高等数学2第十章答案
部编版高中数学必修二第十章概率带答案笔记重点大全
(名师选题)部编版高中数学必修二第十章概率带答案笔记重点大全单选题1、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件A =“向上的点数为3”，B =“向上的点数为6”，C =“向上的点数为3或6”，则有（ ）A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．A ∩B =CD ．A ∪B =C2、把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ） A ．23B ．13C ．35D ．143、10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ） A ．35B ．23C ．34D ．4154、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为（ ） A ．13B ．14 C ．15D ．165、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ） A ．249B ．649C ．17D ．276、若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足m 2+n 2<25的概率是（ ） A ．12B ．1336C ．49D ．5127、甲､乙､丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别15,13,14,则此密码能被译出的概率是A ．160B ．25C ．35D ．5960 8、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（ ）A ．买100张彩票就一定能中奖B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．购买彩票中奖的可能性为1100 多选题9、下列各对事件中,不是相互独立事件的有 A ．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B ．甲､乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C ．甲､乙两运动员各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标”D ．甲､乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” 10、下列命题中是真命题的有（ ）A ．有A ，B ，C 三种个体按3︰1︰2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30 B ．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲D ．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.411、下列各对事件中，为相互独立事件的是（ ）A ．掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C ．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D ．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”填空题12、有两枚质地均匀，大小相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为___________.部编版高中数学必修二第十章概率带答案(四十六)参考答案1、答案：D分析：根据事件的关系、和事件、积事件的定义逐一判断四个选项的正误，即可得出正确选项对于A：事件A=“向上的点数为3”发生，事件B=“向上的点数为6”一定不发生，故选项A不正确；对于B：事件C=“向上的点数为3或6”发生，事件B=“向上的点数为6”不一定发生，但事件B=“向上的点数为6”发生，事件C=“向上的点数为3或6”一定发生，所以B⊆C，故选项B不正确；对于C：事件A和事件B不能同时发生，A∩B=∅，故选项C不正确；对于D：事件A=“向上的点数为3”或事件B=“向上的点数为6”发生，则事件C=“向上的点数为3或6”发生，故选项D正确；故选：D2、答案：B解析：根据列举法，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求概率.分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(12,3,4)，(12,4,3)，(3,12,4)，(4,12,3)，(3,4,12)，(4,3,12)，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,23,4)，(4,23,1)，(23,1,4)，(23,4,1)，(1,4,23)，(4,1,23)，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,2,34)，(2,1,34)，(34,1,2)，(34,2,1)，(1,34,2)，(2,34,1)，有6种分法；共有18种分法，则2，3连号的概率为P=618=13.故选：B.小提示：本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.3、答案：B分析：根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率P=69=23.故选：B.4、答案：D分析：将齐王与田忌的上、中、下等马编号，列出双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛的基本事件即可利用古典概率计算作答.齐王的上等马、中等马、下等马分别记为A，B，C，田忌的上等马、中等马、下等马分别记为a，b，c，双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，依题意，共赛3场，所有基本事件为：(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Bb,Ca),(Ac,Ba,Cb)，共6个基本事件，它们等可能，田忌获胜包含的基本事件为：(Ac,Ba,Cb)，仅只1个，所以田忌获胜的概率p=16.故选：D5、答案：C分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况，其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.6、答案：B分析：利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m、n，两次抛掷得到的结果可以用(m,n)表示，则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)， 共有36种．其中满足m 2+n 2<25有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足m 2+n 2<25的概率P =1336．故选：B 7、答案：C解析：先计算出不能被译出的概率，由此求得被译出的概率.用事件A ,B ,C 分别表示甲､乙､丙三人能破译出密码,则P(A)=15,P(B)=13,P(C)=14,且P(ABC)=P(A)P(B)⋅P(C )=45×23×34=25.∴此密码能被译出的概率为1−25=35.故选：C小提示：本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件概率计算，属于基础题. 8、答案：D分析：根据概率的意义判断各选项即可.概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率， “某彩票的中奖概率为1100”意味着购买彩票中奖的可能性为1100. 所以答案是：D 9、答案：ACD解析：根据相互独立事件的概念以及判断，分析出是相互独立事件的选项.在A 中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B 中,甲､乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则AB=B,因此当P(A)≠1时,P(AB)≠P(A)⋅P(B),故A､B不独立,故选：ACD小提示：本小题主要考查相互独立事件的判断，属于基础题.10、答案：BD分析：利用分层抽样中样本的抽样比等于各层的抽样比即可判断A，求出这一组数据的平均数、众数、中位数即可判B，计算乙的方差，比较方差大小即可判断C，利用落在区间[114.5，124.5]内的个数除以总的个数计算概率，即可判断D，从而得出正确选项.对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为9÷31+2+3=18，故选项A 不正确；对于选项B：数据1，2，3，3，4，5的平均数为15(1+2+3+4+5)=3，众数和中位数都是3，故选项B正确；对于选项C：乙组数据的平均数为15(5+6+9+10+5)=7，乙组数据的方差为15[(5−7)2+(6−7)2+(9−7)2+(10−7)2+(5−7)2]=4.4<5，所以这两组数据中较稳定的是乙，故选项C不正确；对于选项D：样本数据落在区间[114.5，124.5]有120，122，116，120有4个，所以样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为410=0.4，故选项D正确，故选：BD11、答案：ABD分析：利用相互独立事件的定义一一验证即可.在A中，样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，事件M={2,4,6}，事件N={3,6}，事件MN={6}，∴P(M)=36=12，P(N)=26=13，P(MN)=12×13=16，即P(MN)=P(M)P(N)，故事件M与N相互独立，A正确.在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B 正确；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确.故选：ABD.小提示：判断两个事件是否相互独立的方法：（1）直接法：利用生活常识进行判断；（2）定义法：利用P(MN)=P(M)P(N)判断.12、答案：512分析：根据题意，列举基本事件总数，和满足条件的基本事件数，进而根据古典概型求解即可.解：两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，基本事件有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)，(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共有6×6=36种，两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除包含的基本事件有：(1,6),(2,3),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,6)，(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共15种，所以两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为P=1536=512.所以答案是：512。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--10章
第十章 函数项级数习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞；⑶ S n (x ) = sin nx , (i)x ∈),(+∞−∞， (ii) x ∈],[A A −()； 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)x ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =221nx +, x ∈),(+∞−∞； ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[；⑺ S n (x ) =n x ln n x, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈)；),1(+∞ ⑻ S n (x ) = nnx x +1, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈；),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π；⑽ S n (x ) = (sin x )n1, (i) x ∈[0,]π， (ii) x ∈],[（0>δ）；δπδ− ⑾ S n (x ) = nn x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞， (ii)x ∈],0(A ()； 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+x n x n 1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。
解 （1）(i) ，0)(=x S )()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n −=∈1= ─/→ 0（∞→n ）， 所以{}()n S x 在上非一致收敛。
(0,1) (ii) ，0)(=x S )()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n −=+∞∈n e −=)(0∞→→n ，所以{}()n S x 在上一致收敛。
同济版高等代数与解析几何第十章习题答案
同济版高等代数与解析几何第十章习题答案习题10.11、写出二次型的矩阵如下：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--332321211；（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----23013120012121212323；（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000120100202121； （4）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------0321301221011210n n n n n n ．2、二次型可以表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n n n n x x x a a a a a a x x x x a x a x a a x a x a x x x x q 212121************),,,(),,,(),,,(),,,(，),,,(21n x x x q 的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A 2122212121112121),,,(．当，a a a n 时021==== q 的秩为0；当，a a a n 时不全为0,,,21 q 的秩为1．3、二次型的秩未必是A ；应为(),ij b B =其中，2jiij ij a a b +=．4、（1）若A 为反对称矩阵，即A A -='，则AX X AX X X A X AX X '-=''-='-'=')()(，从而 0='A X X ；反之，若对任意X 都有0='A X X ，令)(ij a A =，取())(0,,1,,0i i X ='='ε，则0=='ii i i a A εε．取j i X εε'+'=' ，则0=+++='jj ji ij ii a a a a AX X ，得0=+ji ij a a ，即ji ij a a -=，故A 为反对称矩阵．（2）因对任意n 维向量X ，都有0='A X X ，由（1）知，A A -='． 又由A A ='，因而A A -=，得A=0．（3）因对任意n 维向量X ，都有BXX AX X '='，即0)(=-'X B A X ，又显然B A -是对称矩阵，故由（2）得O B A =-，即A=B ．5、由A 可逆，且A A ='，得A A A A ='-1，故A 与A /合同．6、因A 与B 合同，C 与D 合同，故存在可逆矩阵21,P P ，使 D CP P B AP P ='='2211,．取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21P O O P P ，则P 可逆，且有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'D O O B P C O O A P ．7、（1）当a >0，b>0时，取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a P 1001，则P 为可逆实矩阵．且2I AP P ='，从而A 与I 在R 上合同． （2）当0≠ab 时，0,0≠≠b a ，取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a P 1001，则P 为可逆复矩阵．且2I AP P ='． 习题10.21、（1）)44()2(),,(234222222121321x x x x x x x x x x x q +++++==232221)2()(x x x x +++．令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=,,2,33322211x y x x y x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=,,2,2333223211y x y y x y y y x 代入原二次型，得2221321),,(y y x x x q +=．所作非退化线性替换是⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=.,2,2333223211y x y y x y y y x （2）对二次型作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=.,,33212211y x y y x y y x 得3213212121321)()())((),,(y y y y y y y y y y x x x q ++-++-=.)(22322231322221y y y y y y y y --+=+-=再令⎪⎩⎪⎨⎧==+=,,,3322311y z y z y y z 即⎪⎩⎪⎨⎧==-=.,,3322311z y z y z z y 代入得232221321),,(z z z x x x q --=． 所作的非退化线性替换是⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=.,,3332123211z x z z z x z z z x（3）422241222114321)(),,,(x x x x x x x x x q +-+= =2424422212211)44()(x x x x x x x ++--+ =242424122211)2()(x x x x x +--+ 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+=,,,2,443342222111x y x y x x y x x y 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=--=,,,2,4433422422111y x y x y y x y y y x 代入，得242241214321),,,(y y y x x x x q +-=． （4）2212113)1(22312432221121)()()(),,,(nn n n n n ni n n i ni i n x x x x x x x x x x q +-=-=+++++++=∑∑ ．令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=--==∑∑,,,,1113312222111n n n n n n n i i n i i x y x x y x x y x x y 即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=--==∑∑.,,,11131222111n n n nn n ni i i ni i i y x y y x x y x y y x 将变换代入，得22121)1(222432121),,,(n nn n n nn y y y y x x x q +--++++= ．（5）作非退化线性替换⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=-=+=---nn n n n n y y x y y x y y x y y x yy x y y x 212221212434433212211 q 化为222122423222121),,,(n n n y y y y y y x x x q -++-+-=- ．（6）∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛==ni nj n i i i j j i i n x a x a x a x x x q 112121))((),,,( ．设0≠i a ，令⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====+++=++--,,,,,,11112222111n n i i i i i i n n x y x y x y x y x y x a x a x a y即，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==------====+++---+-,,,,,,111121111221112n n i i n a a i a a i a a a a a i i i i y x y x y y y y y x y x y x y x i n i i i i i i二次型化为：2121),,,(y x x x q n = ．2、（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7230002000122110100100010001121221110 I A ，取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2211010023P ，则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='2700020001AP P ．（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=100010011112121212121P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---='232122AP P ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=3731131,1001021AP P P ． 3、（1）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=212132221A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100310421300010001100010001212132221 I A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100310421P ．经非退化线性替换X=PY ，二次型化为2322213213),,(y y y x x x q +-=．验算： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='311100310421212132221134012001AP P ．（2）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=011102120A ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100111000400011000100010111021201111 I A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001121212121P ．经非退化线性替换X=PY ，二次型化为2322213214),,(y y y x x x q ++-=．验算： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='100040001AP P ．4、设A 为秩等于r 的对称矩阵，则存在可逆矩阵P ，使得rr E E E AP P +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 2211011，．1112211111)()()(------'++'+'=p E P P E P P E P A rr令11)(--'=P E P A ii i ，则i i A A ='，且秩),,2,1(1)(r i E A ii i ===秩，同时有 r A A A A +++= 21．5、用A ，B 表示所给两个对角形矩阵，由于二次型2222121212121),,,(),,,(n i i i n n n x x x x x x A x x x x x x q nλλλ+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 可经过非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ni ni i y x y x y x 2121化得2222211222212211),,,(n n i i i i n y y y y y y x x x q ni n i λλλλλλ+++=+++==()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y y B y y y 2121,,,，故A 与B 合同．6、因A 为复数域上的对称矩阵，故存在复数域上的可逆矩阵P 1，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='n d d d AP P 002111，因为在复数域内，任何数可开平方，故有112121110000)(--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=P d d d d d d P A n n令112100-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=P d d d P n，则有P P A '=．习题10.31、（1）q 矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=320222021A ，A 的特征多项式())1)(5(232222021+--=---=-x x x x x x A xA ．A 的特征值为2，5，-1．对的特征值2=λ 解齐次方程组0120202021321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 求得基础解系)2,1,2(1--=η，单位化得),,(3231321--=γ，同理求得属于特征值5，-1的单位特征向量分别为),,(3232312-=γ， ),,(3132323=γ．取正交矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=12222121231U ．则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='152AU U ，q 通对正交的线性替换X=UY ，化为23222132152),,(y y y x x x q -+=． （2）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=204060402A ，它的特征多项式为：)2()6(240604022+-=-----=-x x x x x A xI ，A 的特征值为6（二重），-2． 对于特征值6，解齐次方程组：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321404000404x x x ． 求得一个基础解系为)1,0,1(1-=η，)0,1,0(2=η它们已是正交向量组，将它们单位化，得),0,(21211=γ )0,1,0(2=γ对于特征值-2，同理可求得相应的特征向量)1,0,1(3-=η，单位化得),0,(21213-=γ 取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121212100100U ，则U 为正交矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='200060006AU U ．对二次型作正交线性替换X=UY ，就化成232221266y y y -+． （3）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=242422221A ．A 的特殊征多项式)7()2(2+-=-x x A xI ，A 的特征值为2，2，-7．对于特征值2，求得两个相应的线性无关的特征向量)0,1,2(1-=α，)1,0,2(2=α将它们正交化得)0,1,2(11-==αβ，)5,4,2(12=β单位化得)0,,(51521-=γ，),,(5355345322=γ对于特征值-7，求得相应的特征向量为)2,2,1(3-=α单位化得),,(3232313-=γ取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32535325345131532520U ，则U 是正交矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='700020002AU U ， q 可经过正交线性替换X=UY ，化为 232221321722),,(y y y x x x q -+=． （4））q 的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110,000100100000010010B B B A ．)1)(1(1112+-=-=--=-x x x xx B xI ，B 的特征值为1，-1．对特征值为1，求得B 的属于1特征向量为)1,1(1=α，单位化得),(21211=γ，对于-1，求得相应的特征向量为)1,1(2-=β，单位化得),(21212-=γ．取⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121Q ，则Q 为正交矩阵．且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='1001BQ Q ． 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q Q U 00，则U为正交矩阵．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='100001000010001AU U ．作正交线性替换X=UY ，二次型就化为24232221y y y y -+-． 2、因为A 是实对称矩阵，故它的特征值0λ是实数，从而存在不全为0的实数n x x x ,,,21 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x x x x A 21021λ．于是，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n x x A x x x x x x q 212121),,,(),,,()(),,,(22221021021n n n x x x x x x x x x +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= λλ．3、因为AX X x x x q n '=),,,(21 是实二次型，故存在正交的线性替换X=UY （U 为正交矩阵），使 AX X x x x q n '=),,,(21 =2222211nn y y y λλλ+++ （1） 其中n λλλ,,,21 为A 的全部特征值．由于n λλλ≤≤≤ 21，又由于22221ny y y +++ =Y Y y y y y y y n n '=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 2121),,,(，故对n R 中的任意向量X ，由（1）得='≤'AX X Y Y 1λ2222211nn y y y λλλ+++ Y Y n '≤λ （2） 因为U 为正交矩阵，I U U ='故Y Y IY Y UY U Y UY UY X X '='=''='=')()(从而由（2）得XX AX X X X n '≤'≤'λλ1．4、因为A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵U 使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n AU U λλλ0021，这里R n ∈λλλ,,,21 是A 的全部特征值．由于i λ>0，i=1，2，…，n ，故U U U U A n n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=221210000λλλλλλU U U U n n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλλ00002121令U U S n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ0021，则S 为实对称矩阵，并且有2S A =． 习题10.41、（1）2221321),,(y y x x x q +=已经是C 上和R 上的典范形； （2）在C 上，对232221321),,(z z z x x x q --=，再作非退化线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧===332211iwz iw z w z ，可化为典范形232221321),,(w w w x x x q ++=； 而在R 上，232221321),,(z z z x x x q --=已经是典范形．（3）在C 上，对242241214321),,,(y y y x x x x q +-=，再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====344322112z y z y iz y z y ，可化为典范形2322214321),,,(z z z x x x x q ++=；在R 上，对 24221214321),,,(y y y x x x x q +-=，再作非退化实线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====244332112z y z y z y z y ，可化为典范形2322214321),,,(z z z x x x x q -+=． （4）q 在C 上和R 上的典范形都是：2212221n n z z z z ++++-（5）q 在C 上的典范形为：222122221nn n z z z z z +++++++ ；在R 上的典范形为：222122221n n n z z z z z ---++++ ．（6）2121),,,(y x x x q n = 已经是典范形．2、q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000222222c b ca ba A ．因为0≠ab 故0,0≠≠b a ，从而知A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--abc a a 000000合同． （1）ab>0时，若c=0，则q 的秩r=2，符号差011=-=s ；若c>0，则q 的秩r=3，符号差121-=-=s ； 若c<0，则q 的秩r=3，符号差112=-=s ；（2）ab<0时，若c=0，则q 的秩r=2，符号差011=-=s ；若c>0，则q 的秩r=3，符号差112=-=s ； 若c<0，则q 的秩r=3，符号差121-=-=s ．3、二次型的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++++++++=)()2(2)1()2(24432)1(3222n n n n n n n n n n n A λλλλλλλλλ可证，A 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+---0001000200011210n n 合同．因后一矩阵与λ无关，从而得A 的秩和符号差与λ无关，即二次型的秩和符号差与λ无关．4、类数=2)2)(1()1(21++=+++n n n ．n=3时，各类典范形为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111,111,111,111；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011,011,011;⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000;001,001.5、充分性．设实二次型),,,(21n x x x q 的秩为2，且符号差为0，则它可以经非退化线性替换X=PY 化为典范形),,,(21n x x x q =))((21212221y y y y y y -+=-．由X P y '=，可知，11,y y 可由n x x x ,,,21 线性表示．代入上式得),,,(21n x x x q 是两实系数n 元一次齐次多项式的乘积．若q 的秩为1，则q 可经非退化线性替换X=PY 化为典范形2121),,,(y x x x q n = ，同理可得结论成立．必要性．设二次型可分解为),,,(21n x x x q =))((22112211n n n n x b x b x b x a x a x a ++++++ ，其中),,2,1(,n i Rb a i i =∈．若),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 成比例，即ii ka b =，且设1≠a ，可对q 作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=n n n n x y x y x a x a x a y 2222111 化为),,,(21n x x x q =21ky ．此时二次型),,,(21n x x x q 的秩为1．若),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 不成比例，不如设),(21a a 与),(21b b 不成比例，则01221≠-b a b a ，从而⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+++=+++=nn n n nn x y x y x b x b x b y x a x a x a y 332211222111是非退化线性变换．对),,,(21n x x x q 作此变换后再作如下线性替换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+=nn z y z y z z y z z y 33212211 就得),,,(21n x x x q =222121z z y y -=． 因此，二次型),,,(21n x x x q 的秩为2，并且符号差是零．6、只需证齐次线性方程0='AX A 与AX=0同解．设X 是AX=0的解，则有0='AX A ，即X 也是0='AX A 的解；反之，设X 是0='AX A 的解，则有0='=''O X AX A X ，即0)()(='AX AX ．因为A 为实矩阵，X 为实向量，故AX=0．即X 是AX=0的解，于是，A /A 与A 的秩相同．7、把q 写成),,,(21n x x x q =AX A X ''，),,,(21n x x x X ='，因为A A A A '='')(，得A A '是q 的矩阵，q 的秩等于AA '的秩，由上题得q 的秩等于A 的秩．习题10.51、（1）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=621221111A它的顺序主子式为11=D >0，121112==D >0，46212211113==D >0，故q 是正定的． （2）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2010010310420321A 因为A 的2阶顺序主子式042212==D ，由此可知，q 不是正定的．（3）取不全为0的实数1,0,0321===x x x ，有0)1,0,0(=q ，故q 不是正定的．（4）),,,(21n x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111121212121212121 A它的k 阶顺序主子式)1()(1111212121212121212121+==k D k k>0，（k=1，2，…,n ）．故q 是正定的． （5）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000100000000010101212121212121A它的k 阶顺序主子式100010000000001011212121212121=k D =)1()(1+k k>0（k=1，2，…,n ）． 故q 是正定的． 2、（1）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3010112λλA ，),,(321x x x q 是正定的充要条件是：A 的顺序主子式221==D >0，22222λλλ-==D >0，23353010112λλλ-==D >0 由此解得：3535<<-λ．所以，当3535<<-λ时，),,(321x x x q 是正定的．（2）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=451151122λλA ， 由于A 的二阶顺序主子式01111=，故不论λ取任何值，q 都不能是正定的．（3）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1000011011011λλλA ， 由λ>0，1112-=λλλ>0，)2()1(1111112-+=--λλλλλ>0，)2()1(2-+=λλA >0．解得λ>2．故当λ>2时，q 是正定的．3、因A 是正定的，故存在可逆实矩阵P ，使P P A '=，由此可得，)(111'=---P P A ，从而1-A 是正定的．4、因A 是正定矩阵，故存在可逆实矩阵Q ，使IAQ Q ='．又因为BQ Q '是实对称矩阵，故存在正交矩阵U ，使U BQ Q U )(''是对角矩阵．令P=QU ，则BP P '是对角矩阵，且I IU U AQU Q U AP P ='=''='也是对角矩阵．5、因A 是实对称矩阵，故对任意实数t ，tI+A 是实对称矩阵． 对A ，存在正交矩阵U ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n AU U λλλ0021，其中n λλλ,,,21 是A 的全部特征值．于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+'n n t t t tI U A tI U λλλλλλ0000)(2121，故tI+A 的全部特征值为n t t t λλλ+++,,,21 ．当t 充分大时，i t λ+>0，i=1，2，…,n ．于是，当t 充分大时，tI+A 是正定的．6、因A 是正定矩阵，故存在正交矩阵U ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='n AU U λλλ 00000021，其中n λλλ,,,21 是A 的全部特征值．由于A 是正定的，所以时，i λ>0，i=1，2，…，n ．于是U U U U U U A n n n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλλλλλ000000212121． 令U U S n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ0021，则S 是正定的，且使2S A =．7、因A 是可逆实矩阵，故A A '是正定矩阵．由第6题知，存在正定矩阵S ，使A A '=2S ．于是，SS A S A A )()(121'='=--．令S A U )(1'=-，可证U 是正交矩阵，并且A=US ．8、当n=1时，结论显然成立．假设对于n-1阶正定矩阵，结论成立．现设A 是n 阶正定矩阵，把A 分块为：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-nn n ij a B B A a A 1，其中，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-------1,12,11,11,222211,122111n n n n n n n a a aa a a a a a A，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n n n n a a a B ,121 ．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---10111B A I P n n ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-='--B A B a I AP P n nn n 1100．因为1-n A 为正定矩阵，故01≥'-B A B n ，当且仅当B=0时，等号成立．由于1='=P P ，所以，()B A B a A P A P A n nn n 11--'-='=，从而nn n a A A 1-≤，当且仅当B=0时等号成立．由归纳假设，1,122111---≤n n n a a a A ，当且仅当1-n A 为对角形时等号成立．所以，nn n n a a a a A 1,12211--≤ ，当且仅当A 为对角形时等号成立．9、当0=A 时，结论成立．当0≠A 时，A 是可逆实矩阵，从而A A '是正定矩阵，并且A A '的主对角线上的元素为222212222221221221211,,,nn n n n n a a a a a a a a a +++++++++ ．利用第8题的结果，得()∏=+++≤'=nj njj j a a a A A A 1222212．10、充分性：若),,,(21n x x x q 的秩和正惯性指数都等于r ，则q 可经过非退化实线性替换X=PY ，变为),,,(21n x x x q =22221r y y y +++ ，从而对任一组实数n x x x ,,,21 由X=PY 可得X P Y 1-=，即可求得相应的实数n r y y y y ,,,,,21 ，使),,,(21n x x x q =22221r y y y +++ 0≥即q 是半正定的．必要性： 设),,,(21n x x x q 是半正定的，则q 的负惯性指数必为零．否则，q 可经非退化实线性替换X=PY ，化为),,,(21n x x x q =221221r p p y y y y ---+++ ，p<r ．于是，当1=r y ，其余0=i y 时，由X=PY 可得相应的值n x x x ,,,21 代入上式得01),,,(21<-=n x x x q ，这与q 是半正定相矛盾． 11、考虑三元二次型C yz B xz A xy z y x z y x q cos 2cos 2cos 2),,(222---++=．它的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1cos cos cos 1cos cos cos 1C B C A B A A ，容易得它的所有顺序主子式111==D >0，A A AD 22cos 11cos cos -=---=>0，0=A ．所以),,(z y x q 是半正定二次型．故对任意实数x,y,z 有),,(z y x q ≥0，即不等式成立．12、),(y x q 的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c b b a A它的一切顺序主子式为2,b ac A a a -==．（1）若ac b -2<0，即A >0，则显然q 是正定⇔a>0．（2）若ac b -2>0，即A <0，二次型不是正定的，且秩A=2，故A 的两个特征值21,λλ必异号．从而得到),(y x q 是不定的．（1）的几何意义是：方程),(y x q =1表示中心在原点的椭圆； （2）的几何意义是：方程),(y x q =1表示中心在原点的双曲线．13、因为A <0，故二次型),,,(21n x x x q =AX X '的秩为n ．且不是正定的，故它的负惯性指数至少是1，从而),,,(21n x x x q 可经过非退化实线性替换X=PY ，化为),,,(21n x x x q ==''='APY P Y AX X 221221n p p y y y y ---+++ ， （1）其中p ≤1<n ，当y n=1，其余y i=0时，由X=PY 确定的向量00≠X ，且100-='AX X <0． 14、因为有实n 维向量1X ，使11AX X q '=>0，说q 不是半负定的；又由于有实n 维向量2X ，使22AX X q '=<0，说明q 不是半正定的，从而q 是不定的．故q 的正、负惯性指数都>1，于是q 可经过非退化实线性替换X=PY ，化为),,,(21n x x x q =221221r p p y y y y ---+++其中p≤1<r ．取y 1=1，y r =1，而其余y i =0，代入X=PY 解得向量0≠X ，且有q=='00AX X 221221rp p y y y y ---+++ =010012222=---++ ． 习题10.61、对R k C x g x f b a ∈∈,)(),(],[，有)),(())(()()())()(())()((x g s x f s dxx g dx x f dx x g x f x g x f s b a b a b a +=⎰+⎰=+⎰=+))(()())(())((x f ks dx x f k dx x kf x kf s ba b a =⎰=⎰=．2、由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+1)()()(1)()(1)()(3212121αααααααf f f f f f f ，解得：0)(1=αf ，1)(2=αf ，0)(3=αf ，从而2332211332211)()()()(x f x f x f x x x x f =++=++αααααα．3、对Vx x x n n ∈+++=αααξ 2211，定义n n x a x a x a f +++= 2211)(ξ．容易验证，f 是V 上的一个线性函数，且n i a f i i ,,2,1,)( ==α．又设g 是V 上的另一个线性函数，且满足n i a g i i ,,2,1,)( ==α，则)()()()(221111ξααξf a x a x a x g x x g g n n n i ni i i i i =+++===∑∑== ．所以，fg =.4、假设)(ξf 、)(ξg 都不是零函数，则必存在V∈00,ηξ，使0)(0≠ξf ，0)(0≠ηg ．若0)(0≠ξg 或0)(0≠ηf ，则)(0ξh =)(0ξf 0)(0≠ξg ，或)(0ηh =)(0ηf 0)(0≠ηg ，推出)(ξh 不是零函数；若0)(0=ξg 且0)(0=ηf ，取000ηξζ+=，则)(0ζh =)(00ηξ+f )(00ηξ+g =)(0ξf 0)(0≠ηg ，推出)(ξh 不是零函数．5、（1）是双线性函数；（2）不是双线性函数；（3）当c=0时，是双线性函数；当0≠c ，不是双线性函数．6、(1)利用矩阵迹的性质：)()();()()(S atr aS tr T tr S tr T S tr =+=+直接可验证．（2）当n=3时，设33)(⨯=ij a A ，则)()(),(kl ji kl ijkl ij AE E tr AE E tr E E f ='= ⎩⎨⎧=≠===∑∑==.,,,0)()(3131l j a l j E a tr E E E a tr ikjl ik kl st ji s t st因为),(Y X f 在基}3,2,1,|{=j i E ij 下的度量矩阵是一个23阶矩阵，用分块形式表示为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211A A A A A A A A A A ， 其中333231332221231211100),(),(),(),(),(),(),(),(),(I a a a a E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f A ij ij ijijj i j i j i j i j i j i j i j i j i ij =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=． 于是，),(Y X f 在基}3,2,1,|{=j i E ij 下的度量矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333332331323322321313312311I a I a I a I a I a I a I a I a I a A ． 7、（1）),(ηξf 在基4321,,,αααα下的度量矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3124218481024066842),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(44342414433323134232221241312111ααααααααααααααααααααααααααααααααf f f f f f f f f f f f f f f f A ． ),(ηξf 在基4321,,,ββββ下的度量矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------='=75717152315237925115125171AT T B ． （3）设非零向量),,,(4321x x x x =ξ，使0),(=ξξf ，即022432121=--x x x x x ．取0,02431≠====a x x x x ，则0),,,(4321≠=x x x x ξ，并使得0),(=ξξf ．8、（1）因为对一切V ∈η，有0),0(=ηf ，所以Wo ∈，即W 非空．对任意F k k W ∈∈2121,,,ξξ，由0),(1=ηξf 0),(2=ηξf ，对一切V ∈η，得,0),(),(),(22112211=+=+ηξηξηξξf k f k k k f 对一切V ∈η， 即W k k ∈+2211ξξ，故W 是Ｖ的一个子空间．（2）若),(ηξf 是非退化的，则对任意W∈ξ，有0),(=ηξf ，对一切V ∈η，故得o =ξ．于是，W={0}．反之，设W={0}．令0),(=ηξf ，对一切V ∈η，则W∈ξ，但W={0}，故o =ξ．从而),(ηξf 是非退化的．9、（1）对∑=∈=ni i i Vx 1αξ，则)()(2211n n i i x x x f f αααξ+++= )()()(2211n i n i i f x f x f x ααα+++= ．因为，⎩⎨⎧≠==.,0;,1)(j i j i f j i α 代入上式，得i i x f =)(ξ．从而，∑==ni i i f 1)(αξξ．（2）∑=∈=ni i i Vx 1αξ，由（1），有∑==ni i i f 1)(αξξ，故∑∑====ni i i n i i i f f f f f 11)()())(()(αξαξξ∑∑====ni i i ni i i f f f f 11))()(()()(ξαξα，从而，∑==ni ii f f f 1)(α．（3）先证n f f f ,,,21 线性无关．设),,,(,0212211F a a a f a f a f a n n n ∈=+++ ，分别用n ααα,,,21 代入，得到021====n a a a ．因此，n f f f ,,,21 线性无关．又由（2）知，L （V ，F ）中的每向量f 都可以由n f f f ,,,21 线性表示，因而n f f f ,,,21 是L （V ，F ）的基，于是L （V ，F ）的维数也是n ．习题10.71、对任意)(,F M Y X n ∈，由)()(,T tr T tr A A '=='，得),()()())(()(),(X Y f AX Y tr X A Y tr AY X tr AY X tr Y X f ='=''=''='=，所以，),(Y X f 是双线性函数．2、2),(),(2),(),(),(ξηηξξηηξηξf f f f f -++=，令2),(),(1),(ξηηξηξf f f +=，2),(),(2),(ξηηξηξf f f -=，则有=),(1ηξf ),(1ξηf ，),(),(2),(),(2ηξξηηξξηf f f f -==- ，且=),(ηξf ),(1ηξf +),(2ηξf ．唯一性：设),(ηξf 还可分解为=),(ηξf ),(1ηξg +),(2ηξg ，其中),(1ηξg =),(1ξηg ，),(2ηξg =),(2ξηg -．于是，),(),(11ηξηξg f -=),(),(22ηξηξf g - ， （1）),(),(11ηξηξg f -=),(),(11ξηξηg f -=),(),(22ξηξηf g -=),(2ηξg -+),(2ηξf （2）由（1）、（2）得2（),(1ηξf ),(1ηξg -）=0， 从而),(1ηξf =),(1ηξg ，并且),(2ηξg =),(2ηξf ．3、若),(ηξf 是反对称的，则),(ηξf =),(ξηf -，取ηξ=，有 ),(ξξf =),(ξξf -，故),(ξξf =0．反之，若对任意V ∈ξ，有),(ξξf =0，对任意V ∈ηξ,，0=),(ηξηξ++f =),(ξξf +),(ηξf +),(ξηf +),(ηηf=),(ηξf +),(ηξf ．从而),(ηξf =),(ξηf -，即),(ηξf 是反对称的．4、（1）因为2≥n ,所以V 中存在两个线性无关的向量βα,，若0),(=ααf ，则取αξ=，即可．现设0),(≠ααf ，则0),(),(2),(),(2=++=++βββαααβαβαf x f x f x x f 在C 中有解，设一个解为x 0，令βαξ+=0x ，由于βα,线性无关，得0≠ξ，并使得0),(=ξξf ．（2）由（1）知，存在非零的ξ，使0),(=ξξf ．因为f 非退化，所以，必存在γ，使0),(≠γξf ．否则，若对一切0),(,=∈γξγf V ，由f 非退化，得0=ξ，矛盾．取,),(1γγξδf =则有1),(=δξf ．令ξδδδη2),(f -=，则ηξ,线性无关，且0),(),(,1),(===ηηξξηξf f f ．5、取V 的一个基n ααα,,,21 ．对任意Vy y y x x x n n n n ∈+++=+++=αααηαααξ 22112211,，令n n n n y b y b y b f x a x a x a f +++=+++= 2211222111)(,)(ηξ， 其中)(),(21i i i i f b f a αα==．则))(()()(),(2211221121n n n n y b y b y b x a x a x a f f f ++++++== ηξηξ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n y y y b b b a a a x x x 21212121,,,),,,(．由此可得，),(ηξf 在基n ααα,,,21 下的度量矩阵为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a A 2122212121112121,,,．因为),(ηξf 是对称的，故A 是对称矩阵，因而得i j j i b a b a =，即j j i i b a b a ::=，),,2,1,(n j i =．于是，有),,,(),,,(2121n n b b b a a a λ=．设02≠f ，则0≠λ，且)()(21ξλξf f =，取)()(2ξξf g =，则有)()()()()()(),(2221ηξληξληξηξg g f f f f f ===．6、因为),(ηξf 是反对称的，故存在V 的一个基321,,ααα，使),(ηξf 在这个基下的度量矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000001010A ，这样，对任意332211αααξx x x ++=，V y y y ∈++=332211αααη有),(ηξf =1221321321),,(y x y x y y y A x x x -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，令)(1ξf =),(2αξf ，)(2ξf =),(1ξαf ，则21,f f 是V 上的线性函数，且满足),(ηξf =)(1ξf )(2ηf )(1ηf -)(2ξf ．