直线与圆题型总结
直线与圆经典题型
直线与圆经典题型题型一：对称性求最值例题：已知点M （3，5），在直线l ：x ﹣2y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小．解：由点M （3，5）及直线l ，可求得点M 关于l 的对称点M 1（5，1）．同样容易求得点M 关于y 轴的对称点M 2（﹣3，5）．据M 1及M 2两点可得到直线M 1M 2的方程为x +2y ﹣7=0．得交点P （，）．令x=0，得到M 1M 2与y 轴的交点Q （0，）．解方程组x +2y ﹣7=0，x ﹣2y +2=0，故点P （，）、Q （0，）即为所求．1221M M PQ Q M P M PQ MQ MP C MPQ ≥++=++=∆题型二：反射光线问题已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l3的方程．（3）求与l3距离为的直线方程．【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；（3）设出与l3平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．【解答】解：（1）由得，∴M（﹣2，1）．所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）．…（4分）（2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．直线MN的倾斜角为α，则直线l3的斜斜角为180°﹣α.，所以直线l3的斜率．故反射光线所在的直线l3的方程为：．即．…（9分）解法二：因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．根据对称性∠1=∠3，∴∠2=∠3．所以反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程．直线PN的方程为：，整理得：．故反射光线所在的直线l3的方程为．…（9分）（3）设与l3平行的直线为，根据两平行线之间的距离公式得：，解得b=3，或，所以与l3为：，或．…（13分）题型三：直线恒过点问题已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【分析】（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x ﹣y﹣4．（3分）得∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），∴OA=|﹣1|，OB=|k﹣2|，（8分）S△AOB=•OA•OB=|（﹣1）（k﹣2）|=|﹣|..（10分）∵k＜0，∴﹣k＞0，∴S=[﹣]=[4+（﹣）+（﹣k）]≥4．△AOB当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分）∴△AOB的面积最小值是4，（14分）直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）2.已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．【分析】（1）把直线方程变形得，2x+y+m（y+2）=0，联立方程组，求得方程组的解即为直线l恒过的定点．（2）设点P在直线l上的射影为点M，由题意可得|PM|≤|PQ|，再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，解方程组，得Q（1，﹣2），∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，∴点P到直线l的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于=2．题型四：动直线问题已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程．【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可；（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线．【解答】解：∵|AB|==5，|AB|＞2，∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，①当直线l平行直线AB时：k AB=，可设直线l的方程为y=﹣x+b依题意得：=2，解得：b=或b=，故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0；②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3，），可设直线l的方程为y﹣=k （x﹣3）依题意得：=2，解得：k=，故直线l的方程为：x﹣2y﹣=0；（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一定有2条，经过AB中点的直线，若2m＜|AB|，则有2条；若2m=|AB|，则有1条；若2m＞|AB|，则有0条，题型五：斜率取值范围已知点A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1）且与线段AB始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：如图，∵A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1），又，∴直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．故答案为：k≤﹣3，或k≥1．题型六：对称问题已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．【分析】（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），得到关于m，n的方程组，求得m、n的值，可得P′的坐标；（2）求出交点坐标，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点坐标，求出直线方程即可．【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），则由，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2，7）．（2）由，解得：交点为，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点为，所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0题型七：截线段长问题已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．【分析】法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程．法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l1的夹角为θ，求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l1、l2之间的距离及l 与l1夹角的关系求解．法三：设直线l1、l2与l分别相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则通过求出y1﹣y2，x1﹣x2的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l 的方程．【解答】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9），截得的线段AB的长|AB|=|﹣4+9|=5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）+1．解方程组得A（，﹣）．解方程组得B（，﹣）．由|AB|=5．得（﹣）2+（﹣+）2=52．解之，得k=0，直线方程为y=1．综上可知，所求l的方程为x=3或y=1．题型八：直线夹角问题已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，求直线l'的一般方程．【分析】设出直线l′的斜率为k′，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然后求出直线的方程．【解答】解：设直线l′的斜率为k′，则，…（7分），…（10分）直线l′：7x﹣3y﹣11=0和3x+7y﹣13=0；…（13分）本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公式与到角公式的区别，考查计算能力．。
直线与圆知识点及经典例题(含答案)
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载直线与圆知识点及经典例题(含答案)地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程这个方程叫做圆的标准方程。
说明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程将圆的标准方程,展开可得。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 :问题：形如的方程的曲线是不是圆？将方程左边配方得：（1）当＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程表示以为圆心，以为半径的圆。
,（3）当＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当＞0时，方程称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（1）和的系数相同，不等于零；（2）没有xy这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交。
代数方法主要步骤：（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组（2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程（3）求出其Δ的值，比较Δ与0的大小：（4）当Δ<0时，直线与圆相离；当Δ＝0时，直线与圆相切；当Δ>0时，直线与圆相交。
直线与圆的高考常见题型总结
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知识篇 新高考名师护航
高二数学 2023 年 10 月
解得
5
a)≤ (
a-3)+2 ,
2
2
2
1
3
≤a≤ 。
3
2
(
2
0
2
3 年 新 高 考 Ⅰ 卷 )过 点 (
0,
例 6
与圆 x2 +y2 -4
-2)
x-1=0 相 切 的 两 条 直
y -2)<1,
2
2
,
方程 xc
o
sθ+ (
s
i
nθ=1(
0≤θ≤2π)
θ
y-2)
无解。因此经过任意点的直线均为有限个。
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高二数学 2023 年 10 月
(
对于 B:
不在任一直线上。
0,
2)
对于 C:
做圆 x + (
y-2)=1 的 外 切 正
2
故选 ABD。
2
n 边形 即 可。 (将 正 n 边 形 的 中 心 置 于 (
0,
,
中心到边的距离 设 为 1,此 正 n 边 形 即 满
2)
足题意)
例 4
2
x-y-3=0 的距离为(
5
A.
