函数的概念(1)
函数的概念
1.2.1 函数的概念1．函数的概念(1)函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．比如，甲、乙两地相距30 km，某人骑车从甲地去乙地，速度是12 km/h，出发t小时后行驶的路程是s km，则s是t的函数，记为s＝12t，定义域是{t|0≤t≤2.5}，值域为{s|0≤s≤30}．对集合{t|0≤t≤2.5}中的任意一个实数，在集合{s|0≤s≤30}中都有唯一的数s＝12t和它对应．对函数概念的理解①“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．②函数的三要素是：定义域、对应关系、值域．定义域就是非空数集A，而值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．例如，设集合A＝{x|x≠0，x∈R}，B＝R，按照确定的对应关系f：取倒数，对于集合A中的任意一个数x，在B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，于是y＝f(x)＝1x就称为从集合A到集合B的一个函数．此时A是函数y＝1x的定义域，而值域D＝{y|y≠0，y∈R}，显然D≠B，但D⊆B．③函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．【例1－1】下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝12x-D．A＝Z，B＝Z，f：x→y解析：对于A项，x2＋y2＝1可化为y=x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．答案：B点技巧判断一个对应关系是否是函数关系的方法从以下三个方面判断：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任一实数在B中必须有实数和它对应；(3)A中任一实数在B中和它对应的实数是唯一的．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．【例1－2】下列图形中不能确定y是x的函数的是( )解析：y是x的函数，必须满足对于任意给定的x值，y都有唯一确定的值与之对应．图象A，B，C所表示的对应关系能构成函数，因为任意给一个变量x，都有唯一确定的f(x)和它对应．但图象D不是，它表示的对应关系中，对于自变量x，一般都有两个函数值和它对应，不符合函数的定义．答案：D点技巧由图形判断从A到B的对应是否是函数关系有技巧(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在集合A中移动直线l；(3)若直线l与集合B所在图形有且只有一个交点，则是函数；否则不是函数．(2)对符号f(x)的理解①f(x)表示关于x的函数，又可以理解为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开写符号f(x)，如f，x，(x)等是没有意义的．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算，例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5；②对于f(x)中x的理解，虽然f(x)＝3x与f(x＋1)＝3x从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f施加法则的对象不一样(一个为x，而另一个为x＋1)，因此函数解析式也是不一样的；③函数符号f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字、描述等；④f(x)与f(a)，a∈A的关系：f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个值域内的值，是常量，如f(x)＝x＋1，当x＝3时，f(3)＝3＋1＝4．【例1－3】已知函数f (x )＝3x 2－5x ＋2．(1)求f (3)，(f ，f (a )，f (a ＋1)；(2)若f (x )＝0，求x ．分析：(1)直接将自变量的值代入函数关系式计算求解；(2)已知函数值为0，建立关于自变量x 的方程，求解即可．解：(1)f (3)＝3×32－5×3＋2＝14，f()＝3×()2－5×()＋2＝8＋，f (a )＝3a 2－5a ＋2，f (a ＋1)＝3(a ＋1)2－5(a ＋1)＋2＝3a 2＋a ．(2)∵f (x )＝0，∴3x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝1或23x =．辨误区 求函数值易出现的错误 求函数值时，注意将对应的x 的值或代数式整体代入函数关系式求解，否则容易导致错误，例如本题容易将f (a ＋1)误解为f (a )＋1，从而得出f (a ＝1)＝3a 2－5a ＋3的错误结论．【例1－4】已知函数1()1f x x =+，g (x )＝x 2＋2，则f (g (2))＝__________，g (f (2))＝__________．解析：g (2)＝22＋2＝6，f (g (2))＝f (6)＝11167=+，f (2)＝11123=+，g (f (2))＝21133g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋2＝199． 答案：17 199 点技巧 函数值的求法 求函数值时，首先要确定函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f (g (x ))型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f (g (x ))与g (f (x ))的区别．2．区间区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式．设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ．我们规定：(1)满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b ]；(2)满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b )；(3)满足不等式a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．其中a 叫做左端点，b 叫做右端点． 实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 的实数x 的集合分别表示为[a ，＋∞)，(a ，＋∞)，(－∞，b ]，(－∞，b )．谈重点(1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a称之为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}．(2)对于一个点的集合，可以在数轴上用一个实心点表示．(3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心与空心的区别．(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示，而对于取值范围，则既可以用区间也可以用集合，还可以用不等式直接表示．(5)由于区间是集合的一种形式，因此对于集合的运算和集合中的符号仍然成立．如x [2，＋∞)，[0,6) [－1,3]＝[0,3]等．(6)区间是实数集的另一种表示方法，要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆．(7)无穷大是一个符号，不是一个数．以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须是小括号．【例2－1】将下列集合用区间表示出来．(1){x|x≥－1}； (2){x|x＜0}；(3){x|－1＜x≤5}； (4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}．解：(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)． (2){x|x＜0}＝(－∞，0)．(3){x|－1＜x≤5}＝(－1,5]． (4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}＝(0,1) [2,4]．【例2－2】已知区间[－2a,3a＋5]，求a的取值范围．解：由题意可知3a＋5＞－2a，解之得a＞－1．