用方程思想解几何图形题针对初一

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人教版数学七年级上册第四章几何图形初步—线段的计算热点归纳【含答案】

线段的计算热点题型归纳一、直接计算例如图，AB=40，点C 为AB 的中点，点D 为CB 上的一点，点E 是BD 的中点，且EB=5，求CD 的长。

解：因为AB=10.点C 为AB 的中点，所以CB=AB=×40=20.1212因为点E 为BD 的中点，EB=5，所以BD=2EB=10，所以CD=CB-BD=20-10=10巩固练习：1.如图，P 是线段AB 上一点，点M 、N 分别为AB 、AP 的中点，若AB=16，BP=6，求线段MN 的长2.如图，已知线段AD=6cm,线段AC=BD=4cm,E 、F 分别是线段AB 、CD 的中点，求线段EF 的长。

二、方程思想例.如图，线段AB 上有两点M 、将AB 分成2:3两部分，点N 将AB分成4:1两部分，且线段MN=8cm,则AM 、NB 的长各为多少？解：依题意，设AM=2X,那么BM=3X,AB=5X.由AN:NB=4：1，得AN=AB=4X,BN=AB=x,4515即有4x-2x=8,解得x=4,所以AM=2x=2×4=8(cm),则AM 、BN 的长分别为8cm 、4cm.变式练习：如图，线段AB 上有两点M,N,AM:MB=5：11，AN:NB=5：7，MN=1.5，求AB 的长。

巩固练习：1.如图，线段AB 被点C 、D 分成了3:4:5三部分，且AC 的中点M 和DB 的中点N 之间的距离是40cm,求AB 的长。

2.如图，已知线段AB 上有两点C 、D,AD=35，BC=44，AC=,求23BD 线段AB 的长。

三、分类讨论的思想例已知线段AB=14cm,在直线AB 上有一点C,且BC=4cm,,M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长。

解：（1）当点C 在线段AB 上时因为M 是线段AC 的中点，所以AM=AC,又因为C=AB-12BC,AB=14cm,BC=4cm,所以AM=(AB-AC)= (14-4)=5cm.1212(2)当点C 在线段AB 的延长线上时，如图因为M 是线段AC 的中点，所以AM=AC,又因为12AC=AB+C,AB=14cm,BC=4cm,所以AM=(AB+C)= (14+4)=9cm.1212变式练习已知线段AB 、BC 在同一直线上，AB=5，BC=2，求AC 的长。

人教版七年级数学上册第四章专题训练(九) 线段计算中的数学思想及动点问题作业练习题

2．如图，AB＝6 cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 在 CB 上，且 CD ＝12 DB，求 AD 的长．
解：因为 AB＝6 cm，点 C 是线段 AB 的中点，所以 AC＝CB＝12 AB＝3(cm)，因为点 D 在 CB 上且 CD＝12 DB，所以 CD＝13 CB＝1(cm)，所以 AD＝AC＋CD＝3＋1＝4(cm)
5．如图，点C，D，E将线段AB分成2∶3∶4∶5四部分，M，P，Q，N 分别是线段AC，CD，DE，EB的中点，且MN＝21，求线段PQ的长度．
解：设AC＝2x，则CD＝3x，DE＝4x，EB＝5x，于是有MC＝x，EN＝ 2.5x，由题意得，MN＝MC＋CD＋DE＋EN，又因为MN＝21，可得x＋ 3x＋4x＋2.5x＝21，解得x＝2.所以PQ ＝PD＋DQ＝0.5(CD＋DE)＝3.5x＝ 7.
3．如图，已知线段AB＝13 cm，BC＝9 cm，点M是线段AC的中点．
(1)求线段AC的长度； (2)在线段CB上取一点N，使得NB＝2CN，求线段MN的长．
解：(1)因为 AB＝13 cm，BC＝9 cm，所以 AC＝AB－BC＝13－9＝4 (cm) (2)因为 M 是线段 AC 的中点，所以 MC＝12 AC＝12 ×4＝2 (cm).因为 NB＝ 2CN，所以 CN＝13 BC＝3(cm).所以 MN＝MC＋CN＝2＋3＝5 (cm)
类型五角的计算中的动点问题 8．如图①，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB(∠OAB＝30°)的直角顶点放在点O处，一条直角边OA 在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒 10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图②所示的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？请说明理由；