5
对 于 D:注 意 到 任 意 三 条 直 线 若 能 围 成
高考热点 2
2
(写 出 所 有 真
其中真命 题 的 代 号 是
。
命题的代号)
直线与圆知识点总结及例题
直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条及x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 及x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。
如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：）；倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围值的范围是______（答：42≥-≤m m 或）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量及直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy 的最大值、最小值分别为______（答：）3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
直线的斜率0=k 时，直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1x x =.（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
专题12 直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略(解析版)
专题12直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一判断直线和圆的位置关系】 (1)【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 (3)【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 (5)【考点四判断或补全使直线为切线的条件】 (7)【考点五证明某直线是圆的切线】 (9)【考点六切线的性质定理】 (13)【考点七切线的性质与判定的综合应用】 (15)【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 (22)【过关检测】 (26)【典型例题】【考点一判断直线和圆的位置关系】A．相离B．相交【答案】C⊥于点C，根据直角三角形的性质，可得【分析】过点P作PC OB∵30O ∠=︒，6OP =，∴132PC OP ==，∵以点P 为圆心的圆的半径为3，∴以点P 为圆心，半径为3的圆与OB 的位置关系是相切．【变式训练】2．（2022秋·九年级单元测试）已知O 的半径是3，点P 在O 上，如果点P 到直线l 的距离是6，那么O 与直线l 的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切或相交D ．相切或相离【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的大小关系解答．【详解】如图，当点P 与1P 重合时，O 与直线l 相切；当点P 与1P 不重合时，O 与直线l 相离，∴O 与直线l 的位置关系是相切或相离．故选：D ．【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，掌握数形结合是解题的关键．【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】【变式训练】【答案】15r ≤≤【分析】过M 作MH AC ⊥于H ，根据直角三角形的性质得到关系即可得到结论．∵2CM =，30ACB ∠=︒，∴112HM CM ==，∵5AM =，M 与线段AC 有交点，【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】【变式训练】【答案】1544PC <≤或3PC =【分析】根据题意可得PC 的最小值为圆Q ，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．∴PM AD ⊥，在直角梯形ABCD 中，∵AD BC ∥，∴90ABC A ∠=∠=︒，∴四边形ABPM 是矩形，∴3PM AB PC ===，【考点四判断或补全使直线为切线的条件】【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中【变式训练】【答案】1【考点五证明某直线是圆的切线】(1)求证：CD 是O (2)若60BCD ∠=︒，直径【答案】(1)见解析(2)53【分析】（1）连接OD (SAS ODC OBC ≌∵OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠．∵AD OC ∥，【变式训练】1．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图，O 的半径为2，点A 是O 的直径BD 延长线上的一点，C 为O 上的一点，AD CD =，30A ∠=︒．(1)求证：直线AC 是O 的切线；∵AD CD =，30A ∠=︒∴30ACD ∠=︒∴60CDB ∠=︒∵OD OC=作CH BD ⊥于点H ，则DH =(1)求证：AF是圆O的切线；==，连接(2)点G在CE上，且BC CD CG【答案】(1)见解析(2)7【分析】（1）根据四边形ABCD内接于圆∵BC CD =，∴ BCCD =∴BOC COD ∠=∠，又OB OD=∴BN DN=【考点六切线的性质定理】【答案】3【分析】连接OC ，根据切线的性质得到90OCP ∠=︒，再根据30︒所对的直角边是斜边的一半计算即可；【详解】如图，连接OC ，∵PC 是O 的切线，∴OC CP ⊥，即90OCP ∠=︒，又30P ∠=︒，O 的半径为3，∴26OP CO ==，∴PB 633=-=．故答案是3．【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．【变式训练】【答案】30【分析】根据切线的性质得到【详解】解：BC AB BC ∴⊥，【答案】26︒/26度【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：AB 是O 的直径，OA PA ∴⊥，【考点七切线的性质与判定的综合应用】例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点O 在边AC 上，以点O 为圆心，OC 为半径的圆交边AC 于点D ，交边AB 于点E ，且BC BE =．(1)求证：AB 是O 的切线．(2)若24AE =，15BE =，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)O 的半径为10．【分析】（1）连接OE ，连接BO ，通过证明()SSS BOE BOC △≌△即可进行求证；在OBC △和OBE △中，OE OC BE BC BO BO =⎧⎪=⎨⎪，∵15BE =，24AE =，∴15BC BE ==，AB BE =+∴22239AC AB BC =-=-∴O 的半径为10．【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．【变式训练】(1)求证：点E 是BF (2)若EC OC =，O 【答案】(1)见解析(2)32【分析】（1）连接BC 等量代换可得EF =（2）解：若EC OC =∴ABF △是等腰直角三角形．O 半径为3，6AB ∴=，∴26AF AB == BC AF⊥(1)求证：AC 是半O 的切线；(2)若CO AO =，4BC =，求半【答案】(1)见解析AD CD，⊥∴∠= ，90D∴∠+∠= ．CAD ACO90∠ ，AOD ∠=∠AOD CAD∴∠=∠，BOC CAD的切线；(1)求证：PC为O(2)若22=，12PC BOPB=，直接写出半径的长．【答案】(1)见解析(2)3OC∠，平分ABEBC∴∠=∠，ABC CBDQ，OC OB=∴∠=∠，ABC OCB，PCA CBD∠=∠∴∠=∠，PCA OCB是直径，AB∴∠=︒，ACB90ACO OCB∴∠+∠=︒，90∴∠+∠=︒，PCA ACO90∴∠=︒，PCO90OC PC，∴⊥是半径，OC∴是OO的切线；PC（2）解：连接OC，如图，==，设OB OC r，=PC OB22∴=，22PC r【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】例题：（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，O 与90A ∠=︒的Rt ABC △的三边AB BC AC 、、分别相切于点D 、E 、F ，若103BE CF ==，，则O 的半径为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D 【分析】连接OD OF ，，首先根据切线长定理得到10BD BE ==，3CE CF ==，然后证明出四边形ADOF 是正方形，然后设AD AF x ==，根据勾股定理求解即可．【详解】如图，连接OD OF ，，∵AC AB CB 、、与O 相切，∴10BD BE ==，3CE CF ==，AD AF =，OD AB ⊥，OF AC ⊥，∴90ADO AFO ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴四边形ADOF 是矩形，∴矩形ADOF 是正方形，∴AD OD =，设AD AF x ==，Rt ABC △中，10AB BD AD x =+=+，3AC CF AF x =+==，13BC BE CE =+=，由勾股定理得，222AB AC BC +=，∴()()22210313x x +++=，∴12215x x ==-，（舍去），∴2OD =，故选：D ．【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【变式训练】【答案】1【分析】根据内切圆的性质先证明四边形,,AF AE BF BD CD CE ===，设OD 的方程，即可求解．【详解】解：∵圆是ABC 的内切圆，的半径．(1)求O△的外心，连接(2)若Q是Rt ABC【答案】(1)1(2)5OQ=2∵O 是ABC 的内切圆，分别切边∴OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BC ∴225AB BC AC =+=．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·湖南长沙·九年级校联考期末）在平面直角坐标系中，以点()3,4-为圆心，3为半径的圆（）A ．与x 轴相交，与y 轴相切B ．与x 轴相离，与y 轴相切C ．与x 轴相离，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离【答案】B【分析】由已知点()3,4-可求该点到x 轴，y 轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d 为直线与圆的距离，r 为圆的半径，则有若d r <，则直线与圆相交；若d r =，则直线于圆相切；若d r >，则直线与圆相离．