高微期末题

第一章：1-1两种产品x 和y 唯一需要的要素投入是劳动L 。

一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的投入量是1,。

假设可投入的劳动量总共为48。

（1）写出生产可能集Z 的代数表达式； （2）写出生产（隐）函数；（3）在（x ，y ）平面上标示生产边界。

答案：（1）生产可能集为：(){},,|848Z x y L x y L =-+≤≤ （2）生产函数为：8x y L +=（3）如下图： y8x+y=48ox1-4：对CES 生产函数()1112212,1,0y A x x A αααδδδδ=++=>（1）证明边际产出[]1/i i i MP A y x ααδ-=。

（2）求技术替代率12TRS 。

（3）当y 或21/x x 变化时，12TRS 如何随之变化？ （4）证明技术替代弹性1/(1)σα=-。

答案： （1）()()11111221i i iMP A x x x ααααδδαδα--=+()()11111221/i i A A x x x ααααααδδδ--⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦()1/i i A y x ααδ-=（2）1111222x TRS x αδδ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）y 变化时，技术替代率保持不变；21/x x 变化时，12TRS 随之等比例的变化。

（4）为简洁起见，记21/z x x =。

按定义()1212TRS dzd TRS zσ=()11212d TRS TRS dz z -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()11z z ααα---⎡⎤=-⎣⎦1/(1)α=-第二章 2—4 某厂商以一种投入同时生产两种产品，生产函数是02221=-+x y y 试求该厂商的要素需求和产品供给。

解：max{}()2,1020..2221221122212211==-=∂∂-+--+==-+-+i y p y Lxy y wx p y p y L x y y t s wx p y p y i i iλλ()2,1242202222122212221==+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==-+-=∂∂+-=∂∂i wp y w p p w p w p x x y y L w x Lii 得出：λλ2-7 假设某厂商以两种投入生产一种产品，生产函数),(21x x f y =是凹函数；产品市场和要素市场都是完全竞争的，即是说厂商的行为不改变产品和要素的价格。

厂商追求利润最大化，但它资金紧张，可用于购买要素的钱只有B>0，这样它还受预算约束：B x w x w ≤+2211（1）在上述预算约束下，推导厂商的最优要素投入条件。

（2）假设现存在另一可选要素3，它与要素2是相互完全替代的（投入一单位要素2与投入一单位要素3没有区别）；要素3的价格高于要素2的价格：23w w >不过厂商使用要素3不受预算约束的限制——我们可以想象要素3的销售商允许赊账。

在什么情况下厂商会使用要素3？试推导此时厂商对三种要素的最优需求条件。

解：(){()}Bx w x w t s x w x w x x pf ≤++-2211221121..,max约束是束紧的,拉格朗日函数：()()()()[][]2,11-01102,10,)(,2211221122112211212211221121=+=+==-++=+=-+-=∂∂==--=∂∂-+-+-=i w Bxf x f f Bx f x f p B x f x f p w pfB x w x w Li w w x x pf x LB x w x w x w x w x x pf L ii ii i i i i 得：解得：得出：λλλλλλ（2）{()}()()()()()[][]B x f x f p w w w pf w w w pf w Bx f x f p w pf w B x w x w Lw pf x Lw pf x LB x w x w x w x w x w x x x pf L Bx w x w t s x w x w x w x x x pf i i i2211233212312221122322113232211332211321221133221132110001),(..),(max +===+=+===-+-=∂∂=-=∂∂=+-=∂∂-+-++-+=≤+++-+即最优投入条件为：解得：λλλλ第三章：3-7 考虑一个两工厂厂商，其工厂的成本函数分别为： ()21112y y c = ()()22221+=y y c(1) 什么条件下厂商只使用一个工厂？什么条件下厂商需要两个工厂同时生产？ (2) 推导厂商的成本函数。

解：（1） ()11'114y y c mc == ()()12m c 22,22+==y y c当2/1≤y 时，厂商只使用一个工厂 当2/1>y 时，厂商需要两个工厂同时生产 （2） 当2/1≤y 时，由厂商1生产，()22y y c =当2/1>y 时，工厂1和工厂2同时生产，且满足21mc mc = 即()12421+=y y 且y y y =+21得出311+=y y 3122-=y y()()()()31222211+=+=y y c y c y c即()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<=2/13122/102)(22y y y y y c 其中其中3-10 对一个多产出函数()()[]α)(11ln ),,(212121y y y y w y y w c i i ++++=∑常数α分别取什么样的值时产品1和产品2的生产呈范围经济、范围不经济及可分特征？ 解：()()()()()()()()()()()()αααα222111212122212112111ln 1ln ,0,0,,1ln ,0,1ln 0,,y y w w y y w w y w c y w c y y w w y w c y y w w y w c +++++++=++++=+++= =()()[]αα21212111ln )(y y y y w w +++++()()[]α)(11ln ),,(212121y y y y w y y w c ii ++++=∑所以是否存在范围经济取决于αα21y y +与α)(21y y +的大小显然，当α=1时，两者相等，该成本函数呈现范围经济不变特征，即成本函数是可分的当α>1时，前者较小，范围不经济 当α<1时，前者较大，范围经济4-2 有一个钱币收藏家，同时还是一个投机者，他会根据钱币的市场价格买进或者卖出一些钱币；假设他现在处于均衡状态，即是说目前的市价下他不想买进也不想卖出。

