。
8. 将二次函数y = -x^2 + 6x - 9进行配方，求出它的顶点坐标和对称轴。
9. 已知抛物线y = 3x^2 - 12x + k与x轴有两个交点，求k的取值范围。
10. 将二次函数y = 2x^2 + 4x + 1进行配方，求出它的顶点坐标和对称轴。
11. 已知二次函数y = x^2 + 6x + 8，求该函数的最小值。
12. 将二次函数y = -3x^2 + 6x - 2进行配方，求出它的顶点坐标和对称轴。
13. 已知抛物线y = 2x^2 - 8x + 7，求该抛物线的顶点坐标。
14. 将二次函数y = 5x^2 - 10x + 3进行配方，求出它的顶点坐标和对称轴。
15. 已知抛物线y = -x^2 + 4x - 3与x轴有一个交点，求该交点的坐标。
二次函数顶点式练习
二次函数k h x a y +-=)(2（顶面式）习题课之阳早格格创做一、知识体系1、剖析式：()()02≠+-=a k h x a y2、图像取本量：对于称轴：x=h顶面：（h ，k ）3、扔物线的仄移：自变量加减安排移（左加左减），函数值加减上下移（上加下减）4、扔物线取曲线的接面：创造圆程组c bx ax b kx cbx ax y b kx y ++=+⇒⎩⎨⎧++=+=22，化简为一元二次圆程，瞅△（1）有二组分歧解（△＞0）：有二个接面（2）惟有一组解（△=0）：惟有一个接面 （3）无解（△＜0）：不接面5、扔物线的启心大小由a 决断：（1）a 越大，扔物线的启心越小（2）a 越小，扔物线的启心越大二、知识坚韧一、复习1、二次函数4)1(-22++=x y 的图象的启心目标________，顶面坐标是________，对于称轴是_________. 当x ______时,y 随着x 的删大而删大, 当x ______时, y 随着x x =_____时，函数有最_______值是_________.2、二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 背_____仄移_______个单位，再背_____仄移_______个单位得到.二、供函数表白式例1、已知一个二次函数的图像的顶面正在本面，且通过面（1，3），供那个二次函数的表白式.例2、已知扔物线的顶面坐标是(-1,-2)，且通过面（0，1），供那个二次函数的表白式.例3、已知二次函数当x=3时有最大值4，而且图象通过面（4，－3），供那个二次函数的表白式.例4、已知扔物线的对于称轴为曲线1=x ,且通过（1，2）战（-2，5），供那个二次函数的表白式.三、本量应用例5、一名男死掷真心球，已知真心球脱脚时离大天2米，当真心球前进的火仄距离为4米时真心球被掷得最下，此时真心球离大天3.6米，设真心球前进的门路是如图所示的一段扔物线．⑴供真心球前进的下度y (米)取前进的火仄距离x (米)之间的函数闭系式；⑵如果真心球考查特出结果为9.6米，那么那名男死正在那次考查中结果是可能达到特出？请证明缘由．四、课堂训练 1、扔物线3)2(2+-=x y 的对于称轴是________，顶面坐标是____________.2、二次函数2(1)2y x =++的最小值是________.3、将二次函数22x y =图象背左移动3个单位，再进取仄移2个单位，所得图象的表白式为______4、已知二次函数当x=2时y 有最大值是１.且过（３，０）面,供该函数的表白式.5、将扔物线k h x a y +-=2)(的图像先背左移动2个单位，再进取移动3个单位得到二次函数1)3(-22++=x y 的图像.（1）决定k h a ,,的值；（2）指出二次函数k h x a y +-=2)(的启心目标、对于称轴战顶面坐标.6、脚球角逐中，某疏通员将正在大天上的脚球对于着球门踢出，图1中的扔物线是脚球的飞止下度y (m)闭于飞止时间x (s)的函数图象(不思量气氛的阻力)，已知脚 3.624y x O球飞出1s时，脚球的飞止下度是2.44m，脚球从飞出到降天共用3s．⑴供y闭于x的函数表白式；⑵脚球的飞止下度是可达到4.88米？请证明缘由；。
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得到的抛物线是。
5、把抛物线y= -(X -1)2-1向平移个单位，再向平移
2
个单位得到抛物线y= —(X十2)-3.
