八年级数学上(人教版)实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系
人教版初中数学八年级上册 实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系(全国一等奖)
《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计一．内容和内容解析1.内容：三角形中边与角之间的不等关系：大边对大角，大角对大边2.内容解析：本节内容是八年级上册数学教科书第十三章《轴对称》这一章章末的“实验与探究”材料。
它是在学生学习了三角形中“等边对等角”和“等角对等边”的性质后提出来的反思：如果三角形的边（角）不相等，那么它们所对的角（边）的大小关系怎样大边所对的角也大吗从“等角对等边”到“大角对大边”，从“等边对等角”到“大边对大角”，至此，教材将三角形中的“相等”与“不等”关系演绎的淋漓尽致。
针对学生的认知水平，课本利用了轴对称的方法来解决问题，借助于轴对称，解决了上述疑问，也获得了添加辅助线证明性质的方法。
在此探索与证明的过程中，体现了转化的思想。
基于以上分析，确定本节课的教学重点，探索并证明三角形中边与角之间的不等关系。
二．目标与目标解析1.目标（1）探索并证明三角形中边与角的不等关系（2）能利用三角形中边与角的不等关系来比较边或角的大小（3）结合上述性子和探索的证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的桥梁作用，以及在此过程中作辅助线的方法。
2.目标解析达成目标（1）的标志是学生能借助实验探究发现在一个三角形中边与角之间的不等关系，并能推理论证出来，能正确理解其中的含义，能用数学语言准确表述性质的含义。
达成目标（2）的标志是：学生能解决相关应用问题。
达成目标（3）的标志是：学生获得添加辅助线证明几何题的方法。
三．教学重难点教学重点：三角形中边与角之间的不等关系的探究过程。
教学难点：折纸的无意操作与辅助线的有意添加结合，即如何从实验操作中得到启示，写成几何证明的表达。
教具准备：三角形纸片数张、剪刀、圆规、三角板等。
四．教学过程一、课题引入我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等（等边对等角）。
在一个三角形中，如果两条边不相等，这两条边所对的角是否相等呢二、探究“大边对大角”（一）观察图形，提出猜想观察你手边的不等边三角形纸片，能得到你的猜想吗（在△ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C，同学们通过肉眼观察可得到∠C大于∠B，故猜想大边对大角）综上，我们提出猜想：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成"大边对大角"）（二）小组讨论，验证猜想1量角器测量：通过几何画板演示验证2折纸活动：A B CED A B C 我们在探究“等边对等角”时，采用将三角形对折的方式，发现了“等边对等角”，从而利用三角形的全等证明了这些性质。
《实验探究：三角形中边与角之间的不等关系》教学设计
人教版《数学》八年级上册《实验探究：三角形中边与角之间的不等关系》教学设计一、内容和内容解析1.内容“大边对大角”与“大角对大边”两个互逆命题。
2.内容解析在这节课是学生在学过等腰三角形的性质与判定之后，这个“实验与探究”进一步让学生探究了三角形中边与角的不等关系。
安排它的目的有两个：一是让学生探究三角形中边与角的不等关系，即教科书中给出的两个互逆命题；二是通过这两个问题的探究，介绍利用相等关系来解决不等关系的一种方法。
在一些问题中，有时会遇到三角形中的边角不等关系。
例如：在七年级下册中介绍过“垂线段最短”这个结论，是通过观察和探究得到的，应用边角不等关系的结论，可以证明，在直角三角形中，斜边最长，从而可以证明它。
两个互逆命题的探索是通过轴对称进行的，借助于轴对称发现了两个互逆命题，也获得了添加辅助线证明的方法。
两个互逆命题的证明是将欲证明的两个角（或两条边）置于一个三角形的外角和不相邻的一个内角（或一个三角形的三边）之中，这是证明两个角不等或两条边不等的基本策略之一。
命题的探索与证明体现了转化的思想。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：【教学重点】探索并证明两个互逆命题。
二、目标和目标解析1.目标（1）探究三角形中边与角的不等关系，即教科书中给出的两个互逆命题（2）能利用轴对称的性质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的知识，解决边角之间的不等问题.2.目标解析达成目标（1）的标志是：通过探究发现，在一个三角形中边角之间的不等关系。
达成目标（2）的标志是：通过探究和推理论证，结合图形，发展学生的分析问题和解决问题的能力，通过探索总结形成，利用图形的翻折等变换是解决几何问题的常见策略。
三、教学问题诊断分析学生通过前一段时间对三角形、等腰三角形相关知识的探究，已经具有一定的独立思考和探究问题的能力。
但学生由于添加辅助线的经验不足，对于何时添加辅助线，如何添加辅助线仍没有规律性了解，添加辅助线本身就是一种探究性数学活动，是获得证明所采取的一种尝试，既可能成功，也可能失败。
人教版初中数学八年级上册 实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系【全国一等奖】