7、设A 是一个n 阶反对称矩阵，取定数域F 上n 维线性空间的一个基n ααα,,,21 ，对Vy y y x x x n n n n ∈+++=+++=αααηαααξ 22112211,，令),(ηξf =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121),,,(，则),(ηξf 是V 上的一个对称双线性函数，且),(ηξf 在基n ααα,,,21 下的度量矩阵恰是A ．由定理10.7.3知，存在V 的一个基n βββ,,,21 ，使),(ηξf 在这个基下的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0001100110 B ．从而，A 与B 合同． 习题10.81、（1）设A 、B 是酉矩阵，则I B B B B I A A A A ='='='=',．于是，I B B IB B B A A B AB A B AB AB ='='=''=''=')())(()()(，从而，AB 是酉矩阵．又因为酉矩阵A 的逆矩阵A A '=-1，所以,)(1A A ='-于是，I AA A A =='---111)(，同理，I A A ='--)(11，故1-A 也是酉矩阵．（2）设A 为酉矩阵，则,I A A ='两边取行列式，得,1||='A 即,1||||=A 故||A 的模的平方等于1，即|A|的模等于1．（3）设λ是酉矩阵A 的特征值，n n C x x x ∈'=),,,(21 ξ是A 的属于特征值λ的特征向量，则0,≠=ξλξξA ．于是，一方面，由,I A A ='得ξξξξξξξξ'=''='=')()()()()(A A A A A A ．另一方面，)()()()()(ξξλλλξλξξξ'='='A A ．所以，ξξξξλλ'=')(．而0||||||222212211>+++=+++='n n n x x x x x x x x x ξξ， 得，1=λλ，故λ的模等于1．2、参考第九章关于欧氏空间标准正交基的讨论．3、若0||||==ηξ，则0==ηξ，V 的任一个酉变换σ都满足ηξσ=)(．若0||||≠=ηξ，取ηηξξηξ||11||11,==，则11,ηξ是两个单位向量．分别将它们扩充为V 的两个规范正交基n n ηηηξξξ,,,;,,,2121 ．则必存在V 的一个线性变换σ，使得i i ηξσ=)(，n i ,,2,1 =．由于σ把V 的规范正交基变为规范正交基，所以σ是酉变换，且ηηηξσξξσ===i ||)(||)(1．4、把Ａ的列n ααα,,,21 看作是n 维酉空间n C 的一个基，对其正次化、单位化变为规范正交基n γγγ,,,21 ，相当于在A 的右边乘一些上三角矩阵，对角线上元素都大于零：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n t t t t t t 000),,,(),,,(222112112121αααγγγ，n i t ii ,,2,1,0 =>． 取12221121121000),,,,(-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==nn n n n t t t t t t T U γγγ，A=UT ，且U ，T 满足要求．唯一性，设另有 11T U A =，实数的上三角形矩阵为对角线上元素全为正为酉矩阵11，T U ，可得 1111--=TT U U ，由11-TT 是对角线元素全是正实数的上三角形矩阵，得11U U -是对角线上元素全为正实数的上三角形矩阵，从而I U U =-11，于是U U =1，进而T T =1．5、对于酉矩阵A ，利用归纳法和第八章特征向量的讨论可知，存在可逆复矩阵P ，使得11A AP P =-是上三角形矩阵．由第4题知，P=UT ，其中U 是酉矩阵，T 是上三角形矩阵，代入可得，111A AUT U T =--．于是有B T TA AU U ==--111是上三角形矩阵．由于AU U B 1-=是酉矩阵，得1)(-'=B ．由此根据B 是上三角形矩阵，可得1)(-'B ，即B 为下三角形矩阵，故B 为对角形矩阵．6、设A 是埃尔米特矩阵，λ是A 的特征值，n n C x x x ∈'=),,,(21 ξ是A 的属于特征值λ的特征向量，则0,≠=ξλξξA ． 于是，由A A ='，得ξξξξξξξλξξξλA A A ''='===)(),(),(),(),()()()(ξξλξξλλξξξξξξ='='='='=A A ．又因为0),(≠ξξ，从而λλ=，即λ是实数．现设μλ,是A 的不同的特征值，ηξ,是A 的分别属于特征值μλ,的特征向量，则μλ,都是实数，并且 0,0,,≠≠==ηξμηηλξξA A ．于是，ηξηξηξηλξηξλA A A ''='===)(),(),(),( ),(),()()(ηξμμηξμηξηξηξ=='='='=A A ． 由于μλ≠，得0),(=ηξ，即ηξ与彼此正交．7、类似第5题中的证明，存在酉矩阵U ，使B AU U =-1是上三角形矩阵．于是，B AU U U A U U A U AU U B ==='''='='----1111)()(．由B '为下三角形矩阵，B 为上三角形矩阵知，B 为对角形矩阵．8、类似第5题中的证明，存在酉矩阵U ，使B AU U =-1是上三角形矩阵，由此 可证B 也是规范矩阵．现令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n b b b b b b B 00022211211，对比B B B B '='对应位置上的元素，可得 )(,0j i bij <=．所以B 是对角形矩阵．。
高中数学必修二第十章概率考点总结(带答案)
高中数学必修二第十章概率考点总结单选题1、某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数： 812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5答案：A分析：由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为210=0.2.故选：A.2、抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（ ）A ．至多一枚硬币正面朝上B ．只有一枚硬币正面朝上C ．两枚硬币反面朝上D ．两枚硬币正面朝上答案：C分析：由对立事件的概念直接判断即可.由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.故选：C.3、如图，开关K 1，K 2被称为双联开关，K 1可以与a ，b 点相连，概率分别为12，K 2可以与c ，d 点相连，概率分别为12，普通开关K 3要么与e 点相连（闭合），要么悬空（断开），概率也分别为12．若各开关之间的连接情况相互独立，则电灯L 1不亮的概率是（ ）A ．18B ．14C ．34D ．78答案：C分析：利用对立事件，结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.先考虑对立事件“电灯L 1亮”：首先需要“K 3与e 点相连”，同时满足“K 1与a 点相连且K 2与c 点相连”或“K 1与b 点相连且K 2与d 点相连”，因此电灯L 1亮的概率P =12×(12×12+12×12)=14，故电灯L 1不亮的概率为34.故选：C4、甲、乙两个元件构成一串联电路，设E ：甲元件故障，F ：乙元件故障，则表示电路故障的事件为（ ）A ．E ∪FB ．E ∩FC ．E ∩FD ．E ∩F答案：A分析：根据当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，即可求解.由题意，甲、乙两个元件构成一串联电路，当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，所以电路故障的事件为E ∪F .故选：A.5、高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a 、b 、14，该同学可以进入两个社团的概率为15，且三个社团都进不了的概率为310，则ab =（ ）A ．320B ．110C ．115D ．15 答案：B分析：利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于a ，b 的方程，联立求解即得.依题意，该同学可以进入两个社团的概率为15，则ab ⋅(1−14)+14a(1−b)+14b(1−a)=15，整理得ab +a +b =45，又三个社团都进不了的概率为310，则(1−a)(1−b)(1−14)=310，整理得a +b −ab =35， 联立ab +a +b =45与a +b −ab =35，解得ab =110，所以ab =110.故选：B6、某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：）A ．0.68B ．0.625C ．0.587D ．0.615答案：D分析：由频率和概率的关系求解.解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小．故选：D ．7、从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是（ ）A ．①B ．②④C ．③D ．①③答案：C分析：列举出从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，再由对立事件的定义即可得出选项.解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.故选：C8、抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A=“出现的点数是1或2”，事件B=“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（）A．A∪B B．A∩B C．A⊆B D．A=B答案：B解析：根据事件A和事件B，计算A∪B，A∩B，根据结果即可得到符合要求的答案.由题意可得：A={1,2}，B={3,4}，∴A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2}.故选B.小提示：本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算，集合与集合的关系来解决，是基础题.多选题9、如果知道事件X已发生，则该事件所给出的信息量称为“自信息”．设随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，x n，且p(x i)>0(i=1,2,⋯,n)，∑n i=1p(x i)=1，定义X的“自信息”为I(x i)=−log2p(x i)．一次掷两个不同的骰子，若事件A为“仅出现一个2”，事件B为“至少出现一个5”，事件C为“出现的两个数之和是偶数”，则（）A．当p(x i)=1时，“自信息”I(x i)=0B．当p(x1)>p(x2)>0时，I(x1)>I(x2)C．事件C的“自信息”I(C)=1D．事件A的“自信息”I(A)大于事件B的“自信息”I(B)答案：ACD分析：根据题中条件，由对数运算可得A正确；根据对数函数的单调性，可得B错；根据古典概型的概率计算公式，求出P(C)，得到I(C)，即可判断C正确；根据古典概型的概率计算公式，分别求出事件A与事件B发生的概率，得出I(A)与I(B)，即可判断D正确.A选项，当p(x i)=1时，I(x i)=−log21=0，即A正确；B选项，因为对数函数y=log2x是增函数，所以y=−log2x是减函数；因此，当p(x1)>p(x2)>0时，−log2p(x1)<−log2p(x2)，即I(x1)<I(x2)，故B错；C选项，一次掷两个骰子，所包含的基本事件的个数为6×6=36个；“出现的两个数之和是偶数”所包含的情况有：1+1，1+3，1+5，2+2，2+4，2+6，3+1，3+3，3+5，4+2，4+4，4+6，5+1，5+ 3，5+5，6+2，6+4，6+6共18个基本事件；则P(C)=1836=12，所以I(C)=−log2p(C)=1，故C正确；D选项，事件A“仅出现一个2”，所包含的基本事件有：(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(1,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)共10个基本事件；事件B“至少出现一个5”，所包含的基本事件有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(6,5)共11个基本事件；所以P(A)=1036=518，P(B)=1136，则P(A)<P(B)；因此I(A)>I(B)，即D正确；故选：ACD.10、已知有6个电器元件，其中有2个次品和4个正品，每次随机抽取1个测试，不放回，直到2个次品都找到为止，设随机试验“直到2个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为Ω，设事件A i=“测试i次刚好找到所有的次品”，以下结论正确的是（）A．Ω={2,3,4,5,6}B．事件A2和事件A3互为互斥事件C．事件A4=“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”D．事件A5=“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”答案：BD分析：根据题意逐项分析即可判断出结果.A：由题意可知，直到2个次品都找到为止需要测试的次数，最少是测试2次，即前2次均测试出次品，最多测试5次，即前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品，所以Ω={2,3,4,5}，故A错误；B：事件A2为前两次均测试出次品，事件A3为前2次有1次测试出次品，第3次测试出次品，符合对立事件的条件，故B 正确；C ：事件A 4=“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”或“前4次测试到全是正品”，故C 错误；D ：事件A 5=“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”，故D 正确.故选：BD.11、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件A 1，A 2和A 3表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B 表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（ ）A ．事件B 与事件A 1相互独立B ．A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件C ．P(B|A 1)=511D ．P (B )=522 答案：BC分析：由题意A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，由条件概率公式求出P(B|A 1)， P (B )=P(B|A 1)P(A 1)+P(B|A 2)P(A 2)+P(B|A 3)P(A 3)，对照四个选项进行判断即可．解：由题意A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，故B 正确；又P(A 1)=510=12，P(A 2)=210=15，P(A 3)=310，P(B|A 1)=511，由此知，C 正确； 同理可得P(B|A 2)=411，P(B|A 3)=411，而P (B )=P(B|A 1)P(A 1)+P(B|A 2)P(A 2)+P(B|A 3)P(A 3)=12×511+15×411+310×411=922，故D 错误． 因为P(BA 1)=P(B|A 1)⋅P(A 1)=522，即P(BA 1)≠P(A 1)⋅P(B)，所以事件B 与事件A 1不相互独立，故A 错误； 故选：BC ．填空题12、某医院某科室有5名医护人员，其中有医生2名，护士3名．现要抽调2人前往新冠肺炎疫情高风险地区进行支援，则抽调的2人中恰好为1名医生和1名护士的概率是______．答案：35##0.6分析：根据条件列举出所有的情况和满足条件的情况，利用古典概型的概率公式进行求解.设2名医生为a ，b ，3名护士为c ，d ，e ，则抽调2人的情况有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种不同结果，其中恰好为1名医生和1名护士的情况有ac，ad，ae，bc，bd，be共6种不同结果，则所求概率为610=35.所以答案是：35.13、某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________.答案：0.21##21100分析：设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为A,B,C，利用互斥事件加法列出方程组即可求解.设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A，B，C则{P(A)+P(B)=0.86 P(B)+P(C)=0.35P(A)+P(B)+P(C)=1，则P(B)=0.21所以答案是：0.2114、假设P(A)=0.5,P(B)=0.6，且事件A与B相互独立，则P(A+B)=________.答案：0.8##45分析：先算出P(AB)，再利用P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)求解即可.P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.3，则P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.5+0.6−0.3=0.8.所以答案是：0.8.解答题15、已知f(x)＝x2＋2x，x∈[－2，1]，给出事件A：f(x)≥a.（1）当A为必然事件时，求a的取值范围；（2）当A为不可能事件时，求a的取值范围.答案：（1）(－∞，－1]；（2）(3，＋∞).分析：根据函数的解析式求得函数的最大值是3，最小值是−1，（1）当A为必然事件时，即不等式f(x)⩾a在[−2，−1]上恒成立，故有−1⩾a，由此求得实数a的取值范围．（2）当A为不可能事件时，即不等式f(x)⩾a在[−2，−1]上无解，故有3<a，由此求得实数a的取值范围．∵f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2，1]∴f(x)min＝－1，此时x＝－1.又f(－2)＝0＜f(1)＝3∴f(x)max＝3.∴f(x)∈[－1，3]（1）当A为必然事件时，即f(x)≥a恒成立，故有a≤f(x)min＝－1，即a的取值范围是(－∞，－1].（2）当A为不可能事件时，即f(x)≥a一定不成立，故有a＞f(x)max＝3，则a的取值范围为(3，＋∞).。
(完整word版)高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)
于是所求的曲面积分为
.
（2） ，其中 为旋转抛物面 介于 之间部分的下侧。
解由两类曲面积分之间的联系，可得
，
在曲面 上，有
。
故
。
再依对坐标的曲面积分的计算方法，得
。
注意到
，
故
。
（3） ，其中 为 ， 的上侧；
解 在 面上的投影为半圆域 ， ，
=
= =
由对称性 = ， =
∴原式= =
（4） ，其中 是由平面 ， ， ， 所围成的四面体的表面的外侧。
，
其中 为上半球面 ， ， ，故
，
其中 是 在 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得
= ，
是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得
，
故
。
解法2设球面方程为 ，定直径在 轴上，依题意得球面上点 的密度为 ，从而得球面的质量为 ，由轮换对称性可知： ，故有
．
2设某流体的流速为 ，求单位时间内从圆柱 ： （ ）的内部流向外侧的流量（通量）。
，其中 从 变到 ，
故
。
解法2作有向线段 ，其方程为
，其中 从 变到 ，
则有向曲线 与有向线段 构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为 ，由格林公式，有
，
即
，
而
，
故
。
3．计算 ,其中 为平面 在第一卦限中的部分；
解 将曲面 投影到 面上，得投影区域为 ，此时曲面方程可表示为
，
于是
，
。
4. 计算 ,其中 是球面 的上半部分并取外侧；
解如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以 取下侧， 取后侧， 取左侧， 取上侧。于是
高等数学 课后习题答案 第十章
习题十1. 根据二重积分性质，比较ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-112x y ≤+≤从而0l n ()1x y ≤+<故有2l n ()[l n ()]x y x y +≥+ 所以2l n ()d [l n ()]dDDx y x yσσ+≥+⎰⎰⎰⎰（2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥.图10-2 从而 ln(x+y)>1 故有2l n ()[l n ()]x y x y +<+ 所以2l n ()d [l n ()]dDDx y x yσσ+<+⎰⎰⎰⎰2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）,{(,)|02,02}I D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}DI x y D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（3）2222(49)d ,{(,)|4}DI x y D x y x y σ=++=+≤⎰⎰.解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤因而04xy ≤≤.从而2≤≤故2d DD σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即2d d DDσσσ≤≤⎰⎰⎰⎰而d Dσσ=⎰⎰（σ为区域D 的面积），由σ=4得8σ≤≤⎰⎰(2) 因为220sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤故 220d sin sin d 1d DDDx y σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即220sin sin d d DDx y σσσ≤≤=⎰⎰⎰⎰而2πσ=所以2220sin sin d πDx y σ≤≤⎰⎰（3）因为当(,)x y D ∈时，2204x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤故229d (49)d 25d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即 229(49)d 25Dx y σσσ≤++≤⎰⎰而2π24πσ=⋅=所以 2236π(49)d 100πDx y σ≤++≤⎰⎰3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1）222(,{(,)|};Da D x y x y a σ=+≤⎰⎰（2）222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤⎰⎰解：（1）(,Da σ-⎰⎰在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以31(π3D a a σ=⎰⎰（2）σ⎰⎰在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故32π.3a σ=⎰⎰4. 设f(x ，y)为连续函数，求2220021lim(,)d ,{(,)|()()}πDr f x y D x y x x y y r r σ→=-+-≤⎰⎰.解：因为f(x ，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，(,),D ξη∃∈使得2(,)d (,)π(,)Df x y f r f σξησξη=⋅=⋅⎰⎰又由于D 是以（x0，y0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当0r→时，00(,)(,),x y ξη→于是：0022200000(,)(,)11lim(,)d limπ(,)lim (,)ππlim (,)(,)Dr r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=⋅===⎰⎰5. 画出积分区域，把(,)d Df x y σ⎰⎰化为累次积分：（1）{(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥;(2)2{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥(3)2{(,)|,2,2}D x y y y x x x =≥≤≤解：（1）区域D 如图10-3所示，D 亦可表示为11,01y x y y -≤≤-≤≤.所以1101(,)d d (,)d yDy f x y y f x y xσ--=⎰⎰⎰⎰(2) 区域D 如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D 可表示为22,12y x y y ≤≤+-≤≤.图10-3 图10-4所以2221(,)d d (,)d y Dyf x y y f x y xσ+-=⎰⎰⎰⎰（3）区域D 如图10-5所示，直线y=2x 与曲线2y x =的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线2y x =与x=2的交点为（2，1），区域D 可表示为22,1 2.y x x x ≤≤≤≤图10-5所以2221(,)d d (,)d xDxf x y x f x y yσ=⎰⎰⎰⎰.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：（1）2220d (,)d yy y f x y x⎰⎰; (2)eln 1d (,)d xx f x y y⎰⎰;(3)1320d (,)d y y f x y x-⎰; (4)πsin 0sin2d (,)d xxx f x y y-⎰⎰;(5)123301d (,)d d (,)d yyy f x y y y f x y x-+⎰⎰⎰⎰.解：（1）相应二重保健的积分区域为D ：202,2.y y x y ≤≤≤≤如图10-6所示.图10-6D 亦可表示为：04,.2xx y ≤≤≤所以22242d (,)d d (,)d .yx yy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 相应二重积分的积分区域D：1e,0ln.x y x≤≤≤≤如图10-7所示.图10-7D亦可表示为：01,e e,yy x≤≤≤≤所以e ln1e100ed(,)d d(,)dyxx f x y y y f x y x=⎰⎰⎰⎰(3) 相应二重积分的积分区域D为：01,32,y x y≤≤≤≤-如图10-8所示.图10-8D亦可看成D1与D2的和，其中D1：201,0,x y x≤≤≤≤D2：113,0(3).2x y x≤≤≤≤-所以2113213(3)200010d(,)d d(,)d d(,)dy x xy f x y x x f x y y x f x y y--=+⎰⎰⎰⎰⎰.(4) 相应二重积分的积分区域D为：0π,sin sin.2xx y x≤≤-≤≤如图10-9所示.图10-9D亦可看成由D1与D2两部分之和，其中D1：10,2arcsinπ;y y x-≤≤-≤≤D2：01,arcsinπarcsin.y y x y≤≤≤≤-所以πsin 0π1πarcsin 0sin12arcsin 0arcsin 2d (,)d d (,)d d (,)d xyx yyx f x y y y f x y x y f x y x----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5) 相应二重积分的积分区域D 由D1与D2两部分组成，其中 D1：01,02,y x y ≤≤≤≤ D2：13,03.y x y ≤≤≤≤-如图10-10所示.图10-10D 亦可表示为：02,3;2xx y x ≤≤≤≤-所以()123323012d ,d d (,)d d (,)d yyxxy f x y x y f x y x x f x y y--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7. 求下列立体体积：（1）旋转抛物面z=x2+y2,平面z=0与柱面x2+y2=ax 所围； （2）旋转抛物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所围. 解：（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积V=22()d d Dx y x y+⎰⎰其中D ：22{(,)|}x y x y ax +≤由被积函数及积分区域的对称性知，V=2122()d d D x y x y+⎰⎰，其中D1为D 在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得cos πππcos 344442220001132d d 2d cos d π4232a a V r r r a a θθθθθθ====⎰⎰⎰⎰.(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积22()d d ,DV x y x y =+⎰⎰其中积分区域D 为xOy 面上由曲线y=x2及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示.图10-11D 可表示为：211, 1.x x y -≤≤≤≤所以21122221()d d d ()d DxV x y x y x x y y-=+=+⎰⎰⎰⎰2111232461111188d ()d .333105x x y y x x x x x --⎡⎤=+=+--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 8. 计算下列二重积分：（1）221d d ,:12,;Dx x y D x y x y x ≤≤≤≤⎰⎰(2)e d d ,x yDx y ⎰⎰D 由抛物线y2=x,直线x=0与y=1所围；（3）d ,x y ⎰⎰D 是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;(4)cos()d d ,{(,)|0π,π}Dx y x y D x y x x y +=≤≤≤≤⎰⎰.解：（1）()22222231221111d d d d d d xx Dx xx x x x y x y x x x x y yy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2421119.424x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦(2) 积分区域D 如图10-12所示.图10-12D 可表示为：201,0.y x y ≤≤≤≤所示22110000e d d d e d d e d()xx x y y y y yD xx y y x y y y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 21111ed (e 1)d e d d y x y y yy y y y y y y y==-=-⎰⎰⎰⎰1111120000011de d e e d .22yy yy y y y y y =-=--=⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图10-13所示.图10-13 D 可表示为：01,.x x y x ≤≤-≤≤所以2110d d arcsin d 2xxx x y x y x y xx --⎡==+⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰112300ππ1πd .2236x x x ==⋅=⎰ππππ0πππ0(4)cos()d d d cos()d [sin()]d [sin(π)sin 2]d (sin sin 2)d 11.cos cos 222x Dxx y x y x x y y x y xx x x x x xx x +=+=+=+-=--⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰9. 计算下列二次积分：10112111224sin (1)d d ;(2)d e d d e d .yy y xxyxy x xy x y x +⎰⎰⎰⎰解：（1）因为sin d xx x ⎰求不出来，故应改变积分次序。
