高等数学第十章
高等数学第十章曲线积分
du PdxQd , (yx, y)G—单连域.
四、两类曲线积分之间的联系
L P d Q x d L (P y co Q sco )ds .s
其中, 为有向曲线弧L在点(x, y) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
解题方法流程图
I LPdxQdy
Yes
积分与路径无关
代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分L 2xyds,
由于L关于 y轴对称, 函数 2xy关于 x为奇函数, 故有
L 2xyds0.
解：由奇偶对称性可知 L 2xyds 0, 所以
(2xy3x24y2)ds (2xy12)ds
L
L
2L xyds12Lds
01a2 1a2
注：由于被积函数 f(x, y)定义在曲线 L上, 故 x, y满足曲线L
(0t2);
而
1
d sx2y2d t 2 a(1co t)2s d,(t0t2)
1
故
2
I yd sa (1 co t)s 2 a (1 co t)2d st
L
0
4a2
2
s
in3
t
dt8a2
s
in3 ud
u
0
2
0
16a2
2sin3 udu
32
a2.
0
2
【例2】计算曲线积分 L x2 y2 ds,其中L为圆周 x2 y2 ax.
f (x, y)ds f[(t) ,(t)]2 (t) 2 (t)dt
L
（2）直角坐标：若L:y(x)(x0 xX);则
f (x, y)ds Xf[x,(x)]12(x)dx
L
高等数学 第10章
例1 求幂级数
(2)n
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
第三节 幂级数
一、幂级数及其收敛性
形如
an (x x0 )n a0 a1(x x0 ) L an (x x0 )n L （1-3）
n0
的级数，称为幂级数， 其中ɑ0, ɑ1, ɑ2, … ,ɑn, … 都是常数，称为幂级数的系数。
3
n2
(n 1，2 ，L ) ，
而 p 3 1 ，级数
1
3
收敛，
2
n n1 2
由比较审敛法知，该级数收敛。
例2 判断下列级数的敛散性：
(1)
1
n1 n n 1
π
(2) n1 sin 2n
（2）因为
lim
sin
π 2n
1
n π
2n
(n 1，2 ，L )
而等比级数
π
收敛，
2n
n1
由比较审敛法知，该级数收敛。
第一节 常数项级数的概念与性质
一、引例
引例【无限循环小数问题】 级数的初步思想实 际上已经蕴涵在算术中的无限循环小数概念里了。 将 1 化为小数时，会出现无限循环小数。
3
0.3 3 ， 10
0.33
3 10
3 100
3 10
3 102
，
0.333
3 10
3 100
3 1000
3 10
3 102
n1
un
n1
发散，则级数
vn 发散。
n1
n1
比较审敛法还有另一种形式——比较审敛法的极限形
《高等数学》 各章知识点总结——第10章
第10章 重积分内容总结一、计算二重积分的方法：(,)DI f x y d σ=⎰⎰1、利用直角坐标计算二重积分 d d x d y σ= (1)若12{(,)()(),}=≤≤≤≤D x y x y x a x b ϕϕ，则21()()(,)(,)=⎰⎰⎰⎰bx ax Df x y d dx f x y dy ϕϕσ(2)12{(,)()(),}=≤≤≤≤D x y y x y c y d ψψ，则21()()(,)(,)=⎰⎰⎰⎰dy cy Df x y d dy f x y dx ψψσ2、利用极坐标计算二重积分cos ,sin ,x y d d d ρθρθσρρθ=== (c o s ,s i n )DI f d d ρθρθρρθ=⎰⎰ (1)若12{(,)|,()()}=≤≤≤≤D ρθαθβϕθρϕθ，则21()()(cos ,sin )I d f d βϕθαϕθθρθρθρρ=⎰⎰(2)若{(,)|,0()}=≤≤≤≤D ρθαθβρϕθ，则()(cos ,sin )I d f d βϕθαθρθρθρρ=⎰⎰(3)若{(,)|02,0()}=≤≤≤≤D ρθθπρϕθ，则2()00(cos ,sin )I d f d πϕθθρθρθρρ=⎰⎰(4)若2222{(,)(),0}{(,)0,02cos }D x y x a y a y a πρθθρθ=-+≤≥=≤≤≤≤，则22cos 0(cos ,sin )a I d f d πθθρθρθρρ=⎰⎰(5)若2222{(,)(),0}{(,)0,02sin }Dx y y a x a x a πρθθρθ=-+≤≥=≤≤≤≤，则2sin 0(cos ,sin )a I d f d πθθρθρθρρ=⎰⎰二、计算三重积分的方法(,,)I f x y z dv Ω=⎰⎰⎰1、 利用直角坐标计算三重积分 d v d x d y d z= (1)投影法（先一后二） 若12{(,,)(,),(,)(,)}xy x y z x y D z x y z z x y Ω=∈≤≤ 其中12{(,),()()}xy xy D prj x y a x b y x y y x =Ω=≤≤≤≤ 则2211()(,)()(,)(,,)by x z x y ay x z x y I dx dy f x y z dz =⎰⎰⎰(2)截面法（先二后一）若12{(,,)(,),}z x y z x y D c z c Ω=∈≤≤则21(,,)zc c D I dz f x y z dxdy =⎰⎰⎰2、利用柱面坐标计算三重积分c o s ,s i n ,x y z z ρθρθ===，dvd d dz ρρθ= (cos ,sin ,)I f z d d dz ρθρθρρθΩ=⎰⎰⎰几种特殊情况(1)若222{(,,)0,}{(,,)02,0,0}x y z z H x y R z R z H ρθθπρΩ=≤≤+≤=≤≤≤≤≤≤则20(cos ,sin ,)R HI d d f z dz πθρρρθρθ=⎰⎰⎰(2)若{(,,}{(,,)02,0,}x y z z H z H z H ρθθπρρΩ=≤=≤≤≤≤≤≤则20(cos ,sin ,)HHI d d f z dz πρθρρρθρθ=⎰⎰⎰(3)若Ω是由上半球面z =与上半锥面z =围成的闭区域即{(,,)02,0,z a z ρθθπρρΩ=≤≤≤≤≤≤则20(cos ,sin ,)aId d f z dz πρθρρρθρθ=⎰⎰(4)若Ω是由上半球面z =与旋转抛物面22x y z a+=围成的闭区域即2{(,,)02,0,z a z aρρθθπρΩ=≤≤≤≤≤≤则220(cos ,sin ,)aaId d f z dz ρπθρρρθρθ=⎰⎰⎰3、利用球面坐标计算三重积分2s i n c o s ,s i n s i n ,c o s ,s i