四年级奥数 整除与余数
小学数学知识点除法的整除和余数
小学数学知识点除法的整除和余数小学数学知识点：除法的整除和余数在小学学习数学时，我们会接触到除法这个概念。
除法是一种数学运算方法，用以求出两个数之间的商和余数。
在本文中，我们将探讨除法的整除和余数的概念、应用以及一些解题技巧。
1. 整除当一个数可以被另一个数整除时，我们称这个数为被除数，而除以的数为除数。
当除法的余数为0时，我们称这个除法为整除。
例如，当我们将12除以3时，得到的商为4，余数为0，因此12可以被3整除。
在解决实际问题时，我们经常会遇到整除的情况。
例如，将一些糖果平均分给一群学生，如果每个学生获得相同数量的糖果且没有剩余，那么我们可以说这个数能够整除学生的数量。
2. 余数当一个数不能被另一个数整除时，我们会得到一个余数。
例如，当我们将17除以5时，得到的商为3，余数为2。
这意味着17不能被5整除，但我们可以得到商3和余数2。
余数在日常生活中也有一些应用。
例如，将苹果分给一些小朋友，每个小朋友可以获得3个苹果，但是还剩下2个苹果无法平均分配。
这里的2就是一个余数。
3. 解题技巧为了更好地应用除法，我们有一些解题技巧可以帮助我们更容易地理解和计算除法。
3.1 试除法试除法是一种常用的方法，用于找到一个数是否可以整除另一个数。
例如，我们要判断121是否可以被11整除，我们可以用11去除121，如果得到的余数为0，则可以确定121可以被11整除。
3.2 除法的性质除法具有一些性质，这些性质可以帮助我们更好地理解除法的概念。
其中一些性质包括：- 任何数除以1都等于自身。
- 一个数除以自身等于1。
- 偶数除以2，余数为0；奇数除以2，余数为1。
3.3 应用问题除法在解决实际问题时非常有用。
例如，我们可以使用除法来计算周长、面积、速度等。
在解决这些问题时，我们需要将数学概念与实际应用相结合，从而找到适当的解法。
4. 总结通过掌握除法的整除和余数的概念，以及使用相关的解题技巧，我们可以更好地理解和应用除法。
小奥数论1-整除和余数知识点总结及经典例题培训资料
小奥数论1-整除和余数知识点总结及经典例题1.数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质2.1.1定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
2.1.2表达式和读法b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；2.1.3基本性质①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c;④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
2.2数的整除的判别法2.2.1末位判别法2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
除法的整除和余数
除法的整除和余数在数学中，除法是一种基本运算，用来寻找一个数值可以被另一个数值整除的次数以及剩余部分。
除法运算可以分为整除和余数两个概念。
首先，让我们来了解一下什么是整除。
整除发生在被除数能够被除数整除的情况下，即没有任何余数。
换言之，如果对于两个整数 a 和 b，当 a 能被 b 整除时，我们就说 a 可以被 b 整除。
此时，我们可以将其表示为 a ÷ b = c，其中 c 是一个整数。
例如，10 ÷ 2 = 5，因为 10 能够被 2 整除。
接下来，我们来看一下余数的概念。
余数指的是在一个除法运算中，被除数不能被除数整除时所剩下的部分。
当被除数不能被除数整除时，我们可以用余数来表示这个结果。
余数通常用符号“%”来表示。
例如，当我们计算 10 ÷ 3 时，我们得到商为 3，余数为 1，可以表示为 10 ÷ 3= 3...1。
在计算机编程中，除法运算同样被广泛使用。
计算机可以通过除法运算来确定一个数值是否能够整除另一个数值，并计算出整除结果以及余数。
在计算机程序中，我们可以使用 "%" 运算符来获取两个数值相除后的余数。
这在程序设计中经常用到，例如用于判断一个数是奇数还是偶数时，可以通过判断其与 2 相除的余数来决定。
同时需要注意的是，除数不能为零。
在除法运算中，如果除数为零，将会导致数学错误。
因此，在进行除法运算时，我们需要确保除数不为零。
综上所述，除法运算涉及到整除和余数两个概念。
整除指的是被除数能够被除数整除，没有余数；余数是一个除法运算中，被除数不能被除数整除时所剩下的部分。
除法运算在数学和计算机编程中都有广泛的应用。
熟练掌握除法的整除和余数概念，对于理解数学和计算机编程都具有重要意义。
奥数-整除、带余数的除法
奥数教学教案
授课时间：年月日备课时间年月日年级六课程类别课时学生姓名
授课主题数的整除；同余问题授课教师
教学目标理解和掌握数的整除和同余问题
教学
重难点
数的整除；带余数的除法
