复变初等函数(2)

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复变函数02

en[ln z i(argz2kπ)]
z en inargz r nein
例 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 )
求a, b, c, d 使 f(z)在复平面内处处解析.
解由于
u 2x ay , u ax 2by
x
y
v 2cx dy , v dx 2 y.
x
y
要使 u v , u v x y y x
24
对数函数的性质不难证明，复变数对数函数保持了实变
数对数函数的基本性质.
运算性质
Ln (z1z2 ) Ln z1 Ln z2
Ln
z1 z2
Ln
z1 Ln
z2
上面两个等式应理解为两端可能取的函
数值的全体是相同的，也就是说，对于
一端的任一值，另端必有一值和它相等. 25
对数函数的解析性对数函数的主值lnz，包含两个部分 ln z = ln|z|+ i arg z ln|z|除原点外处处连续.
数连续且满足C－R方程，则f(z)可导.
11
函数解析的充要条件根据函数在区域内解析的定义和函数可
导定理，可得判断函数在区域 D内解析的一个充要条件.
定理函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域 D内解析的充要条件是: u(x, y)与v(x, y) 在 D内可微，且满足C－R方程
(1) f (z) z (2) f (z) z Re(z)
(3) f (z) ez ex (cos y i sin y).
13
解 (1) f (z) z , 则u(x,y) = x, v(x,y) =－y

复变函数第二章第3节：初等函数

sin( z) cos z;
2
cos( z) cos z;
其它三角函数：
eiz eiz
cos z
;
2
tan z sin z , cos z
eiz eiz
sin z
;
2i
cot z cos z , sin z
sec z 1 , cos z
csc z 1 , sin z
除分母为零的点外处处解析，且
双曲正弦
双曲正切
thz
shz chz
ez ez
ez ez
.
4、双曲函数的性质
chz ez ez , 2
shz ez ez . 2
(1) chz,shz 以2k i(k Z )为周期;
(2) chz 为偶函数, shz 为奇函数; (3) chz,shz 在复平面上处处解析，且
(shz) chz, (chz) shz,
ln z ln z i arg z.
Ln z ln z iArg z ln z i(arg z 2k ), Ln z ln z 2ki, k Z
当k=0时, Ln z 取到主值 ln z
特别，如 z= x>0, 则：
ln z ln z i arg z ln x,
但 Ln z ln x 2ki, k Z
1、三角函数的定义 cos y eiy eiy , 2
sin y eiy eiy . 2i
eiz eiz
cos z
;
sin z eiz eiz ;
2
2i
余弦函数
正弦函数
Euler公式的复数形式： eiz cos z i sin z
2、三角函数的性质
eiz eiz

复变函数学习指导

复变函数第二章学习指导一、知识结构1.复变函数在一点可导的定义2.解析函数 2.42.53.15⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩函数在一点解析的定义定义函数在区域解析的定义四则运算运算复合运算定理充分必要条件定理及定理3.初等函数(),,sin ,cos ,,z z z e z z Lnz z a z a αα⎧⎪⎨⎪⎩n 单值函数:z 与有例外二、学习要求⒈理解解析函数的定义，性质及其充分必要条件；⒉了解函数在一点解析与函数在一点可导的区别；⒊熟练掌握利用柯西——黎曼条件判别解析函数的方法； ⒋熟练掌握“已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数”的方法。

5.理解z z sin ,e 与z cos 的定义及其主要性质；6.,,z Lnz z a α的定义及其主要性质.三、内容提要1.函数在一点可导的定义是设函数)(z f w =定义在区域D 内，D z z D z ∈∆+∈)(,00，若zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim存在，则称此极限为函数)(z f 在点0z 的导数，记为)(0z f '，即 zz f z z f z f z ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000 （2.1）此时，称函数)(z f 在点0z 可导，否则，称函数)(z f 在点0z 不可导。

