微积分考试试题
初级微积分测试题
初级微积分测试题1. 计算下列函数的导数：a) f(x) = 3x^2 + 4x - 2b) g(x) = 4sin(x) + 2cos(x)c) h(x) = e^x - ln(x^2)解答:a) f'(x) = 6x + 4b) g'(x) = 4cos(x) - 2sin(x)c) h'(x) = e^x - 2/x2. 求下列函数的不定积分：a) ∫(2x^3 + 3x^2 - 5x + 1)dxb) ∫(5sin(x) + 2cos(x))dxc) ∫(e^x + 1/x)dx解答:a) ∫(2x^3 + 3x^2 - 5x + 1)dx = (1/2)x^4 + x^3/3 - 5x^2/2 + x + Cb) ∫(5sin(x) + 2cos(x))dx = -5cos(x) + 2sin(x) + Cc) ∫(e^x + 1/x)dx = e^x + ln|x| + C3. 计算下列定积分：a) ∫[0,1] (x^2 - 3x + 2)dxb) ∫[π/2,π] (2sin(x) + 3cos(x))dxc) ∫[1,e] (ln(x) + x)dx解答:a) ∫[0,1] (x^2 - 3x + 2)dx = (1/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2x |[0,1] = (1/3) - (3/2) + 2 = -1/6b) ∫[π/2,π] (2sin(x) + 3cos(x))dx = -2cos(x) + 3sin(x) |[π/2,π] = -2cos(π) + 3sin(π) - (-2cos(π/2) + 3sin(π/2)) = -2c) ∫[1,e] (ln(x) + x)dx = xln(x) + (1/2)x^2 |[1,e] = e - 1 + (1/2)e^2 - (1/2) = (1/2)e^2 + e - (3/2)4. 求下列函数的极限：a) lim(x→3) (2x^2 - 5x + 3)b) lim(x→0) (3sin(x)/x)c) lim(x→∞) ((2x^2 + 3x + 1)/(x^2 + x))解答:a) lim(x→3) (2x^2 - 5x + 3) = 18b) lim(x→0) (3sin(x)/x) = 3c) lim(x→∞) ((2x^2 + 3x + 1)/(x^2 + x)) = 25. 解以下微分方程：a) dy/dx = 3x^2 + 2x - 1, y(0) = 1b) dy/dx + y = e^x, y(0) = 2c) d^2y/dx^2 + y = 0解答:a) dy/dx = 3x^2 + 2x - 1∫dy = ∫(3x^2 + 2x - 1)dxy = x^3 + x^2 - x + C将y(0) = 1代入得C = 1因此，y = x^3 + x^2 - x + 1b) dy/dx + y = e^x这是一个一阶线性非齐次微分方程解齐次方程dy/dx + y = 0得y = Ce^(-x)令特解为y = Ae^x，代入方程得 A = 1因此，y = Ce^(-x) + e^x将y(0) = 2代入得C + 1 = 2，解得C = 1因此，y = e^(-x) + e^xc) d^2y/dx^2 + y = 0这是一个二阶线性齐次微分方程特征方程r^2 + 1 = 0有两个虚根r = ±i因此通解为y = C1cos(x) + C2sin(x)通过以上测试题，我们可以巩固初级微积分的知识，包括函数的导数、不定积分、定积分、极限和微分方程的解法。
微积分测试题
微积分测试题一、选择题1. 下列函数中，是一次函数的是（）A. y = x^2 - 3x + 1B. y = √xC. y = sin(x)D. y = e^x2. 函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的驻点是（）A. (1, -1)B. (1, 1)C. (2, -4)D. (2, 4)3. 函数 f(x) = ln(x) 在 x = 1 处的极限值是（）A. 1B. 0C. ∞D. -∞4. 函数 f(x) = sin(x) 在π/2 处的导数值是（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在5. 曲线 y = x^3 在 x = 2 处的切线斜率为（）A. 12B. 8C. 4D. 2二、计算题1. 计算函数 f(x) = 2x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 7x + 2 的导函数 f'(x)。
2. 计算曲线 y = sin(2x) 与 x 轴围成的面积。
3. 求函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 4 在 x = 1 处的导数值和二阶导数值。
4. 计算函数 f(x) = e^x 的定积分∫[0, 2] f(x) dx。
5. 求函数 f(x) = ln(x) 在 x = 3 处的斜率。
三、证明题1. 证明函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π/2] 上递增。
2. 证明函数 f(x) = x^2 - 4x + 3 在 x = 2 处存在局部最小值。
3. 证明函数 f(x) = ln(x) 在 x = e 处存在斜率为 1 的切线。
4. 设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且在 (a, b) 内可导，若 f'(x) = 0 在 (a, b) 内有多个根，则证明 f(x) 在 (a, b) 内有多个驻点。
5. 证明函数 f(x) = e^x 的反函数 g(x) = ln(x)。
四、应用题1. 抛物线 y = ax^2 + bx + c 经过点 (1, 5) 和 (2, -4)，求其解析式。
微积分基础试题及答案
微积分基础试题及答案1. 计算函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 5 的导数。
解答:使用导数的定义，对函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 5 进行求导。
