空间解析几何习题答案

合集下载

8第八章空间解析几何答案

8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。

4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。

空间解析几何习题答案解析(最新整理)

一、计算题与证明题1．已知, , , 并且．计算．1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a a c c b b a ⨯+⨯+⨯解：因为, , , 并且1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a 所以与同向，且与反向a b b a +c 因此，，0=⨯b a 0=⨯c b 0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a 2．已知, , 求．3||=⋅b a 4||=⨯b a ||||b a ⋅解：（1）3cos ||=⋅=⋅θb a b a（2）4sin ||=⋅=⨯θb a b a 得()222)1(+()252=⋅b a 所以5=⋅b a 4．已知向量与共线, 且满足, 求向量的坐标．x )2,5,1(,-a 3=⋅x ax 解：设的坐标为，又x ()z y x ,,()2,5,1-=a 则（1）325=-+=⋅z y x x a 又与共线，则x a 0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i 所以()()()05252222=-+++--y x x z z y 即（2）010*********22=-++++xy xz yz z y x 又与共线，与夹角为或x a x a 0π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax 整理得（3）103222=++z y x 联立解出向量的坐标为()()()321、、x ⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点, 求线段的中垂面的方程．)7,8,3(A )3,2,1(--B AB 解：因为,()7,8,3A )3,2,1(--B 中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，则由得AB B A 、()z y x M ,,MB MA =()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x 化简得027532=-++z y x 这就是线段的中垂面的方程。

空间解析几何及多元微分学练习题参考答案

空间解析几何和多元微分学练习题参考答案1．若®®®®++=k j i a 863，2=®b ，则与®a ，x 轴均垂直的向量=®b þýüîíì-±56,58,0。

2．以点A )0,0,2(，B )0,3,0(，C )6,0,0(，D )8,3,2(为顶点的四面体的体积V=14。

3．曲线ïîïíì=+-=-+4)2(4)2(2222y x z x 在yoz 面上的投影曲线方程为：ïîïíì=+-±=+±044422x y z ，投影柱面方程为：44422+-±=+±y z 。

4．xoz 面上的曲线19422=-z x 分别绕x 轴和z 轴旋转所成旋转曲面方程为：1994222=--z y x ，1944222=-+z y x 。

5．求两平面0622:1=+-+z y x p ，884:2=-+-z y x p 所成二面角的角平分面方程。

解：法一，设),,(z y x P 为所求平面上任意一点，则由题意有：2222228)1(4884)2(21622+-+-+-=-+++-+z y x z y x消去绝对值得 )884()6222(3-+-±=+-+z y x z y 即026147010257=-+-=+++z y x z y x 和法二，所求平面过两平面1p 与2p 的交线，故可设其方程为：0)622(884=+-++-+-z y x z y x l在该平面上任取一点，如令4430--===l lz y x 可得，然后由点)443,0,0(--l l 到两平面的距离相等可解得3±=l ，从而得到所求平面方程。

空间解析几何习题答案

一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅．解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x 这就是线段AB 的中垂面的方程。

(完整版)§7空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章空间分析几何与向量代数A一、1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模，方向余弦和方向角.3、设m3i 5j 8k , n 2i 4j 7k ,p 5i j 4k ，求向量 a 4m 3n p 在x轴上的投影，及在y 轴上的分向量.二、1、设a3i j 2k ,b i 2j k ，求(1) a b及 a b；(2)( 2a) 3b及 a 2b (3) a、b的夹角的余弦 .2、知M1(1, 1,2), M2(3,3,1), M3(3,1,3)，求与M1M2,M2M3同时垂直的单位向量.3、设a(3,5, 2), b (2,1,4) ，问与知足_________时，a b z轴.三、1、以点 (1,3,-2)为球心，且经过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程x2y 2z 22x 4 y 2z0 表示______________曲面.3、 1) 将 xOy 坐标面上的y22x 绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________ ，曲面名称为 ___________________.2) 将 xOy 坐标面上的x2y 22x 绕x轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为 ___________________.3) 将 xOy 坐标面上的4x29 y 236 绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方程为 _____________，曲面名称为 _____________________.4）在平面分析几何中y x2表示____________图形。

