弧微分与曲率
曲率计算
R
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
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设曲线方程为 y = f ( x) , 且 y′′ ≠ 0 , 求曲线上点M 处的 曲率半径及曲率中心 D(α , β )的坐标公式 . 设点M 处的曲率圆方程为 (ξ − α ) 2 + (η − β ) 2 = R 2 故曲率半径公式为
Δα
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曲 率:
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 Δs , 对应切线 转角为 Δα , 定义 弧段 Δs 上的平均曲率
Δα K= Δs
点 M 处的曲率
M
M′ Δ s Δα
dα Δα = K = lim Δ s →0 Δ s ds
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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则弧长微分公式为 几何意义:
ds = x 2 + y 2 d t
y
ds = M T dy = sin α ds
dx = cos α ; ds
dx α o x x + dx x
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M
T
dy
二、曲率及其计算公式
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关
M
M ′ M ′′
x
显然 R
x = ±1
= 2 为最小值 .
利用 a + b ≥ 2 ab
2 2
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作业
第七节曲率
（ | MN | ）2 [1 ( y )2]
| MN |
x
s
x
| MN |
| MN |
1 ( y )2 x
N T R
x x x
y
令 x 0 取极限，得
N
s lim x0 x
lim | MN | lim
x0 | MN | x0
o
(1)C : y f ( x),函数 y f ( x)二阶可导,
tan y arctan y,
d
1 1 y2
y' ' dx
y'' 1 y2
dx
又 ds 1 y2dx
d
1
y'' y'2
dx
ds
1 y2dx
y''
3
(1 y2 )2
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2
s2
M3
s1
M1
弧段弯曲程度越大 转角越大
s1
M
M
N
s2 N
转角相同
弧段越短 弯曲程度越大
设曲线C是光滑的，
y
M0 是基点. MM s ,
从M到M 的切线转角为
o
C
.M
M0
s
S
M
.)
x
定义 弧段 MM' 的平均曲率
第七节 曲 率
一、弧微分
y C : y f (x)
N
设函数f ( x)在区间(a,b) 内具有连续导数.
弧微分与曲率
弧微分与曲率
圆弧微分是一种应用微积分的技术，是计算曲线的斜率的一种方法。
它用于确定曲线的方向和变化率，也用于衡量曲线的曲率。
曲率是指曲线的弯曲程度，反映曲线的“弯曲程度”。
圆弧微分法是计算曲线曲率的一种方法。
它使用微分以计算曲线上任意两点之间的斜率，从而计算出曲线的曲率。
圆弧微分法可以用于计算曲线的曲率，也可以用于计算曲线上任意点的曲率值。
它可以用来识别曲线上的拐点和拐点的方向，也可以用来研究曲线的形状特征，从而为更深入的分析提供理论支持。
圆弧微分法可以用于解决各种物理问题，比如计算表面的曲率，比如研究复变函数在某点的曲率，也可以用来研究物体的运动轨迹和轨迹的曲率，甚至可以用来研究天体运行的轨道。
圆弧微分是一种有用的数学技术，可以帮助我们更深入地了解曲线的特性，可以用来解决实际问题，也可以用于研究复杂的物理问题。
它的应用可以为科学研究提供强大的支持，为工程设计提供有效的解决方案，也为科技发展做出重要贡献。
弧微分与曲率
tan y (设 )
2
2
得 arctan y
d (arctan y)dx
K d
ds
又 故曲率计算公式为
y K (1 y2 )32
当 y 1时, 有曲率近似计算公式 K y
注:参数方程下曲率的计算
设
x y
2
(
x
)2
x
(y
2
)2
MN MN
2
1
(y)2
x 2
s x
MN MN
2
1
(y)2
x2
N T
x x x
当x 0时, N M
lim
NM
MN MN
2
K
2 (1 4x2 )3/ 2
,
1 K
(1 4x2 )3/ 2 2
.
在点(0, 0),
Kmax
2,
min
1. 2
y
随着曲线 y x2
O2
自原点逐渐上升 (| x | 增大),
K 逐渐减小， 逐渐增大.
O1
A
O
y x2
x
求 y x2 的最小曲率半径时的曲率圆的方程.
下面求 s s( x) 的导数与微分
设N ( x x, y y)为曲线 上的另一点, s MN
y AM
s 2 x
MN x
2
MN MN
2
MN x
第七节弧微分与曲率
处曲率
计算驻点处的函数值:
最大.