f'(x) = lim(h→0) [f(x + h) - f(x)] / h将函数表达式代入求导公式并化简：f'(x) = lim(h→0) [3(x + h)^2 - 2(x + h) + 5 - (3x^2 - 2x + 5)] / h = lim(h→0) [3(x^2 + 2xh + h^2) - 2x - 2h + 5 - 3x^2 + 2x - 5] / h = lim(h→0) [3x^2 + 6xh + 3h^2 - 2x - 2h + 5 - 3x^2 + 2x - 5] / h = lim(h→0) [6hx + 3h^2 - 2h] / h= lim(h→0) [h(6x + 3h - 2)] / h= lim(h→0) 6x + 3h - 2= 6x - 2因此，函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 5 的导数为 f'(x) = 6x - 2。
2. 计算函数 g(x) = sqrt(4x^3 + 2x) 的导数。
解答:使用链式法则来求解函数 g(x) = sqrt(4x^3 + 2x) 的导数。
令 u = 4x^3 + 2x，则 g(x) = sqrt(u)。
g'(x) = du/dx * (d(sqrt(u))/du)计算 du/dx：du/dx = d(4x^3)/dx + d(2x)/dx= 12x^2 + 2计算 d(sqrt(u))/du：d(sqrt(u))/du = 1 / (2 * sqrt(u))= 1 / (2 * sqrt(4x^3 + 2x))将 du/dx 和 d(sqrt(u))/du 代入链式法则公式：g'(x) = (12x^2 + 2) * (1 / (2 * sqrt(4x^3 + 2x)))= (12x^2 + 2) / (2 * sqrt(4x^3 + 2x))= (6x^2 + 1) / sqrt(4x^3 + 2x)因此，函数 g(x) = sqrt(4x^3 + 2x) 的导数为 g'(x) = (6x^2 + 1) / sqrt(4x^3 + 2x)。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。
A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。
A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。
答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。
导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。
2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。
通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。
微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。
四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。
答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。
微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
微积分综合练习试题和参考答案与解析
(1)函数 f(X)=•1 In(x - 2) 的定义域是(2)函数 f(x)=1 ln( x 2)的定义域是 ____________ •答案：(—2, —1)^(—1,2](4)若函数f(x T xs 「x 0在X 二0处连续，则k =x _ 0•答案：k = 1(1)设函数y 二-xe，则该函数是().A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数 D .既奇又偶函数综合练习题1 (函数、极限与连续部分)1 •填空题(3)函数 f (x 2^ x 2 4x 7，贝U f(x)二 _______________________ •答案：f(x^ x 2 3(5) 函数 f(x-1) =x 2 -2x ，则 f(x)二 __________________ .答案：f(x) =x 2 -1x 2 _2x _3(6)函数y _________________________ 的间断点是.答案：x- -1x +1 1(7)lim xsin .答案：1X护 x sin 4x(8)若 lim _______________ 2，则 k = .答案：k = 2―0 sin kx2.单项选择题答案：B(2)下列函数中为奇函数是( ).答案：CA. xsin xln (x . 1 x 2) D . x x 2).D . x 卞 一5 且 x = -4x(3)函数y ln(x • 5)的定义域为(x +4A. x 占-5 B . x -4 C . x 占 一5 且 x = 0答案：D2(4)设 f(X * 1) = X 「1 ,则 f(X)二( )A. x(x 1)C. x=1,x=2, x=3D x 2 -3x 2(1)(2)解: limX —3x 2 -3x 2x 2 -4-9(x-2)(x-1) (x-2)(x 2)lim x =3 x-9(x-3)(x 3)-2x -3xB (x -3)(x 1)= lim 』^X —3 X 14 2答案：A3.计算题-4C. x(x _2)D . (x +2)(x —1)答案： Ce^2,x 式0亠 (5) 当k =(）时，函数f f(x) =在x=0处连续..k,x = 0A. 0B. 1C .2D . 3答案:Dx +1,x 式0 (6) 当k =(）时，函数f f(x)—w，在X = 0处连续、k,x = 0 A. 0 B. 1C .2D .-1答案:B(7) 函数f (x)x —3— 2 的间断点是（)X 2 _3x +2A. x =1,x = 2B.x =3.无间断点解:WORD 格式整理版综合练习题2 （导数与微分部分）(3)解:lim "卫二 lim HX T x 2 -5x 4x —4 & -4)(x -1)二lim x j4x -2x —11 •填空题(1)曲线f(x) __________________________________ ・1在(1,2)点的切斜率是11答案：2(2)_______________________________________________________ 曲线f(x) =e x在(0,1)点的切线方程是 __________________________________________ •答案：y = x • 1(3)已知f (x^ x3 3x，则f (3) =答案： f (x) =3x23x ln3f (3) =27 (1 ln 3)(4)已知f(x) = In x ,贝U f (x) = _____________________ •1 1答案：f (x) , f (x) = 2x x(5)若f (x) _______________________________ ，贝y f (0)二答案：f (x)二「2e» xe」f (0) =「22.