在空间分析几何中y x 2表示______________图形.5）画出以下方程所表示的曲面(1)z24( x 2y2 )(2) z4( x2y 2 )四、x 2 y 2 1在平面分析几何中表示 ____________图形，在空间解1、指出方程组 4 9y 3析几何中表示 ______________图形 .2、求球面x2 y2 z2 9 与平面x z 1的交线在xOy面上的投影方程.3、求上半球0 za2 x 2 y2与圆柱体x2 y 2 ax (a 0) 的公共部分在xOy 面及 xOz 面上的投影 .五、1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点 (1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点 (2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 52、求过点 (0,2,4)且与两平面x 2z 1 ,y3z 2 平行的直线方程.3、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方程 .3x 04、求过点 (3,1,-2) 且经过直线x 4y 3z的平面方程 .5 2 1x y 3z 0 y z 1 0 的夹角 .5、求直线y z与平面 xx 06、求以下直线与直线、直线与平面的地点关系1) 直线x 2y z 7 与直线 x 1y 3 z ;2x y z 7 21 12) 直线 x 2 y 2 z 3和平面 x+y+z=3.3 1 47、求点 (3,-1,2)x y z 1 0到直线y z 4 的距离 .2x 0B1、已知 a b c 0 （ a, b, c 为非零矢量），试证 : a b b c c a .2、 a b 3, a b { 1,1,1}, 求 (a, b) .3、已知 a 和 b 为两非零向量，问 t 取何值时，向量模 | a t b |最小？并证明此时 b (atb ) .4、求单位向量 n ，使 n a 且 n x 轴，此中 a (3,6,8) .5、求过 z 轴，且与平面 2x y 5z 0 的夹角为的平面方程 .36、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 ( 3,5, 1) ，且垂直于 6x 2y 3z 7 0 的平面 .x 2y z 1 0 l 2 x y z 7、求过直线y z2 0 ，且与直线：1 平行的平面 .2x128、求在平面: x y z 1 上，且与直线y 1L ：垂直订交的直线方程 .z 19、设质量为 100kg 的物体从空间点M 1 (3,1,8) ，挪动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为 m ） .10、求曲线y 2 z 22x 0在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲z 3线？11、已知 OA i 3k , OB j 3k ，求 OAB 的面积2x 4 y z 0 y z 1上的投影直线方程 .12、 . 求直线y 2z9在平面 4x3xC1、设向量 a, b, c 有同样起点 , 且a b c 0 ，此中 0 ， , , 不全为零 ,证明 : a,b,c 终点共线 .2、求过点 M 0 (1,2, 1) ，且与直线 L ：x2y 12订交成角的直线方程 .21 1 33、过 ( 1,0,4) 且平行于平面 3x4 y z100 又与直线x1 y 3z订交的直线方1 12程 .4、求两直线 L 1 ：x 1yz与直线L 2：xy z2的最短距离 .1163 05、柱面的准线是 xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量 g {1,1,1} ，求此柱面方程 .6、设向量 a,b 非零， b 2, (a,b)a xba.，求 limx3xx 2 y7、求直线 L :z1( y 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程 .2第七章空间分析几何与向量代数习题答案A一、 1、6,7,611 11 112、M 1 M 2 =2, cos1 21 23, cos ,cos , ,,32 22343、 a 在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的重量为 7j二、 1、 1） a b 3 1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 3i j k a b312 5ij 7k1 21（2） ( 2a) 3b6(a b) 18 ， a 2b 2( a b) 10i 2 j14k^ a b3（ 3） cos(a, b)a b2 212、 M 1M 2 { 2,4, 1},M 2M 3 {0, 2,2}i j ka M 1M 2 M 2M3 2 4 1 6i 4 j 4k0 2 2a { 6 ,2 4 , 4 }a 2 17 17 2 17即为所求单位向量。

线性代数与空间解析几何(144206)

一、单选题1.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A、k≤3B、k<3C、k=3D、k>3答案： A2.n阶方阵A有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）。

A、充分必要条件B、充分而非必要条件C、必要而非充分条件D、既非充分条件也非必要条件答案： B3.A、-6B、6C、2D、-2答案： B4.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A、1B、2C、3D、4答案： C5.下列排列中是奇排列的是( )。

A、4321B、1234C、2314D、4123答案： D6.A、m+nB、-(m+n)C、n-mD、m-n答案： D7.关于最大无关组，下列说法正确的是（）。

A、秩相同的向量组一定是等价向量组B、一个向量组的最大无关组是唯一的C、向量组与其最大无关组是等价的D、如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关答案： C8.设A,B是n阶方阵，A非零，且AB=0 ，则必有（）。

A、B=0B、BA=0C、(A+B)2=A2+B2D、|B|=0答案： D9.设A是m*n阶矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是（）A、A的列向量线性无关B、A的列向量线性相关C、A的行向量线性无关D、A的行向量线性相关答案： A10.设非齐次线性方程组AX=β的系数行列式为零，则（）。

A、方程组有无穷多解；B、方程组无解；C、若方程组有解，则有无穷多解；D、方程组有唯一解 .答案： C11.设A,B是n阶方阵，则必有（）A、|A+B-1|=|A|+|B|-1B、|A+B|-1=B-1+A-1C、(AB)2=A2B2D、|A'B|=|BA|答案： D12.实二次型f=X'AX为正定二次型的充要条件是（）A、f的负惯性指数是0B、存在正交阵P使A=P'PC、存在可逆阵T使A=T'TD、存在矩阵B使A=B'B答案： C13.A、B、C、D、答案： D14.设 A 为 4 阶矩阵，且 | A |=2 ，则 | 2 A -1 |=（）A、4B、16C、1D、8答案： D15.设A是m*n阶矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（）A、若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解B、若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解C、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解D、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解答案： D16.若排列6 i 4 3 j 1为奇排列，则（）。