三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 ,
在点
在曲线
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆
( 密切圆 ) ,
R 叫做曲率半径,
D 叫做
曲率中心.
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线;
(2) 凹向一致;
相应的曲率中心
曲率中心公式可看成渐
曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .
屈线的参数方程(参数为x).
点击图中任意点动画开始或暂停
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨
削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
由例3可知, 椭圆在
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
显然, 砂轮半径不超过
又
曲率K 的计算公式
二阶可导,
设曲线弧
则由
说明:
(1) 若曲线由参数方程
给出, 则
(2) 若曲线方程为
则
例2. 我国铁路常用立方抛物线
作缓和曲线,
处的曲率.
点击图片任意处播放\暂停
说明:
铁路转弯时为保证行车
平稳安全,
求此缓和曲线在其两个端点
且 l << R.
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,
(3) 曲率相同 .
M 处作曲线的切线和法线,
的凹向一侧法线上取点 D 使
设曲线方程为
且
求曲线上点M 处的
曲率半径及曲率中心
设点M 处的曲率圆方程为
故曲率半径公式为
7.弧微分与平面曲线的曲率
1
,
19
三、曲率圆与曲率半径
曲率是表示曲线在一点 附近的弯曲程度的一 个数字特征.当给定曲线在某一点的 曲率，比如说 1 K ，我们还是不能很直观 地想象到曲线弯曲 3 的形象.但是，如果告诉我们某 一个圆的曲率为 1 1 K ，就可以由这个圆的半 径R 3而直观 3 K 地想象出他的弯曲形象 .因此要用具有相同曲率 的 圆来进一步刻画曲线在 某一点的弯曲程度.
2 由于ds 1 y dx , 所以
14
d K ds
y dx 2 1 y 1 y dx
2
y
y (1 y )
2 3 2
y' ' K (1 y'2 )3 2
o
曲线 C
M'
s
M0 s
M
x
15
x ( t ), 设 二阶可导, y ( t ), dy ( t ) d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) , . 2 3 dx ( t ) dx (t )
圆的弯曲程度处处相同 s 1 r s r 1 K r 圆的半径越小,K越大,圆弯 曲得越厉害.
s
M
13
下面推导曲率的计算公式. y 设 y f ( x ) 二阶可导,
曲线 C
M'
由导数的几何意义可知 ， s tan y' M0 s M arctan y' o x y d (arctany )dx dx 2 1 y
长度之比的极限等于 1，即 MN li m 1 x 0 MN
2 2
曲率及其计算公式-高数中曲率的计算公式
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
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1
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
y=0．4 x2
4
2O
2
x
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12
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8．
把它们代入曲率公式，得
K | y | 0．8．2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
K | y |
2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
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8
例2
抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K
| y | (1 y2 )3 2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
抛物线顶点处的曲率半径为
r 1 1．25．
K
所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过
2．50单位长．
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曲线的弧微分与曲率半径
曲线的弧微分与曲率半径弧微分和曲率半径是微分几何中经常遇到的概念，它们可以帮助我们研究曲线的特性和性质。
在曲线上，弧微分是描述曲线长度的微小增量，而曲率半径则是曲线在某一点上的弯曲程度的度量。