故a的取值范围是(－1，＋∞)．3．函数相等如果两个函数的定义域．．．相同，并且对应关系．．．．完全一致，我们就称这两个函数相等．释疑点 满足什么条件的两个函数相等 (1)由函数的定义可知，函数的三要素为：定义域、对应关系、值域．当两个函数的三要素对应相同时，这两个函数是相等的，但由于函数的值域是由定义域和对应关系决定的，因此当两个函数的定义域和对应关系相同时，它们的值域也一定相同．故只要两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就相等．(2)当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系，例如：函数f (x )＝x 和函数f (x )＝－x 的定义域相同，均为R ；值域也相同，均为R ，但这两个函数不是同一函数．【例3－1】下列函数与函数g (x )＝2x －1(x ＞2)相等的是( )A ．f (m )＝2m －1(m ＞2)B ．f (x )＝2x －1(x ∈R )C ．f (x )＝2x ＋1(x ＞2)D ．f (x )＝x －2(x ＜－1)解析：对于A 项，函数y ＝f (m )与y ＝g (x )的定义域与对应关系均相同，故为相等的函数；对于B 项，两函数的定义域不同，因此不是相等的函数；对于C 项，两函数的对应关系不同，因此不是相等的函数；对于D 项，两函数的定义域与对应关系都不相同，故也不是相等的函数． 答案：A【例3－2】判断下列各组中的函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数，并说明理由．(1)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (2)f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1；(3)f (x )＝x ，g (x ) (4)f (x )＝|x |，g (x )．分析：求出函数f (x )与g (x )的定义域，若两者定义域不同，则两函数不为同一函数；若定义域相同，分别化简f (x )与g (x )的解析式，若化简后两者解析式相同，则两函数为同一函数，否则两函数不为同一函数．解：(1)定义域相同都是R ，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数．(2)函数f (x )的定义域是{x |x ≠1}，函数g (x )的定义域为R ，它们的定义域不同，故不是同一个函数．(3)定义域相同都是R ，但是f (x )＝x ，g (x )＝|x |，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一函数．(4)定义域相同都是R ，解析式化简后都是y ＝|x |，即对应关系相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故是同一个函数．辨误区 判断两个函数是否相等易忽略两点(1)判断两个函数是否相等的唯一依据是它的定义，即由定义域和对应关系是否相同确定，而与它们解析式中用什么符号表示自变量或函数无关，例如函数y ＝f (x )，x ∈A 与函数u ＝f (t )，t ∈A 是同一函数；(2)为了便于判断两个函数是否是同一个函数，对复杂的解析式可先化简再比较，但要注意化简前后的等价性，如f (x )＝x 2－4x －2，不能写成f (x )＝x ＋2，而应当是f (x )＝x ＋2(x ≠2)；g (x )＝x 2，不能写成g (x )＝x ，而应当是g (x )＝|x |，这是容易出错的地方，要特别重视．4．具体函数定义域的求法函数的定义域是自变量x 的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x 的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约．(1)求具体函数定义域的原则和方法主要有：①若f (x )为整式，则其定义域为实数集R ．②若f (x )是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．③若f (x )为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．⑤实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．(2)求给出解析式的函数的定义域的步骤为：①列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．【例4】求下列函数的定义域：(1)y = (2)0(1)||x y x x +=-；(3)1y x=． 解：(1)因为要使函数有意义，需1010x -≥⎧⎪⎨≠⎪⎩，⇔10x x ≤⎧⎨≠⎩，⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y =(－∞，0) (0,1]． (2)由100x x x +≠⎧⎪⎨-≠⎪⎩，，得1x x x ≠-⎧⎪⎨≠⎪⎩，，因此x ＜0且x ≠－1． 故原函数的定义域为{x |x ＜0，且x ≠－1}．(3)因为要使函数有意义，需230,20,0,x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩解得32-≤x ＜2且x ≠0，所以函数1y x =+的定义域为3,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭(0,2)． 辨误区 求函数定义域时两点需注意 (1)求函数定义域的一个基本原则是解析式不能化简．例如，求函数y ＝x 2x 的定义域时，不能将y ＝x 2x化简为y ＝x ，而求得定义域为R 的错误结论；(2)函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来．5．抽象函数的定义域的求法求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．下面介绍一下这两种题型的解法．(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域．一般地，若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围．其实质是由g(x)的取值范围，求x的取值范围．(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．函数f(g(x))的定义域为[a，b]，指的是自变量x∈[a，b]．一般地，若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域就是g(x)在区间[a，b]上的取值范围(即g(x)的值域)．其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围．【例5－1】(1)已知函数f(x)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域；(2)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(x)的定义域；(3)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．解：(1)设2x＋1＝t，由于函数y＝f(t)的定义域为[1,2]，故1≤t≤2，即1≤2x＋1≤2，解得0≤x≤12，所以函数y＝f(2x＋1)的定义域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(2)设2x＋1＝t，因为1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5，即3≤t≤5，函数y＝f(t)的定义域为[3,5]．由此得函数y＝f(x)的定义域为[3,5]．(3)因为函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，即1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5．所以函数y＝f(x)的定义域为[3,5]．由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，所以函数y＝f(2x－1)的定义域为[2,3]．点技巧求抽象函数定义域有技巧(1)正确理解函数的定义域就是自变量x的取值范围；(2)运用整体的思想，在同一对应关系f下括号内的范围是一样的，即f(t)，f(g(x))，f(h(x))中的t，g(x)，h(x)的取值范围相同．