方程思想在解决几何问题中的运用

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方程思想在解决几何问题中的运用
作者：郭永兰
来源：《甘肃教育》2018年第15期
【关键词】数学教学；几何问题；方程思想
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A
【文章编号】 1004—0463（2018）15—0125—01
方程思想是初中数学中的基本思想。

方程思想是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法。

这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

一般人们把代数称为“数”，把几何图形称为“形”，往往认为方程属于“数”的范畴，只有在解代数问题时才会想到运用方程，而解几何问题时会把方程抛之脑后，其实“数”与“形”在一定条件下是可以相互转化的。

有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，只要找到几何图形中隐含的等量关系，就可以利用代数方法“列方程”来解决。

下面举例谈谈方程思想在解决几何问题中的经典运用。

一、运用直角三角形的边与角的关系
在运用三角函数（直角三角形的边与角的关系）解决问题的过程中，往往把所求的量看作未知量，其余有关的量用含有未知量的式子表示出来并集中在一个直角三角形中，再通过直角三角形的边与角的关系列出关于未知量的方程以达到求解的目的。

总之，方程思想应用非常广泛，而熟练地利用方程思想解决问题，要做到以下两点：第一要具备用方程思想解题的意识。

第二要根据已知条件，寻找等量关系列方程。

数学思想是数学的精髓和灵魂，是对数学内容的一种本质认识。

作为数学教师，更应该以培养学生数学思想为目标，让孩子们拥有终身受益的数学思想方法。

编辑：张昀。

方程思想在初中几何中的运用

方程思想在初中几何中的运用作者：吴春红来源：《天津教育·中》2020年第12期【摘要】初中阶段所涉及的各种知识点中都有方程思想的影子，方程思想从本质上说是一种同代数相关的思想，因此部分几何问题似乎同方程思想没有联系，不过在解决这类问题的过程中人们往往发现没有方程思想的参与是行不通的。

所以，教师应培养学生掌握问题中“隐形”条件并借助此类条件对数学问题加以解决的能力，也就是要培养学生将方程思想运用于各类数学问题解决的能力。

本文就方程思想在初中几何中的运用做了一点探索。

【关键词】方程思想;几何;运用中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：0493-2099（2020）35-0141-02The Application of Equation Thought in Junior Middle School Geometry（Xiting Junior High School， Tongzhou District， Nantong City， Jiangsu Province，China）WU Chunhong【Abstract】The various knowledge points involved in the junior high school stage have the shadow of equation thinking. Equation thinking is essentially a kind of algebra-related thinking.Therefore， some geometric problems seem to have no connection with equation thinking， but they are solving such problems. In the process， people often find that the participation without equation thought is not feasible. Therefore， teachers should cultivate students' ability to master the "invisible" conditions in problems and use such conditions to solve mathematical problems， that is， to cultivate students' ability to apply equation thinking to solving various mathematical problems. This article does a little exploration on the application of equation thinking in junior high school geometry.【Keywords】Thoughts of equation;Geometry; Application一、初中几何知识概况在初中数学学科中，方程思想是始终涉及其中的，初中阶段几何教学中的知识点主要涉及针对三角形、圆形以及四边形的求解。

解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略(学生版)