本文将详细介绍曲线的弧微分和曲率半径的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
首先，我们来定义曲线的弧微分和曲率半径。
对于平面曲线上的一小段弧长 ds，它的微分 ds 称为弧微分。
弧微分是描述曲线长度的微小增量，可以用微积分中的微分概念来解释。
曲线的弧微分可以表示为ds = √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt，其中 dx 和 dy 分别是曲线上一点的横纵坐标的微分，dt 是曲线参数 t 的微分。
曲率半径是曲线在某一点上的弯曲程度的度量。
在平面曲线上，曲率半径可以定义为两个单位切向量之间的夹角的倒数。
具体来说，单位切向量是指切线方向的单位向量，可以表示为 T = (dx/ds, dy/ds)，其中 dx 和 dy 是曲线在某一点的坐标变化，ds 是曲线弧长的微小增量。
曲率半径可以表示为曲率半径R = 1/κ，其中κ 是曲率，即曲线在某一点上的弯曲程度。
曲率可以用公式κ = |dT/ds| 来计算，其中 dT/ds 是单位切向量的变化率。
接下来，我们将探讨如何计算曲线的弧微分和曲率半径。
对于给定的曲线方程 y = f(x)，我们可以通过对参数 t 的选取来得到参数方程 x = g(t) 和 y = h(t)。
在这个参数方程中，参数 t 通常是曲线上的弧长。
我们可以使用微分几何的知识来计算曲线的弧微分和曲率半径。
首先，我们计算曲线的弧微分。
根据曲线的参数方程，dx/dt = g'(t)和 dy/dt = h'(t)。
代入弧微分的定义公式，我们可以得到ds = √[(dx/dt)²+ (dy/dt)²] dt = √[g'(t)² + h'(t)²] dt。
曲线的弧微分和曲率分析
曲线的弧微分和曲率分析曲线是我们日常生活中常见的概念，指的是由一系列的点或者坐标连接而成的连续性图形。
学习曲线是计算机科学、数学、物理、工程学等领域必须掌握的基础知识。
本文将介绍曲线的弧微分和曲率分析，让大家更深入理解曲线中的形态和特征。
一、弧微分在学习曲线之前，我们需要了解一下微积分中的概念：导数。
导数是描述一个函数在某点处变化率的概念，计算导数的过程就叫做微分。
对于曲线，由于它特殊的连续性，我们可以在不断微分的基础上得到它的弧长，进而求得弧微分。
设曲线为 $f(x)$，$a\leq x\leq b$，则曲线从 $a$ 到 $x$ 的长度为$L(x)=\int_a^x\sqrt{1+(f'(t))^2}dt$对 $L(x)$ 进行微分，即可求出弧微分 $\Delta s$：$$\Delta s=\sqrt{1+(f'(x))^2}\Delta x$$二、曲率分析曲率是描述曲线形态的重要指标，它的概念是指曲线在某一点处形成的圆的半径，半径越小曲线越弯曲，反之曲线越平滑。
计算曲率的过程就叫做曲率分析。
设曲线为 $f(x)$，$a\leq x\leq b$，曲线上某一点的坐标为$(x_0,f(x_0))$，则通过一系列的推导，可以得到它在该点处的曲率为：$$K(x_0)=\frac{|f''(x_0)|}{[1+(f'(x_0))^2]^{3/2}}$$在计算曲率时，需要首先求出曲线的二阶导数，也就是 $f''(x)$。
对于不同类型的曲线，计算曲率的方法略有不同，但其本质是类似的。
比如对于圆弧，由于其表现为标准的圆形，曲率计算非常简单。
三、弧微分和曲率的重要意义曲线的弧微分和曲率是描述曲线特征的重要概念，它们不仅在计算机科学、物理、工程学等领域有着广泛的应用，而且在医学影像、地理信息科学等人文领域也有着重要的应用。
通过对曲线特征的描述和分析，可以更好地理解曲线的形态和变化，从而为人们提供更好的分析和决策基础。
弧微分与曲率
弧微分与曲率
曲率与微分：弧微分是一种在几何和数学领域中应用较为广泛的一种数学工具。
它可用来计算曲线某点的曲率，以及曲率的变化。
广泛应用于几何学中的曲率的测试，问题的判定和弧长的求解，也用来解决实际物理现象中的曲率问题。
弧微分定义：弧微分定义为求取曲线某点的曲率的一种方法。
它根据构成曲线的函数参数以及两个极限值来计算曲线的曲率，曲率大小取决于参数和极限值的变化。
弧微分应用：弧微分在几何学，物理学，数学等诸多领域中都有应用，是几何学，机械工程及物理学中最常用的数学工具之一。
在几何学中，弧微分用来测试几何图形的曲率，计算曲面的曲率，用来求解弧长等等问题，是非常重要的几何计算工具。
在机械工程领域，弧微分可以用来计算运动轨迹及其变化，从而用于机械设计，航空、汽车和其他机械产品的开发。
在物理学中，弧微分被广泛用来解决各种曲率问题，如重力、磁场和电场等实际物理现象中曲率分布的研究。
总结：弧微分是在几何和数学领域中广泛应用的一种数学工具，它可以用来计算曲线某点的曲率，以及曲率的变化。
弧微分的应用范围很广，几何学，机械工程及物理学中各有其用。
它能够有效地解决几何图形的曲率，计算曲面的曲率，求解弧长等问题，并广泛用于解决实际物理现象中的曲率问题。
它是非常重要的几何数学工具，是研究几何曲率及其变化最为重要的数学工具。
3.6 弧微分、曲率
例4
率突然改变, 容易发生事故, 为了行驶平稳, 往往
在直道和弯道之间接入一段缓冲段, 使曲率连续
地由零过渡到
1 R
,
其中
R
为圆弧轨道的半径.