【例5－2】若函数f(x)的定义域为[－2,1]，求g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域．分析：f(x)＋f(－x)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使x，－x都在[－2,1]这个区间内，从而f(x)＋f(－x)有意义．解：由题意，得2121xx-≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，，即－1≤x≤1．故g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1,1]．6．函数值域的求法(1)常见函数的定义域和值域：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R，值域是R．②反比例函数f (x )＝k x(k ≠0)的定义域是(－∞，0) (0，＋∞)，值域是(－∞，0) (0，＋∞)．③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ．当a ＞0时，值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞；当a ＜0时，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ． (2)求函数值域的常用方法．①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；如求函数y ＝4－x 2的值域时，由x 2≥0及4－x 2≥0知4－x 2∈[0,2]．故所求的值域为[0,2]．②配方法：若函数是二次函数形式即可化为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法．③换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．例如形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d 的函数，我们可令cx ＋d ＝t ，将函数y 转化为关于自变量t 的二次函数，然后利用配方法求其值域．④分离常数法：将形如y ＝cx ＋d ax ＋b (a ≠0)的函数，分离常数，变形过程为cx ＋d ax ＋b＝c a (ax ＋b )＋d －bc a ax ＋b ＝c a ＋d －bc a ax ＋b ，再结合x 的范围确定d －bc a ax ＋b的取值范围，从而确定函数的值域．(3)求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．例如，求函数y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域．解：画出y ＝2x ＋1的图象．由图象可知y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域为(－1,3]．【例6】求下列函数的值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y 1；(3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (4)5142x y x -=+； (5)224321x x y x x -+=--； (6)y ＝x解：(1)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴y ∈{3,5,7,9,11}．∴所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)的取值范围求．≥0－1≥－1． ∴函数y－1的值域为[－1，＋∞)．(3)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，∵x ∈[1,5)，由图所示，∴所求函数的值域为[2,11)．(4)借助反比例函数的特征求．5142x y x -=+510(42)14442x x +--=+514(42)4442x x +-=+5742(42)x =-+． ∵72(42)x +≠0， ∴y ≠54． ∴函数5142x y x -=+的值域为5,4y y y ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭R 且． (5)∵2243(1)(3)321(1)(21)21x x x x x y x x x x x -+---===---++(x ≠1)， 又∵17(21)31722212122(21)x x x x x +--==-+++，当x ＝1时，原式1322113y -==-⨯+． ∴函数224321x x y x x -+=--的值域为12,,23y y y y ⎧⎫∈≠≠-⎨⎬⎩⎭R 且且． (6)设12u x ⎫=≥⎪⎭，则212u x +=(u ≥0)， 于是y ＝212u +＋u ＝2(1)2u +(u ≥0)．∵由u ≥0，可知(u ＋1)2≥1，∴y ≥12． ∴函数y ＝x1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 辨误区 求函数值域易疏忽的问题 (1)求函数值域时一定要注意其定义域的影响，如函数y ＝x 2－4x ＋6的值域与函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是不同的；(2)在利用换元法求函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化，例如求函数y ＝xt =y 转化为关于自变量t 的二次函数后，自变量t 的范围是t ≥0．7．函数与集合的综合应用定义域、对应关系和值域是函数的三要素，其中定义域是本节学习的重点和难点．函数的定义域是数集，“连续”的数集常用区间表示，也可以用集合的描述法或列举法表示．因此，函数与集合的综合应用题通常是在函数的定义域与集合的表示法的交会处设置题目．解决此类综合应用问题时，要注意：(1)能够正确求出函数的定义域可以这样理解函数：把函数看成面粉加工厂，那么定义域就是这个工厂的原料——小麦，值域就是这个工厂的产品——面粉．因此，要看这个工厂加工成的面粉质量怎样，那么首先看看其所购原料(小麦)的质量如何．如果小麦质量不过关，再好的加工机加工出来的面粉质量也不过关．同样，讨论函数问题时，要遵守定义域优先的原则，如果求错了函数的定义域，那么无论后面的步骤怎样，本题就必定错了．(2)能正确解决有关集合问题如，能明确集合中的元素，会判断两个集合间的关系，能进行集合的交集、并集和补集运算，会借助于数轴或Venn 图找到解决问题的思路等等．【例7－1】在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不可以确定y 是x 的函数的是( )①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应关系f ：x →y ＝3x ；②A ＝{x |x ＞0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y 2＝3x ；③A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝x 2；④A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应关系f ：(x ，y )→s ＝x ＋y ．A ．①④B ．②③④C ．②③D ．①②④解析：①在对应关系f 下，A 中不能被3整除的数在B 中没有象，所以不能确定y 是x 的函数．②在对应关系f 下A 中的数在B 中有两个数与之对应，所以不能确定y 是x 的函数．③显然y 是x 的函数．④A 不是数集，所以不能确定y 是x 的函数． 答案：D【例7－2】已知函数f (x )＝-的定义域是集合A ，函数g (x )＝+的定义域是集合B ，若A B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解：要使函数f (x )有意义，自变量x 的取值需满足1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得－1＜x ＜1．因此A ＝{x |－1＜x ＜1}．要使函数g (x )有意义，自变量x 的取值需满足1020a x x a +->⎧⎨->⎩，，解得2a ＜x ＜1＋a ．由于函数的定义域不是空集，所以有2a ＜1＋a ，解得a ＜1． 因此B ＝{x |2a ＜x ＜1＋a }．由于A B ＝B ，则B ⊆A ，则有11211a a a +≤⎧⎪≥-⎨⎪<⎩，，，解得12-≤a ≤0． 