12
6、 抛物线y (x4)-7的顶点坐标是，对称轴是直
2
线，它的开口向，在对称轴的左侧，即当x<时,
y随x的增大而;在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增
大而;当x=时，y的值最，最值
15、二次函数y= —
A.(—1,3)
16、
17、
B. y=x2—3
C. y=(x+3)2
2
(x—1)+3图像的顶点坐标是(
B.(1,3)
二次函数y=x2+x—6的图象与
A.2和一3B.—2和3
二次函数y=ax2的图像开口向
，图像有最-
是
—时，y随x的增大而减小。
1
x
3
18、关于y=
A.顶点相同
点，x
D. y=(x—3)2
)
C.(—1,—3)
D.(1, —3)
x轴交点的横坐标是(
C.2和3
，对称轴是.
D.
)
—2和一3
，顶点坐标
时，y随x的增大而增大，x
2 2 2
,y = x,y=3x的图像，下列说法中不正确的是()
B.对称轴相同C.图像形状相同D.最低点相同
7、将抛物线y=3x2向左平移6个单位，再向下平移7个单位所得新抛物线的 解析式为。
,它有最
值，即当x=
达式为
一时，y=
12、边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片,
剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数表达式为
13、等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为
14、二次函数y=x是()
A. y=x2+3
2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式
8若一抛物线形状与y=—5x2+2相同，顶点坐标是(4, -2)，则其解析 式是.
9、 两个数的和为8,则这两个数的积最大可以为，若设其中一个
数为x，积为y,则y与x的函数表达式为.
10、 一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，
边长分另寸为.
11、 若两个数的差为3，若其中较大的数为x,则它们的积y与x的函数表
19、抛物线y=x
A.顶点相同
20、在抛物线
A. x>0
2
与y.对称轴相同C.开口方向相反D
2
y = -x上，当yV0时，x的取值范围应为(
B.xV0C.x丰0 D
.都有最小值
21、 对于抛物线y=x2与讨二-X2下列命题中错误的是()
A.两条抛物线关于X轴对称B.两条抛物线关于原点对称
33、抛物线y=3(x-1)2• 2的对称轴是()
A.x=1B.x=TC.x=2D.x=-2
12
34、抛物线v = — (x+2)2+4关于x轴对称的抛物线的解析式为
3
所得图象的解析式为()
2 2 2
A.y = 2x- 2B.y=2x2C.y = 2(x-2)
24、 抛物线y =2(x1)2-3的顶点坐标是()
A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(-1,- 3)
25、 二次函数y=ax2的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得 新函数表达式为()
二次函数顶点式练习
2
1、 二次函数y=2x -4的顶点坐标为，对称轴为。
2、二次函数y - -2(x •3)2-1由y - -2(x-1)2•1向平移个
单位，再向平移个单位得到。
2 2
3、抛物线y=3(x，2)-3可由抛物线y= 3(x^2)2向平移
个单位得到.
5
4、将抛物线y (x-3)2・2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，
A. y=a(x-2)2+3B.y=a(x-2)2—3
C.y=a(x2)2+3D.y=a(x2)2—3
_ 2
32、把抛物线y= -X向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移
后抛物线的解析式为()
A.y -_(x —1)2—3b.y--(x1)2-3
C.y =-(x-1)23D.y=-(x1)23
C.两条抛物线各自关于y轴对称D.两条抛物线没有公共点
22、 抛物线y=—bx2+3的对称轴是，顶点是。
12
23、 抛物线y=——(x+2)—4的开口向，顶点坐标，对称轴
2
,x时，y随x的增大而增大，x时，y随x的增大而减小。
2
27、函数y=ax+c与y=ax+c(a丰0)在同一坐标系内的图像是图中的()