n x r y r z r d v r d r d dϕθϕθϕϕϕθ==== 2(sin cos ,sin sin ,cos )sin I f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕθΩ=⎰⎰⎰几种特殊情况(1)若Ω是球域2222{(,,)}{(,,)02,0,0}x y z x y z R r r R θϕθπϕπΩ=++≤=≤≤≤≤≤≤220sin (sin cos ,sin sin ,cos )RI d d f r r r r dr ππθϕϕϕθϕθϕ=⎰⎰⎰(2)若Ω是球域22222{(,,)()}{(,,)02,0,02cos }x y z x y z R R r r R πθϕθπϕϕΩ=++-≤=≤≤≤≤≤≤ 222cos 2000sin (sin cos ,sin sin ,cos )R I d d f r r r r dr ππϕθϕϕϕθϕθϕ=⎰⎰⎰(3)若Ω是由不等式2222()x y z R R ++-≤与222x y z +≤围成的闭区域4{(,,)02,0,02cos }}Ω=≤≤≤≤≤≤r r R πθϕθπϕϕ 22cos 2000sin (sin cos ,sin sin ,cos )R I d d f r r r r dr ππϕθϕϕϕθϕθϕ=⎰⎰⎰。
高等数学第十章小结
即 积 分 区 域Ω由 不 等 式
x1 x x2 ,y1(x) y y2(x), z1(x,y) z z2(x,y)
则有
f(x,y,z)dv dσ z2(x,y)f(x,y,z)dz
Ω
z1(x,y) Dxy
D
a
1 ( x)
(2)D为Y
型区域，
即D：
c 1(y)
y x
d
2(y)
f (x, y)dxdy
d
dy
2 ( y)
f (x, y)dx
c
1( y)
D
2.极 坐 标 系
在极坐标系下， 通常先求对r积分， 后对积分
D : r1 ( ) r r2 ( )
M x y( x, y)d
D
M y x( x, y)d
D
(3)平面薄片 D的质心坐标 ( x,y )为
x
My
x( x, y)d
D
M ( x, y)d
D
y
Mx
y( x, y)d
D
M ( x, y)d
D
(4)平面薄片的转动惯量
D
z f(x, y)为 顶 的 曲 顶 柱 体 的 体 积之 代 数 和。
（二）二重积分的计算法（ 累次积分法）
1.直角坐标系
(1)D为X
型 区 域，
即D：
a 1(x)
x y
b
2(x)
f ( x, y)dxdy
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
高等数学 第十章 多元函数微分学.
第十章多元函数微分学一、本章提要１．基本概念多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度．２．基本方法二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求导法则求偏导数．隐函数微分法：拉格朗日乘数法．３．定理混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件．二、要点解析问题１比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间的关系．解析 (1)多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的．由于从一元到二元会产生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨论．如果我们把自变量看成一点P，那么对于一元函数，点P在区间上变化；对于二元函数f(x,y)，点P(x,y)将在一平面区域中变化．这样，无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成u=f(P)，它称为点函数．利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成P→P0limf(P)=A,limf(P)=f(P0)．P→P0（２）二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点P的变化从一维区间发展成二维为区域．在区间上P的变化只能有左右两个方向；对区域来说，点的变化则可以有无限多个方向．这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源．例如，考察二元函数的极限limxy，x→0x2+y2y→0容易看出，如果先让x→0再让y→0，那么lim(limy→0x→0xy)=lim0=0，22y→0x+y同样，先让y→0再让x→0，也得到lim(limx→0y→0xy)=0， 22x+y但是如果让(x,y)沿直线y=kx(k≠0)而趋于(0,0)，则有xykx2klim2=lim=，2x→0x+y2x→0x2(1+k2)1+ky→kx它将随k的不同而具有不同的值，因此极限limxy x→0x2+y2y→0不存在，从这里我们可以体会到，从一维跨入二维后情况会变得多么复杂．又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，这一结论并不一定成立．考察函数⎧xy22,x+y≠0,⎪2z=f(x,y)=⎨x+y2⎪x2+y2=0,⎩0,fx'(0,0)=lim∆x→0 f(0+∆x,0)-f(0,0)0-0=lim=0，∆x→0∆x∆x同样fy'(0,0)=lim∆y→0f(0,0+∆y)-f(0,0)0-0=lim=0，∆y→0∆y∆y所以f(x,y)在(0,0)点可导．然而，我们已经看到极限limf(x,y)=limx→0y→0xy x→0x2+y2y→0不存在，当然f(x,y)在(0,0)不连续．多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异，其实仔细想一想是可以理解的．因为偏导数fx'(0,0)实质上是一元函数f(x,0)在x=0处关于x的导数．它的存在只保证了一元函数f(x,0)在点x=0的连续．同理，偏导数fy'(0,0)的存在保证了f(0,y)在y=0点的连续，从几何意义来看，z=f(x,y)是一张曲面，z=f(x,0)，y=0为它与平面y=0的交线，z=f(0,y)，x=0为它与平面x=0的交线．函数z=f(x,y)在（0,0）处的可导，仅仅保证了上述两条交线在（0,0）处连续，当然不足以说明二元函数z=f(x,y)即曲面本身一定在（0,0）处连续．（３）在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的．