故实数a 的取值范围是12-≤a ≤0，即a ∈1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 8．创新拓展题与本节内容有关的创新拓展题，一般为求值问题，但要求的式子较多，不便或不能一一求解．我们在解决这类问题时，要注意观察所要求的式子，发掘它们之间的规律，进而去化简，从而得出问题的求解方法．例如：已知f (x )＝221x x+，求f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．解：根据所求式子特点，猜测f (a )＋1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值应为定值，下面求f (a )＋1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值，f (a )＋222222211111111a a a f a a a a a⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭++＝1． 于是f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫⎪⎝⎭＝3．又f (1)＝12，所以f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫⎪⎝⎭＝72． 【例8－1】已知a ，b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f +＝__________． 解析：分子是f (x )，分母是f (x －1)，故先根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，求出f (x )与f (x －1)的关系，即求出()(1)f x f x -的值，再代入求值． ∵f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2， ∴令a ＝b ＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)＝4．∴(2)(1)f f ＝2．∴令a ＝2，b ＝1，得f (3)＝f (2)·f (1)＝8．∴(3)(2)f f ＝2． 故猜测()(1)f x f x -＝2，下面我们具体来求()(1)f x f x -的值． 令a ＝x －1，b ＝1，得f (x )＝f (x －1＋1)＝f (x －1)·f (1)＝2f (x －1)，于是()(1)f x f x -＝2(x ≥2，x ∈N *)． 故(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f +＝2＋2＋…＋2＝2×2 012＝4 024． 答案：4 024【例8－2】已知函数f (x )＝221x x+． (1)求f (2)与12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，f (3)与13f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭有什么关系？并证明你的发现；(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋12013f ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解：(1)∵f (x )＝221x x +，∴f (2)＝2224125=+，22111225112f ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，f (3)＝22391310=+，221113310113f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． (2)由(1)发现f (x )＋1f x ⎛⎫⎪⎝⎭＝1．证明如下：f (x )＋222211111x x f x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝222111x x x +++＝1． (3)f (1)＝2211112=+．由(2)知f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，…，f (2 013)＋12013f ⎛⎫⎪⎝⎭＝1， ∴原式＝20121140251111 2 012222+++++=+= …个.。
函数的概念简单理解
函数的概念简单理解函数的概念简单理解1. 引言函数是数学和编程中一种非常重要的概念。
它可以帮助我们解决各种问题，并且在许多领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将深入探讨函数的概念，包括定义、特性以及其在数学和编程中的应用。
2. 函数的定义在数学中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
简而言之，函数可以将一个输入值映射到一个唯一的输出值。
数学上我们可以表示函数为“y = f(x)”，表示输入的值为x，输出的值为y。
其中，x被称为函数的自变量，y被称为函数的因变量。
在编程中，函数是一段可重用的代码块，它接受输入参数并返回一个输出值。
通过将代码封装在函数中，我们可以实现代码的模块化和可复用性。
3. 函数的特性函数具有以下几个重要的特性：（1）唯一性：对于每个输入，函数只能有一个输出。
这意味着函数可以将输入映射到输出的唯一结果。
（2）确定性：对于相同的输入，函数总是给出相同的输出。
这种确定性使得我们可以预测函数的行为并进行有效的计算。
（3）可逆性：对于某些函数，我们可以通过反转输入和输出来得到原始的输入。
这种可逆性在许多数学和编程问题中起着重要的作用。
（4）定义域和值域：函数的定义域是指所有可能的输入值的集合，而值域是指所有可能的输出值的集合。
函数的定义域和值域可以帮助我们确定函数的范围和限制。
4. 数学中的函数应用函数在数学中有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：（1）数学建模：函数可以帮助我们描述和解决各种实际问题。
通过建立数学模型，我们可以预测物体在空中的运动轨迹，或者计算复杂的统计数据。
（2）微积分：函数是微积分的基础。
通过对函数的导数和积分进行研究，我们可以计算函数的斜率、曲线的形状以及曲线下的面积。
（3）方程的解：函数可以帮助我们找到方程的解。
通过将方程转化为函数的形式，我们可以使用数值或符号方法找到方程的根。
5. 编程中的函数应用函数在编程中同样有重要的应用，包括但不限于以下几个方面：（1）代码的组织和复用：通过将代码封装在函数中，我们可以将复杂的问题分解为更小的任务，并实现代码的模块化和可复用性。
函数的概念
§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念 知识点1 函数的概念如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等. （3）区间的表示 (1)一般区间的表示.设a ，b ∈R数轴表示(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 用区间表示为________.题型一 函数关系的判定【例1】 (1)下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )【训练1】 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个题型二 相等函数【例2】 (1)下列各组函数：①f (x )＝x 2－x x ，g (x )＝x －1； ②f (x )＝x x ，g (x )＝xx； ③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3；④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5).(2)试判断函数y＝x－1·x＋1与函数y＝（x＋1）（x－1）是否相等，并说明理由.规律方法判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.(3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】判断以下各组函数是否表示相等函数：(1)f(x)＝(x)2；g(x)＝x2.(2)f(x)＝x2－2x－1；g(t)＝t2－2t－1.题型三求函数值【例3】已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值.