大一高数课件第十章 10-7

在 G 内与路径无关（或沿 G 内任意闭曲线的曲线 积分为零）的充分必要 条件是等式 P Q Q R R P , , 在 G 内恒成立． y x z y x z
定理 2
设区域 G 是空间一维单连通域， 函数
P ( x , y , z )、 Q ( x , y , z )、 R ( x , y , z ) 在 G 内具有一阶 连续偏导数，则表达式 Pdx Qdy Rdz 在 G 内 成为某一函数 u( x , y , z ) 的全微分的充分必要条 件是等式 P Q Q R R P , , 在 G 内恒成立． y x z y x z
y z
y
0
O
Q ( x , y , z 0 )dy
M 1 ( x , y0 , z0 )
y
M 2 ( x , y , z0 )
z
0
R ( x , y , z )dz .
x
其中 M ( x 0 , y0 , z 0 ) 为 G 内某一定点， 点 M ( x, y, z ) G .
三、物理意义---环流量与旋度

其中
( rot A ) n rot A n R Q P R Q P ( ) cos ( ) cos ( ) cos y z z x x y
At A n P cos Q cos R cos
x
n


:
z f ( x, y)
o
y
D xy
C
பைடு நூலகம்
思路 曲面积分
1
二重积分
2
曲线积分
P P dzdx dxdy z y
P P ( z cos y cos )dS
又 cos f y cos ,
代入上式得
P P P P z dzdx y dxdy ( y z f y ) cos dS
空间有向曲线
同理可证
Q Q x dxdy z dydz Q( x , y, z )dy,
R R y dydz x dzdx R( x , y, z )dz ,
( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy
其中n {cos , cos , cos }
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
二、简单的应用 例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,

利用stokes公式, 有
环流量 A ds
C


i x P
j y Q
k dS z R
2. 旋度的定义:
i j k 称向量 为向量场的旋度 ( rot A ) . x y z P Q R
i j k 旋度 rot A x y z P Q R

斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义
练 习 题
一、 计 算


3 ydx xzdy yz 2 dz , 其 中 是 圆 周
1. 环流量的定义:
设向量场 A( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k 则沿场 A 中某一封闭的有向曲线 C 上的曲线积分 A d s Pdx Qdy Rdz C C 称为向量场 A 沿曲线 C 按所取方向的环流量 .
P P P P 即 dzdx dxdy ( f y )dxdy y y z z
P P P [ x , y , f ( x , y )] fy y y z
P P z dzdx y dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D xy y
v
例 3 设一刚体绕过原点 O 的某个 轴转动,其角速度 ( 1 , 2 , 3 ) , 刚体上每一点处的线速度构成一个 线速场,则向量 r OM x , y , z 在点 M 处的线速度
L
o
向量微分算子
定义
i j k x y z
x y 3 2
I


D xy
x y 1 2
4 ( x y z )dS 3
3 ( 在 上 x y z ) 2
9 4 3 dS 2 3 3dxdy . 3 2 2 D xy
空间曲线积分与路径无关的条件
斯托克斯公式的应用：空间曲线积分与路径无关 的条件．
且
u( x , y , z )
( x , y ,z ) Pdx Qdy Rdz
0 0 0
( x , y ,z )
用定积分表示为
u( x , y , z )
z
M ( x, y, z )
M 0 ( x 0 , y0 , z 0 )
x
x
0
P ( x , y 0 , z 0 )dx

环流量 rotA dS

At ds
Stokes公式的物理解释: 向量场 A 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A 的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的正 向与 的侧符合右手法则)
M
解 由力学知道点 M 的线速度为 i j k 由此可看出旋 v r 1 2 3 度与旋转角速 度的关系. x y z 观察旋度 rot v 2 1 , 2 2 , 2 3 2 .
1
根椐格林公式


Dxy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy y
P[ x , y, f ( x , y )]dx
c
P P 即 dzdx dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx c y z
2
平面有向曲线
P P z dzdx y dxdy P ( x , y, z )dx ,
A( i j k ) ( Pi Qj Rk ) x y z P Q R divA ; x y z
i A x P
j y Q
k rotA . z R
高斯公式可写成
Adv An dS ,
R Q P R Q P ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy Pdx Qdy Rdz

斯托克斯公式
n

右手法则
是有向曲面 的 正向边界曲线
z

证明
如图
设Σ 与平行于z 轴的直线 相交 不 多 于 一 点 , 并Σ 取 上侧,有向曲线 C 为Σ 的正 向 边 界 曲 线 在 xoy 的 投 影.且所围区域 D xy .
也称为 ( Nabla )算子或哈密顿 ( Hamilton )算子 .
运用向量微分算子
(1) 设 u u( x , y , z ), 则
u u u u i j k gradu ; x y z
2u 2u 2u 2 u u gradu 2 2 2 u . x y z ( 2 ) 设 A P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z )k , 则
一、斯托克斯(stokes)公式
定理
设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
其中 是 平 面 x y z 1 被 三 坐 标 面 所 截 成 的 三角形的整个边界,它 的正向与这个三角形上 侧 z 的法向量之间符合右手规则.
解
按斯托克斯公式, 有
1
n
zdx xdy ydz

0
x
dydz dzdx dxdy

D xy
1
y
1
由于 的法向量的三个方向余 弦都为正，
轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分.
z

n
o

1 则 n {1,1,1} 3
y
x
1 , 即 cos cos cos 3
1 3 x y2 z2 1 3 y z2 x2 1 3 dS z x2 y2
R Q P R Q P ( )i ( )j ( )k . y z z x x y
斯托克斯公式的又一种形式
R Q P R Q P [( y z ) cos ( z x ) cos ( x y ) cos ]dS
注意：空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭 曲线的曲线积分为零．
问题：空间曲线积分在什么条件下与路径无关？
定理 1 设空间开区域 G 是一维单连通域，函数 P ( x , y , z )、 Q ( x , y , z )、 R ( x , y , z ) 在 G 内具有一阶 连续偏导数，则空间曲 线积分 Pdx Qdy Rdz
( P cos Q cos R cos )ds

其中
的单位法向量为 的单位切向量为 n cos i cos t cos i cos j cos j cos k, k
斯托克斯公式的向量形式
rotA ndS A t ds 或 ( rotA)n dS At ds

斯托克斯公式可写成
( A)n dS At ds .

四、小结
斯托克斯公式
cos x P cos y Q cos dS z R
dydz x P
dzdx y Q

dxdy z R
Pdx Qdy Rdz rotA ndS A t ds
再由对称性知：
dydz dzdx dxdy

3 d
D xy
y
1
D xy
o
D xy 如图
3 zdx xdy ydz 2
x
1
例2
计算曲线积分
2
( y
z )dx ( z x )dy ( x y )dz
2 2 2 2 2
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox

R
Q
P
R
Q
P

Pdx Qdy Rdz

..
故有结论成立.
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy x y z Pdx Qdy Rdz P Q R
另一种形式
cos cos cos x y z ds Pdx Qdy Rdz P Q R