八年级数学上册 12.3 两数和(差)的平方(第2课时)课件 (新版)华东师大版.ppt
合集下载
2 两数和(差)的平方 课件 -2024-2025学年华东师大版八年级数学上册
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍,这个公式就 叫做两数和的平方公式.也叫完全平方公式.
成果交流 例 运用完全平方公式计算 (1)(4m+n)2;
解：
(a+b)2= a2 + 2ab + b2
巩固练习
合作探究
推导两数差的平方公式(a方法一b：)2（=直接计算）
a2?- 2ab + b2
(2)ab
总结：完全平方公式的常见变形：
例题讲解
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求:
(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
∵ (x－y)2＝x2－2xy＋y2， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
＝36－16＝20； (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
方法二：（整体代入）
合作探究
完全平方公式
两数和的平方公式：
(a+b)2=_a_2_+_2_a_b_+_b_2_
公式特征：
左边：两数和（差）的平方
右边：
1.积为二次三项式；
2.前后两项为两数的平方和；
3.中间项是两数积的2倍；
两数差的平方公式：
(a-b)2=_a_2_-_2_a_b_+_b_2 _
简记为：
3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为___1___ 变式：若题目条件不变，则a-b的值为___±_1_
例题讲解
例4 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
(2) (a+b+c)2.
解: (1) 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)] = x2-(2y- = x2-(4y2-
成果交流 例 运用完全平方公式计算 (1)(4m+n)2;
解：
(a+b)2= a2 + 2ab + b2
巩固练习
合作探究
推导两数差的平方公式(a方法一b：)2（=直接计算）
a2?- 2ab + b2
(2)ab
总结：完全平方公式的常见变形：
例题讲解
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求:
(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
∵ (x－y)2＝x2－2xy＋y2， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
＝36－16＝20； (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
方法二：（整体代入）
合作探究
完全平方公式
两数和的平方公式：
(a+b)2=_a_2_+_2_a_b_+_b_2_
公式特征：
左边：两数和（差）的平方
右边：
1.积为二次三项式；
2.前后两项为两数的平方和；
3.中间项是两数积的2倍；
两数差的平方公式：
(a-b)2=_a_2_-_2_a_b_+_b_2 _
简记为：
3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为___1___ 变式：若题目条件不变，则a-b的值为___±_1_
例题讲解
例4 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
(2) (a+b+c)2.
解: (1) 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)] = x2-(2y- = x2-(4y2-
12.3 乘法公式(第2课时)(课件)八年级数学上册(华东师大版)
A．10 B．13 C．16 D．19
【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的 边长为b， 由图甲得：(a-b)2=3，即a2+b2-2ab=3， 由图乙得：(a+b)2-a2-b2=16，整理得2ab=16， 所以a2+b2=19． 即正方形A、B的面积之和为19． 故选：D．
当堂检测
5．如果x2-x+m是完全平方式，则m的值为（ ）
当堂检测
1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当 怎样改正？
（1）(x+y)2=x2 +y2 (2)(x －y)2 =x2 －y2 (3) (－x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
× x2+2xy +y2 × x2－2xy +y2 × x2 －2xy +y2 × 4x2+4xy +y2
讲授新课
补充例题 已知x+y=4，xy=2， 求（1）x2+y2；（2）3x2-xy+3y2；（3）x-y 解 (1)x2+y2=(x+y)2-2xy=42-2×2=16-4=12 (2)3x2-xy+3y2=3(x+y)2-7xy=3×42-7×4=3×16-28=20 (3)(x-y)2＝(x+y)2-4xy =42-4×2=8 所以 x-y= x2 - y2 = 8 2 2
22
=16a2+4ab+b42
讲授新课
试一试 推导两数差的平方公式（a-b）2
(a b)2 [a (b)]2 a2 2a(b) (b)2 a2 2ab b2
华师版八年级上册数学《两数和(差)的平方》课件
•
11、人总是珍惜为得到。21.7.1**Jul-2 11-Jul-2 1
•
12、人乱于心，不宽余请。***Thursday, July 01, 2021
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。21. 7.121.7. 1**Jul y 1, 2021
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2 021年7 月1日 星期四* *21.7.1
两数和（差）的平方
(ab)2 ?