解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】【考点三巧妙割补求面积】【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】【考点五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】【考点六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】【考点七实际问题中的方程思想】【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】1(2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习)若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm 和12cm ，则斜边上的高为多少()A.8013B.13C.6D.6013【变式训练】1(2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末)如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则AC 边上的高为()A.5B.322 C.355D.322(2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中)如果一个等腰三角形的腰长为13，底边长为24，那么它底边上的高为()A.12B.24C.6D.53(2022·全国·八年级课时练习)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为．4(2023春·安徽合肥·八年级校考期末)如图所示，在边长为单位1的网格中，△ABC是格点图形，求△ABC中AB边上的高．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60．(1)求BC的长．(2)求斜边AB边上的高．6(2023秋·全国·八年级专题练习)在△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=4，CD是斜边AB上高．(1)求△ABC的面积；(2)求斜边AB；(3)求高CD．【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】1已知在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a，b，c，若a+b=10cm,c=8cm，则Rt△ABC的面积为()A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2【变式训练】1在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=4,AB=410,AC=5，则△ABC的面积为()A.18B.24C.18或24D.18或302直角△ABC三边长分别是x，x+1和5，则△ABC的面积为．【类型三巧妙割补求面积】1(2023春·河南许昌·八年级校考期中)如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，∠ACB=30°，AB=6，AD=13，CD=5．(1)求证：△ACD是直角三角形；(2)求四边形ABCD的面积．【变式训练】1(2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中)如图所示，是一块地的平面图，其中AD=4米，CD=3米，AB=13米，BC=12米，∠ADC=90°，求这块地的面积.2(2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末)已知a，b，c是△ABC的三边，且a=23，b=36，c=66．(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)求△ABC的面积．3(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)四边形草地ABCD中，已知AB=3m，BC=4m，CD= 12m，DA=13m，且∠ABC为直角．(1)求这个四边形草地的面积；(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？4(2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习)计算：如图，每个小正方形的边长都为1．(1)求线段CD与BC的长；(2)求四边形ABCD的面积；(3)求证：∠BCD=90°．【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】1(2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是()A.20B.26C.30D.52【变式训练】1(2023·广西柳州·校考一模)如图，∠BDE=90°，正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，则以BD为直径的半圆的面积是()A.16πB.8πC.4πD.2π2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3且S1=4,S2=8，则S3=；以Rt△ABC的三边向外作等边三角形，其面积分别为S1,S2,S3，则S1,S2,S3三者之间的关系为．3(2023春·八年级课时练习)已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2=S3，(1)如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据(2)中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；(3)若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．4(2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S1，S2，S3，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个．②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，也满足S1+S2=S3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S1，S2，S3的数量关系．(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=．【类型五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】1(2023春·河南许昌·八年级统考期中)已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则CE的长是()A.54B.74C.154D.254【变式训练】1(2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习)如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC= 3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为()A.34B.1.5 C.53D.32(2023春·山东菏泽·八年级统考期中)如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为．3(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2，点D是AC的中点，点E是斜边AB上一动点，沿DE所在直线把△ADE翻折到△A DE的位置，A D交AB于点F．若△BA F为直角三角形，则AE的长为．4(2022秋·河北张家口·八年级统考期中)在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB边上(不与端点重合)．将△ADE沿DE折叠，点A落在A 的位置．(1)如图①，当A 与点B重合且BC=3,AB=5．①直接写出AC的长；②求△BCD的面积．(2)当∠A=37°．①A 与点E在直线AC的异侧时．如图②，直接写出∠A EB-∠A DC的大小；②A 与点E在直线AC的同侧时，且△A DE的一边与BC平行，直接写出∠ADE的度数．【类型六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】1如图，在△ABC中，AB=10，BC=9，AC=17，则BC边上的高为．【变式训练】1已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，CD=3，BD=5，则AC=．2如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，延长BC，DE交于点M．(1)求证：点A在∠M的平分线上；(2)若AC∥DM，AB=12，BM=18，求BC的长．【类型七实际问题中的方程思想】1(2022·全国·八年级)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地⋯⋯”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺(AC=1尺)．将它往前推进两步(EB⊥OC于点E，且EB=10尺)，踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺(BD=CE=5尺)，则秋千绳索(OA或OB)长尺．【变式训练】1(2022·全国·八年级课时练习)如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是()A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸2(2022·河南·金明中小学八年级期中)《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好是竿长的2倍．问门高、门宽各为多少？3(2022·重庆市求精中学校八年级期中)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．4(2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD=90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD ．某家装厂设计的折叠床是AB=4cm，BC=8cm，(1)此时CD为　cm；(2)折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为cm2．。