2.函数在一点解析的定义是设函数)(z f w =定义在区域D 内，0z 为D 内某一点，若存在一个邻域),(0p z N ，使得函数)(z f 在该邻域内处处可导，则称函数)(z f 在点0z 解析。

此时称点0z 为函数)(z f 的解析点。

若函数)(z f 在点0z 不解析，则称0z 为函数)(z f 的奇点。

关于解析函数的定义，有下面的注解：注解1 解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解2 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。

复变函数(2.2.3)--复变初等函数

两个集合不相同.
（2）正确 arg
z
一般有两个值，一个是
1 2
arg
z
，另一个是
1 2
argπz.+
故
Ln
z
=
1 2
ln
|
z
|
+i(
1 2
arg
z
+
kp
)
而
1 2
Lnz
=
1 2
ln
|
z
|
+
i 2
(arg
z
+
2π)
=
1 2
ln
|
z
|
+i(
1 2
argπz)+.
m
①
而 2i = 1+ i 或 -1- i.
若
Ln(1+ i)2 = ln 2 + 2iArg(1+ i)
=
ln
2
+
i(
π 2
+
4πk)
④
而
Ln(1+ i)2
=
ln
2i=ln2
+ i(
π 2
+2πk2)
⑤
④式比⑤式中的虚部少了“一半”原因是尚有
Ln(1+ i)2 = Ln(-1- i)2
而 2Ln(1+ i) 与 2Ln(-1- i) 是不一样的.
2)
=
2
ep 4
+
2 kp
cos
p 4
-
ln
2
+
i sin
p 4
-

2.2 初等复变函数

第二章复变函数第二节初等解析函数(1)3、指数函数4、三角函数5、幅角函数指数函数的定义：;)(,1xe xf R x =∈∀、我们首先把指数函数的定义扩充到整个复平面。

要求复变数z=x +iy 的函数f (z )满足下列条件：上解析；在、C z f )(2);()()(,,3212121z f z f z z f C z z =+∈∀、);()()( iy f e iy x f z f x=+=首先，),()()( y iB y A iy f +=设由解析性，我们利用柯西-黎曼条件，有),()()( y B ie y A e z f xx +=则),()('),(')(y B y A y B y A -==所以，,sin )(,cos )(y y B y y A ==因此，).sin (cos y i y e e xz+=yi y e iysin cos +=我们也重新得到欧拉公式：指数函数的对应法则面上的解析拓广；是实变指数函数在复平、指数函数ze w =2指数函数的基本性质且有：在整个复平面是解析，在整个复平面有定义，、指数函数ze w =1zz e e =)'( ,2,1,02||±±=+==k k y Arge e e zxz，π、从定义知道，3.04≠ze 、的周期函数：是周期为、指数函数i e w zπ26=，则若加法定理）：、指数函数代数性质（222111,5iy x z iy x z +=+=12121122(cos sin )(cos sin )z z x x e e e y i y e y i y =+⋅+。

即2121z e z z z e e +=极限，但有时，无：、指数函数的渐进性态∞→z 7)]sin()[cos(212121y y i y y ex x +++=+21z z e+=2i 2 e (cos 2sin 2)z z i z ze e e i e ππππ+==+=即。

复变函数2-3初等函数

1 n
1 n Lnz 1 1 1 z n z e zn . n 1 b (3) 幂函数 w z ( 除去 b n 与两种情况外) n 也是一个多值函数 , 当b 为无理数或复数时, 是无穷多值的.
Ln z 的主值
其余各值为 Lnz ln z 2ki ( k 1,2,),
对于每一个固定的 k , 上式确定一个单值函数 , 称为 Ln z 的一个分支.
特殊地,
当 z x 0 时, Ln z 的主值 ln z ln x ,
是实变数对数函数.
此时Lnx ln x 2ki ( x 0, k 1,2,),
3
一、指数函数
( e x )' e x 处处可导实变：
1.指数函数的定义:
当函数 f ( z ) 在复平面内满足以下三个条件:
(1) f ( z )在复平面内处处解析;
(2) f ( z ) f ( z );
(3)当Im( z ) 0时, f ( z ) e x , 其中x Re( z ).
有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式
cos( z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 , (1) sin( z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 , 2 2 sin z cos z 1.
cos( x yi ) cos x cos yi sin x sin yi , ( 2) sin( x yi ) sin x cos yi cos x sin yi .
x x0 y 0
lim arg z
x x0 y 0

