第13章 大学物理机械波基础

振动是激发波动的波源.
机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 波动 电磁波 交变电磁场在空间的传播.
两 类 波 的 不 同 之 处
机械波的传播需 有传播振动的介质; 电磁波的传播可 不需介质.
两 类 波 的 共 同 特 征
能量传播 反射 折射 干涉 衍射
3
§13.1 机械波的形成与传播
( x,t ) = Acos( t - kx )
波动方程的复数表示
= Re Ae

i( t -kx 0 )

波数
2π k=
波 数 ---- 表 示 单 位 长 度 19 上波的相位变化
质点的振动速度，加速度：
x v= = - A sin[ ( t - ) ] t u


p0

p
x
解
x - x0 ) = t = ( u
因此 p 为任一点，故波动方程为
(2) x = 0 代入波动方程，得 o 点振动方程：
28
2、已知波动方程作出 t 时刻的波形
例
一横波沿一根弦线传播，其方程为 （SI制）
（1）求振幅、波长、频率、周期及波速； （2）画出 t = 0.0025 s 及 t = 0.005 s 时刻弦的波形图； （3）若弦的线密度μ= 0.5 kg / m ，求弦上的张力大小。
第十三章
波
动
1
（Wave）
第十三章 机械波基础
§13.1 §13.2 §13.3 §13.4 §13.5 §13.6 §13.7 §13.8 机械波的形成与传播 平面简谐波的表达式 波动微分方程 波的能量与能流 声波* 惠更斯原理 波的叠加原理 波的干涉 驻波 半波损失 多普勒效应
2
前言
波动是振动的传播过程.
x = Acos t - 0 u
18
波动方程的其它形式
t x = A cos[2( - ) 0 ] T 2 = A cos[ (ut - x) 0 ]
x = A cos[2(t - ) 0 ]
t x y = A cos[ π ( - ) ] 2 T
O
A
π y y = 0, v = >0 =t 2 t x π y = (1.0m) cos[2 π( )- ] 2.0s 2.0m 342
y
t=0 x=0
2）求 t = 1.0s 波形图.
t x π y = (1.0m) cos[2 π( )- ] 2.0s 2.0m 2 π -1 t = 1.0s y = (1.0m) cos[ - (π m ) x] 2 波形方程
x = T
27
x = u t
● 求解波动问题示例 1、已知波源 x0 的振动方程，写出波动方程
例 一平面简谐波以波速 u 沿 x 轴正向传播 , 在离原点o 的
距离为 x0 处的 p0 点，其振动方程为 y = A cos (ωt + φ)
o
（1）求波动方程；
x0 （2）求o点的振动方程。 x (1) p 点比 p0 点的振动落后 Δt=(x－x0)/ u
平面谐波一般表达：
2 = A cos ( t x) 0
负（正）号代表向 x 正（负）向传播的简谐波
21
2）波的表达式的物理意义
2 = A cos ( t x) 0 当坐标 x 确定(即考察波线上的某一点) 表达式变成ξ－t 关系 表达了 x 点的振动 如图：
u
x = ut
x
所以波动方程描述了波形的传播
y
u
t
时刻
t t 时刻
O
x x
x
( t , x ) = ( t Δt , x Δx )
t x = A cos 2 π( - ) T
t x t t x x 2π( - ) = 2 π( ) T T
t
波面（wave surface）——
媒质振动相位相同的点组成的面（同相面） 波前（wave front）—— 某时刻波到达的最前面的波(振)面
波面 波 线
波前 波前
波振面是 平面的波
平面波
球面波
8
波前 波面

*
球面波
波线
平面波
9
四 波长 波的周期和频率 波速
A O -A
y
u

x
波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相 位差为 2 π 的振动质点之间的距离，即一个完整 波形的长度.
为方便起见,以下均 用SI制,单位略去。
o
1
2
3
4
5
x (m
）
32 = 4m
(1) o点振动方程
y (m)
0.02 t = 0 时波形
u = 200m·-1 s
波动方程:
o vo
1
2
3
4
5
x (m)
(2) t = 0.1 s , x = 10 m 处质点
3 2
位移
速度 加速度
33
例1 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A = 1.0 m ， = 2.0s ， = 2.0m . 在 t = 0 时坐标 T 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 1）波动方程？ 解 ： 写出波动方程的标准式
一 机械波的形成
机械波：机械振动在弹性介质中的传播.
产生条件：1）波源；2）弹性介质.
波源
介质
+
弹性作用
机 械 波
注意
波是运动状态的传播，介质的 质点并不随波传播.
4
二 横波与纵波
横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.
特征：具有交替出现的波峰和波谷.
5
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.
oA
x
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
A = 3 10 m T = 0.5s = 0
-2
= uT = 10m
x y = (3 10 m) cos 4π(t - ) 20
解 （1）解法一：对比法
比较标准形式的波动方程
可得： A = 0.02 m , u = 40 m / s ,
T = 0.01 s
29
解法二：由定义求
(5 x2 - 200t ) - (5 x1 - 200t ) = 2
= x2 - x1 = 0.4
（2）作图 解法一：描点法 。将t值代入波动方程，
特征：具有交替出现的密部和疏部.
6
问：水波是纵波还是横波？
答：水波即不是是纵波也不是横波是 混合波。
横 波
u
水表面的波既非横波又非纵波： 水的流动性和不可压缩性 纵向运动 作二维运动
纵 波
x
水波中水质元 作(椭)圆运动
横向运动
7
三 波线 波面 波前
波线（wave line）—— 表示波的传播方向的射线（波射线）
方法一：
时间推 迟方法
（或由运动的重复关系）
x t = u
o = Acos t 0
点O 的振动状态
点P
15
x tu
时刻点O 的运动
则点P 振动方程:
=
t 时刻点 P 的运动 u A
O
x p = Acos t - 0 u
= (1.0m) sin(π m ) x
-1
y/m 1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t = 1.0 s 时刻波形图
35
3） x = 0.5m 处质点的振动规律并做图 .
t x π y = (1.0m) cos[2 π( )- ] 2.0s 2.0m 2 x = 0.5m 处质点的振动方程
y = (1.0m) cos[(π s )t - π]
再取x 值，算出对应位移y 值。然后描 点、连线，即得 t 时刻波形图（ 具体过 程略 ）。
30
解法二: 意义法。先作出 t = 0 时刻的波形图，再算出 时间 t 内波传播的距离，平移波形即可。
经 t = 0.0025 s , 波形右移 x = u t = 40 × 0. 0025 = 0.1 m = λ/ 4 经 t = 0.005 s , 波形右 移 x = u t = 40× 0.005 = 0.2m = λ/ 2 y t =0 o y t = 0.0025s o y
A
O