【详解】解：点()3,4-到x 轴的距离为4，大于半径3，点()3,4-到y 轴的距离为3，等于半径3，故该圆与x 轴相离，与y 轴相切，故选：B ．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．2．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）《九章算术》中“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长为7步，股（长直角边）长为24步，问该直角三角形（内切圆）的直径是多少？（）A ．3步B ．5步C ．6步D ．8步【答案】C【分析】设三角形ABC ，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，设内切圆的半径为r ，由1()2ABC S AB BC CA r =++⋅ 可求得半径，则可求得直径．【详解】解：设三角形为ABC ，90C ∠=︒，7AC =，24BC =，A ．40︒B ．50【答案】A 【分析】连接OC ，由CE 为圆的度数，即可求出E ∠的度数．∵CE 为圆O 的切线，∴OC CE ⊥，∴90OCE ∠=︒，∵25CDB ∠=︒，A．27︒B．18【答案】A【分析】根据垂直的定义及平行线的判定可知答．【详解】解：连接OC，【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，掌握平行线的性质及切线的性质是解题的关键．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在恰好与以OB为半径作圆，O是（）A．23B【答案】D【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠平分线的定义得到OBDAB x=，根据直角三角形的性质即可得到结论．3的半径，AC是OOD∴⊥，OD AC，OD OB=∴=，OBD ODB∠，BDQ平分ABC二、填空题【答案】30︒/30度【分析】连接OB ，根据圆周角定理得到906030D ︒︒∠=-=︒．∵30BCE ∠=︒，∴260BOD C ∠=∠=︒，∵BD 是O 的切线，【答案】15°/15度【分析】如图，连接OA ，OC 明50D B ∠=∠=︒，再利用三角形的外角和的性质可得答案．∴65DAE AEC D ∠=∠-∠=︒-故答案为：15︒．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，四边形的内角和定理的应用，【答案】15d <</51d >>【分析】分两种情况讨论： 求解，即可得到答案．【详解】解：P 的圆心P 的坐标为【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知P 到O 的切线长为8cm ，那么【答案】1【分析】先根据勾股定理求出3AB=，由切线长定理得∵O 为Rt ABC △的内切圆，∴OD AB OF AC OD OF ⊥⊥=，，，∴90ODA A OFA ∠︒=∠=∠=，∴四边形ADOF 是正方形，三、解答题11．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，AB 是O 的直径，点E 在弦AC 的延长线上，过点E 作ED AE ⊥交O 于点D ，若AD 平分BAC ∠．(1)求证：ED 是O 的切线；(2)若6AC =，10AB =，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）如图所示，连接OD ，根据等边等角和角平分线的定义证明EAD ODA ∠=∠，进而证明AE OD ∥，由ED AE ⊥，得到ED OD ⊥，据此即可证明结论；（2）连接BC 交OD 于G ，根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，根据垂径定理可得BG CG =，根据勾股定理求出BC 的长，进而求出OB BG 、，再求出OG 的长，根据矩形的判定与性质求出CE 的长，即可求出AE 的长．【详解】（1）证明：如图所示，连接OD ，∵OA OD =，∴OAD ODA ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴EAD DAO∠=∠∴EAD ODA ∠=∠，∴AE OD ∥，∵ED AE ⊥，∴ED OD⊥∴OD BC ⊥，∴G 为BC 的中点，即BG 又∵610AC AB ==，，∴根据勾股定理得：BC 1(1)求证：AF 是O 的切线；(2)若6BC =，10AB =，求O 【答案】(1)见解析(2)390ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，∴12CD AD AB ==，∴CAD ACD ∠=∠，2BDC CAD ACD CAD ∠=∠+∠=∠1FAC BDC ∠=∠(1)若PF PB =，求证：PB (2)如果106AB BC ==，，求【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）根据等边对等角以及对顶角相等可以证得的切线；(1)求证：直线DE是O(2)求证：AB AM=；(3)若2ME=，30∠=︒，求BF的长．F【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)4．∵OD OA =，∴ODA OAD ∠=∠，∵AD 平分CAB ∠，∴∠OAD =∠DAC ，∴ODA DAC ∠=∠，∴OD AC ∥，∵DE AC ⊥，∴DE OD ^，∵OD 是O 的半径，∴直线DE 是O 的切线；（2）∵OB OD =，∴OBD ODB ∠=∠，∵OD AC∥∴ODB M ∠=∠，∴OBD M ∠=∠，∴AB AM=（3）∵DE AC ⊥，∴90AEF MED ∠=∠=︒∵30F ∠=︒，∴90903060EAF F ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵AM AB =，∴ABM 是等边三角形，∴60M ∠=︒，∴180180609030MDE M MED ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，的切线；(1)求证：PC为O(2)求证：2=；BD PA(3)若83PC=，求AE的长．【答案】(1)见详解(2)见详解60BAC ∠=︒ ，且OA OC =，60OCA OAC ∴∠=∠=︒．AP AC = ，且P PCA BAC ∠+∠=∠30P PCA ∴∠=∠=︒．90PCO PCA ACO ∴∠=∠+∠=︒．CD 平分ACB ∠，且90ACB ∠=︒45ACD BCD ∴∠=∠=︒．AD BD ∴=．在Rt ADB 中，222AD BD AB +=2AD BD AB ∴==，。
直线与圆知识点及经典例题(含答案)
圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 （一）圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 这个方程叫做圆的标准方程。
说 明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得02222222=-++--+r b a by ax y x 。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 :220x y Dx Ey F ++++= 问题：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？ 将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：22224()()222D E D E Fx x +-+++=（1）当F E D 422-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E--为圆 心，以2242D E F+-为半径的圆。
,（3）当F E D 422-+＜0时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当224D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于零； （2）没有xy 这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线； （3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 （2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当d>r 时，直线与圆相离；当d ＝r 时，直线与圆相切;当d<r 时，直线与圆相交。
高中数学直线和圆知识点总结+习题
直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈（1）[0,2πθ∈时，0k ≥；（2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k <（4）当倾斜角从0︒增加到90︒时，斜率从0增加到+∞；当倾斜角从90︒增加到180︒时，斜率从-∞增加到02．直线方程（1）点斜式：)(00x x k y y -=-（2）斜截式：y kx b =+（3）两点式：121121x x x x y y y y --=--（4）截距式：1x y a b +=（5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP =（2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =（3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d =4．位置关系（1）截距式：y kx b =+形式重合：1212k k b b ==相交：12k k ≠平行：1212 k k b b =≠垂直：121k k ⋅=-（2）一般式：0Ax By C ++=形式重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B =平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠垂直：12120A AB B +=相交：1221A B A B ≠5．直线系1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ）二．圆1．圆的方程（1）标准形式：222()()x a y b R -+-=（0R >）（2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）（3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--=2．位置关系（1）点00(,)P x y 和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外（2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=的距离d =R 的大小关系当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）；当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当d R <时，直线和圆相离（无交点）；判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系．