复变初等函数(2)
复变函数02
en[ln z i(argz2kπ)]
z en inargz r nein
例 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 )
求a, b, c, d 使 f(z)在复平面内处处解析.
解 由于
u 2x ay , u ax 2by
x
y
v 2cx dy , v dx 2 y.
x
y
要 使 u v , u v x y y x
24
对数函数的性质 不难证明，复变数对数函数保持了实变
数对数函数的基本性质.
运算性质
Ln (z1z2 ) Ln z1 Ln z2
Ln
z1 z2
Ln
z1 Ln
z2
上面两个等式应理解为两端可能取的函
数值的全体是相同的，也就是说，对于
一端的任一值，另端必有一值和它相等. 25
对数函数的解析性 对数函数的主值lnz，包含两个部分 ln z = ln|z|+ i arg z ln|z|除原点外处处连续.
数连续且满足C－R方程，则f(z)可导.
11
函数解析的充要条件 根据函数在区域内解析的定义和函数可
导定理，可得判断函数在区域 D内解析 的一个充要条件.
定理 函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域 D内解析的充要条件是: u(x, y)与v(x, y) 在 D内可微，且满足C－R方程
(1) f (z) z (2) f (z) z Re(z)
(3) f (z) ez ex (cos y i sin y).
13
解 (1) f (z) z , 则u(x,y) = x, v(x,y) =－y
复变函数第二章 第3节：初等函数
2
cos( z) cos z;
其它三角函数：
eiz eiz
cos z
;
2
tan z sin z , cos z
eiz eiz
sin z
;
2i
cot z cos z , sin z
sec z 1 , cos z
csc z 1 , sin z
除分母为零的点外处处解析，且
双曲正弦
双曲正切
thz
shz chz
ez ez
ez ez
.
4、双曲函数的性质
chz ez ez , 2
shz ez ez . 2
(1) chz,shz 以2k i(k Z )为周期;
(2) chz 为偶函数, shz 为奇函数; (3) chz,shz 在复平面上处处解析，且
(shz) chz, (chz) shz,
ln z ln z i arg z.
Ln z ln z iArg z ln z i(arg z 2k ), Ln z ln z 2ki, k Z
当k=0时, Ln z 取到主值 ln z
特别，如 z= x>0, 则：
ln z ln z i arg z ln x,
但 Ln z ln x 2ki, k Z
1、三角函数的定义 cos y eiy eiy , 2
sin y eiy eiy . 2i
eiz eiz
cos z
;
sin z eiz eiz ;
2
2i
余弦函数
正弦函数
Euler公式的复数形式： eiz cos z i sin z
2、三角函数的性质
eiz eiz
复变函数学习指导
复变函数第二章学习指导一、 知识结构1.复变函数在一点可导的定义2.解析函数 2.42.53.15⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩函数在一点解析的定义定义函数在区域解析的定义四则运算运算复合运算定理充分必要条件定理及定理3.初等函数(),,sin ,cos ,,z z z e z z Lnz z a z a αα⎧⎪⎨⎪⎩n 单值函数:z 与有例外二、 学习要求⒈理解解析函数的定义，性质及其充分必要条件；⒉了解函数在一点解析与函数在一点可导的区别；⒊熟练掌握利用柯西——黎曼条件判别解析函数的方法； ⒋熟练掌握“已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数”的方法。
5.理解z z sin ,e 与z cos 的定义及其主要性质；6.,,z Lnz z a α的定义及其主要性质.三、 内容提要1.函数在一点可导的定义是设函数)(z f w =定义在区域D 内，D z z D z ∈∆+∈)(,00，若zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim存在，则称此极限为函数)(z f 在点0z 的导数，记为)(0z f '，即 zz f z z f z f z ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000 （2.1）此时，称函数)(z f 在点0z 可导，否则，称函数)(z f 在点0z 不可导。
2.函数在一点解析的定义是设函数)(z f w =定义在区域D 内，0z 为D 内某一点，若存在一个邻域),(0p z N ，使得函数)(z f 在该邻域内处处可导，则称函数)(z f 在点0z 解析。
此时称点0z 为函数)(z f 的解析点。
若函数)(z f 在点0z 不解析，则称0z 为函数)(z f 的奇点。
关于解析函数的定义，有下面的注解：注解1 解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解2 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
复变函数(2.2.3)--复变初等函数
两个集合不相同.
（2）正确 arg
z
一般有两个值，一个是
1 2
arg
z
，另一个是
1 2
argπz.+
故
Ln
z
=
1 2
ln
|
z
|
+i(
1 2
arg
z
+
kp
)
而
1 2
Lnz
=
1 2
ln
|
z
|
+
i 2
(arg
z
+
2π)
=
1 2
ln
|
z
|
+i(
1 2
argπz)+.
m
①
而 2i = 1+ i 或 -1- i.