单项选择题(1)若f (x) = e^ cosx，贝U f (0)= ( ) •A. 2B. 1C. -1D. -2因f (x) = (e“ cosx) = (e“)cosx e^(cosx)-x X x=-e cosx -e sin x = -e (cosx sinx)所以f (0) - -e-0 (cos0 sin0) - -1答案：C(2)设y = lg2 x，则dy 二(1 1A. dx B dx2x xln 10答案：B(3)设y二f (x)是可微函数，则)•ln 10 1 C •dx D • 一dxx x df(cos2x)二( )•A • 2f (cos2x)dxB f (cos2x)sin 2xd2x(4)若 f(X) . 丄3=si nx a，其中a 是常数，则f (x) =().A2.cosx 3a B. sin x 6ac.-sin xD.cosx答案 :C3.计算题1e ，求八(1 )设 y = x 211 2 1 .1C . 2f (cos2x)sin 2xdxD . - f (cos2x)sin2xd2xx(2 )设 y = sin 4x cos 3 x ，求 y .2解: y = 4cos4x 3cos x(-sinx)2= 4cos4x 「3sinxcos x(3 )设 y = e % 12，求讨.x答案：D21 解： / = 2xe x x 2e x (-p)二 e x (2x-1)A.单调增加 B .单调减少C.先增后减 D •先减后增答案：D(2)满足方程f (x) =0的点一定是函数y二f (x)的( ).A极值点 B.最值点 C .驻点 D.间断点答案：C(3)下列结论中( )不正确.A . f (x)在X=X0处连续，则一定在X0处可微.B . f(X)在X = X0处不连续，则一定在X0处不可导•C •可导函数的极值点一定发生在其驻点上•D.函数的极值点一定发生在不可导点上•答案：B(4)下列函数在指定区间(-：：,•：：)上单调增加的是( ).A . sinxB . e XC . X10D . 3「x答案：B3.应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形，容积为108m i的长方体开口容器，怎样做法用料最省?解：设底边的边长为xm,高为h m容器的表面积为y m l。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分试题及答案
微积分试题及答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数是：A. 0B. 2C. 4D. 8答案：C2. 定积分 \( \int_{0}^{1} x dx \) 的值是：A. 0B. 0.5C. 1D. 2答案：B二、填空题1. 若 \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x \)，则 \( f'(x) \) 等于__________。
答案：\( 9x^2 - 4x + 1 \)2. 曲线 \( y = x^3 \) 与直线 \( y = 6x \) 相切的点的横坐标是__________。
答案：2三、简答题1. 请说明如何求函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数。
答案：函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数可以通过对数函数的导数公式求得，即 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。
2. 计算定积分 \( \int_{1}^{e} e^x dx \)。
答案：首先找到 \( e^x \) 的原函数，即 \( e^x \) 本身。
然后根据定积分的计算法则，代入上下限得到 \( e^e - e \)。
四、计算题1. 求曲线 \( y = x^2 + 3x - 2 \) 在 \( x = -1 \) 处的切线斜率及切点坐标。
答案：首先求导得到 \( y' = 2x + 3 \)。
将 \( x = -1 \) 代入得到切线斜率 \( m = 1 \)。
切点坐标为 \( (-1, 0) \)。
2. 计算由曲线 \( y = x^2 \)，直线 \( y = 4x \) 及 \( x \) 轴所围成的平面图形的面积。
答案：首先求出两曲线的交点，然后计算定积分 \( \int_{0}^{2} (4x - x^2) dx \)，结果为 \( \frac{16}{3} \)。
五、证明题1. 证明 \( \frac{d}{dx} [(x^2 + 1)^5] = 10x(x^2 + 1)^4 \)。
微积分试卷及规范标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A │< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分基础试题及答案
微积分基础试题及答案微积分是数学中的重要分支之一，它研究的是函数的变化规律与积分求解等问题。
而作为微积分学习的基础，我们需要掌握一些基本的概念和技巧。
本文将为您提供一些微积分基础试题及答案，帮助您巩固相关知识。
一、选择题1. 函数 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x 的导数是：A. f'(x) = 6x^2 - 10x + 3B. f'(x) = 6x^2 - 10x + 9C. f'(x) = 6x^2 - 5x + 3D. f'(x) = 6x^3 - 5x^2 + 3答案：A2. 函数 f(x) = e^x ln x 的导数是：A. f'(x) = e^x ln x + e^x/xB. f'(x) = e^x/xC. f'(x) = e^x ln x + 1D. f'(x) = e^x ln x + e^x答案：C3. 曲线 y = x^3 + 2 在点 (1, 3) 处的切线斜率为：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题1. 假设函数 f(x) = x^2 + 2x 的不定积分为 F(x)，则 F(x) = 。
答案：(1/3)x^3 + x^2 + C （C为常数）2. 曲线 y = 2x^3 + 3x^2 - x + 1 在 x = 0 处的切线方程为 y = 。