（完整版）高等数学II练习册-第10章答案
（完整版）⾼等数学II练习册-第10章答案习题10-1 ⼆重积分的概念与性质1.根据⼆重积分的性质，⽐较下列积分的⼤⼩：（1）2()D x y d σ+??与3()Dx y d σ+??，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+??与2[ln()]Dx y d σ+??，其中D 是三⾓形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利⽤⼆重积分的性质估计下列积分的值：（1）22sin sin DI x yd σ=，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++??，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解 (),f x y =Q 2，在D 上(),f x y 的最⼤值()14M x y ===，最⼩值()11,25m x y ====故0.40.5I ≤≤习题10-2 ⼆重积分的计算法1.计算下列⼆重积分：（1）22()Dx y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）cos()Dx x y d σ+??，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三⾓形闭区域。
2.画出积分区域，并计算下列⼆重积分：（1）x y De d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dxy x d σ+-??，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。
3.化⼆重积分(,)DI f x y d σ=为⼆次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个⼆次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。
高中数学必修二第十章概率笔记重点大全(带答案)
高中数学必修二第十章概率笔记重点大全单选题1、某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：60％B．该教职工具有研究生学历的概率超过50％C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％答案：D分析：根据表中数据，用频率代替概率求解.A.该教职工具有本科学历的概率p=75120=58=62.5%>60%，故错误；B.该教职工具有研究生学历的概率p=45120=38=37.5%<50%，故错误；C.该教职工的年龄在50岁以上的概率p=10120=112≈8.3%<10%，故错误；D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p=15120=18=12.5%>10%，故正确.小提示：本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.2、如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（）A．0.999B．0.981C．0.980D．0.729答案：B解析：求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率P1=0.9×0.9=0.81，开关3正常工作的概率P2=0.9，故该系统正常工作的概率P=1−(1−P1)(1−P2)=1−(1−0.81)×(1−0.9)=0.981,所以该系统的可靠性为0.981.故选：B.，则（）3、在一次试验中，随机事件A，B满足P(A)=P(B)=23A．事件A，B一定互斥B．事件A，B一定不互斥C．事件A，B一定互相独立D．事件A，B一定不互相独立答案：B分析：根据互斥事件和独立事件的概率的定义进行判断即可>1，与0≤P(A+B)≤1矛盾，所以P(A+B)≠若事件A，B为互斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)=43P(A)+P(B)，所以事件A，B一定不互斥，所以B正确，A错误，由题意无法判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，所以不能判断事件A，B是否互相独立，所以CD错误，故选：B4、某居民小区内一条街道的一侧并排安装了5盏路灯，在满足晚上不同时间段照明的前提下，为了节约用电，小区物业通过征求居民意见，决定每天24：00以后随机关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8答案：C分析：把问题转化为亮的2盏插空到不亮的3盏之间，计算出2盏亮的灯相邻和不相邻的所有可能数，再根据古典概型的概率公式计算即可.5盏路灯关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻，相当于把亮的2盏插空到不亮的3盏之间，那么亮的2盏不相邻的情况共有C42=6种，相邻的情况共有4种，因此2盏亮着的路灯不相邻的概率为6=0.6，105、把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ）A ．23B ．13C ．35D ．14答案：B解析：根据列举法，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求概率. 分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(12,3,4)，(12,4,3)，(3,12,4)，(4,12,3)，(3,4,12)，(4,3,12)，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,23,4)，(4,23,1)，(23,1,4)，(23,4,1)，(1,4,23)，(4,1,23)，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,2,34)，(2,1,34)，(34,1,2)，(34,2,1)，(1,34,2)，(2,34,1)，有6种分法；共有18种分法，则2，3连号的概率为P =618=13. 故选：B .小提示：本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.6、设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P （A ）＋P （B ）＝1”，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案.①若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P （A ）＋P （B ）＝1；②投掷一枚硬币3次，满足P （A ）＋P （B ）＝1，但A ，B 不一定是对立事件，如：事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“出现3次正面”，则P （A ）＝78，P （B ）＝18，满足P （A ）＋P （B ）＝1，但A ，B 不是对立事件. 所以甲是乙的充分不必要条件.小提示：本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对立事件的理解，属于基础题.7、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）．A ．112B ．16C ．14D ．13答案：B分析：设齐王的三匹马分别为a 1,a 2,a 3，田忌的三匹马分别为b 1,b 2,b 3，列举所有比赛的情况，利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.设齐王的三匹马分别为a 1,a 2,a 3，田忌的三匹马分别为b 1,b 2,b 3，所有比赛的情况:：(a 1,b 1)、(a 2,b 2)、(a 3,b 3)，齐王获胜三局；(a 1,b 1)、(a 2,b 3)、(a 3,b 2)，齐王获胜两局；(a 1,b 2)、(a 2,b 1)、(a 3,b 3)，齐王获胜两局；(a 1,b 2)、(a 2,b 3)、(a 3,b 1)，齐王获胜两局；(a 1,b 3)、(a 2,b 1)、(a 3,b 2)，田忌获胜两局；(a 1,b 3)、(a 2,b 2)、(a 3,b 1)，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为P =16故选：B小提示：本题考查了古典概型的概率计算问题，考查了理解辨析和数学运算能力，属于中档题目.8、某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：C ．0.5D ．0.6答案：D分析：由表中数据，用频率估计概率求解.由表中数据得：估计这个人体重减轻的概率约为p =6001000=0.6小提示：本题主要考查用频率估计概率，属于基础题.多选题9、某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A 表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B 表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C 表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中正确的是（ ）A ．P (C )=2150B ．事件A 与事件B 相互独立C ．P (AB )与P (C )和为54%D ．事件A 与事件B 互斥答案：ABC分析：分别求出P (A )，P (B )，进一步求出P (C )与P (AB )，从而判断AC 选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A 和事件B 相互独立，判断BD 选项.P (A )=410=25，P (B )=310在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A 和事件B 相互独立，B 项正确P (C )=(1−25)(1−310)=2150，故A 正确P (AB )=P (A )P (B )=325P (AB ) +P (C )=2750=54%，故C 正确事件A 与事件B 相互独立而非互斥，故D 错误.故选：ABC10、某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：B ，没投中为事件C ，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A ．P (A )=0.55B ．P (B )=0.18C ．P (C )=0.27D ．P (B +C )=0.55分析：求出事件A，B的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.依题意，P(A)=55100=0.55，P(B)=18100=0.18，显然事件A，B互斥，P(C)=1−P(A+B)=1−P(A)−P(B)=0.27，事件B，C互斥，则P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45，于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.故选：ABC11、下列事件A，B不是独立事件的是（）A．一枚硬币掷两次，A=“第一次为正面向上”，B=“第二次为反面向上”B．袋中有两个白球和两个黑球，不放回地摸两球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B=“出现点数为偶数”D．A=“人能活到20岁”，B=“人能活到50岁”答案：BCD分析：利用相互独立事件的概念，对四个选项逐一分析排除，从而得出正确选项.对于A选项，A,B两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件；对于B选项，A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件；对于C选项，由于投的是一个骰子，A,B是对立事件，所以不是相互独立事件；对于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故A,B不是相互独立事件.故选：BCD.填空题12、从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为_____．答案：14##0.25分析：列举出基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解.从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，可以组成：13，31，17，71，15，51，35，53，37，73，57，75一共12个.其中是5的倍数的数有：15，35，75一共3个，所以组成的两位数是5的倍数的概率为312=14.所以答案是：14 13、对两个相互独立的事件A 和B ，如P(A)=12，P(B)=14，则P(AB)=______．答案：18解析：根据独立事件概率乘法公式计算.根据概率的乘法公式，有：P(AB)=P(A)⋅P(B)=12×14=18． 所以答案是：18 14、若随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，则当试验次数n 很大时，可以用事件A 发生的频率m n 来估计事件A 的概率，即P(A)≈___________．答案：m n 分析：根据随机事件的频率、概率等知识确定正确答案.在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在随机事件A 发生的概率P (A )附近摆动并趋于稳定，这个性质成为频率的稳定性.因此，可以用事件A 发生的频率m n 来估计事件A 的概率，即P(A)≈ m n . 所以答案是：m n 解答题15、连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.（1）写出对应的样本空间；（2）求这个实验的样本空间中样本点的个数；（3）写出“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示.答案：（1）Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；（2）8；（3）{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}.分析：由于掷一枚硬币有正和反两种情况，所以列举出连续抛掷3枚硬币可能出现的所有的情况，即全部基本事件，即可得基本事件的个数和满足条件的基本事件．解：（1）样本空间Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；（2）样本点个数是8；（3）“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示为{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}.。
高等数学教材第二版答案
高等数学教材第二版答案在高等数学教学过程中，教材是学生们学习的主要依据，而答案则是学生们在学习中所追求的。
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第一章极限与连续1.1 初等函数的极限1.2 无穷小与无穷大1.3 极限运算法则1.4 一元函数的连续性1.5 连续函数的运算与初等函数的连续性第二章一元函数微分学2.1 导数的概念与几何意义2.2 导数的计算方法2.3 高阶导数与莱布尼茨公式2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 函数的局部性质第三章一元函数积分学3.1 不定积分的定义与基本性质3.2 不定积分的计算3.3 定积分的定义与性质3.4 定积分的计算方法3.5 积分中值定理与换元积分法第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限4.2 偏导数的概念与计算4.3 隐函数的偏导数4.4 多元复合函数的偏导数4.5 方向导数与梯度4.6 多元函数的微分第五章多元函数积分学5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算方法5.3 三重积分的概念与性质5.4 三重积分的计算方法5.5 曲线与曲面积分第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 可分离变量的微分方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程6.5 齐次线性微分方程第七章无穷级数7.1 数项级数的概念7.2 数项级数的收敛性7.3 幂级数与函数展开7.4 函数项级数的一致收敛性7.5 幂级数的和函数通过以上各章节的答案，学生们可以对高等数学教材第二版中的各个题目进行参考和对照，以检查自己的学习效果和理解程度。
同时，对于一些较难的问题，答案的给出也可以作为解题思路的参考，引导学生们加深对知识点的理解和应用。
值得注意的是，答案只是学习的辅助工具，学生们在学习过程中应注重理论的学习和问题的解决思路。
与学习过程相比，答案的提供仅是一个参考，对于理解掌握知识点并独立解决问题才是更为重要的。
希望本篇文章所提供的《高等数学教材第二版》答案能够帮助到广大学生，提升他们在高等数学学习中的自信与能力。
高等数学第二版上册课后答案
高等数学第二版上册课后答案【篇一：《高等数学》详细上册答案(一--七)】lass=txt>《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1. 函数的概念及表示方法；2. 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3. 复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4. 基本初等函数的性质及其图形；5. 极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6. 极限的性质及四则运算法则；7. 极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8. 无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限； 9. 函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10. 连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.学习任务巩固练习阶段：（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）第二单、元函数微分学计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版本单元中我们应当学习——1. 导数和微分的概念、关系，导数的几何意义、物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；2. 导数和微分的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性；3. 高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；4. 会求以下函数的导数：分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；5. 罗尔(rolle)定理、拉格朗日(lagrange)中值定理、泰勒(taylor)定理、柯西(cauchy)中值定理，会用这四个定理证明；6. 会用洛必达法则求未定式的极限；7. 函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值；8. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线；9. 曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．【篇二：高数第二册习题及答案】class=txt>系班姓名学号第一节对弧长的曲线积分一．选择题1．设l是连接a(?1,0)，b(0,1)，c(1,0)的折线，则?l(x?y)ds? [ b]（a）0 （b）2 （c）22 （d）2x2y2d ] ?l43（a）s（b）6s（c）12s（d）24s二．填空题1．设平面曲线l为下半圆周y???x2，则曲线积分?l(x2?y2)ds?2．设l是由点o(0,0)经过点a(1,0) 到点b(0,1)的折线，则曲线积分三．计算题 1．?l(x?y)ds? 1?22??l(x2?y2)nds，其中l为圆周x?acost，y?asint（0?t?2?）.解：原式??2?a2?a2n?1?2?dt?2??a 2．2n?1??l，其中l为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解：设圆周与x轴和直线y?x的交点分别为a和b，于是原式???oa????abbo?在直线oa上y?0,ds?dx得?oa??exdx0aa?e?1在圆周ab上令x?acos?,y?asin?,0????4得?ab??4ea?a?ea??4在直线bo上y?x,ds?2dx得?bo?adx?e?1所以原式?(2?3．a?)ea?2 4?ly2ds，其中l为摆线的一拱x?a(t?sint)，y?a(1?cost)（0?t?2?）. 2解：原式?2a??(1?cost)3???(1?cost)dt52256a3?15或原式?a2?2?03(1?cost)????2?02?(1?cost)dt (1?cost)dt5252333?2?t(2sin)2dt222?ttttdt??16a3?(1?2cos2?cos4)dcos022425?8a?2?sin5256a3?15高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系班姓名学号第二节对坐标的曲线积分一．选择题1．设l以(1,1)，(?1,1)，(?1,?1)，(1,?1)为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则?lx2dy?y2dx?[ d ]（a）1（b）2（c）4（d）0 2．设l是抛物线y?x2(?1?x?1),x增加的方向为正向，则（a）0,?lxds和?xdy?ydx?[ a ]l2525（b）0,0 （c）,（d）,0 3838二．填空题1．设设l是由原点o沿y?x2到点a(1,1)，则曲线积分?l(x?y)dy? 16232．设l是由点a(1,?1)到b(1,1)的线段，则三．计算题?l(x2?2xy)dx?(y2?2xy)dy= 1．设l为取正向圆周x2?y2?a2，求曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy.解：将圆周写成参数形式x?acos?,y?asin?,(0???2?)，于是原式??{(2a2cos?sin??2asin?)?(?asin?)?(a2cos2??4acos?)?acos? }d?2???2?{(?2a3cos?sin2??2a2sin2?)?(a3cos3??4a2cos2?)}d???2a2?22．设l是由原点o沿y?x到点a(1,1)，再由点a沿直线y?x到原点的闭曲线，求??larctanydy?dx x解：i1??arctan?dx ?oax?(2xarctanx?1)dx1?[x2arctanx?x?arctanx?x]10?i2???2?2yarctan?dx ?aox?1(arctan1?1)dx?1?? 4所以原式?i1?i2? ? 3．计算?24?2?1??1?4??l(x?y)dx?(y?x)dy，其中l是：2（1）抛物线y?x上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；（3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2），然后再沿直线到点（4，2）的折线. 解：（1）原式? ? ??2121{(y2?y)?2y?(y?y2)}dy(2y3?y2?y)dy343（2）过（1，1），（4，2）的直线方程为x?3y?2,dx?3dy 所以原式? ??21{3(4y?2)?(2?2y)}dy?21(10y?4)dy?11（3）过（1，1），（1，2）的直线方程为x?1,dx?0,1?y?2所以 i1??21(y?1)dy?1 2（3）过（1，2），（4，2）的直线方程为y?2,dy?0,1?x?4所以 i2??41(x?2)dx?272于是原式?i1?i2?14 4．求?l(y2?z2)dx?2yzdyxdz?2,其中l为曲线x?t,y?t2,z?t3(0?t?1)按参数增加的方向进行.解：由题意，原式? ? ?高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系班姓名学号第三节格林公式及其应用一．选择题 1．设曲线积分?{(t01014?t6)?4t6?3t4}dt?(3t6?2t4)dt1 35?l(x4?4xyp)dx?(6xp?1y2?5y4)dy与路径无关，则p? [ c]（a）1 （b）2 （c）3（d）4 2．已知(x?ay)dx?ydy为某函数的全微分，则a?[ d] 2(x?y)（a）?1 （b）0（c）1 （d）212xx223．设l为从a(1,)沿曲线2y?x到点b(2,2)的弧段，则曲线积分?dx?2dy= [ d]ly2y（a）?3 （b）3（c）3（d）0 2【篇三：高等数学(上)第二章练习题】txt>一. 填空题1．设f(x)在x?x0处可导，且x0?0，则limx?x?02．设f(x)在x处可导，则limf2(x?h)?f2(x?2h) h?02h?______________3．设f(x)???axx?0ex?1x?0在x?0处可导，则常数a?______?4．已知f?(x)?sinxx?5．曲线y?x?lnxx上横坐标为x?1的点的切线方程是 6．设y?xxsinx ，则y??7．设y?e?2x，则dyx??x0?0.1?8．若f(x)为可导的偶函数，且f?(x0)?5，则f?(?x0)?二. 单项选择题9．函数f(x)在x?x0处可微是f(x)在x?x0处连续的【】a．必要非充分条件b．充分非必要条件c．充分必要条件 d．无关条件10. 设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2?l，其中l为有限值，则在f(x)在x?a处【】a．可导且f?(a)?0 b．可导且f?(a)?0c．不一定可导d．一定不可导11．若f(x)?max(2x,x2)，x?(0,4)，且f?(a)不存在，a?(0,4)，则必有【a．a?1 b.a?2 c．a?3 d． a?1212．函数f(x)?x在x?0处【】a．不连续b．连续但不可导c．可导且导数为零 d．可导但导数不为零?2213．设f(x)???3xx?1，则f(x)在x?1处【】??x2x?1a．左、右导数都存在b．左导数存在但右导数不存在c．右导数存在但左导数不存在 d．左、右导数都不存在14．设f(x)?3x3?x2|x|，使f(n)(0)存在的最高阶数n为【】a．0 b. 1 c．2 d． 315．设f(u)可导，而y?f(ex)ef(x)，则y??【】a．ef(x)[f?(x)f(ex)?exf?(ex)]b． ef(x)[f?(x)f(ex)?f?(ex)]c．ef(x)f?(ex)?ef?(x)f(ex) d． exef(x)f?(ex)?ef?(x)f(ex)16．函数f(x)?(x2?x?2)|x3?x|不可导点的个数是【】a．3 b. 2 c．1 d． 0】17．设f(x)可导，f(x)?f(x)(1?|sinx|)，要使f(x)在x?0处可导，则必有【】a．f(0)?0b．f?(0)?0c．f(0)?f?(0)?0 d．f(0)?f?(0)?018．已知直线y?x与y?logax相切，则a?【】a．e b． e c．ee d．e19．已知f(x)?x(1?x)(2?x)?(100?x)，且f?(a)?2?(98)!，则a?【】 a．0 b．1 c．2 d．3 ?1?1e1，则当?x?0时，在x?x0处dy是【】 3a．比?x高阶的无穷小b．比?x低阶的无穷小c．与?x等价的无穷小d．与?x同阶但非等价的无穷小221．质点作曲线运动，其位置与时间t的关系为x?t?t?2，y?3t2?2t?1，则当t?1时，质点的速度大小等于【】 20．已知f?(x0)?a．3 b．4 c．7 d．5三. 解答下列各题22．设f(x)?(x?a)?(x)，?(x)在x?a连续，求f?(a)23．y?esin24．y?2(1?2x) ，求dy x2arcsin，求y?? 2d2y325．若f(u)二阶可导，y?f(x)，求2 dx?1??，求y?(1) ?x??x?ln(1?t2)dyd2y27．若? ，求与2 dxdx?y?t?arctant28．y?(x2?1)e?x，求y(24)29．y?arctanx，求y(n)(0) 26．设y??1?1x?x2?xx?0?30．已知f(x)??ax3?bx2?cx?d0?x?1_在(??,??)内连续且可导，?2x?xx?1?求a，b，c，d的值xy31．求曲线e?2x?y?3上纵坐标为y?0的点处的切线方程?x?t(1?t)?032．求曲线?y 上对应t?0处的法线方程 ?te?y?1?0233．过原点o向抛物线y?x?1作切线，求切线方程?34．顶角为60底圆半径为a的圆锥形漏斗盛满了水，下接底圆半径为b（b?a）的圆柱形水桶，当漏斗水面下降的速度与水桶中水面上升的速度相等时，漏斗中水面的高度是多少？35．已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x?0的某个邻域内满足关系式f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)，其中，?(x)是当x?0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x?1处可导，求曲线y?f(x)在点(6,f(6))处的切线方程习题答案及提示5. y?x x 6．x[(1?lnx)sinx?cosx]7. ?0.2 8. ?5 一． 1．?(x0) 2. 3f(x)f?(x) 3. 1 4二. 9. b 10. a 11. b 12. c 13. b 14. c 15. a16. b 17. a 18. c 19. c 20. d 21. d三. 22. 提示：用导数定义 f?(a)??(a) 23.dy??2esin2(1?2x)sin(2?4x)dxd2y343 24. y??? 25. 2?6xf?(x)?9xf(x) dxdytd2y1? ，2?(t?t?1) 26. y?(1)?1?2ln2 27. dx2dx428. y(24)?e?x[x2?48x?551]12x??y??29．由y?(x)? 1?x2(1?x2)2由(1?x2)y?(x)?1 两边求n阶导数，_利用莱布尼兹公式，代入x?0，得递推公式，y(n?1)(0)??n(n?1)y(n?1)(0)__利用y?(0)?1和y??(0)?0 ?(?1)k(2k)!n?2k?1 k?0,1,2,? y(0)??0n?2k?2?30. 提示：讨论分段点x?0与x?1处连续性与可导性a?2， b??3， c?1 ， d?031. x?y?1?032. ex?y?1?0(n)33.y??2x35. 提示：关系式两边取x?0的极限，得f(1)?0limx?0f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x?(x)sinx??lim???8 ?x?0sinxxx? ?sinx而 f(1?sinx)?3f(1?sinx)f(1?t)?3f(1?t)?limx?0t?0sinxtf(1?t)?f(1)f(1?t)?f(1)???lim??3?4f?(1)?t?0t?t??得f?(1)?2，由周期性f(6)?f(1)?0f(x)?f(6)f?(6)?lim 令x?5?t 由周期性得 x?6x?6f(t)?f(1)?lim?2 t?1t?1切线方程y?2(x?6) lim。