运用方程思想求解初中几何问题例析

A
D
B
C
图3
分析：要求∆ABC的面积，就要先求AB的长度。解：设AB=x，CD=y，求边长AB，根据已知条件列出
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关于x、y的方程组，然后进行求解即可。
C
A
∵ Rt∆BDC∽Rt∆ABC，
的思路便明朗了，即设出EF长，用两种不同的方式表示 ∆ABD的面积，建立方程。
形的性质建立起等量关系，从而解决问题。数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”把直观的
解：如图4，过点E作EF⊥AC，垂足为F。设EF=x。
几何图形与抽象的数量关系结合起来，能够把复杂问题
因为C D为A B 边上的高，所以C D⊥ A B，∠A D C =90°。
简单化，把抽象问题具体化，从而优化解题路径。当教师赋予几何求解以代数意义时，对其元素之间的关系进行
在Rt ∆ A DC中，∠A DC = 90°，于是CD 2+A D 2=AC2。由于AC=10，CD=8，所以AD=6。
因为A E平分∠C A B且 E F⊥ AC，C D⊥ A B，所以 EF=ED。
=
10 。 5
分析：过E点作∆ACE的高EF，根据角平分线的性质
以上仅通过几个典型例题来引导学生把握方程思想
得知EF =ED。由已知条件可求出A D = 6。由于∆ ACD的面积还可以表示为∆ ACE和∆ A ED的面积之和，这样本题
的精髓，强化学生利用方程思想解决问题的意识。其中关键是挖掘已知条件，根据三角形、四边形、圆等几何图
2021 年第 22 期
SCIENCE FANS
教育教学 4