但是对于二元函数来说，可微性要比可导性强，我们知道，二元函数的可导不能保证函数的连续，但若z=f(x,y)在(x0,y0)可微，即全微分存在，那么有全增量的表达式∆z=fx'(x0,y0)∆x+fy'(x0,y0)∆y+o(ρ)其中当ρ→0时，o(ρ)→0，从而lim∆z=0，∆x=0∆y=0因此函数在(x0,y0)可微，那么它在(x0,y0)必连续．函数是否可微从定义本身可以检验，但不太方便．然而我们有一个很简便的充分条件：若f(x,y)在(x0,y0)不仅可导而且偏导数都连续，那么f(x,y)必在(x0,y0)可微．函数f(x,y)的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处，全微分立即可以写出：dz=fx'(x,y)dx+fy'(x,y)dy．（４）二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图：极限存在偏导数连问题２如何求多元函数的偏导数？解析求多元函数的偏导数的方法，实质上就是一元函数求导法．例如，对x求偏导，就是把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是x的一元函数．这时一元函数的所有求导公式和法则统统可以使用．对于多元复合函数求导，在一些简单的情况，当然可以把它们先复合再求偏导数，但是当复合关系比较复杂时，先复合再求导往往繁杂易错．如果复合关系中含有抽象函数，先复合的方法有时就行不通．这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性．由于函数复合关系可以多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用．例1 设z=esiny,求xy∂z∂z,．∂x∂y∂z=yexysiny，∂x解直接求偏导数∂z=xexysiny+exycosy ，∂y利用全微分求偏导数dz=sinydexy+exydsiny=exysiny(ydx+xdy)+exycosydy =yexysinydx+(xexysiny+exycosy)dy，所以∂z∂z=yexysiny,=xexysiny+exycosy．∂x∂y∂z∂z,．∂x∂y例2 设z=f(exy,siny),求解由复合函数求导法则，得∂z=f1(exy,siynx)⋅yey，∂x∂z=f1(exy,siny)exy⋅x+f2(exy,siny)cosy，∂y其中f1,f2分别表示f(exy,siny)对exy,siny的偏导数．问题3 二元函数的极值是否一定在驻点取得？解析不一定．二元函数的极值还可能在偏导数不存在的点取得．例3 说明函数f(x,y)=1-x2+y2在原点的偏导数不存在，但在原点取得极大值．-∆x1-(∆x)2-1f(0+∆x,0)-f(0,0)解 lim，=lim=lim∆x→0∆x→0∆x→0∆x∆x∆x此极限不存在，所以在(0,0)处fx'(0,0)不存在．同理∆y→0lim-∆yf(0,0+∆y)-f(0,0) ，=lim∆y→0∆y∆y此极限不存在，所以，在点(0,0)处，fy'(0,0)不存在．但函数f(x,y)=1-x2+y2≤f(0,0)=1，即f(x,y)在点(0,0)取得极大值1．问题4 在解决实际问题时，最值与极值的关系如何？无条件极值问题与有条件极值问题有何区别？如何用拉格朗日乘数法求极值？解析在实际问题中，需要我们解决的往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小值．最大、最小值是全局性概念，而极值却是局部性概念，它们有区别也有联系．如果连续函数的最大、最小值在区域内部取得，那么它一定就是此函数的极大、极小值．又若函数在区域内可导，那么它一定在驻点处取得．由于从实际问题建立的函数往往都是连续可导函数，而且最大（最小）值的存在性是显然的．因此，求最大、最小值的步骤通常可简化为三步： 4（1）根据实际问题建立函数关系，确定定义域；（2）求驻点；（3）结合实际意义判定最大、最小值．从实际问题所归纳的极值问题通常是条件极值．条件极值和无条件极值是两个不同的概念．例如，二元函数z=x2+y2的极小值（无条件极值）显然在(0,0)点取得，其值为零．但是(0,0)显然不是此函数的约束条件x+y-1=0下的条件极小值点．事实上x=0,y=0根本不满足约束条件．容易算出，这个条件极小值在点(,)处取得，其值为11221，从几何2上来看，它们的差异是十分明显的．无条件极小值是曲面z=x2+y2所有竖坐标中的最小⎧z=x2+y2,者，如图所示；而条件极小值是曲面对应于平面x+y-1=0上，即空间曲面⎨⎩x+y-1=0上各点的竖坐标中最小者．我们所说的把条件极值化成无条件极值来处理，并不是化成原来函数的无条件极值，而是代入条件后化成减少了自变量的新函数的无条件极值．例如把条件y=1-x代入函数z=x2+y2，便将原来的条件极值化成了一元函数y2z=x2+(1-x)2=2x2-2x+1 的无条件极值．用拉格朗日乘数法求出的点可能是极值点，到底是否为极值点还是要用极值存在的充分条件或其他方法判别．但是，若讨论的目标函数是从实际问题中得来，且实际问题确有其值，通过拉格朗日乘数法求得的可能极值点只有一个，则此点就是极值点，无需再判断．22例4 求z=x+y+5在约束条件y=1-x下的极值．解作辅助函数则有F(x,y,λ)=x2+y2+5+λ(1-x-y)， Fx'=2x-λ,Fy'=2y-λ，⎧⎪2x-λ=0,解方程组⎨2y-λ=0,⎪⎩1-x-y=0,1x=y=,λ=1．得 211 现在判断P(,)是否为条件极值点： 2222由于问题的实质是求旋转抛物面z=x+y+5与平面y=1-x的交线，即开口向上5的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点P(,)处取得极小值z=问题5 方向导数和梯度对于研究函数有何意义？解析二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处的方向导数112211．2∂f刻画了函数在这点当自变量∂l沿着射线l变化时的变化率，梯度grad z的方向则是函数在点(x,y)处方向导数最大的射线方向．因此沿梯度方向也是函数值增加最快的方向，所以梯度对寻找函数的最大值很有帮助．例5 求函数u=xy2z在点P(1,-1,2)处函数值下降最快的方向．解负梯度方向是函数值下降最快的方向，因grad u=∂u∂u∂uk =y2zi +2xyzj +xy2k，i +j +∂x∂z∂y(1,-1,2) grad u(1,-1,2)=2i-4j+k，故所求方向为a=-grad u=-2i+4j-k．三、例题精选例6 求函数z=2x-y2ln(1-x-y)22的定义域，并作出定义域图形．解要使函数有意义，需满足条件 2⎧y≤2x,⎧2x-y≥0,⎪2⎪221-x-y>0, 即⎨⎨x+y<1, 21-x-y≠1,⎪(x,y)≠(0,0),⎪⎩⎩2定义域如图阴影部分所示．