(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．3．圆和圆的位置关系判断圆心距12d O O =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系当12d R R >+时，两圆相离，有4条公切线；当12d R R =+时，两圆外切，有3条公切线；当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线；当12d R R =-时，两圆内切，有1条公切线；当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线；4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5．弦长公式：l =例题：例1若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．例2已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．例3设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．例4若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．例5已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．例6过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．例7圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．例8圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为____________________．例9已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．例10(1)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．例11已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．例12已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．例13平面直角坐标系xoy 中，直线10x y -+=截以原点O （1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；（3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交于x 轴于点（m ，０）和（n ，０），问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．例14圆x 2+y 2=8内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点.（1）当α=43π时,求AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.例15已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x －y +10=0上.(1)若动圆C 过点(－5,0),求圆C 的方程;(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.。
直线与圆的位置关系题型归纳
直线与圆的位置关系题型归纳引言在几何学中，直线和圆是基本的几何元素。
研究直线与圆的位置关系不仅有助于理解几何学基本原理，还可以应用到实际问题中。
本文将归纳总结几种常见的直线与圆的位置关系题型，并给出相应的解题方法。
一、直线与圆相交直线与圆相交通常有三种情况：直线与圆相切、直线穿过圆、直线既与圆相切又穿过圆。
1. 直线与圆相切当直线与圆只有一个交点时，称直线与圆相切。
这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。
求解这类问题时，可以利用以下方法： - 根据已知条件确定直线方程和圆的方程。
- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。
- 判断交点是否满足直线方程和圆的方程，从而确定直线与圆相切。
2. 直线穿过圆当直线与圆有两个交点时，称直线穿过圆。
这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。
求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。
- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。
- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。
3. 直线既与圆相切又穿过圆当直线与圆既有一个交点又有两个交点时，称直线既与圆相切又穿过圆。
这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。
求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。
- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。
- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。
二、直线与圆相离直线与圆相离是指直线与圆没有交点。
这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。
求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。
- 求解直线方程和圆的方程的解集。
- 判断解集是否为空集，从而确定直线与圆相离。
三、总结与应用对于直线与圆的位置关系题型，我们可以通过确定直线方程和圆的方程，求解交点的坐标，判断交点的坐标与圆心的位置关系来确定直线与圆的位置关系。
直线与圆的位置关系与性质知识点总结
直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。
在这篇文章中，我们将总结直线与圆的常见位置关系，并讨论它们的性质。
一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时，我们可以得出以下几种情况：- 直线与圆相交于两点：直线穿过圆的中心，此时直径是直线的特例。
- 直线与圆相交于一个点：直线与圆相切，切点称为切点。
- 直线位于圆的内部，没有交点。
- 直线位于圆的外部，也没有交点。
2. 直线与圆的位置关系特例- 切线：直线与圆相切的情况，称为切线。
与圆相切的直线垂直于半径，切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。
- 弦：直线穿过圆，但不过圆心的情况，称为弦。
通过圆心的弦称为直径，且直径是弦中最长的一条线段。
二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一：若一条直线与圆相切于切点A，则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。
定理二：若从圆外一点作直线与圆相切于切点A，则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。
2. 弦长定理定理三：若两条弦相交于切点A，则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。
3. 直径定理定理四：直径是穿过圆心的弦，正好是弦分割的两条弧的半径之和。
4. 割线定理定理五：若两条割线相交于切点A，则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。
三、直线与圆的应用1. 问题一：判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时，可以利用以下方法：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程并求解交点。
- 使用定理：利用判断圆内点的方法，或使用切线定理判断直线与圆是否相切。
2. 问题二：求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时，我们可以利用以下方法求解交点坐标：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程，联立方程并求解交点坐标。
3. 问题三：判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时，可以利用以下方法：- 使用切线定理：若两条直线与圆相切于同一切点，则可判断它们为切线或相交于切点。
高中数学必修2直线与圆的位置关系知识题型总结
直线与圆的位置关系一、点与圆的位置关系设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ；①P 在在圆C 外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔； ②P 在在圆C 内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔； ③P 在在圆C 上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔；二、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，位置关系的判定：判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交； (2)△=0相切； (3)△<0相离。
判定方法2：若圆心(a ，b)到直线L 的距离为d (1)d<r 相交； (2)d=r 相切；(3)d>r 相离。
利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。
三、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。
