数控系统插补原理2
实验二 二维插补原理及实现实验
实验二 二维插补原理及实现实验2.1 实验目的掌握逐点比较法、数字积分法等常见直线插补、圆弧插补原理和实现方法；通过利用运动控制器的基本控制指令实现直线插补和圆弧插补，掌握基本数控插补算法的软件实现。
2.2 实验原理直线插补和圆弧插补的计算原理。
数控系统加工的零件轮廓或运动轨迹一般由直线、圆弧组成，对于一些非圆曲线轮廓则用直线或圆弧去逼近。
插补计算就是数控系统根据输入的基本数据，通过计算，将工件的轮廓或运动轨迹描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给指令。
数控系统常用的插补计算方法有：逐点比较法，数字积分法，时间分割法，样条插补法等。
2.2.1 逐点比较法直线插补逐点比较法是使用阶梯折线来逼近被插补直线或圆弧轮廓的方法，一般是按偏差判别、进给控制、偏差计算和终点判别四个节拍来实现一次插补过程。
以第一象限为例，取直线起点为坐标原点，如右图所示，m为动点，有下面关系：取F m = Y m X e − X m Y e 作为偏差判别式：若 F m=0，表明m 点在OA 直线上；若 F m>0，表明m 点在OA 直线上方的m′处；若 F m<0，表明m 点在OA 直线下方的m″处。
从坐标原点出发，当F m≧0 时，沿＋X 方向走一步，当F m<0，沿＋Y 方向走一步，当两方向所走的步数与终点坐标（X e,Y e）相等时，停止插补。
当F m≧0 时，沿＋X 方向走一步，则X m+1=X m＋1, Y m+1=Y m新的偏差为：F m+1=Y m+1X e- X m+1Y e=Y m X e-(X m＋1)Y e=F m-Y e当F m<0 时，沿＋Y 方向走一步，则X m+1=X m, Y m+1=Y m＋1新的偏差为：F m+1 =Y m+1X e- X m+1Y e=(Y m＋1)X e-X m Y e=F m＋X e其它三个象限的计算方法，可以用相同的原理获得，下表为四个象限插补时，其偏差计算公式和进给脉冲方向，计算时，X e,Y e 均为绝对值。
数控技术课件5-现代数控轨迹插补原理与控制的方法2
●
●
Pi+1
刀具运动轨迹
●
●
●
●
O Y
a）光滑轨迹
b）非光滑轨迹
图 3-17 轨迹前瞻控制示意图
◎数控系统按允许进给速度的大小，以最大加速度和加速度变化率
在P i
点之前的
ps 点开始减速，使达到时,速度正好满足允许速度
要求，并在走过P 点后逐步加速，使恢复正常。
i
◎实现轨迹前瞻控制需解决：
一是减速特征识别，二是进给速度处理两个问题。
f(t)
f(t) fn
fn
O
tn
td
t
图3-15 自动加速曲线
O
tn
td
t
图3-16 自动减速曲线
3 柔性自动减速控制
设给定的减速曲线如图3-16所示，如同加速度控制一样将其作为 样板，以数表的形式存放于加减速曲线库中。根据减速曲线数表实现 自动减速控制的过程如下：
首先，根据减速开始前的进给速度F1，减速过程结束后的希望进 给速度F2，求出减速过程速度差 FD= F1 -F2。
插补前加减速控制拐角制动减速控制前馈控制前瞻控制速度加速度钳制伺服滞后控制加减速的实现加速时采用瞬时速度概念速度由零或初始速度开始v由瞬时速度参加插补瞬时速度逐渐增加瞬时速度与给定的匀速进行比较到达给定速度时以给定速度参加插补减速时要预测减速点速度由已有速度开始v提高速度不冲击的措施减小摩擦滚动静压气浮代替滑动提高伺服电机的转矩及性能匹配电机惯量郁负载惯量的关系减小运动部件负载惯量缩短传动链零传动采用电主轴直线电机力矩电机提高机床刚度和润滑特性柔性加减速保证机床运动平稳反应快跟踪精度高实现以过渡过程时间最少为目标的最优加减速控制使机床满足高速加工要求的优良加减速特性已成为现代数控系统研究开发中必须解决的关键问题之一
数控机床插补原理
对圆弧，提供起点、终点、顺圆或逆圆、以及圆心相对于起点的位置。为满
足零件几何尺寸精度要求，必须在刀具(或工件)运动过程中实时计算出满足 线形和进给速度要求的若干中间点(在起点和终点之间)，这就是数控技术中
插补(Interpolation)的概念。据此可知，插补就是根据给定进给速度和给定
轮廓线形的要求，在轮廓已知点之间，确定一些中间点的方法，这种方法称 为插补方法或插补原理。
Xm+1＝Xm+1, Ym+1＝Ym
新的偏差为
Fm+1＝Ym+1Xe－Xm+1Ye＝Fm－Ye