沪科版八年级上册第13章第一节第一课时三角形中的边角关系（1）凤阳县西泉中学杨薇薇一教学目标：1．了解三角形的概念，掌握分类思想。
2．经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。
3．让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。
二教学重难点：1重点：了解三角形的分类，弄清三角形三边关系2难点：对两边之差小于第三边的领悟三教学准备：1教师准备：多媒体课件2学生准备：四根小木棒四教学过程：（一）创设情境，探究新知投影图片，把事先收集的与三角形有关系的生活图片，运用多媒体播放，让学生对三角形有一个感性认识引入课题教师：我们在日常生活中几乎随处可见三角形，它简单、有趣，也十分有用。
三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界，可以帮助我们解决很多实际问题，在小学时我们大家已经初步学过三角形及相关知识。
这一节课开始我们将进一步系统地学习三角形。
（二）合作交流，探究新知1 教师出示一组不同类型的图形，引导学生找出里面的三角形2教师：大家都能很快的判断出那个图形是三角形，那么你能给三角形下个定义吗学生讨论教师归纳：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形师强调三角形定义中的两点：不在同一条直线上和首尾依次相接3教师活动：给出一个三角形，如图所示，并标上字母，引导学生体会用符号来表示一个三角形的方法，认识并表示三角形的基本元素：边、角、顶点。
学会运用大小写字母来表示三角形的边、角和顶点，如图的三角形可记作⊿ABC，三边可记作边AB、边AC、边BC或边a、边b、边c；三个角可记作∠A、∠B、∠C，三个顶点可记作点A、点B、点C注意：表示边时要两个大写字母，或一个小写字母注意小写字母标注的规律：通常顶点大写字母所对的边就是这个顶点的小写字母4巩固练习（多媒体展示）数一数所给出的图形中有三角形吗有几个学生很准确的找出正确答案。
5教师给出不同类型的三角形，引导学生从边长不同的角度观察、分类1）不等边三角形（三边互不相等）2）等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）说明：对于等腰三角形来说，相等的两边称为腰，第三边称为底边。
实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
13.3.3 实验与探究三角形中边与角之间的不等关系静海第七中学刘东焕一、内容和内容解析1．探究内容在三角形中，大边对大角，大角对大边．2．内容解析在学习了等腰三角形的性质和判定之后，这个“实验与探究”进一步让学生了解三角形边与角之间的不等关系。
通过实验与探究，一、学生经历"观察→猜想→验证→证明"等一系列活动，发展学生的分析问题和解决问题的能力，并了解解决几何问题的常用方法，二、通过这两个问题的探究，让学生知道利用相等关系解决不等问题的方法。
二、教学目标1、利用轴对称的性质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的知识解决边角之间的不等问题.2、经历"观察→猜想→验证→证明"等一系列活动，发展学生的分析问题和解决问题的能力获得合情推理、归纳推理能力。
3、通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略；积累数学活动经验.三、教学重难点教学重点：添加辅助线,将边角之间的不等问题转化为边角的相等问题解决。
教学难点：折纸的无意操作与辅助线的有意添加结合.四、教学过程设计（一）. 温故知新，引入新课我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等.反过来，在一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边也相等。
下面这些图形也是我们生活中常见的三角形，它们是不等边三角形。
在这样的三角形中，两条边不相等，同学们仔细观察，猜想一下它们所对的角有怎样的关系？（二）. 动手操作，探究新知（二）.动手操作，探究新知"大边对大角"1、观察图形，提出猜想（1）让学生观察事先做好的不等边三角形（为了教学方便教师提前布置制作△ABC，且AB＞AC）.（2）通过观察图形，猜想性质.在⊿ABC 中，边AC 对∠B ，边AB 对∠C ，同学们通过肉眼观察可得到∠C 大于∠B ，故猜想大边对大角.2、动手实验，验证猜想小组合作探究动手实验验证猜想的正确性同学们可能想到如下方法：（1）度量法：准确度量∠B 和∠C 的度数，验证∠C 大于∠B 。
八年级数学上册第十三章等腰三角形《实验与探究三角形中边与角之间的不等关系》
教学设计2024秋季八年级数学上册第十三章等腰三角形《实验与探究三角形中边与角之间的不等关系》一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并掌握三角形中边与角之间的基本不等关系（如大边对大角、小边对小角），并能运用这一关系解决简单问题。
2.数学思维：培养学生的观察、比较、归纳和推理能力，以及从特殊到一般的数学抽象思维能力。
3.问题解决：通过实验操作，提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