教学方法讲练结合，引导学生主动思考
教学过程1、课程导入/错题讲解：
今天这节课，我们学习数的整除．（板书课题）
教师提问：既然是数的整除，自然就与数有关，同学们都学过什么数？
点拨
2.知识点讲解
学习札记教学过程
知识点：能被7、11、13 整除的数的特征
一个数从末位开始，每三位一段断开，若奇数段之和与偶数段之和的差是7 、11、
13 的倍数，则这个数能被7、11、13 整除；如果差不是7、11、13 的倍数，那么
这个差被7、11、13 除余几，这个数除以7、11、13 就余几．
教学过程3、例题分析：
判断123456789这九位数能否被11整除?
这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是
8+6+4+2=20.因为25—20=5，又因为115，所以11123456789。
判断3546725能否被13整除?
解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821
分为2和821两个数，因为821—2=819，又13|819，所以13|2821，进而
13|3546725.
方法与技
巧
4、随堂练习
小提示
教学过程。
四年级奥数专题之整除与余数
四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。
一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。
（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。
（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。
【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。
当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。
数字的整除和余数整除和余数的概念和应用
数字的整除和余数整除和余数的概念和应用数字的整除和余数：概念和应用整数的运算是数学中一个基本的概念，在现实生活中也有着广泛的应用。
在整数的运算中，整除和余数是常见的概念和运算方式。
本文将介绍数字的整除和余数的概念以及它们在实际生活中的一些应用。
一、整除和余数的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即余数为0。
假设有两个整数a和b，如果a能够被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的约数。
可以用符号“|”来表示整除关系，即a|b表示a能够整除b。
余数是指一个数除以另一个数得到的剩下的部分。
假设有两个整数a和b，如果a除以b得到的余数为r，那么r就是a对b取余得到的余数。
可以用符号“%”来表示取余运算，即a%b表示a对b取余。
例如，假设有整数a=15，b=3。
由于b能够整除a，所以15是3的倍数，3是15的约数；同时，15除以3得到的余数为0。
二、整除和余数的应用1. 分配物品在实际生活中，我们常常需要将一些物品进行平均分配。
假设有m 件物品需要分配给n个人，我们可以利用整除和余数的概念来进行分配。
首先，将m除以n，得到商q和余数r。
商q表示每个人至少可以分到的物品数量，余数r表示还剩下的物品数量。
然后，将q件物品平均分给n个人，剩余的r件物品可以按照一定的规则进行分配（例如，可以再平均分给几个人，或者按照某种特定的规则分配给特定的人）。
2. 数字运算在数学运算中，整除和取余也常常被使用。
例如，判断一个数是否是偶数可以利用取余的方法。
如果一个数除以2得到的余数为0，那么这个数就是偶数；反之，余数为1则表示它是奇数。
3. 日历计算日历中经常需要进行日期的计算和判断。
对于某些特定的问题，可以利用整除和余数的概念来进行计算。
例如，判断某一年是否是闰年可以通过它能否被4整除来判断；判断某一个日期是星期几可以通过计算与某一个基准日相差的天数，然后对7取余来得到。
4. 数据存储和编码在计算机科学中，整除和余数的概念经常被用于数据存储和编码。
小奥数论整除和余数知识点总结及例题
1. 数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质整数a 除以整数b （b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。
b ∣a ，读着b 能整除a;或a 能被b 整除；ba ，不能整除；① 传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b 是a 的倍数，c 是b 的倍数，则c 肯定是a 的倍数；② 加减性：如果a|b 、a|c ，那么a|(b c);③ 因数性：如果ab|c ，那么a|c ，b|c;即如果ab 的积能整除c,则a 或b 皆能整除c; ④ 互质性，如果a|c ，b|c ，且（a,b ）=1,那么ab|c,即如果a 能整除c,b 能整除c ，且ab 互质，则ab 的积能整除c;⑤ a 个连续自然数中必恰有一个数能被a 整除。