数学上常用三次抛物线
y
x3 6Rl
,
x
[0,
x0
].
作为缓冲段 OA,其中 l 为OA的长度,
使得缓冲段 OA在始端 O 处 的曲率为零,
且当
l R
很小
l R
1
时,
y R
在终端
A
的曲率近似为
1 R
.
A
ol
x
y 1 x3 6Rl
例2 根据分析, 在缓冲段 OA上,
y
1 2Rl
x2,
y
1 Rl
x.
故在缓冲段始端 x 0处的曲率为 K0 0. ( y 0, y 0)
题意实际要求
l
x0 ,
l R
1,
故
y xx0
x02 2Rl
l2 2Rl
l 2R
,
y xx0
y
几何意义: ds MT
dx cos ; dy sin
ds
ds
T
M dy
dx
o x x dx x
二、曲率及其计算公式
曲线的弯曲程度
与切线的转角有关 与曲线的弧长有关
M M M
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s ,对应
切线转角为 ,定义
弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
x0 Rl
l Rl
1. R
例2
题意实际要求
l
《弧微分与曲率》内容小结、题型、典型题与参考课件
《弧微分与曲率》内容小结、题型、典型题与参考课件一、弧微分弧微分ds：对弧长的近似描述. 等价于切线长度，也等价于割线长度. 即图中的三条线的长度在△x→0时，有从而在与极限相关的计算中，弧长可以近似为切线的长度，或者割线的长度.弧微分几何意义：弧微分ds等于自变量x的改变量△x相对应的切线的长.●当曲线由可微函数y=f(x)描述时，则(x,f(x))到(x+△x,f(x+△x))(△x>0)之间的弧长△s近似为弧微分ds，有●当曲线由参数方程x=x(t), y=y(t)描述时，●当曲线由极坐标方程ρ=ρ(ϴ)描述时，则有二、曲率曲率是刻划曲线的弯曲程度的一个量，很好地反映了曲线的弯曲程度.平均曲率：曲线弧上切线转角大小与对应弧长的比值.曲率：平均曲率的极限：●圆的曲率为圆的半径的倒数●直线的曲率等于0.三、曲率圆曲线上某点处的曲率圆与曲线，描述曲率圆的方程与描述曲线的函数的关系：●曲率圆经过该点(函数值相同)；●曲率圆位于曲线凹向的一侧(凹凸性相同)；●曲率圆的圆心(曲率中心)在曲线该点处的法线上；●圆的半径(曲率半径)为曲线在该点处曲率的倒数(具有相同的曲率)；●曲率圆与曲线具有共同的切线(一阶导数值相同)；●由上可推知二阶导数值相同.四、曲率圆方程求解步骤第一步：设曲率圆方程(x-ξ)2+(y-η)2=R2.第二步：借助隐函数求导方法对曲率圆方程两端求关于变量x的一阶、二阶导数(y为x的函数y(x)).第三步：对由曲率圆方程、一阶、二阶导数等式构成的方程组，代入函数y=f(x)在给定点的变量x的取值，函数f(x)、f’(x)、f’’(x)，解关于圆心坐标ξ，η和半径R的三元方程，得到圆心坐标和半径取值.【注】提倡使用以上方法计算曲率圆，如果记得公式，也可以直接由如下公式计算曲率中心坐标(ξ,η)和曲率圆半径R.参考课件节选。
3-9弧微分与曲率-文档资料
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学. 基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
曲线弯曲程度的描述——曲率;
曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
思考题
2 cos t , y 3 sin t 椭圆 x 上哪 些点处曲率最大？
思考题解答
k
3 2 2 2 (4sint 9cost) [1 ( y ) ] 6
3 2 2
| y |
6
(4 5cos2 t )
3 2
2 要使 k最大， 必有 (45cos t)
3 2 最小，
3 t , 2 2
此时 k最大，
y 2 1 ( ) x s )2 (x (y s ) lim 1 x 0 x
MM MM
M M lim 1 x 0M M
s(x ) 1(y)2
2 2 2 或 d s (d x ) (d y ) d s 1 ( y )d x x x (t ) 若曲线由参数方程表示: y y (t )
1 3 通常用三次抛物线 y x ， x [ 0 , x 0 ]．作为 6 Rl 缓冲段 OA ，其中 l 为 OA 的长度，验证缓冲段 OA 在始端 O 的曲率 l 为零 , 并且当 很小 R l ( 1 ) 时，在终端 R 1 A 的曲率近似为 . R
y
R
l
A (x ,y ) 0 0
一、 弧微分
设 yf( x ) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s ( x )
y
高等数学(上册)-第3章第6讲(弧微分与曲率)[19页]
![高等数学(上册)-第3章第6讲(弧微分与曲率)[19页]](https://img.taocdn.com/s3/m/9fb41ee71a37f111f0855b33.png)
18
高等数学（上册）（慕课版）
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