第二章复变函数

第二章复变函数:第二节：初等函数1、指数函数：我们要把实指数函数的定义扩充到整个复平面上，使得复变数z=x+iy 的函数f (z )满足下列条件：（1）x e x f R x =∈∀)(,；（2）f (z )在整个复平面C 上解析；（3）C ,21∈∀z z ，有)()()(2121z f z f z z f =+；则可以证明，)sin (cos )(y i y e z f x +=，事实上，由(3)及(1)有)()()(iy f e iy x f z f x =+=令 ),()()(y iB y A iy f +=其中A (y )及B (y )是实值函数，所以)()()(y B ie y A e z f x x +=显然，y y A cos )(=及y y B sin )(=满足上面的条件。

若,,222111iy x z iy x z +=+=则有)()]sin()[cos()sin (cos )sin (cos )()(2121212211212121z z f y y i y y e y i y e y i y ez f z f x x x x +=+++=++=+ 因此，定义复指数函数，为)sin (cos exp y i y e z e w x z +==由此有Euler 公式：y i y e iy sin cos +=；指数函数的基本性质：（4）C ∈∀z ，0≠z e ；（5）指数函数z e w =在整个复平面内有定义并且解析，z z e e =)'(，指数函数z e w =是实指数函数在复平面上的解析推广；（6）Euler 公式：y i y e iy sin cos +=；（7）从定义得||x z e e =， ,2,1,02±±=+=k k y Arge z ，π利用Euler 公式，得到复数的指数表示式：若复数z 的模为r ，幅角为θ，则有θθθi re i r z =+=)sin (cos ；（8）指数函数是周期i π2为得周期函数；（9）指数函数的几何映射性质：由于指数函数有周期i π2，所以研究当z 在带形}2Im 0C,|{π<<∈=z z z B 中变化时，函数z e w =的映射性质。

复变函数第4讲初等函数

所以这时za具有单一的值.
11
(2).当a=p/q(p和q为互质的整数, q>0)时, 由于
p ln|z|+i p(arg z+2kπ )
za = e q q
p ln|z|
= e q [cos
p (arg z + 2kπ ) + i sin
p (arg z + 2kπ )],
q
q
za具有q个值, 即当k=0,1,...,(q−1)时相应各个值.
sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.
但当z为纯虚数iy时, 我们有
e−y + ey
⎫
cos iy = 2
sin iy = e− y − e y 2i
= ch y ⎪⎪
⎬
=
i
sh
y
⎪ ⎪⎭
20
所以
cos(x + iy) = cos x ch y − i sin x sh y,⎫
cos(z+2π)=cos z, sin(z+2π)=sin z. 也容易推出cos z是偶函数:
cos(−z)=cos z 而sin z是奇函数:
sin(−z)=−sin z 由指数函数的导数公式可以求得
(cos z)'=−sin z, (sin z)'=cos z 易知
eiz=cos z+isin z 普遍正确, 即对于复数, 欧拉公式仍然成立.
= e x1+x2 [(cos y1 cos y2 − sin y1 sin y2 ) +i(sin y1 cos y2 + cos y1 sin y2 )]