空间解析几何习题课选讲(练习题参考答案)

练习题选参考答案1．两非零向量→a 、→b 垂直，则有0=⋅→→b a 或0Pr =→→a j b；平行则有0=⨯→→b a 或→→=ba λ或两向量对应坐标成比例。

2．若→→→→++=k j i a 863，2=→b ，则与→a ，x 轴均垂直的向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=→56580 ，，b 。

3．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+4)2(4)2(2222y x z x 在yoz 面上的投影曲线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-±=+±044422x y z ，投影柱面方程为：44422+-±=+±y z 。

4．xoz 面上的曲线19422=-z x 分别绕x 轴和z 轴旋转所成旋转曲面方程为：1994222=--z y x ，1944222=-+z y x 。

5．已知{}4,0,3-=→a ，{}14,2,5--=→b ，则两向量所成夹角的角平分线上的单位向量为0000a bc a b →→→→→+⎧==-⎨⎩+。

6．以点A )0,0,2(，B )0,3,0(，C )6,0,0(，D )8,3,2(为顶点的四面体的体积V=14830602032)61=--=⋅⨯→→→AD AC AB （。

二计算1．求点P )2,6,3(-关于直线L:⎩⎨⎧=+--=-+042201z y x z y 的对称点坐标。

解：直线L 的方向向量k j i kj i n n s 2212211021-+=--=⨯=→→→，取直线上的定点），，011(-，将其化为参数式：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=t z t y t x 2211 过点P 与直线L 垂直的平面为：0)2(2)6(2)3(=+--+-z y x ，01922=--+z y x ，将直线的参数式代入垂面方程有2=t ，从而点P 在直线L 上的投影坐标（直线与垂面的交点）为），，451(-，设点P 关于直线L 的对称点坐标为)z y x ，，（，则有：422526123-=+-=+=+zy x ，，，解之:641-==-=z y x ，， 2．设直线L 过点M )1,3,2(-且其与y 轴相交，与直线01121:1zy x L =-=+垂直，求该直线方程。

空间解析几何习题答案解析(可编辑修改word版)

(- 2 y - 5z )2+ (z + 2x )2+ (5x - y )2x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 12 + 52 + (- 2)2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 3010 5 ⎪一、计算题与证明题1．已知| a |= 1, | b |= 4 ,| c |= 5 , 并且 a + b + c = 0 ．计算 a ⨯ b + b ⨯ c + c ⨯ a ．解：因为| a |= 1, | b |= 4 , | c |= 5 , 并且 a + b + c = 0 所以 a 与b 同向，且 a + b 与c反向因此 a ⨯ b = 0 ， b ⨯ c = 0 ， c ⨯ a = 0 所以 a ⨯ b + b ⨯ c + c ⨯ a = 02．已知| a ⋅ b |= 3 , | a ⨯ b |= 4 , 求| a | ⋅ | b |．解： | a ⋅ b |= a ⋅ b cos= 3（1）| a ⨯ b |= a ⋅ b sin = 4(1)2 + (2)2 得(a ⋅ b )2= 25（2）所以a ⋅b = 54．已知向量 x 与 a (,1,5,-2) 共线, 且满足a ⋅ x= 3 , 求向量 x 的坐标．解：设 x 的坐标为(x , y , z )，又 a = (1,5,-2) 则 a ⋅ x = x + 5 y - 2z = 3 又 x 与 a 共线，则 x ⨯ a = 0即（1）i j kx yz = y 1 5 - 2 5 z i - x - 2 1 y j + x y k- 2 1 5= (- 2 y - 5z )i + (z + 2x ) j + (5x - y )k = 0所以 = 0即29x 2 + 5 y 2 + 26z 2 + 20 yz + 4xz - 10xy = 0 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为0 或（2）cos 0 = 1 =x ⋅ a=3整理得x 2 + y 2 + z 2 = 310（3）联立(1)、(2)、(3) 解出向量 x 的坐标为⎛ 1 ⎝ , 1, 2 - 1 ⎫ ⎭a ⋅b a ⋅ b x 2 + y 2 + z 2 12 + 12 + 02 ⎩- ⎪ ⎪⎪6．已知点 A (3,8,7) , B (-1,2,-3) 求线段 AB 的中垂面的方程．解：因为 A (3,8,7) , B (-1,2,-3)AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M (x , y , z ) ，则由 MA ==MB 得化简得2x + 3y + 5z - 27 = 0这就是线段 AB 的中垂面的方程。