（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离2121||r r O O +>⇔；4条公切线②两圆外切2121||r r O O +=⇔；3条公切线③两圆相交212112||||r r O O r r +<<-⇔；2条公切线④两圆内切||||1221r r O O -=⇔；1条公切线⑤两圆内含||||1221r r O O -<⇔；没有公切线四、两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 补充说明：① 若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.五、圆系问题过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-） 补充：① 上述圆系不包括2C ；② 2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③ 过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=六、 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即 ⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k ，得到切线方程【一定两解】例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为 。
直线与圆、圆与圆的位置关系题型归纳总结
直线与圆、圆与圆的位置关系【重难点精讲】重点一、直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点． 重点二、几何判定法：设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离：(1)d >r ⇔圆与直线相离；(2)d ＝r ⇔圆与直线相切；(3)d <r ⇔圆与直线相交．重点三、代数判定法：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2＋y －b 2＝r 2消元，得到一元二次方程的判别式Δ，则(1)Δ>0⇔直线与圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与圆相切；(3)Δ<0⇔直线与圆相离．重点四、圆与圆的位置关系：两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)与(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)圆心距d 221212()()a a b b -+- d >r 1＋r 2⇔两圆外离；d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切；|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交；d ＝|r 1－r 2|⇔两圆内切；0<d <|r 1－r 2|⇔两圆内含，d ＝0时为同心圆．重点五、两圆的公切线条数：当两圆内切时有一条公切线；当两圆外切时有三条公切线；相交时有两条公切线；相离时有四条公切线；内含时无公切线．【典题精练】考点1、直线与圆的位置关系例1．已知直线320l x y -+=，圆22:4410C x y x y ++--=.（1）判断直线l 与圆C 的位置关系，并证明；（2）若直线l 与圆C 相交，求出圆C 被直线l 截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离.【解析】（1）相交，证明如下；可将圆的一般方程22:4410C x y x y ++--=化为：22(2)(2)9x y ++-=，可得其圆心：(2,2)-，半径为：3，由直线320l x y -+=， 可得圆心到直线l 的距离：2322313d --+==+d r ＜，可得直线l 与圆C 相交；（2）由（1）得直线l 与圆C 相交，且圆心到直线l 的距离d =故弦长为：==考点2、弦长问题例2．已知圆C 的圆心在直线1y x =+上，且圆C 经过点()3,6P 和点()5,6Q .（1）求圆C 的方程；（2）过点()3,0的直线l 截圆所得弦长为2，求直线l 的方程.【解析】（1）由题意可知，设圆心为(),1a a +，则圆C 为：22()[(1)]2x a y a -+-+=， 圆C 经过点()3,6P 和点()5,6Q ，2222(3)[6(1)]2(5)[6(1)]2a a a a ⎧-+-+=∴⎨-+-+=⎩，解得4a =，则圆C 的方程为：22(4)(5)2x y -+-=； （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()3y k x =-，即30k y k --=，∴过点()3,0的直线l 截圆所得弦长为2，1d ∴==，解得125k =， ∴直线l 的方程为125360x y --=，当直线l 的斜率不存在时，直线l 为3x =，此时弦长为2符合题意. 综上，直线l 的方程为3x =或125360x y --=.考点点睛：设直线l 的方程为ax ＋by ＋c ＝0，圆O 的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，求弦长的方法通常有以下两种：(1)几何法：由圆的性质知，过圆心O 作l 的垂线，垂足C 为线段AB 的中点．如图所示，在Rt △OCB 中，|BC |2＝r 2－d 2，则弦长|AB |＝2|BC |＝2r 2－d 2．(2)代数法：解方程组222000()()ax by c x x y y r++=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消元后可得关于x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2的关系式，则|AB |考点3、圆的切线问题例3．已知点1,2P ，点()3,1M ，圆22:124C x y(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程．【解析】由题意得：圆心()1,2C ，半径2r（1）()()22211224+-+= P ∴在圆C 上 1PC k ==-∴切线的斜率11PC k k =-= ∴过点P 的圆C 的切线方程为()21y x --=-，即10x y -+-= （2）()()22311254-+-=> M ∴在圆C 外部若过点M 的直线斜率不存在，直线方程为3x =，是圆C 的切线；若过点M 的切线斜率存在，可设切线方程为：()13y k x -=-，即310kx y k--+=∴圆心C 到切线的斜率2d ===，解得：34k = ∴切线方程为()3413y x -=-，即3450x y --= 综上所述：切线方程为3x =或3450x y --=考点点睛：求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数．(1)求过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k ，则由垂直关系得切线斜率为－1k，由点斜式方程可求得切线方程．如果k ＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0．(2)求过圆外一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，进而求出切线方程．但要注意，若求出的k 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x ＝x 0． 考点4、两圆位置关系的判断例4．已知两圆1C ：22210100x y x y +-++=和2C ：222210x y x y ++++=. （Ⅰ）判断两圆的位置关系；（Ⅱ）求两圆公共弦所在直线方程；（Ⅲ）求两圆公共弦的长度.【解析】（Ⅰ）1C ：()()221516x y -++=，()11,5C -，14r =， 2C ：()()22111x y +++=，()21,1C --，21r =，∴12C C ==121212r r C C r r <<-+，故1C 与2C 相交. （Ⅱ）因为两圆1C ：22210100x y x y +-++=和2C 222210x y x y ++++=，所以两方程相减得：4890x y --=.（Ⅲ）设1C 到4890x y --=的距离为d ，则d ==，弦长AB ==2=. 考点点睛： 判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较繁琐，另外须注意方程组有“一个”解与两圆相切不等价；二是几何法，看两圆连心线的长d ，若d ＝r 1＋r 2，两圆外切；d ＝|r 1－r 2|时，两圆内切；d >r 1＋r 2时，两圆外离；d <|r 1－r 2|时，两圆内含；|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2时，两圆相交．考点5、由圆与圆的位置关系求参数的值或取值范围例5．已知直线:0l x y m ++=与圆()()22:119C x y ++-=没有公共点，圆()()221:121O x y -++=与圆()()()2222:420O x y m m -+-=>相交，求m 的取值范围.【解析】圆()()22:119C x y ++-=的圆心()1,1C -，半径3r =，由题意可得，圆心C 到直线的距离3d =>，0m >，则m >圆()()221:121O x y -++=与圆()()()2222:420O x y m m -+-=>相交，圆心()11,2O -，圆1O 的半径11R =，圆心()24,2O ，圆2O 的半径2R m =，121212R R OO R R ∴-<<+，即11m m -<<+，解得46m <<.综上所述，实数m 的取值范围是().考点点睛： 两圆相切包括外切与内切，外切时，圆心距等于两圆半径之和，内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值．在题目没有说明是内切还是外切时，要分两种情况进行讨论．解决两圆相切问题，常用几何法．。
专题11 直线与圆(解析版)