2.2数的整除的判别法各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
①一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。
四年级奥数之余数的妙用
余数的妙用知识要点1、在进行除法运算时，往往会产生余数，对于有余数的除法，许多同学有时很头疼。
但是有余数的除法也不是一无是处，它还有许多妙用，用好它对于我们解决具体问题时有好处的。
2、除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数经典范例例1 被除数是41，余数是,6，除数和商各是多少？思路解析：被除数-余数=除数×商=41-6=35=1×35或5×7解：41-6=3535=1×35或35=5×7当除数=35时商=1 当除数=7时商是5答：当除数=35时商=1 当除数=7时商是5例2 假如今天是星期二，从今天算起，第29天是星期几？思路解析：因为时间是从今天算起，假如今天是1号，到第29号就是29天，这样就算出总天数。
一周是7天，看看这29天中有几个7天，然后再数数余数的天数就可以了。
因为今天是星期二，是前面几个整周的开头第一天，所以余数的第一天也是星期二。
解：29÷7=4 ---- 1答：第29天是星期二。
例3 幼儿园阿姨给小朋友们准备了又红又大的苹果。
7个7个数，也余1个。
你能算出至少有多少个苹果吗？思路解析：5个5个数，余1个，就是苹果数倍5除余1,有5、10、15、20、25、30、35、40---；7个7个数，也余1个，是苹果数7除余1,有7、14、21、28、35、42---；所以苹果数既要能被5除余1，也要能被7除余1.从上面的列出数看，它们共同的最小数是35.解：能被5整除5、10、15、20、25、30、35、40---；能被7整除7、14、21、28、35、42---；35+1=36（个）答：共有苹果36个。
例4 豆豆和丁丁玩报数游戏，每次每人报1 - 4个数，即不能超过4个数。
谁报到88个数谁胜。
丁丁先报，豆豆后报。
可不管怎么报，都是丁丁胜。
豆豆很奇怪。
丁丁说：“那是因为我知道余数的妙用。
春季五年制小学奥数四年级数论问题——余数
一、带余除法的定义及性质一般地，如果a 是整数，b 是整数(b ≠0)，若有a ÷b ＝q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r 。
0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：⑴当r ＝0时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商。
⑵当r ≠0时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商。
二、余数定理：1．余数一定要比除数小。
2．余数的加法定理例如：23÷5＝4 (3)16÷5＝3 (1)所以23＋16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3＋1。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23÷5＝4 (3)19÷5＝3 (4)所以：23＋19＝4242÷5的余数等于3＋4＝7除以5的余数，即2。
和的余数＝余数的和(的余数)。
3．余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23÷5＝4 (3)16÷5＝3 (1)所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
例如：23÷5＝4 (3)19÷5＝3 (4)所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2。
积的余数＝余数的积(的余数)。
有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。
22003与20032的和除以7的余数是________。
12＋22＋32＋…＋20012＋20022除以7的余数是多少？在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组。
四年级奥数竞赛班第六讲 巧用余数
根据：被除数=除数×商+余数这个性质 来求解。 解 A÷B=8…16，所以A=8B+16,因为 A+B+8+16=769,所以8B+16 +B+8+16=769， 于是B=81,所以被除数A=8×81+16=664. 答：被除数为664.