u例7 设f(u,v)=esinv,求 df(xy,x+y)． u解一因为 f(u,v)=esinv,所以 f(xy,x+y)=esin(x+y)，xy∂f=yexysin(x+y)+exycos(x+y)，∂x∂f=xexysin(x+y)+exycos(x+y)，∂yxyxy所df(xy,x+y)=[ysin(x+y)+cos(x+y)]edx+[xsin(x+y)+cos(x+y)]edy．解二由复合函数求导法则得∂f∂f∂u∂f∂v=+=exysin(x+y)y+exycos(x+y)，∂x∂u∂x∂v∂x∂f∂f∂u∂f∂v=+=exysin(x+y)x+exycos(x+y)，∂y∂u∂y∂v∂y所以df(xy,x+y)=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+exy[xsinx(+y+)cxo+sy(]y．) dy，验证 x例8 设z=f(x,y,u)=xy+xF(u)，其中F为可微函数，且u=x∂z∂z+y=z+xy．∂x∂y证这是带有抽象符号的函数，其复合关系如图所示．∂z∂f∂f∂uydF⎛dF∂u⎫， =+=[y+F(u)]+ x⎪=y+F(u)-∂x∂x∂u∂xxdu⎝du∂x⎭同理有∂z∂f∂f∂udF∂udF=+=x+x=x+，∂y∂y∂u∂ydu∂yduxz y∂z∂zdFdF=2xy+xF(u)=z+xy． +y=xy+xF(u)-y+xy+y∂x∂ydudux2例９设f(x,y,z)=eyz，其中z=z(x,y)由方程x+y+z-xyz=0所确定，求fx'(0,1,-1)．解 f(x,y,z=)x2对eyzx求偏导，并注意到z是由方程所确定的x,y的函数，得 x2xfx'[x,y,z(x,y)]=eyz+2eyz⋅∂z ∂x ①下面求∂zF'∂z1-zy，由F(x,y,z)=x+y+z-xyz=0得，代入①得 =-x=-∂x∂xFz'1-yx于是 fx'[x,y,z(x,y)]=exyz2-2exyz⋅1-zy， 1-yx1-1⋅(-1)=5． 1-0⋅1fx'(0,1,-1)=e0⋅1⋅(-1)2-2e0⋅1⋅(-1)⋅222例10 求曲面x+2y+3z=21平行于平面x+4y+6z=0的切平面方程．解析此题的关键是找出切点．如果平面上的切点为(x0,y0,z0)，则曲面过该点的法7向量可由x0,y0,z0表示．要使所求的切平面与已知平面平行，一定有切平面的法向量与已知平面的法向量对应坐标成比例．于是切点的坐标可找出．解设曲面F(x,y,z)=x2+2y2+3z2-21=0 平行于已知平面的切平面与曲面相切于(x0,y0,z0)，故该切平面的法向量n=Fx'(x0,y0,z0),Fy'(x0,y0,z0),Fz'(x0,y0,z0) {}过(x0,y0,z0)的切平面方程为2x0(x-x0)+4y0(y-y0)+6z0(z-z0)=0，①该切平面与已知平面x+4y+6z=0平行，所以2x04y06z0==， 146 ②又由于(x0,y0,z0)在曲面上，所以222x0+2y0+3z0=21，③联立②与③式，解得⎧x01=1,⎪⎨y01=2,⎪z=2.⎩01⎧x02=-1,⎪⎨y02=-2, ⎪z=-2.⎩02将这两组值分别代入①，最后得到切平面方程为及3 2x+4y+6z-21=0, x+4y+6z+21=0.2例11 求函数z=x-4x+2xy-y的极值．解第一步：由极值的必要条件，求出所有的驻点⎧∂z2=3x-8x+2y=0,⎪∂x⎨∂z =2x-2y=0,⎪⎩∂y解出{x=2,x1=0, 2 y1=0,y2=2.{第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点，为了简明列表如下： 8因此z(0,0)=0．例12 求曲线y=lnx与直线x-y+1=0 之间的最短距离．解一切线法．若曲线上一点到已知直线的距离最短，则过该点平行与已知直线的直线必与曲线相切；反之曲线上在该点处的切线必平行与已知直线．据此，我们先求y=lnx的导数y'=1,令y'=1（已知直线上的斜率为1），得 xx=1，这时y=0，故曲线y=lnx上点(1,0)到直线x-y+1=0的距离最短，其值为d=-0+1+(-1)22=2．解二代入条件法（利用无条件极值求解）．设(x,y)为曲线y=lnx上任意一点，则点(x,y)到已知直线的距离为d=12x-y+，将y=lnx代入上式得d=12x-lnx+1， 12易知x=lnx-1>0(x>0)，故d=(x-lnx+1)．①令u=x-lnx+1，则u'=1-1，由u'=0，得x=1，这是函数u=x-lnx+1在x(0,+∞)内唯一驻点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在．于是由①式得所求的最短距离为d=12(1-ln1+1)=2．解三拉格朗日乘数法．设(x,y)为曲线y=lnx上任意一点，则该点到直线的距离为d=x-y+1+(-1)22=12x-y+，令z=d，则2z=12121x+y-xy+x-y+， 222显然，在上式中y=lnx，即y-lnx=0．引入辅导函数 F(x,y)=解方程组12121x+y-xy+x-y++λ(y-lnx)， 222'⎧⎪Fx(x,y)=x-y+1-λx=0,⎨Fy'(x,y)=y-x-1+λ=0, ⎪⎩y-lnx=0,①②③1①+②，得λ(1-)=0．因为λ≠0，故x=1，代入③，得y=0，于是(1,0)是唯一x可能的极值点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在，故曲线y=lnx上点(1,0)到已知直线的距离最短，其值为d=12(1-0+1)=2．四、练习题1．判断正误(1) fx(x0,y0)=fx(x,y)x=x0=fx(x,y0)x=x0表达式成立；（√ ）y=y0解析 fx(x0,y0)表示f(x,y)在(x0,y0)对x的偏导数；fx(x,y)x=x0表示f(x,y)对y=y0函数f(x,y0)x的偏导数在(x0,y0)处的值；fx(x,y0)x=x表示f(x,y)先固定y=y0后，在x=x0处的导数．由偏导数定义及偏导数意义可知，三个表达式是相等的．(2) 若z=f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在，则z=f(x,y)在(x0,y0)处一定可微；（⨯）解析由可微的充分条件知，只有z=f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在且连续时，函数z=f(x,y)在该点一定可微．⎧2xy⎪,(x,y)≠(0,0)例如f(x,y)=⎨x2+y2在（0，0）处偏导数存在，但不可微．⎪(x,y)=(0,0)⎩0,(3) 若(x0,y0)为z=f(x,y)的极值点，则(x0,y0)一定为驻点；解析偏导数不存在的点也可能是极值点．（⨯）⎧∂z=⎪∂x⎪22例如 z=x+y在（0，0）处取得极小值，但⎨在（0，0）处偏导∂z⎪=∂y⎪⎩数不存在，不是驻点．