答案：y = -x + 1三、简答题1. 请解释导数的几何意义。
答案：导数表示函数曲线在某一点处的切线斜率，即函数在该点附近的变化率。
几何意义上，导数可理解为函数曲线在该点处的局部近似线性变化率。
2. 什么是定积分？定积分的几何意义是什么？答案：定积分是通过将曲线下的面积划分成无穷多个区间，并将各个区间的面积累加得到的数值。
几何意义上，定积分表示曲线与 x 轴之间的有向面积。
当曲线在 x 轴上方时，定积分为正值；当曲线在 x 轴下方时，定积分为负值。
微积分考试题目及答案
微积分考试题目及答案一、选择题1. 下列哪个选项描述了微积分的基本思想？A. 求导运算B. 求积分运算C. 寻找极限D. 都是答案：D2. 求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2的导数是多少？A. f'(x) = 4x^2 + 6xB. f'(x) = 6x^2 + 3xC. f'(x) = 6x^2 + 6xD. f'(x) = 4x^2 + 3x答案：A3. 计算积分∫(2x^2 + 3x)dxA. x^3 + 2x^2B. x^3 + 2x + CC. (2/3)x^3 + (3/2)x^2D. (2/3)x^3 + 3x^2答案：C二、填空题4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x的导数为_________答案：f'(x) = 6x + 25. 计算积分∫(4x^3 + 5x)dx = __________答案：x^4 + (5/2)x^2 + C6. 函数y = x^2在点x=2处的切线斜率为_________答案：4三、解答题7. 求函数y = x^3 + 2x^2在x=1处的切线方程。
解：首先求函数在x=1处的导数，f'(x) = 3x^2 + 4x。
代入x=1得斜率为7。
又因为该点经过(1,3)，故切线方程为y = 7x - 4。
8. 求曲线y = x^3上与x轴围成的面积。
解：首先确定曲线截距为(0,0)，解方程得x=0。
利用定积分区间求解：∫[0,1] x^3dx = 1/4。
以上为微积分考试题目及答案，希望对您的学习有所帮助。
感谢阅读！。
大学微积分试题及答案
大学微积分试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处一定有极值C. f(x)在点x=a处的导数为0D. f(x)在点x=a处的导数一定大于0答案：A2. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A3. 函数f(x)=x^3-3x+2的导数是：A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3D. x^3-3答案：A4. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的凹凸性是：A. 凹B. 凸C. 不确定D. 既非凹也非凸答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=2x^2-4x+3的极小值点是______。
答案：12. 曲线y=x^3-3x在点(2,5)处的切线斜率是______。
答案：33. 函数f(x)=x^2-6x+8的单调递增区间是______。
答案：[3, +∞)4. 曲线y=x^2-4x+3在x=2处的法线方程是______。
答案：y=-x+7三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4x-2在区间[0,3]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+4。
令f'(x)=0，解得x=1, 2。
在区间[0,1]上，f'(x)>0，函数单调递增；在区间[1,2]上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间[2,3]上，f'(x)>0，函数单调递增。
因此，函数在x=1处取得极大值f(1)=1，在x=2处取得极小值f(2)=-2。
在区间端点处，f(0)=-2，f(3)=1。
所以，函数在区间[0,3]上的最大值为1，最小值为-2。
2. 求由曲线y=x^2与直线y=4x-3围成的面积。
物理微积分试题及答案
物理微积分试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 微积分中，函数的导数表示的是：A. 函数在某一点的斜率B. 函数在某一点的面积C. 函数在某一点的体积D. 函数在某一点的切线方程答案：A2. 以下哪个选项是牛顿-莱布尼茨公式的表述？A. 微分和积分是互为逆运算B. 定积分的值等于原函数的差C. 微分是积分的逆运算D. 积分是微分的逆运算答案：B3. 在物理学中，下列哪个量不是标量？A. 速度B. 力C. 温度D. 压力答案：B4. 根据能量守恒定律，下列哪个说法是正确的？A. 能量可以在不同形式之间转换，但总量不变B. 能量可以在不同形式之间转换，总量会减少C. 能量可以在不同形式之间转换，总量会增加D. 能量不能在不同形式之间转换答案：A5. 以下哪个选项是正确的微分方程形式？A. \(\frac{dy}{dx} = y\)B. \(\frac{dy}{dx} = x\)C. \(\frac{dy}{dx} = y^2\)D. 以上都是答案：D6. 根据麦克斯韦方程组，电场和磁场之间的关系是：A. 电场产生磁场B. 磁场产生电场C. 电场和磁场相互独立D. 以上都不是答案：B7. 以下哪个是正确的物理定律？A. 牛顿第一定律B. 牛顿第二定律C. 牛顿第三定律D. 所有选项答案：D8. 在热力学中，下列哪个是正确的？A. 温度是热能的量度B. 热量是热能的量度C. 熵是系统无序度的量度D. 所有选项答案：D9. 根据量子力学，下列哪个是正确的？A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的行为遵循经典力学定律D. 粒子的行为遵循相对论定律答案：B10. 在电磁学中，下列哪个是正确的？A. 电场线是实际存在的物理实体B. 磁场线是实际存在的物理实体C. 电场线和磁场线都是虚拟的，用于描述场的分布D. 电场线和磁场线都是实际存在的物理实体答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 微积分中的导数定义为函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋向于零时的极限，即 \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\)。