例6 小马虎做一道除法题时，把被除 数169看成196，结果余数相同,但商比 原来多9.求除数是多少？
例9 甲数除以13余7，乙数除以13余9， 现将甲乙两数相乘，积除以13应余多 少？
分析 甲数=13商+7，乙数=13商+9， 甲数×乙数=（13商+7）×（13商+9）=169×商×商 +13×9×商+7×13×商+7×9=169商×商+208×商 +63 所以甲与乙的积除以13的余数相当于63除以13的余数， 于是余数是11. 解 甲×乙÷13的余数相当于63除以13的余数，所以余 数是11. 答：余数是11.
例10 某个自然数，被3除余2，被5除余 4，被7除余6，这个自然数最小是多少？
分析 这个数加1就能被3、5、7整除.先求能同 时被3，5，7同时整除的自然数. 解 这个数加1就能被3、5、7整除.能被3、5、 7整除的最小自然数是3×5×7=105，所以这 个数应该是105-1=104. 答：这个自然数最小是104.
分析 根据：被除数=除数×商+余数这个性质来求解。 解 这个数=84×商＋70，（84×商＋70） ÷28=84×商÷28+70÷28=3商+70÷28，所以这 个数除以28的余数相当于70除以28的余数，于是余 数是14. 答：余数是14.
奥数 整除或求余特征法
整除或求余法则
一、末系：
2：末位是0、2、4、6、8的数可以被2整除
5：末位是0或5的数可以被5整除
4：末两位是4的倍数的数可以被4整除
25：末两位是25的倍数的数可以被25整除（00、25、50、75）
8和125：末三位是8（8的整除）的倍数的数可以被8整除；末三位是125（125的整除）的倍数的数可以被125整除
16和625:末四位是16（16的整除）的倍数的数可以被16整除；末四位是625（625的整除）的倍数的数可以被625整除
二、和系：
3：数字和可以被3整除的数，就可以被三整除
9:数字和可以被九整除的数，就可以被九整除
可以用弃九法，将和为九的几个数去掉，再加、除
还有乱切法，有规律地将一个大数切成好多小的数，加、除算余
注：99从末位开始两位断开求和，为99的倍数。
999从末位开始，三位断开求和，为999的倍数。
9999从末位开始，四位断开求和，为9999的倍数。
三、差系：
11:奇位和减偶位和，差求余，不够减加上11
7、11和13：从末位开始三位断开，奇三位减偶三位，求余不够再加7或11或13（别忘
了0也是7、11、13的倍数）
四、拆分系：
一定要拆成因数互质
来源于大牛课堂，励老师讲课。
下一节椅子数特征（较短）。
小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题
小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题1.数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质2.1.1定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
2.1.2表达式和读法b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；2.1.3基本性质①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a 或b皆能整除c;④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
2.2数的整除的判别法2.2.1末位判别法2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
四年级奥数专题之整除与余数
四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。
一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。
（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。
（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。
【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。
当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。
除法运算的整除与余数
除法运算的整除与余数在数学中，除法运算是一种常见且基础的运算方式。
除法运算可以使我们得到两个数之间的商和余数。
其中，整除指的是被除数被除数能够被除尽，余数则是被除数除以除数后剩下的部分。
本文将详细介绍除法运算的整除与余数的相关概念、计算方法及其应用。
一、整除的概念与计算方法在进行除法运算时，如果被除数能够被除数整除，即没有余数，那么我们称之为整除。
