平面向量专题复习
平面向量总复习
r
r
1 a a
二、实数与向量的积
r
（2）当 当
00时时，，aar
的方向与 的方向与
a a
的方向相同； 的方向相反。
r
注意：（1） a仍是向量；
rr
rr
（2）a 0的条件是 0或a 0；
r
r
（3） a几何意义：表示向量a的有向线段伸长或压缩；
rrr a xi y j（x，y）
OA （x，y）
y
r
a
y r A (x,y)
ra
jr Oi
x
x
一、向量的有关概念
r 3.零向量起：始点重合的向量叫零向量，记作： 0
注意：零向量的方向是任意的
4.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量
r
r
uur
注意：向量a的单位向量为a0 =
a r
（4）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.
四、平面向量的数量积
（2）平面向量的数量积：
已知两个向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
a b | a || b | cos a b cos a,b
④
r r
若 a b 0，则a =0或 b 0
rr rr r r ⑤ 若a b c b,则a c
rr r
⑥
ab r2 a
br a
⑦
rr (a b)2
r2 r2 a b
六、向量平行的判定(共线向量的判定)
（1）ra //rb b a（a 0） 向r 量表示 r
平面向量专题复习
专题复习：平面向量一、本章知识结构：二、重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=。
2a x y =+；若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=，AB = 3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：||a 就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a -b = a + (-b )；差向量的意义： OA = a , =b , 则=a - b③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ=。
④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+)7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =；（3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa 。
高考数学(文)《平面向量》专题复习
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0.②实数和向量可 以求积，但不能求和、求差．③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．
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考法2 平面向量的线性运算
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考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时，应注意以下两点： 1．应正确理解向量的概念 ①向量既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以 判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；②大小与方向是向 量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；③向量可以自 由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 2．正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反， 当然向量所在直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义．
(2)b在a方向上的投影是 一个数量，当0°≤θ＜ 90°时为正；当90°＜θ ≤180°时为负；当θ＝ 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
高中数学-平面向量专题
第一部分：平面对量的概念及线性运算一.基础学问 自主学习1．向量的有关概念名称定义备注向量 既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 (或称 )平面对量是自由向量零向量 长度为 的向量；其方向是随意的 记作0单位向量 长度等于 的 向量非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量 方向 或 的非零向量0与任一向量 或共线 共线向量 的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度 且方向 的向量 0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法 求两个向量和的运算(1)交换律： a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．减法 求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则 a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |.(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ＝0时，λa ＝0.λ(μa )＝λμa ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb .3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的 条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .二.难点正本 疑点清源1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区分向量平行包括向量共线(或重合)的状况，而直线平行不包括共线的状况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必需说明这两条直线不重合．三．基础自测1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ →的结果等于________．2．下列命题：①平行向量肯定相等；②不相等的向量肯定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量肯定共线．其中不正确命题的序号是_______．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满意BD →＝2DC →，则AD →＝________(用b 、c 表示)．4．如图，向量a －b 等于( ) A ．－4e 1－2e 2 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 25．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则肯定共线的三点是 ( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D四．题型分类 深度剖析题型一 平面对量的有关概念 例1 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的序号是________．变式训练1 推断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量a 与b 同向，且|a |＝|b |，则a>b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与随意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反；(6)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等题型二 平面对量的线性运算例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.变式训练2 △ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N .设AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b表示向量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →.题型三 平面对量的共线问题例3 设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－ke 2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．变式训练3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．五．思想与方法5．用方程思想解决平面对量的线性运算问题试题：如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b表示向量OM →.六．思想方法 感悟提高方法与技巧1．将向量用其它向量(特殊是基向量)线性表示，是非常重要的技能，也是向量坐标形式的基础．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防范1．解决向量的概念问题要留意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满意条件．要特殊留意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的依次，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．七．课后练习1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，肯定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．若A 、B 、C 、D 是平面内随意四点，给出下列式子：AB ＋CD →＝BC ＋DA →；②AC ＋BD →=AD BC +；③AC －BD →＝DC →+AB .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3. 已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满意CB AC +2=0，则OC 等于( )A.OA 2－OB →B.OA -＋2OB →C.OA 32－13OB →D.OA 31-＋23OB →4.如图所示，在△ABC 中，BD ＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB ＝a ，AC ＝b ，则BE →等于( )A.13a ＋13b B ．－12a ＋14b C.12a ＋14b D ．－13a ＋13b 5. 在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b,BC ＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形态是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对 6. AB ＝8，AC ＝5，则BC 的取值范围是__________． 7．给出下列命题：①向量AB 的长度与向量BA →的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，肯定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． 其中不正确的个数为____________．8.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N.若AB ＝mAM →，AC ＝nAN →，则m ＋n 的值为________．9．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a)共线，则λ＝________.10.在正六边形ABCDEF 中，AB ＝a ，AF →＝b ，求AD AC ,，AE →.11.如图所示，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM的值．12.已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点.（1）求GA ＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G,且AO ＝a, OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.其次部分：平面对量的基本定理及坐标表示一．基础学问 自主学习1．两个向量的夹角定义范围已知两个 向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)向量夹角θ的范围是 ,当θ＝ 时,两向量共线，当θ＝ 时，两向量垂直，记作a ⊥b .2.平面对量基本定理及坐标表示(1)平面对量基本定理假如e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的随意向量a ， 一对实数λ1，λ2，使a ＝ .其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内全部向量的一组 ． (2)平面对量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解． (3)平面对量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面对量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝xi ＋yj ，这样，平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，把有序数对 叫做向量a 的坐标，记作a ＝ ，其中 叫做a 在x 轴上的坐标， 叫做a 在y 轴上的坐标．②设OA →＝xi ＋yj ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是 的坐标，即若OA →＝(x ，y )，则A 点坐标为 ，反之亦成立．(O 是坐标原点) 3．平面对量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ，a －b ＝ ， λa ＝ ，|a |＝ . (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ ，|AB →|＝ . 4．平面对量共线的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔ .二．难点正本 疑点清源1．基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内随意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 2．向量坐标与点的坐标的区分在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应留意其表示形式的区分，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面对量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y ),但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了改变．三．基础自测1．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若ka ＋b 与b 平行，则k ＝________.3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d ＝____________.4．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为 ( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)5．