微积分基础试题及答案
微积分基础试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2的导数是：A. 2xB. x^2C. 2x^2D. x答案：A2. 曲线y=e^x在x=0处的切线斜率是：A. 1B. eC. e^0D. 0答案：A3. 定积分∫(0 to 1) x dx的值是：A. 1/2B. 1/3C. 1D. 0答案：A4. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是：A. cos(x)B. sin(x) + CC. -cos(x) + CD. cos(x) + C答案：D5. 极限lim(x→0) (1/x)的值是：A. 0B. ∞C. -∞D. 不存在答案：D6. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点是：A. x=1B. x=2C. x=1或x=2D. x=0答案：C7. 曲线y=ln(x)在x=e处的切线方程是：A. y=x-1B. y=x+1C. y=1-xD. y=1+x答案：A8. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B9. 曲线y=x^3-3x^2+2x的拐点是：A. x=0B. x=1C. x=2D. x=3答案：B10. 函数f(x)=x^2-4x+4的对称轴是：A. x=2B. x=-2C. x=0D. x=4答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的二阶导数是______。
答案：6x2. 定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx的值是______。
答案：13. 函数f(x)=x^2+3x+2的零点是______。
答案：-1和-24. 曲线y=x^2在x=1处的切线斜率是______。
答案：25. 函数f(x)=e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C6. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是______。
答案：07. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是______。
微积分期末测试题(附答案)
5.已知 lim f (x)0 及( X x①g (x )为任意函数时 ③仅当lim g(x) 0时x x 0),则 lim f(x)g(x)0.x x②当g (x )为有界函数时 ④仅当lim g(x)存在时x x 0二填空题(每小题5分,共15分)x sin x1. lim ---------- ------------------ . xx sin x4.由方程e x y xy 0确定隐函数y =f (x ),求dy .dx 5.设为 1,x n 1xn^ ,求 lim x n .1焉1 x一单项选择题(每小题3分，共15分) 1. 设 limf(x) k ,那么点 x =a 是 f (x )的( ).x a ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点2. 设f (x )在点 x =a 处可导,那么lim —h)—包 (h 0h① 3f (a) ② 2f (a) ③ f (a)3. 设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为①(-1,1) ③(0,+ g )4.设 lim f(x) 学)1,那么 f (x )在 a 处( ).x a(x a) ①导数存在，但f (a)0 ②取得极大值③取得极小值④以上结论都不对 ).1④一 f (a) 3( ).④(-m ，+ m )④导数不存在3. y ln(x 2x ),求dy 和d 2ydx 2f (0) ____________2.X 6. Iim(3 x .ax bx c) 2,求常数 a ,b .x四证明题(每小题10分，共30分) 1. 设f (x )在(4，+ g )上连续，且lim 丄凶lim 丄凶0 ,证明：存在 (X X X Xf( )0 .2. 若函数f (x )在［a ,+ g ］上可导，对任意x € (a,+ g ),有f (x) M ,M3. 证明函数y sin 1在(C ,1)内一致连续，但在(0,1)内非一致连续x答案一单项选择题(每小题3分，共15分) 1.④ 2.① 3.④ 4.③5.②二填空题(每小题5分,共15分) 1 .),使是常数，则limxf(x)0.x sin x1. limxxsin x 2. lim(1 x1 \X 3 )1,lim (丄x 1l n x 宀） 1 解:lim( ------x 1 l n x &) lim (x 1) lnx x 1(x 1)ln xlim11 1 - xlim (x 1) x ln xxx 1 xln x x 1l i mi x 2. y ln x t e te t dx 2 dy dt dt — dx (e t 1te t ) -T (t 1)ed 2y dx 2 dx dt 3. y ln(x 一 1 2x ),求dy 和 dx 2 . 解:dy dln(x 1 x 2) 1 x J I1dx, 1 x 2 d 2y d r _(dx d( .1 x x 2)) 1 d (x .1 x 21 x J =f(dx xx . \「cdx)dx 2 .(1 x 2)3 2x x(1 x 2)3 4.由方程e x yxy 0确定隐函数y =f （x ）,求dydx解:方程两边求微分得 d(e x y xy) 0,即d e x y (dx dy) 所以,dydx y x e e x y dxy ydx xdy e x y y x 5.设 X 1 1,X n1x n^ ,求 lim x n .1 X n 1xk口 0,所以｛X n ｝单调增加;(1 X k )(1 X k 1)f( )故 x( 1) f (x) x x( 1) 0,取b X,所以当 x b 时有f(x) x 0,特别的f(b) 0同理可得存在a 0,使得f(a) 0. 而f (x)在(，)上连续,所以在闭区间［a,b ］连续， 从而 F(x) f (x) x 在［a,b ］上连续，而F(a) 0,F(b) 0,所以由闭区间上连续函数性质 (零点存在定理)得 存在 (，),使得F( ) f( )0.证明： 先证｛x n ｝单调增加.