对于两个整数a和b，如果存在一个整数q，使得a= bq，那么我们就可以说a整除b。
其中，a为被除数，b为除数，q为商。
整除的计算方法主要有以下几种：1. 竖式法：这是一种常用的计算整除的方法。
具体步骤如下：(1) 将被除数写在上方；(2) 将除数写在下方，并在除数下方留出足够的空间；(3) 将一个数字相乘得到一个最接近被除数的数，且不超过被除数；(4) 用这个数去乘除数，得到一个乘积，将其写在被除数的下方；(5) 将被除数减去乘积得到一个差，作为新的被除数；(6) 重复步骤(3)-(5)，直至差小于除数为止，此时的差即为余数，之前的商即为整数部分。
2. 短除法：短除法又称作数栈法，是一种逐步相除的计算方法，具体步骤如下：(1) 将被除数的每一位数字从高位到低位依次写在右侧的空白格内；(2) 从最高位的数字开始，判断该位数字是否能够整除除数；(3) 如果能够整除，则将商写在上方对应的位置，并将余数写在右侧的相邻空白格内；(4) 否则，将该位数字和下一位数字拼接成一个两位数，再判断是否能够整除除数，以此类推；(5) 重复步骤(2)-(4)，直至将被除数的每一位数字都处理完毕，最终得到的商即为整数部分，最后一位余数即为余数部分。
二、除法运算中整除与余数的应用整除和余数在实际生活和数学问题中有着广泛的应用，以下将介绍一些常见的应用场景。
1. 瓜分物品：假设有n个物品需要瓜分给m个人，可以使用整除来确定每个人能得到的物品数量。
商即为每个人能得到的物品数量，余数则是剩余的物品数量。
小奥数论整除和余数知识点总结及经典例题
1.数论——数的整除和余数基本概念和基本性质定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。
表达式和读法b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；基本性质①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c;④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
数的整除的判别法末位判别法数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
特殊用法①一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。
数的整除与余数
数的整除与余数整数除法是我们在数学中经常遇到的概念。
当我们将一个整数除以另一个整数时，可能会出现两种情况：整除和余数。
接下来，我们将探讨数的整除与余数的相关概念以及它们在数学和实际生活中的应用。
首先，让我们来了解何为整除。
整除指的是一个整数能够被另一个整数除尽，即没有余数。
我们可以用一个简单的例子来说明这个概念。
假设我们将12除以3，结果是4。
因为12能够被3整除，所以我们可以说3是12的一个因数，而12是3的一个倍数。
换句话说，12是3的倍数，3是12的因数。
在数学中，我们用符号“∣”表示整除的关系。
例如，我们可以写作3∣12，表示3可以整除12。
同样，我们可以写作12∣12，表示12可以整除自身。
这种关系还具有传递性，即如果a∣b并且b∣c，那么a∣c。
例如，如果3∣12并且12∣60，则可以得出3∣60。
与整除相对应的是余数。
当一个整数不能被另一个整数整除时，我们可以得到一个余数。
例如，当我们将13除以5时，商为2，余数为3。
这里，5不能整除13，而是有余数3。
余数在数学中通常用符号“%”表示。
因此，我们可以写作13%5=3。
除法的概念在实际生活中的应用非常广泛。
例如，在购买商品时，我们可能会遇到“买一送一”的优惠活动。
这意味着如果你购买的商品数量能够被2整除，那么你将获得额外的免费商品。
另一个例子是在计算机科学中，我们经常使用取模运算（取余）来判断一个数是奇数还是偶数。
如果一个数除以2的余数为0，则可以确定该数为偶数，否则为奇数。
在数论中，整除和余数也扮演着重要的角色。
通过研究整数的整除性质，数论可以解决许多重要的问题，例如素数判定和因数分解。
例如，通过判断一个数能否被2、3或5整除，我们可以判断它是否为素数（只能被1和自身整除的数）。
总结一下，数的整除与余数是数学中重要的概念。
整除指一个整数能够被另一个整数整除，而没有余数。
余数则是除法中不能整除的剩余部分。
通过理解整除和余数的概念，我们可以更好地理解数学问题，并将其应用于日常生活和其他学科中。
除法的余数与整除
除法的余数与整除余数是数学中除法运算中常常出现的一个概念，它是指在进行除法运算时，除数不能完全整除被除数时所剩下的部分。
而整除则是指除法运算中被除数能够被除数整除，没有余数的情况。
余数和整除在数学中有着重要的意义，不仅在数论中有广泛应用，也在实际生活中起着重要的作用。
一、余数的概念及性质在进行除法运算时，被除数除以除数所得到的余数是被除数不能被除数整除的部分。
例如，当7除以3时，商是2，余数是1。
