《线性规划》092第一章1[1][1].3图解法=下 第二章2.1基可行解=第三次课

1.3 二变量线性规划问题的图解法 x2 z = −4 三、图解法的举例 A2 (1,4) 例1* 求解线性规划问题 −2 x1 + x2 = 2 z =0
in z = −4x1 −22x2 z = x1 + x mm ax
− 2 x1 + x 2 ≤ 2 x1 − 2 x 2 ≤ 2 s .t . x1 + x 2 ≤ 5 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
1.3 二变量线性规划问题的图解法
以二元函数为例) 一、微积分基础补充(以二元函数为例)
∂f ∂f 偏导， 都可以定义一个向量： 偏导，对于每一点 P( x, y)∈ D 都可以定义一个向量： x i + ∂y j ∂
梯度: 在平面区域D内具有一阶连续 梯度:设二元函数 z = f ( x, y) 在平面区域 内具有一阶连续
以α1,α2,Λ,αn为列向量的 矩阵的秩小于向量的个数n 小于向量的个数 矩阵的秩小于向量的个数 以α1,α2,Λ,αn为列向量的 α1,α2,Λ,αn线性无关 Λ 线性无关 矩阵的秩等于向量的个数n 等于向量的个数 列满秩 矩阵的秩等于向量的个数 a11 a12 ⋯ a1n 特别的(m=n)：用行列式来判别 特别的 ：
对线性规划而言，目标函数的等值线是直线。 对线性规划而言，目标函数的等值线是直线。 直线
1.3 二变量线性规划问题的图解法
一、微积分基础补充
图解法的理论依据
沿着等值线 f ( x, y) = C 的正法线方向(即函数 z = f ( x, y) 的正法线方向(
z 的梯度方向)移动等值线时， 的函数值递增；反之， 的梯度方向)移动等值线时， = f ( x, y)的函数值递增；反之，
1.3 二变量线性规划问题的图解法
三、图解法的举例
求解线性规划问题： 例4 求解线性规划问题：
m in f = 3 x 1 + 4 x 2 − x1 + x 2 ≥ 1 x1 + x 2 ≤ − 2 x ,x ≥ 0 1 2
x2
− x1 + x2 = 1
x1
x1 + x2 = −2
∂x1 ∂x 2
x1 0 1 0 2 = (1 − α ) + α T (0 ≤ α ≤ 1) A4 x2 ( −2)4 4,
x1
故沿着正法线的反方向平行移动等值线时，目标函数递减。 故沿着正法线的反方向平行移动等值线时，目标函数递减。 当等值线沿着- 方向移动到即将脱离可行域 方向移动到即将脱离可行域D时 当等值线沿着-▽f方向移动到即将脱离可行域 时，等值线与 因此A K的边 1A2重合。因此 1A2线段内的所有点都使目标函数取得 的边A 的边 最小值，即此问题有无穷个最优解，最优值为z=－ 。 最小值，即此问题有无穷个最优解，最优值为 －4。 最优解为： 最优解为：x1 = α , x 2 = 2 + 2α (0 ≤ α ≤ 1)
A2
f = 1.5
f =0
f = −2
A1
x1 + x2 = 5
D
A3
f = −3
( −1,1)
T
0
函数值递减
∂x1 ∂x2
A4 x1 − 2 x 2 = 2
x1
解：由约束条件作出可行域K，如图。目标函数的等值线为 由约束条件作出可行域 ，如图。目标函数的等值线为 -x1+x2=h，梯度 ∇f = ( ∂f , ∂f )T = (−1,1)T，即为正法线向量。 即为正法线向量。 ， 故沿着正法线的反方向平行移动等值线时，目标函数递减。 故沿着正法线的反方向平行移动等值线时，目标函数递减。 当等值线沿着- 方向移动到即将脱离可行域 方向移动到即将脱离可行域D时 当等值线沿着-▽f方向移动到即将脱离可行域 时，等值线与 K的交点便是目标函数 取最小值的点。由图可知，这个交点 的交点便是目标函数f取最小值的点 的交点便是目标函数 取最小值的点。由图可知， 就是凸多边形K的顶点 的顶点A 其坐标为x ， ， 就是凸多边形 的顶点 3，其坐标为 1=4，x2=1，此即该问题 的最优解，最优值为f(4,1)=－3。 的最优解，最优值为 － 。
此向量称为在点P(x 的梯度， 此向量称为在点 ，y)的梯度，记为 gradf ( x, y)或∇f ( x, y) 。 的梯度 ∂f ∂f ∂f ∂f 即 gradf ( x, y) = ∇f ( x, y) = i + j = ( , )T . ∂x ∂y ∂x ∂y 等值线(等高线):设二元函数 则在平面xoy内 等值线(等高线):设二元函数 z = f ( x, y) ，则在平面 内 ): 为常数) 的等值线。 的曲线 f ( x, y) = C(C为常数)，称为函数 z = f ( x, y) 的等值线。 为常数 即等值线上函数值相等均为C。 即等值线上函数值相等均为 。