高中数学必修二 第十章 10 1 10 1 3
10.1.3古典概型(教师独具内容)课程标准：1.了解概率的含义.2.结合具体实例，理解古典概型.3.能计算古典概型中随机事件的概率．教学重点：古典概型的定义及其概率公式．教学难点：会用列举法计算随机事件所包含的样本点数及其发生的概率.知识点一概率对随机事件发生□01可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用□02P(A)表示．知识点二古典概型的概念如果试验具有以下两个特征：(1)□01有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)□02等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．知识点三古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率□01P(A)＝k n＝n(A)n(Ω).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．1．从集合的角度理解古典概型的概率公式用集合的观点来考察事件A的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件A与基本事件的关系，有利于理解公式P(A)＝kn.如图所示．把一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合I，其中每一个结果就是I 中的一个元素，把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合，则集合A是集合I的一个子集，故有P(A)＝k n.2．求解古典概型问题的一般思路(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)．(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性．(3)计算样本点总个数n及事件A包含的样本点个数k，求出事件A的概率．P(A)＝事件A包含的样本点个数样本空间的样本点总数＝kn.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验符合古典概型．()(2)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．()(3)若一个古典概型的样本点总数为n，则每一个样本点出现的可能性均为1n.()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)下列关于古典概型的说法中正确的是()①试验样本空间的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝k n.A．②④B．①③④C．①④D．③④(2)掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率是()A.12 B.16C.13 D.14(3)从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为()A.12 B.13C.23D．1答案(1)B(2)A(3)C题型一样本点的计数方法例1(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点数为()A．2 B．3C．4 D．6(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．①写出这个试验的所有样本点；②求这个试验的样本点的总数；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？[解析](1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．(2)①这个试验包含的样本点有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．②这个试验包含的样本点的总数是8.③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．[答案](1)C(2)见解析样本点的两个探求方法(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．口袋中有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，求样本点的总数．解把2个白球和2个黑球分别编号为1,2,3,4，所有可能结果如树状图所示，共24个样本点．题型二古典概型的判定例2袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球．(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型？(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，有多少个样本点？以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型？[解](1)因为样本点个数有限，而且每个样本点发生的可能性相同，所以是古典概型．(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”，共3个样本点．这些样本点个数有限，但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型．判断一个试验是古典概型的依据一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——样本点的有限性和等可能性．下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________． 答案 ③解析 ①不属于．原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于．原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于．原因是显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于．原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于．原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性.题型三 古典概型的求法例3 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率： (1)事件A ＝{三个数字中不含1或5}； (2)事件B ＝{三个数字中含1或5}．[解] 这个试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，样本点总数n ＝10，这10个样本点发生的可能性是相等的．(1)因为事件A ＝{(2,3,4)}， 所以事件A 包含的样本点数m ＝1. 所以P (A )＝m n ＝110.(2)因为事件B ＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件B 包含的样本点数m ＝9. 所以P (B )＝m n ＝910.1.古典概型概率的求法步骤(1)确定等可能样本点总数n ； (2)确定所求事件包含的样本点数m ；(3)P(A)＝m n.2．使用古典概型概率公式的注意点(1)首先确定是否为古典概型；(2)A事件是什么，包含的样本点有哪些．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；(2)若以B表示事件“和大于4且小于9”，求P(B)；(3)这个游戏公平吗？请说明理由．解将所有的样本点列表如下：甲乙1234 5 1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5) 2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5) 3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5) 4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)由上表可知，该试验共有25个等可能发生的样本点，属于古典概型．(1)事件A包含了(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，故P(A)＝5 25＝15.(2)事件B包含了(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共16个样本点，所以P(B)＝1625.(3)这个游戏不公平．因为“和为偶数”的概率为1325，“和为奇数”的概率是1225，二者不相等，所以游戏不公平.题型四较复杂的古典概型的概率计算例4有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时．(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．[解]将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如上图所示，共24个等可能发生的样本点，属于古典概型．(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝124.(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝924＝3 8.(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝824＝1 3.(1)当样本点个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．(2)在求概率时，若样本点可以表示成有序数对的形式，则可以把全部样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，这个试验的样本空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}，共18个样本点．由于每一个样本点被抽取的机会均等，因此这些样本点的发生是等可能的．用M 表示“A 1被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}，共6个样本点，因此P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“B 1和C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N －表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N －＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，共有3个样本点，而N ∪N －＝Ω，且N ∩N －＝∅，故事件N 包含的样本点个数为18－3＝15，所以P(N)＝1518＝5 6.1．若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为()A.15 B.310C.25 D.12答案 D解析由题意知书架上共有10本书，其中外文书为英文书和日文书的和，即3＋2＝5(本)．所以由书架上抽出一本外文书的概率P＝510＝12，故选D.2．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45 B.35 C.25 D.15答案 C解析从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，这个试验的样本空间Ω＝{(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)}，共10个样本点，这10个样本点发生的可能性是相等的．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的样本点有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4个，故所求概率P＝410＝2 5.3．甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是()A.16 B.14 C.13 D.12答案 C解析因为甲、乙、丙三人在3天节日中，每人值班1天，所以样本空间Ω＝{甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲}，共6个样本点，而甲紧接着排在乙的前面值班的情况为{甲乙丙，丙甲乙}，共2个样本点．所以甲紧接着排在乙的前面值班的概率是13.选C.4．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．答案1 3解析三张卡片的排列方法有BE1E2，BE2E1，E1BE2，E1E2B，E2E1B，E2BE1，共6种，这6种情况发生的可能性是相等的．其中恰好排成英文单词BEE的有2种，故恰好排成英文单词BEE的概率为13.5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．(1)共有多少个样本点？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？解(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．因此，共有10个样本点．(2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝310.故摸出2只球都是白球的概率为310.。
高等数学第二版教材练习答案
高等数学第二版教材练习答案第一章：数学形式与证明练习题答案：1. (2, ∞)2. -√2, √23. 假设已知函数f(x) ≥ 0，而 f(x) = 0 的一个解为 x = a，则 x = a 是函数f(x) ≥ 0 的最小零点。
4. a. 记 b = 1 - √2，则 (b - √2)^2 = (1 - √2 - √2)^2 = (1 - 2√2 + 2)^2 =(3 - 2√2)^2 = 9 - 12 + 8 = -3 < 0。
b. ∃a∈R，无论 a 取何值，都有 a^2 + 2a + 2 > 0。
5. a. 必要性：已知f(x) 是偶函数，即f(-x) = f(x)，则对于∀x∈D_f，有 -x∈D_f，即 (b)。
充分性：已知对于∀x∈D_f，有 -x∈D_f，即 (b)，则有 f(-x) = f(-(-x)) = f(x)，即 f(x) 是偶函数。
b. 必要性：已知f(x) 是奇函数，即f(-x) = -f(x)，则对于∀x∈D_f，有 -x∈D_f，即 (a)。
充分性：已知对于∀x∈D_f，有 -x∈D_f，即 (a)，则有 f(-x) = -f(x)，即 f(x) 是奇函数。
6. a. 设 f(x) 是周期函数，周期为 T>0，则对于∀x∈R，有 x+T∈D_f，即 (c)。
b. 存在正常数 a>0，使得对于∀x∈R，有 x+a∈D_f，即 (b)。
例如，函数 f(x) = sin(x) 满足这个条件。
c. 存在正常数 a>0，使得对于∀x∈R，有 x+a∈D_f 且 x+2a∈D_f，即 (a)。
例如，函数 f(x) = sin(2x) 满足这个条件。
d. 必要性：已知 f(x) 是周期函数，周期为 T>0，则对于∀x∈R，有 x+T∈D_f，即 (c)，故 b-d 都是必要条件。
充分性：设 b、c、d 其中至少有一个条件满足，即 f(x) 在某个区间内满足 b/c/d 条件。
高数第十章答案
高数第十章答案【篇一：高等数学2第十章答案】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解 ?f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值m?14?x?y?0?，最小值m?1?5?x?1,y?2? 故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）??(x2?y2)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；d（2）??sinyd?，其中d是由y?x,y2?x所围成的闭区域. dy解：??sinyd??dy?10dy?ysinyy2ydx?1?sin1 2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）??ex?yd?，其中d?{(x,y)||x|?y?1}d（2）22(x?y?x)d?，其中d是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。
??d3.化二重积分i???f(x,y)d?为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次d积分），其中积分区域d是：（1）由直线y?x及抛物线y2?4x所围成的闭区域；（2）由直线y?x，x?2及双曲线y?1(x?0)所围成的闭区域。
x4.求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积。
5.画出积分区域，把积分22其中积分区域d是： ??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分， d（1）{(x,y)|x?y?2x}；（2）{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1?2dxxfdy；【篇二：高等数学2第十章答案_62010】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值1m??x?y?0?，最小值m???x?1,y?2? 45故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）22(x?y)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；??d（2）??xcos(x?y)d?，其中d是顶点分别为(0,0)，(?,0)和(?,?)的三角形闭区域。
高数第十章测试题及答案
高等数学第十章《重积分》测验题一、选择题（每题３分，共１５分） 1记21()DI x y d σ=+⎰⎰，32()DI x y d σ=+⎰⎰，其中22:(2)(1)1D x y -+-≤，则（ ）（Ａ）12I I =； （Ｂ）12I I >；（Ｃ）12I I <； （Ｄ）无法比较12,I I 的大小。
2设(,)f x y 连续，且2(,)(,),Df x y xy f x y dxdy D =+⎰⎰由21,0,x y y x === 所围，则(,)f x y =（ ）（Ａ）218xy +； （Ｂ）2138xy +；（Ｃ）21316xy +； （Ｄ）2116xy +. 3 设0a b <<，222221:(0)V a x y z b z ≤++≤≥，222222:V a x y z b ≤++≤(0,0,0)x y z ≥≥≥为两个空间区域，则（ ）（Ａ）124V V xdv xdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （Ｂ）124V V ydv ydv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（Ｃ）124V V zdv zdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （Ｄ）124V V xyzdv xyzdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4 ⎰⎰=θπρρθρθρθcos 02)sin ,cos (d f d I 化为直角坐标系下的二次积分为（ ）（A ）⎰10dy ⎰-20),(y y dx y x f ； （B ）⎰10dy ⎰-210),(y dx y x f ； （C ）⎰1dx ⎰1),(dx y x f ； （D ）⎰10dx ⎰-2),(x x dy y x f ．5 设函数(,)f x y 在221x y +≤上连续，使2211(,)4(,)x y f x y dxdy dx f x y dy +≤=⎰⎰⎰成立的充分条件是（ ）（Ａ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=-=-； （Ｂ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=-=； （Ｃ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=--=-； （Ｄ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=--=。
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》章末练习题卷含答案解析 (31)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷2（共22题）一、选择题（共10题）1.同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况？( )A．这100个铜板两面是一样的B．这100个铜板两面是不同的C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的2.把两个骰子掷一次，得到11点的概率是( )A．136B．118C．19D．163.下列说法正确的是( )A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定4.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率．先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 03474373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 60113661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A．0.85B．0.82C．0.80D．0.755.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0∼9中任选一个，当某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为( )A．25B．310C．15D．1106. 甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为 23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是 ( ) A ． 25B ． 715C ． 1130D ． 167. 在某微信群的“微信抢红包”活动中，某次所发的红包总金额为 10 元，被随机分配为 2.13 元，3.44 元，1.83 元，2.60 元，现有甲、乙等 4 人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲、乙两人抢到的金额之和大于 5 元的概率为 ( ) A ． 23B ． 12C ． 13D ． 148. 甲、乙两人各掷一次骰子（均匀的正方体，六个面上分别为 1，2，3，4，5，6 点），所得点数分别记为 x ，y ，则 x <y 的概率为 ( ) A ． 13B ． 12C ．512D ．7129. 整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘．古希腊数学家毕达哥拉斯发现 220 和 284 具有如下性质：220 的所有真因数之和恰好等于 284，同时 284 的所有真因数之和也等于 220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现吸引了古今中外无数数学爱好者的研究热潮．已知 220 和 284，1184 和 1210，2924 和 2620 是 3 对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组 2 个数，另一组 4 个数，则 220 和 284 在同一组的概率为 ( ) A ．115B ． 25C ．715D ． 1510. 某社区开展“建军 90 周年主题活动——军事知识竞赛”，甲，乙两人能荣获一等奖的概率分别为 35，23，两人能否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为 ( ) A ． 35B ． 215C ． 1315D ． 815二、填空题（共6题）11. 一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间里破碎的概率，公司收集了 20000 部汽车，时间从某年的 5 月 1 日到下一年的 5 月 1 日，共发现有 600 部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率约为 ．12. 正八边形 A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8 的中心为 O ，从向量 OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （i =1,2,⋯,8）中任取两个不同向量OA m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （m,n ∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，m ≠n ），则使得 OA m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 的概率等于 ．13. 将一枚硬币连掷三次，出现“2 个正面，1 个反面”的概率是 ，出现“1 个正面、 2 个反面”的概率是 ．14. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为 a ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为 b ，且 a,b ∈{n∣ 0≤n ≤9,n ∈N ∗}，若 ∣a −b ∣≤1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 ．15. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算），有甲、乙两人各自单独来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是 12，14，两人租车时间都不会超过四小时，且是否还车互不影响则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 ．16. 某企业开展科技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用 0，1，2，3，⋯，9 这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是 3 的倍数．若某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是 ．（结果用数值作答）三、解答题（共6题）17. 某初级中学七、八、九三个年级共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表：七年级八年级九年级女生(人数)373x y 男生(人数)377370z已知在三个年级的学生中随机抽取 1 名，抽到八年级女生的概率是 0.19． (1) 求 x 的值；(2) 现用分层抽样的方法在三个年级中抽取 48 名学生，应从九年级抽取多少名？