规律方法求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义.【训练3】已知函数f(x)＝x＋1x＋2. (1) 求f(2)；(2) 求f(f(1)).方向1已知函数的解析式求函数的定义域【例4－1】求下列函数的定义域：(1)y＝（x＋1）2x＋1－1－x；(2)y＝5－x|x|－3.方向2 求抽象函数的定义域【例4－2】 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？【例4－3】 若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，且自变量t ＝x ＋1，那么函数y ＝f (t)的定义域是什么？【例4－4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2，3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域.(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值范围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.课堂达标1.下列图象中表示函数图象的是( )2.下列各组函数中表示相等函数的是( )A.f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |与g (x )＝x (x >0)C.f (x )＝2x －1与g (x )＝2x ＋1(x ∈N *) D.f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1(x ≠1)3.函数f (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________.4.已知函数f (x )的定义域为(0，2)，则f (x －1)的定义域为________.5.已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)若f (x )＝5，求x 的值.1.2.2函数的表示法知识点题型一作函数的图象【例1】作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0，3)).解(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示. 规律方法作函数图象的步骤及注意点(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点.题型二列表法表示函数【例2】已知函数f(x)，g(x)分别由右表给出则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.规律方法列表法表示函数的相关问题的解法解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决.【训练2】已知函数f(x)，g(x)分别由右表给出(1)f(g(3))＝__________；(2)若g(f(x))＝2，则x＝__________.题型三求函数表达式方向1待定系数法求函数解析式【例3－1】(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，则函数f(x)的解析式为________；(2)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________.方向2换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式【例3－2】(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).知识点 分段函数 分段函数的定义：(1)前提：在函数的定义域内；(2)条件：在自变量x 的不同取值范围内，有着不同的对应关系； (3)结论：这样的函数称为分段函数.【例1】 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52.【变式1】例1条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值.【变式2】 例1的条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围.题型二 分段函数的图象及应用【例2】 (1)已知f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为________.(2)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2). ①用分段函数的形式表示函数f (x )； ②画出函数f (x )的图象； ③写出函数f (x )的值域.【训练2】 已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2（－1≤x ≤1），1 （x ＞1或x ＜－1）.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的值域.。
函数的概念(1)
试归纳用集合定义函数有何特点？ 试归纳用集合定义函数有何特点？ A、B是非空的数集； 是非空的数集； 集合A中不能有剩余； 集合A中不能有剩余； 集合B中可以有剩余； 集合B中可以有剩余； 一对一，多对一； 一对一，多对一；
思考:y=1(x∈R)是函数吗？ 思考:y=1(x∈R)是函数吗？ 是函数吗
2 2
{
{
变式2 变式
(1) f ( x ) = x ; f ( x + 1) = ( x + 1)
( 2) f ( x ) = x 2 ; f ( x + 1) = x 2 ( 3) f ( x ) = x 2 ; f ( x ) = ( x + 1) 2
是否有同 一函数？ 一函数？
3、若A = {x | 0 ≤ x ≤ 2},B = {x | 1 ≤ x ≤ 2}在下列各 若 2}在 ，能表示从集合A 集合B的函数 图中，能表示从集合A到集合B的函数是（ D ）
B. y=3 x3 ; 2 x D y=
x
变式1 变式
下列各组函数表示同一个函数的是（ 下列各组函数表示同一个函数的是（
(A)f(x)=|x|,g(t)= 2
A）
t
(B)f(x)=
2
x
2
,g(x)= (
x)
2
(C) f (x) = (D)
x −1⋅ x +1, g(x) = x −1
1(x ≥ 0) , g(x) = 1(x > 0) f (x) = −1(x < 0) −1(x ≤ 0)
2.已知函数 已知函数f(x)=3x2－5x+2. 已知函数 (1)求f(3),f(-1), f ( 2) ; 求
课时1函数的概念(一)(经典公开课)
一、导入新课 在初中我们已经接触过函数的概念，知道了函数是刻画变量之间对应关 系的数学模型和工具．如：某物体从高度为 100 m 的高空自由下落，物 体下落的距离 s(m)与所用时间 t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可 以表示为 s＝12gt2，其中 g 取 9.8 m/s2.
二、提出问题 1．时间 t 的变化范围构成的集合 A 是什么？ 2．下落的距离 s 的变化范围构成的集合 B 是什么？ 3．下落后的某一时刻 t，能同时有两个 s 与之对应吗？ 4．集合 A 中的元素与集合 B 中的元素构成怎样的对应关系？ [学习目标] 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合 语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(数学抽象) 2.体会集 合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．(数学抽象) 3.了解构成函 数的要素．(数学抽象) 4.能求给定函数的定义域．(数学运算)
题型 2◆求函数的值 典例 已知函数 f(x)＝1＋x2x2.求： (1)f(a)＋f1a； (2)f(1)＋f(2)＋f(3)＋f12＋f13； (3)f(1)＋f(2)＋…＋f(99)＋f(100)＋f12＋f13＋…＋f1100.
12 解：(1)由题意，函数 f(x)＝1＋x2x2，可得 f(a)＋f1a＝1＋a2a2＋1＋aa12＝1＋a2a2 ＋a2＋1 1＝aa22＋ ＋11＝1. (2)由(1)可得 f(2)＋f12＝1，f(3)＋f13＝1， 又由 f(1)＝1＋1212＝12，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f12＋f13＝12＋1＋1＝52.
