高考复数专题及答案.pdf

12.【2015 高考湖南，理 1】已知 (1− i)2 = 1+ i （ i 为虚数单位），则复数 z =（ ）
z
A.1 + i
B.1− i
C. −1+ i
D. −1− i
【答案】D.
【考点定位】复数的计算. 【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学
生对复数代数形式四则运 算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数
A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i [答案] C
6－2
5＋3
[解析] 由题意知 A(6,5)，B(－2,3)，AB 中点 C(x，y)，则 x＝ 2 ＝2，y＝ 2
＝4，
∴点 C 对应的复数为 2＋4i，故选 C.
3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i 表示的点在虚轴上，则实数 m 的值是 ()
【考点定位】共轭复数. 【名师点睛】复数中， i 是虚数单
位, i2 = −1；i4n+1 = i，i4n+2 = −1，i4n+3 = −i，i4n = 1(n Z)
7.【2015 高考山东，理 2】若复数 z 满足 z = i ，其中 i 为虚数为单位，则 z =（ ） 1−i
（A）1− i
（B）1 + i
6．(2010·湖南衡阳一中)已知 x，y∈R，i 是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i， 则(1＋i)x－y 的值为( )
A．－4 B．4 C．－1 D．1 [答案] A [解析] 由(x－1)i－y＝2＋i 得，x＝2，y＝－2，所以(1＋i)x－y＝(1＋i)4＝(2i)2
＝－4，故选 A.
的乘法与除法运算，运算时注意i2 = −1 ，注意运算的准确性,近几年高考主要考
查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位
置等. 6.【2015 高考湖北，理 1】 i 为虚数单位， i607 的共．轭．复．数．为（ ）
A． i
B． − i
C．1
D． −1
【答案】A
【解析】 i607 = i4151 i3 = −i ,所以 i607 的共．轭．复．数．为 i ，选 A .
A．－1 B．4 C．－1 和 4 D．－1 和 6 [答案] C [解析] 由 m2－3m－4＝0 得 m＝4 或－1，故选 C.
[点评] 复数 z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和 z 为纯虚数应加以区别．虚
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轴上包括原点(参见教材 104 页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．
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的乘法进行计算，而复数
的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.
13.【2015 高考上海，理 2】若复数 z 满足 3z + z = 1+ i ，其中 i 为虚数单位，则
z=
．
【答案】 1 + 1 i 42
【解析】设 z = a + bi(a,b R) ，则 3(a + bi) + a − bi = 1 + i 4a = 1且2b = 1 z = 1 + 1 i
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= a2 + b2 ，也可根据共轭复数的性质得 (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 ．
10.【2015 高考天津，理 9】 i 是虚数单位，若复数 (1− 2i)(a + i) 是纯虚数，则实
数 a 的值为
.
【答案】 −2
【解析】 (1 − 2i) (a + i) = a + 2 + (1 − 2a)i 是纯虚数，所以 a + 2 = 0 ，即 a = −2 .
7．(文)(2010·吉林市质检)复数 z1＝3＋i，z2＝1－i，则 z＝z1·z2 在复平面内对 应的点位于( )
【考点定位】复数的运算．
【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．
2.【2015 高考四川，理 2】设 i 是虚数单位，则复数 i3 − 2 (
)
i
（A）-i
（B）-3i
（C）i.
（D）3i
【答案】C
【解析】
i3
−
2 i
=
−i
−
2i i2
=
−i
+
2i
=
i
，选
C.
【考点定位】复数的基本运算.
【名师点睛】形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部．若
b＝0，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0，则 a＋bi 为
纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.
一、选择题
复数专题及答案（二）
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1．(2010·全国Ⅰ理)复数32＋－23ii＝(
【考点定位】复数相关概念与复数的运算. 【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算， 再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.
11.【2015 江苏高考，3】设复数 z 满足 z2 = 3 + 4（i i 是虚数单位），则 z 的模为_______.
【答案】 5
【解析】 | z2 |=| 3 + 4i |= 5 | z |2 = 5 | z |= 5
【考点定位】复数的模 【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一 般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复
| 数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：
z
|2
=
z2，| z1z2|
=|
z1||z2
|，| z1 z2
|=
| z1|. |z2 |
）
A．1 + 2i 【答案】A
B．1 − 2i
C． −1 + 2i
D． −1 − 2i
考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意i2 = −1 .
【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分 主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数
共轭复数为 z = a − bi(a,b R) ，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.
【2015 高考上海，理 15】设 z1 ， z2 C ，则“ z1 、 z2 中至少有一个数是虚数”是
“ z1 − z2 是虚数”的（ ） A．充分非必要条件 C．充要条件 【答案】B
B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
4．(文)已知复数 z＝1＋1 i，则－z ·i 在复平面内对应的点位于(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] B
[解析] z＝1－2 i，－z ＝12＋2i ，－z ·i＝－12＋12i.实数－12，虚部12，对应点－12，12
在第二象限，故选 B.