若Fm＜0时，为了逼近给定轨迹，应向＋Y方向进给一步，走一步后新的坐标值为
Xm+1＝Xm, Ym+1＝Ym ＋1
新的偏差为
Fm+1＝Fm＋Xe
4. 终点判别法
逐点比较法的终点判断有多种方法，下面主要介绍两种：
直到∑为零时，就到了终点。
2.2
不同象限的直线插补计算
上面讨论的为第一象限的直线插补计算方法，其它三个象
限的直线插补计算法，可以用相同的原理获得，表5-1列出了
四个象限的直线插补时的偏差计算公式和进给脉冲方向，计 算时，公式中Xe，Ye均用绝对值。
表1-1 四个象限的直线插补计算
第三章 数控插补原理
解：插补完这段直线刀具沿Ｘ和Ｙ轴应走的总步数为 = x e + y e ＝5 + 3＝8。 Y 刀具的运动轨迹如图 E(5，3) 3
2 1 O 1 2 3 4 5 X
第二节 基准脉冲插补
插补运算过程见表：
循环序号 偏差判别 F ≥0 坐标进给 +X 偏差计算 Fi+1=Fi-ye
教案 3
终点判别
m
Y
m(Xm,Ym) B(XB,YB)
+Y2
2 m-R
若Fm=0，表示动点在圆弧上；
若Fm>0，表示动点在圆弧外； 若Fm<0，表示动点在圆弧内。
Rm
R A(XA,YA)
第Ⅰ象限逆圆弧
X
第二节 基准脉冲插补
2）坐标进给
教案 3
与直线插补同理，坐标进给应使加工点逼近给定圆弧,规定如下： 当Fm≥0时，向-X方向进给一步； 当Fm＜0时，向+Y方向进给一步。
教案 3
若Fi=0，表示动点在直线OE上，如P； 若Fi>0，表示动点在直线OE上方，如P′； 若Fi<0，表示动点在直线OE下方，如P″。
O
xi 第Ι象限直线
X
第二节 基准脉冲插补
2）坐标进给
教案 3
坐标进给应逼近给定直线方向，使偏差缩小的方向进给一步，由插补装 置发出一个进给脉冲控制向某一方向进给。
教案 3
直线线型 进给方向 偏差计算 直线线型
L1、L4 L2、L3 +X -X Fi+1=Fi-ye L1、L2 L3、L4
偏差计算
Fi+1=Fi+xe
注：表中L1、L2、L3、L4分别表示第Ⅰ、第Ⅱ、 第Ⅲ、第Ⅳ象限直线，偏差计算式中xe、ye均代 入坐标绝对值。
数控机床插补原理
X轴实际位置 X轴位置
比较
X坐标轴的位置增量/本周期
插 补 程 序
X轴位置 跟踪误差
Y坐标轴的位置增量/本周期
Y轴位置
采样反馈
比较
Y轴位置 跟踪误差
Y轴实际位置
伺 服 位 置 控 制 软 件
X轴 速度
X 驱 动 Y 驱 动
Y轴 速度
2插补的分类
2.4数据采样插补算法分类
1、直接函数法
数 据 采 样 插 补 算 法
Σ =5
Σ =4 Σ =3
6
7 8
F5<0
F6>0 F7<0
+y
-x -x
F6=F5+2y5+1=4
F7=F6-2x6+1=1 F8=F7-2x7+1=0
x6=4, y6=0
x7=4, y7=0 x8=4, y8=0
Σ =2
Σ =1 Σ =0
四、总结
插补原理，就是根据加工要求，确定出起 点和终点坐标之间的中间点，进而控制刀具 沿规定的轨迹运动，以加工出规定的轮廓的 方法。
X i 1 X i 1 2 2 2 Fi 1 ( X i 1) Yi R Fi 2 X i 1
3.3.4终点判别
双向计数：Σ=|Xb-Xa|+|Yb-Ya|，Σ=0停止 单向计数：Σ=max{|Xb-Xa|,|Yb-Ya|},Σ=0停止 分别计数：Σ1=|Xb-Xa|,Σ2=|Yb-Ya|，Σ1&Σ2=0停止
y
4 2 2 3
E(4,2)
o
1 1
x
2.投影法（单向计数） 取X方向和Y方向最多的步数作为计 数长度，此方向每走一步减一，直 到减为0停止。 Σ=max{|Xe|,|Ye|} Σ=0插补停止
数控加工中两种插补原理及对应算法
数控加工中两种插补原理及对应算法数控机床上进行加工的各种工件，大部分由直线和圆弧构成。
因此，大多数数控装置都具有直线和圆弧的插补功能。
对于非圆弧曲线轮廓轨迹，可以用微小的直线段或圆弧段来拟合。
插补的任务就是要按照进给速度的要求，在轮廓起点和终点之间计算出若干中间控制点的坐标值。
由于每个中间点计算的时间直接影响数控装置的控制速度，而插补中间点的计算精度又影响整个数控系统的精度，所以插补算法对整个数控系统的性能至关重要，也就是说数控装置控制软件的核心是插补。
插补的方法和原理很多，根据数控系统输出到伺服驱动装置的信号的不同，插补方法可归纳为脉冲增量插补和数据采样插补两种类型。