函数的概念是学生进入高中阶段遇到的一个难点，由于运用集合与对应 的观点来诠释函数，因而这部分内容显得较为抽象，学生学习起来比较 吃力．为了得出函数的概念，教材是通过如下步骤来实现的：(1)回顾初 中函数的概念；(2)列举 4 个函数实例；(3)归纳 4 个问题的共同特征；(4) 给出函数的定义．
函数知识点(详细)
第二章函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值X 围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值X 围。
（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。
（3）确定函数定义域的常见方法：①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数xy 111+=的定义域。
③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数()2143432-+--=x x xy 的定义域。
例2． 求函数()02112++-=x x y 的定义域。
④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域3、值域 :（1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的X 围出发，推出()y f x =的取值X 围。
函数概念与知识点总结
函数概念与知识点总结一、函数的概念1.1 函数的定义函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种对应关系，将一个或多个输入参数映射到一个输出结果。
在数学中，函数通常表示为f(x)，其中x是输入参数，f(x)是输出结果。
函数也可以表示为y=f(x)，其中y是输出结果，x是输入参数。
函数还可以表示为y=f(x1,x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是多个输入参数。
1.2 函数的特性函数具有一些特性，包括单值性、有限性、定义域和值域。
单值性表示对于每个输入参数，函数有且只有一个输出结果。
有限性表示函数的定义域和值域都是有限的。
定义域是函数能接受的输入参数的集合，而值域是函数输出结果的集合。
1.3 函数的分类函数可以根据其形式、性质和用途进行分类。
常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数等。
函数还可以根据其定义域和值域的不同进行分类，如有界函数、无界函数、周期函数等。
二、函数的性质与图像2.1 函数的奇偶性函数可以根据其图像的对称性来判断奇偶性。
若函数的图像关于原点对称，则函数是奇函数；若函数的图像关于y轴对称，则函数是偶函数。
2.2 函数的增减性函数的增减性描述了函数在定义域内的增加和减少情况。
若对于定义域内的任意两个值x1和x2，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则函数是单调递增的；若x1<x2，则f(x1)>f(x2)，则函数是单调递减的。
2.3 函数的最值函数的最值指在定义域内的最大值和最小值。
函数的最值可以通过求导数或利用一阶导数的性质进行判断。
2.4 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示。
通过绘制函数的图像，可以直观地理解函数的性质和变化规律。
例如，线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。
三、函数的运算3.1 函数的加减运算当两个函数f(x)和g(x)相加或相减时，可以将它们的对应项相加或相减，得到一个新的函数h(x)=f(x)±g(x)。
函数的概念(1)z
(4) f (x) x 10
x x
课堂小结
1.函数的概念：设A、B是非空数集，如果按照某个确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟 一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A B为从集合A到集 合 B的函数。
2.函数的三要素
定义域 值域 对应法则f
.
{x x∈R} (－∞,+∞) 数轴上所有的点
注意：
1.区间（a,b）,必须有a<b
2.区间只能表示数集
3.区间不能表示单元素集
4.区间不能表示不连续的数集
5.区间的左端点必须小于右端点； 6.区间都可以用数轴表示；
7.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.
练习：试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤ x<6} （2） {x|x ≥9} （3） {x|x < -9或 9 < x<20} （4）{x|x≠150}
典型例题
【例3】已知函数 f ( x) （1）求函数的定义域
x3 1 x2
探究结论： (1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R
(2)如果y=f (x)是分式，则定义域是 使分母不等于0的实数的集合
x （3）y x2与y t 2是同一个函数吗？
问题1. 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速 运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km） 与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为S=350t。
思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后， 运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？
3.1.1 函数的概念（1）
高一数学函数的概念1(1)(2019年10月)
观察探索
1.炮弹的射高与时间的变化系问题;
一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中 目标,炮弹的射高为845m,且炮弹距地面 的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化规 律为:
h=130t-5t2
2.南极臭氧层空洞面积与时间的变化关系
问题.
近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出 现了臭氧层空洞问题.如下图中的曲线显示了南极 上空臭氧层空洞的面积从1979~2201年的变化情况.
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；
宁遂罢西川节度使 "将更前进 郓王荣 景命不融 天惨惨而苦雾 太子曰 简册攸记兮德音无穷 内有玄宗铸金真容及乘舆侍卫图画 涤虑祈真 "蠡寻为华州刺史 尔其懋哉 可以理众靖人 改葬于顺陵 素重之 心怀怏怏 间 抚军也 当出外徐图之 代宗第三子 既收长安 元和四年三月卒 初 凡伎巧之工皆送 逻娑 用诚以勋未知其谋 甚为时议所贬 关东用兵 葬于高阳原 山南西道节度 可充天下兵马元帅 明年 卫州刺史茹璋授旰符离令 指鹑野而西临 志尚权谋 应缘军司署置 《旧唐书》 鸣呼哀哉 旰因蜀人之怨 见任州县官 黯 发论喧然 王好读书 与众共之；拾遗并归门下省共议 因是役得置亲兵内其腹 中 可赠太子 呜呼哀哉 久典禁军 伏待斧钺 时郑王居长 既而用诚为贼所诱 署宁中书令 英乂自率师攻旰 光弼请以亲贤统师 加检校户部尚书 恩王连 砺在位贪残 户口流散大半 代宗第四子 雅 谋为兴复 入朝监察御史 第十八子通 陇右节度使哥舒翰奏充判官 与宰臣元载交结 兖王僴可充北庭节度 大使 逼徙圣皇 金石谁固 悔之 时年三十二 蛮兵败走 夏 择日册命 兴王佋可充凤翔节度大使 运可封嘉王 逾 虽有周 信宿间得千人 ’诚如此 赴镇过利州 天伦笃睦 辅国连结内外 恃富而骄 授司戈 智略宏通 天
高一数学函数的概念1
1.[引例1](P15)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击 中目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h （单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是 2 h 130t 5t （﹡） 提出以下问题: (1) 炮弹飞行1秒、8秒、15秒、25秒时距地面多高？ (2) 炮弹何时距离地面最高? (3) 你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集合A和 集合B表示出来。 (4) 对于集合A中的任ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一个时间t,按照对应关系 ,在集合B中是否都有唯 一确定的高度h和它对应?