其中，商指的是除法运算所得的整数部分，余数指的是被除数除以除数所剩下的部分。
余数有一些重要的性质：1. 余数总是非负整数。
因为余数是被除数除以除数所剩下的部分，所以它必然是一个非负整数。
例如，当7除以3时，商是2，余数是1，余数1是一个非负整数。
2. 余数的大小一定小于除数。
这是因为余数是被除数除以除数所得的剩下的部分，而这个剩下的部分一定小于除数。
例如，当7除以3时，商是2，余数是1，余数1小于除数3。
3. 当两个整数除以同一个正整数时，它们的余数是相等的。
例如，当7除以3时，商是2，余数是1；当10除以3时，商是3，余数是1。
这是因为两个整数除以同一个正整数所得的余数是由除数来决定的。
二、整除的概念及性质整除是指在进行除法运算时，被除数能够被除数整除，没有余数的情况。
当被除数能够被除数整除时，我们称被除数是除数的倍数。
例如，当12除以3时，商是4，没有余数，所以12能够被3整除，3是12的倍数。
整除也有一些重要的性质：1. 如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被除数的倍数整除。
例如，如果12能够被3整除，那么12也能够被3的倍数（如6、9）整除。
2. 如果一个整数能够被除数整除，那么它一定也能够被除数的因子整除。
例如，如果12能够被3整除，那么12也能够被3的因子（如1、3）整除。
三、余数与整除在实际生活中的应用余数和整除在实际生活中有着广泛的应用。
下面我们以一些实例来说明：1. 日历中的星期几：我们经常使用日历来查看某一天是星期几，这涉及到日期的整除运算。
小学数的整除数论奥数知识讲解及习题
小学数的整除数论奥数知识讲解及习题小学数的整除数论奥数知识讲解及习题小学的学生学习奥数对学校所学数学的一个补充和提高，同学们快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是小编为大家收集到的数的整除数论奥数知识讲解及习题，供大家参考。
一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的'数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
例题：在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除?解：如果56□2能被9整除，那么5+6+□+2=13+□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除;如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
小学四年级奥数题库：整除(中等难度)_题型归纳
小学四年级奥数题库：整除（中等难度）_题型归纳
小学四年级奥数题库：整除（中等难度）
有些六位数，组成六位数的六个数字都不相同，而相邻两个数字组成的两位数能被3整除，这样的六位数一共有个。
整除答案：
10个数字中，除以3余数是1的有1、4、7，余数是2的有2、5、8，没有余数的有0、3、6、9，如果这六个数中选择了没有余数的数字，那么总有一个地方的两位数不能被整除。
故只能选1、4、7和2、5、8。
把这六个数按照余数1和余数2的交替排列就行了，因此有6×6×2=72个这样的数。
【小结】数论整除这部分应当牢记特殊数整除的特点。
数字的整除和余数的计算
数字的整除和余数的计算在数学中，整除是指一个数能够被另一个数除尽，而余数则是指除法中未被除尽的部分。
整除和余数的计算在数学运算和解题过程中经常会遇到，下面将介绍数字的整除和余数的计算方法。
一、整除的计算当一个数字能够被另一个数字整除时，我们可以使用除法运算来验证整除关系。
以数字a能否被数字b整除为例，如果a除以b的商为整数，即没有余数，那么a就能被b整除。
例如，判断数字12能否被数字3整除，我们进行12除以3的运算。
12 ÷ 3 = 4，由于商4是一个整数，没有余数，所以12能够被3整除。
在实际问题中，我们常常会遇到整除关系的判断和应用，比如判断一个数是否是另一个数的倍数，或者计算一个数能够被几个数整除等。
通过整除的计算，我们可以更好地解决这些问题。
二、余数的计算当一个数字除以另一个数字不能整除时，我们会得到一个余数。
余数是除法运算中未被除尽的部分，通常用符号"%"表示。
以数字a除以数字b并求余为例，我们可以通过求得的余数判断两个数字之间的关系。
例如，计算8除以3的余数，我们进行8除以3的运算。
8 ÷3 = 2，余数为2。
余数的计算在实际问题中常常会被用到。
例如，判断一个数的奇偶性，如果一个数除以2的余数为0，则该数为偶数；如果余数为1，则该数为奇数。
通过余数的计算，我们可以更好地理解和应用数学知识。
三、整数的特性与运算规律在整除和余数的计算中，我们还可以利用整数的特性和运算规律来简化计算过程。
下面列举几个常用的整数特性和运算规律：1. 整数的基本运算法则：加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