空间解析几何课后习题答案

30平面曲线弧长(1) 曲线：()x f y = b x a ≤≤ ()dx x f 1s b a 2⎰+= (2) ()()⎩⎨⎧==t y y t x x βα≤≤t ()()dt t y t x s 22⎰+'=βα(3) ()θr r = βθα≤≤ ()()θθθβαd r r s 22⎰'+=例求下类平面曲线的弧长 1. 曲线()2x 1ln y -=相应于21x 0≤≤的一段 2. 心形线()θcos 1a r +=的全长 ()0a > 3.摆线⎩⎨⎧-=-=t sin t y tcos 1x π2t 0≤≤的一拱解：1. 2x1x 2y --=' 222x 1x 1y 1-+='+dx x1x 1s 2122⎰-+=dx x 11x 111210⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-=21x 1x1ln21-++-= 3ln 21+-=2. ()θθsin a r -='()()θθθθθθd sin a cos a cos a 2a r r 22222222+++='+ 2cos a 2cos 1a 2θθ=+=⎰=πθθ20d 2cos a 2S⎰⎰-=πππθθθθ20d 2cos d 2cos a 2 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=πππθθ202sin22sin 2a 2a 8=4.()()()()dt t cos 1t sin dt t y t x S 20222022⎰⎰-+='+'=ππ⎰=π20dt 2t sin2 ⎰=π20dt 2t sin2 π202t cos 4⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8=40向变力沿直线作功,液体的水压力 P137空间解析几何10向量及其线性运算 P149—P152 向量的坐标表达式及其运算 P153—P15420向量的数量积的向量积{}z y x z y x a ,a ,a k a j a i a a =++=(1)向量积 {}z y x z y x b ,b ,b k b j b i b b b ,a cos b a b a =++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅∧()()2z 2y 2x baa a a a ab ba ++===性质：P155z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅应用：（i ） b a b a arccos b a ⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∧ （ii ） 2a a a a=⋅=（iii ）0b a b a =⋅↔⊥例1、习题4，1选择题（1）（2）（3） 2 填空题（3）（4）（5）例2、设192b 3a 2则,3πb a 2,b 5,a =-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==∧解：()()76b 9b a 2a 4b 3a 2b 3a 2b 3a 2222=+⋅-=-⋅-=-∴ 192b 3a 2=-(2)向量积c b a =⨯()∧=⨯=b ,a sin b a b a c ,b b a ,a b a b c ,a c ⊥⨯⊥⨯⊥⊥即右手定则即()()0b b a 0,a b a =⋅⨯=⋅⨯性质P155 注意a b b a⨯-=⨯zy xz y xb b b a a a k j i b a=⨯应用（i）S ABC Δ=（ii ）0b a b //a =⨯↔（iii ）如()b a //c 则,c b ,c a⨯⊥⊥即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。

空间解析几何习题答案

空间解析几何习题答案一、计算题与证明题1．已知|a|?1, |b|?4, |c|?5, 并且a?b?c?0．计算a?b?b?c?c?a．解：因为|a|?1, |b|?4, |c|?5, 并且a?b?c?0 所以a与b同向，且a?b与c反向因此a?b?0，b?c?0，c?a?0 所以a?b?b?c?c?a?0 2．已知|a?b|?3, |a?b|?4, 求|a|?|b|．解：|a?b|?a?bcos??3|a?b|?a?bsin??4 2(1)2??2?得?a?b??25 2所以a?b?5 4．已知向量x与a(,1,5,?2)共线, 且满足a?x?3, 求向量x的坐标．解：设x的坐标为?x,y,z?，又a??1,5,?2? 则a?x?x?5y?2z?3又x与a共线，则x?a?0 即??yzxyxyxyz?i?j?k5?21?215 15?2???2y?5z?i??z?2x?j??5x?y?k?0所以ijk??2y?5z?2??z?2x?2??5x?y?2222?0即29x?5y?26z?20yz?4xz?10xy?0又x与a共线，x与a夹角为0或?cos0?1?x?ax?y?z?1?5???2?222222222?3x ?y?z?30222 整理得x?y?z?3 10?2?、?3?解出向量x的坐标为?联立?1?、?111?,,?? 1025??6．已知点A(3,8,7), B(?1,2,?3)求线段AB的中垂面的方程．解：因为A?3,8,7?,B(?1,2,?3) AB中垂面上的点到A、B的距离相等，设动点坐标为M?x,y,z?，则MA?MB 得?x?3?2??y?8?2??z?7?2化简得2x?3y?5z?27?0 ??x?1?2??y?2?2??z? 3?2 这就是线段AB的中垂面的方程。