(4)∂f∂xx=0y=0就是函数f(x,y)在(0,0)处沿x轴方向的方向导数．（√ ）解析沿x轴方向的方向导数2．选择题∂f∂f∂fπ∂f=cos0+co s=．∂l∂x∂y2∂x(1) 设f(x,y)=xy，则下列式中正确的是（ C ）；22x+y(A) f x,⎛⎝y⎫⎪=f(x,y)； (B)f(x+y,x-y)=f(x,y)； x⎭(C) f(y,x)=f(x,y)； (D) f(x,-y)=f(x,y)．解析 f(x,y)=xy是关于x，y的对称函数，故f(y,x)=f(x,y)． 22x+y∂2z(2)设z=ecosy，则； =（ D ）∂x∂yxx (A) esiny； (B) ex+exsiny；(C) -excosy； (D) -exsiny．∂z∂2zx=ecoys，解析 =-exsiny．∂x∂x∂y(3)已知f(x+y,x-y)=x2-y2，则∂f∂f； +=（ C ）∂x∂y(A) 2x+2y； (B) x-y； (C) 2x-2y (D) x+y．解析设 x+y=u，x-y=v，则 f(x+y,x-y)=x2-y2=(x+y)(x-y)变换为 f(u,v)=uv．∂f∂f∂u∂f∂v∂f∂f∂u∂f∂v=⋅+⋅=v+u， =⋅+⋅=v-u，∂x∂u∂x∂v∂x∂y∂u∂y∂v∂y所以∂f∂f+=(v+u)+(v-u)=2v=2x-2y．∂x∂y(4)函数z=x3+y3-3xy的驻点为（ B ）； (A)(0,0)和(-1,0)； (B)(0,0)和(1,1)；(C)(0,0)和(2,2)；(D)(0,1)和(1,1)．⎧∂z2=3x-3y=0,⎪∂xx=0,与x=1, 解析求两个偏导数⎨∂z ⇒ y=0,y=1,2⎪=3y-3x=0,⎩∂y{{所以驻点为(0,0)和(1,1)．(5)函数z=x2-y2+1的极值点为（ D ）． (A)(0,0)； (B)(0,1)； (C)(1,0)；(D)不存在．⎧∂z⎪∂x=2x=0,解析求两个偏导数⎨∂z 得驻点为（0，0），⎪=-2y=0,⎩∂y∂2z∂2z∂2z=2，B=又因为A==0，C=2=-2，则B2-AC=4>0，所以，驻点2∂x∂x∂y∂y 不是极值点，极值点不存在．3．填空题(1) z=y-x2+1的定义域为{(x,y)y≥x2-1} ；22解要使函数有意义，应满足y-x+1≥0，即y≥x-1(2) 已知f(x,x+y)=x2+xy，则解设 x+y=u，则∂f= 2x+y ；∂xf(x,x+y)=x2+xy=x(x+y)=xu，关于x的偏导数∂f∂f∂f∂u=()+=u+x=2x+y．∂x∂x∂u∂xx=1y=1 (3) 设z=ln(x2+y2)，则dz=dx+dy；解设 x2+y2=u，则 z=lnu，所以∂zdz∂u1∂zdz∂u1==⋅2x， ==⋅2y，∂xdu∂xu∂ydu∂yu从而dzx=1y=1=∂z∂xx=1dx+y=1∂z∂yx=1y=1dy=dx+dy．yππ(4) 曲面z=arctan()在点M(1,1,)处的切平面方程为 x-y+2z-=0 ； x42解令 F(x,y,z)=z-arctan(y)， xyy12=则 Fx=-，，F=xπ(1,1,)2x2+y2241+()x11-xF=-，， Fy=-=2yπ(1,1,)y2x+y2241+()x11π曲面的切平面方程为 (x-1)-(y-1)+(z-)=0 ， 224π即 x-y+2z-=0． 2-(5) 设z+ez=xy，则x∂z= ；z1+e∂yz解一令F(x,y,z)=z+e-xy，则 Fz=1+ez， Fy=-x，Fyx∂z=-所以 =．∂yFz1+ez解二设z=z(x,y)，两边对y求偏导数，有x∂zz∂z∂z+e=x ，即 =．z∂y∂y∂y1+e4．解答题 (1)设可微函数z=f(x,u),u=ϕ(x,t),t=sinx,求解偏导数为 dz；dxdz∂z∂z∂u∂z∂udt⋅⋅⋅ =++dx∂x∂u∂x∂u∂tdx∂f∂f∂ϕ∂f∂ϕ⋅⋅⋅cost．=++∂x∂u∂x∂u∂t(2)设z=f(x2+y2)，且f(u)可微，证明 y解设 x2+y2=u，则z=f(u)，∂z∂z-x=0．∂x∂y从而∂zdz∂u∂zdz∂u⋅=f'(u)⋅2x，⋅=f'(u)⋅2y，==∂xdu∂x∂ydu∂y则 y所以，原结论成立．∂z∂z-x=yf'(u)⋅2x-xf'(u)⋅2y=0，∂x∂yz∂z(3) 设x2+z2=yf()，其中f为可微函数，求．y∂y解令F(x,y,z)=x+z-yf()， 22zy设u=z，则 F(x,y,z)=x2+z2-yf(u)， yzz∂F∂F∂u)+⋅=-f(u)-yf'(u)⋅(-2)=f'(u)-f(u)，∂y∂u∂yyy∂F∂F∂u1)+⋅=2z-yf'(u)⋅=2z-f'(u)，∂z∂u∂zy从而 Fy=(Fz=(zzzzf'(u)-f(u)f()-f'()Fy∂zyyyy==-所以． =-2z-f'(u)∂yFz2z-f'()y⎧x=t,⎪(4) 在曲线⎨y=t2,上求一点，使其在该点的切线平行与平面x+2y+z=4，并写出⎪z=t3⎩23解设所求点为（t0，t0，t0），切线方程； dxdtt=t0=1，dydtt=t0=2t0，dzdtt=t02=3t0，23x-t0y-t0z-t0故切线方程为， ==212t03t02由于切线与平面平行，切线的方向向量s={1，2t0，3t0}与平面的法向量n={1，2，1}垂直，有s⋅n ={1，2t0，3t02}·{1，2，1}=1+4t0+3t02=0，解方程，得 t0=-1或-1， 3y-1z+1=； -2311y-z+11111= ，当t0=-时，切点为（-，，-），切线方程为x+=31339273-2311x+y-==z+1．即 3-227当t0=-1时，切点为（-1，1，-1），切线方程为 x+1= (5)用a元钱购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的1.2倍，求水池的长与宽为多少米，才能使容积最大．解设水池底面的长为x，宽和高为y（如图），底面单位面积材料费为b，则侧面单位面积材料费为1.2b，有bxy+1.2b(2xy+2y)=a，即 3.4bxy+2.4by=a，长方体体积 V=xy，22应用条件极值，设A=xy+λ(3.4bxy+2.4by-a)， 222得偏导方程，有⎧∂A2=y+λ⋅3.4by=0,⎪∂x⎪⎪∂A=2xy+λ(3.4bx+4.8by)=0, ⎨⎪∂y⎪∂A=3.4bxy+2.4by2-a=0,⎪∂λ⎩整理，得 x=45a15a，y=， 17b6b由于驻点（45a15a，）唯一，而使容积最大的情况存在，所以当长方体长为17b6b45a15a，宽和高为时，长方体水池容积最大． 17b6b。
(完整word版)高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)
于是所求的曲面积分为
.