专题11 直线与圆【要点提炼】1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝ －1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r . (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.考点考向一 直线的方程【典例1】 (1)(2020·西安检测)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A.1B.－2C.1或－2D.－32(2)已知直线l 1：kx －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0(k ≠0)分别过定点A ，B ，又l 1，l 2相交于点M ，则|MA |·|MB |的最大值为________.解析 (1)由题意知m (1＋m )－2×1＝0，解得m ＝1或－2，当m ＝－2时，两直线重合，舍去；当m ＝1时，满足两直线平行，所以m ＝1.(2)由题意可知，直线l 1：kx －y ＋4＝0经过定点A (0，4)， 直线l 2：x ＋ky －3＝0经过定点B (3，0)，注意到直线l 1：kx －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋ky －3＝0始终垂直，点M 又是两条直线的交点，则有MA ⊥MB ，所以|MA |2＋|MB |2＝|AB |2＝25.故|MA |·|MB |≤252(当且仅当|MA |＝|MB |＝522时取“＝”). 答案 (1)A (2)252探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【拓展练习1】 (1)(多选题)光线自点(2，4)射入，经倾斜角为135°的直线l ：y ＝kx ＋1反射后经过点(5，0)，则反射光线还经过下列哪个点( ) A.(14，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98 C.(13，2)D.(13，1)(2)已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________.解析 (1)因为直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ＝－1，设点(2，4)关于直线l ：y ＝－x ＋1的对称点为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －4m －2＝1，n ＋42＝－m ＋22＋1，解得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝－1，所以反射光线经过点(－3，－1)和点(5，0)，则反射光线所在直线的方程为y ＝0－（－1）5－（－3）(x －5)＝18(x －5)，当x ＝13时，y ＝1；当x ＝14时，y ＝98.故选BD.(2)当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1与l 2间的距离最大.由A(1，1)，B(0，－1)得k AB＝－1－10－1＝2.∴两平行直线的斜率k＝－1 2.∴直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案(1)BD(2)x＋2y－3＝0考向二圆的方程【典例2】(1)(2020·石家庄模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4 km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的3倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：km2)是()A.2 3B.4 3C.3 6D.4 6(2)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x －y－3＝0上截得的弦长为6，则圆C的方程为________.解析(1)以甲、乙两地所在直线为x轴，线段甲乙的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设甲、乙两地的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，丙地坐标为(x，y)(y≠0)，则（x＋2）2＋y2＝3·（x－2）2＋y2，整理得(x－4)2＋y2＝12，可知丙地所在的圆的半径为r＝2 3.所以三角形信号覆盖区域的最大面积为12×4×23＝4 3.(2)∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴设所求圆的圆心为(a，－a).又∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝2|a|2＝2|a|.又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为6，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝|2a－3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即（2a －3）22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案 (1)B (2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2探究提高 1.第(1)题是一道以阿波罗尼斯圆为背景的数学应用问题，解题关键是先利用题设条件给出的关系式，求出阿波罗尼斯圆的方程，即(x －4)2＋y 2＝12，然后应用圆中的几何量求解三角形信号覆盖区域的最大面积.2.求圆的方程主要方法有两种：(1)直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程时，若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，否则选择圆的一般方程. 温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质. 【拓展练习2】 (1)(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A.4B.5C.6D.7(2)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3，4)为C 上一点，则△P AB 的外接圆的标准方程为________.解析 (1)由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为d min ＝（3－0）2＋（4－0）2－1＝4.故选A. (2)∵P (3，4)为C 上一点，9m －162＝1， 解得m ＝1，则B (1，0)，A (－1，0)， ∴k PB ＝4－03－1＝2，BP 的中点为(2，2)，PB 的垂直平分线方程为l 1：y ＝－12(x －2)＋2， AB 的垂直平分线方程为l 2：x ＝0，则圆心是l 1与l 2的交点M ，联立l 1与l 2方程， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3，则M (0，3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10，∴△P AB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 答案 (1)A (2)x 2＋(y －3)2＝10 考向三 直线(圆)与圆的位置关系 角度1 圆的切线问题【典例3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( ) A.y ＝2x ＋1 B.y ＝2x ＋12 C.y ＝12x ＋1D.y ＝12x ＋12(2)(多选题)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的可能取值是( ) A.1B.2C.3D.4解析 (1)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①，设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0>0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程y ＝12x ＋12.(2)由x 2＋y 2－4x ＝0，得(x －2)2＋y 2＝4，则圆心为C (2，0)，半径r ＝2，过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A ，B ，连接AC ，BC ，所以四边形P ACB 为正方形，即PC ＝2r ＝22，圆心到直线的距离d ＝|2k －0＋k |1＋k 2≤22，即－22≤k ≤22，所以实数k 的取值可以是1，2.故选AB. 答案 (1)D (2)AB探究提高 1.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式. 2.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.【拓展练习3】 (1)(2020·浙江卷)已知直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1和圆(x －4)2＋y 2＝1均相切，则k ＝__________，b ＝__________.(2)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，点A (0，－2)，B (a ，2)，从点A 观察点B ，要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－433，433 解析 (1)直线kx －y ＋b ＝0(k ＞0)分别与圆心坐标为(0，0)，半径为1，及圆心坐标为(4，0)，半径为1的两圆相切， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|b |k 2＋1＝1，①|4k ＋b |k 2＋1＝1，②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33，b ＝－233.(2)易知点B 在直线y ＝2上，过点A (0，－2)作圆的切线. 设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝kx －2， 即kx －y －2＝0. 由d ＝|0－0－2|1＋k 2＝1，得k ＝±3. ∴切线方程为y ＝±3x －2，和直线y ＝2的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－433，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫433，2. 故要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞. 答案 (1)33 －233 (2)B 角度2 圆的弦长的相关计算【典例4】 在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0，③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用勾股定理来处理.【拓展练习4】 (1)(2020·天津卷)已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相交于A ，B 两点.若|AB |＝6，则r 的值为__________.(2)(2020·菏泽联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A (2，2)，若|AP |2＋|AQ |2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为________. 解析 (1)依题意得，圆心(0，0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝|8|12＋（－3）2＝4，因此r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝25，又r ＞0，所以r ＝5.(2)设点M 为PQ 的中点，则|PM |＝|MQ |，在△APQ 中，由余弦定理易得|AP |2＋|AQ |2＝|AM |2＋|PM |2＋|MQ |2＋|AM |2＝2(|AM |2＋|MQ |2) 又|MQ |2＝|OQ |2－|OM |2＝4－|OM |2，|AP |2＋|AQ |2＝40. ∴40＝2|AM |2＋8－2|OM |2，则|AM |2－|OM |2＝16， 设M (x ，y )，则(x －2)2＋(y －2)2－(x 2＋y 2)＝16. 