一、脉冲增量插补这类插补算法是以脉冲形式输出，每次插补运算一次，最多给每一轴一个进给脉冲。
把每次插补运算产生的指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动。
一个脉冲产生的进给轴移动量叫脉冲当量，用δ表示。
脉冲当量是脉冲分配计算的基本单位，根据加工的精度选择，普通机床取δ＝0.01mm，较为精密的机床取δ＝1μm或0.1μm。
插补误差不得大于一个脉冲当量。
这种方法控制精度和进给速度低，主要运用于以步进电动机为驱动装置的开环控制系统中。
二、数据采样插补数据采样插补又称时间标量插补或数字增量插补。
这类插补算法的特点是数控装置产生的不是单个脉冲，而是数字量。
插补运算分两步完成。
第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来拟合给定曲线，每一微小直线段的长度△L都相等，且与给定进给速度有关。
粗插补时每一微小直线段的长度△L与进给速度F和插补T周期有关，即△L＝FT。
数控原理与系统——插补和刀补计算原理
一、逐点比较法直线插补 y
2. 算法分析（第Ⅰ 象限）
偏差判别
直线上 直线上方
y j ye xi xe
y j ye xi xe
xe y j xi ye 0
o
xe y j xi ye 0
A(xe,ye) F>0 P(xi,yj) F<0
x
直线下方 y j ye
xi xe
xe y j xi ye 0
一、逐点比较法直线插补
2. 算法分析（第Ⅰ 象限）
终点比较
用Xe+Ye作为计数器，每走一步对计数器进行减1计算， 直到计数器为零为止。
总结
Fij xe y j xi ye
第一拍 判别 第二拍 进给 第三拍 运算 第四拍 比较
Fij 0
Fij 0
x
y
Fi1, j Fi, j ye
Fi , j1 Fi , j xe
1. 基本原理
在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不 断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据 比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小误差的 方向进给。其算法最大偏差不会超过一个脉冲当量δ。
每进给一步需要四个节拍： 偏差判别 坐标进给 新偏差计算
终点比较
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
1. 插补的定义
数据密集化的过程。数控系统根据输入的基本 数据（直线起点、终点坐标，圆弧圆心、起点、终 点坐标、进给速度等）运用一定的算法，自动的在 有限坐标点之间形成一系列的坐标数据，从而自动 的对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹 分析，以满足加工精度的要求。
要求：实时性好，算法误差小、精度高、速度均匀性好
Fi1, j Fi, j 2 xi 1 Fi, j1 Fi, j 2 y j 1
数控机床的插补原
多项式插补的优缺点
优点
多项式插补能够生成光滑的曲线，适用于复杂形状的加工；可以通过增加控制点来提高插补精度；可以处理多种 类型的插补需求。
缺点
计算量大，需要较高的计算能力；对于某些特殊形状的加工，可能需要特殊的多项式函数形式；需要精确的已知 数据点，否则可能导致插补误差较大。
05
样条插补
样条插补的定义
样条曲线法
样条曲线法是一种更加高级的插补方法，它使用多项式样 条曲线来描述加工路径，能够实现更加复杂的形状加工， 并提高加工精度和表面质量。
插补算法的精度和效率
精度
插补算法的精度是衡量其性能的重要指标之一。高精度的插 补算法能够生成更加精确的路径，从而提高加工精度和表面 质量。
效率
插补算法的效率也是需要考虑的因素之一。高效的插补算法 能够缩短加工时间，从而提高生产效率。在实际应用中，需 要根据具体需求选择精度和效率之间的平衡点。
确定已知数据点
首先需要确定起始点和终止点的坐标位置，以及可能的其他控制点。
构造多项式函数
根据已知数据点，选择合适的多项式函数形式，如线性函数、二次函 数或更高次的多项式。
求解插值方程
通过求解插值方程，得到多项式函数的系数，使得该函数在已知数据 点处的值与实际值相等。
生成加工路径
将多项式函数与机床的坐标系统关联起来，生成加工路径，控制机床 的运动轨迹。