4.情感态度：激发学生对数学的兴趣，培养严谨的科学态度和探索精神。
二、教学重点•理解并掌握三角形中边与角之间的不等关系。
•能够运用这一关系解决具体问题。
三、教学难点•如何通过实验探究发现三角形中边与角之间的不等关系。
•灵活应用不等关系解决复杂情境下的三角形问题。
四、教学资源•多媒体课件（包含三角形图片、动画演示）。
•实物三角形模型（可调整边长和角度的）。
•实验器材（如尺子、量角器）。
•练习题卡（分层次设计）。
五、教学方法•实验探究法：通过动手操作，让学生亲身体验和发现三角形中边与角之间的不等关系。
•直观演示法：利用多媒体和实物模型直观展示三角形性质。
•讨论交流法：组织学生讨论实验结果，促进思维碰撞。
•归纳总结法：引导学生从实验结果中归纳出一般性的数学结论。
六、教学过程1. 导入新课•情境引入：展示一个形状各异的三角形，引导学生观察并思考：在三角形中，边长和角度之间是否存在某种关系？•提出问题：激发学生兴趣，提出本节课要探究的问题——三角形中边与角之间的不等关系。
2. 新课教学•实验准备：分发实验器材，包括可调整边长和角度的三角形模型。
•实验探究：•步骤一：学生动手调整三角形模型的边长和角度，观察并记录当边长变化时角度的变化情况。
•步骤二：小组讨论，分享观察结果，初步发现大边对大角、小边对小角的规律。
•步骤三：教师利用多媒体展示多个三角形的例子，进一步验证学生的发现。
•理论讲解：结合实验结果，教师讲解三角形中边与角之间的不等关系及其数学原理。
《实验探究：三角形中边与角之间的不等关系》教学设计5
学科数学教师年级八年级课题实验与探究：三角形中边与角之间的不等关系教学目标教学重点三角形中边与角的不等关系的探究与证明教学难点如何添加辅助线证明“大边对大角”教具准备三角形纸片、剪刀、三角板、彩笔、磁石、几何画板课件等教学流程师生活动设计意图一、回顾思考1.等腰三角形有哪些性质？2.我们主要是通过什么方法，发现了等腰三角形的性质？又是通过什么方法进行证明的？二、提出问题1.当三角形的三条边都不相等时，还有“三线合一”的性质吗？2.在一个三角形中，如果两条边不相等，那么，它们所对的角相等吗？3.如果不相等，是较大边所对的角大，还是较小边所对的角大？三、探究新知（一）观察图形，提出猜想1.教师提出问题，学生思考并回答；2.教师利用几何画板动画演示折纸过程，回顾证明方法。
1.教师改变三角形的状，并提出问题；2.学生结合图形思考并回答。
1.教师利用几何画板动画演示图形；回顾所学知识及探究方法，为新知的实验与探究做好铺垫。
类比等腰三角形的性质，提出问题，引出本节课的探究主题。
在△ABC 中，当改变边AB 和AC的长短时，它们所对的角∠C、∠B的大小也改变。
当AB＞AC时，通过肉眼观察，可以得到∠C＞∠B。
猜想：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，较大边所对的角也较大.（二）实验探究，验证猜想1.学生利用事先制作好的不等边三角形通过折纸验证猜想。
(为了教学方便，统一制作△ABC，规定AB＞AC)2.学生走上讲台，展示验证猜想的探究过程；3.几何画板动态演示各种折纸方法；4.师生归纳猜想：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成：大边对大角）.（三）推理探究，证明猜想1.根据文字命题画出图形，写出已知、求证；已知：如图，在△ABC 中，AB>AC . 2.学生观察图形变化，提出猜想；3.教师板书猜想.1.学生进行分组实验探究，教师巡视指导；①叠合法：沿垂直平分线折叠：如图1，将△ABC沿BC的垂直平分线MN折叠，使点B落在点C上，发现∠C>∠B。
人教版初中数学八年级上册《三角形中边与角之间的不等关系》
一、〖复习旧知〗——知识
1. 等腰三角形具有什么性质？ 2. 如何判定一个三角形是等腰三角形？ 3. 这当中有互逆定理吗？
二、〖探究新知〗——方法
1. 提出问题 在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的 角是否相等呢？ 反过来，在一个三角形中，如果两个角不 相等，那么ห้องสมุดไป่ตู้们所对的边是否相等呢？
3.验证猜想
例1. 已知：ΔABC中，AB > AC，求证：∠C > ∠B
C'
C' 结论1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所 对的角也不等，大边所对的角较大。
二、〖探究新知〗——方法
4. 类比探究
例2. 已知：ΔABC中，∠C > ∠B，求证：AB > AC D E
结论2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所 对的边也不等，大角所对的边较大。
解：（1）∠A >∠C >∠B （2）是，这个锐角是最大的角 （3）斜边 （4）利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问 题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题。（转化思想）
四、〖巩固练习〗——经验
例1.如图，在四边形ABCD中，四条边不等，AD边最大， BC边最小。求证：∠B >∠D
D
二、〖探究新知〗——方法