7．向量a, b, c具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a, b的坐标分别为(1,1,0)和(0,1,1), 求向量c的坐标．解：a?b?c?r且它们两两所成的角相等，设为? 则有a?b?1?0?1?1?0?1?1 则cos??a?b1?2 a?br设向量c的坐标为?x,y,z? 则a?c?1?x?1?y?0?z?x?y?a?bcos??r?r?1?1r2b?c?0?x?1?y?1?z?y?z?b?ccos??r?r?1?1r2c?x2?y2?z2?r?12?12?02?2 所以x?y?z?22221?x???3x?1??4??联立、、(3)求出?y?0或?y? 3?z?1??1?z???3?所以向量c 的坐标为?1,0,1?或??,,?? 8．已知点A(3,6,1), B(2,?4,1), C(0,?2,3), D(?2,0,?3)，(1) 求以AB, AC, AD为邻边组成的平行六面体的体积．(2) 求三棱锥A?BCD的体积．?14?331?3?(3) 求?BCD的面积．(4) 求点A到平面BCD的距离．解：因为A?3，0，1?，B?2,?4,1?,C?0,?2,3?,D??2,0,?3? 所以AB???1,?10,0? AC???3,?8,2? AD???5,?6,?4? AB,AC,AD是以它们为邻边的平行六面体的体积???1?10V??3?5?8?602??3?100?0 ??0?120?12??176 ?4立体几何中知道，四面体ABCD的体积1188VT?V??176? 663因为BC???2，2，2?，BD???4，4，?4? i BC?BD??2jk22??16i?16j?0k ?44?4 所以BC?BD?因此S?BCD???16?2???16?2?162，这是平行四边形BCED的面积11S□BCED??162?82 22(4)设点A到平面BCD的距离为H，立体几何使得三棱锥A?BCD的体积1VT?S?BCD?H 3所以H?3VTS?BCD883?11?112 ?28223?1．求经过点A(3,2,1)和B(?1,2,?3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程．解：与xoy 平面垂直的平面平行于y轴，方程为Ax?Cz?D?0(1) 把点A?3，2，1?和点B??1，2，?3?代入上式得3A?C?D?0(2) ?A?3C?D?0(3) DD，得A??,C? 22DDz?D?0代入得?x?22消去D得所求的平面方程为x?2?z?0 xyz??1距离相等的点的轨迹方程．2．求到两平面?:3x?y?2z?6?0和?:?2?51解；设动点为M?x,y,z?，点到平面的距离公式得3z?y?2z?63???1??2222??5x?2y?10z?10?? 5?2?2???10?22 所以3x?y?2z?6??14129??5x?2y?10z?10?3．已知原点到平面?的距离为120, 且?在三个坐标轴上的截距之比为?2:6:5, 求?的方程．解：设截距的比例系数为k，则该平面的截距式方程为xyz???1 ?2k6k5k 化成一般式为?15x?5y?6z?30k?0 又因点O?0,0,0?到平面?的距离为120，则有?30k??15?求出k??4286 2?5?622?120 所以，所求平面方程为?15x?5y?6z?120286?0 5．已知两平面?:mx?7y?6z?24?0与平面?:2x?3my?11z?19?0相互垂直，求m的值．解：两平面的法矢分别为n1??m,?1,?6?，n2??2,?3m,11?，n1⊥n2，得2m?21m?66?0 求出m??66 196．已知四点A(0,0,0), B(,2,?5,3), C(0,1,?2), D(2,0,7), 求三棱锥D?ABC中ABC。

(完整版)空间解析几何与向量代数习题与答案.doc

第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量 a (6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M 1 (4, 2 ,1)和M 2(3,0,2) ，计算向量M1M2 的模，方向余弦和方向角.3、设m 3i 5j 8k ,n 2i 4j 7k , p 5i j 4k ，求向量 a 4m 3n p 在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量.二、1、设a3i j 2k ,b i 2j k ，求(1) a b及 a b；(2)( 2a) 3b及 a 2b (3) a、b的.夹角的余弦(3,1,3) ，求与 M1M 2,M 2 M 3 同时垂直的单位向量.2、知M 1(1, 1,2), M 2 (3,3,1), M3.3、设a (3,5, 2), b ( 2,1,4) ，问与满足 _________时， a b z轴三、1、以点(1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.3、1) 将xOy 坐标面上的y2 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________ ，曲面名称为___________________.2) 将xOy 坐标面上的x2 y 2 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为___________________.3) 将xOy 坐标面上的4x2 9 y 2 36 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中y x2 表示 ____________ 图形。