18. 口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球编号，分别为 1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸岀一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1) 求甲赢且编号的和为 6 的事件发生的概率； (2) 这种游戏规则公平吗？试说明理由．19.为节能环保，推进新能源汽车的推广和应用，对购买纯电动汽车的用户进行财政补贴，财政补贴由地方财政补贴和国家财政补贴两部分组成．某地补贴政策如下（R表示纯电续航里程）：续航里程/km地方补贴(万元/辆)国家补贴(万元/辆)R<150不补贴不补贴150≤R<2000.75 1.75有A，B，C三个纯电动汽车4S店分200≤R<300 1.2 2.3300≤R<400 1.7 3.3400≤R 2.55别销售不同品牌的纯电动汽车，在一个月内它们的销售情况如下：（每位客户只能购买一辆纯电动汽车）(1) 从上述购买纯电动汽车的客户中随机选一人，求此人购买的是B店纯电动汽车且享受补贴不低于3.5万元的概率；(2) 从上述B，C两个纯电动汽车4S店的客户中各随机选一人，求恰有一人享受5万元财政补贴的概率．20.一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1) 取出1球是红球或黑球的概率；(2) 取出1球是红球或黑球或白球的概率．21.为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．22.在100件产品中，有5件不合格品，现从中任意抽取3件，求：(1) 至少有2件不合格的概率．(2) 至多有1件不合格的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．【知识点】频率与概率2. 【答案】B【知识点】古典概型3. 【答案】C【解析】不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错误；频率是由试验的次数决定的，故B错误；概率是频率的稳定值，故C正确，D错误．【知识点】频率与概率4. 【答案】D【解析】因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140，1417，0371，6011，7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1−520=0.75，故选D．【知识点】频率与概率5. 【答案】C【解析】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0∼9中任选一个，当某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为：p=110+910×19=15．【知识点】古典概型6. 【答案】B【知识点】事件的关系与运算7. 【答案】B【解析】记甲、乙两人抢到的金额分别为a，b，甲、乙两人抢到的金额用有序实数对(a,b)表示，则(a,b)的情况有(2.13,3.44)，(2.13,1.83)，(2.13,2.60)，(3.44,1.83)，(3.44,2.60)，(1.83,2.60)，(3.44,2.13)，(1.83,2.13)，(2.60,2.13)，(1.83,3.44)，(2.60,3.44)，(2.60,1.83)，共12种，符合条件的情况有(2.13,3.44)，(3.44,1.83)，(3.44,2.60)，(3.44,2.13)，(1.83,3.44)，(2.60,3.44)，共6种，故甲、乙两人抢到的金额之和大于5元的概率为12．【知识点】古典概型8. 【答案】C【解析】由于甲、乙两人各掷一次骰子（均匀的正方体，六个面上分别为 1，2，3，4，5，6 点），那么得到点数为 36 种，即 (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,3)(2,2)⋯⋯(6,6)，那么满足题意 x <y 的情况有 5+4+3+2+1=15， 那么可知满足题意的基本事件数有 15， 利用古典概型概率得到为 15:35=5:12． 【知识点】古典概型9. 【答案】C【解析】已知 220 和 284，1184 和 1210，2924 和 2620 是 3 对“亲和数”， 把这六个数随机分成两组，一组 2 个数，另一组 4 个数，基本事件总数 n =C 62，220 和 284 在同一组包含的基本事件个数 m =C 22+C 42，由题意 220 和 284 在同一组的概率 P =C 22+C 42C 62=715．故选：C ．【知识点】古典概型10. 【答案】C【解析】由题意可知，甲，乙两人都不能获得一等奖的概率为 (1−35)×(1−23)=215，因此这两人中至少有一人获得一等奖的概率为 1−215=1315．故选C ．【知识点】独立事件积的概率、事件的关系与运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】 0.03【解析】 P =60020000=0.03． 【知识点】频率与概率12. 【答案】 27【解析】由题，可分两步选取 OA m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，第一步先选取 OA m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时 8 个向量 OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （i =1,2,⋯,8）被选取的概率相同，故任意选一个向量后再选一个向量使得 OA m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 的概率即为“任取两个不同向量 OA m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （m,n ∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，m ≠n ），则使得 OA m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0”的概率．不妨设第一次选取的向量为 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则剩下的 7 个向量中仅有 OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA 7⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足． 故概率为 27．【知识点】古典概型13. 【答案】 38； 38【知识点】古典概型14. 【答案】 725【解析】试验发生的所有事件是从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 十个数中任取两个共有 10×10 种不同的结果，则 ∣a −b ∣≤1 的情况有 0，0；1，1；2，2；3，3；4，4；5，5；6，6；7，7；8，8；9，9；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7，6；7，8；8，7；8，9；9，8 共 28 种情况，甲乙出现的结果共有 10×10=100，所以他们”心有灵犀”的概率为 P =28100=725． 【知识点】古典概型15. 【答案】 516【解析】由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 14，14，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A ，则 P (A )=14×12+12×14+14×14=516．所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 516．【知识点】事件的相互独立性16. 【答案】 127【解析】三位数首位不为零，所以总的情况为 9×9×8，奇数有 1，3，5，7，9，其中三者之和为 3 的倍数的组合有 1，3，5；1，5，9；3，5，7；5，7，9 四种，即符合条件的情况有 4×P 33，所以概率为 4×P 339×9×8=127．【知识点】古典概型三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 因为 x2000=0.19，所以 x =380．(2) 九年级学生人数为 y +z =2000−(373+377+380+370)=500 (名)， 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，则应从九年级抽取 5002000×48=12 (名)．【知识点】分层抽样、频率与概率18. 【答案】(1) 设“甲胜且编号的和为 6”为事件 A ，甲编号为 x ，乙编号为 y ，(x,y ) 表示一个基本事件，则两人摸球结果的样本空间 Ω={(1,2),(1,3),⋯,(1,5),(2,1),(2,2),⋯,(5,4),(5,5)}， 共 25 个样本点，A ={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}， 共 5 个样本点， 所以 P (A )=525=15，所以甲胜且编号的和为 6 的事件发生的概率为 15． (2) 这种游戏不公平．设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C，记D为“两个编号的和为偶数”．D={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)}，共包含13个样本点，所以甲胜的概率为P(B)=P(D)=1325，乙胜的概率为P(C)=1−1325=1225，因为P(B)≠P(C)，所以这种游戏规则不公平．【知识点】古典概型19. 【答案】(1) 由题意可知，从A，B，C三个纯电动汽车4S店购买纯电动汽车的客户共70人，购买型号Ⅰ，型号Ⅰ，型号Ⅰ纯电动汽车享受补贴分别为2.5万元，3.5万元，5万元．从上述购买纯电动汽车的客户中任选一人共70个等可能的结果，此人购买的是B店纯电动汽车且享受补贴不低于3.5万元（购买型号Ⅰ或型号Ⅰ）的结果共16个，所以所求概率为1670=835．(2) 从上述B，C纯电动汽车4S店的客户中各随机选一人共20×20个等可能的结果．其中恰有一人享受5万元财政补贴（即1人购买型号Ⅰ，1人没购买型号Ⅰ）的结果为4×8+16×12，所以所求概率为P=420×820+1620×1220=1425．【知识点】事件的相互独立性、古典概型20. 【答案】(1) 方法一（利用互斥事件求概率）记事件A1={任取1球为红球}，A2={任取1球为黑球}，A3={任取1球为白球}，A4= {任取1球为绿球}，则P(A1)=512，P(A2)=412=13，P(A3)=212=16，P(A4)=112．根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=512+412=34．方法二（利用对立事件求概率）由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=1−P(A3∪A4)=1−P(A3)−P(A4)=1−2 12−112=34．(2) 方法一（利用互斥事件求概率）取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P (A 1∪A 2∪A 3)=P (A 1)+P (A 2)+P (A 3)=512+412+212=1112．方法二（利用对立事件求概率） 因为 A 1∪A 2∪A 3 的对立事件为 A 4， 所以 P (A 1∪A 2∪A 3)=1−P (A 4)=1−112=1112．【知识点】事件的关系与运算21. 【答案】设保护区中天鹅的数量为 n ，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件 A ={捕到带有记号的天鹅}，则 P (A )=200n．从保护区中捕出 150 只天鹅， 其中有 20 只带有记号， 由概率的定义可知 P (A )≈20150．由200n≈20150，解得 n ≈1500，所以该自然保护区中天鹅的数量约为 1500 只．【知识点】频率与概率22. 【答案】(1) 抽取产品出现的结果为等可能事件，其基本事件为 C 1003，P (A )=C 52⋅C 951+C 53⋅C 95C 1003=950+10161700≈5.937×10−3．(2) P (B )=C 953+C 51⋅C 952C 1003=160740161700=0.994 或 P (B )=1−P (A )≈0.994．【知识点】古典概型。
高中数学必修二 第十章 概率 章末测试(提升)(含答案)
第十章 概率 章末测试(提升)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·甘肃·张掖市第二中学)一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C【解析】5人小组中，设2男生分别为a ,b ，3名女生分别为A,B,C ，则任意选出2名同学，共有:(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C 10个基本事件， 其中选出的同学中既有男生又有女生共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)a A a B a C b A b B b C 6个基本事件， 所以63105P ==,故选：C 2．(2021·福建三明·高一期末)袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 411 231 324 412 112 443 213 144 331 123 114 142 111 344 312 334 223 122 113 133 由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为( ) A ．110B ．320 C ．15D ．14【答案】B【解析】由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，443，334，共有3个. 由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率为320P =. 故选：B3．(2021·云南昆明·高一期末)已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A 和B ，其中()12n Ω=，()6n A =，()4n B =，()8n A B =，那么下列事件概率错误的是( ) A ．1()6P AB =B ．2()3P A B = C ．1()6P AB = D ．2()3P AB =【答案】D【解析】对于选项A ：()()()()6482n AB n A n B n A B =+-=+-=，所以()21()()126n AB P AB n ===Ω，故A 正确；对于选项B ：()82()()123n A B P A B n ===Ω，故B 正确；对于选项C ：()()()422n AB n B n AB =-=-=，所以()21()()126n AB P AB n ===Ω，故C 正确； 对于选项D ：()()()1284n AB n n A B =Ω-=-=，所以()41()()123n AB P AB n ===Ω，故D 错误. 故选：D.4．(2021·湖南·长沙一中高一月考)下列说法正确的个数有( )(1)掷一枚质地均匀的的骰子一次，事件M =“出现偶数点”，N =“出现3点或 6 点”.则 M 和 N 相互独立；(2)袋中有大小质地相同的 3 个白球和 1 个红球.依次不放回取出 2 个球，则“两球同色”的概率是 13；(3)甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中标率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98；(4)柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出地鞋不成双”的概率是 45；A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于(1)：掷一枚质地均匀的的骰子一次，()3162P M ==，()2163P N ==， ()111236P MN =⨯=，即()()()P MN P M P N =，故事件M 和N 相互独立；(1)正确；对于(2)：袋中有大小质地相同的 3 个白球和 1 个红球.依次不放回取出 2 个球，若“两球同色”则都是白球，则“两球同色”的概率是 321432⨯=，(2)错误；对于(3)：“至少一人中靶”的概率为()()110.910.80.98--⨯-=，(3)正确；对于(4)：柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，共有2615C =种，取出的鞋成双的只有3种，那么“取出的鞋不成双”有15-3=12种，所以“取出的鞋不成双”的概率是124155=，(4)正确综上可知正确的有(1)(3)(4)故选：C5．(2021·江苏·高一单元测试)下列命题中正确的是( ) A ．事件A 发生的概率()P A 等于事件A 发生的频率()n f AB ．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C ．掷两枚质地均匀的硬币，事件A 为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B 为“两枚都是正面朝上”，则()()2P A P B =D ．对于两个事件A 、B ，若()()()P A B P A P B =+，则事件A 与事件B 互斥 【答案】C【解析】对于A 选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A 选项错误；对于B 选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，表示一次实验发生的可能性是16，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B 选项错误；对于C 选项，根据概率的计算公式得()1112222P A =⨯⨯=，()111224P B =⨯=，故()()2P A P B =，故C 选项正确；对于D 选项，设[]3,3x ∈-，A 事件表示从[]3,3-中任取一个数x ，使得[]1,3x ∈的事件，则()13P A =，B 事件表示从[]3,3-中任取一个数x ，使得[]2,1x ∈-的事件，则()12P A =，显然()()()511632P A B P A P B ==+=+，此时A 事件与B 事件不互斥，故D 选项错误. 6．(2021·江苏南通·高一期末)已知{0,1,2}a ∈,{1,1,35}b ∈-，,则函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数的概率是 A ．512 B ．13C ．14D ．16【答案】A【解析】{0,1,2}a ∈,{1,1,3,5}b ∈-,∴基本事件总数3412n =⨯=.用(,)a b 表示,a b 的取值. 若函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数,则①当0a =时,()2f x bx =-,符合条件的只有(0,1)-,即0a =,1b =-; ②当0a ≠时,则由题意0a >，只需满足1ba,符合条件的有(1,1)-,(1,1),(2,1)-,(2,1),共4种.∴函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数的概率512P =. 故选：A7．(2021·江苏·高一单元测试)一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A ．164B ．5564 C ．18D ．116【答案】B【解析】设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为,T E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则()()1131224P T P R ==-⨯=，所以灯亮的概率为()()1P P T P R =-⋅⋅ ()()3311551442264P C P D ⋅=-⨯⨯⨯=， 故选B.8．(2021·全国·高一课时练习)连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为,m n ，记t m n =+，则下列说法正确的是 A ．事件“12t =”的概率为121B ．事件“t 是奇数”与“m n =”互为对立事件C ．事件“2t =”与“3t ≠”互为互斥事件D ．事件“832t mn ><且”的概率为14【答案】D【解析】对于A,1266t ==+,则概率为1116636⨯=,选项错误;对于B, “t 是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数,选项错误; 对于C,事件“2t =”包含在“3t ≠”中,不为互斥事件,选项错误;对于D, 事件“832t mn 且><”的点数有: ()()()()()()()()()3,6,4,5,4,6,5,4,5,5,5,6,6,3,6,4,6,5,共9种,故概率为91664=⨯,选项正确; 综上可得,选D.二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·辽宁·建平县实验中学高一月考)某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：( )A ．两人均获得满分的概率为12 B ．两人至少一人获得满分的概率为712 C ．两人恰好只有甲获得满分的概率为34D ．两人至多一人获得满分的概率为1112【答案】BCD【解析】∵甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，分别记甲、乙得满分的事件为,M N ，则()()32,,,43P M P N M N ==独立.∴两人均获得满分的概率为:()()()P MN P M P N ==321432⨯=,故A 正确;两人至少一人获得满分的概率为:()()()()()321111111114312P MN P M P N ⎛⎫⎛⎫-=---=---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；两人恰好只有甲获得满分的概率为:()()()()32111434P MN P M P N ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，故C 错误；两人至多一人获得满分的概率为: ()111122P MN -=-=，故D 错误. 故选：BCD .10．(2021·湖南张家界·高一期末)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件M =“第一枚硬币正面朝上”，事件N =“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法中正确的是( ) A ．M 与N 是互斥事件 B ．M 与N 是对立事件 C ．()()P M P N = D ．M 与N 是相互独立事件【答案】CD【解析】由事件M =“第一枚硬币正面朝上”，事件N =“第二枚硬币反面朝上”， 可知两事件互不影响，即M 与N 相互独立， 易得()12P M =，()12P M =，所以()()()1P M N P M P N ⋃=+=,且()()P M P N =， 综上，选项C 和选项D 正确. 故选：CD .11．(2021·江苏省天一中学高一期末)下列说法正确的是( )A ．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125B ．若A ，B 是互斥事件，则()()()P A B P A P B =+，()0P AB =C ．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人D ．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是23【答案】BCD【解析】对于A ，∵他们各自解出的概率分别是12，14，则此题不能解出的概率为 11311248⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则此题能解出的概率为35188-=，故A 错；对于B ，若A ，B 是互斥事件，则()()()P A B P A P B =+，()0P AB =，故B 正确； 对于C ，高级教师应抽取5020%10⨯=人，故C 正确； 对于D ，由列举法可知，两位女生相邻的概率是23，故D 正确.故选：BCD.12．(2021·山东烟台·高一期末)算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A =“表示的四位数能被3整除”，B =“表示的四位数能被5整除”，则( )A ．()38P A =B ．()13P B =C ．()1116P A B ⋃=D ．()316P AB =【答案】ACD【解析】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，四位数的个数是4216=，能被3整除的数字1和5各出现2个，因此满足条件的四位数和个数是246C =，所以63()168P A ==，能被5带除的四位数个数为328=，81()162P B ==，能被15带除的是能被3整除的四位数的个数是5，因此满足这个条件的四位数的个数是133C =，概率为3()16P AB =， 31311()()()()821616P A B P A P B P AB =+-=+-=．故选：ACD ．三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·全国·高一专题练习)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________． 【答案】56【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 14．(2021·安徽舒城·高一期末)天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数： 488 932 812 458 989 431 257 390 024 556 734 113 537 569 683 907 966 191 925 271 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________. 【答案】0.3【解析】由题意知模拟三天的下雨情况，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：932、812、024、734、191、271，共6组随机数，∴所求概率为60.320P ==．故答案为：0.3 15．(2021·全国·高一课时练习)一次掷两枚骰子，得到的点数为m 和n ，则关于x 的方程2)0(4x m n x +++=有实数根的概率是________． 【答案】1112【解析】由题意知：基本事件共有6636⨯=个方程有实根 ()2160m n ∴∆=+≥－ 4m n ∴+≥其对立事件为：4m n +<，包含：()1,1，()1,2，()2,1共3个基本事件∴所求概率为31113612P =-= 本题正确结果：111216．(2021·山东莱西·高一期末)一个数字不重复的三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为a ，b ，c ，当且仅当a ，b ，c 中有两个不同数字的和等于剩下的一个数字时，称这个三位数为“有缘数”(如213，341等)．现从1，2，3，4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数，则这个三位数为“有缘数”的概率是______． 【答案】12．【解析】从1，2，3，4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数的个数为3424A =，1，2，3，4这四个数字中两个的和等于第三个的有123，134，因此“有缘数”个数为333312A A +=，所示概率为121242P ==．故答案为：12．四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17．(2021·全国·高一课时练习)在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病：为了解这种职业病与某项身体指标(检测值为不超过6的正整数)间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：(1)求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；(2)试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；(3)某研究机构提出，可以选取常数0 4.5X =，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判定其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率.【答案】(1)患病者的人数为40，0.05a =，0.40b =；(2)31450；(3)21100.【解析】(1)根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为 3.4100408.5⨯=. 10.100.350.250.150.100.05a =-----=，10.100.200.300.40b =---=.(2)由(1)可知，患病者的人数为40，未患病的人数为60，该项身体指标检测值不低于5的样本中，有患病者40(0.300.40)28⨯+=(人)，未患病者60(0.10⨯+0.05)9=(人)，共37人. 故估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数为378500031450100⨯=. (3)当0 4.5X =时，在100个样本数据中，有40(0.100.20)12⨯+=(名)患病者被误判为未患病，有60(0.100.05)9⨯+=(名)未患病者被误判为患病，因此判断错误的概率为21100. 18．(2021·安徽·定远县育才学校高一期末)如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均．为整数．．．)