已知平面对量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于y 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于x 轴D ．平行于其次、四象限的角平分线四．题型分类 深度剖析题型一 平面对量基本定理的应用例1 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.变式训练1 如图，P 是△ABC 内一点，且满意条件AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，试用p 表示CQ →.题型二 向量坐标的基本运算例2 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满意a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．变式训练2 (1)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (2，－4)、B (0，6)、C (－8,10)，求向量AB →＋2BC →－12AC →的坐标；(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求：①3a ＋4b ；②a －3b ；③12a －14b .题型三 平行向量的坐标运算例3 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满意a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ； (3)若d 满意(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d .变式训练3 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)求|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？五．易错警示8．忽视平行四边形的多样性致误试题：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．六．思想方法 感悟提高方法与技巧1．平面对量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的很多相关问题． 3．在向量的运算中要留意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用． 失误与防范1．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时，a ∥b 的充要条件也不能错记为x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等．七．课后练习1．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(1＋m,1－m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－22．已知平面对量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)3.设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b 等于( )A.⎝⎛⎭⎫32，－12或⎝⎛⎭⎫－32，12B.⎝⎛⎭⎫32，12C.⎝⎛⎭⎫－32，－12D.⎝⎛⎭⎫32，12或⎝⎛⎭⎫－32，－124.已知向量a ＝(1，－m )，b ＝(m 2，m )，则向量a ＋b 所在的直线可能为( ) A ．x 轴 B ．第一、三象限的角平分线 C ．y 轴 D ．其次、四象限的角平分线5．已知A(7,1)、B(1,4),直线ax y 21=与线段AB 交于C ,且=AC 2CB →，则实数a 等于( )A ．2B ．1C.45D.536．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．8．若向量a )43,3(2--+=x x x 与AB 相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.9．若平面对量a ，b 满意|a ＋b|＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝______________. 10． a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？11．三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n.(1)求cos A 的值；(2)求sin(A ＋30°)的值．12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝⎝⎛⎭⎫22sin B ＋C2，2sin A ，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．第三部分：平面对量的数量积一．基础学问 自主学习1．平面对量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量_______叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作________________. 规定：零向量与任一向量的数量积为____.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 ，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 .2．平面对量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影_________的乘积．3．平面对量数量积的重要性质 (1)e ·a ＝a ·e ＝ ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔ ； (3)当a 与b 同向时，a ·b ＝ ；当a 与b 反向时，a ·b ＝ ，a ·a ＝a 2，|a|＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|；(5)|a ·b|____|a ||b |.4．平面对量数量积满意的运算律 (1)a·b ＝ (交换律)；(2)(λa )·b ＝ ＝ (λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝ .5．平面对量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝ ，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝ 或|a |＝ .(2)设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),则A 、B 两点间的距离|AB |=AB ＝ . (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ .二．难点正本 疑点清源1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，肯定要留意两向量夹角的范围． 2．数量积的运算只适合交换律、加乘安排律及数乘结合律，但不满意向量间的结合律，即(a ·b)c 不肯定等于a(b ·c)．这是由于(a ·b)c 表示一个与c 共线的向量，而a(b ·c)表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不肯定共线．三．基础自测1．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________.2.在△ABC 中，AB =3，AC =2，BC 10则AC AB ·＝______.3．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是 ( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．25．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满意(c ＋b)⊥a ，(c －a)∥b ，则c 等于 ( ) A ．(2,1) B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫32，12 D ．(0，－1)四．题型分类 深度剖析题型一 求两向量的数量积例1 (1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求BC AB ·； (2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，试求(a －2b)·(2a ＋3b)．变式训练1 (1)若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是正东方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a ＋b)＝______.(2)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝ 3 BD →，|AD |＝1，则AD AC ·等于( ) A ．2 3 B.32 C.33D.3题型二 求向量的模例2 已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a ＋b|；(2)|3a －4b|；(3)(a －2b)·(a ＋b)．变式训练2 设向量a ，b 满意|a －b |＝2，|a|＝2，且a －b 与a 的夹角为π3，则|b|＝________.题型三 利用向量的数量积解决夹角问题例3 已知a 与b 是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a －b|，求a 与a ＋b 的夹角．变式训练3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．题型四 平面对量的垂直问题例4 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求证：a ＋b 与a －b 相互垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)变式训练4 已知平面内A 、B 、C 三点在同一条直线上，OA ＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC ＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．五．答题规范5．思维要严谨，解答要规范试题：设两向量e 1、e 2满意|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．六．思想方法 感悟提高方法与技巧1． 向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似．如(a ＋b)2＝a 2＋2a·b ＋b 2；(λa ＋μb)·(s a ＋t b)＝λs a 2＋(λt ＋μs )a·b ＋μt b 2(λ，μ，s ，t ∈R)．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧．失误与防范1．(1)0与实数0的区分：0a ＝0≠0，a ＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是随意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2．a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b.3．一般地，(a·b)c≠(b·c)a 即乘法的结合律不成立．因a·b 是一个数量，所以(a·b)c 表示一个与c 共线的向量，同理右边(b·c)a 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不肯定共线，故一般状况下(a·b)c≠(b·c)a.4．a·b ＝a·c(a≠0)不能推出b ＝c .即消去律不成立．5．向量夹角的概念要领悟，比如正三角形ABC 中，〈,AB BC 〉应为120°，而不是60°.七．课后练习1.设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直2.若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满意条件(8a －b)·c ＝30，则x 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．33.已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与a ＋2b 的夹角等于( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°4.平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则⋅AD BD 等于( )A ．6B ．8C ．－8D ．－65.若e 1、e 2是夹角为π3的单位向量，且向量a ＝2e 1＋e 2，向量b ＝－3e 1＋2e 2，则a·b 等于( ) A ．1 B ．－4 C ．－72 D.726．若向量a ，b 满意|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________. 7．已知向量a ，b 满意|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a·b ＝________，若(a －mb )⊥a ，则实数m ＝________.8．设a 、b 、c 是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a·c 的值为________．9.（O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点.平面α内的动点P 满意),(AC AB OA OP ++=λ若λ＝12时，()⋅+PA PB PC 的值为______． 10．不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．11．已知平面对量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R.(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.12．向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，向量b ＝(cos 68°，cos 22°)．(1)求a·b ；(2)若向量b 与向量m 共线，u ＝a ＋m ，求u 的模的最小值．第四部分：平面对量应用举例一．基础学问 自主学习1．向量在平面几何中的应用平面对量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相像、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相像问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔ ⇔ .(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔ ⇔ .(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)．2．平面对量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是 ，它们的分解与合成与向量的 相像，可以用向量的学问来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F ·s ＝|F ||s|cos θ (θ为F 与s 的夹角)．3．平面对量与其他数学学问的交汇平面对量作为一种运算工具，常常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等学问结合，当平面对量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面对量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．二．难点正本 疑点清源1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要留意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．2．