2. 整除关系的传递性：如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a能够被c整除。
3. 余数的性质：如果a被b整除，那么a和b有相同的余数；如果a除以b的余数为m，那么a加上或减去任意整数倍的b，余数仍然为m。
4. 余数的加法性质：如果a除以b的余数为m，c除以b的余数为n，则(a+c)除以b的余数为(m+n)除以b的余数。
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四年级奥数整除与余数
【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。
一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：
整除：
1.能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
2.能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
3.能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。
4.能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
5.能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。
6.能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
7.能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
有余数的除法：
1.一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
2.一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
3.一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
4.一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。
（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。
【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。
当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。
所以这个6位数是141525或146520
【巩固练习】
1.已知一个五位数是A1A72能被12整除，求这个五位数。
【答案】由于12=3×4，且3和4是互质的，所以能被12整除的数也就是说即能被3整除又能被4整除。
当A1A72能被3整除时，则有A+1+A+7+2=10+2A能被3整除，A可以取1和4,；因为这个5位数的末两位是72，能被4整除，所以该数可以被4整除。
所以
这个5位数是11172或41472。
2.如果一个6位数13A57B能同时被2、3、5整除，求这个6位数。
【答案】132570或135570或138570
3.有一个四位整数16AB如果要让这个四位数同时能被2、3、4、5整除，那么这个四位数的末两位上应是什么数？【答案】20或80 【经典例题2】要使六位数18ABC6能被36整除，而且所得的商最小，这个六位数是多少？
【发散思维】由于18ABC6能被36整除，36=4×9，且4和9互质，所以这个6位数既能被4整除又能被9整除。
再考虑“所得的商最小”这个条件，应首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。
【解题步骤】18ABC6能被4整除，则C6能被4整除，因此C可能取1、3、5、7、9。
18ABC6能被4整除，则
1+8+A+B+C+6=15+A+B+C能被9整除。
要使所得的商最小，就要使18ABC6尽可能小，即ABC尽可能小，因此首先A尽可能小，其次B,最后C尽可能小。
先试取A=0，此六位数之和为15+B+C,欲使B+C尽可能小，而且15+B+C能被9整除，则（B+C）取3，因为B+C=3，且C只能取1、3、5、7、9。
则C=3,B=0.
当A=0,B=0,C=3时，此六位数能被36整除，而且所得的商最小，为180036÷36=5001。
【巩固练习】
1.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5
整除，且使这个数值尽可能得小。
答案：这个六位数是865020。
2.一个三位数减去它的各位数字之和，其差还是一个三位数73A,求A 是几?