整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：(1)80~90这一组的频数､频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､中位数.(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率. 【答案】(1)4，0.1；(2)68.5，75，70；(3)715. 【解析】(1)根据题意，40~50的这一组的频率为0.01100.1⨯=，50~60的这一组的频率为0.015100.15⨯=，60~70的这一组的频率为0.025100.25⨯=，70~80的这一组的频率为0.035100.35⨯=，90~100的这一组的频率为0.005100.05⨯=，则80~90这一组的频率为()10.10.150.250.350.05-++++0.1=，其频数为400.14⨯=；(2)这次竞赛的平均数为450.1550.15650.25750.35850.1950.0568.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，70~80一组的频率最大，人数最多，则众数为75，70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数为70；(3)记“取出的2人在同一分数段”为事件E ， 因为80~90之间的人数为400.14⨯=，设为a ､b ､c ､d ， 90~100之间有400.052⨯=人，设为A ､B ，从这6人中选出2人，有(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a A ､(),a B 、(),b c 、(),b d 、 (),b A 、(),b B 、(),c d 、(),c A ､(),c B 、(),d A 、(),d B 、 (),A B ，共15个基本事件，其中事件E 包括(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d 、(),c d 、(),A B ，共7个基本事件， 则()715P E =. 19．(2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考)乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23·在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求(1)“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率; (2) “星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率; (3) “星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率; 【答案】(1)37144；(2)512；(3)1112. 【解析】设A ，B 分别表示甲乙每轮猜对成语的事件，M 0，M 1，M 2表示第一轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，N 0，N 1，N 2表示第二轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，D 0，D 1，D 2，D 3，D 4表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件.∵P(A )=34，P (A )=1-34=14，P (B )=23，P (B )=1-23=13，∴根据独立性的假定得：P (M 0)=P (N 0)=P (AB )= P (A ) P (B )=1413=112， P (M 1)=P (N 1)=P (AB AB +)= P (AB )+P (AB ) =34⨯13+1243⨯=512，P (M 2)=P (N 2)=P (AB )=P (A )P (B )= 34⨯23=61122=，(1)P (D 2)=P (M 2N 0+M 1N 1+M 0N 2)= P (M 2N 0)+P (M 1N 1)+P (M 0N 2)=12.112+512.512+112.12=37144. (2)P (D 3)=P (M 1N 2+M 2N 1)= P (M 1N 2)+P (M 2N 1)= 512.12+12.512=512.(3)P (D 1+D 2+D 3+D 4)=1-P (D 0)=1-112=1112.20．(2021·陕西王益·高一期中)已知函数2()21f x ax bx =+-．(1)若a ，b 都是从集合{1,2,3}中任取的一个数，求函数() f x 在(,1)-∞-上单调递减的概率；(2)若a 是从集合{1,2,3}中任取的一个数，b 是从集合{1,2,3,4}中任取的一个数，求方程()0f x =在区间(,3)-∞-上有实数根的概率．【答案】(1)23；(2)512.【解析】(1)记函数()f x 在区间(,1)-∞-上单调递减为事件A ． 由于a ，b 都是从集合{1,2,3}中任取的一个数，基本事件有()1,1，()1,2，()1,3，()2,1，()2,2，()2,3，()3,1，()3,2，()3,3，共9种．因为a 的取值为正数，所以函数()f x 图象开口向上， 若函数()f x 在区间(,1)-∞-上单调递减，则有212b a -≥-，即1ba≤，b a ≤， 满足条件的有()1,1，()2,1，()2,2，()3,1，()3,2，()3,3， 所以事件A 包含其中的6个基本事件． 所以所求的概率为62()93P A ==． (2)记方程()0f x =在区间(,3)-∞-上有实数根为事件B ．由于a 是从集合{1,2,3}上任取的一个数，b 是从集合{1,2,3,4}上任取的一个数， 基本事件有()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，共12种.由题意知0a >，(0)1f =-，所以方程()0f x =在区间(,3)-∞-上有实数根， 则有(3)0f -<，即9610a b --<，满足条件的有()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，所以事件B 包含其中的5个基本事件， 所以所求的概率为5()12P B =． 21．(2021·广东江门·高一期末)已知关于x 的二次函数2()1f x mx nx =--，令集合{}1,2,3,4M =，{}1,2,4,6,8N =-，若分别从集合M 、N 中随机抽取一个数m 和n ，构成数对(),m n .(1)列举数对(),m n 的样本空间；(2)记事件A 为“二次函数()f x 的单调递增区间为[)1,+∞”，求事件A 的概率； (3)记事件B 为“关于x 的一元二次方程()2f x =有4个零点”，求事件B 的概率. 【答案】(1){(1,1),(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,1),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,1),Ω=---}(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,1),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)-；(2)15；(3)1120.【解析】(1)由题意可得，{}1,2,3,4m ∈，{}1,2,4,6,8n ∈-，数对(),m n 的样本空间为{(1,1),(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,1),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,1),Ω=---}(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,1),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)-；(2)若二次函数()f x 的单调递增区间为[)1,+∞， 则二次函数()f x 的对称轴12nx m==，即2n m =， 由(1)可得，总的基本事件个数为20个，符合2n m =的基本事件为：()1,2，()2,4，()3,6，()4,8共4个， 所以()41205P A ==； (3)因为0m >，二次函数的图象开口向上，方程()2f x =有4个零点，即方程()2f x =和()2f x =-各有2个零点， 等价于二次函数2()1f x mx nx =--的最小值小于2-，所以2424m n m--<-，即24n m >， 样本空间中符合24n m >的基本事件有：()1,4，()1,6，()1,8，()2,4，()2,6，()2,8，()3,4，()3,6，()3,8，()4,6，()4,8，共11个，所以()1120P B =. 22．(2021·广东东莞·高一期末)4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间(单位：小时)的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间(单位：小时)的频率分布直方图：(以各组的区间中点值代表该组的各个值)(1)从一周课外阅读时间为[)4,6的学生中按比例分配抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求恰好一男一女的概率；(2)分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数x ，y ； (3)估计总样本的平均数z 和方差2s .参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为2 2.4s =男和23s =女.()()()()404060602222211111100i i i i i i s x x x z y y y z ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑，()040i x i ≤≤和()060i y i ≤≤分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中i Z ∈.【答案】(1)13；(2)3x =，4y =；(3) 3.6z =，23s =.【解析】(1)一周课外阅读时间为[)4,6的学生中男生有3人，女生有1260158⨯⨯=人，若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为a ，女生有5人，记为1b ，2b ，3b ，4b ，5b ， 则样本空间{}1234512131415232425343545,,,,,,,,,,,,,,ab ab ab ab ab bb bb bb bb b b b b b b b b b b b b Ω=， 记事件A =“恰好一男一女”，则{}12345,,,,A ab ab ab ab ab =， 所以()51153P A ==， 所以从这6人中任意抽取2人恰好一男一女的概率为13；(2)估计男生一周课外阅读时间平均数193255373340x ⨯+⨯+⨯+⨯==；估计女生一周课外阅读时间的平均数1111212325274244812y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.(3)估计总样本的平均数3404603.6100z ⨯+⨯==， ∵()40221140i i x x s =-=∑男，()22601160i i y y s =-=∑女 ∴()4022140 2.44096i i x xs =-=⋅=⨯=∑男，()2216060360180i i y ys =-=⋅=⨯=∑女，()()40221403 3.614.4i x z =-=⨯-=∑，()()60221604 3.69.6i y z=-=⨯-=∑，∴[]219614.49.61803100s =+++=， 所以估计总样本的平均数和方差分别是3.6和3.。
高等数学第二册教材答案
高等数学第二册教材答案解答：第一章：函数与极限1.1 函数的基本概念和性质1.2 极限的定义和性质1.3 极限的运算法则1.4 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义2.2 函数的导数与可导性2.3 常用函数的导数2.4 高阶导数与高阶微分2.5 隐函数的导数与高阶导数第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔中值定理3.2 拉格朗日中值定理3.3 柯西中值定理3.4 导数的应用：函数的单调性与极值第四章：不定积分4.1 不定积分的定义4.2 基本积分公式与换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分4.5 特殊函数的积分第五章：定积分5.1 定积分的概念与性质5.2 反常积分5.3 微积分基本定理5.4 定积分的换元法5.5 定积分的分部积分法5.6 定积分的应用：几何应用与物理应用第六章：定积分的几何应用6.1 曲线的弧长与曲面的面积6.2 平面区域的面积第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的定义与极限7.2 偏导数与全微分7.3 隐函数的偏导数与全微分7.4 多元函数的极值与条件极值第八章：多元函数积分学8.1 重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算8.3 三重积分的计算8.4 曲线积分和曲面积分第九章：无穷级数9.1 数项级数的概念与性质9.2 收敛级数的性质9.3 幂级数与函数展开9.4 函数的傅里叶级数展开第十章：常微分方程10.1 微分方程的基本概念与解的存在唯一性10.2 一阶线性微分方程10.3 可降阶的高阶微分方程10.4 齐次线性微分方程与常系数齐次线性微分方程10.5 非齐次线性微分方程与常系数非齐次线性微分方程以上是高等数学第二册教材各章节的答案。
希望能帮助你更好地理解和应用数学知识。
10高中数学必修第二册第十章课后答案
10.1随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机事件P229练习1.写出下列各随机试验的样本空间：（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO 血型；（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；（4）射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；（5）射击靶3次，观察中靶的次数.【答案】解：（1）一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可以表示为Ω={男，女}；（2）一名同学的血型有四种可能结果：A 型、B 型、AB 型、O 型.故该试验的样本空间可表示为{},,,A B AB O Ω=；（3）每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为{（男、男），（男，女），（女，男），（女，女）}；（4）每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用0表示脱靶，该试验的样本空间可表示为()()()()()()()(){}0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1N =；（5）射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3，故该试验的样本空间可以表示为{}0,1,2,3N =.2.如图，由A ，B 两个元件分别组成串联电路（图（1））和并联电路（图（2）），观察两个元件正常或失效的情况.（1）写出试验的样本空间；（2）对串联电路，写出事件M =“电路是通路”包含的样本点；（3）对并联电路，写出事件N =“电路是断路”包含的样本点.【答案】解：A ，B 两个元件中每个元件都有正常（用1表示）或失效（用0表示）两种可能结果：（1）故该试验的样本空间可以表示为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；（2）对串联电路，只有当A ，B 都正常时电路才是通路，故M 包含的样本点为()1,1；（3）对并联电路，只有当A ，B 都失效时电路才是断路，故N 包含的样本点为()0,0.3.袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球.（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示事件A =“摸到球的号码小于5”，事件B =“摸到球的号码大于4”，事件C =“摸到球的号码是偶数”【答案】解：（1）用球的标号表示对应的球，则该试验的样本空间可表示为{}1,2,3,4,5,6,7,8,9Ω=；（2）{}1,2,3,4A =；{}5,6,7,8,9B =；{}2,4,6,8C =.10.1.2事件的关系与运算P233练习1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（）A.至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都没中靶【答案】对于A ，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A 选项不满足条件；对于B ，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B 选项不满足条件；对于C ，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C 选项不满足条件；对于D ，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D 选项满足条件.2.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：i C =“点数为i ”，其中1,2,3,4,5,6i =；1D =“点数不大于2”，2D =“点数大于2”，3D =“点数大于4”；E =“点数为奇数”，F =“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.（1）1C 与2C 互斥；（2）2C ，3C 为对立事件；（3）32C D ⊆；（4）32D D ⊆；（5）12D D =Ω ，12D D =∅；（6）356D C C = ；（7）135E C C C = ；（8）E ，F 为对立事件；（9）232D D D = ；（10）233D D D = 【答案】解：该试验的样本空间可表示为{}1,2,3,4,5,6Ω=,由题意知{}i C i =,{}11,2D =,{}23,4,5,6D =,{}35,6D =,{}1,3,5E =,{}2,4,6F =.（1）{}11C =,{}22C =,满足12C C =∅ ,所以1C 与2C 互斥,故正确；（2）{}22C =,{}33C =,满足23C C =∅ 但不满足23C C ⋃=Ω.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；根据对应的集合易得,（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）{}565,6C C = ,所以356D C C = ,故正确；（7）{}1351,2,3C C C = ,故135E C C C = 正确；（8）因为E F ⋂=∅,E F ⋃=Ω,所以E ,F 为对立事件,故正确；（9）正确；（10）正确.10.1.3古典概型P239练习1.判断下面的解答是否正确，并说明理由.某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用y 表示命中，用n 表示没有命中，那么试验的样本空间{},,,yy yn ny nn Ω=，因此事件“两次射击都命中”的概率为0.25.【答案】解：该解答不正确，原因如下：运动员练习时命中目标与没有命中目标的概率是不相等的，所以样本点发生的可能性是不相等的，所以该试验并不是古典概型，故解答错误.2.从52张扑克牌（不含大小王）中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率：（1）抽到的牌是7；（2）抽到的牌不是7；（3）抽到的牌是方片；（4）抽到J 或Q 或K ；（5）抽到的牌既是红心又是草花；（6）抽到的牌比6大比9小；（7）抽到的牌是红花色；（8）抽到的牌是红花色或黑花色.3.从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率：（1）这个数平方的个位数字为1；（2）这个数的四次方的个位数字为1.【答案】解：从0~9这10个教中随机选样一个款，共有10种可能，其样本空间可表示为{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9Ω=.10.1.4概率的基本性质P242练习1.已知()()0.5,0.3P A P B ==.（1）如果B A ⊆，那么()P A B = ___________，()P AB =___________；（2）如果A ，B 互斥，那么()P A B = ___________，()P AB =___________.【答案】（1）如果B A ⊆,那么A B A ⋃=,A B B = ,所以()()0.5P A B P A ⋃==,()()0.3P AB P B ==（2）如果A ,B 互斥,那么A B =∅ ,所以()()()0.50.30.8P A B P A P B ⋃=+=+=,()0P AB =故答案为：（1）0.5；0.3；（2）0.8；02.指出下列表述中的错误：（1）某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5；（2）如果事件A 与事件B 互斥，那么一定有()()1P A P B +=.【答案】（1）某地区“明天下雨”与“明天不下雨”互为对立事件,它们的概率之和应为1,则若某地区明天下雨的概率为0.4,明天不下雨的概率应为0.6（2）如果事件A ,B 互斥,那么()()()1P A P B P A B +=≤ ,只有当A ,B 互为对立事件时才有()()1P A P B +=3.在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M （男）、F （女））及年级（1G （高一）、2G （高二）、3G （高三））分类统计的人数如下表：1G 2G 3G M182014F 17247若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：()P M =____________，()P F =____________，()P M F = ____________，()P MF =____________，()1P G =____________，()2P M G = ____________，()3P FG =____________()1P M F = ；()()0P MF P =∅=；习题10.1P243复习巩固1.如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面上的数字.（1）用表格表示试验的所有可能结果；（2）列举下列事件包含的样本点：A =“两个数字相同”，B =“两个数字之和等于5”，C =“蓝色骰子的数字为2”.【答案】解：（1）该试验的所有可能结果如下表：（2）A包含的样本点：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）；B包含的样本点：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；C包含的样本点：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2）.2.在某届世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为acbd（表示a胜b，c胜d，然后a胜c，b胜d）.（1）写出比赛所有可能结果构成的样本空间；（2）设事件A表示a队获得冠军，写出A包含的所有可能结果；（3）设事件B表示a队进入冠亚军决赛，写出B包含的所有可能结果.【答案】解：（1）第一轮的两场比赛中，当,a c胜出时，比赛最终可能的结果为：,,,acbd acdb cabd cadbadbc adcb dabc dacb 第一轮的两场比赛中，当a,d胜出时，比赛最终可能的结果为：,,,bcad bcda cbad cdda 第一轮的两场比赛中，当,b c胜出时，比赛最终可能的结果为：,,,bdca bdac dbca bdac 第一轮的两场比赛中，当,b d胜出时，比赛最终可能的结果为：,,,则该试验的样本空间可表示为:,,,,,,,,,,,,,,,{}acbd acdb cabd cadb adbc adcb dabc dacb bcad bcda cbad cdda bdca bdac dbca bdac Ω=；（2）事件A 包含的所有结果为：, , , acbd acdb adbc adcb ；（3）事件B 包含的所有结果为：, , , ,,.,, acbd acdb adbc adcb cab dabc d cadb acb d 3.(2)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”写出样本空间，并列举A 和B 包含的样本点；【答案】事件空间：｛（正正），（正反），（反正），（反反）｝，事件A 的样本点：（正正），（正反），事件B 的样本点：（正反），（反反）．(2)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（）．A.A 与B 互为对立事件B.A 与B 互斥C.A 与B 相等D.()()P A P B =【答案】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件A 包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B 包含的结果有：(正，反)，(反，反)，显然事件A ，事件B 都含有“(正，反)”这一结果，即事件A ，事件B 能同时发生，因此，事件A ，事件B 既不互斥也不对立，A ，B 都不正确；事件A ，事件B 中有不同的结果，于是得事件A 与事件B 不相等，C 不正确；4.判断下列说法是否正确，若错误，请举出反例（1）互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；（2）互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；（3）事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大；（4）事件A 与事件B 同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小.【答案】解：（1）错误；（2）正确；（3）错误：（4）错误.设某试验的样本空间为{1,2,3,4}Ω=.（1）中反例，取{1},{2}A B ==，则A ,B 互斥但不对立.（2）由互斥事件与对立事件的定义可知(2)正确（3）中反例，取{1},A B ==∅,则5.生产某种产品需要2道工序，设事件A =“第一道工序加工合格”，事件B =“第二道工序加工合格”，用A ，B ，A ，B 表示下列事件：C =“产品合格”，D =“产品不合格”．【答案】要使得产品合格，需要第一道工序和第二道工序加工都合格，即事件A ，B 同时发生，所以C =AB ；产品不合格，就是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，6.下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？游戏1游戏2游戏3袋子中球的数量和颜色1个红球和1个白球2个红球和2个白球3个红球和1个白球取球规则取1个球依次取出2个球依次取出2个球获胜规则取到红球→甲胜两个球同色→甲胜两个球同色→甲胜取到白球→乙胜两个球不同色→乙胜两个球不同色→乙胜7.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机地依次选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相等整数的概率；（1）标签的选取是不放回的；（2）标签的选取是有放回的.【答案】解：（1）从5张标签中不放回地选取两张标签，用m 表示第一张标签的标号，n 表示第二张标签的标号，设A =“两张标签上的数字为相等整数”，则（1）数组（m ，n ）表示该试验的一个样本点，,{1,2,3,4,5}m n ∈，且m n ≠.因此该试验的样本空间{(,)|,{1,2,3,4,5}m n m n Ω=∈，且m n ≠}中共有20个样本点，其中m ，n 为相等整数的样本点个数()0n A =.故所求概率为0；（2）该试验的样本空间{(,)|,{1,2,3,4,5}}m n m n Ω=∈中共有25个样本点，各样本点出现的可能性相等，试验是古典概型，其中{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5A=,5)}，所8.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三角形的概率.【答案】解：该试验的样本空间可表示为：9) ,(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7){(1,3,,(3,5,5),(1,3,7),(1,39),(3,7,9)(5,,7,9)Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9)(5,7,9)，共3个，故P244综合运用9.一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少？（1）A =“恰有1支一等品”；（2）B =“两支都是一等品”；（3）C =“没有三等品”.【答案】解：用123,,a a a 表示3支一等品，用12,b b 表示2支二等品，用c 表示三等品，则该试验的样本空间可表示为()()({)()()()()()()121323111221223132,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a ab a b a b a b a b a b Ω=()()()()()()}1212312,,,,,,,,,,,b b ac a c a c b c b c ，共有15个样本点.（1）()()()()()()({)()()}111212122231323,,,,,,,,,,,,,,,,,A a b a b a c a b a b a c a b a b a c =，其()()()()()({)()()()()}12132311122122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,C a a a a a a a b a b a b a b a b a b b b =10.