O
x0
y f (x)
M
•
x
x
4
一、弧微分
弧微分公式 ds ? ds s(x)dx 先求s s(x)的导数 d s lim s
d x x0 x
s ? x
在x处给自变量x一增量x,
相应的有向弧段的值s有增量s,
s M0M M0M MM
s s MM MM MM x x x MM x
解 根据摆线方程可得x(t) a a cos t，y(t) a sin t，故
y(x) d y y(t) sin t cot t ，
d x x(t) 1 cos t
2
y(x)
d2 y d x2
d dt
cot
t 2
1 x(t)
1 2 sin2
t
1 a(1 cos t)
a(1
1 cos
y
K
y
3
(1 y2 )2
分析
K
d
ds
s s(x), (x)
d
ds
d?dx
ds dx
M
•
s
M
M •
0
•
O
x
ds dx
1 y2
d
dx
?
12
二、曲率
证明
tan y,
sec2 d y.
dx
d
dx
y
sec2
y
1 tan2
y 1 y2
.
又 d s 1 y2 dx
3-9弧微分与曲率
MM x
M M (x)2 (y)2
MM
x
y
y
f (x) M
B
A M y
x
oa x
bx
x x
M M 1 (y)2
MM
x
s(x) lim s 1 ( y)2 x0 x
lim M M 1 x0 M M
略去二次项 l2 4R2
,
得
kA
1. R
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x) 在点 y
M( x, y) 处的曲率为k(k 0). 在点 M 处的曲线的法线上,
D 1
k
y f (x)
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
M
x
作圆(如图), 曲率中心, 曲率半径.
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
R
y
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
x
证 如图 x的负半轴表示直道，
OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
在缓冲段上,
y 1 x2 , y 1 x.
2Rl
Rl
y
B
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
x
在x 0处, y 0, y 0, 故缓冲始点的曲率 k0 0.
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?
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x)2 ?
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MN MN
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N
T
x? ?x x
y
N
当? x ? 0时, N ? M
AM
T
lim
N? M
????
第三章 微分中值定理与导数的
应用
高等数学
第六节 弧微分与曲率
我们直觉认识到：直线不弯曲，曲线不同部分 有不同的弯曲程度；
怎样描述曲线局部弯曲程度？
?? 1
??2
M2 ? S2 M3
? S1
M1
弧段弯曲程度
越大转角越大
? S1
M?
M
N
? S2 N ?
??
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
一 弧微分
设函数 f ( x)在区间 (a , b) y
下面求 s ? s( x) 的导数与微分
设N ( x ? ? x, y ? ? y)为曲线 上的另一点 , ? s ? MN
y AM
?? ?
? ?
s x
??2 ?
?
?? ?
M N ??2 ?
?x ?
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MN MN
????2
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MN ?x
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o
x0 x
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MN MN
????2
ddddxsxs???l??lxixixm??m?000??????xsxs???l??lxixixm??m?000
(((??xxx)))222??((???yy)))222 ||?|?xx||
???llilimimm ???xx?x?? 000
11???((?????yxxyx)))222
?
1? y?2 ?
K
?
| y??| (1? y?2)3
2
?
(1?
2 (? 1)2)3
2
?
1? 2
2? 2
例3 抛物线y?ax2?bx?c上 哪一点处的曲率最大？
K
?