复变函数-2.3 初等函数共26页

解析函数
25/25
休息一下 ……
数
2
eiwz z21, iw L(zn z2 1),
w A cz r o i c L s( z n z 2 1 ) .
同理可得 A sr z i n c iL (iz n 1 z 2 );
Artcazni Ln iz. 2 iz
§2.3 初等函数
事实上，在无穷远点有
当 y0,x 时，ez ;
当 y0,x 时，ez 0.
(3) ez 0. 因为 e x 0 ,co y is siy n 0 .
§2.3 初等函数
5/25
第一、指数函数
二章
性质
解
事实上，
析函
e z 1 e z 2 e x 1 (y c 1 i s o y 1 ) i e x s 2 n (y c 2 i s o y 2 ) is n
解析
|w| ex,
Aw r y g 2 k π ,
由 z 的实部得到 w 的模；由 z 的虚部得到 w 的辐角。
函数
(k0 ,1 ,2 , )
y
(z)
v
(w)
y4π
y2π y
z xx
wez
zLnw
w
ex
y
u
§2.3 初等函数
7/25
第二、对数函数
二章
对数函数定义为指数函数的反函数。
析
函
主值 ln (1)πi.
数
可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。
12/25
§2.3 初等函数
第 ▲例求对数 Ln2 以及它的主值。二章解 L 2 l n |2 n | ia2 r 2 k π g iln 22kπi;

复变函数第二章第二节

另外，我们还有复正切函数、余切函数是以π 为周期的周期函数，而正割函数、余割函数是以2π为周期的周期函数．（二）复双曲函数我们将实双曲函数中的实变量换成复变量可得，
定义4 对任意复数 z ∈ ，我们称
ez + e−z ez − e− z ，， cosh z = sinh z = 2 2 cosh z 1 sinh z ，， coth z = = tanh z = sinh z tanh z cosh z 1 1 ， sec hz = cschz = cosh z sinh z
0
πi
i
π
2
0
π
π
例2 证明：减法法则对复指数也成立，即对任 z1 e 意 z1, z2 ∈ ， z = ez1 ⋅ e−z2 = ez1−z2 ． e2
证明由复指数的加法法则，对任意复数 z ∈ ， 1 −z z −z z+(−z) 0 e ⋅e = e = e =1所以 z = e ，于是，对任 z1 e e 意 z1, z2 ∈ ， z = ez1 ⋅ e−z2 = ez1−z2 ，即减法法则成 e2 立．例3 据理说明数学分析中的微分中值定理对复指数函数不成立．解由复指数函数的周期性，对任意复数 z ∈ ， z z z+2πi z ′ ( e ) = e ≠ 0 ．所以，不 e = e 而由性质（3）， z+2πi z ξ ξ 存在，使得 0 = e −e = e ⋅ 2πi . 即数学分析中的微分中值定理对复指数函数不再成立．
显然，形式上这与实指数的加法法则一致．因此，在复数域中，我们给出如下定义：定义1 对任意复数 z = x + iy ∈ ，我们称函 x + iy x z 数 f (z) = e (cos y +isin y) 为复指数函数，记为 e 或 e z x+iy x 即 e = e = e (cos y +i sin y) ．

复变函数第二章第二节初等解析函数

18
当 z 为纯虚数 yi 时,
cos yi e y e y cosh y, 2
sin yi e y e y i sinh y. 2i
(3)
cos( x yi) cos x cosh y i sin x sinh y, sin( x yi) sin x cosh y i cos x sinh y.
的平方和等公式也有相同的形式. 最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都
是有界函数, 但在复变三角函数中,
sin z 1与 cos z 1不再成立.
2020/3/18
26
小结与思考
复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如:
正弦函数为sinz eiz eiz . 2i
容易证明, sin z 是奇函数, cosz 是偶函数. sin(z) sin z, cos(z) cos z.
正弦函数和余弦函数都是以 2 为周期的. sin(z 2) sin z, cos(z 2) cos z.
16
例9 求 f (z) sin5z 的周期.
有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式
cos(z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 , (1) sin(z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 ,
sin2 z cos2 z 1.
(2)
cos( x yi) cos x cos yi sin x sin yi, sin( x yi) sin x cos yi cos x sin yi.
① 处处可导且有 ex ex;
② 对任意的实数 x1, x2 , 有 ex1x2 ex1 ex2 ; ③ 对任意的实数 x R ,有 ex 0。