2. 实践猜想 （1）让学生自己动手作不等边三角形 （2）观察测量（用量角器和刻度尺测量） （3）猜想 边 对应的角 猜想结论 AB：9.5cm ∠C： 570 AC： 5.7cm ∠B： 300 BC：11.5cm ∠A：930
在一个三角形中，大边所对的角较大
A
B
C
二、〖探究新知〗——方法
《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计
人教版八年级上册第十三章实验与探究《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计【教学目标】1.知识与技能：〔1〕通过实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系；〔2〕能利用轴对称的性质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的转化解决边角之间的不等问题.2.过程与方法：通过实验探究和推理论证，开展学生的分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略；获得利用截长补短等方法来构造全等三角形的经验.3.情感与态度：提供动手操作的时机，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验.【教学重难点】重点：三角形中边与角之间的不等关系及其探究过程.难点：如何从实验操作中得到启示，写成几何证明的表达.【学情分析】学生在前面已经学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形，对全等三角形、轴对称以及等腰三角形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验根底.但是，同时学生又普遍缺乏将动手过程转化为几何语言的能力.在教学过程中直接表达出来的难点便是学生很难用几何语言去表达辅助线的做法.【教学内容分析】本节课是新人教版八年级上册第13章的实验与探究内容.在教材的编排上是在学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形之后而设置的.整个探究过程充分利用了轴对称的性质，在动手翻折的过程中得到启发，从而构造全等三角形进行探究.所以本节课既是全等三角形、轴对称等知识的拓展，更是从特殊的等腰三角形性质的折纸探究到一般的不等边三角形折纸探究的思想方法上的拓展.同时本节课的探究过程中的转化思想又为将来解决几何问题提供了重要的经验和方法.因此本节课的教学对学生全面认识几何问题起着积极地作用，对培养学生综合运用几何知识的能力也起着重要的作用.【教学媒体与资源的选择与应用】根据本节课内容的特点，为了更直观、形象的突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以观察发现为主，多媒体演示为辅的教学组织方式，在教学过程中，通过设置一系列学生的折纸活动，几何画板配合演示，创设问题情境，启发学生思考，让学生亲身体验知识的产生、开展和形成的过程.【学具准备】三角形纸片数张、剪刀、三角板、圆规等.【课时安排】一课时【教学过程】活动一、温故知新，铺垫新知1、如图,在△ABC中,∠1=30°,∠2=20°,那么∠3= °,∠1 ∠3〔填“>〞“<〞〕2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，那么∠C= °3、如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，那么BD CD，∠1 ∠2〔填“>〞“<〞“=〞〕第1题图第2题图第3题图【设计意图】复习三角形的外角和等腰三角形的性质，为探究三角形中边与角之间的不等关系做好知识和经验铺垫.活动二、创设情境，引入新知问题1：我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等。
人教版八年级上册数学：实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系(公开课课件)
2. 尺规作图，验证猜想.
C
B
结论：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对
的边也不等，大角所对的边 大 （简称“ 大角 对 大边 ）.
知识应用：
（1）如图，在△ABC中，如果 BC=20cm，AC=16cm，AB=15cm， 则∠A ＞ ∠B ＞ ∠C.
（2）如图，在△ABC中，如果
C
∠A=80°，∠B=60°，∠C=40°， 则. BC ＞ AC ＞ AB.
能力提升：
已知如图，AB=AC，D在BC上，求证：AD < AB.
A
B
DC
课堂小结：
你在本节课的学习中有哪些收获？
1. 等腰三角形： （1）等边对等角； （2）等角对等边.
2.不等边三角形： （1）大边对大角；（2）大角对大边
思考：
1.如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角 形是锐角三角形吗？为什么？ 2.如果一个三角形中最大的边所对的角是钝角，这个三角 形是钝角三角形吗？为什么？ 3.直角三角形中，哪一条边最长？为什么？
探究一：大边对大角
（一）观察图形，提出猜想. 在△ABC中，如果BC=15cm，AC=12cm， AB=10cm，同学们通过肉眼观察可得 C 到∠A ＞ ∠B ＞ ∠C.
猜想： 大边 对 大角 .