（2） ，其中 为旋转抛物面 介于 之间部分的下侧。
解由两类曲面积分之间的联系，可得
，
在曲面 上，有
。
故
。
再依对坐标的曲面积分的计算方法，得
。
注意到
，
故
。
（3） ，其中 为 ， 的上侧；
解 在 面上的投影为半圆域 ， ，
=
= =
由对称性 = ， =
∴原式= =
（4） ，其中 是由平面 ， ， ， 所围成的四面体的表面的外侧。
，
其中 为上半球面 ， ， ，故
，
其中 是 在 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得
= ，
是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得
，
故
。
解法2设球面方程为 ，定直径在 轴上，依题意得球面上点 的密度为 ，从而得球面的质量为 ，由轮换对称性可知： ，故有
．
2设某流体的流速为 ，求单位时间内从圆柱 ： （ ）的内部流向外侧的流量（通量）。
，其中 从 变到 ，
故
。
解法2作有向线段 ，其方程为
，其中 从 变到 ，
则有向曲线 与有向线段 构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为 ，由格林公式，有
，
即
，
而
，
故
。
3．计算 ,其中 为平面 在第一卦限中的部分；
解 将曲面 投影到 面上，得投影区域为 ，此时曲面方程可表示为
，
于是
，
。
4. 计算 ,其中 是球面 的上半部分并取外侧；
解如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以 取下侧， 取后侧， 取左侧， 取上侧。于是
《高等数学》第十章复习要点
第十章 曲线积分与曲面积分 复习要点§ 1 对弧长的曲线积分一、了解对弧长的曲线积分的概念与性质1. 定义：i i i ni L s f ds y x f ∆==→∑⎰),(lim ),(10ηξλ. 其中),(y x f 称为被积函数, L 称为积分路径.如果L 是闭曲线, 那么上述对弧长的曲线积分可记作ds y x f L ),(⎰.2. 性质:（1） 设1c 、2c 为常数, 则ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c L L L ),(),()],(),([2121⎰⎰⎰+=+（2）若积分路径21L L L += , 则ds y x f ds y x f ds y x f L L L ),(),(),(21⎰⎰⎰+= 二、掌握队弧长的曲线积分的计算方法基本思想：转化为定积分来计算步骤：1. 将曲线L 方程代入被积函数f(x,y),使之转化为一元函数；2. 利用22)()(dy dx ds +=.将ds 化为曲线L 方程中自变量的微分；3. 曲线L 方程中自变量的取值范围为定积分的积分区间.应注意的问题: 定积分的下限α一定要小于上限β.例如，若曲线L 方程的方程为：)(x y ϕ=，b x a ≤≤ , 则dx x x x f ds y x f ba L ⎰⎰'+= 2)(1)](,[),(ϕϕ.若曲线L 方程的方程为：)(y x ψ=，d y c ≤≤ , 则dy y y y f ds y x f dc L ⎰⎰'+= 2)(1]),([),(ψψ.若曲线L 方程的方程为：)(t x ϕ=，)(t y ψ=，βα≤≤t , 则 dt t t t t f ds y x f L ⎰⎰⋅'+'=βαψϕψϕ 22)()()](),([),(§ 2 对坐标的曲线积分一、了解对坐标的曲线积分的概念与性质1. 定义： ∑⎰=→∆=n i i ii L x P dx y x P 10),(lim ),(ηξλ, 称为函数),(y x P 在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分.∑⎰=→∆=n i i ii L y Q dy y x Q 10),(lim ),(ηξλ,称为函数),(y x Q 在有向曲线L 上对坐标y 的曲线积分.对坐标的曲线积分的简写形式:dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P L L L ),(),(),(),(+=+⎰⎰⎰2.对坐标的曲线积分的性质:(1) 若积分路径21L L L += , 则⎰⎰⎰+++=+21L L L Q d y P d x Q d y P d x Q d y P d x . (2) L 是有向曲线弧, 设L -是与L 方向相反的有向曲线弧, 则⎰⎰+-=+-L L dy y x Q dx y x P d y x Q dx y x P ),(),(),(),(.二、掌握对坐标的曲线积分的计算方法基本思想：转化为定积分来计算步骤：1.将曲线L 方程代入被积函数P(x,y), Q(x,y)使之转化为一元函数；2. 利用曲线L 的方程将dy dx ,化为曲线L 方程中自变量的微分；3. 起点的坐标为定积分的下限，终点的坐标为定积分的上限（不论大小）若曲线L 方程的方程为：)(t x ϕ=，)(t y ψ=，被积函数P(x,y), Q(x,y) 在光滑有向曲线L 上的连续, 当参数t 单调地由α变到β时, 点),(y x M 从曲线L 的起点A 沿曲线L 运动到终点B , 则⎰⎰'=βαϕψϕdt t t t P dx y x P L )()](),([),(,⎰⎰'=βαψψϕdt t t t Q dy y x Q L )()](),([),(. 即 ⎰⎰'+'=+βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L )}()](),([)()](),([{),(),(.注意α不一定小于β .§ 3 格林公式及其应用一、格林公式设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P(x,y), Q(x,y)在D 上具有一阶连续偏导数, 则有⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(, 其中L 是D 的取正向的边界曲线.曲线L 的正向规定如下: 当观察者沿曲线L 的这个方向行走时, 区域D 总在他的左边.应注意的问题:定理要求, 函数),(y x P 、),(y x Q 具有一阶连续偏导数，曲线L 是区域D 的取正向的边界曲线， 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立.要求: 会用格林公式计算对坐标的曲线积分.二、掌握平面曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的概念:设G 是一个开区域, 函数),(y x P 、),(y x Q 在区域G 内具有一阶连续偏导数. 如果对于G 内任意指定的两个点A 、B 以及G 内从点A 到点B 的任意两条曲线1L 、2L ， 恒有⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx 则称 曲线积分⎰+LQdy Pdx 在G 内与路径无关, 否则称该积分与路径有关. 曲线积分⎰+LQdy Pdx 在G 内与路径无关相当于沿G 内任意闭曲线L 的曲线积分0=+⎰LQdy Pdx . 曲线积分⎰+L Qdy Pdx 路径无关⇔xQ y P ∂∂=∂∂ 三、二元函数的全微分求积),(),(),(y x du dy y x Q dx y x P =+⇔xQ y P ∂∂=∂∂ 求函数),(y x u 的公式:⎰+=),(),(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u ,注： 上述积分与积分路径无关。