复变函数2.2 初等解析函数

§2 初等解析函数例2.3 及例2.4已经指出了多项式及有理分式函数的解析性。

这一节和下一节将进一步讲复变数的初等函数，这些函数是数学分析中通常的初等函数在复数域中的自然推广。

经过推广之后的初等函数，往往会获得一些新的性质。

例如，复指数函数z e 是有周期的，函数z z cos sin 及已不在是有界的，等等。

1. 指数函数由例2.9，我们知)sin (cos )(y i y e z f x +=在z 平面上解析，且)()('z f z f =。

进一步，还易验证).()()(2121z f z f z z f =+因此，我们有理由给出下面定义。

定义2.4 对于任何复数iy x z +=，我们用关系式 ()y i y e e e x iy x z sin cos +==+ 来规定指数函数z e对于复指数函数z e ，我们指出它具有如下的性质：(1) 对于实数()0==y x z 来说，我们的定义与通常实指数函数的定义是一致的。

(2) ;arg ,0y e e e z x z =>=在z 平面上0≠z e (3) Z e 在z 平面上解析，且e zZ e =')((4) 加法定理成立，即e e e z z z z 2121=+(5) Z e 是以i π2为基本周期的周期函数（注（1））因对任一整数k ，e eee zik zik z ==+ππ22这里12=eik π（6）极限lim zz e →∞不存在，即e ∞无意义因当z 沿实轴趋于∞+时，∞→e z；当z 沿实轴趋于-∞时，0→e z注:（1）如一函数)(z f 当z 增加一个定值ω时其值不变，即)()(z f z f =+ω，则称)(z f 为周期函数，ω称为z 的周期。

如)(z f 的所有周期都是某一周期ω的整倍数，则称ω为)(z f 的基本周期。

（2）（2.9）式中，当 z 的实部0=x 时，就得到欧拉公式y i y eiysin cos +=所以（2.9）是欧拉公式的推广（3）因10==-e e e zz ，从而ee z z 1=-；e e e z z zz2121-=（4）e z仅仅是一个记号，其意义如定义2.4，它没有幂的意义（5）虽然在z 平面上，ee ik z z π2+=（k 为整数），但0)(≠='e e zz即不满足罗尔（Rolle ）定理，故数学分析中的微分中的微分中值定理不能直接推广到复平面上来。

(word完整版)复变函数教案第二章

章节名称：第二章解析函数学时安排：4学时教学要求：使学生熟悉复变函数导数与解析函数的概念；掌握判断复变函数可导与解析的方法;熟悉复变量初等函数的定义和主要性质教学内容：1，复变函数导数与解析函数的概念以及可导与解析的判别方法;2，复变初等函数定义及其主要性质教学重点：复变函数的导数与解析函数等基本概念，判断复变函数可导与解析的方法；复变量初等函数的定义和主要性质教学难点:函数解析的概念及判定方法教学手段：课堂讲授教学过程：一、第二章解析函数 §1、解析函数的概念 1，复变函数的导数与微分： (1)导数的定义；设函数)(z f =ω定义在区域D 内,0z 为D 中的一点，点z z ∆+0不出D 的范围。

如果极限zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim000存在，那么就说)(z f =ω在0z 可导。

这个极限值称为)(z f =ω在0z 的导数，记作zz f z z f dzd z f z z z ∆-∆+==→∆=)()(lim)(0000'0ω注意：1）定义中的)0(00→∆→∆+z z z z 即的方向是任意的；2）如果)(z f =ω在区域D 内处处可导,就说)(z f =ω在D 内可导。

例1，求2)(z z f =的导数解因为=∆-∆+→∆zz f z z f z )()(lim 0z z z z z z z z z 2)2(lim )(lim0220=∆+=∆-∆+→∆→∆ 所以 z z f 2)('= 思考题，问yi x z f 2)(+=是否可导？（2）可导与连续1）连续不一定可导。