A B
（二）验证猜想
1. 用量角器测量，猜想结果是否真确？
2. 叠合法：（发现结论是否正确？）
（1）使∠A与∠B的顶点重合，判定BC所对 角∠A与AC所对角∠B的大小关系？
４.如图，在等腰三角形中，AC = AB ，
A
则 ∠B = ∠C ，（简称：等边 对等角 ）
５.如图，在等腰三角形中， ∠C=∠B，
人教版八年级数学上册13.3《实验与探究三角形中边与角之间的不等关系》教学设计
1.完成教材第13.3节后的习题1、2、3。
2.结合生活实例，举例说明三角形边与角之间不等关系在生活中的应用，并拍照或绘制图形，配以文字说明。
5.课堂小结，总结提升
-引导学生总结本节课所学内容，强化对边与角之间不等关系的认识。
-鼓励学生分享学习心得，互相交流学习方法和技巧，提高学生的自我反思能力。
6.课后作业，拓展提高
-布置适量的课后作业，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
-鼓励学生探索与三角形边角关系相关的拓展问题，培养学生的创新思维。
（三）学生小组讨论，500字
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组4-6人。每个小组的任务是：
1.利用几何画板或实物模型，探究不同类型的三角形中边与角之间的关系。
2.小组内分享探究成果，讨论并总结三角形边与角之间的不等关系。
3.选出一名代表汇报小组讨论成果，与其他小组进行交流。
在这个环节中，我会巡回指导，关注每个小组的讨论情况，适时给予指导和鼓励。通过小组讨论，学生不仅能加深对知识的理解，还能培养团队协作和沟通能力。
3.小组合作，探讨三角形内角和与外角之间的关系，并撰写探究报告。
4.写一篇关于本节课学习心得的反思文章，不少于300字。
考虑到学生的个体差异，部分学生可能在探究过程中遇到困难，需要教师在教学过程中关注学生的需求，适时给予指导和支持。通过本章节的学习，学生将进一步提升几何素养，培养探究精神和创新意识，为后续学习打下坚实基础。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.掌握三角形中边与角之间的不等关系，并能够运用这些关系解决实际问题。
《实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系》PPT课件2
ADE D 又ACB D ACB B
实验探究
沿高翻折：作BC边的高AD, 将△ADC沿AD翻折，可得 ∠C与∠B的大小关系.
实验探究
证明：由折叠得，⊿CAD≌⊿DAC’
C C , 又ACB D
D B ACB B
实验探究
②沿高翻折：作BC边的高 AD,将△BDA沿AD翻折,可 得∠C与∠B的大小关系.
实验探究
由上述实验，你能得出∠B和∠C的大小关系吗？ 为什么？
由折叠得，△ADE ≌ △ACE ADE C
ADE B
C B
实验探究
活动：
图2
② 如图2，将ΔABC沿对角线AE折叠，使点B落在 AC边延长线的点D处，可得∠C与∠B的大小关系。
实验探究
由上述实验，你能得出∠B和∠C的大小关系吗？ 为什么？
五、知识运用
1、在ΔABC中，已知BC > AB > AC，那么∠A， ∠B，∠C的大小关系为∠__A__>_∠__C_>_∠__B__
五、知识运用
2、如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角， 这个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？
3、直角三角形中，哪一条边最长？为什么？
六、拓展提升
1、如图，ΔABC中，AD是中线，如果AB > AC，判断∠BAD与∠DAC的大小关系，并 给出证明。
实验探究
证明：由折叠得，⊿BAD≌⊿DAB’
B B , 又ACB B ,
ACB B
数学证明 已知：ΔABC中，AB > AC， 求证：∠C > ∠B
证法一（截长）：在 AB上截取 AD ，使 AD AC
数学证明 已知：ΔABC中，AB > AC， 求证：∠C > ∠B
人教版数学八年级上册《实验与探究三角形中边与角之间的不等关系》教学设计
人教版数学八年级上册《实验与探究三角形中边与角之间的不等关系》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册《实验与探究三角形中边与角之间的不等关系》这一节，是在学生已经掌握了三角形的基本概念、性质的基础上进行的教学。
本节内容主要通过实验与探究，让学生了解并证明三角形中边与角之间的不等关系，如：三角形两边之和大于第三边，三角形的内角和等于180度等。
教材通过实验引导学生观察、思考，进而发现并证明这些不等关系，培养学生的实验操作能力、观察思考能力及证明能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形的基本概念、性质，具备了一定的观察、思考和证明能力。
但部分学生对实验操作流程、观察角度的选取以及证明方法的运用还不够熟练，需要在教学过程中给予指导和启发。
三. 教学目标1.理解并掌握三角形中边与角之间的不等关系。
2.能够运用不等关系证明简单的三角形性质。
3.培养学生的实验操作能力、观察思考能力和证明能力。
四. 教学重难点1.教学重点：三角形中边与角之间的不等关系及证明。
2.教学难点：不等关系的证明方法及运用。