(理)复数 z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋z 1(
要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另
外，复数 z = a + bi 在复平面内一一对应的点为 Z (a,b) .
9.【2015 高考重庆，理 11】设复数 a+bi（a，bR）的模为 3 ，则（a+bi）（a-bi） =________. 【答案】3 【 解 析 】 由 a + bi = 3 得 a2 + b2 = 3 ， 即 a2 + b2 = 3 ， 所 以 (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = 3 . 【考点定位】复数的运算. 【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要 相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得 a + bi = a2 + b2 ，复数相乘可根 据平方差公式求得 (a + bi)(a − bi) = a2 − (bi)2
【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容
易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.
3.【2015 高考广东，理 2】若复数 z = i (3 − 2i) ( i 是虚数单位 )，则 z = （
）
A ． 3 − 2i
B ． 3 + 2i
D． 2 − 3i 【答案】 D ．
1−i 于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
【答案】B
【解析】由题意 2i = 2i(1+ i) = −2 + 2i = −1+ i ，其对应的点坐标为 (−1,1) ，位 1− i (1− i)(1+ i) 2
于第二象限，故选 B. 【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义. 【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，
【解析】若 z1 、 z2 皆是实数，则 z1 − z2 一定不是虚数，因此当 z1 − z2 是虚数时，则
“ z1 、 z2 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当 z1 、 z2 中至少有一个
数是虚数， z1 − z2 不一定是虚数，如 z1 = z2 = i ，即充分性不成立，选 B.
【考点定位】复数概念，充要关系
42ຫໍສະໝຸດ Baidu
【考点定位】复数相等，共轭复数 【名师点睛】研究复数问题一般将其设为 z = a + bi(a,b R) 形式，利用复数相等充要 条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题： 解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如 z = a + bi(a,b R) 的
)
A．是纯虚数
B．是虚数但不是纯虚数
C．是实数
D．只能是零
[答案] C
[解析] 解法 1：∵z 的对应点 P 在单位圆上，
∴可设 P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋isinθ.
z2＋1 cos2θ＋isin2θ＋1 2cos2θ＋2isinθcosθ 则 z ＝ cosθ＋isinθ ＝ cosθ＋isinθ
（C） −1− i
（D） −1+ i
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【答案】A
【解析】因为 z = i ，所以， z = i (1− i) = 1+ i ，所以， z = 1− i 故选：A.
1−i
【考点定位】复数的概念与运算.
【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进
行化简求解.
本题属于基础题，注意运算的准确性. 8.【2015 高考安徽，理 1】设 i 是虚数单位，则复数 2i 在复平面内所对应的点位
)
A．i
B．－i
C．12－13i
D．12＋13i
[答案] A
3＋2i (3＋2i)(2＋3i) 6＋9i＋4i－6
[解析]
＝
＝
2－3i (2－3i)(2＋3i)
13
＝i.
2．(2010·北京文)在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为 A，B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( )
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复数专题及答案（一）
1.【2015 高考新课标 2，理 2】若 a 为实数且 (2 + ai)(a − 2i) = −4i ，则 a = （ ）
A． −1 【答案】B
B． 0 C．1
D． 2
【解析】由已知得 4a + (a2 − 4)i = −4i ，所以 4a = 0, a2 − 4 = −4 ，解得 a = 0 ，故选 B．
的概念， z = a + bi 的共轭复数为 z = a − bi ．
4.【2015 高考新课标 1，理 1】设复数 z 满足 1+ z = i ，则|z|=( ) 1− z
（A）1
（B） 2
（C） 3
（D）2
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【答案】A
【解析】由 1+ z = i 得， z = −1+ i = (−1+ i)(1− i) = i ，故|z|=1，故选 A.
【解析】因为 z = i (3 − 2i) = 2 + 3i ，所以 z = 2 − 3i ，故选 D ．
C ． 2 + 3i
【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念． 【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力， 属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数
1− z
1+ i (1+ i)(1− i)
【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.
【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计
思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数 z，再利用复
数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.
5.【2015 高考北京，理 1】复数 i(2 − i) = （
＝2cosθ 为实数． 解法 2：设 z＝a＋bi(a、b∈R)， ∵z 的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1， ∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1， ∴z2＋z 1＝z＋1z＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R.
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5．(2010·广州市)复数(3i－1)i 的共．轭．复．数．是( ) A．－3＋i B．－3－i C．3＋i D．3－i [答案] A [解析] (3i－1)i＝－3－i，其共轭复数为－3＋i.