化简得x ＋y ＋2＝0.当OM ⊥l 时，OM 取到最小值，即|OM |min ＝22＝ 2. 此时，|PQ |＝2|OQ |2－|OM |2＝2 2. 故弦PQ 的长度的最大值为2 2.【专题拓展练习】一、单选题1．一条光线从点()1,1-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1x y -+=相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为（ ） A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【详解】 如图所示，由题意可设入射光线PQ 的方程为()11y k x +=-， 令0x =，则1y k =--，可得()0,1Q k --. 则反射光线QA 的方程为1y kx k =---.22111k k k ---<+，解得304k -<<.∴入射光线所在直线的斜率的取值范围为3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C .2．方程(6)30x y x y +++-表示的曲线是（ ） A ．两条平行线 B ．一个直线和一条射线 C ．两条射线 D ．一条直线【答案】D 【详解】因为 (6)30x y x y +++-，所以6030x y x y ++=⎧⎨+-≥⎩或30x y +-=，此时6030x y x y ++=⎧⎨+-≥⎩无解，所以曲线表示一条直线：30x y +-=，故选：D.3．过坐标原点O 作圆()()22341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )A ．46B ．26C ．6D ．365【答案】A 【详解】如图所示，设圆()()22341x y -+-=的圆心坐标为(3,4)M ，半径为1r =， 则22345OM =+=,2512426OA =-==，则11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，可得2465OA MA AB OM ⨯⨯==， 故选A.4．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距2212(12)(22)5C C =--+--=1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C.5．设点P 为圆22:(1)4C x y -+=上的任意一点，点(2,3)Q a a -()a R ∈，则线段PQ 长度的最小值为（ ） A2 BC2 D1【答案】C 【详解】设点(),Q x y ，则2,3x a y a ==-，化简可得：260x y --= 即点Q 在直线260x y --=上，圆C 的圆心()1,0到直线260x y --=的距离为d ==则线段PQ2 故选：C6．已知直线:10l x by ++=与圆()()22:28C x b y +++=相交于A 、B 两点，且ABC 是顶角为23π的等腰三角形，则b 等于（ ） A ．1 B ．17C ．1-D ．1或17-【答案】D 【详解】因为A 、B 两点在圆()()22:28C x b y +++=上，所以AC BC r === 又ABC 是顶角为23π的等腰三角形，则6B C π==，BC边上的高6h π==，即圆心(),2C b --到直线:10l x by ++=上距离d h ===27610b b --=，解得1b =或17b =-.故选：D.7．与圆()2215x y +-=相切于点()2,2的直线的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】A 【详解】可设圆心与切点的连线斜率为1k ，切线斜率为2k ，由()2215x y +-=可知圆心为()0,1点，切点为()2,2点，则1211202k -==-，根据题可知圆心与切点的连线和切线垂直， 所以121k k ，则22k =-.所以切线斜率为-2. 故选：A8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+= 上，则ABP △面积的取值范围是（ ）A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．【答案】A 【详解】圆心(2,0)到直线的距离d ==所以点P 到直线的距离1d ∈.根据直线的方程可知,A B 两点的坐标分别为(2,0),(0,2)A B --，所以AB =,所以ABP △的面积1112S AB d ==， 所以[2,6]S ∈, 故选：A.9．过点()4,1A --作圆()22(214):C y x -+-=的一条切线AB ，切点为B ，则三角形ABC的面积为（ ）A ．B ．C ．12D ．6【答案】D 【详解】因为圆心C 坐标为()2,1，所以AC ==所以224046AC r AB =-=-=，因此1162622ABCSAB CB =⋅=⨯⨯=． 故选：D ．10．在平面直角坐标系中，点A ，B 分别是圆()2221x y -+=与直线()0y x t t =+>上的动点，若AB 的最小值为221-，则t 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】圆心()2,0到直线y x t =+的距离为222t +=， 可得AB 的最小值为12212-=-，解得2t =. 故选：B.11．已知22:1O x y +=，直线:20+-=l x y ，P 为l 上的动点，过点Р作O 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则OP AB ⋅最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．22【答案】C 【详解】 如图所示：圆心为()0,0O ，半径1r =，因为OA OB =，PA PB =，所以AB OP ⊥. 所以12PAOB S OP AB =⋅， 又1222PAOBPOA S S OA PA PA ∆==⨯⨯⨯=所以2OP AB PA ⋅=．要使OP AB ⋅取到最小值即PA 取到最小值．由勾股定理得PA =即要使OP AB ⋅取到最小值即OP 取到最小值.当直线OP 与直线20x y +-=垂直时，OP 取到最小值.所以min OP ==min1PA ==.所以OP AB ⋅最小值为2． 故选：C ．12．已知直线:30l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A ，B 两点.且A ，B 在x 轴同侧，过A ，B 分别做x 轴的垂线交x 轴于C ，D 两点，O 是坐标原点，若||3CD =，则AOB ∠=（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B 【详解】因为直线的方程:30l mx y m ++=化为()30m x y ++=，所以直线l 恒过点(3-，而点(-满足2212x y +=，所以点(3-在圆2212x y +=上，不妨设点(3A -，又||3CD =，所以点(B 0，所以||AB ==又圆2212x y +=的半径为所以AOB 是等边三角形，所以AOB ∠=3π． 故选：B ． 二、解答题13．已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. （1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长. 【详解】（1）已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为20221k -==-，直线l 的方程为y=2(x-1)，即 2x -y -2=0． （2）当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为y -2=x -2 ,即 x-y =0. 所以圆心C 到直线l 的距离为d =．因为圆的半径为3，所以，弦AB 的长AB ==． 14．已知点(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----，点P 在圆22:4E x y +=上运动.（1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为（2）求222||||||PA PB PC ++的最值.【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C 且被圆E 截得的弦长为所以圆心到直线的距离设直线方程为2(4)y k x +=-,即420kx y k ---=,=解得17k =-或1k =-所以直线方程为7100x y ++=或20x y +-=.(2)设P 点坐标为(),x y 则224x y +=.222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++()223468804x y y y =+-+=-因为22y -≤≤,所以7280488y ≤-≤,即222||||||PA PB PC ++的最大值为88,最小值为72.15．已知点(4,0),(2,0)A B -，动点P 满足||2||PA PB =.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）求经过点(2,2)M -以及曲线C 与224x y +=交点的圆的方程.【详解】(1)设(,)P x y ,因为(4,0),(2,0)A B -,||2||PA PB =,所以=整理得2280x y x +-=,所以曲线C 的方程为2280x y x +-=.(2)设所求方程为()2222480x y x y x λ+-++-=,即22(1)(1)840x y x λλλ+++--=,将(2,2)M -代入上式得22(1)2(1)(2)8240λλλ+⋅++⋅--⋅-=,解得12λ=, 所以所求圆的方程为2288033x y x +--=.。
高三高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二 直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。
2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练
2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一直线方程、两直线的位置关系例1已知两直线1:80l mx y n ++=和2:210l x my +-=.试确定m 、n 的值，使： (1)1l 与2l 相交于点(),1P m -； (2)1l ∥2l ；(3)1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1. 【答案】（1）1m =，7n =.（2）4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l . （3）0m =，8n =【解析】(1)由题意得280210m n m n ⎧-+=⎨--=⎩，解得1m =，7n =.(2)当0m =时，显然1l 不平行于2l ；当0m ≠时，由821m nm =-≠-，得⎩⎨⎧-≠=⇒⎩⎨⎧≠--⨯=⨯-⋅240)1(8028n m nm m m 或⎩⎨⎧≠-=24n m . 即4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l .(3)当且仅当280m m +=，即0m =时，1l ⊥2l .又18n-=-，∴8n =.即0m =，8n =时，1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1.【易错点】忽略对0m =的情况的讨论【思维点拨】遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或0k =时，并且对于直线平行和垂直时与12A A 和12B B 间的关系要熟练记忆。