五. 教学方法1.实验法：引导学生通过实验观察、发现三角形中边与角之间的不等关系。
2.启发式教学法：在教学过程中，引导学生积极思考、探索，发现规律。
3.讲解法：对实验操作、证明方法等进行详细讲解，帮助学生掌握。
4.练习法：设计相关练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备实验器材：三角板、量角器、直尺等。
2.制作课件：内容包括三角形的基本概念、性质，实验操作流程，证明方法等。
3.准备练习题：涵盖三角形中边与角之间的不等关系及证明。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示三角形的基本概念、性质，引导学生回顾已学知识。
然后提出本节课的教学目标，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示实验操作流程，引导学生分组进行实验。
实验内容为：用三角板、量角器、直尺等工具，测量三角形的三边和三个内角，观察并记录数据。
八年级数学上册《三角形中边与角之间的不等关系》教案、教学设计
2.提出问题：向学生展示一个不等边三角形和一个等腰三角形，提问：“这两个三角形有什么不同？”引导学生关注三角形边与角之间的关系。
3.创设情境：通过一个实际生活中的例子（如测量三角形土地的面积），让学生感受到三角形边角关系在实际问题中的应用，激发他们的学习兴趣。
5.教学资源：
-利用多媒体教学手段，如PPT、动画等，直观展示三角形边角不等关系，提高教学效果。
-结合实际生活中的例子，如建筑、艺术等领域的应用，让学生感受几何知识的实用价值。
-提供丰富的学习资料，如辅导书、网络资源等，方便学生课后复习和拓展。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在这一环节中，我们将通过以下步骤引导学生进入新课的学习：
3.不等关系的应用：结合实际例子，讲解如何运用三角形边角不等关系解决几何问题，如求三角形某一边或角的大小。
（三）学生小组讨论
在这一环节中，我们将组织学生进行以下讨论：
1.分组：将学生分成若干小组，每个小组针对一个或多个问题进行讨论。
2.讨论问题：如“如何判断一个三角形是锐角三角形还是钝角三角形？”“在解决实际问题中，如何运用三角形的边角不等关系？”
-鼓励学生利用网络资源、辅导书等，进行课后自主学习，拓宽知识面。
注意事项：
1.作业量要适中，避免过多增加学生负担。
2.作业难度要适中，既要让学生感到挑战，又要确保他们能够独立完成。
3.教师要及时批改作业，了解学生的学习情况，为下一节课的教学提供参考。
4.鼓励学生在完成作业过程中积极思考、主动提问，培养他们的自主学习能力。
2.提高作业：
-针对学有余力的学生，布置一些拓展性的题目，如求解三角形中某个角或边长的问题，培养学生的几何推理能力和解题技巧。
三角形中边与角之间的不等关系例谈
环节3：实验几何发展为论证几何，直观表象过渡到形式 推理
猜测的数学结论需要严格的逻辑证明，教学生回忆文字命 题的完整证明步骤：写出图形语言和几何语言（即作图，写出 已知和求证）。
已知： ∆ABC 中，
，求证： ∠C > ∠B 。
从叠合法（折纸）中我们发现出现了一条新的线（折
线），这为我们的证明提供了思路，于是想到了第一种作辅助
图3
图4
证明思路：如图3，由“等边对等角”可得 ∠ADC = ∠ACD,
由 ∠ACB > ∠ADC 得 ∠ADC > ∠B ，所以 ∠ACD > ∠B 。 图4证明同理。
环节4.总结提升： 1.二种添加辅助线方法的共同点：
作圆弧得等腰，中垂线得等腰；添加辅助线实现“截长”
或“补短”，本质为运用轴对称变换构造全等图形从而获得边
线的方法：作第三边的垂直平分线。
作法1：∆作ABC的垂直平分线。
A E
B
D
C
图1
图2
证明思路：如图1，由垂直平分线性质可得
.再由
“等边对等角”或全等∠可C得> ∠B = ，所以 ∠C > ∠B 。
图2证明同理。
，因为 ∠C > ∠B
但这里学生很容易忽略的一点就是证明的严谨性：点 一
定落在 边上吗？
显然是的。因为
学情分析 “在一个三角形中，大边对大角”这一结论直观感知上是 非常自然和正确的，这易使学生忽略它的证明。八年级学生的 逻辑思维比较活跃，处于迅猛发展期， 动手操作能力较强，但将生活语言和文字语言转化为几何 语言的能力，还有很大的进步空间。因此本节结合学生的动手 折纸操作，观察猜测，逻辑推理出多种证明思路，具有很大的 探究和学习价值，同时多种语言的转化是学生的弱项，所以证 明也有一定的难度。 教学理念 按照皮亚杰认知理论和维果斯基的“最近发展区理论”， 在本节数学教学中，从学生已有知识（轴对称的性质）出发开 展探究活动，调动学生思维的积极性，发展其潜能，在探究辅 助线的多种形成过程中超越自我，进入下一个发展区的发展。 重难点创新突破 笔者从学生已有知识出发，在动手折纸和几何画板动态演 示的平面直观中，让学生实践检验结论并体会折痕即为辅助 线，思考出辅助线实际上就是什么线，由此寻找到辅助线的作 法，从而突破学生的认知难点。再逐步把新知识纳入原有的知 识体系，最终实现了多种辅助线的添加方法。 如何培养学生数学核心素养 章建跃博士在数学核心素养的解读中指出：从数学知识发 生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这 是落实数学核心素养的关键点，要把如何抽象数学对象、如何 发现和提出数学问题，作为教学的关键任务，以实现学生从 “知其然”到“知其所以然”，再到“何由以知其所以然”的 跨越。基于此，笔者以苏格拉底问题串的形式一步步追问辅助 线的形成过程，使学生认识到数学知识有其发展体系，思维形 成有其合理性。