要留意变换思维方式，能从不同角度看问题，要擅长应用向量的有关性质解题．三．基础自测1．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)．则D 点的坐标为________．2．已知平面对量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．3．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为_______________．4．已知A 、B 是以C 为圆心，半径为5的圆上两点，且|AB |＝5，CB AC ·等于 ( ) A ．－52 B.52 C ．0 D.5325．某人先位移向量a ：“向东走3 km”，接着再位移向量b ：“向北走3 km”，则a ＋b 表示 ( )A ．向东南走3 2 kmB ．向东北走3 2 kmC ．向东南走3 3 kmD ．向东北走3 3 km四．题型分类 深度剖析题型一 向量在平面几何中的应用例1 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 为BC 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .变式训练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线 的长；(2)设实数t 满意(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．题型二 平面对量在解析几何中的应用例2 已知点P （0，-3），点A 在x 轴上，点M 满意⋅PA AM =0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．变式训练2 已知圆C ：(x -3)2+(y -3)2=4及点A （1,1），M 是圆上的随意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA ＝2AN →，求点N 的轨迹方程．题型三 平面对量与三角函数例3 已知向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，sin x )，c ＝(－1,0)．(1)若x ＝π3，求向量a 与c 的夹角； (2)若x ∈⎣⎡⎦⎤－3π8，π4，求函数f (x )＝a·b 的最值； (3)函数f (x )的图象可以由函数y ＝22sin 2x (x ∈R)的图象经过怎样的变换得到？变式训练3 已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)．(1)若AC ·BC ＝－1，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值；(2) 若|OA +OC |＝13，且α∈(0，π)，求OB →与OC 的夹角．五．易错警示9．忽视对直角位置的探讨致误试题：已知平面上三点A 、B 、C ，向量BC ＝(2－k,3)，AC ＝(2,4)．(1) 若三点A 、B 、C 不能构成三角形，求实数k 应满意的条件；(2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值．六．思想方法 感悟提高方法与技巧1． 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合供应了前提，运用向量的有关学问可以解决某些函数问题．2． 以向量为载体，求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3． 有关线段的长度或相等，可以用向量的线性运算与向量的模．4．用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，探讨几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．5．向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，须要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决．失误与防范1．向量关系与几何关系并不完全相同，要留意区分．例如：向量AB ∥CD →并不能说明AB ∥CD .2．加强平面对量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思索问题．七．课后练习1．已知△ABC AC AB =,则肯定有( )A ．AB ⊥AC B ．AB =ACC ．(AB +AC )⊥(AB -AC )D ．AB +AC =AB -AC2．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设起先时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后质点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)3.平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(2)()0+-⋅-=DB DC DA AB AC ，则△ABC 的形态是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ,AB =2,AC =3,BC =7,则⋅AO BC 等于( )A.32B.52C ．2D ．35．平面上O 、A 、B 三点不共线，设b a ==OB OA ,，则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 6．已知|a|＝3，|b|＝2，〈a ，b 〉＝60°，则|2a ＋b|＝________.7．河水的流速为2 m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．8.已知△ABO 三顶点的坐标为A (1,0),B (0,2),O (0,0),P (x,y )是坐标平面内一点，且满意AP ·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB 的最小值为________．9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB ·AC ＝1⋅=BA BC ，那么c ＝________. 10.如右图，在Rt △ABC 中，已知BC =a,若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问PQ 与BC →的夹角θ取何值时BP →·CQ的值最大？并求出这个最大值．11．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若BC BA AC AB ··=＝k (k ∈R)．(1)推断△ABC 的形态；(2)若c ＝2，求k 的值．。
(完整版)中职数学平面向量复习
复习模块：平面向量一 、知识点（1）平面向量的概念及线性运算平面向量两要素：大小,方向。
零向量：记作0，手写时记做0，方向不确定。
单位向量：模为1的向量。
平行的向量（共线向量）：方向相同或相反的两个非零向量，记作a //b 。
规定：零向量与任何一个向量平行。
相等向量：模相等,方向相同，记作a = b 。
负向量:与非零向量a 的模相等,方向相反的向量，记作-a 。
规定：零向量的负向量仍为零向量。
向量加法的三角形法则：如图1,作AB =a ， BC =b ,则向量AC 记作a＋b ，即 ，和向量的起点是向量a 的起点，终点是向量b 的终点．向量加法的平行四边形法则：如图2，在平行四边形ABCD 中，AB ＋AD =AB ＋BC =AC , AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．平行四边形法则不适用于共线向量。
向量的加法具有以下的性质：（1）a ＋0 = 0＋a = a ; a ＋（−a ）= 0;（2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c )．向量的减法：起点相同的两个不共线向量a 、 b ，a 与b 的差运算的结果仍然是向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a 的终点．如图3。
a −b =a+(−b ），设a =OA ，b =OB ，向量的数乘运算:数与向量的乘法运算。
一般地,实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ,它的模为， 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a的方向相反．共线向量充要条件：对于非零向量a 、b ，当0λ≠一般地，有 0a = a Aa -b Bb O 图3 图1A CBa ba +b a b 图2 C B0, λ0 = 0 .线性组合：一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ,b 线性表示．（2）平面向量的坐标表示设点1122(,)(,)A x y B x y ， ,则起点为11(,)A x y ，终点为22(,)B x y 的向量坐标为2121()=--AB x x y y ，． 设平面直角坐标系中,11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则由此得到，对非零向量a 、 b ,设1122(,),(,),a b ==xy x y当0≠λ时（3）平面向量的内积向量a 与向量b 的夹角，记作<a ，b>. []o o b a 180,0,>∈<内积的定义：两个向量a ，b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．记作a ·b ，结论：（1）cos<a ,b >＝||||⋅a b a b 。
高中数学复习专题平面向量
．
（ 4） ( AB MB ) + ( BO BC ) + OM =__________
3．已知平面内三点 A（ -1 ，0），B（ x，6），P（3，4），且 AP = PB ，x 和 的值分别为 ( )
A． -7 ，2
B
． 5， 2 C ． -7 ， 2
D
． 5， 2
5
5
4、向量 a ， b 满足 a 6 ， b 10，则 a b 的取值范围是
A ． 1 B ．-1 C ． 0 D ． -2
13．已知 a (1,2), b (1,1) ，且 a 与 a b 的夹角为锐角，则实数
为_____________________
的取值范围
14、 ABC 的三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，已知 sin B 1，向量 p (a， b) ，
2、向量的模： a ＝ a a ＝ x 2 y2 ；
非零向量 a 与 b 的夹角： cos
ab | a || b |
x1 x 2 y1 y2
2
2
2
2
x1 y1 x2 y2
3、向量平行： a ∥ b a b x1 y2 x2 y1 ；
向量垂直： a ⊥ b a b 0 x1 x2 y1 y2 0
4、中点坐标公式：
13
、
5 且
3
15、（ 1）设 P（ x， y），则（ x,y） =(3t+1,3t+2)
2
1
t
时， P 在 x 轴上； t
时， P 在 y 轴上；
3
3
0 ； 14 、 A
3t 1 0
当 P 在第二象限时，
平面向量复习
平面向量复习知识点提要一、向量的概念1、既有_________又有_________的量叫做向量。
用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的_________，有向线段的箭头所指的方向表示向量的_________2、_______________叫做单位向量__________3、_________的_________向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做_________。
零向量与任一向量平行4、_________且_________的向量叫做相等向量5、_______________叫做相反向量__________二、向量的表示方法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法三、向量的加减法及其坐标运算四、实数与向量的乘积定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ五、平面向量根本定理如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 ,其中e1，e2叫基底六、向量共线/平行的充要条件七、非零向量垂直的充要条件八、线段的定比分点设21,p p 是l 上的 两点，P 是上l _________的任意一点，那么存在实数λ，使_______________，那么λ为点P 分有向线段12p p 所成的比，同时，称P 为有向线段12p p 的定比分点定比分点坐标公式及向量式九、平面向量的数量积(1)设两个非零向量a 和b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，那么∠AOB ＝θ叫a 与b 的夹角，其范围是[0，π]，|b|cos θ叫b 在a 上的投影(2)|a||b|cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a||b|cos θ(3)平面向量的数量积的坐标表示十、平移典例解读1、给出以下命题：①假设|a|=|b|，那么a=b ；②假设A ，B ，C ，D 是不共线的四点，那么AB= DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③假设a=b,b=c ，那么a=c ；④a=b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ；⑤假设a ∥b,b ∥c ，那么a ∥c 其中，正确命题的序号是______2、a,b 方向相同，且|a|=3，|b|=7，那么|2a-b|=____3、假设将向量a ＝〔2，1〕绕原点按逆时针方向旋转 得到向量b ，那么向量b 的坐标为_____4、以下算式中不正确的选项是( )(A) AB+BC+CA=0 (B) AB-AC=BC(C) 0·AB=0 (D)λ(μa)=(λμ)a5、假设向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，那么c=( )6、函数y=x2的图象按向量a=(2,1)平移后得到的图象的函数表达式为( )(A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1 (C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+17、平面直角坐标系中，O为坐标原点，两点A(3，1)，B(-1，3)，假设点C满足OC=αOA+βOB，其中a、β∈R，且α+β=1,那么点C的轨迹方程为( )(A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5(C)2x-y=0 (D)x+2y-5=08、设P、Q是四边形ABCD对角线AC、BD中点，BC=a,DA=b，那么 PQ=_________9、A(5,-1) B(-1,7) C(1,2)，求△ABC中∠A平分线长10、假设向量a、b的坐标满足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，那么a·b等于( )(A)-5 (B)5 (C)7 (D)-111、假设a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，那么( )(A)(a)2·(b)2=(a·b)2 (B)|a+b|＞|a-b|(C)(a·b)·c-(b·c)·a与b垂直(D)(a·b)·c-(b·c)·a=012、设a=(1,0),b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，那么实数λ的值是( )(A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/216、利用向量证明：△ABC中，M为BC的中点，那么 AB2+AC2=2(AM2+MB2)17、在三角形ABC中， =〔2，3〕， =〔1，k〕，且三角形ABC的一个内角为直角，求实数k的值18、△ABC中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1)，BC边上的高为AD，求点D和向量。
平面向量专题复习