（解答上述思考题可得这一结论） 2）可导一定连续。

由函数)(z f =ω在0z 可导，则zz f z z f z f z ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'即对于任给的0>ε，相应有一个0>δ,使得当δ<∆<z 0时，有ε<-∆-∆+)()()(0'00z f zz f z z f令 )()()()(0'00z f zz f z z f z -∆-∆+=∆ρ那么 0)(lim 0=∆→∆z z ρ 由此得z z z z f z f z z f ∆∆+∆=-∆+)()()()(0'00ρ所以 )()(lim 000z f z z f z =∆+→∆即函数)(z f =ω在0z 连续。

复变函数的基本性质和初等函数

复变函数的基本性质和初等函数复变函数的基本性质与初等函数复变函数是一种映射，其定义域和值域都是复数集，它可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)都是实函数，z=x+iy 是复数，i是虚数单位。

而初等函数是指常见的初等代数函数和初等三角函数等。

复变函数及其导数的解析性质是其最基本的性质之一。

如果函数f(z)在复平面上的一个连通开集中是解析的，则f(z)在该开集内实际上是无限可微的。

这就是我们所说的“全纯性”或“解析性”。

复变函数是最顶级别的函数，因为它会涉及到几何、代数、解析等多个领域。

本文就从极坐标、级数展开、柯西-黎曼方程、导函数四个方面来简单阐述一下复变函数的基本性质，以及这些性质与初等函数的联系。

一、极坐标极坐标在复变函数中表现尤为突出。

我们可以把f(z)表示为(r,θ)的形式，即f(z)=r(θ)e^(iθ)。

其中r表示极径，θ表示角度，e^(iθ)可以理解为旋转因子。

同时，极坐标中有一个性质是：若f(z)在z_0处解析，则极径r和角度θ在其解析点z_0附近的邻域内都是解析的。

这是因为复函数关于实变量r和θ的偏导数能够存在，而这个性质决定了极坐标下的导数公式为f′(z)=∂f(r,θ)/∂r+1/r∂f(r,θ)/∂θ。

二、级数展开级数展开在复变函数中的使用也十分普遍。

一个解析函数可以展开为关于z的幂级数，如f(z)=a0+a1z+a2z^2+...+anz^n+...。

而关于z的幂级数表达式不但方便计算，而且可以有效地判断函数的性质，例如通过判断级数的收敛半径，可以得到f(z)的连续性、无穷可微性等等。

三、柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程则为复变函数的重要基础。

对于坐标z=x+iy，我们可以通过柯西-黎曼方程把函数f(z)写为u(x,y)+iv(x,y)的形式，即：将f(z)写为实部和虚部的形式后，我们就可以利用实函数的方法来处理复变函数相关的问题。

课02-第一章(复变函数2)

它把 z 平面上的两族分别以直线 y = ± x 和坐标轴为渐近线的等轴双曲线 x 2 − y 2 = c1 , 2 xy = c2 ,
分别映射成 w 平面上的两族平行直线 u = c1 , v = c2 . (如下页图如下页图) 如下页图
10
( 2) 函数 w = z 2 构成的映射 .
它们确定了自变量为 x 和 y 的两个二元实变函数 .
例如, 例如, 函数 w = z 2 , 令 z = x + iy , w = u + iv ,
则 u + iv = ( x + iy )2 = x 2 − y 2 + 2 xyi ,
于是函数 w = z 2 对应于两个二元实变函数 : u= x − y ,
1
2.单(多)值函数的定义单多值函数的定义值函数的定义:
如果 z 的一个值对应着一个 w 的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是单值的. 如果 z 的一个值对应着两个或两个以上 w 的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
3.定义集合和函数值集合定义集合和函数值集合: 定义集合和函数值集合
19
1.5 初等函数
复函的初等函数有：复函的初等函数有： e z , Lnz , z α , sin z 等.
一、指数函数
1.指数函数的定义指数函数的定义: 指数函数的定义
w = f (z) = e = e
z
x + yi
定义
= e (cos y + i sin y )
x
2.指数函数的性质指数函数的性质: 指数函数的性质
15
三、典型例题
1 例1 对于映射 w = z + , 求圆周 z = 2 的象. z 解令 z = x + iy , w = u + iv ,