八年级数学上册听课记录：第十三章等腰三角形《实验与探究三角形中边与角之间的不等关系》
新2024秋季八年级人教版数学上册第十三章等腰三角形《实验与探究：三角形中边与角之间的不等关系》听课记录教学目标（核心素养）1.知识与技能：掌握三角形中边与角之间的基本不等关系，即“大边对大角，小边对小角”的原理。
2.过程与方法：通过实验操作、观察分析和逻辑推理，培养学生探究数学问题的能力，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学探究的兴趣，培养严谨的科学态度和合作学习的精神。
导入教师行为：•展示几组不同形状的三角形图片，引导学生观察并思考：“在这些三角形中，边长与它所对的角之间是否存在某种关系？”•简短介绍本节课的主题：“今天我们将通过实验与探究，来发现三角形中边与角之间的不等关系。
”学生活动：•认真观察图片，尝试寻找边长与角之间的潜在关系。
•听取教师介绍，明确本节课的学习目标。
过程点评：•导入环节通过直观的图片展示和问题引导，有效激发了学生的学习兴趣和探究欲望，为后续的学习活动做好了铺垫。
教学过程教师行为：•实验准备：分发实验材料（如尺子、量角器、不同长度的木棍或纸条），指导学生如何制作简易的三角形模型。
•实验操作：引导学生按照指定边长制作三角形，并使用量角器测量各角的大小。
•观察记录：要求学生记录下每个三角形的边长和对应角的大小，并尝试找出它们之间的关系。
•讨论分析：组织学生分组讨论，分享自己的观察结果，引导学生归纳出“大边对大角，小边对小角”的不等关系。
•理论讲解：结合学生的讨论结果，教师详细讲解三角形中边与角之间不等关系的理论依据。
学生活动：•积极参与实验操作，认真测量并记录数据。
•小组讨论中积极发言，分享自己的观察和思考。
•聆听教师的理论讲解，深化对知识点的理解。
过程点评：•教学过程注重实践操作与理论讲解相结合，通过实验操作让学生亲身体验数学原理的发现过程，增强了学习的趣味性和实效性。
同时，小组讨论和分享环节培养了学生的合作精神和表达能力。
板书设计•标题：实验与探究：三角形中边与角之间的不等关系•实验步骤：•制作三角形模型•测量边长和角的大小•记录数据•观察结果：•示例：边长a>b>c，对应角A>B>C•不等关系：•大边对大角，小边对小角•理论依据：三角形内角和定理及边角关系证明作业布置•完成课后习题，要求通过画图、测量和计算验证三角形中边与角之间的不等关系。
三角形中边与角之间的不等关系--教学设计说明
《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计说明数学本质：在实验探究的基础上得出“大边对大角”的结论，从而继续将实验过程转化为几何证明过程。
地位和作用分析：本节课是新人教版八年级上册第13章的实验与探究内容。
在教材的编排上是紧接着学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形而设置的。
整个探究过程充分利用了轴对称的性质，在动手翻折的过程中得到启发，从而构造全等三角形进行探究。
所以本节课既是全等三角形、轴对称等知识的拓展，更是从特殊的等腰三角形性质的折纸探究到一般的不等边三角形折纸探究的思想方法上的拓展。
同时本节课的探究过程中的转化思想又为将来解决几何问题提供了重要的经验和方法。
因此本节课的教学对学生全面认识几何问题起着积极地作用，对培养学生综合运用几何知识的能力也起着重要的作用。
教学目标分析：（1）知识与技能目标：①通过实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系；②能利用轴对称的性质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的转化解决边角之间的不等问题（2）过程与方法目标：通过实验探究和推理论证，发展学生分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略；获得利用截长补短等方法来构造全等三角形的经验。
（3）情感与价值观目标：提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验。
教学问题诊断：（1）认知基础：学生已经学习过全等三角形、轴对称以及等腰三角形，对全等三角形、轴对称以及等腰三角形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验基础。
（2）心理特征：八年级学生处于青春期，好动，好表现，求知欲望高，有较强的动手能力，获得外界评价的意识强。
同时学生又缺乏将动手过程转化为几何语言的能力。
从学生的认知基础和心里特征不难看出学生已经拥有了相应的知识基础和探究经验，但同时学生又普遍缺乏将实际的动手验证过程转化为几何证明的能力。
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证法4：作△ABC中∠A的平分线，与边BC交于点D.在 AC延长线上截取 AB' ，使 AB' =AB，连接 B' D .