(1?
y?? y?2 ) 32
解 由y?ax2?bx? c? 得 y??2ax?b? y???2a?
代入曲率公式 ? 得
K
?
[1?
| 2a (2ax ?
故曲率为
K
?
? ?(t)?
??(t) ? ? ??(t)? ?(t)
3
[? ?2 (t) ? ? ?2 (t)]2
ab
?
(a
2
sin
2
t
?
b
2
cos2
3
t) 2
在t=0处,即在点 (a ,0)的曲率为
K
?
a b2
思考: 上面的椭圆在何处曲率最大 ?
三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表 达弧段的平均弯曲程度 .
2、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段 , 其长为 ? s , 对应切线
转角为 ?? , 定义
弧段 ? s上的平均曲率
K ? ??
?s
点 M 处的曲率
K ? lim ? ? ? d ?
? s? 0 ? s
ds
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
由此得弧微分公式 :
ds ? 1? y?2 dx ? 或者
ds ? (dx)2 ? (dy)2
二、曲率及其计算公式 1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
??1
?? 2
M2
? S2
M3
? S1
M1
? S1
M?
M
N
? S2 N ?
??
弯曲程度越大转角越大 转角相同弧段短的弯曲大 问题: 怎样刻画曲线的弯曲程度？
内具有连续导数 .
N
在曲线上取点 : A( x0 , y0 ) 作为度量弧长的基点 .
AM
T
对于曲线上任意一点 M ( x , y), o
x0
x
x? ?x x
规定： (1)曲线的正向为 x增大的方向 ;
(2) AM ? s, 当AM的方向与曲线正向
一致时 , s取正号 ,相反时 , s取负号 . 易看出：弧长 s ? s( x) 是x的单调增函数 .
MN MN
????2
?
1
lim ? y ? y? ?x? 0 ? x
o
x0 x
x? ?x x
故 ds ? ? 1 ? y?2 dx .
? s ? s( x)为单调增函数 ,
故 ds ? 1 ? y?2dx.
弧微分公式
弧微分公式
设x?x?? x为(a?b)内两个邻近的点 ?它们在曲线 y?f(x) 上的对应点为 M?N? 并设对应于 x的增量? x? 弧 s 的增量 为? s. 因为当? x? 0时? ? s ~ MN?又? x与? s同号? 所以
| b)2]3
2
?
显然?当2ax?b?0时曲率最大 ?
曲率最大时? x? ?b ? 对应的点为抛物线的顶点?
2a
因此? 抛物线在顶点处的曲率最大 ? 此处K?|2a|?
例4. 求椭圆
??? xy
? ?
a cost bsin t
(0
?
t
?
2?
)
在t=0处的曲率 .
解: ? ?(t) ? ? a sin t ; ? ?(t) ? b cos t ; ? ??(t) ? ? a cos t ? ??(t) ? ?b sin t
tan? ? y? (设 ? ? ? ? ? ? )
2
2
得 ? ? arctan y?
d?
?
(arctan
y?)?dx
?
y?? 1 ? y?2
dx
又 ds ? 1 ? y?2 dx
故曲率计算公式为
K
?
(1?
y?? y?2 ) 32
K ? d?
ds
ห้องสมุดไป่ตู้
当 y? ?? 1时, 有曲率近似计算公式 K ? y??
注:参数方程下曲率的计算
设?? ?
x y
? ?
? ?
(t ), (t ),
二阶可导 ,
K
?
(1?
y?? y?2 ) 32
?
dy dx
?
? ?
?(t ) ?(t )
,
d2y dx 2
?
? ?(t )?
??(t ) ? ???(t )? ? ?3 (t )
?(t )
.
?
k?
? ?(t )? ??(t ) ? ? ??(t )? ?(t )
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
? s ? R? ?
? K ? lim ? ? ? 1
? s? 0 ? s R
M?
?? ?? ?s
R
M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
曲率K 的计算公式
设曲线弧 y ? f (x) 二阶可导 , 则由
3.
[? ?2(t ) ? ? ?2(t )]2
例2 计算等边双曲线 xy?1在 点(1, 1)处的曲率 .
K
?
(1?
y?? y?2 ) 32
解解? 由 y ? 1 ? 得 x
y?? ? 1 x2
?
y???
2 x3
?
因此y?|x?1?? 1? y??|x?1? 2? 曲线在点 (1?1)处的曲率为