复变函数

d d eiz + e iz ieiz ie iz eiz e iz cos z = = = = sin z, dz dz 2 2 2i
d d eiz e iz ieiz + ieiz eiz + e iz sin z = = = = cos z dz dz 2i 2i 2
三角函数的基本性质: 三角函数
Ln(2 - 3i) = ln 13 i (arctan 3 + 2kπ ) 2
= 1 ln13 i (arctan 3 + 2kπ ) 2 2 (k = 0,±1,±2,)。
例3
计算 ln i和 ln(2 + 3i )的值(ln 1 = 0)。
解：由对数函数的定义知：
lni = ln | i | +i arg i = π i; 2
所以有 ix ix ix ix e +e e e cos x = , sin x = , 2 2i 因此，对任何复数z，定义余弦函数和正弦函 iz iz iz iz 数如下： e +e e e
cos z = 2 , sin z = 2i ,
三角函数的基本性质: 三角函数
则对任何复数z，Euler公式也成立： iz e = cos z + i sin z, 关于复三角函数，有下面的基本性质： 1、cosz和sinz是单值函数； 2、cosz是偶函数，sinz是奇函数:
ln(2 + 3i ) = ln | 2 + 3i | +i arg(2 + 3i ) = 1 ln13 + i arg(π arctan 3 ) 2 2
三角函数的概念:
由于Euler公式，对任何实数x，我们有：

复变函数的初等函数

复变函数的初等函数复变函数是指自变量和因变量都是复数的函数。

与实数函数类似，在复变函数中也存在初等函数的概念。

初等函数是指可以通过有限次的四则运算、开方、指数、对数和三角函数等基本运算得到的函数。

在复变函数中，很多基本的初等函数都能够直接进行推广，如复数的四则运算和开方等。

比如，对于复数的加减法，我们只需要将实部和虚部分别相加或相减；而对于复数的乘法，我们只需要使用分配律进行展开，然后利用虚数单位 i 的平方等于 -1 进行简化。

这样，我们可以得到复数的乘法公式：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。

在复变函数中，开方也可以进行推广。

与实数不同，复数开方存在多个解。

复数的开方是指找到另一个复数，使其平方等于给定的复数。

设 z = 某+yi，其中某和 y 分别表示复数的实部和虚部。

那么，z 的开方可以表示为w = r(cos(θ/n)+isin(θ/n))，其中r = √(某^2+y^2) 是 z 的模长，θ 是复数 z 的幅角（通常取在 -π 到π 之间），n 表示开方的次数。

我们可以通过复数的幅角和模长，得到复数 z 的所有开方。

指数函数和对数函数在复变函数中也有类似的定义。

对于复数的指数运算，可以使用欧拉公式eiθ = cosθ + isinθ 得到。

因此，对于复变函数 f(z) = e^z，其中 z = 某+iy，我们有 f(z) = e^(某+iy) = e^某e^(iy) = e^某(cosy+isiny)。

复变函数中的三角函数也可以通过幅角和模长进行定义。

对于一个复数 z = 某+iy，其中某和 y 分别表示其实部和虚部，我们可以通过 z 的模长和幅角来定义其三角函数值。

例如，sinz = (e^(iz)-e^(-iz))/(2i)。

除了以上提到的初等函数外，复变函数还包括其他一些特殊函数，如复解析函数、Gamma 函数、Zeta 函数等。

这些函数在复变函数的研究中具有重要的作用。