高等数学2第十章答案

习题10-1 二重积分的概念与性质

1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()D x y d σ+⎰⎰与3

()D

x y d σ+⎰⎰

，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；

（2）

ln()D

x y d σ+⎰⎰与2

[ln()]D

x y d σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，

(1,1)，(2,0)；

2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22

sin sin D

I x yd σ=

⎰⎰，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；

（2）22

(49)D

I x y d σ=

++⎰⎰

，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤

.

（3）

.D

I =

，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤

解 ()

,f x y =

Q 2，在D 上(),f x y 的最大值

()1

04M x y =

==

，最小值()11,25m x y ====

故0.40.5I ≤≤

习题10-2 二重积分的计算法

1.计算下列二重积分： （1）

22

()D

x y d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；

（2）

sin D

y d y σ⎰⎰，其中D 是由2

,y x y x ==所围成的闭区域. 解：sin D

y

d y σ⎰⎰210sin 1sin1y y y dy dx y ==-⎰⎰ 2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1）

x y D

e d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤

（2）

22()D

x y x d σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。

3.化二重积分(,)D

I f x y d σ=

⎰⎰为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次

积分），其中积分区域D 是：

（1）由直线y x =及抛物线2

4y x =所围成的闭区域；

（2）由直线y x =，2x =及双曲线1

(0)y x x

=

>所围成的闭区域。

4.求由曲面22

2z x y =+及2

2

62z x y =--所围成的立体的体积。

5.画出积分区域，把积分

(,)D

f x y dxdy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，

其中积分区域D 是： （1）2

2

{(,)|2}x y x y x +≤；

（2）{(,)|01,01}x y y x x ≤≤-≤≤

6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： （1）

2

3220

()x

x

dx f x y dy +⎰

；

（2）

2

11

01

(,)

x

x

dx f x y dy

-

-

⎰⎰

7.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：

（1）

2

2222

00

)

a ax x

dx x y dy

-

+

⎰；

（2）

211

222

()x

x

dx x y dy -+⎰

⎰

8.利用极坐标计算下列各题： （1）

2

2

x y D

e d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。

（2）

22

ln(1)D

x y d σ++⎰⎰

，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。

9.选用适当的坐标计算下列各题： （1）

22

()D

x y d σ+⎰⎰，其中D 是由直线y x =，y x a =+，y a =，3y a =(0)a >所围成的闭区域。

（2）

22D

x y d σ+，其中D 是圆环形闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤.

（3）计算积分1

121112

2

4

y y y

y x

x

y

I dy e dx dy e dx =

+⎰

⎰⎰

解 ()211

112

2

3

182

y x

x x

x

e I dx e dy x e e dx e =

=-

=

-⎰

⎰⎰ 习题10-3 三重积分

1.化三重积分(,,)I f x y z dxdydz Ω=

⎰⎰⎰为三次积分，其中积分区域Ω分别是：

（1）由曲面2

2

z x y =+及平面1z =所围成的闭区域；

（2）由曲面2

2

2z x y =+及2

2z x =-所围成的闭区域；

2.计算

23xy z dxdydz Ω

⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z xy =及平面y x =，1x =和0z =所围成的闭区域。