例2如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．【答案】2750x y +-=.【解析】与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程为220x y +-=.设所求直线方程为()()2210x y x y λ+-+--=，即()()1220x y λλλ++---=.又直线过()1,1A -，∴()()()112120λλλ+-+-⋅--=.解13λ=-.∴所求直线方程为2750x y +-=.2【易错点】求错与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到1l 、2l 平行且距离相等的直线方程，再利用这条直线求出和第三条支线的交点，从而求解本题.题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用） 例1已知实数x 、y 满足方程22410x y x +-+=.(1)求yx的最大值和最小值； (2)求y x -的最大值和最小值．【答案】（1）yx（2）y x -的最大值为2-+，最小值为2-.【解析】(1)原方程化为()2223x y -+=，表示以点()2,0为圆心，为半径的圆．设yk x=，即y k x =，当直线y kx =与圆相切时，斜率k=k =.故yx 的最大值(2)设y x b -=，即y x b =+，当y x b =+与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时=2b =-.故y x -的最大值为2-，最小值为2--. 【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。
直线与圆经典题型
直线与圆经典题型题型一：对称性求最值已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．解：点M关于直线l和y轴的对称点分别为M1（5，1）和M2（﹣3，5）。
直线M1M2的方程为x+2y﹣7=0，解得交点P（1，3）。
令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0.5，0.75）。
所以，点P（1，3）和点Q（0.5，0.75）使△MPQ的周长最小。
题型二：反射光线问题已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射。
1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；2）求反射光线所在的直线l3的方程；3）求与l3距离为2的直线方程。
解：（1）由l1和l2的方程解得M（﹣2，1），因此点P （﹣2，﹣1）。
2）因为入射角等于反射角，所以反射光线与x轴的夹角为2α，其中α为MN与x轴的夹角。
直线MN的斜率为﹣1/3，因此α=arctan(﹣1/3)≈﹣18.43°。
反射光线与x轴的夹角为2α≈﹣36.86°，因此反射光线的斜率为tan(﹣36.86°)≈﹣0.75.反射光线所在的直线l3的方程为y=﹣0.75x+b，代入M （﹣2，1）得b=2.5，因此l3的方程为y=﹣0.75x+2.5.3）设与l3平行的直线方程为y=﹣0.75x+c，根据平行线的距离公式得|2﹣0.75c|/√(0.75²+1²)=2，解得c=10/3或﹣2/3.因此与l3距离为2的直线方程为y=﹣0.75x+10/3或y=﹣0.75x﹣2/3.题型三：直线恒过点问题已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0.Ⅰ）证明：直线恒过定点M（1，2）；Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程。
解：（Ⅰ）将M（1，2）代入直线方程得（2+m）+（1﹣2m）×2+4﹣3m=0，解得m=﹣1.因此，直线方程为x﹣3y+5=0，显然直线恒过点M（1，2）。
直线与圆常考6种题型总结(解析板)--2024高考数学常考题型精华版
直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.设MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m -≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P作圆224x y+=的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为_______．题型五：圆中最值问题【例1】已知l：4y x=+，分别交x，y轴于A，B两点，P在圆C：224x y+=上运动，则PAB△面积的最大值为（）A．8-B．16-C．8+D．16+【答案】C【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则AB =PAB △面积的最大值为()1282⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为的交点以及点【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大PM 3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。
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高中数学圆的方程典型例题
类型一：圆的方程
1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点
2、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2; (2)被x 轴分成两段弧, 求圆
心到直线I : x 2y 0的距离最小的圆的方程.
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
1已知圆O : x 2 y 2 4，求过点P 2,4与圆0相切的切线.
2两圆C 1: x 2 y 2
D 1x
E 1 y
F 1 0与C 2: x 2 y 2 D 2x E 2y F 2 0相交于A 、B 两点，求它们的公共
弦AB 所在直线的方程.
3、过圆x 2 y 2 1外一点M(2,3)，作这个圆的两条切线 MA 、MB ，切点分别是 A 、B ，求直线AB 的方程。
练习：
2 2 1•求过点 M(3,1)，且与圆(x 1) y
4相切的直线I 的方程 __________________ 2 2 5
2、 过坐标原点且与圆 x y 4x 2y 0相切的直线的方程为 _________
2
2 2 3、 已知直线5x 12y a 0与圆x 2x y 0相切，则a 的值为 _________________________ .
类型三：弦长、弧问题
2 2
1、 求直线I : 3x y 6 0被圆C : x y 2x 4y 0截得的弦AB 的长 ________________________________
2、 直线 3x y 2 3 0截圆x 2 y 2 4得的劣弧所对的圆心角为 _________________________
3、求两圆x 2 y 2 x y 2 0和x 2 y 2 5的公共弦长 __________________________
类型四：直线与圆的位置关系 I
1、若直线y x m 与曲线y 4 x 2有且只有一个公共点，实数 m 的取值范围 _________________________________ 4、 若直线y kx 2与圆(x 2)2 (y 3)2 1有两个不同的交点，贝U k 的取值范围是 ________________________ .
5、 圆x 2 y 2 2x 4y 3 0上到直线x y 1 0的距离为 2的点共有().
(A ) 1 个 (B ) 2 个 (C ) 3 个
(D ) 4 个
2 2 6、 过点P 3, 4作直线l ，当斜率为何值时，直线I 与圆C: x 1 y 2
4有公共点 类型五：圆与圆的位
置关系
2 2 2 2 1、判断圆C 1 : x
y 2x 6y 26 0与圆C 2 : x y 4x 2y 4 0的位置关系 ___________________________________
2 2 2 2 2圆x y 2x 0和圆x y 4y 0的公切线共有 ___________________________条。
P(2,4)与圆的关系. 其弧长的比为3:1 ,在满足条件(1)(2)的所有圆中, 2 圆(x 3)2 (y 3)2
9上到直线3x 4y 11 0的距离为1的点有
_________ 个？ 2 2 3、直线 x y 1 与圆 x y 2ay 0 (a 0)没有公共点，则a 的取值范围是 __________
类型六：圆中的对称问题
2 2
1、圆x y 2x 6y 9 0关于直线2x y 5 0对称的圆的方程是______
类型七：圆中的最值问题
2 2
1、圆x y 4x 4y 10 0上的点到直线x y 14 0的最大距离与最小距离的差是_________
2、(1)已知圆01：(x 3) (y 4) 1，p(x,y)为圆0上的动点，求d x y的最大、最小值.
y
(2)已知圆O2:(x 2) y 1 , P(x , y)为圆上任一点.求的最大、最小值，求x 2y的最大、最小值.
x 1
3、已知A( 2,0) , B(2,0)，点P在圆(X 3)2 (y 4)2 4上运动，则PA 2 PB 2的最小值是________________________ .
练习：
2 2
1：已知点P(x,y)在圆x (y 1) 1上运动.
(1) 求-__1的最大值与最小值；(2)求2x y的最大值与最小值.
x 2
类型八：轨迹问题
1
1、已知点M与两个定点0(0,0) , A(3,0)的距离的比为-，求点M的轨迹方程.
2、已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3),端点A在圆(x 1)2 y2 4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程•
练习：
1、由动点P向圆x2 y2 1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B , APB =60°,则动点P的轨迹方程是_ 类型九：圆的综合应用
1、已知圆x2 y2 x 6y m 0与直线x 2y 3 0相交于P、Q两点，O为原点，且OP OQ，求实数
m的值.
2、已知对于圆x2 (y 1)21上任一点P(x , y)，不等式x y m 0恒成立，求实数m的取值范围.。