04
多项式插补
多项式插补的定义
多项式插补是一种数学方法，用于在 两个已知数据点之间生成一条光滑曲 线。它通过构造一个多项式函数来逼 近给定的数据点，使得该函数在数据 点处的值与实际值尽可能接近。
VS
在数控机床中，多项式插补被用于生 成零件加工的路径，使得加工过程更 加精确和光滑。
机电系统实验-数控系统的插补实验
实验三数控系统的插补实验一、实验目的了解数控系统直线插补和圆弧插补的原理及其实现方法，通过插补算法的可视化，加深对常用插补算法的了解。
应用标准G代码编程实现直线插补和圆弧插补，掌握标准G代码的直线插补和圆弧插补编程方法。
二、实验要求1.掌握数控机床插补原理。
2.掌握数控机床直线和圆弧插补。
三、实验原理1.基本概念机床数字控制的核心问题之一，就是如何控制刀具与工件的相对运动。
加工平面直线或曲线需要两个坐标轴联动，对于空间曲线或曲面则需要三个或三个以上坐标轴联动，才能走出其轨迹。
插补(interpolation)的实质上是决定联动过程中各坐标轴的运动顺序、位移、方向和速度。
具体来说，插补方法是指在轮廓控制系统中，根据给定的进给速度和轮廓线形的要求，在已知数据点之间插入中间点。
每种方法又可能用不同的计算方法来实现，具体的计算方法称之为插补算法。
插补的实质就是数据点的密化。
数控系统中完成插补工作的装置叫插补器。
根据插补器的不同结构，可分为硬件插补器和软件插补器两大类。
硬件插补器由专用集成电路组成，它的特点是运算速度快，但灵活性差:软件插补器利用微处理器通过系统程序完成各种插补功能，这种插补器的特点是灵活易变，但速度较慢。
随着微处理器运算速度和存储容量的提高，现代数控系统大多采用软件插补或软、硬件插补相结合的方法。
2.插补算法按数学模型来分，有一次(直线)插补，二次(圆、抛物线等)插补及高次曲线插补等，大多数控机床都具有直线插补和圆弧插补。
根据插补所采用的原理和计算方法的不同，有许多插补方法，目前应用较多的插补方法分为脉冲增量插补和数字增量插补两类。
脉冲增量插补又称为基准脉冲插补，适用于以步进电动机驱动的开环数控系统中。
在控制过程中通过不断向各坐标轴驱动电机发出互相协调的进给脉冲，每个脉冲通过步进电动机驱动装置使步进电动机转过一个固定的角度(称为步距角)，并使机床工作台产生相应的位移。
该位移称为脉冲当量，是最小指令位移。
第02章 逐点比较法直线插补原理
第2章 直线插补原理
即：在对数控系统输入有点坐标点（起点、终 点）的情况下，计算机根据线段的特征（直线、 圆弧、椭圆等），运用一定的算法，自动地在 有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，从而 自动地对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线 段的轨迹运行，以满足加工精度的要求。
插补的任务就是根据进给速度的要求，在一段 零件轮廓的起点和终点之间“插入”和“补上” 运动轨迹中各个中间点的坐标。
② 如果刀具加工点Pi （ Xi，Yi ）处于直线下方 时（ Fi≦0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ），应该向+Y方向发一个脉冲，使 机床刀具向+Y方向前进一步，以接近该直线。
第2章 直线插补原理
通常为简化运算，我们一般采用偏差函数的递推 式（迭代式）进行计算，即由前一点计算后一点。
∵
若 Fi ， 则y向i xXe 轴发x出i y一e 个进给脉冲，刀具从该点向
2.1.4 插补的实质
曲线方程：Y=F（X） 函数关系表示X与Y一一对应，对于曲线上的某一点的 邻域，其坐标增量关系也是确定的，即给X1一个增量 △X存在一个△Y使Y1+△Y=F（X1+△X）这使△X与 △Y之间有一种制约，那就是由△X找到一个△Y使F （X1+△X）等于或接近于Y1+△Y，插补就是这种寻 找△X与△Y之间制约的方法。
2.2 逐点比较法插补原理
2.2.1 逐点比较法的基本思想
每走一步都要将加工点的瞬时坐标同规定的图 形轨迹相比较，判断其偏差，然后决定下一步 的走向，如果加工点走到图形外面去了，那么 下一步就要向图形里面走；如果加工点在图形 里面，那么下一步就要向图形外面走，以缩小 偏差。
第2章 直线插补原理
2.2.2 逐点比较法的四个基本步骤
(二)逐点比较法圆弧插补