学习六步曲
学习目标 复习回顾 探究新知 例题讲解 巩固练习 课堂小结
学习目标
能根据两数和平方公式的特点，正确运用 两数和的平方公式进行计算；通过两数和 的平方公式的推导，来初步体验数学中相互转 化、数形结合的思维方法，了解公式的几何背 景。
回顾 & 思考☞
(a+b)(a−b)=a2 − b2;
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。* *7/1/2 021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。*** 21.7.1
谢谢大家
倍 速 课 时 学 练
•
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。21.7.1 21.7.1T hursday , July 01, 2021
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。* **7/1/ 2021 5:54:13 PM
(a+b)2
=
a2 +
2ab
+ b2
a2
ab
a2
ab
ab
b2
a
b
a+b
ab
b
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 2 两数和(差)的平方 (新版)华东师大版
B．a2＋a2＝a4
C．(1＋2a)2＝1＋2a＋4a2
D．(－a＋1)(a＋1)＝1－a2
9．下列计算：(1)(2x－y)2＝4x2－y2；(2)(x－
1 2
)2＝x2－x＋
1 4
；(3)(－x＋3y)2
＝x2＋6xy＋9y2；(4)(－x－y)(x＋y)＝－x2＋2xy＋y2.其中错误的有( C )
解：π·(a＋2 b)2－π·(a2)2－π·(b2)2＝π2ab.
精选ppt
；
(2x－3y)2＝4x2－12xy＋9y2.
精选ppt
完全平方公式的应用
自我诊断2. 若a＋b＝3，a－b＝7，则ab＝ －10 .
易错点：公式的运用不准确．
自我诊断3. 计算：(－2x－y)2＝ 4x2＋4xy＋y2 ；
(－x＋2y)(x－2y)＝ －x2＋4xy－y2
.
精选ppt
1．下列运算正确的是( C ) A．(a＋3)2＝a2＋9
17．(眉山中考)先化简，再求值：(a＋3)2－2(3a＋4)，其中a＝－2. 解：(a＋3)2－2(3a＋4)＝a2＋6a＋9－6a－8＝a2＋1.当a＝－2时，原式＝5.
精选ppt
18．如图，有两根直径分别为a、b的水泥泄洪管并排埋在地下，现决定把 这组泄洪管进行改进，挖去原来的两根管，埋入直径为a＋b的圆水泥 管．问：新的泄洪管比原来那组水泥管横截面积增加了多少？
精选ppt
7．用简便方法计算： (1)100.22； 解：原式＝(100＋0.2)2＝1002＋2×100×0.2＋0.22＝10040.04； (2)4992. 解：原式＝(500－1)2＝5002－2×500×1＋12＝249001.
精选ppt
华师大版八年级数学上册《两数和(差)的平方》优质课课件
[备选例题] 已知实数 a，b 满足(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25， 求 a2＋b2＋ab 的值．
[解析] 本题是一道与两数和(差)的平方有关的求值题， 它的创新性在于方法上的创新，可以依据两数和(差)的平方 公式，从整体的角度进行变形，分别求出 a2＋b2 和 ab 的值， 然后相加．
12.3.2 两数和（差）的平方
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021
解：由(a＋b)2＝1， 得 a2＋2ab＋b2＝1，① 由(a－b)2＝25， 得 a2－2ab＋b2＝25，② 由①＋②，得 2a2＋2b2＝26， 所以 a2＋b2＝13. 由①－②，得 4ab＝－24， 所以 ab＝－6， 所以 a2＋b2＋ab＝13＋(－6)＝7.
12.3.2 两数和（差）的平方
12.3.2 两数和（差）的平方
12.3.2 两数和（差）的平方
探究新知
活动1 知识准备 计算：(1)(p＋q)(p＋q)＝__p_2＋2pq＋q2 _； (2)(m＋2)(m＋2)＝_ m2＋4m＋4 _； (3)(x－y)(x－y)＝__ x2－2xy＋y_2 _．
12.3.2 两数和（差）的平方
[解析] 运用公式时，关键要分清是哪两个数的和或差， 即哪个数或式相当于公式中的 a，哪个数或式相当于公式中的 b.