在空间解析几何中y x 2表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面(1) z2 4( x2 y 2 )(2) z 4( x2 y 2 )四、x 2 y 21在平面解析几何中表示1、指出方程组4 9 ____________图形，在空间解y 3析几何中表示 ______________图形 .2、求球面 x 2y 2z 29 与平面x 的交线在 xOy 面上的投影方程 .z 13、求上半球 0za 2x 2 y 2 与圆柱体 x 2 y 2 ax (a 0) 的公共部分在xOy 面及 xOz 面上的投影 . 五、1、求过点 (3,0,-1) 且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程 .2、求过点 (1,1,-1)，且平行于向量 a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0) 的平面方程 .3、求平行于 xOz 面且过点 (2,-5,3) 的平面方程 .4、求平行于 x 轴且过两点 (4,0,-2) 和(5,1,7) 的平面方程 .六、1、求过点 (1,2,3)且平行于直线xy 3 z 1的直线方程 .21 52、求过点 (0,2,4)且与两平面 x2z 1 , y 3z 2 平行的直线方程 .3、求过点 (2,0,-3) 且与直线4、求过点 (3,1,-2)且通过直线x2 y 4z 7 03x 5 y 2z 1 垂直的平面方程 .x 4 y 3 z的平面方程 .521x y 3z 0 y z 1 0 的夹角 .5、求直线y z与平面 xx 06、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系1) 直线2) 直线x 2y y z 7 与直线 x 1y 3 z ;2x z 7 2 1 1x2 y 2 z 3和平面 x+y+z=3.3 14 7、求点 (3,-1,2)x y z 1 0 的距离 .到直线2x y z 4B1、已知 a b c 0 （ a, b, c 为非零矢量），试证 : a b b c c a .2、 a b3, a b {1,1,1}, 求 (a, b) .3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模| a tb |最小？并证明此时 b (a tb) .4、求单位向量，使n a 且 n x 轴，其中 a (3,6,8) .5、求过轴，且与平面 2xy5z 0 的夹角为的平面方程 .36、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 (3,5, 1) ，且垂直于 6x 2y 3z 7 0的平面 .7、求过直线x 2y z 1 0x y z平行的平面 .2x y z 2 ，且与直线：1 128、求在平面 : xy z 1上，且与直线 y 1L ：垂直相交的直线方程 .z19、设质量为 100kg 的物体从空间点 M 1 (3,1,8) ，移动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为） .10、求曲线y 2 z 2 2x在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲z 3 线？11、已知 OA i 3k , OB j 3k ，求 OAB 的面积12、 . 求直线2x 4 y z 0y z 1上的投影直线方程 .3x y 2z 9在平面 4xC1、设向量 a, b, c 有相同起点 , 且 a bc 0 ，其中0 ， , ,不全为零 ,证明 : a, b,c 终点共线 .2、求过点 M 0 (1,2, 1) ，且与直线：x2 y 12相交成角的直线方程 .2 1 1 33、过 ( 1,0,4) 且平行于平面 3x 4 yz 10 0 又与直线x 1y 3z相交的直线方112程 .4、求两直线：x1 y z与直线：xyz 2的最短距离 .0 1163 05、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量 g {1,1,1} ，求此柱面方程 .6、设向量 a,b 非零， b2, (a,b)，求 lima xbax.3xx 2 y 7、求直线 L :z1( y 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程 .2第七章空间解析几何与向量代数习题答案A一、 1、6,7,611 11 112、M 1M 2=2, cos1, cos2,cos1 ,2 ,3 ,3222343、在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分量为 7j 二、 1、 1） a b 3 1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 3ij k a b 3125ij 7k1 21（ 2） ( 2a) 3b6(a b) 18 ， a 2b2( ab) 10i2 j 14k^ a b 3（ 3） cos(a, b)a b2 212、 M 1M 2{ 2,4, 1}, M 2M 3{ 0, 2,2}i j ka M 1M 2M 2M 3 2 41 6i 4 j 4k0 2 2a 6, 4, 4a{17 17 }2 2 2 17即为所求单位向量。