u
P
-A
x
*

x
PO x t = = u u
2 2 = t = t = x T
17
点 P 振动方程:

A
O x -A
u

2π = Acos t 0
波函数
x
2π = Acos t 0 x
一、 简谐波（simple harmonic wave）
如果波传播的扰动是简谐振动，这样的 波称为简谐波（余弦波） 一维平面简谐波的表达式（波函数） 以机械波的横波为例，设平面波沿 x方向以 速度 u 传播， 媒质均匀、无限大，无吸收。
13
如何写出平面（一维）简谐波的波函数？
抓住概念：某时刻某质元的相位（振动状态） 将在较晚时刻于“下游”某处出现。 或：沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。
波速 u 与介质的性质有关， 为介质的密度.
u= G
固体
u=

Y
G切变模量 Y弹性模量
横波

纵波
液、气体 u =
B

B体积模量
紧拉的绳索,横波的波速为: u= T

(T张力,是质量线密度)
如声音的传播速度
343 m s 空气，常温 4000 m s 左右，混凝土 12
§13.2 平面简谐波的表达式 波动微分方程
传播方向
b ·
x = x2 - x1
x
图中b点比a点的相位落后：
= 2π
x

其中x叫波程差
（记住！）
25
当 x、t 都变化时
表达了波线上所有质元在各个时刻的位移，波函数 表示波形沿传播方向的运动情况（行波）
如图： ξ o （ λ亦称空间周期） λ t + t 时刻的波形曲线
26
t 时刻的波形曲线
x 2 a = 2 = - Acos[ ( t - ) ] u t
2
20
讨论
2π 1) = A cos (t - x) 0 向x轴正向传播
2π = A cos ( t x) 0 向x轴负向传播
波函数
-A
x
P *

x
x = A cos t - 0 u
2π 或: = Acos t x 0
16
解法二：
相位落后法
由相位关系：P点相位落后 波源的振动相位，所以就 在点振动表达式的基础上 改变相位因子就得到了P的 振动表达式 点 P 比点 O 落后的相位：
y
3 4
O
-1
y/m
1.0 2 0 -1.0*1 2 * 3 *
1

1.0
4 *
2.0
*
*
t /s
x = 0.5 m 处质点的振Βιβλιοθήκη Baidu曲线
36
例2 一平面简谐波以速度 u = 20m / s沿直线传播,波 线上点 A 的简谐运动方程 y A = (3 10-2 m) cos(4 π)t .
u
8m C B 5m 9m D
0.4m 0.8m 0.4m 0.8m 0.4m
x
0.8m
x
t = 0.005s o
x
31
3、已知某时刻波形，写出波动方程
例 一平面简谐波以波速 u = 200 m·s-1 沿x轴正方 向传播 ,在t = 0 时刻的波形如图所示。
(1) 求 o 点的振动方程与波动方程 ； (2) 求t = 0.1s , x = 10 m 处质点的位移、振动速 度和加速度。 A y (m) 解 t=0 时 u=200m·-1 s 0.02 波形

10

周期 T ：波前进一个波长的距离所需要 的时间. 频率 ：周期的倒数，即单位时间内波 动所传播的完整波的数目.

=1 T

波速 ：波动过程中，某一振动状态（即 振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.
u
u=
注意

T
=
u = = Tu
11
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！
ξ o T x点的振动曲线
t
22
波线上各点的简谐运动图
23
当时刻 t 确定(即某一瞬时) 表达式变成ξ-x关系 表达了 t 时刻空间各 点移分布——波形图 如图: ξ t 时刻的波形曲线
o
λ （空间周期）
x
24
从波形图可看出在同一时刻，距波源 o 分别 为x1、x2两质点的相位差:
u
a ·
须知三个条件：
1. 某参考点的振动方程( A, , ) 2. 波长 (或 u) u=T=
14
3. 波的传播方向
以速度u 沿 x 轴正 向传播的平面简谐 波。取平衡位置在 坐标原点处的质 元作参考，点的 振动表达式为：
o = A cos t 0 ，设任意一点 p 坐标为 x