平面向量专题复习考点一、平面向量的概念，线性表示及共线定理题型一、平面向量的概念1．给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3题型二、平面向量的线性表示1．(2014·新 课 标 全 国 卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )A ．AD B.12AD C ．BC D.12BC 2．(2013·江 苏 高 考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3．(2015·聊 城 二 模 )在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c 4．若典例2条件变为：若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.题型三、平面向量共线定理典题：设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2，AF ＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．[变式1] 在本例条件下，试确定实数k ，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线．考点二、平面向量基本定理及其坐标表示题型一、平面向量基本定理及其应用1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与e 1－e 2 D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .题型二、平面向量的坐标表示1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2)2．(2015·昆 明一 中 摸 底 )已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．题型三、平面向量共线的坐标表示典题：平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[题点发散1] 在本例条件下，若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d .[题点发散2] 在本例条件下，若m a ＋n b 与a －2b 共线，求m n 的值．[题点发散3] 若本例条件变为：已知A (3,2)，B (－1,2)，C (4,1)，判断A ，B ，C 三点能能否共线考点三、平面向量的数积、模长、夹角题型一、平面向量的数量积1．(2015·云 南 统 一检 测 )设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12 C.32 D.522.(2013·湖 北 高 考 )已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－31523．(2014·重 庆 高 考 )已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.4．(2015·东 北 三 校 联 考 )已知正方形ABCD 的边长为2，DE ＝2EC ，DF ＝12(DC＋DB )，则BE ·DF ＝________.题型二、平面向量的模长1．已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB ＝2a ＋2b ，AC ＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．82．(2014·北 京 高 考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.题型三：平面向量的夹角1．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π62．(2014·江 西 高 考 )已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.3．在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________________．4．(2014·重 庆 高 考 )已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152。
平面向量全章复习
平面向量全章复习推论及公式：● 设a =（x ，y ），则a 2=x 2+y 2，即|a |=x 2+y 2． ● 两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式为AB = ()()221212x x y y -+-．● a =(x 1,y 1)，b = (x 2,y 2)，它们的夹角为θ，则有121222221122cos x x y y x y x y θ+==+⋅+a b a b●0⊥⇔=a b a b 1212x x y y ⇔+=0．二．典型例题分析例1. 在四边形ABCD 中, 已知AD AB AC +=, 试判断四边形ABCD 是什么样的四边形?例2. 化简：（1）AB BC CD ++=______；（2）AB AD DC --=_____；（3）()()AB CD AC BD ---=_____． 例3. 若AB =3e 1,CD =－5e 1,且|AD |=|BC |，判断四边形ABCD 的形状． 例4. 若112()(3)032x a b c x b --+-+=，则x =__________．例5. 已知向量a 、b 不共线，实数x 、y 满足向量等式3x a +(10－y )b =2x b +(4y +4)a ,则x =_____________,y =_____________．例6. 向量(1,1)a =，且与b a 2+的方向相同，则b a⋅的取值范围是 ),1(+∞-． 例7. 已知OA =(-1，2)，OB =(3，m )，若OA ⊥OB ，则m 的值为__________．例8. 已知||1,||2,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内，且045AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则mn等于__________. 例9. 已知向量),2,1(),1,3(-=-=b a 则b a 23--的坐标是_____．例10. 已知平面内三点AC BA x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为_______．例11. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标．例12. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直，求实数k 的值．例13. 已知|p |=22，|q |=3，p 、q 的夹角为45°，求以a =5p +2q ，b =p －3q 为邻边的平行四边形过a 、b 起点的对角线长．例14. 设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（,0)()2=-⋅-+AC AB DA DC DB 试判断△ABC 的形状．例15. 已知|a |=3 ，|b |=4， (且a 与b 不共线)， 当且仅当k 为何值时， 向量a +k b 与a －k b 互相垂直?例16. 已知向量a 、b 满足b b a b a a 求，5,53=-=+=． 例17. 若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=________． 例18. △ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB ______（答：－9）例19. 已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：12）； 例20. 已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______（答：4）；例21. 已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD 的坐标．例22. 已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角． 例23. 设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a =，，2(11)b a -=-，，则cos θ=_______．(31010)例24. 设向量(3,1),(1,2O A O B ==-，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求,OD OA OC OD +=时的坐标．例25. 已知13(3,1),(,),22a b =-=若存在不为零的实数k 和角α，使得()sin 3,sin c a b d ka b αα=+-=-+⋅，且c d ⊥，试求实数k 的取值范围．例26. 已知M ＝(1+cos2x ，1)，N ＝(1，3sin2x +a )(x ，a ∈R ，a 是常数)，且y =OM ·ON (O 是坐标原点)⑴求y 关于x 的函数关系式y =f (x )；⑵若x ∈[0，2π]，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图象可由y =2sin(x +6π)的图象经过怎样的变换而得到． 例27. 已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2）。
平面向量专题复习练习(含解析)【最新】
14．已知 与 垂直，则实数 的值为（）
A．1B． C．2D．
15．已知平面向量 ， 满足 ， ，且 ，则 （）
A．3B． C． D．5
16．已知向量 ，则向量 在向量 方向上的投影为（）
A． B． C． D．
17．已知 ， ， =1，则向量 在 方向上的投影是（）
A． B． C． D．1
2．下列命题正确的是（）
A．单位向量都相等B．若 与 共线， 与 共线，则 与 共线
C．若 ，则 D．若 与 都是单位向量，则
3．在 中，点O满足 ，则 与 的面积比为（）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，且 ，则 （）
A． B． C． D．
5．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
6、如图， ， ， ， ，若m= ，那么n=（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ ，故C为线段AB的中点，
故 = =2 ，∴ = ，
由 ， ，
∴ ， ，
∴ = ，
∵M，P，N三点共线，故 =1，当m= 时，n= ，故选：C
7、若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c等于()
平面向量专题复习
一、基本概念与定理
1、定义：既有大小又有方向的量；向量的大小叫作向量的长度(或称模)
2、单位向量：长度等于1个单位的向量（与 同方向的单位向量为 ）
3、零向量：长度为零的向量；其方向是任意的
4、平行、共线向量：同向或反向
5、相等向量：长度相等且方向相同的向量
6、相反向量：长度相等且方向相反的向量
高频考点探究平面向量专题复习
②是 对的， 因为ｂ 和ｃ 不共线 ， 所 以可
以作 为 一组基 底 来表 示 平 面 内任 一 向量 ：
懈
归纳
苣， 所 以 会
解 决向 量 的 坐标运 算 问题 ， 关
③是错的， 如图（ ２ ） ， 作
，
， 商 ，
键 是 掌 握 线 性 运 算 法 则 及 坐 标 运 算 的 特
００辅 导 ｆ ｉ 数 Ｓ Ｈ 学 Ｕ － Ｘ Ｕ Ｅ
数学
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平面向量ｉ 形于—体 ， 具在
高频考点探究 平 面向量专题 复习
平 面 向■的 慨 念 、性 质 和
计算
例７ （ ２ ｏ １ ３ 广东卷 ） 设口 是 已知 的
平 面 向量 且ａ ≠０ ， 关 于 向量ａ 的分 解 ， 有 如
— — — —
道 选择 题
④ 给 定正 数Ａ 和 ，总存 在 单 位 向量ｂ 和 单
位 向量Ｃ ， 使ａ ＝ Ａ ｂ ＋ ｔ ｚ ｃ ．上述 命 题 中的 向量
６ ， ｃ 和口 在 同一平 面 内且 两 两不 共 线 ， 则 真
一
题， 或者在三霹 析几何 的 解答
用 向量的 概念 算进行美丽的ｔ
和计算 例３ （ ２ ０ １ ３ 湖北卷 ） 已知点
Ａ（ 一 ｌ ， １ ） ， Ｂ（ １ ， ２ ） ， Ｃ （ ＿ ２ ， － １ ） ， Ｄ（ ３ ， ４ ） ， 则 向 量 在 方 向 上 的 投 影 为 （ ）
Ａ ２ Ｒ ２
ｆ ６ ａ Ｉ ＿ １ － ０ ， ｂ Ｅ ． ＼ ／
向 量ａ的 模 进 行 平 方 转 化 ： 利 用 数 量
题 目中 未知 的向 量 用 已知 的 向量 表
高中数学平面向量专题复习(含例题练习)
平面向量专题复习一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如：2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如例1：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//ab bc ，则//a c 。
其中正确的是_______二、向量的表示1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
平面向量专题复习(含答案)
平面向量专题复习（含答案）1．若向量a =（1，1），b =（1，-1），c =（-1，2），则c 等于（ ）A ．b a 2321+-B ．b a 2321-C ．b a 2123-D ．b a 2123+-2．若取两个互相垂直的单位向量 i ， j 为基底, 且已知 a = 3i + 2j , b = i - 3j , 则5a 与3b 的数量积等于（ ）A ．–45 B ．45 C ．–1 D ．13． O 是ΔABC 所在的平面内的一点，且满足（OB -OC ）·（OB +OC -2OA ）=0，则ΔABC 的形状一定为（ ）A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．斜三角形 4．下面的四个命题：①||||||b a b a =⋅；②222)(b a b a ⋅=⋅；③若c a b a c b a ⋅=⋅-⊥则)(； ④若||||0b a b a b a -=+=⋅则。
其中真命题是（ ）A ．①② B ．③④C ．①③D ．②④ 5．将抛物线742++=x x y 的图象按向量a 平移，使其顶点与坐标原点重合，则a =（ ）A ．（2，-3）B ．（-2，-3）C ．（-2，3）D ．（2，3）6．下列四个命题，其中正确的个数有（ ）①对于实数m 和向量b m a m b a m b a -=-)(,,恒有；②对于实数m, n 和向量a n a m a n m a -=-)(,恒有； ③若b a R m b m a m =∈=则有),(。
④若n m a R n m a n a m =≠∈=则有,0,,(。
A ．1个B ．2个 C ．3个D ．4个 7．已知12,5||,3||=⋅==b a b a 且，则向量a 在向量b 上的投影为（ ） A ．512B ． 3C ．4D ．58．已知向量OM =（3，-2），ON =（-5，-1），则MN 21等于（ ）A ．（8，1）B ．（-8，1）C ．（4，-21）D ．（-4，21） 9．已知|p |=22，|q |=3，p ，q 的夹角为4π，则以a =5p +2q ，b =p -3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15 B ．15 C ．14 D ．1610．设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a =3e 1+2e 2，b =-3e 1+4e 2，则a ·b 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-211．若|a |=|b |=1，a ⊥b 且2a +3b 与k a -4b 也互相垂直，则实数k 的值为（ ） A ．-6 B ．6 C ．-3 D ．3 12．设a 、b 、c 为平面向量，下面的命题中：①a ·（b -c ）=a ·b -a ·c ；②（a ·b ）·c =a ·(b ·c )；③（a -b ）2=|a |2-2|a |·|b |+|b |2； ④若a ·b =0，则a=0或b=0。
平面向量单元复习
O为坐标原点, 若OA与OB在OC上的投影相同, 则a与b满足
的关系式为
( A)
A.4a 5b 3 B.5a 4b 3 C.4a 5b 14 D.5a 4b 12
(2004浙江) 已知平面上三点A,B,C满足 AB 3, BC 4,
(D)②④
2.已知一物体在共点力 F1 (lg 2,lg 2), F2 (lg5,lg 2) 的作用下产
生位移 S (2lg5,1)，则这两个共点力对物体做的功W 为（ D ）
（A）
3.若 a
lg 2 （B） lg 5 （C）1
＝（2,3）, b ＝(－4,7),则 a 在
b
方向（上D的）投2 影是__65_5__.