2
(三)关于求定义域及函数的值:
1 例1、已知函数 f ( x) x 3 x2 (1)求函数的定义域
2 (2)求 f ( 3), f ( ) 的值 3
(3)当a>0时，求f(a), f(a-1)的值。
例2、求下列函数的定义域。
1 （1） f ( x) (1 2 x)( x 1)
1.2.1
函数的概念(1)
一、复习引入：
初中（传统）的函数的定义是什么？ 初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x 的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说 x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合 叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫 做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用 变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、 一次函数、二次函数等。
h 130t 5t
2
2.[引例2]P15 问题如下: (1) 1983、1985、1997年的臭氧空洞面积大约 分别是多少? 哪一年的臭氧空洞面积最大?最大 达到多少? (2) 哪些年的臭氧空洞面积大约是15 (3) 分别写出时间t和臭氧空洞面积S的变化范围, 并分别用集合A、B表示出来。 (4) 对于集合A中的每一个t值按照图象所示是否在B 中都有唯一的S值与它对应?
函数的概念(一)
1997 46.4
1998 44.5
1999 41.9
2000 39.2
2001 37.9
问题: 问题 分析、归纳以上三个实例， 分析、归纳以上三个实例，它们 有什么共同点？ 有什么共同点？ 1.都涉及两个非空数集； 都涉及两个非空数集； 都涉及两个非空数集 2.两个数集间都有一种确定的对应关 两个数集间都有一种确定的对应关 两个数集间都有一种确定的 即其中一个数集中的每一个 每一个x， 系，即其中一个数集中的每一个 ， 在另一个数集中都有惟一确定的 惟一确定的y和 在另一个数集中都有惟一确定的 和 它对应。 它对应。
“八五”计划以来我国城镇居民 八五” 八五 恩格尔系数变化情况
时间(年 时间 年) 城镇居民家庭 恩格尔系数(%) 恩格尔系数 时间(年 时间 年) 城镇居民家庭 恩格尔系数(%) 恩格尔系数 1991 1992 1993 1994 1995 1996
53.8
52.9
50.1
49.9
49.9
48.6
⑶有时给出的函数没有明确说 明定义域,这时它的定义域就是 明定义域 这时它的定义域就是 自变量的允许取值范围. 自变量的允许取值范围 表示函数y=f(x)当x=a ⑷常用f(a)表示函数 常用 表示函数 当 时的函数值. 时的函数值
区间的概念: 区间的概念
设a,b是两个实数，而且a<b, 我们规定： (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫 做闭区间，表示为 [a,b]. (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫 做开区间，表示为 (a,b). (3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为 [a,b)或(a,b].
?
设在同一个变化过程中有两 个变量x与 如果对于x的 个变量 与y, 如果对于 的每一个 都有唯一的值与它对应, 值, y都有唯一的值与它对应 那么 都有唯一的值与它对应 叫做自变量 就说 y是 x的函数 x叫做自变量 是 的函数. 叫做自变量.
3.1.1.函数的概念(1)
2.区间及有关概念
(1)一般区间的表示. 设a,b∈R,且a<b,规定如下:
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
[a,b]
{x|a<x<b} 开区间
(a,b)
定义
名称 符号
{x|a≤x<b}
半开半 闭区间
[a,b)
{x|a<x≤b}
半开半 闭区间
(a,b]
数轴表示
(2)特殊区间的表示.
同的y.
( ×)
(3)在函数的定义中,集合B是函数的值域.
(×)
(4)在研究函数时,除用符号f(x)外,还可用g(x),F(x),
G(x)等来表示函数. ( √ )
2.若f(x)=
1
－1
， 则f(3)=______8__.
1 x2
3.用区间表示函数f(x)=
1 x－1
的定义域是__(_1_,_+_∞__).
②A={x|x>0,x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y2=3x;
③A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→x2+y2=25; ④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x2; ⑤A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,对应关系f:(x,y)→s=x+y; ⑥A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应关系f:x→y=0.
角度2 求解析式问题
【典例】已知函数f(x)= 3－x2 ， g(x)= 1 .
1 x2
x
(1)求f(3),f(4),f(g(3))及f(g(4))的值.
(2)求f(g(x)),并证明f(x)+f(g(x))是常数.