[归纳总结] 结构特征：左边是两数和(或差)的平方， 右 边是这两数的平方和，加上(或减去)它们的积的 2 倍．
[解析] 本题是一道与两数和(差)的平方有关的求值题， 它的创新性在于方法上的创新，可以依据两数和(差)的平方 公式，从整体的角度进行变形，分别求出 a2＋b2 和 ab 的值， 然后相加．
12.3.2 两数和（差）的平方
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021
解：由(a＋b)2＝1， 得 a2＋2ab＋b2＝1，① 由(a－b)2＝25， 得 a2－2ab＋b2＝25，② 由①＋②，得 2a2＋2b2＝26， 所以 a2＋b2＝13. 由①－②，得 4ab＝－24， 所以 ab＝－6， 所以 a2＋b2＋ab＝13＋(－6)＝7.
12.3.2 两数和（差）的平方
12.3.2 两数和（差）的平方
12.3.2 两数和（差）的平方
探究新知
活动1 知识准备 计算：(1)(p＋q)(p＋q)＝__p_2＋2pq＋q2 _； (2)(m＋2)(m＋2)＝_ m2＋4m＋4 _； (3)(x－y)(x－y)＝__ x2－2xy＋y_2 _．
12.3.2 两数和（差）的平方
[解析] 运用公式时，关键要分清是哪两个数的和或差， 即哪个数或式相当于公式中的 a，哪个数或式相当于公式中的 b.
[归纳总结] 结构特征：左边是两数和(或差)的平方， 右 边是这两数的平方和，加上(或减去)它们的积的 2 倍．
华师大版数学八年级上册两数和(差)的平方课件
2
解：(1)(2x+3y)2=(2x)2 +2 • 2x • 3y + (3y)2 =4x2+12xy+9y2.
(2)(2a+ b
2
)2=(2a)2 + 2 • 2a • b
2
+
b 2
2
=4a2
+
2ab
b2
+4
.
试一试
知2－讲
推导两数差的平方公式.
我们可以根据多项式的乘法法则直接计算(a-b)2. 注意到a-b =
21
1 2
m
1 2
m
2
1 m 1 m2. 4
总结
知2－讲
在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时关键是弄清题目 中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的 b，同时还要确定用两数和的平方公式还是两数差的 平方公式．
知2－练
1 计算(－a－b)2等于( )
A．a2＋b2
B．a2－b2
知3－讲
1 4
知3－讲
例3 (1)若(x－5)2＝x2＋kx＋25，则k的值是多少？ (2)先化简，再求值：(1＋a)(1－a)＋(a－2)2， 其中a＝－3. (3)已知x2－4x＋1＝0，求代数式(2x－3)2－(x＋y) (x－y)－y2的值．
导引：对于(1)，把等号左边的式子展开后对照各项，即可 得解；对于(2)，利用平方差公式和两数和(差)的平 方公式展开，合并同类项后代入求值；对于(3)， 先化简代数式，再将条件变形整体代入求值．
知3－讲
例4 已知a2＋b2＝13，ab＝6， 求(a＋b)2，(a－b)2的值．
导引：利用两数和(差)的平方公式展开，得到两数的平方 和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．
解：(1)(2x+3y)2=(2x)2 +2 • 2x • 3y + (3y)2 =4x2+12xy+9y2.
(2)(2a+ b
2
)2=(2a)2 + 2 • 2a • b
2
+
b 2
2
=4a2
+
2ab
b2
+4
.
试一试
知2－讲
推导两数差的平方公式.
我们可以根据多项式的乘法法则直接计算(a-b)2. 注意到a-b =
21
1 2
m
1 2
m
2
1 m 1 m2. 4
总结
知2－讲
在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时关键是弄清题目 中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的 b，同时还要确定用两数和的平方公式还是两数差的 平方公式．
知2－练
1 计算(－a－b)2等于( )
A．a2＋b2
B．a2－b2
知3－讲
1 4
知3－讲
例3 (1)若(x－5)2＝x2＋kx＋25，则k的值是多少？ (2)先化简，再求值：(1＋a)(1－a)＋(a－2)2， 其中a＝－3. (3)已知x2－4x＋1＝0，求代数式(2x－3)2－(x＋y) (x－y)－y2的值．
导引：对于(1)，把等号左边的式子展开后对照各项，即可 得解；对于(2)，利用平方差公式和两数和(差)的平 方公式展开，合并同类项后代入求值；对于(3)， 先化简代数式，再将条件变形整体代入求值．
知3－讲
例4 已知a2＋b2＝13，ab＝6， 求(a＋b)2，(a－b)2的值．
导引：利用两数和(差)的平方公式展开，得到两数的平方 和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．