CA 5,则AB BC BCCA CA AB的值为____2_5____.
C 2.(2007浙江) 若非零向量a,b满足 a b b ,则 (
)
A. 2a 2a b B. 2a 2a b
C. 2b a 2b D. 2b a 2b
(2006浙江) 设向量a,b,c满足a b c 0，a b c, a b,
② a b a b 0 (垂直的判断);
③ cos a b (求角度)。
ab
以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、 长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.
三、数量积的坐标运算
12..记 几个 a 重(x要1, 结 y1)论 ,b: (x2, y2 ) ,则 a · b =x1x2+y1y2
⑷ cos a,b x1x2 y1y2 x12 y12 x22 y22
2.平面向量的坐标运算
高中数学平面向量专题复习(知识要点+六大考试题型详解)
平面向量六大题型知识点：1．向量的有关概念（1）定义：即有大小，又有方向的量叫做向量． （2）表示：a AB(,)OA x y =2121(,)AB x x y y =--（3）向量的长度（模）：a 或AB 的模记作||a 或||AB ． （4）几种特殊向量： 定义备注0，方向任意||aa 即为单位向量记为ab ∥，规定0与任意向量共线a b =，相等一定平行，平行不一定相等a b =-，AB BA =-2．向量的运算 运算几何表示字母表示坐标表示加法a b AB BC AC +=+=三角形法则 类比“位移之和”首尾相连，首位连11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y +=++a b AB AD AC +=+= 平行四边形法则 类比“力的合成” 共起点，对角线减法a b AB AC CB -=-= 共起点，后指前11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y -=--数乘长度变为||λ倍0λ>，方向相同0λ<，方向相反 0λ=，0a λ=11(,)a x y =12(,)a x x λλλ=数量积||||cos a b a b θ⋅=11(,)a x y =，22(,)b x y =1212a b x x y y ⋅=+3．其他概念（1）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+，我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）投影：||cos (||cos )a b θθ叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．常用投影计算公式：||cos ||||||a b a a a b θ⋅==||a bb ⋅． （3）向量不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+（等号在向量a ，b 共线时取得）．4．重要结论ABC 中，的中点ABC 的重心(1)PC PA PB λλ=+-1()2AD AB AC =+GB GC ++5．常用性质设向量a 与b 夹角为θ，11(,)a x y =，22(,)b x y =．a b λ= ||||cos 0a b a b θ⋅==12a b x x ⋅=+2||a a = 21||a x y =+cos ||||a ba b θ⋅=122211cos x x x yθ+=+重要考试题型：题型一：向量概念1给出如下命题： ①若||||a b =，则a b =；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是||||a b =且a b ∥； ⑤若a b ∥，b c ∥，则a c ∥． 其中正确的命题的序号是______．解析：①两向量模相等，方向不一定相同，所以a b =不正确；②AB DC =说明AB 和DC 两条边即平行又相等，可以推出四边形为平行四边形，反之也成立，是充要条件，正确；③两个向量相等说明它们大小相等，方向相同，故满足此条件的都是相等向量，正确； ④两向量模相等，且平行，不能说明它们方向相同，故错误；⑤若0b =，根据0与任意向量平行的性质，则a b ∥且b c ∥，但a 与c 之间不一定平行，不排除0时，向量之间没有平行的传递性，故错误；主要考察向量定义，表示、以及特殊向量，属于基础题型，需要注意的是： （1）向量二要素（大小、方向）（2）加模后变为实数，去掉了方向的要素，可以比较大小 （3）0与任意向量共线（没有平行传递性） （4）共线向量方向相同或相反 （5）相反向量长度相等AD BC =；AB DC =且||||AB AD =．AD BC =说明AD 和BC 两条边相等且平行，所以为平行四边形；AB DC =说明AB 和DC 相等且平行，为平行四边形，|||AB AD =说明两临边相等，为菱形．答案：（1）平行四边形 （2给出如下命题：①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有公共起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；AB 与向量CD 是共线向量，则点其中正确的命题个数是（ B ．2 C ．3AB 和BA 长度相等，方向相反，正确；②当为零向量时，不满足条件，错误；③起点相同，长度和方向也相同，终点一定相同，正确；④终点相同，起点未必相同，不一定是共线向量，错误；⑤共线向量即平行向量，它们的起点和终点不一定在同一直线上，错误；答案：C题型二：向量四则运算1如图：正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ ） A ．0 B ．BE C ．AD D ．CF解析：由于BA DE =，故BA CD EF CD DE EF CF ++=++=． 答案：D2根如图所示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA =a ，BC =b ，试用a ，b 将向量OE ，BF ，BD ，FD 表示出来.解析：OE BO a b ==+；2BF BA AF BA BO a b =+=+=+；2BD BC CD BC BO a b =+=+=+；FD AC BC BA b a ==-=-．答案： a b +，2a b +，2a b +，b a -3AB AC BC --=（ ）A ．2BCB ．0C ．2BC -D ．2AC主要考察向量的加法、减法、数乘、数量积四种运算法则，包含纯字母运算、纯坐标运算、字母结合图形运算、坐标结合图形运算等形式，属于基础题型，需要注意： （1）向量没有位置概念，相等向量的有向线段等价 （2）熟练掌握加减法的口诀，可以直接计算的就不必画图 （3）注意数形结合思想的运用，加减法的对角线性质 （4）字母运算和坐标运算自成一体，也可相互转化AC AB BD CD --+=（ A ．0 B ．DA BC AB 0AC AB BD CD BC BD CD DC CD --+=-+=+=． A OA OC OB CO --+-=_____．解析：原式等于 ()()OB OA CO CO AB -+-=． AB如图，D ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ） A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+= C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=AD FE =，BE EC =，则0AD BE CF FE EC CF ++=++=，A 正确．A在ABCD 中，BC CD BA -+=（ ） A ．BC B ．AD C ．AB D ．AC在平行四边形中，BA 和CD 是相反向，则0CD BA -+=，故0BC BC +=．答案：A8若O 是ABC 所在平面内一点，且满足||2|OB OC OB OC OA -=+-，则的形状为_______．2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，ABC为直角三角(2,4)a=，(1,1)b=-，则a b-=（）B．(5,9)．(3,7)D(4,8)(1,1)(5,7)a b-=--=．已知四边形ABCD2BC AD=，则顶点D的坐标为（(,AD x=2(24)(4,3)BC AD x y==-=，即72y=．(1,3)a=-，(2,4)b=-，若表示向量a，32b a-，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（1)-．(1,1)-4,6)D．(4,6)-(,)c x y=，能构成三角432230a b a c a b c+-+=++=，即2,4)(,6)(6,12)(4,6)(0,0)x y x y-+-+--++=，即40x-+=，，解得4x=，(2,3)BA=(4,7)CA=BC=（2,4)-B．(3,4)C．(6,10)(4,7)AC=--，(2,3)(4,BC BA AC=+=+-ABC 中，|5BC =，|8CA =，BC CA ⋅．解析：设BC 和CA 的夹角为θ，则120θ=︒，因为||5BC =，|8CA =，则||||cos 58cos120BC CA BC CA θ⋅==⨯答案：20-14已知a ，b 为单位向量，其夹角为)a b b -⋅=（ ） A ．1- B D ．2 221)22||||cos60||2102a b b a b b a b b -⋅=⋅-=︒-=⨯-=．已知两个单位向量a ，b 夹角为60︒，(1)c ta t b =+-，若0b c ⋅=，则2(1)cos6010b c ta b t b t t ⋅=⋅+-=︒+-=，解得2t =． 2设(1,2)a =-，(3,4)b =-，(3,2)c =，则(2)a b c +⋅=（ ） A ．(15,12)- B ．0 C ． D ．11- 2(1,2)2(3,4)5,6)a b +=-+-=-，(2)(5,6)(3,2)a b c +⋅=-⋅C已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为3π，若向量1122b e e =-，21234b e e =+，则12b b ⋅=______．2212121211221(2)(34)32832862b b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=-⋅-=-⨯-=-． 6-题型三：平面向量基本定理1在ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，M 为BC 的中点，则MN =_____．解析：33()44AN AC a b ==+，1122AM AB BM AB AD a b =+=+=+， 所以1144MN AN AM a b =-=-+．答案：1144a b -+2如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM c =，AN d =，试用c ，d 表示AB ，AD ．解析：设AB a =，AD b =，则1212c AM AD DM b a d AN AB BN a b⎧==+=+⎪⎪⎨⎪==+=+⎪⎩，解得2(2)32(2)3a d c b c d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以4233AB d c =-，4233AD c d =-． 