初中数学解空间几何练习题及答案

初中数学解空间几何练习题及答案解析题一：立体与空间几何关系已知ABCD为矩形，AE=EF，EF与CF垂直，且垂足分别为E和F，求证AE⊥CD。

解答：思路：观察题目中给出的条件，矩形ABCD和AEF之间存在着一些特殊的几何关系，我们可以根据这些关系来推导出AE⊥CD。

解法步骤：1. 连接AC和BD，由于ABCD为矩形，所以AC与BD相互垂直，且交点为O。

2. 连接EF，假设交点为H。

3. 由条件可知，EF与CF垂直，并且垂足分别为E和F，所以EH与CF垂直，且交点为G。

4. 由矩形的性质可知，AG与BC垂直。

5. 由直角三角形AGC和AHE可知，AG⊥AC，而AH⊥AC，所以AG与AH重合，即AG和AH重合，即G和H重合。

6. 设G和H重合后的点为P。

7. 由于P点为EF的垂足，所以PE⊥EF。

8. 由于P点是G和H重合后的点，即G和H重合，所以PG=GK，其中K为CD的中点。

9. 由于矩形的性质可知，AE与DK垂直。

10. 综上所述，根据步骤9，可得AE⊥CD。

解析题二：平面和空间几何关系已知P、Q、R、S为平面uvw的四个点，其中PQ⊥RS，且PR和PS的距离相等，求证QR⊥SR。

解答：思路：通过观察题目中给出的条件，我们可以利用平面几何中的性质来推导QR⊥SR的结论。

解法步骤：1. 连接PS和QR，分别交于点A。

2. 连接PR和QS，分别交于点B。

3. 由题意可知，PQ⊥RS，所以AP⊥PS，BS⊥PR。

从而可得，AP 和BS是平行线。

4. 因为AP和BS是平行线，所以APBS构成平行四边形。

5. 由平行四边形的性质可知，QR和AS平行，并且QR的长度等于AS的长度。

6. 由步骤5可知，QR和AS平行，同时QR和PS垂直。

7. 根据垂直平面的性质可知，QR⊥SR。

综上所述，根据以上步骤，可以得出QR⊥SR的结论。

答案：解析题一答案：根据推导过程，我们可以得出结论：AE⊥CD。

解析题二答案：根据推导过程，我们可以得出结论：QR⊥SR。

空间解析几何(练习题参考答案)

1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程．39．02=+-z y3．在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等．7．)51,1,57(．5．已知：→→-AB prj D C B A CD，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （）A ．4B ．1C ．21D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（）A ．平行于x 轴B ．平行于y 轴C ．平行于z 轴D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线37423zy x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（）A ．5B ．61 C ．51 D ．81 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ．3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直．4．设++=2，22+-=，243+-=，则)(b a p r j c += ．4．过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：44222=++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．3．34-=m ； 4．2919 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线1422=+z y 绕z 轴旋转而成．1．设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=，则=⨯⨯)(（） A ．8 B ．10 C ．{}1,1,0-- D ．{}21,1,23．若==-+=，则14//236（） A ．)4612(-+± B ．)612(+± C ．)412(-± D ．)46(-± 4．若ϕ与，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （） A ．6π B ．2π C ．3π D ．4π6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角（） A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π 8．设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线，则M O 到l 的距离为（）A ．223 B ．553 C ．453 D ．229．直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x （） A ．30o B ．60o C ．90oD ．65arcsin1．D 3．A 4．C 6．C 8．A 9．D7．求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点． 3．确定k 值，使三个平面：328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线．5．求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积．7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________． 9．曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为________________．10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z yx z 在y z 面上的投影方程______________．1．设32+-=，+=2，++-=，则与+是否平行__________．1．不平行7．33222±=++z y x ； 8．25102-=-z x ；9．双叶双曲面； 10．⎩⎨⎧==+--++02342222x z y z yz y练习题选参考答案1．两非零向量→a 、→b 垂直，则有0=⋅→→b a 或0Pr =→→a j b；平行则有0=⨯→→b a 或→→=b a λ或两向量对应坐标成比例。