答案：设这个三位数为100a+10b+c,根据题意有
100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b=(11a+b) ×9=73A,这就说明73A一定是9的倍数，所以A取8。
3.用0、1、3、5、7这五个数中的四个数字，可以组成许多能被11整除的四位数，其中最小的一个四位数是多少？
答案：能组成14个，最小的是1375。
【经典例题3】有一个自然数，用它去除70、98和143这三个数得到的三个余数之和是29，求这个自然数。
【发散思维】如果设这个数为X,则根据带余除式可以得到下面三个等式：70=xq1+r1,98=xq2+r2,143=xq3+r3,将这三个等式相加就可以利用余数之和为29这个条件了。
【解题步骤】将上面三个等式相加可以得到
70+98+143=x(q1+q2+q3)+r1+r2+r3,
化简得311=xq+29,
其中的字母q是上面三个商的和，它是一个整数。
上面这个等式还可以写成xq=311-29,即xq=282,
从这个等式发现x是282的因数列出282的所有因数为1、2、3、6、47、94、141、282，这8个因数中哪个可以成为x的取值？逐一试
验可以发现x=47.
【巩固练习】
1.有一个自然数，分别去除25、38、43、所得的余数都不为0，且这三个余数之和是22，求这个自然数。
答案：如果把25、38、43三个数之和减去三个余数之和22，剩下的数必然是所求数的整数倍。
25+38+43=84，84=21×4，即84是4的21倍。
若所求之数为4，那么：25=4×6+1,38=4×9+2,43=4×10+3，而1+2+3！=22，。
若所求之数为21，那么：25=21×1+4,38=21×1+17,43=21×2+1,4+17+1=21。
所以这个自然数为21。
2.有一个自然数去除63、90、130都有余数，且余数之和为25，求这个自然数。
答案：这个自然数是43。
3.用一个整数去除454和456，所得的余数都是17。
求这个自然数。
答案：23或46或92。
【经典例题4】被除数除以除数，商是12，余数是26，被除数、除数、商、余数四个数的和是454，求除数是多少。
【发散思维】被除数与除数的和是454-12-26=416。
又因为商是12，余数是26，表示被除数比除数的12倍还多26，还要再减去26，所以除数是（416-26）÷（12+1）=30。
【解题步骤】（454-12-26-26）÷（12+1）=30。
【巩固练习】
1.两数相除，商是19，余数是4，被除数与除数的差为652，求被除数。
答案：688
2.被除数除以除数，商是18，余数是62，被除数、除数、商及余数的和是1529，求被除数是多少。
答案：1376
3.887除以一个数，商是52，且除数比余数大14，求除数和余数各是多少。
答案：除数是17，余数是3。
【经典例题5】求111…1除以7的余数是多少。
︸2002个
【发散思维】我们用竖式除，观察商的规律，发现111111÷7=15873，即每6个1组成的多位数能被7整除。
2002个1中有几个6个1，看余几个1，再由此确定余数。
【解题步骤】2002÷6=333……4,1111÷7=158……5，
所以111…1除以7的余数是5。
︸2002个【巩固练习】
1、求444…4÷9后余几。
︸2003个
答案：2003÷9=222……5,44444÷9=4938……2。
【经典例题6】已知2002年的1月1日是星期二，那么2002年的
12月5日是星期几？
【发散思维】因为星期是按规律重复出现的现象，每7天重复一次，所以要知道2002年的12月5日是星期几，就必须知道从1月1日到12月5日之间有多少天。
【解题步骤】2002不能被4能除为平年，所以2月28天，1、3、5、7、8、10都是31天，4、6、9、11都是30天。
28+31×6+30×5=339（天），所以339÷7=48……3。
即339天中有48个星期零3 天，这三天是从星期二起的3天，所以2002年的12月5日是星期四。
【巩固练习】
1.今天是星期三，从今日算起，第100天是星期几？
答案：100÷7=14……2，今天是星期三，从今天算起，第100天是星期四。
2.1993年的元旦是星期五，请你算一算，1997年的元旦是星期几？2000年的元旦是星期几？
答案：1997年的元旦是星期三，200年额元旦是星期六。
3.某年的10月有5个星期六，4个星期日，这一年的十月一日是星期几？
答案：星期四。