概率论与数理统计实验_传染病传播问题

传染病传播问题

传染病是人类共同的敌人. 小到流感、病毒性肝炎，大到霍乱、天花、艾滋病、非典型性肺炎等，危害着人们的健康，扰乱了人们正常的工作和生活，同时也侵蚀着人类大量的财富. 因此建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，预报传染病高峰的到来，及时控制传染病的传播是非常重要的事情，一直是各国政府和科学家关注的课题. 以下探讨几类传染病数学模型，对传染病相关的问题做出相应的回答.

注：（1）这里不从医学的角度分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立几种数学模型；

（2）讨论问题的前提是假定在疾病的传播期内，所考察地区的总人数不变（总人数为N ）.

解：假设 (1) t 时刻健康者和病人在总人数中所占的比例分别为).(),(t i t s 另外,

0)0(i i =；

(2) 每个病人每天有效接触的平均人数为常数λ. λ称日接触率，即当病人与健康者有

效接触时，使健康者感染变成病人. 根据假设，有

)0(1)()()()()

(i i t i t s t i t Ns dt

t di N ==+=λ 故可得

⎪⎩⎪

⎨⎧=-=0

)0()](1)[()

(i i t i t i dt t di λ （1）

得到

t

e i t i λ-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=

1111

)(0 (2)

这个模型可以用于传染病的前期（对于传染较快的病），早期预报传染病高峰的到来. 1）)(t i ~t 曲线表示传染病的传染曲线；dt

di

~t 曲线表示传染病的上升率与时间的关系，医学上称为传染病曲线.

2) 求)(t i 的一阶导数：

这里已经把0i =0.0012, λ=0.25代入到)(t i 的表达式. 再输入

回到)(t i 的表达式(2), 再求)(t i 的二阶导数, 令022=dt i d ，求出dt di

函数的极大值点,

}}]

001Log[{},{{λ

λai ai t t +--→

∞-→ ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=-11ln 011i t λ （3）

再代入)(t i 的表达式，得2

1

即已求出 2

1*

=i 时，dt di 达到最大值. 即传染病的上升率达到最大，这个时刻是

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-11ln 01

1i t λ. 说明：病人在这个时刻增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门特别关

注的时刻.

3）从（3）式可知1t 与λ成反比. 日接触率标志着该地区的卫生水平，λ越小，卫生水平越高. 而λ越小，1t 越大，传染病爆发的时刻就会越迟. 所以改善保健设施，采取有效的隔离措施，降低日接触率，可以推迟传染病高峰的到来.

4）由（2）式可知，当∞→t 时，1)(→t i . 这就意味着所有的人都将被传染，处于生病状态. 这是不符合实际情况的. 事实上，传染病人经治疗后，或者痊愈，因而具有免疫力；或者死亡；所以最终病人的比例数)(t i 应该趋于零，即当∞→t 时，0)(→t i . 由此可见，需要重新修改模型假设，再建立数学模型.

感染--治愈 假设：

(1) 与感染模型相同； (2) 与感染模型相同；

(3) 病人可以治愈. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例μ，称为日治愈率. 病人治愈后仍可成为被感染的健康者，所以

μ

1

是这种传染病的平均传染期. 由假设（3）可知

1

)()()()()()

(=+-=t i t s t i t i t s dt

t di μλ0)0(i i = 故可得 ⎪⎩⎪

⎨⎧=--=0)0()()](1)[()

(i i t i t i t i dt t di μλ （4）

变换得 ⎪⎩⎪

⎨⎧=-+-=0

2)0()()()()

(i i t i t i dt t di μλλ （5）

此方程为贝努利方程，

{{i [t]-> 0

)()(0

)(ai e e e ai e t t t t λμλμλμ

λμλ-+--}} 得到

()t

e i t i μλμλλμλλ--⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+-=01)(1 当μλ≠ 当μλ=时，上式不是方程的解，应从原方程出发求解.

()⎪⎩⎪

⎨⎧=-=0

20)()(i i t i dt

t di

λ （6） 可以利用分离变量法求解.

{{i[t]->

10

ai t ai λ+}}

即

1

)(1i t t i +=λ为当μλ=时的解. 所以方程组的解为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=----时当时；当μλλμλμλλμλλμλ1

01

011i t e i t i t （7）

分析：

定义： μ

λ

σ= （8） 从λ和

μ

1

的定义可知，σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数. 1）作出()t t i ~曲线图，分析病人数的变化规律. 首先求出()t i 的极限，讨论极端情况. 因为

()⎪

⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+∞

→1

0111lim 1σσσμλλ，当；，当t i t （9） 这里有两条()t t i ~曲线, 都是1>σ的情形. 上面一条是0i =0.68, λ=0.25, μ=0.10时的图形; 下面一条是0i =0.0012, λ=0.25, μ=0.10时的图形. 从图25.3可见, 虽然0i 不同, 但

()t i 在t 趋于无穷时有相同的极限σ

1

1-.