高等数学第十章-概率与统计
• 概率论与数理统计（简称概率统计）是 研究随机现象的统计规律性的一门数学 学科。
第一节 概率的概念
• 一 实际现象 • 试验： • 我们将在极广泛的意义下理解“试验”一词。 做任何一件或大或小的事情均可看作是做 “试验”。如：各种科学实验、投掷硬币或 骰子、吃饭、睡觉等等。
• 实际现象（包括自然现象、社会现象、 思维现象等）分为三类：
• 概率的简单性质： • （1）0 P( A) 1
• （2）P( ) 0, P() 1
• 严格地讲，所谓统计规律性就是指频率 的稳定性。至此便可真正从整体上理解 本章开头对概率统计学科所下的定义。 • 由于在实际问题中遇到的事件大多数都 是随机事件，因此，为方便计，我们往 往将随机事件简称为事件。
• 四 古典概型 • 概率的统计定义提供了计算概率的一种 近似方法：用频率近似代替概率。但有 些情形往往不必具体做试验即可预先算 出概率，而且结果精确。下面将介绍的 古典概型就是如此。 • 基本事件：在一定条件下做试验，根据 问题的具体背景不可能进一步细分的事 件。 • 复合事件：既不是基本事件又不是不可 能事件的事件。
• 至此，仍没有解决“一般的P(A)究竟有多 大？”这一问题。现在用“试验”来详细考 察之。对于一般的随机现象，仅做一次试验 是看不出什么规律的。但当多次反复试验后 就会发现一种统计规律性。例如：掷一颗均 匀的骰子，仅做一次试验是看不出有何规律 的。但当投掷多次后，譬如讲6000次后，就 会发现1，2，3，4，5，6点大致各出现1000 次左右，这些点出现的次数占试验总次数的 比例（也叫频率）大约各为1000/6000=1/6， 这就是一种统计规律性，而1/6就是所谓概率， 1000就是频数。
• 设 A1 , A2 ,, An 为等概基本事件组，事 • 件B由其中m个基本事件组成，人们从大 量实践中总结出一个公式： • P(B)=B包含的基本事件数/基本事件总数。 • 用上式计算事件概率的概率模型称为古 典概型。
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6） 奇偶性与对称性 如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。 所以， 当积分曲线是直线时， 可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线： 其参数方程： x
分别是 和 ，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线 ：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。 定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]
高等数学 第十章
一、函数项级数的概念
函数项级数（10-1）收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域．
在收敛域上，函数项级数（10-1）的和是 x 的函数 s(x) ，称 s(x) 为函数项级数（10-1）的和
函数，并写成 s(x) u1(x) u2 (x) u3 (x) un (x) ．
（1）若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
n1
n1
（2）若级数 un 发散，则级数 vn 发散．
n1
n1
vn (n 1，2 ， ) ，
正项级数的比较审敛法通俗地讲就是：若较大者收敛，则较小者也收敛；若较小者发散，则较大
者也发散．
一、正项级数的审敛法
定理 2（比较审敛法的极限形式） 设 un 和 vn 都为正项级数，
一、常数项级数的概念
（3）同样地，以正十二边形的每一边为底，在弓形内作顶点在圆上的十二个等腰三角形，设 其面积之和为 u3 ，则 u1 u2 u3 （圆内接正二十四边形的面积）仍是 S 的一个近似值，其近似程度 要比 u1 u2 好．
（4）如此继续下去，圆内接正 3 2n 边形的面积为 u1 u2 u3 un ， 其十分逼近圆的面积，当 n 时，该和式的极限就是所要求的圆面积 S ，也就是说圆面积 S 是无穷多个数的累加，即 S u1 u2 u3 un ．
当 | x | R 时，幂级数绝对收敛；
当 | x | R 时，幂级数发散；
当 x R 与 x R 时，幂级数可能收敛也可能发散．
二、幂级数及其敛散性
这个确定的正数 R 通常称为幂级数 an xn 的收敛半径，开区间 (R ，R) 称为幂级数 an xn 的
n0
n0
收 敛 区 间 ， 再 根 据 幂 级 数 在 x R 处 的 敛 散 性 就 可 以 确 定 它 的 收 敛 域 是
高等数学第十章知识点总结
高等数学第十章知识点总结高等数学第十章主要涵盖了多元函数的微分和局部性质、多元函数的方向导数与梯度、多元函数的极值与条件极值等内容。
下面将对这些知识点进行总结和拓展。
1. 多元函数的偏导数：多元函数的偏导数是指在某一点上，对于其中的一个自变量求导，而将其他自变量视为常数。
偏导数能够描述函数在某一点上的斜率、增减性以及函数在该点的切线方向。
2. 多元函数的全微分：多元函数的全微分是指将函数在某一点上的所有偏导数都考虑进去，并乘以相应的自变量变化量。
全微分可以近似地表示函数值的改变量，具有重要的物理意义。
3. 多元函数的方向导数与梯度：方向导数是指在某一点上，对函数在某一特定方向上的导数。
梯度则是由函数的所有偏导数组成的向量，它的方向为函数在该点上增加最快的方向，大小为方向导数的最大值。
方向导数与梯度可以用来确定函数在某一点上的最大增加率和最大减少率。
4. 多元函数的极值与条件极值：多元函数的极值是指在某一点上，函数取得了局部最大值或局部最小值。
通过求解函数的偏导数并令其为零，可以得到极值点。