答案：4233AB d c =-，4233AD c d =-主要考察用两个不共线向量表示一个向量，即12a e e λμ=+，大部分是围绕求基底的系数出题，属简单题型，但考查方式较为灵活，需要注意：（1）有些目标向量用已知基底不太好构造，可以用相对熟悉的基底（例如平行四边形的临边）来表示已知基底，再用熟悉的基底来表示目标向量（2）有些题目会用到几何图形比例问题，注意观察图形中的三角形相似 （3）在求一些长度问题时，可能会用到解三角形内容在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB CD =，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=______．2AB AN NB AN CN AN CA AN AN CM MA =+=+=++=++=14AN AB AM --，所以8455AB AN AM =-，即45λ=-，85μ=，故λ+答案：454在ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ A ．2133b c + B ．5233c b - C ．13b c - D ．1233b c + 22221()()()33333AD AB BD AB BC AB AC AB c b c b c =+=+=+-=+-=+．答案：A在平行四边形ABCD 中，AC 与DB 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 延长线与CD 交于F ，若AC a =，BD b =，则AF =（ ） A ．1142a b + B ．2133a b +C ．1124a b + D ．1233a b +AD AB aAD AB b+=-=，解得1()2AD a b =+，1()2AB a b =-，EDFEBA ，DE 13=，故11121()()23233AF AD DF a b a b a b =+=++⨯-=+．B如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，OA 与OB 夹角为120︒，OA 与OC 夹角为30︒，且||||1OA OB ==，||23OC =，若OC OA OB λμ=+，则λμ+的值为_____．解析：作平行四边形ODCE ，则OC OD OE OA OB λμ=+=+，4cos30OCOD ==︒，2tan30OCOE ==︒，即4λ=，2μ=，6λμ+=． 答案：6(1,1)a =，(1,1)b =-，(4,2)c =，则c =（ ）a b + B ．3a b - C ．3a b + D ．3a b +(,)(,)(,)(4,2)c a b λμλλμμλμλμ=+=+-=-+=，所以4λμ-=，λ+3，1μ=-，则3c a b =-．如图：向量a b -=（ ） A ．1224e e -- B ．1242e e -- C ．123e e - D ．123e e -+解析：由图可知12()3a b a b e e -=+-=-+． 答案：D向量a b c ++可表示为（ ） A ．1232e e - B ．1233e e -- C ．1232e e + D ．1223e e +解析：a b c ++在图上画出来，可知1232a b c e e ++=+．答案：C10向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+，则λμ=______． 解析：如图所示建立平面直角坐标系，可得(1,1)a =--，(6,2)b =，(1,3)c =--，则(,)(6,2)c a b λμλλμμ=+=-+=(6,2)(1,3)μλλμ-+=--，解得2λ=-，12μ=-，则4λμ=． 答案：4题型四：共线、中点、重心问题1设1e ，2e 是不共线向量，若向量1235a e e =+与向量123b me e =-共线，则m 的值等于（ ）A ．95-B ．53-C ．35-D ．59-解析，a 与b 共线，则满足b a λ=，即12123(35)me e e e λ-=+，则335m λλ=⎧⎨-=⎩，解得95m =-．答案：A主要考察一些常用结论，即本学案知识点第4点的内容，属中下难度题型，再强调一下：（1）(0)a b a b b λ⇔=≠∥，1221x y x y =（2）(1),,PC PA PB A B C λλ=+-⇔三点共线，P A 和PB 系数和为0（3）D 为BC 中点，1()2AD AB AC =+，即平行四边形对角线的一半（4）G 为ABC 重心，0GA GB GC ++=a b λ+与(2)b a --共线((2))a b b a λμ+=--，即2a b a b λμμ+=-，12μλμ=⎧⎨=-⎩，解得λ答案：D3已知(1,0)a =，(2,1)b =，ka b -与2a b +共线；（23AB a b =+，BC a mb =+，且A 三点共线，求m 的值．1）(,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=--2(1,0)(4,2)(5,2)a b +=+=，两者共线，2)(1)5=-⨯，解得12k =-．，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即23()a b a mb λ+=+，则23=⎧⎨=⎩32m = (2,2)，(,0)B a ，(0,)C b (0)ab ≠共线，则1a b(AB a =-(2,AC =-AB AC ∥，2)(2)=-⨯，化简得2ab a -，得1112a b +=BC ，已知点(A -AB DC =，设D (8,8)AB =(8DC =-0=，2y =-，故．答案：(0,6已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）363AD AB BC CD a b AB =++=+=，所以AD AB ∥，A ，AABC 中，12AM AC =，29AD mAB AC =+，则m =______．12(1)(1)29AD AB AM AB AC mAB AC λλλλ=+-=+-=+，则12，则59m λ==．59设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB ，的中点，则EB FC +=（ ）A ．ADB ．12ADC ．BC D ．12BC 11()()()22EB FC BE CF BA BC CA CB AB AC AD +=-+=-+++=+=.A已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）AO OD = 2AO OD = 3AO OD = D ．2AO OD =是中点，则有2OB OC OD +=，原式变为220OA OD +=，即OA OD =-，故AO OD =．答案：A10设M 是ABC 所在平面上的一点，且33022MB MA MC ++=，D 是AC 中点，则||||MD BM 的值为（ A ．13 B ．12D ．23)232MA MC MD MD BM +=⋅==，即MD 与BM 共线，则||13||MD BM =．ABC 和点Ｍ满足0MA MB MC ++=，若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m =_____．解析：由0MA MB MC ++=可知M 为ABC 的重心，则2211[()]()3323AM AD AB AC AB AC ==+=+，即3AB AC AM +=，则3m =． 答案：312如图，在ABC 中，点O 是B C 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为______．1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，因为，O ，N 三点共线，m n2n =． 2在ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ ） ．23 3D ．23- 解析：因为A ，D ，13CD CA CB λ=+，则113λ+=，23λ=．三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，0pOA qOB rOC ++= ，0pOA qOB rOC ++=变形得q rOA OB OC p p=--，因，B ，C 三点共线，则有0=，化简得p q r ++=答案：015已知点G 是ABC 的重心，点P 是GBC 内一点，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的取值范围是（ ）A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2D ．(1,2)解析：P 是GBC 内一点，则1λμ+<，当且仅当P 在线段BC 上时，λμ+最大等于1，当P 和G 重合时，λμ+最小，此时1()3AP AG AB AC ==+，即23λμ+=，故213λμ<+<． 答案：B 16在ABC 中，2AB =，3AC =，D 是边B C 的中点，则AD BC ⋅=______．解析：1()2AD AB AC =+，BC AC AB =-，则221()2AD BC AC AB ⋅=-15(94)22=-=．答案：52题型五：面积比问题1在ABC 所在平面内有一点P ，如果2PA PC AB PB +=-，那么PBC 与ABC 的面积之比是（ ） A ．34 B ．12 C ．13D ．23 主要考察用向量性质来研究三角形的关系，掌握了原理后较为简单，大体有3种形式：（1）高相同，底不同，向量线性计算得出底的比例关系（2）高不同，底相同，高的比转换为相似三角形的比，再转化为向量基底的长度比 （3）三角形店内一点与三个顶点的连线把三角形分成三个小三角，它们的面积比问题，把题目给出的向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比解析：2PA PC AB PB +=-化简可得3PC AP =，即P 在AC 上，两个三角形高相等，则34S PBC PC S ABC AC ==．答案：A如图，设P ，Q 为ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+，2134AQ AB AC =+，则ABP 与ABQ 的面积之比为______．解析：如图作辅助线，EF ，GH 分别为两个三角形的高，15AE AC =，14AG AC =，则45S ABP EF AE S ABQ GH AG ===．答案：45已知O 是正三角形ABC 内部一点，230OA OB OC ++=，则OAC 与OAB 的面23 D ．13解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则OAC 与OAB 的面积比为2:3． 答案：BABC 内一点且满足320PA PB PC ++=，则PBC ，PAC ，PAB 的面积比为（ ）4:3:2 2:3:4 C ．1:1:1 D ．3:4:6 解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则面积比为4:3:2． 答案：A题型六：垂直、求模、求角、投影问题1已知向量(,3)a k =，(1,4)b =，(2,1)c =，且(23)a b c -⊥，则k =（ ） A ．