(二)逐点比较法圆弧插补
逐点比较法圆弧插补是数控加工中常用的一种圆弧插补方法，其原理是通过逐点比较给定的圆弧路径与机床实际移动轨迹的差异，不断调整目标点的加工速度和轨迹实现精细的加工。
1.将给定的圆弧路径分割成若干个目标点，通常每隔一定距离取一个目标点。
2.根据目标点之间的距离和已知的转速，计算每个目标点的加工速度。
3.将目标点逐个输入数控系统，根据当前位置和目标点的位置计算运动轨迹和加工速度。
4.在运动过程中不断比较实际轨迹和目标轨迹之间的误差，根据误差大小调整加工速度，保证加工精度。
5.重复步骤3和4，直到完成整个圆弧的加工。
逐点比较法圆弧插补的优点是在加工过程中能够动态地调整加工速度，避免加工误差的累积。
同时，它对系统精度要求不高，能够适应各种数控系统。
不过，逐点比较法圆弧插补的缺点也是比较明显的。
由于每个目标点的加工速度独立计算，导致加工过程中产生了较大的速度变化，容易引起加工表面的纹路和不良的表面质量。
因此，在实际应用中，需要根据加工要求和机床精度选择合适的加工方法，并进行适当的加工优化。
数控机床插补原理
终点判别
∑=6+4=10 ∑=10-1=9 ∑=9-1=8 ∑=8-1=7 ∑=7-1=6 ∑=6-1=5 ∑=5-1=4 ∑=4-1=3 ∑=3-1=2 ∑=2-1=1 ∑=1-1=0
3.3逐点比较法第一象限圆弧插补 3.3.1偏差判断
我们以任意加工点Pi(Xi,Yi)与圆弧圆心的距 离同圆弧半径相比较来进行判断。即： Fi=Xi2+Yi2-R2 作为偏差函数
O
5 6
34
12
10 E 89 7
X
步数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
偏差判别
F0=0 F1<0 F2>0 F3<0 F4>0 F5=0 F6<0 F7>0 F8<0 F9>0
坐标进给
+X +Y +X +Y +X +X +Y +X +Y +X
偏差计算
F0=0 F1=F0-ye=0-4=-4 F2=F1+xe=-4+6=2 F3=F2-ye=2-4=-2 F4=F3+xe=-2+6=4 F5=F4-ye=4-4=0 F6=F5-ye=0-4=-4 F7=F6+xe=-4+6=2 F8=F7-ye=2-4=-2 F9=F8+xe=-2+6=4 F10=F9-ye=4-4=0
3、逐点比较法
3.1逐点比较法的基本原理
计算机在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，逐点的计算和判别
刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进
给方向，使刀具沿着坐标轴向减少偏差的方向进给，且只有一个方向的进
数控机床插补计算
新点的偏差为
2．终点判别的方法
一种方法是设置两个减法计数器，在计数器中 分别存入终点坐标值,各坐标方向每进给一步时，就 在相应的计数器中减去1，直到两个计数器中的数都 减为零时，停止插补，到达终点。
另一种方法是设置一个终点计数器，计数器中 存入两坐标进给的步数总和,当x或y坐标进给时均 减1，当减到零时，停止插补，到达终点。
四个象限圆弧插补计算
与直线插补相似，计算用 坐标的绝对值进行，进给方向 另做处理。从图看出SRl、NR2、 SR3、NR4的插补运动趋势都是 使X轴坐标绝对值增加、y轴坐 标绝对值减小。NRl、SR2、 NR3、SR4插补运动趋势都是使 X轴坐标绝对值减小、y轴坐标 绝对值增加。
(二)圆弧插补计算举例 设加工第一象限逆圆AB，已知起点A(4，0)，终 点B(o，4)。试进行插补计算并画出走步轨迹。
2.2.2 刀具半径补偿 1.刀具半径补偿概念
刀具半径补偿功能是指改变刀具中心运动轨迹的功能。如图 所示，用铣刀铣工件轮廓时，刀具中心应始终偏离工件表面一个 刀具半径的距离，编程人员则以工件的轮廓表面尺寸进行编程。 当刀具半径确定之后，可以将刀具半径的实测值输入刀具半 径补偿存储器，存储起来，加工时可根据需要用G41或G42进行调 用。G41和G42分别为左刀补和右刀补。如图所示。
2.2
刀具补偿原理
数控系统对刀具的控制是以刀架参考点为基准的，但零件加 工是用刀尖点进行的，所以需要在刀架参考点和刀尖点之间进 行位置偏置（补偿）。
2.1.2
刀具长度补偿