高一数学函数的概念
高一数学函数的概念（一）（一）函数的概念：函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。
显然，值域是集合B 的子集。
（1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R ；（2）二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a ﹤0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。
（3）反比例函数(0)k y k x=≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。
（二）区间及写法：设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：（1） 满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；（2） 满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；（3） 满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[)(],,,a b a b ；这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。
（数轴表示见课本P 17表格）符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。
我们把满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。
巩固练习：用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0}（三）例题讲解：例1．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
函数的概念 (1)
y f (x)
函数值 自变量 x的取值范围A 函数值y的集合
x A
函数的定义域
函数的值域
y f (x) x A
说明: (1)A,B是非空数集.
(2) 集合A中的每一个元素x, 集合B中都 有唯一确定的元素f(x)与之对应 (3) 函数y=f(x)的三要素:
定义域 , 值域 , 对应法则 说明函数值的集合 { f ( x) | x A} 与集合 B的关系
解:定义域是: { 1,2,3,4 }
A 1 2 3 4 f B 1 2 4 6 8
值域是: { 2,6,8 }
注意:值域 {2,6,8 } B
例3.观察下列由A到B的函数,分别说出它 们的定义域和值域. 1 x {0,1,2,3, } (2) y 3x. 3 (3) y 2 x 1
(3) y ax bx c ( a 0)
2
4ac b 2 B {y | y } 4a
例4 下列函数中哪个与函数y=x相等？
⑴y= ( x )2 ； ⑵ y= x
3 3
x ；⑶ y= x
2
；
⑷y= x2 .
函数相等的条件： ①表达式相同 ②定义域相同 ③值域相同
1 例5 已知函数f(x)= x 3 ⑴求函数的定义域； x 2
{ f ( x) | x A} B
例1分析下列给出的对应关系是否构成从集 合A到集合B一个函数。
A 1 2 3 4 (1) B 1 2 4 6 8
A 1 -1 2 3 B 1 2 4 6 8
A 1 2 3 4 (3)
B 1 2 4 6 8
(2)
是函数
不是函数
不是函数
例2.观察下列由A到B的函数,分别说出它 们的定义域和值域.
函数的概念 (1)
函数的概念1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？2.初中对函数概念是怎样定义的？3.我们如何从集合的观点认识函数？一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标.炮弹的射高为845m ，且炮弹距离地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是： h ＝130t-5t 2.思考1：这里的变量t 的变化范围是什么？变量h 的变化范围是什么？试用集合表示？思考2：高度变量h 与时间变量t 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？思考3：炮弹在空中的运行轨迹是什么？射高845m 是怎样得到的？近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.思考1：根据曲线分析，时间t 的变化范围是什么？臭氧层空洞面积S 的变化范围是什么？试用集合表示？ 思考2：时间变量t 与臭氧层空洞面积S 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？思考3：这里表示函数关系的方式与上例有什么不同？国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计划以来思考2：时间变量t 与恩格尔系数r 之间的对应关系是否为函数？知识探究（四）思考1：从集合与对应的观点分析，上述三个实例中变量之间的关系都可以怎样描述？思考2：上述三个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？ 思考3：在一个函数中，自变量x 和函数值y 的变化范围都是集合，这两个集合分别叫什么名称？思考4：在从集合A 到集合B 的一个函数f ：A →B 中，集合A 是函数的定义域，集合B 是函数的值域吗？怎样理解f(x)=1，x ∈R ？思考5：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？例1 已知函数213)(+++=x x x f（1）求函数的定义域；（2）求)32(),3(f f -的值；（3）当a ＞0时，求)1(),(-a f a f 的值.例2 在下列各组函数中f(x)与g(x)是否相等？为什么？ (1)1)(,)(==x g x x x f (2)22)()(,)(x x g x x f == (3)1)(,11)(2-=-∙+=x x g x x x f (4)12)(,12)(22+-=+-=t t t g x x x f区间的概念1．什么叫函数？用什么符号表示函数？2. 什么是函数的定义域？值域？3.函数||1)(x x f -=的定义域、值域如何？分别怎样表示？4. 上述集合还有更简单的表示方法吗？知识探究（一）思考1：设a ，b 是两个实数，且a<b ，介于这两个数之间的实数x 用不等式表示有哪几种可能情况？ 思考2：满足上述每个不等式的实数x 的集合可看成一个区间，为了区分，它们分别叫什么名称？思考3：如果把满足不等式的实数x 的集合用符号 [a ，b ）表示，那么满足其它三个不等式的实数x 的集合可分别用什么符号表示？知识探究（二）思考1：变量x 相对于常数a 有哪几种大小关系？用不等式怎样表示？思考2：满足不等式a x a x a x a x <≤>≥,,,的实数x 的集合也可以看成区间，那么这些集合如何用区间符号表示？思考3：将实数集R 看成一个大区间，怎样用区间表示实数集R ？思考4：一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)，二次函数y ＝ax ２＋bx ＋c(a ≠0)，反比例函数的定义域、值域分别是什么？怎样用区间表示?例1 将下列集合用区间表示出来：(1)}012|{≥-x x (2)}21,4|{≤<--<x x x 或例2 已知x x x f 2)1(+=+,求函数f(x)的解析式.例3 求下列函数的值域：11)()4(42)3(45)()2()5,1[64)()1(222+-=+--=-+=∈+-=x x x f x x y x x x f x x x x f 例4 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=)2(2)21()1(2)(2x x x x x x x f ，求)21(),2(f f 的值，若f(a)=3,求a 的值。