空间解析几何答案

空间解析几何复习题（答案）1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅．解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a3．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 4．向量a , b , c 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．解：r c b a ===且它们两两所成的角相等，设为θ 则有1101101=⨯+⨯+⨯=⋅b a 则21cos rb a b a =⋅⋅=θ 设向量c 的坐标为()z y x ,,则11cos 0112=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅rr r b a y x z y x c a ϑ （1） 11cos 1102=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅r r r c b z y z y x c b ϑ （2） 2011222222=++==++=r z y x c所以2222=++z y x （3）联立（1）、（2）、(3)求出⎪⎩⎪⎨⎧===101z y x 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=313431z y x所以向量c 的坐标为()1,0,1或⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,34,315．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ， (1)求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥BCD A -的体积． (3) 求BCD ∆的面积．(4) 求点A 到平面BCD 的距离．解：因为()103，，A ，()1,4,2-B ,()3,2,0-C ,()3,0,2--D 所以()0,10,1--=()2,8,3--=AC()4,6,5---=（1）(),,是以它们为邻边的平行六面体的体积()17612120001003465283101=+--++---------=V （2）由立体几何中知道，四面体ABCD （三棱锥BCD A -）的体积3881766161=⨯==V V T（3）因为()222，，-=，()444--=，，k j i kj iBD BC 01616444222+--=---=⨯()()216161622=-+-=，这是平行四边形BCED 的面积因此S S BCD 21=∆□BCED 2821621=⨯= (4)设点A 到平面BCD 的距离为H ，由立体几何使得三棱锥BCD A -的体积H S V BCD T ⋅=∆31所以22112112838833==⋅==∆BCDT S V H 6．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程．解：与xoy 平面垂直的平面平行于y 轴，方程为0=++D Cz Ax (1)把点()123，，A 和点()321--，，B 代入上式得03=++D C A (2)03=+--D C A (3)由（2），（3）得2D A -=,2DC =代入（1）得022=++-D z Dx D 消去D 得所求的平面方程为02=--z x7．求到两平面0623:=-+-z y x α和1152:=+-+z y x β距离相等的点的轨迹方程．解；设动点为()z y x M ,,，由点到平面的距离公式得()()()2222221025101025213623-++-+-+-=+-+-+-z y x z y z所以()10102512914623+-+-±=-+-z y x z y x8．已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α 的方程．解：设截距的比例系数为k ，则该平面的截距式方程为1562=++-kz k y k x 化成一般式为0306515=-++-k z y x 又因点()0,0,0O 到平面α的距离为120，则有()120651530222=++--k求出2864±=k所以，所求平面方程为028********=±++-z y x9．若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程．解：依题意，设平面的法矢为()2,5,4-=n 代入平面的点法式方程为()()()0125524=----+z y x整理得所求平面方程为035254=+--z y x10．已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直，求m 的值．解：两平面的法矢分别为()6,1,1--=m n ，()11,3,22m n -=，由1n ⊥2n ，得066212=--m m求出1966-=m 11．已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC面上的高．解：已知四点()()()()7,0,2,2,1,0,3,5,2,0,0,0D C B A --,则()()()9,1,2,4,5,0,7,0,2--=--=--=DC DB DA为邻边构成的平行六面体的体积为()912450702,,-------==V()[]80700090++--++-=()87090-+-=28=由立体几何可知，三棱锥ABC D -的体积为314286161=⨯==-V V ABC D设D 到平面ABC 的高为H则有 ABC ABC D S H V ∆-⋅=31所以 ABCABCD S V H ∆-=3又()()2,1,0,3,5,2-==k j i kj i 24721352++=--=⨯所以，692124721222=++==∆S ABC 因此，696928692869213143==⨯=H 12．已知点A 在z 轴上且到平面014724:=+--z y x α的距离为7, 求点A 的坐标．解：A 在z 轴上，故设A 的坐标为()200，，，由点到平面的距离公式，得()()7724147222=-+-++-z所以69147±=+-z 则692±=z那么A 点的坐标为()692,0,0±A13．已知点．A 在z 轴上且到点)1,2,0(-B 与到平面9326:=+-z y x α的距离相等, 求点A 的坐标。

空间解析几何练习2答案

空间解析几何练习2解答1. 求过点M 0(2, 9, -6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解所求平面的法线向量为n =(2, 9, -6), 所求平面的方程为2(x -2)+9(y -9)-6(z -6)=0, 即2x +9y -6z -121=0.2. 求点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离.解点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离为1221|1012221|222=++-⨯+⨯+=d . 3. 求过点(2, 0, -3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程. 解所求平面的法线向量n 可取为直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 的方向向量, 即 k j i k j i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=. 所平面的方程为-16(x -2)+14(y -0)+11(z +3)=0, 即16x -14y -11z -65=0.4. 证明直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 平行. 解直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 的方向向量分别为 k j i k j i s 531121211++=--=, k j i k j i s 15391123632---=---=. 因为s 2=-3s 1, 所以这两个直线是平行的.5. 设M 0是直线L 外一点, M 是直线L 上任意一点, 且直线的方向向量为s , 试证: 点M 0到直线L 的距离→||||0s s ⨯=M M d . 解设点M 0到直线L 的距离为d , L 的方向向量→MN =s , 根据向量积的几何意义, 以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为 →→→||||00s ⨯=⨯M M MN M M ,又以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为→||||s ⋅=⋅d MN d . 因此→||||0s s ⨯=⋅M M d , →||||0s s ⨯=M M d . 6. 已知动点M (x ,y ,z )到xOy 平面的距离与点M 到点(1, -1, 2)的距离相等, 求点M 的轨迹方程. 解根据题意, 有222)2()1()1(||-+++-=z y x z ,或 z 2=(x -1)2+(y +1)2+(z -2)2,化简得(x -1)2+(y +1)2=4(z -1),这就是点M 的轨迹方程.7. 已知点A (1, 0, 0)及点B (0, 2, 1), 试在z 轴上求一点C , 使∆ABC 的面积最小.解设所求的点为C (0, 0, z ), 则→) ,0 ,1(z AC -=, →)1 ,2 ,0(--=z BC .因为 →→k j i k j i 2)1(212001+-+=---=⨯z z z z BC AC , 所以∆ABC 的面积为→→4)1(421||2122+-+=⨯=z z BC AC S . 令04)1(4)1(284122=+-+-+⋅=z z z z dz dS , 得51=z , 所求点为)51 ,0 ,0(C . 设|a |=4, |b |=3, 6) ,(^π=b a , 求以a +2b 和a -3b 为边的平行四边形的面积. 解 (a +2b )⨯(a -3b )=-3a ⨯b +2b ⨯a =5b ⨯a .以a +2b 和a -3b 为边的平行四边形的面积为3021435) ,sin(||||5||5|)3()2(|^=⋅⋅⋅=⋅=⨯=-⨯+b a a b a b b a b a。