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x 表示红色骰子的点数，用y 表示绿色骰子的点数，用（x ，y ）表示一次试验的结果，设A =“两个点数之和等于8”，B =“至少有一颗骰子的点数为5”，C =“红色骰子上的点数大于4”（1）求事件A ，B ，C 的概率；（2）求,A B A B ⋃⋂的概率.【答案】解：该试验的样本空间可表示为{(,)|,{1,2,3,4,5,6}}x y x y Ω=∈，共有36个样本点11.某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大？【答案】解：用1，2表示能打开门的钥匙，用3，4表示不能打开门的钥匙事件“第二次才打开门”包含的样本点有(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)，共4个若把不能开门的钥匙扔掉，则该试验的样本空间可表示为{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),4) ,(4(3,1,1),),(3,2),(4,2),(43(3,)}Ω=，，共有12个12.假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A ，B ，C ，D ，E ）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5个人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率；（1）女孩A 得到一个职位；（2）女孩A 和B 各得到一个职位；（3）女孩A 或B 得到一个职位.【答案】解：5个人，2个职位，每个人被录用的机会相等，该试验的样本空间可表示为{(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B ),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)}D Ω=，，共有10个样本点.13.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：命中环数678910频率0.10.150.250.30.2如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；（1）命中10环；（2）命中的环数大于8环；（3）命中的环数小于9环；（4）命中的环数不超过5环.【答案】解：用x 表示命中的环数，由频率表可得.（1）(10)0.2P x ==；（2）(8)P x P >=（9x =或10x =）(9)(10)0.30.20.5P x P x ==+==+=；（3）(9)(6)(7)(8)0.10.150.250.5P x P x P x P x <==+=+==++=；（4）(5)1(6)1(0.10.150.250.30.2)0P x P x =-=-++++=.14.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率：（1）没有出现6点；（2）至少出现一次6点；（3）三个点数之和为9.【答案】解：该试验的样本空间表示为{(,,)|,5,6,{1}2},,3,4x y z x y z Ω=⋅∈，，共有666216⨯⨯=（个）样本点.（1）事件“没有出现6点”包含的样本点(,,)x y z 满足,,{1,2,3,4,5}x y z ∈，共有125P245拓广探索15.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A 表示订阅数学学习资料的学生，B 表示订阅语文学习资料的学生，C 表示订阅英语学习资料的学生．（1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；（2）用A ，B ，C 表示下列事件：①至少订阅一种学习资料；②恰好订阅一种学习资料；③没有订阅任何学习资料.【答案】（1）由给定图形可知，区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料都订阅；区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料；区域5表示该生只订阅语文学习资料；区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅.（2）①至少订阅一种学习资料的事件即是事件A发生，或者事件B发生，或者事件C发生，所以至少订阅一种学习资料的事件为：A+B+C；料的16.从1-20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除，求下列事件的概率；（1）这个数既能被2整除也能被3整除；（2）这个数能被2整除或能被3整除；（3）这个数既不能被2整除也不能被3整除.【答案】解：1-20这20个整数中能被2整除的有10个，能被3整除的有6个,17.某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.（1）某人购买了一台这个品牌的计算机，设k A =“一年内需要维修k 次”，k =0,1,2,3,请填写下表：事件0A 1A 2A 3A 概率事件0123,,,A A A A 是否满足两两互斥？是否满足等可能性？（2）求下列事件的概率：①A =“在1年内需要维修”;②B =“在1年内不需要维修”；③C =“在1年内维修不超过1次”.【答案】解：（1）因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%所以0()1(0.150.060.04)0.57P A =-++=，123()0.15,()0.06,()0.04P A P A P A ===事件0123,,,A A A A 满足两两互斥，不满足等可能性.（2）①()()()()123123()0.25P A P A A A P A P A P A =++=++=；②()0()0.75P B P A ==；③()()()0101()0.9P C P A A P A P A =+=+=.10.2事件的相互独立性P249练习1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第1枚正面朝上”，事件B =“第2枚正面朝上”，事件C =“2枚硬币朝上的面相同”，A B C ，，中哪两个相互独立？()()()P AC P A P C =⋅()()()P BC P B P C =⋅由独立事件概率性质可知A 与B ,A 与C ,B 与C 都相互独立.2.设样本空间{},,,a b c d Ω=含有等可能的样本点，且{}{}{},,,,,A a b B a c C a d ===，请验证A ，B ，C 三个事件两两独立，但()()()()P ABC P A P B P C ≠.即A ,B ,C 两两独立3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都降雨的概率；（2）甲、乙两地都不降雨的概率；（3）至少一个地方降雨的概率.【答案】设事件A =“甲地降雨”,事件B =“乙地降雨”,则事件A 与B 相互独立.由题意知()()0.2,0.3P A P B ==.（1）()()()0.20.30.06P AB P A P B ==⨯=；4.证明必然事件Ω和不可能事件∅与任意事件相互独立.【答案】设任意事件记作A ,则,A A A Ω=∅=∅ .因为()()1,0P P Ω=∅=所以()()()()()1P A P A P A P A P Ω==⨯=Ω()()()()()00P A P P A P A P ∅=∅==⋅=∅所以A 与Ω,A 与∅都相互独立习题10.2P250复习巩固1.掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系为（）．A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等【答案】解：掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，事件A 与B 能同时发生，故事件A 与B 既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A ，B 错误；事件A 与B 不相等，故选项D 错误.故选：C.2.假设()0.7P A =，()0.8P B =，且A ，B 相互独立，则()P AB =______；()P A B = ______.【答案】解：（1）∵()0.7P A =，()0.8P B =，且A 与B 相互独立，∴()()()0.70.80.56P AB P A P B =⨯=⨯=；（2）()()()()0.70.80.560.94P A B P A P B P AB =+-=+-= ，故答案为：0.56；0.94．3.若()0P A >，()0P B >，证明：事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥不能同时成立．【答案】证明：若事件A ，B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>；若事件A ，B 互斥，则()0P AB =，所以事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥不能同时成立．综合运用4.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是13，14求；（1）两人都成功破译的概率；（2）密码被成功破译的概率．【答案】（1）记“甲译出密码”的事件为A ，“乙译出密码”的事件为B ，（2）记“甲译出密码”的事件为A ，“乙译出密码”的事件为B ，“密码被成功5.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{}1,2,3,4,5,6,7,8Ω=．构造适当的事件A ，B ，C ，使()()()()P ABC P A P B P C =成立，但不满足A ，B ，C 两两独立．【答案】设事件{}1,2,3,4A =，{}1,2,3,5B =,{}1,6,7,8C =则{}{}{}{}1,1,2,3,1,1ABC AB AC BC ====满足()()()()P ABC P A P B P C =，由于()()()P AB P A P B ≠,()()()P BC P B P C ≠,()()()P AC P A P C ≠即A 与B ,B 与C ,A 与C 都不相互独立，即不满足A ，B ，C 两两独立P250拓广探索6.分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题．1E ：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件A =“两枚都正面朝上”．2E ：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为0.6；事件B =“命中两次目标”．3E ：从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球；事件C =“两次都摸到红球”（1）用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间；（2）指出这三个试验的共同特征和区别；（3）分别求A ，B ，C 的概率．【答案】（1）解：1E 中用有序数对(),m n ，{},0,1m n ∈表示样本点，其中“0”表示正面朝上，“1”表示反面朝上，其样本空间为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；2E 中用有序数对()12,x x ，{}12,0,1x x ∈表示样本点，其中“0”表示未命中，“1”表示命中，其样本空间为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；3E 中用有序数对(),x y ，{},0,1x y ∈表示样本点，其中“0”表示摸到红球，“1”表示摸到黄球反面朝上，其样本空间为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；(2)三个实验的共同特征：完成一次实验都要观察两个指标，即样本点中包含两个要素，并且每个要素都只有两种可能结果，所以它们的样本点都可以用有序数对来表示，并且具有相同的表达形式；三个试验的区别：1E 中的样本点具有等可能性，2E 3E 中的样本点不具有等可能性.()0.60.60.36P B =⨯=，因为是从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出10.3频率与概率10.3.1频率的稳定性P254练习1.判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两次硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；（2）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4；（3）当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率；（4）在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5.【答案】解：（1）错误，理由：抛掷一枚硬币是随机试验，在一次试验中出现某种结果也是随机的，所以抛掷两次硬币也可能出现两次正面朝上和两次反面朝上.（2）错误，理由：事件“正面朝上”的频率是0.4，而不是概率是0.4.（3）正确，理由：这是频率的稳定性.（4）错误，理由：随机事件发生的概率不一定是0.5.2.用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？【答案】解：这个游发是公平的，理由：抛掷两枚硬币共有4种等可能结果：（正，3.据统计ABO血型具有民族和地区差异.在我国H省调查了30488人，四种血型的人数如下：血型A B O AB 人数/人77041076589703049频率（1）计算H省各种血型的频率并填表（精确到0.001）；（2）如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约是多少？【答案】解：（1）总人数：7704+10765+8970+3049=30488，（2）由（1）知H省O型血的频率为0.294，所以相应概率大约是0.294.4.分别举出一个生活中概率很小和很大的例子.【答案】解：概率很小的例子：买了一张彩票，中了特等奖.概率很大的例子：买了一张彩票，没有中奖.10.3.2随机模拟P257练习1.将一枚质地均匀的硬币连掷4次,设事件A=“恰好两次正面朝上”,（1）直接计算事件A的概率;（2）利用计算器或计算机模拟试验80次,计算事件A发生的频率.【答案】(1)随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次,出现的情况如下,(正,正,正,正),(正,正,正,反),(正,正,反,正),(正,反,正,正),(反,正,正,正),(反,反,正,正),(反,正,反,正),(反,正,正,反),(正,反,反,正),(正,反,正,反),(正,正,反,反),(正,反,反,反),(反,正,反,反),(反,反,正,反),(反,反,反,正),(反,反,反,反).共有16种等可能的结果其中恰好两次正面朝上情况共有:6种规定:数据是奇数代表硬币的反面,数据的偶数代表硬币的正面由数表可得恰好两次正面朝上的组数有:262.盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球.（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？（4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率.【答案】(1)从中任意取出一个球,“取出的球是黄球”是不可能事件,它的概率为0.(4)用计算机产生1-9的随机数,规定1-4代表白球,5-9代表黑球.3.（1）掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率；（2）利用随机模拟的方法，试验120次，计算出现点数和为7的频率；（3）所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？【答案】(1)抛掷两枚骰子,向上的点数有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6);(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6);(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(3,6);(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6);(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,5)、(5,6);(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(6,6).共36种情况,其中点数和为7的有6种情况,(2)第二个数字代表第二个骰子出现的数字从表格中可以查出点数和为7等于23个数据习题10.3P257复习巩固1.在一个试验中，把一种血清注射到500只豚鼠体内，被注射前，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞；被注射后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染，根据试验结果，估计具有下列类型的细胞的豚鼠被这种血清感染的概率；（1）圆形细胞；（2）椭圆形细胞；（3）不规则形状细胞.【答案】解：（1）有圆形细胞的豚鼠中没有被感染的，故概率的估计值为0；2.用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4.重复抛掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面上的次数（如下表）.如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率.四面体的面1234频数221821393.在英语中不同字母出现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定，有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示：元音字母A E I O U频率7.88%12.68%7.07%7.76% 2.80%（1）从一本英文（小说类）书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率；（2）将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原因是什么.【答案】（1）选取英文书籍任意一页，一共637个字母，其中元音字母出现频数和频率如下表，A出现38次，频率为：5.97%E出现96次，频率为：15.07%I出现47次，频率为：7.38%O出现52次，频率为：8.16%U出现12次，频率为：1.88%（2）可以发现统计出来的频率与上表中的频率不是很接近，因为统计数据较小，有很强的偶然性，上表中的统计数据40多万个单词，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.4.人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，请确定他们的子女的血型是O，A，B或AB型的概率，并填写下表：子女血型的概率父母血型的基因类型组合O A B ABai bi⨯⨯ai bb⨯aa bi⨯aa bb⨯，得子女血型的基因类型有【答案】解：当父母血型的基因类型组合ai bi则O型血的概率为0，A型血的概率为0，B型血的概率为0，AB型血的概率为1，填入表中，如表所示：能结果如下：,,,ai ab bi ii ，,,,ab ab bi bi ，,,,ab ai ab ai ，,,,ab ab ab ab 共16个，P258综合运用5．“用事件A 发生的频率f （A ）估计概率P （A ），重复试验次数n 越大，估计的就越精确”，判断这种说法是否正确，并举例说明．【答案】略6.在一个袋子中放6个白球，4个红球，揺匀后随机摸球3次，采用放回和不放回两种方式摸球.设事件=i A “第i 次摸到红球”，i =1，2，3.（1）在两种摸球方式下分别猜想事件123,,A A A 发生的概率的大小关系；（2）重复做10次试验，求事件123,,A A A 发生的频率，并填入下表.放回摸球不放回摸球()101f A ()102f A ()103f A （3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率()103f A 差别大吗？在不放回摸球方式下，事件123,,A A A 的频率差别大吗？请说明原因.【答案】（1）有放回摸球，每次试验，摸到红球的概率相等，无放回摸球，可以看成对十个球进行排序，红球在任何一个位置都是等可能的，所以概率相等；。
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习题10-1 二重积分的概念与性质1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()D x y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+⎰⎰与2[ln()]Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22sin sin DI x yd σ=⎰⎰，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++⎰⎰，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解 (),f x y =Q 2，在D 上(),f x y 的最大值()104M x y ===，最小值()11,25m x y ====故0.40.5I ≤≤习题10-2 二重积分的计算法1.计算下列二重积分： （1）22()Dx y d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）sin Dy d y σ⎰⎰，其中D 是由2,y x y x ==所围成的闭区域. 解：sin Dyd y σ⎰⎰210sin 1sin1y y y dy dx y ==-⎰⎰ 2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1）x y De d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dx y x d σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。
3.化二重积分(,)DI f x y d σ=⎰⎰为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。
4.求由曲面222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体的体积。
5.画出积分区域，把积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 是： （1）22{(,)|2}x y x y x +≤；（2）{(,)|01,01}x y y x x ≤≤-≤≤6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： （1）23220()xxdx f x y dy +⎰；（2）21101(,)xxdx f x y dy--⎰⎰7.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1）2222200)a ax xdx x y dy-+⎰；（2）211222()xxdx x y dy -+⎰⎰8.利用极坐标计算下列各题： （1）22x y De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。
（2）22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。
9.选用适当的坐标计算下列各题： （1）22()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由直线y x =，y x a =+，y a =，3y a =(0)a >所围成的闭区域。
（2）22Dx y d σ+，其中D 是圆环形闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤.（3）计算积分112111224y y yy xxyI dy e dx dy e dx =+⎰⎰⎰解 ()21111223182y xx xxe I dx e dy x e e dx e ==-=-⎰⎰⎰ 习题10-3 三重积分1.化三重积分(,,)I f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰为三次积分，其中积分区域Ω分别是：（1）由曲面22z x y =+及平面1z =所围成的闭区域；（2）由曲面222z x y =+及22z x =-所围成的闭区域；2.计算23xy z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z xy =及平面y x =，1x =和0z =所围成的闭区域。
3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为球面2221x y z ++=及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域。
4.计算zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面z =z h =(0,0)R h >>所围成的闭区域。
5.利用柱面坐标计算下列三重积分：（1）zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z =及22z x y =+所围成的闭区域；（2）22()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成的闭区域；6.选用适当的坐标计算下列三重积分： （1）xydv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是柱面221x y +=及平面1z =，0z =，0x =，0y =所围成的在第一卦限内的闭区域；（2）22()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域.7.计算()x y z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由222,0x y z z h +≤≤≤所围成。
解 由于Ω关于,yoz xoz 坐标面都对称，故0xdv ydv ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式2220xyh h hx y D zdv dxdy zdz d d zdz πρθρρ+Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()222340011224h h h d h d h πρρρπρρρπ=-⋅=-=⎰⎰8.求上、下分别为球面2222x y z ++=和抛物面22z x y =+所围成立体的体积。
习题10-4 重积分的应用1.求球面2222x y z a ++=含在圆柱面22x y ax +=内部的那部分面积。
2.设薄片所占的闭区域D 是介于两个圆cos a ρθ=，cos b ρθ=(0)a b <<之间的闭区域，求均匀薄片的质心：3.已知均匀矩形板（面密度为常量μ）的长和宽分别为b 和h ，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。
4.设均匀柱体密度为ρ，占有闭区域222{(,,)|,0}x y z x y R z h Ω=+≤≤≤，求它对于位于点0(0,0,)M a ()a h >处的单位质量的质点的引力。
复习题十1.计算下列二重积分： （1）(1)sin Dx yd σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0)，(1,0)，(1,2)和(0,1)的梯形闭区域；（2）Dσ，其中D 是圆周22x y Rx +=所围成的闭区域；（3）arctanD yd xσ⎰⎰，其中D是由圆周22224,1x y x y+=+=及直线0,y y x==所围成的在第一象限内的闭区域.解：222440000sin3 arctan arctancos64Dy rd d rdr d rdrx rππθσθθθπθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.交换下列二次积分的次序：（1）12330010(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx-+⎰⎰⎰⎰；（2）21110(,)x xdx f x y dy +-⎰⎰.3.把积分(,)Df x y dxdy⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域2{(,)|1,11}D x y x y x =≤≤-≤≤.4.计算下列三重积分： （1）2z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是两个球：2222x y z R ++≤和2222x y z Rz ++≤(0)R >的公共部分；（2）222222ln(1)1z x y z dv x y z Ω++++++⎰⎰⎰，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域；5.求平面1x y za b c++=被三坐标面所割出的有限部分的面积。
6.计算积分⎰⎰⎰Ω+zdv y x )(22，其中Ω为由222,2z x y z =+=所围的区域. 解 由222224,2,2,z x y x y z z ⎧⎧=++=⇒⎨⎨==⎩⎩ 积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域4:22≤+y x D xy ，用柱面坐标20,20,22:2≤≤≤≤≤≤Ωr z r πθ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+Ωπθ202022/3222)(r zdz dr r d zdv y x⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=2043844212ππdr r r。