若
Ln(1+ i)2 = ln 2 + 2iArg(1+ i)
=
ln
2
+
i(
π 2
+
4πk)
④
而
Ln(1+ i)2
=
ln
2i=ln2
+ i(
π 2
+2πk2)
⑤
④式比⑤式中的虚部少了“一半”原因是尚有
Ln(1+ i)2 = Ln(-1- i)2
而 2Ln(1+ i) 与 2Ln(-1- i) 是不一样的.
2)
=
2
ep 4
+
2 kp
cos
p 4
-
ln
2
+
i sin
p 4
-
2.2 初等复变函数
第二章复变函数第二节初等解析函数(1)3、指数函数4、三角函数5、幅角函数指数函数的定义：;)(,1xe xf R x =∈∀、我们首先把指数函数的定义扩充到整个复平面。
要求复变数z=x +iy 的函数f (z )满足下列条件：上解析；在、C z f )(2);()()(,,3212121z f z f z z f C z z =+∈∀、);()()( iy f e iy x f z f x=+=首先，),()()( y iB y A iy f +=设由解析性，我们利用柯西-黎曼条件，有),()()( y B ie y A e z f xx +=则),()('),(')(y B y A y B y A -==所以，,sin )(,cos )(y y B y y A ==因此，).sin (cos y i y e e xz+=yi y e iysin cos +=我们也重新得到欧拉公式：指数函数的对应法则面上的解析拓广；是实变指数函数在复平、指数函数ze w =2指数函数的基本性质且有：在整个复平面是解析，在整个复平面有定义，、指数函数ze w =1zz e e =)'( ,2,1,02||±±=+==k k y Arge e e zxz，π、从定义知道，3.04≠ze 、的周期函数：是周期为、指数函数i e w zπ26=，则若加法定理）：、指数函数代数性质（222111,5iy x z iy x z +=+=12121122(cos sin )(cos sin )z z x x e e e y i y e y i y =+⋅+。
即2121z e z z z e e +=极限，但有时，无：、指数函数的渐进性态∞→z 7)]sin()[cos(212121y y i y y ex x +++=+21z z e+=2i 2 e (cos 2sin 2)z z i z ze e e i e ππππ+==+=即。
复变函数2-3初等函数
1 n
1 n Lnz 1 1 1 z n z e zn . n 1 b (3) 幂函数 w z ( 除去 b n 与 两种情况外) n 也是一个多值函数 , 当b 为无理数或复数时, 是无穷多值的.
Ln z 的主值
其余各值为 Lnz ln z 2ki ( k 1,2,),
对于每一个固定的 k , 上式确定一个单值函数 , 称为 Ln z 的一个分支.
特殊地,
当 z x 0 时, Ln z 的主值 ln z ln x ,
是实变数对数函数.
此时Lnx ln x 2ki ( x 0, k 1,2,),
3
一、指数函数
( e x )' e x 处处可导 实变：
1.指数函数的定义:
当函数 f ( z ) 在复平面内满足以下三 个条件:
(1) f ( z )在复平面内处处解析;
(2) f ( z ) f ( z );
(3)当Im( z ) 0时, f ( z ) e x , 其中x Re( z ).
有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式
cos( z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 , (1) sin( z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 , 2 2 sin z cos z 1.
cos( x yi ) cos x cos yi sin x sin yi , ( 2) sin( x yi ) sin x cos yi cos x sin yi .
x x0 y 0
lim arg z
x x0 y 0
第二章 复变函数
第二章 复变函数:第二节：初等函数1、指数函数：我们要把实指数函数的定义扩充到整个复平面上，使得复变数z=x+iy 的函数f (z )满足下列条件：（1）x e x f R x =∈∀)(,；（2）f (z )在整个复平面C 上解析；（3）C ,21∈∀z z ，有)()()(2121z f z f z z f =+； 则可以证明，)sin (cos )(y i y e z f x +=，事实上，由(3)及(1)有)()()(iy f e iy x f z f x =+=令 ),()()(y iB y A iy f +=其中A (y )及B (y )是实值函数，所以)()()(y B ie y A e z f x x +=显然，y y A cos )(=及y y B sin )(=满足上面的条件。
若,,222111iy x z iy x z +=+=则有)()]sin()[cos()sin (cos )sin (cos )()(2121212211212121z z f y y i y y e y i y e y i y ez f z f x x x x +=+++=++=+ 因此，定义复指数函数，为)sin (cos exp y i y e z e w x z +==由此有Euler 公式：y i y e iy sin cos +=；指数函数的基本性质：（4）C ∈∀z ，0≠z e ；（5）指数函数z e w =在整个复平面内有定义并且解析，z z e e =)'(，指数函数z e w =是实指数函数在复平面上的解析推广；（6）Euler 公式：y i y e iy sin cos +=；（7）从定义得||x z e e =， ,2,1,02±±=+=k k y Arge z ，π利用Euler 公式，得到复数的指数表示式：若复数z 的模为r ，幅角为θ，则有θθθi re i r z =+=)sin (cos ；（8）指数函数是周期i π2为得周期函数；（9）指数函数的几何映射性质：由于指数函数有周期i π2，所以研究当z 在带形}2Im 0C,|{π<<∈=z z z B 中变化时，函数z e w =的映射性质。
复变函数第4讲初等函数
11
(2).当a=p/q(p和q为互质的整数, q>0)时, 由于
p ln|z|+i p(arg z+2kπ )
za = e q q
p ln|z|
= e q [cos
p (arg z + 2kπ ) + i sin
p (arg z + 2kπ )],
q
q
za具有q个值, 即当k=0,1,...,(q−1)时相应各个值.
sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.
但当z为纯虚数iy时, 我们有
e−y + ey
⎫
cos iy = 2
sin iy = e− y − e y 2i
= ch y ⎪⎪
⎬
=
i
sh
y
⎪ ⎪⎭
20
所以
cos(x + iy) = cos x ch y − i sin x sh y,⎫
cos(z+2π)=cos z, sin(z+2π)=sin z. 也容易推出cos z是偶函数:
cos(−z)=cos z 而sin z是奇函数:
sin(−z)=−sin z 由指数函数的导数公式可以求得
(cos z)'=−sin z, (sin z)'=cos z 易知
eiz=cos z+isin z 普遍正确, 即对于复数, 欧拉公式仍然成立.
= e x1+x2 [(cos y1 cos y2 − sin y1 sin y2 ) +i(sin y1 cos y2 + cos y1 sin y2 )]
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2
2
cos1cosh1 i sin1sinh 1.
4.双曲函数的定义
ez ez shz
2
ez ez chz
2
双曲函数的性质
e z -e z thz e z +e z
1） 2） (shz) chz,
(chz) shz.
3）
chiy cos y,
shiy isiniy
ch
x
iy
第二章 解析函数
--------复变函数研究的主要内容
第二节 复变初等函数
2.1 指数函数
2.2 对数函数
2.3 乘幂与幂函数 2.4 三角函数与双曲函数
2.5 反三角函数与反双曲函数
2.4 三角函数与双曲函数
1.三角函数的定义
余弦函数 正弦函数
e iz e iz
cos z
;
2
e iz e iz
31
z
2
3i
2 2i 2
i, 22
z 1,arg z .
z cos
i sin
e 6.
6
6
6
法二 由于分子分母互为共轭复数 z 1
Argz Arg 3 i Arg 2 2i
arg
z
3 .
i
2 2i
2m
3
2n
2
2m
n
6
6
例2 设 z1 与 z2 是两个不同的复数.
cos z
sin z
cos z
sin z
例8 求 cos(1 i) 的值.
解 cos(1 i ) ei(1i ) ei(1i ) e1i e1i
2
2
1[e1(cos1 i sin 1) e(cos1 i sin 1)] 2
1 (e1 e)cos1 1 (e1 e)i sin 1
sin z
;
2i
偶函数
奇函数
周期函数，周期为 2
2.三角函数的性质
1）当z=x时，与实函数一致；
2）正弦函数和余弦函数在复平面内是解析函数，且 sin z cos z, cos z sin z
3）奇偶性、周期性与实函数一致
4）无界性
当z为纯虚数yi时，cos yi e y e y
e y e y sin yi
i
2x y x2 y2
.
分析 1 f z zzn n Z,n 1;
ห้องสมุดไป่ตู้
解析函数与不解析函数的乘积不解析.
2 f z x3 y3 2x2 y2i;
u x3 y3,v 2x2 y2,
u 3x2 , u 3 y2 , v 4xy2 , v 4x2 y.
x
y
x
y
C R : 3x2 4x2 y, 3 y2 4 xy2
x y 0, x y 3 .
4
当z=0或
z
3 4
3 4
i
时f(z)可导，在复平面处处不解析.
f
0
0,
f
3 4
3 4
i
27 16
1
i
.
3
f
z
x 2y x2 y2
i
2x y x2 y2
1 2i z 1 2i
zz
z
f
z
1
2i z2
,
z
0
f(z)除z=0外处处可导，处处解析.
(1)证明恒等式： 1 z1z2 2 z1 z2 2 1 z1 2 1 z2 2 ;
(2)试就 z1 , z2 与单位圆周 z 1 的位置关系，分别说明
z0
z1 z2 1 z1z2
与单位圆周的位置关系.