∵AD为∠BAC的角平分线（已知）
∴∠BAD=∠B'AD（角平分线定义）
在⊿B'AD和⊿BAD中
∵ AB' AB(作图）
B' AD BAD（已证）
B
AD
AD（公共边）
∴⊿B'AD≌⊿BAD（SAS） ∴∠B'=∠B（全等三角形的性质） 又∵∠ACD=∠B'+∠CDB' ∴∠ACD>∠B. ∴∠C>∠B（等量代换）.
B
C
如果AB>AC，那么∠B与∠C 大小关系如何？
如果∠C>∠B，那么AB与AC 大小关系如何？
已知：△ABC中，AB＞AC
求证：∠C＞ ∠B
A
BБайду номын сангаас
C
A
D ╮1
B
2 ╭C
证法1：在AB 上截取AD，使AD＝AC，连结DC.
∵AD＝AC（已知）
∴∠1＝ ∠2（等边对等角）
又∵ ∠ ACB ＞ ∠2
∴∠ACB ＞ ∠1 （等量代换）
A
DC B'
从上面的几种证明过程可以看
出，利用构造等腰三角形和折叠对 称，将角进行转移，是几何中研究 边与角不等问题时的常用方法。
归纳结论：在一个三角形中，如果两条边不等， 那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大. （简写成：在一个三角形中，大边对大角）.
∵AB>AC ∴∠C>∠B(大边对大角)
即AB>AC
在一个三角形中，如果两个角不相 等，那么它们所对的边也不相等，大角 所对的边较大。反之大边所对的角较大
A ∵∠C>∠B
∴AB>AC (大角对大边)
∵AB>AC
∴∠C>∠B (大边对大
B
C 角)
利用上面两个结论，回答下面的问题：
1.在△ABC中，已知BC>AB>AC，那么∠A ，∠ B ，
又∵ ∠1＞ ∠B （三角形外角定理）
∴∠ACB ＞ ∠B （不等式的基本性质）
A
B ╮1
C
2╭
E
证法2：在延长AC至E，使AE＝AB，连结BE.
∵AB＝AE∴∠1＝ ∠2（等边对等角）
又∵ ∠ ACB ＞ ∠2
∴∠ACB ＞ ∠1 （等量代换）
又∵ ∠1＞ ∠B （三角形外角定理）
∴∠ACB ＞ ∠B （不等式的基本性质）
实验与探究 三角形中边与角之间 的不等关系
等腰三角形的边角关系：
等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）
如果一个三角形有两个角相等，那么这两
个角所对的边也相等.（等角对等边）
∵AB=AC
A
∴∠B=∠C(等边对等 角)
∵∠ B=∠C
∴AB=AC（等角对等边）
B
C
A
在一个三角形中， 不相等的边（或 角）所对的角 （或边）之间的 大小关系又怎样 呢？大边所对的 角也大吗？
∠ C有怎样的大小关系？
2.如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个
三角形一定是锐角三角形吗？为什么？
3.直角三角形的哪一条边最长？为什么？
巩固作业
如图, ⊿ABC中，AD是中线，如果AB>AC，判断 ∠BAD与∠DAC的大小关系， 并给予证明.
谢谢
A
思考：反之是否成立？
如果∠C>∠B，那么AB与AC 大小关系如何？
B
C
已知：△ABC中， ∠B<∠C
A
求证： AB＞AC
D
在△ABC中，如果∠B<∠C ， 那么我们可以将△ABC折叠， 使点B落在C上， ∠B落在∠C 内部，则有：
BD=CD
而AD+CD>AC 为什么？ B
E
C
所以AD+BD>AC
证法3：作△ABC中∠A的平分线，与边BC交于点D.在边AB上
截取AE，使AE=AC,连接DE.
∵AD为∠BAC的角平分线（已知）
∴∠BAD=∠CAD（角平分线定义）
A
在⊿EAD和⊿CAD中
∵ AE AC(作图）
E
BAD CAD（已证）
AD
AD（公共边）
B
D
C
∴⊿EAD≌⊿CAD（SAS） ∴∠C=∠AED（全等三角形的性质） 又∵∠AED=∠B+∠BDE ∴∠AED>∠B. ∴∠C>∠B（等量代换）.