以数控车床为例，P为刀尖，Q为刀架参考点，设刀尖圆 弧半径为零。利用测量装置测出刀尖点相对于刀架参考点的 坐标(xpq ,ypq )，存入刀补内存表中。 编程时以刀尖点P(XP,ZP) 来编程，刀架参考点坐标 Q(Xq,Zq）由下式求出 Xq＝XP－ xpq P(XP,ZP) xpq Q Zq＝ZP－ Zpq 刀具长度补偿由G43、G44及 zpq H代码指定。
第2-2讲数控机床的刀具补偿原理
直线插补 以第一象限直线段为例。用户编程时，给出要加工直线 的起点和终点。如果以直线的起点为坐标原点，终点坐 标为（Xe,Ye），插补点坐标为（X，Y），如右图所 示，则以下关系成立： 若点（X，Y）在直线上，则 XeY - YeX = 0 若点（X，Y）位于直线上方，则Xe Y- Ye X>0 若点（X，Y）位于直线下方，则 XeY - Ye X<0 因此取偏差函数F = XeY - YeX。 事实上，计算机并不善于做乘法运算，在其内部乘法运 算是通过加法运算完成的。因此判别函数F的计算实际 上是由以下递推迭加的方法实现的。 设点（Xi，Yi）为当前所在位置，其F值为F = XeYi YeXi 若沿+X方向走一步，则Xi+1=Xi+1 Yi+1=Yi Fi+1=XeYi+1—Ye Xi+1=XeYi—Ye(Xi+1) = Fi—Ye 若沿+Y方向走一步，则Xi+1=Xi Yi+1=Yi+1 Fi+1=XeYi+1—Ye Xi+1=Xe(Yi +1)—YeYi= Fi+Xe 由逐点比较法的运动特点可知，插补运动总步数n = Xe+Ye，可以利用n来判别是否到达终点。每走一步使 n = n - 1，直至n = 0为止。终上所述第一象限直线插补 软件流程如图下图所示。
节拍 起始 1
2
3 4 5 6
F1 = -2 < 0
F2 = 2 > 0 F3 = 0 F4 = -2 < 0 F5 = 2 >0
+Y
+X +X +Y +X
插补原理及控制方法
插补原理及控制方法插补原理是指在数控机床运动控制系统中，通过对多个轴同时进行定长或定角度的运动控制，实现复杂曲线的加工。
插补控制方法包括线性插补和圆弧插补两种。
一、线性插补线性插补是指在工件加工中，沿直线轨迹进行直线段的插补控制方法。
线性插补的原理是通过控制系统对多个轴的运动速度和方向进行精确控制，使得工件能够沿着设定的直线路径进行加工。
线性插补的控制方法包括点位控制和连续控制两种。
1.点位控制点位控制是将每个插补段分解成多个线性插补点，通过对每个点的坐标进行控制，实现工件的加工。
点位控制方式适用于工件形状简单、精度要求不高的情况下。
2.连续控制连续控制是通过对每个时间段内的轴位置进行插补计算，实现工件的连续运动。
此命令适用于工件形状复杂、精度要求较高的场景。
在连续控制中，通常使用插补算法进行计算，将每个时间段内需要插补的线性段分割成多个小段，并根据小段的长度和速度来确定每个小段的运动规律。
二、圆弧插补圆弧插补是指在数控机床加工中，通过对多个轴的运动进行控制，实现工件上圆弧曲线的加工。
圆弧插补的原理是通过对多个轴进行同步运动，控制圆弧路径的切线和加工速度，使得工件能够按照设定的半径和圆弧角度进行加工。
圆弧插补的控制方法包括圆心插补法和半径插补法。
1.圆心插补法圆心插补法是通过控制系统中的插补算法，计算每个时间段内轴的位置和速度，实现工件画圆弧的加工。
在圆心插补中，需要手动指定圆心的坐标位置和圆弧的半径、角度来实现加工。
2.半径插补法半径插补法是指通过在控制系统中指定圆弧的起点、终点和半径来实现工件圆弧的加工。
在半径插补中，插补算法会根据起始点和终点的位置，计算出圆心的位置和圆弧的角度，从而实现工件的加工。
总结：插补原理及控制方法是数控机床系统中非常重要的部分，通过对多个轴的运动进行精确控制，实现工件曲线轨迹的加工。
线性插补适用于直线段的加工，圆弧插补适用于曲线段的加工。
掌握插补原理及控制方法，对于数控机床加工精度的提高和加工效率的提高具有重要意义。
第二讲 插补原理
不同象限，顺逆不同，插补公式也不一样。
例.用DDA法进行圆弧插补，半圆弧AE起点A(0,5),
终点E(5，0),半径r=5。 解：溢出基值
m=r=5
Δx=y0=5
y
A
x轴增量值
y轴增量值
Δy=x0=0 0
∑x=∑y=0
插补过程如下： E
x
三、提高积分法插补的精度
减小DDA圆弧插补轮廓误差的措施
以控制各轴从而形成要求的轮廓轨迹，这种“数据
密化”机能就称为“插补”。 插入 补充 数据点 得到具体控制方法 加密 数据点