条件极值是在给定一定条件下的极值问题，可以通过拉格朗日乘数法来求解。
在拓展部分，我们可以将以上知识点应用于实际问题的解决中。
例如，在经济学中，我们可以利用多元函数的极值来求解最大化利润或最小化成本的问题；在物理学中，我们可以通过方向导数与梯度来分析物体在不同方向上的运动情况；在工程学中，我们可以利用多元函数的全微分来近似计算复杂系统的变化量等等。
总之，高等数学第十章的知识点为我们研究多元函数的微分和局部性质提供了重要工具，通过掌握这些知识，我们可以更深入地理解多元函数的行为和性质，并将其应用于实际问题的求解中。
高等数学第十章《曲线积分与曲面积分》
第十章 曲线积分与曲面积分一．曲线积分的计算 （1）基本计算1.第一类：对弧长线积分的计算(,)Lf x y ds ⎰关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰例 L 为圆周221,x y +=则22xy Le ds +=⎰2e π 参数方程，曲线代入解 cos :(02)sin x L y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩ds d θθ==22x y Leds +=⎰202ed e πθπ=⎰例 计算2⎰L x ds ，其中2222:(0)0⎧++=>⎨-=⎩x y z a L a x y . (8分)解 由于 22222222::00⎧⎧++=+=⇒⎨⎨-=-=⎩⎩x y z a x z a L L x y x y 所以L 的参数方程可表示为:(02)sin θθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩x L y t z a (3分)θθ==ds ad (2分) 故23222cos 22ππθθ==⎰⎰La a x ds ad(3分) 【例10.22】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为:,(),cos 22L ds ad r a θθππθθθθ=⎧-≤≤==⎨=⎩则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰第二类：对坐标的线积分的计算 关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩(:)t αβ→做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰例 设L 为抛物线2y x =从点()0,0到()2,4一段弧，则()22Lx y dx -=⎰5615-注意微元，及参数方程的形式【例10.17】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧. 解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算；对弧长的线积分，对称性同二重积分 例 计算3222(),Lx y ds L x y R 其中：++=⎰解：33()LLLx y ds xds y ds =+=0+⎰⎰⎰ 第一个L 关于y 对称，第二个L 关于x 对称【例10.15】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a ta y a t =⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解 （法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例10.18】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰对坐标的线积分，对称性为，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x 对称，L 在上半平面与下半平面部分的走向相反时，若P 对y 为偶函数，则，0LPdx =⎰奇函数，则12LL Pdx Pdx =⎰⎰。
高等数学 第十章
确定的有限常数，从而，无穷多个数相加在一定条件下是有
意义的.
二、 常数项级数的概念
定义1 对于无穷数列u1，u2，…，un，… 把它的各项依 次累加的表示式
u1+u2+u3+…+un+…
(1)
称为无穷级数，简称为级数，记为
un
.
其中u1称为级数的
n 1
第1项(或首项)，u2称为级数的第2项， …，un称为级数第n项，
lim
n1
un
0
，则可判定级数
u
n
n 1
一定发散.
例4 判定级数
3n
n1 5n 4
的敛散性.
解
级数的一般项
un
3n 5n
4
.
因为
lim
n
u
n
lim
n
3n 5n 4
3 5
0
所以由级数收敛的必要条件知，该级数发散.
10.2 常数项级数的审敛法
一、 正项级数的审敛法
每一项都是非负的级数称为正项级数，即级数
un un 0, n 1,2,
为正项级数.
n1
1. 比较审敛法
设 un和 vn 都是正项级数，且un≤vn(n=1，2，…)，
n1
n1
则
(1) 若级数 vn
n 1
(2) 若级数
un
n 1
收敛， 则级数 un
n 1
发散， 则级数
vn
n 1
收敛； 发散.
比较审敛法还有另一种形式(比较审敛法的极限形式).
定义2
对于级数
un
的部分和数列{Sn}， 若n→∞时有
高等数学第十章曲面积分
（1）求 1和 2在 yoz 平面上的投影区域：
因 1和 2在 yoz 平面上的投影区域相同， 设为 D yz ： 0 z H 。 R y R，
1
H
z
o
2
x
R
R
y
（2）求微元 dS ：在 1和 2 上，
dS 1 ( x 2 x ) ( ) 2 dydz y z R R y
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
2．反号性
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
3．奇偶对称性
0 Rdxdy 2 Rdxdy
4 z 2 x y与 形式相同，故可利用曲面方程来简化被积 3 4 z 2 x y 4 代入，从而简化计算。 函数，即将 3 x y 解：平面 方程的为 z 4(1 ) （见下图）， 2 3
在 xoy 面上的投影区域为：
x y D xy : 1, x 0, y 0 2 3 z z 4 2, x y 3
0 i 1
n
2．物理意义 Pdydz Qdzdx Rdxdy
表示流体密度 1 速度场为 V P i Q j R k , 单位时间内流过曲面 一侧的流量。
二、对坐标的曲面积分的性质
1．可加性
1 2
Pdydz Qdzdx Rdxdy
【例1】计算曲面积分 ( z 2 x
x y z 1在第一卦限中的部分。 2 3 4