92- B ．0 C ．3 D ．152解析：23(2,6)(3,12)(23,6)a b k k -=-=--，由题意知(23)0a b c -⋅=，则(23,6)(2,1)2(23)60k k --⋅=--=，解得3k =．答案：C2设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：由||10a b +=两边平方得22210a b a b ++⋅=，由||6a b -=两边平方得2226a b a b +-⋅=，两式相减得1a b ⋅=．答案：A 3已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为主要考察数量积的性质，即本学案知识点第5点的内容，利用数量积的字母公式或坐标公式进行带入计算，由于是本章最后一节，题目融合程度可以比较高，需要记住一些常见题型和结论，大量的练习，高考出题大部分是考察这里，题目难度较低，但也可以出一些中等难度题型，需要注意的是：（1）两个向量的夹角一定要看准，向量的夹角不是线段的夹角，是方向的夹角 （2）0a b a b ⊥⇔⋅=，此乃五星级考点（3）求模公式2||a a =和2211||a x y =+一定要熟练运用，给你带模的条件很多时候都需要平方后再使用（4）求角公式就是数量积公式反过来用 （5）投影有简化公式||a bb ⋅，考察方式比较多样，涉及数量积最值的投影问题，通常需要作图来看，数形结合22222)()21226a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-⨯+⋅=-，解1a b ⋅=，11cos 122||||a b a b ⋅==⨯，3πθ=．答案：3π4已知点1,1)-，(1,2)B AB 在CD 方向上的投影为(2,1)AB =(5,5)CD = ，||52CD =10510||||552AB CD AB CD ⋅+==⨯ ，投影为3103|cos 510AB θ⨯=322如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP =，则AP AC ⋅=_____．22||||cos AP AC AP AO AP AO ⋅=⋅=∠Rt APO 中，|cos ||AO PAC AP ∠=，所以22||218AP AC AP ⋅==⨯．答案：186在平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=为CD 的中点，1AC BE ⋅=，则AB 的长为_____．AB a =，AD b =，AC a b =+，12BE b a=-，222111111()()||||11222222AC BE a b b a a b a b a a ⋅=+⋅-=⋅-+=⨯-+=，解得||0()a =舍去或1||2=a ．答案：127已知1e ，2e 是夹角为2π的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+，若a ⋅则实数k 的值为______a ，b 不共线，且|||a b =，则下列结论中正确的是（a b +与a b -垂直 B ．a b +与a b -共线 a b +与a 垂直 D ．a b +与a 共线|||a b =可得22||||a b =，即2222||||()()0a b a b a b a b -=-=+⋅-=，A 项很明显都不正确．答案：A 设向量a ，b 满足||||1a b ==，12a b ⋅=-，则|2|a b +=（ ） B ．3 C ．5 D ．72222|(2)441423a b a b a b a b +=+=++⋅=+-=．B若(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=，则||AB =______解析：设||(,)OB x y =，由两个条件可知2221330x y x y ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩，解得(3,1)(3,OB =-或，则(2,4)2)AB OB OA =-=-或，22||=AB 答案：2511设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（ ）A ．B ．2C ．3D ．5解析：条件中两式分别平方得22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得4a b ⋅=，1a b ⋅=．答案：Aa b ∥ a b ⊥ |||a b = a b a b +=-解析：法一：根据向量加法和减法法则，||a b +和||a b -分别代表以a ，b 为临边的平行四边形的对角线长度，两对角线长度一样，说明四边形为矩形．故有a b ⊥；可得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即40a b ⋅=，则a b ⊥．(2,4)a =，(1,2)b =-，若()c a a b b =-⋅，则||c =_____． ()(2,4)(28)(1,2)(8,8)c a a b b =-⋅=--+-=-，22||8(8)82c =+-=．82(,1)a x =，(1,)b y =，(2,4)c =-a c ⊥，b c ∥，则||a b +=（ A ．5 B ．10 ．25 D ．10a c ⊥，则240a c x ⋅=-=，得2x =，bc ∥，则42y -=，(2,1)(1,2)(3,1)a b +=+-=-，故|9110a b +=+=．答案：B15已知(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λA ．4- ．3- C ．2- D ．1-(2m n λ+=+(1,m n -=--()()(2m n m n λ+⋅-=-．B单位向量1e 与2e 的夹角为α，且13=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹，则cos β=_____1212(32)(3)8a b e e e e ⋅=-⋅-=，212|(32)3a e e =-=，212||(3)8b e e =-=，8||||38a b a b ⋅==2 已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，|1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为222)()2186a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=-，所以1a b ⋅=，故11122||||a b a b ⋅==⨯，60θ=︒． 60︒若向量(1,2)a =，(1,1)b =-，则a b +与a b -的夹角等于（A ．4π- B ．6π 4π D ．34π (3,3)a b +=，(0,3)a b -=，)()9a b a b +⋅-=，|2|32a b +=，922||||323a b a b ⋅===⨯，夹角为4π．设向量a ，b 夹角为θ(3,3)a =，(1,1)b a -=-(,)b x y =，2(23,23)(1,1)b a x y -=---，得(1,2)b =，9a b ⋅=，||32a =，|5b =，9310cos 10||||325a b a b θ⋅===⨯． 答案：31010已知i ，j 为互相垂直的单位向量，2a i j =+，i j +，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ5(,0)(0,)3-+∞ 3 C ．5[,0)(0,)3-+∞ D ．5(,0)3- 由题意知(1,2)a =，(1,1)b =，(1,2)a b λλλ+=++，夹角为锐角，即cos 0θ>|||||sin a b a b θ⨯=，a 与b 的夹角，若(3,a =--(1,3)b =|a b ⨯=（ ）A ．3B ．23C ．2D ．432||||a b a b ⋅-=⨯|||||sin a b a b θ⨯==已知点(1,1)A -(3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）D ．3152- (2,1)AB =(5,5)CD =15AB CD ⋅=，|5AB =，|52CD =151010||||552a b a b θ⋅===⨯，投影为2||cos AB θ=． A (,1)A a ，(2,B 为平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（．543a b -= D ．5414a b +=OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则有OA OC OB OC ⋅=⋅，带入坐标，则有85b =+，即45a b -=．A向量a 的模为1，且a ，b 满足||4a b -=，||2a b +=，则b 在a 方向上的投影等|4a b -=两22216a b a b +-⋅=，|2a b +=两2224a b a b ++⋅=，两式相减得3a b ⋅=-，则投影为3||a b a ⋅=-． 答案：3- 25 在矩形ABCD 中，2，1BC =，的中点，若界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为（2．4 C ．2解析：如图，建立坐标系，设AE 与AF 夹角为θ，则||||cos AE AF AE AF θ⋅==2212()||cos 2AF θ+，||cos AF θ为AF 在AE 方向上的投影，由投影定义可知，只有点F 取点C 时，投影有最大值，此时19(2,)(2,1)22AE AF ⋅=⋅=． 答案：C如图，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，22BC =，G 是ABC 的重心，P 是ABC 内的任意一点（含边界），则BG BP ⋅的最大值为_____．解析：如图所示，2222225||413333BG BD AB AD ==+=+=， 25||||cos ||cos 3BG BP BG BP BP θθ⋅==，则BG BP ⋅的最大值即||cos BP θ最大，由投影定义可知，当P 与C 重合时，有最大值，由余弦定理得222581310cos 2102522BD BC CD BD BC θ+-+-===⋅⨯，则最大值25310||||cos 224310BG BP BG BC θ⋅==⨯⨯=．数学浪子整理制作，侵权必究。
平面向量专题复习知识梳理
高中复习知识梳理之八平面向量一、重点知识（一）基本概念：向量的有关概念有：向量、自由向量、有向线段、位置向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）、数乘向量；基线、单位向量、基向量、基底、正交基底：；向量a 在轴l 上的正射影、向量a 在轴l 方向上的数量：；向量的模（或向量的长度）：；（二）向量的基本运算：1. 向量的线性运算：加法、减法及数乘向量的综合运算：（1）向量求和的三角形法则：；（2）向量求和的平行四边形法则：；（3）向量求和的多边形法则：；（4）向量减法法则：；结论１在ABC ∆中AC BC AB =+（加）或BC AB AC =-（减）称ABC ∆为向量三角形；推广可有013221=+++A A A A A A n ，称121A A A A n 为封闭折线．（5）数乘向量的定义：实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作；其长为；其方向为：； 数乘向量的几何意义是：；向量加法满足下列运算律：（1）加法交换律：;(2)加法结合律：；数乘向量满足下列运算律：（1）（2）（3）。