x ≥ 0. (2.3) 的秩为m， 假设n≥m≥1，且系数矩阵A的秩为 ，即设约束方程 ，且系数矩阵 的秩为 假设 T (2.2)中没有多余的方程1 , x 组中，c =中没有多余的方程。 2 ,⋯ xn ) ；b = ( b1 , b2 ,⋯ bm ) T (2.2)中没有多余的方程。 x =(x (c1 , c2 ,⋯, cn ); 其
第一章 线性规划问题
第一章 线性规划问题
1.3 二变量线性规划问题的图解法
1.3 二变量线性规划问题的图解法
线性规划问题的求解方法
图 解 法 两种方法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
→适用于任意变量、但需 适用于任意变量、
将一般形式变成标准形式 图解法适合于两个变量 两个变量， 图解法适合于两个变量，但图解法利用直观 图形看问题， 图形看问题，有助于我们了解和剖析线性规划的 原理及过程。 原理及过程。图解法的重点是说明线性规划的几 何意义。 何意义。
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an1 an2 ⋯ ann
a22 ⋯ a2n =0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an1 an2 ⋯ ann a21
n维向量组α1,α2,Λ,αn线性相关 维向量组 维向量 Λ 线性相关
≠0
n维向量组α1,α2,Λ,αn线性无关 维向量组 维向量 Λ 线性无关
(0,2)
A1
D
z =5
A3
线段A 的方程为： 线段A1A2的方程为：
解：由约束条件作出可行域K，如图。目标函数的等值线为 由约束条件作出可行域 ，如图。目标函数的等值线为 4x1－2x2=h，梯度 ∇ f = ( ∂f , ∂f )T = (4, −2)T ，即为正法线向量。 即为正法线向量。 ，
2.1 基可行解
第二章 单纯形方法
2.1 基可行解
2.1 基可行解
一、线性代数知识补充
(1) 设m维列向量组α1,α2,Λ,αn , 其中 Λ 维列向量组 一般的(m≠n)：用矩阵来判别 一般的 ： 则α1,α2,Λ,αn线性相关 Λ 线性相关
a1 j a2 j ( j = 1,2,⋯ n) αj = , ⋮ amj
0
x1
2x1+2x2=1 2x1+2x2=3
函数值递减
1.3 二变量线性规划问题的图解法
二、图解法的步骤
解题步骤
1、在直角平面坐标系中画出所有的约束等式，并 在直角平面坐标系中画出所有的约束等式， 找出所有约束条件的公共部分，称为可行域， 找出所有约束条件的公共部分，称为可行域，可行 域中的点称为可行解。 域中的点称为可行解。 标出目标函数值增加或者减小的方向。 2、标出目标函数值增加或者减小的方向。 若求最大（ 3、若求最大（小）值，则令目标函数等值线沿 目标函数值增加的方向平行移动， （逆）目标函数值增加的方向平行移动，找与可行 域最后相交的点，该点就是最优解。 域最后相交的点，该点就是最优解。 将最优解代入目标函数，求出最优值。 4、将最优解代入目标函数，求出最优值。
a11 a 21 A= ⋯ am 1 a12 a22 ⋯ am 2 ⋯ a1 n ⋯ a2 n ⋯ ⋯ ⋯ amn
线性规划问题标准形式的 向量形式： 向量形式： m in f = cx,
= ( p1 , p 2 ,⋯ , p n )
可行域为空集 无可行解，从而无最优解。 无可行解，从而无最优解。
1.3 二变量线性规划问题的图解法
四、结论
上述理论具有普遍意义，对于两个以上变量的线性规划 上述理论具有普遍意义， 问题都成立。 问题都成立。 图解法虽然直观、简便等优点，但在变量多的情况下， 图解法虽然直观、简便等优点，但在变量多的情况下， 即在多维的情况下，它就无能为力了。因此，需要介绍一种 即在多维的情况下，它就无能为力了。因此， 代数方法——单纯形法。 单纯形法。 代数方法 单纯形法
1.3 二变量线性规划问题的图解法
三、图解法的举例
求解线性规划问题： 例1 求解线性规划问题：
m in f = − x 1 + x 2 s .t . − 2 x 1 + x 2 ≤ 2 x1 − 2 x 2 ≤ 2 x1 + x 2 ≤ 5 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
x2
− 2 x1 + x 2 = 2
第二章 单纯形方法
第二章 单纯形方法
单纯形法是求解线性规划的主要 算法，1947年由美国斯坦福大学教授 算法，1947年由美国斯坦福大学教授 丹捷格(G.B.Dantzig)提出。 提出。 丹捷格 提出 尽管在其后的几十年中， 尽管在其后的几十年中，又有一 些算法问世， 些算法问世，但单纯形法以其简单实 用的特色始终保持着绝对的“市场” 用的特色始终保持着绝对的“市场” 占 有率。 有率。
z 沿梯度的反方向移动时， 的函数值递减。 沿梯度的反方向移动时， = f ( x, y) 的函数值递减。