零件程序 … N12 G00 X12 Y24 N13 G01 X24 Y56 …
y
56
24
0
12
24
x
二.软件插补算法 Ⅰ.脉冲增量插补
原理
产生的单个行程增量，以一个个脉冲
方式输入给伺服系统。
y
56
24
脉冲当量： 一个控制脉 冲所对应的 控制坐标轴 的移动量 （转动量）。
12
24
0
x
应用
步进电机为驱动装置的开环数控系统。
机 床
计算机 数控柜
步进电机 驱动电源
步进 电机 滚珠丝杆
Ⅱ.数字采样插补（时间标量插补）
插补程序每调用一次，算出坐标轴在一个周期 中的增长段（不是脉冲），得到坐标轴相应的指令 位置，与通过位置采样所获得的坐标轴的现时的实
0
Fi+1 = Fi －Ye
2.若沿+y向走一步，即
, yi1 yi 1 xi1 xi F x y x y i1 e i1 i1 e
于是有
y Pi+ 1
E(xe,ye)
3,4---第二章 数控机床的插补原理――直线插补与圆弧插补计算原理
直线上
=
YmXe―XmYe=0
直线上方
>
YmXe―XmYe>0
直线下方
<
YmXe―XmYe<0
｛ 偏差判别函数：Fm = ymxe-xmye
= 0 在直线上； >0在直线上方
< 0 在直线下方
（五）逐点比较法直线插补
2. 算法分析（第Ⅰ象限）
坐标进给：
根据判定的进给方向，向该坐标 方向发一进给脉冲
特点：以折线逼近直线、圆弧或各类曲线。
精度高：最大偏差不超过一个脉冲当量。
（四）逐点比较法
插补开始 方向判定
逐点比较法 工作循环过程
坐标进给
偏差计算
终点到？
N
插补结束
Y
（五）逐点比较法直线插补
y A(xe,ye)
o
x
每次插补计算输出一个脉冲，不是进给到X轴 方向，就是进给到Y轴方向，不可能两个坐标轴都进给
数据采样插补:(又称为时间标量插补或数字增量插 补,8ms，10.24ms)数控装置产生的不是单个脉冲，而 是采样周期内，各坐标的位移量
①直线函数法；②扩展数字积分法；③二阶递归扩展数字积分插 补法；④双数字积分插补法；⑤角度逼近圆弧插补法。
（四）逐点比较法
思想：“走一步看一步”：就是每走一步都要和给定 轨迹上的坐标值进行一次比较，视该点在给定轨迹 的上方或下方，或者给定轨迹的里面或者外面，从 而决定下一步的进给方向，使之趋近加工轨迹。
（五）逐点比较法直线插补
1.基本原理：
在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中， 不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并 根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小 误差的方向进给。其算法最大偏差不会超过一个脉冲 当量δ。
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在x、y方向的微小位移增量为 ΔX 、ΔY则：
– 数字积分法直线插补
? 设在XY平面上有一直线OA，直线的起点在原 点，终点A的坐标为（Xe,Ye），现要对直线OA 进行插补。
? X ? vx? t
? Y ? vy? t
L ? Xe2 ? Ye2
vx
?
v L
Xe
? X ? kXe? t
n
? Xe ? k Xe ? kXen i?1
Vx = K ? Xe
引入比例系数 K，有
Vy = K ? Ye
（2）
将(2)式代入(1)式，即为坐标轴位移增量
Δx = K ?Xe ?Δt Δy = K ?Ye ?Δt
（3）
位移量为
? ? x ?
t
0 KX e dt ?
n
KXe ?t
i?1
? ? t
n
y?
0 Ky e dt
?
Ky e ? t
i?1
数字积分插补法
1、基本概念 采用积分运算实现插补，又称DDA法。 DDA(Digital Differential Analyzer)
2、优点 易于实现多维插补和原有系统多个坐标轴 联动的扩充,尤其多坐标联动的数控系统
数字积分原理
? S= tn Ydt t0
? ? S=
tn Ydt ?
t0
n?1
Yi? ti
解3:初始y化 m=xe=5 Σy=0 累加增量为
5
4
3
E
2
1
0 1 2 34 5
x
累加次数 n 1 2
3 4
5 END
累加求和 ye+Σy→Σy
3+0=3 3+3=6
3+1=4 3+4=7
3+2=5
判别 Σy≥m?