证明：无论钱币市场上钱币的价格上涨还是下跌，这个人的效用水平总会增加。

证明 图见P388假设现在收藏家在（M*，X*）处达到均衡，其中M 指钱币数量，X 是所有其他消费品（的支出）。

在图中，预算线与一条无差异曲线I*相切。

如果P M 上升，P M /P X 增大，预算约束线较以前陡峭，但它必然还通过（M*，X*）点，因为这点的坐标满足预算线方程[注意收藏家本来持有组合（M*，X*）] P M M + P X X = P M M* + P X X*因此，新预算线必然与无差异曲线I*交于两点。

在这两点之间，必然能找到另一点（M'，X'），在这点预算线相切于一条更高的无差异曲线I'。

同理可以证明P M 下跌时个体可以达到一条较I*更高的无差异曲线[新均衡点将在（M*，X*）的右下方]。

4-9 证明希克斯需求函数满足等式：10ij jkj h p p =∂∂=∑ i = 1,…，k证明 根据希克斯需求的零次齐次性质：任取t > 0,h i (tp,u) = h i (tp,u) i = 1,…，k等式两端对变量t 求导1(,)0i j kj j h tp u p p =∂∂=∑i = 1,…，k取t = 1即得。

5-3某消费者具有效用函数u (x 1，y 2，y 3)=x 1a y 2b y 3c 。

（1）证明这个效用函数是弱可分的；（2）推导y -类商品的子效用函数；（3）在y -类商品的支出为m y 的前提下，求这类商品的需求函数。

解 （1）和（2）：若令Y(y 2 , y 3）=y 2b y 3c ，则 u （x 1,y 2,y 3)=x 1a y 2b y 3c 1a ≡x 1a Y=U(x 1 ，Y)显然它是弱可分的，而且y-类商品的效用函数就是Y(y 2 , y 3）=y 2b y 3c 。

事实上，可以计算y-类商品之间的边际替代率来进一步进行确认MRS 23y =112332131232//a b c a b c bx y y by u y u y cx y y cy --∂∂==∂∂这与x 商品的消费量无关。

（3）子效用函数Y(y2,y3)=y2by3c 是一个Cobb-Douglas 函数，按通常的效用最大化问题可求得其需求函数，这里不能重复。

5-9 如果某消费者有Cobb-Douglas 效用函数u = 11,01o m m ααα-<<市场利率为r ，初始收入为（0m ，1m )。

试推导消费者在时期0和1的需求函数。

解 根据第五章的跨时消费最优条件（5.63），有101100111(1)m (1)m m m r m r m ααααααα--∂-=+⇒=+-代入预算约束等式110011m mm m V r r+=+=++ 解得001[/(1r)]m m m α=++101m (1)[(1r)]m m α=-++6-2 某健身协会有一个健身房，只有该协会会员才有资格进入。

现在协会在考虑如何在会员中征募健身房的运营成本。

有三种可行的方案：（1）每个会员每月交会费50元，进入健身房一次交5元；（2）每个会员每月交会费20元，进入健身房一次交15元；（3）不交会费，进入健身房一次交45元。

经过问卷调查，获知这三种方案下每个会员每季度进入健身房的次数分别是7次、4次和1次，假设每一种方案都恰好维持健身房收支平衡。

利用显示偏好弱公理，你认为哪一种方案最好？解 由于三种方案都恰好维持健身房运营成本，所以所谓最好的方案一定是会员觉得最满意的方案。

根据问卷调查，若采用方案（1），会员的消费支出足以消费另外两种方案下他们选择的健身次数，这说明他们决定的健身次数7次是其最为满意的，准确地说就是方案1 ≥R 方案2 ≥R 方案36-4 如果你观察到下面的数据：1990年1991年大米消费量200万吨160万吨猪肉消费量10万吨12万吨大米价格 2.5元/公斤 2.2元/公斤猪肉价格12元/公斤18元/公斤如果不考虑其他消费品，试计算收入指数、Laspeyres和Paasche价格指数，根据这些指数，说明这两个年度消费者的境况有什么样的变化。