分析 z 2 zz
左边 1 z1z2 1 z1z2 z1 z2 z1 z2 右边
由(2)得 u 0, 所以 u c (常数), 于是 f (z) c ic2 (常数). y
例6 试求下列各函数的值及主值.
1 1 i 1i ; (2)Arcsin 2.
解
e 1 1 i 1i e1iLn1i
1
i
ln
2
i
4
2
k
e
ln
2
4
2 k
i
ln
2
4
2
ii
1 i2
Ln 1
2
ln 1 2 2k i, k 0, 1, 2,
2.反双曲函数的定义
ez ez shz
2
Arcshz Ln z z2 1 Arcchz Ln z z2 1
Arcthz 1 Ln 1+z 2 1-z
均是多值函数
本讲小结
复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围
（3）若z1 与 z2 至少哟一个在单位圆上，则 z0 1
例3
设
f
z
1 2i
z z
z z
,
z
0
证明当 z 0 时，f(z)的极限不存在.
分析
法一
f
z
1 2i
z2 z 2 z2
2 xy x2 y2
2 xy u x2 y2 ,v 0
lim
x0
u
x,
y
lim
x0
2kx2 x2 k2x
第二章 解析函数
1.理解复变函数的导数与复变函数解析的概念.
2.掌握复变函数解析的充要条件. 3.了解指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、
双曲函数的定义及它们的主要性质.
例1
将复数
z
3 i 2 2i 3 i 2 2i
化为三角形式与指数形式.
解 法一
2
3 i 2 2i 2
方程的根为eiw z z2 1, 两端取对数得
w Arccos z iLn z z2 1
Arcsinz iLn iz 1 z2
Arctanz
i
1+iz Ln
2 1-iz
例9 解方程 sin(iz) i.
解 iz Arcsin i
1
z
Arcsin i i
Ln
k
2k
2e 4
cos
4
ln
2
i
sin
4
ln
2
,
k
Z
故主值为
2e 4
cos
4
ln
2
i
sin
4
ln
2
,
k
Z.
(2)Arcsin 2 iLn 2i 1 22 iLn 2 3 i
i ln 2
3
2
2k
i
2k
1 2
i
ln
2
3 ,kZ
2
2i
当 y 时, sin yi , cos yi .
注意：这一点是与实变函数完全不同的.
5）三角恒等式与实变函数一致
cos(z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 , (1) sin(z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 ,
sin2 z cos2 z 1.
(2)
cos( x yi) cos x cos yi sin x sin yi, sin( x yi) sin x cos yi cos x sin yi.
3.其他复变数三角函数的定义（类似可讨论周期、奇偶、解析）
tan z sin z , cot z cos z , sec z 1 , csc z 1 .
例5 设 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D内解 析, 并且 v u2 , 求 f (z).
解 u v 2u u ,
(1)
x y y
u v 2u u , (2)
y x
x
将(2)代入(1)得
u (4u2 1) 0, x
由 (4u2 1) 0
u 0, x
1 z1z2 2 z1 z2 2 1 z1 2 1 z2 2 ;
1
z1 z2 2 1 z1z2 2
1 z1 2 1 z2 2 1 z1z2 2
z0
z1 z2 1 z1z2
（1）若z1 与 z2 都在单位圆内或圆外，则 z0 1
（2）若z1 与 z2 有一个在单位圆内，一个在圆外，则z0 1
2k 1 k2
.
y kx
法二 令 z r cos i sin
f
z
2r
cos 2r
2ir 2
sin
sin 2
例4 判断下列函数何处可导，何处解析.并在可导和解析 处求出其导数.
1 f z zzn n Z,n 1;
2 f z x3 y3 2x2 y2i;
3
f
z
x 2y x2 y2
chx
cos
y
ishx
sin
y
sh
x
iy
shx
cos
y
ichx
sin
y
2.5 反三角函数与反双曲函数
1.反三角函数的定义
设 z cos w, 那么称 w 为 z 的反余弦函数, 记作 w Arccos z.
由 z cos w eiw eiw , 得 e2iw 2zeiw 1 0, 2
内的自然推广, 它既保持了实变初等函数的某些基 本性质, 又有一些与实变初等函数不同的特性. 如:
1. 指数函数具有周期性 2. 负数无对数的结论不再成立 3. 三角正弦与余弦不再具有有界性
4. 双曲正弦与余弦都是周期函数
第一章与第二章教学要求及例题解析
第一章 复数与复变函数
1.掌握复数的各种表示方法及其运算. 2.了解区域的概念. 3.了解复球面与无穷远点. 4.理解复变函数的概念. 5.了解复变函数的极限和连续的概念.