显然x 2 x 1,设n k 时成立，即x k x k 1,当Xk) X k (1 X k 11 X k 1X k (1 X kJ X k i (1 xQ (1 X k )(1 X k i )2,所以由单调增加有界数列必有极限得｛ X n ｝收敛.令 n im o x阿1亡)6. lim(3 XX解:显然a limXlimX1旦,得a1 alim x nn 01 lim x n nn5舍去).2一 ax 2 bx c) 2,求常数a ,b .、ax 2 bx c)0,lim(3 xX3x Jax 2 bx c(3x.ax 2 bx c)(3x3x . ax 2 bx c 9x 2ax 2bx c3 i a得0,2,得 ab四证明题(每小题10分,共30分) f (x) 1.设f (x )在(-g ，+ g )上连续，且lim所以,9 a\ ax 2bx c) o /bc3 ■a—2X X 9x axb cXi 9,b 3.lim f(-) 0，证明：存在(x x),使证明：因为limXf(x) Xf x x)成立，即 X0,所以对0<f(x) x ,1,存在X 0,使得当x X 时,有显然 a,则”叫X n 1 2limX2.若函数f(x)在［a,+ g ］上可导，对任意x € (a,+ g ),有f (x) M ,M 是常数，则0.lim xf(x) T ~ X 证明：因为f(x)在区间(a,)满足f(x) M,所以满足李普希兹条件, 即：对任意的 X \,x 2 (a,),有 f(xj f (x 2) M x 1 x 2 . 令b a,则x (a,),有 f(x) f (b) M x b 成立. 我们知lim 卑 0,故要证lim 卑 0,只需证lim f(x) 2f(b)0. x x x x xxx b 时,对任意给定的 0,要使 只需x 型即可，令X max{b,^}, 则当 x X 时，-f(x)2f(b)成立 x 即lim f (x)2f (b)0,所以得证. x x 1 3.证明函数y sin 在(c ,1)内一致连续，但在(0,1)内非一致连续. xX, X o <1,对任意的 0,要使 证明:设0 c1 11 1 1 一 sin — 2cos(-— -)sin( X X 0 2x 2X 0 2x/X X c cos( 、・ z X X 。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题1. 设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，那么 f'(1) 的值是多少？A. -1B. -4C. -3D. 0答案：C2. 给定曲线 y = 2e^x - x，求当 x = 0 时，曲线的切线方程为？A. y = 1 - xB. y = x - 1C. y = e - xD. y = x - e答案：A3. 对于函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1，在 [0,2] 区间上的定积分为？A. 12B. 10C. 14D. 16答案：C二、填空题1. 设函数 g(x) = 2x^3 - 6x + 5 的不定积分为 F(x)，那么 F(2) 的值为________。
答案：272. 设函数 h(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 5x - 2，那么 h'(x) 的导函数为_________。
答案：4x^3 - 6x^2 + 6x + 5三、解答题1. 计算函数f(x) = ∫[0,2] (3x^2 + 2x + 1) dx 的值。
解答步骤：首先对 f(x) 进行积分得到 F(x) = x^3 + x^2 + x + C。
然后将积分上下限代入 F(x)，得到 F(2) = 2^3 + 2^2 + 2 + C = 14 + C。
由于题目没有给定积分常数 C，所以无法具体计算 F(2) 的值。
2. 求函数g(x) = ∫[-1,1] (2x^3 - 6x + 5) dx 的值。
解答步骤：首先对 g(x) 进行积分得到 G(x) = x^4 - 3x^2 + 5x + C。
然后将积分上下限代入 G(x)，得到 G(1) - G(-1) = (1^4 - 3(1)^2 +5(1)) - ((-1)^4 - 3(-1)^2 + 5(-1))= (1 - 3 + 5) - (1 - 3 - 5) = 3 - (-7) = 10。
微积分测试题(附答案)
微积分测试题（附答案）【编号】ZSWD2023B0088 一、选择题(每题2分)1、x=-1是函数x =221x xx x 的（ ） A、跳跃间断点 B、可去间断点 C、无穷间断点 D、不是间断点2、设x 定义域为（1,2），则lg x 的定义域为（ ） A、（0,lg2） B、（0，lg2C、（10,100）D、（1,2）3、试求02lim x x等于（ ）A、 14B、0C、1D、 4、若1y xx y，求y 等于（ ） A、22x y y x B、22y x y x C、22y x x y D、22x yx y5、曲线221xy x的渐近线条数为（ ） A、0 B、1 C、2 D、36、下列函数中，那个不是映射（ ）A、2y x (,)x R y RB、221y x C、2y x D、ln y x(0)x二、填空题（每题2分） 1、__________2、、2(1))lim()1x n xf x f x nx 设 （，则 的间断点为__________3、21lim 51x x bx ax已知常数 a、b,，则此函数的最大值为__________4、263y x k y x k 已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 2111x y y x 求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________三、判断题（每题2分）1、221x y x函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim若，就说是比低阶的无穷小( ) 4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( )四、计算题（每题6分） 1、1sin xy x求函数 的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy已知），求 3、2326x xy y y x y 已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x xx x求5、计算6、21lim (cos )x x x计算五、应用题（每题6分）1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x （，总成本函数为2()20050C x x x ，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分）2、描绘函数21y x x的图形（12分）六、证明题（每题6分）1、用极限的定义证明：设01lim (),lim (x x f x A f A x则 2、证明方程10,1xxe 在区间（）内有且仅有一个实数【编号】ZSWD2023B0088参考答案 一、选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B二、填空题1、0x2、6,7a b3、184、35、20x y三、判断题1、√2、×3、√4、×5、×四、计算题 1、解：1sin1sin1sinln 1sinln 22))1111c o s ()ln s in 1111(c o s ln s in xxx xx xy x ee x x x x x xx x x x x（（2、解：22()112(arctan 121arctan d y f x d x xx x d x x xxd x3、解：2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y x y y y x yy x y y x y x y y y y x y4、解：2223000ta n sin ,1co s 21tan (1co s )12lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x xQ :::当时，原式=5、解：65232222261)61116116(1166a r c t a n 66a r c t a nx t d x t t t t t t t t t t CC令t =原式（6、解：2201ln c o s 01li mln c o s 20200012l i m 1l i m l n c o s l n c o s l i m 1(s i n )c o s l i m 2t a n 1l i m 22x xx x xx x x x x eex xxx x x xx x e原式其中：原式五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x a aL x x L x a a ax T a T a T a令得此时取得最大值税收T=令得当时，T取得最大值2、解：2300,01202201D x y x x y x y x y x，间断点为令则令则渐进线：32li m li m 001li m x x x y y y x y y x y x x 无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题 1、证明：lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x M M M x f A xf A xQ 当时，有取=，则当0时，有即2、证明：()1()0,1(0)10,(1)100,1()0,1()(1)0,(0,1)()0,110,1x x x f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe Q Q 令在（）上连续由零点定理：至少存在一个（），使得即又则在上单调递增方程在（）内有且仅有一个实根。
(完整word版)微积分考试试题
《微积分》试题一、选择题（3×5=15）1、.函数f (x)=1＋x3＋x5,则f (x3＋x5)为( d )(A)1＋x3＋x5(B)1＋2(x3＋x5)(C)1＋x6＋x10(D)1＋(x3＋x5)3＋(x3＋x5)52、.函数f(x)在区间[a,b] 上连续，则以下结论正确的是( b )(A)f (x)可能存在，也可能不存在，x∈[a，b]。
(B)f (x)在[a，b] 上必有最大值。
(C)f (x)在[a，b] 上必有最小值，但没有最大值。
(D)f (x)在(a,b) 上必有最小值。
3、函数的弹性是函数对自变量的（ C ）A、导数B、变化率C、相对变化率D、微分4、下列论断正确的是（ a ）A、可导极值点必为驻点B、极值点必为驻点C、驻点必为可导极值点D、驻点必为极值点5、∫e－x dx=( b )(A)e－x＋c (B)－e－x＋c (C)－e－x(D)－e x ＋c二、填空题（3×5=15）1.设，则 。
[答案： ]2．函数ｙ＝ｘ＋ｅx 上点 (0,1) 处的切线方程是_____________。
[答案：２ｘ－ｙ＋１＝０]3、物体运动方程为S=11+t （米）。
则在t=1秒时，物体速度为V=＿＿＿＿，加速度为a=＿＿＿＿。
[答案：41-，41]4.设,则 。
[答案：34]5．若⎰+=c e 2dx)x (f 2x ，则f(x)=_________。
[答案：2x e ]三、计算题 1、设x sin ey x1tan = ，求dy 。
（10分）解：dy=d x sin ex1tan =dx x sin x 1sec x 1x cos e22x1tan⎪⎭⎫ ⎝⎛-2．计算⎰+2x )e 1(dx。
（15分）解：原式＝⎰+-+dx )e 1(e e 12x x x ＝⎰⎰++-+2x x x )e 1()e 1(d e 1dx ＝⎰+++-+x x x x e 11dx e 1e e 1 ＝x-ln(1+e x )+xe11+ +c3.求（15分）解：4．设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（ 比例常数为ｋ）０ ）求速度与时间的关系。
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《微积分》试题
一、选择题（3×5=15）
1、.函数f (x)=1＋x3＋x5,则f (x3＋x5)为(d)
(A)1＋x3＋x5(B)1＋2(x3＋x5)
(C)1＋x6＋x10(D)1＋(x3＋x5)3＋(x3＋x5)5
2、.函数f(x)在区间[a,b] 上连续，则以下结论正确的是(b)
(A)f (x)可能存在，也可能不存在，x∈[a，b]。
(B)f (x)在[a，b] 上必有最大值。
(C)f (x)在[a，b] 上必有最小值，但没有最大值。
(D)f (x)在(a,b) 上必有最小值。
3、函数的弹性是函数对自变量的（ C ）
A、导数
B、变化率
C、相对变化率
D、微分
4、下列论断正确的是（ a ）
A、可导极值点必为驻点
B、极值点必为驻点
C、驻点必为可导极值点
D、驻点必为极值点
5、∫e－x dx=(b)
(A)e－x＋c(B)－e－x＋c (C)－e－x(D)－e x ＋c
二、填空题（3×5=15）
1.设，则。
[答案： ]