如：①在平行四边形ABCD 中,已知a AB =,b AD =,DO DM 31=,OC ON 31=,试用b a ,表示MN =.②如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．2. 向量共线的条件：结论2 （平行向量基本定理）向量a 与)0(≠b 平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数λ使b a λ=．特别地，三点C B A 、、共线⇔AC AB λ=．3. 轴上向量的坐标及其运算：已知轴l ，取单位向量e ，对于轴l 上任意向量a 总是存在唯一实数x 使得a xe =，我们称x 为向量a 在轴l 上的坐标（或数量）。
设e 是轴l 的一个基向量，向量AB 的坐标为AB ，则AB ABe =；若轴l 为x 轴，可设点A 、B 的坐标分别为x 1，x 2，则向量AB 的坐标AB=21x x -。
§7.平面向量复习专题
§7.平面向量1．向量有关概念：向量的概念，零向量，单位向量，相等向量，共线向量，相反向量.例1：下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若A B D C=，则ABCD 是平行四边形。
（4）若A B C D 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a bb c ==，则a c =。
（6）若/,/a bb c ，则//a c 。
其中正确的是______2．向量的表示方法：几何表示法（AB ），符号表示法（a ），坐标表示法（a =（1，2））.3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对数12,λλ，使a =1λe 1＋2λe 2.结论：若1λe 1＋2λe 2=3λe 1＋4λe 2 ，则1λ=3λ且2λ=4λ. 特别的，若1λe 1＋2λe 2=0，则1λ=2λ=0.例2：（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______ （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 （ ）A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D.1213(2,3),(,)24e e =-=-（3）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___4．平面向量的数量积：（1）．两个向量的夹角：()0θπ≤≤（2）．平面向量的数量积：a∙b ＝cos a b θ.注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
例3：（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB _________（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____（3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____ （3）．b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。
平面向量专题复习
平面向量专题复习
一、平面向量要理清的内容:
1. 平面向量是什么？
2. 平面向量基本定理
3. 平面向量运算
4. 三点共线的向量判定及其依据
5. 三点共线的向量表示推广
6. 向量的数量积运算
7. 正交分解与向量坐标的关系
8. 向量的坐标运算的过程及本质
9. 在向量中要掌握的方法与技巧
二、对上述问题的回答：
1. 有大小有方向的量，其几何表示为有向线段。
关键属性：方向
2. 平面中任意一个向量可以用两个不共线向量的组合进行表示；（前置概念要求：理解共线向量的概念与向量平移的概念）
3. 向量加法、减法、数乘运算；（概念联系：1.平行四边形法则；2.三角形法则；
3.相反向量的概念；
4.位移的概念）
4. OP OA OB λμ=+，若1λμ+=，则,,P A B 三点共线。
（理论依据:1.向量的平行四边形法则下的分解；2.平行线的概念与相似比的联系）
5. 各区段指向向量的系数和的范围（平面向量基本定理与向量数乘运算）
6. 物理背景为力的做功（重力在斜抛和竖直掉落两种情况下的做功大小问题），
根据运动方向及力的方向问题，得到计算关系式：
⋅=⋅
a b a b a b
cos,
7.向量坐标的本质是向量的正交分解及在两个单位向量方向上的数乘关系
8.坐标运算是在正交分解基础上进行的简化的系数计算
9.基底法与坐标法
三、
，。
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平面向量专题复习
考点一、平面向量的概念，线性表示及共线定理
题型一、平面向量的概念
1．给出下列命题：
①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确命题的序号是( )
A ．②③
B ．①②
C ．③④
D ．④⑤
2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
题型二、平面向量的线性表示
1．(2014·新 课 标 全 国 卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )
A ．AD B.12AD C ．BC D.12
BC 2．(2013·江 苏 高 考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23
BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
3．(2015·聊 城 二 模 )在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( )
A.23b ＋13c
B.53c －23b
C.23b －13c
D.13b ＋23
c 4．若典例2条件变为：若AD ＝2DB ，CD ＝13
CA ＋λCB ，则λ＝________. 题型三、平面向量共线定理
典题：设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2，AF ＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．
[变式1] 在本例条件下，试确定实数k ，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线．
考点二、平面向量基本定理及其坐标表示
题型一、平面向量基本定理及其应用
1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与
e 1－e 2 D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1
2．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .
题型二、平面向量的坐标表示
1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )
A ．(－2，－1)
B ．(－2,1)
C ．(－1,0)
D ．(－1,2)
2．(2015·昆 明一 中 摸 底 )已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( )
A ．(2,0)
B ．(－3,6)
C ．(6,2)
D ．(－2,0)
3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b ，
(1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；
(3)求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．
题型三、平面向量共线的坐标表示
典题：平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．
(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .
[题点发散1] 在本例条件下，若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d .
[题点发散2] 在本例条件下，若m a ＋n b 与a －2b 共线，求m n 的值．
[题点发散3] 若本例条件变为：已知A (3,2)，B (－1,2)，C (4,1)，判断A ，B ，C 三点能能否共线
考点三、平面向量的数积、模长、夹角
题型一、平面向量的数量积
1．(2015·云 南 统 一检 测 )设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )
A ．－72
B ．－12 C.32 D.52
2.(2013·湖 北 高 考 )已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A.32
2 B.3152 C ．－322 D ．－315
2
3．(2014·重 庆 高 考 )已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，
则a ·b ＝________.
4．(2015·东 北 三 校 联 考 )已知正方形ABCD 的边长为2，DE ＝2EC ，DF ＝12(DC ＋DB )，则BE ·DF ＝________.
题型二、平面向量的模长
1．已知平面向量a ，b 的夹角为π6
，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB ＝2a ＋2b ，AC ＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD |等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
2．(2014·北 京 高 考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.
题型三：平面向量的夹角
1．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
2．(2014·江 西 高 考 )已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13
，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.
3．在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________________．
4．(2014·重 庆 高 考 )已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )
A ．－92
B ．0
C ．3 D.152。