3<5 6>5 6-5=1→Σy 4<5 7>5 7-5=2→Σy 5=5
脉冲溢出 Δy Δx 01
11 01 11
11
例3中， Σy=m/2=2
累加次数
累加求和
n
ye+Σy→ Σy
1
3+2=5
2
3+0=3
3
3+3=6
4
3+1=4
5
3+4=7
判别 Σy≥m? 5=5 5-5=0→Σy
3<5 6>5 6-5=1→Σy
4<5 7>5 7-5=2→Σy
脉冲溢出
Δy
Δx
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
与例三比较，两次插补轨迹分别如图所示
i. 累加 1/k次后，x 、y方向同时到点溢出的
脉冲总数
X=Xe,Y=Ye
ii .K与m互为倒数关系 ，m必须是整数 ,
故K必是小数。
确定m(K)：
方法1：
每次累加，在每个轴上最多只能产生一个进给脉冲。
式(2)中的Δx ,Δy相同地要小于等于一个脉冲当量，
即要求
KXe≤1 KYe≤1
(Ⅰ)
Xe,Ye的最大允许值受系统字长的限制 ,假设系统
i?0
n?1
S ? ? Yi i? 0
一、DDA直线插补
设对直线 OA进行脉冲分配
y
起点O(0,0) ，终点 E(xe,ye)
A(xe，ye)
直线方程 y/x=ye/xe
V Vy
对t求导
dv/ dt ? ye
dx/ dt xe 0
即 Vy/Vx=Ye/Xe
Vx
x
令动点P，在x、y轴方向的速度分别是 Vx、Vy,
5
4
3
E
2
1
0 1 2 34 5
x
二、DDA圆弧插补
以第I象限顺圆为例
y
E
V Vy
圆方程为： x 2+y 2=r 2
Vx
对时间t求导
dx / dt ? ? y ? ? ky dy / dt x kx 0
Ax
由此设出第 I象限顺圆坐标轴方向的速度分量为
Vx = Ky
Vy = －Kx
此式说明，速度分量是随动点变化的。
坐标轴位移增量
? x ? Ky? t
? y ? ? Kx? t
位移量
n
x ? ?kydt? ? Kyi?t
取单位时间 Δt=1
则：
i ?1
?
? ??
x
?
?
?
? ??
y
?
n
Ky i
i?1
n
? Kx i
i?1
（4）
由此构成如图所示的插补原理框图
Δt
插补迭代 控制脉冲
X轴被积函数寄存器
＋ X积分累加器 Y积分累加器
vx ? Xe vL
vy
?
v L Ye
vy ? Ye vL
? Y ? kYe? t
n
? Ye ? k Ye ? kYen i?1
ΔX = Vx ·Δt ΔY = Vy ·Δt
（1）
假定进给速度 V是均匀的，即 V为常数，对于直线 函数来说 ,其分速度Vx、Vy必为常数 ,且有下式
Vx ? Xe Vy ye
字长为m，则Xe、Ye的最大允许值为 2?-1，若取
1
K= 2? ,则必然满足(I)式的条件。
方法2： 假设Xe>Ye,即X轴累加溢出脉冲总数多于 Y轴,
累加最有效的情况是 ,每次累加,X轴都有脉冲溢
出,Y轴则不一定 ,于是选累加次数 m=Xe，则
K= 1/Xe.将(3)式改写成：
? ? x ?
1 m
推广到P个坐标轴同时插补的情况。
设有x1、x2……xp个坐标轴同时插补，则令
m=max {x1,x2,^xp}，m对应的轴 xm称为
主导轴每次累加，主导轴必有脉冲溢出，
而其余轴
? x j
?
1 m
n
x je
i?1
即以终点坐标作为被积函数 (增量)进行累加，
累加结果大于或等于 m时,产生溢出,发出一个
取单位时间 Δt=1，则公式化为
?
? ??
? ?
? ??
X? y?
n
KX
i?1
n
Ky e
i?1
e
（3）
累加多少次，才能达到加工终点呢？K=？
设经过m 次累加后，达到终点，由 (3)式知，
m次累加后
X = m ?K ?Xe = Xe
Y = m ? K ?Ye = Ye
于是，必须使
m ? k=1，或 m=1/k
n
Xe
i?1
?
1 xe
n
Xe
i?1
? ? y ?
1 m
n
Ye
i?1
?
1 xe
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ye
i?1
每次累加 1.X轴必有脉冲溢出 ,(不必要进行累加计算 ) 2.Y轴的累加结果大于或等于 m(Xe)时才产生
溢出,发出一个脉冲 ,故m又称为溢出基值 .
溢出余值 m
作为是否有脉冲溢出的判别条件 作为终点判别条件
＋ Y轴被积函数寄存器
X轴
ΔX 溢出脉冲 ΔY Y轴
溢出脉冲
累加多少次才能达到终点？K=？
考虑用半径 r的数字量作为溢出余值 k=1/r.
于是(4)式变为：
? x ?
1 r
n i?1
yi
? y
?
?
1 r
n i?1
xi
x,y的增量值分别为 y,x轴的动点坐标值 (yi,xi)
脉冲,当经m次累加计算后 ,主导轴xm 达到终点。
? 此时，
xj
?
1 m
n
x je
i?1
?
1 m
?mx
je
?
x je
即其余各轴也同时到达了终点。
优点
1.减少了一个坐标轴 (主导轴)的累加运算
2.保证了每次累加必有脉冲输出
3.提高了脉冲发生率 4.减少了插补程序的长度和插补运算时间
例3 设有直线OE，起点在原点，终点 E(xe=5,ye=3) 用DDA法实现插补。