2．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点(0,1) 处的切线方程是_____________。
[答案：２ｘ－ｙ＋１＝０]
任课教师：系主任签字：
3、物体运动方程为S=1
1+t （米）。
则在t=1秒时，物体速度为V=＿＿＿＿，加速度
为a=＿＿＿＿。
[答案：41-，4
1 ]
4.设,则 。
[答案：
3
4]
5．若⎰
+=c e 2dx )x (f 2
x ，则
f(x)=_________。
[答案：2
x
e ]
三、计算题 1、设x sin e
y x
1tan = ，求dy 。
（10分）
解：dy=d x sin e x
1tan =dx x sin x 1sec
x 1x cos e
22x
1tan
⎪⎭
⎫ ⎝⎛- 2．计算
⎰+2x )e 1(dx。
（15分）
解：原式＝⎰+-+dx )e 1(e e 12x x x ＝⎰⎰++-+2x x x )e 1()e 1(d e 1dx ＝⎰+++-+x
x x x e
11
dx e 1e e 1 ＝x -ln(1+e x )+x
e
11
+ +c
3.求
（15分）
解：
4．设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（ 比例常数为ｋ）０ ）求速度与时间的关系。
（15分）
解：设速度为ｕ，则ｕ满足ｍ＝dt
du
＝ｍｇ－ｋｕ 解方程得ｕ＝
k
1
（ｍｇ－ｃｅ-kt/m ） 由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得ｕ＝k
mg
（１－ｅ-kt/m ）
5．设函数f(x)，g(x)在[a,b]上连续且f(a)>g(a)，f(b)<g(b)，求证：在（a,b ）内，曲
线y=f(x)与y=g(x)至少有一个交点。
（15分）
证：据题意F(x)=f (x)-g (x)，显然在[a,b]上连续且F(a)=f (a)-g (a)>0，F(b)=f (b)-g(b)<0，据闭区间上连续函数的零值定理，可知：在（a,b ）内至少存在一点ξ，使F （ξ）=0，即f (ξ)-g (ξ)=0，所以
f (
《微积分》试题（二）
开卷( ) 闭卷(√) 适用专业年级：2008级农资等
姓名 学号 专业 班级
本试题4大题，共4页，满分100分。
考试时间120分钟
2、试卷若有雷同以零分计
3、请将选择填空题答在指定位置,否则无效 一、填空题（每空2分，共20分）
1、 。
2、 。
3、 。
4、=a , =b 。
5、 。
6、 。
7、 。
8、 。
9 。
1、当0→x 时x cos 1-与n
x 为同阶无穷小,则=n 。
2、已知,0≠m ⎩⎨⎧==t
y t x m ln ,则=dx dy。
3、设)(x f 是定义在实数集上以2为周期的函数,且)11()(≤<-=x e x f x
,则
=⎪⎭
⎫
⎝⎛23f 。
4、已知bx ax x x f ++=2
3)(在1-=x 处取得极小值2-,则=a , =b 。
5、
()=+'⎰⎰D
dxdy y x
f 22
,其中{}
41),(22≤+≤=y x y x D 。
6、由抛物线2
x y =与直线0,1==y x 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 。
7、=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+∞→1
11lim x x x x 。
8、已知)(x f 在0x 点连续,且A x x x f x x =-→0
)
(lim
,则=')(0x f 。
9、xy y ='的通解为 。
1、a x f x x =→)(lim 0
是a x f x x =→)(lim 0
的（ ）条件。
A 、充分
B 、必要
C 、既不充分也不必要
D 、充要
2、若实系数方程0012
23344=++++a x a x a x a x a 有四个实根，则方程
023*******=+++a x a x a x a 的实根个数为（ ）。
A 、1
B 、2
C 、3
D 、0
3、设在区间],[b a 上)(x f 可导且0)(>'x f ，令()a b b f s dx x f s b
a -==⎰)(,)(21，
则有（ ）。
A 、21s s <
B 、21s s >
C 、21s s =
D 、无法判断 4、下列广义积分收敛的是（ ）。
A 、
⎰
+∞
+1
21dx x x B 、⎰1021sin 1dx x x C 、⎰+∞+1211
dx x D 、⎰+∞1x
dx 5、已知f 是R 上的可微函数,()
,x
e f y =则
==0
x dx
dy
（ ）。
A 、()x
e
f ' B 、()x
x
e f e ' C 、)1(f D 、)1(f '
6、函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1
cos 1
2
)(x x a x x x f π在定义域内处处连续，则=a （ ）。
A 、2
B 、-2
C 、1
D 、-1
7、⎪⎩⎪
⎨⎧=≠+=)0,0(),(0
)0,0(),(),(22y x y x y x xy
y x f 在（0，0）点（ ）。
A 、可微
B 、连续
C 、有极限
D 、偏导数存在 8、若A x f x x =→)(lim 0
，则)(x f 在0x 点（ ）。
A 、有定义
B 、无定义
C 、A x f =)(0
D 、以上答案都不对 9、()3
1-=x y 的极值点个数为（ ）。
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3 10、),(,0y x f b a <<在2
R 上连续，⎰⎰
=x
a b
a
dy y x f dx ),(（ ）。
A 、
⎰⎰
x
a
b
a
dx y x f dy ),( B 、⎰⎰b
a
b
a
dx y x f dy ),(
C 、
⎰⎰
x b
b
a
dx y x f dy ),( D 、⎰⎰b
y
b a dx y x f dy ),(
三、计算题（每小题10分，共50分）
1、计算4
2
sin lim
x
tdt x x ⎰→
2、已知)(x f y =是由方程y
e xy -=1所确定的隐函数,求)0(y ''。
3、计算⎰+dx x x
2cos 1cos ln 。
4、求函数xyz
e x u 3=的全微分du 。
5、计算⎰⎰D
y
x d e
σ，其中D 是由直线1,,=-==y x y x y 所围成的平面有界闭区域。
四、证明题（10分）
证明：对任意的,0>x 不等式)1ln()1(1x x e x
++>-成立。