七年级上册第四章几何图形初步教材分析文字稿及例题解析含答案

第四章《几何图形初步》教材分析一、教材分析1.本章地位和作用本章是初中阶段“图形与几何”领域的第一章，是初中几何的起始章节，在前面两个学段学习的“空间与图形”内容的基础上，让学生进一步欣赏丰富多彩的图形世界，初步尝试用数学的眼光观察立体图形与平面图形，分析它们之间的关系．并通过对线段和角等一些简单几何图形的再认识，初步接触由实验几何向推理几何的过渡．本章内容是几何知识的重要基础，对后续几何的学习有很重要的意义和作用．（1）内容上：本章分为两部分，第一部分“几何图形”，从观察现实生活中的各种物体抽象出几何图形或几何概念，体会几何图形的抽象性特点和数学的抽象性．第二部分“线段、角”是平面几何中最基础也是最重要的图形，有关线段和角的概念、公理、性质，相关的画法、计算、推理、几何语言与图形语言之间的转化能力，对今后几何学习将起到导向作用．（2）方法上：三种数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）的转化贯穿于学习的始终．要学会用分析法、综合法思考解决几何问题，这也是今后解决几何问题的基本方法．（3）思想上：这一章中所涉及到从具体到抽象的思想、把立体图形转化为平面图形的思想、代数方法解决几何问题的思想、数形结合的思想、运动变换的思想、分类讨论的思想、方程的思想以及应用意识的渗透．2.本章学习目标（1）通过从实物和具体模型的抽象，了解几何图形、立体图形与平面图形以及几何体、平面和曲面、直线和曲线、点等概念．（2）能画出从不同方向看一些基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）以及它们的简单组合体得到的平面图形；了解直棱柱、圆柱、圆锥的展开图，能根据展开图想象相应的几何体，制作立体模型，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，培养空间观念和空间想象力．（3）进一步认识直线、射线、线段的概念，掌握它们的符号表示；掌握基本事实：“两点确定一条直线”、“两点之间，线段最短”，了解它们在生活和生产中的应用；理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离；了解平面上两条直线具有相交和不相交两种位置关系；会比较线段的大小；理解线段的和、差及线段中点的概念，会画一条线段等于已知线段．（4）理解角的概念，掌握角的符号表示；会比较角的大小；认识度、分、秒，并会进行简单的换算，会计算角的和与差．了解角的平分线、余角、补角的概念，知道余角和补角的性质．（5）初步认识几何图形是描述现实世界的重要工具，初步应用几何图形的知识解决一些简单的实际问题，培养学习图形和几何知识的兴趣，通过交流活动，初步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识．3．本章知识结构图重点：（1）几何与图形的基本概念，线段、角的基本知识，图形与几何的知识与客观实际的联系．（2）熟悉一些基本的几何语言，养成良好的几何作图的习惯，体会和模仿几何计算的较为规范的书写方式．（3）结合立体图形与平面图形的互相转化的学习，来发展空间观念以及一些重要的概念、性质.难点：（1）概念的抽象性：能由实物形状想象（抽象）出几何图形，由几何图形想象出实物形状．（2）对图形的表示方法，对几何语言的认识与运用．（3）根据文字作图的训练，注意到其中可能蕴含的分类讨论等情形．5．本章共16课时，具体分配如下（仅供参考）：4.1 几何图形 4 课时4.2 直线、射线、线段 3 课时4.3 角 5 课时4.4 课题学习 2 课时小结 2 课时二、教学建议1. 总体教学建议（1）教学中要注意与小学知识内容的衔接，要在已有的知识基础上教学，避免不适当的重复．【小学要求】：对于一些简单几何体和平面图形有一些感性的了解，能结合实例了解线段、射线和直线，了解一些几何体和平面图形的基本特征，知道周角、平角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系，能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图，能认识最简单的几何体（长方体、正方体和圆柱）的展开图.（2）要善于利用模型、生活实物、图片、多媒体工具演示等要学生充分去体验激发学生兴趣．多从生活中的实物出发，让学生感受到图形普遍存在于我们的周围，运用信息技术工具的展现丰富多彩的图形，进行动态演示．在实践中培养学生学习的兴趣．对于一些抽象的概念、性质等，也可借助实物或多媒体，让学生在探索中逐步理解这些知识. （3）要重视画图技能的培养．应注意要求学生养成良好的习惯，画图要认真，图应该画得清楚、干净，并能很好地表现图形之间的位置关系．在画图的过程中，一方面培养学生的绘图技能，同时也培养学生严谨、认真的学习态度，形成良好的个性品质．在这方面老师也应起到良好的示范作用．（4）要重视几何语言的教学．几何图形是“空间与图形”的研究对象，对它的一般描述表示是按“几何模型→图形→文字→符号”这种程序进行的．其中，图形是将几何模型第一次抽象后的产物，也是形象、直观的语言；文字语言是对图形的描述、解释与讨论；符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象．显然，首先建立的是图形语言，其次是文字语言，再次是符号语言，最后形成的是对于研究对象的三种数学语言的综合描述，有了这种整体认识，三种语言达到融汇贯通的程度，就能基本把握对象了．要注意概念的定义和性质的表述，逐步使学生懂得几何语句的意义并能建立几何语句与图形之间的联系．准确的几何语言应当贯穿课堂、作业、课外习题等各个环节，逐步训练学生的几何推理表达. 这些不仅是学习好本章的关键，同时对于学好以后各章也是很重要的．（5）在学习中通过对比（如直线、射线、线段）和类比（线段和角）加深理解．（6）注意训练几何推理书写方式，纠正用算术式进行几何计算的习惯：【“旧”习惯】90245÷=【“新”写法】11904522COB AOB ∠=∠=⨯= 【为什么习惯要“改”？】体现了图形语言和符号语言的对应；体现了推理的过程；从算术思维到代数思维．（7）要通过立体图形的三视图与展开图发展空间概念（不要过于总结规律）．（8）要注重基本概念与性质的教学．例如：①在研究直线、线段、射线的有关概念时，容易出现延长直线或延长射线之类的错误，在用两个大写字母表示射线时，忽视第一个字母表示的是这条射线的顶点．②直线有这样一个重要性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.即两点确定一条直线.线段有这样一条重要性质：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短.这两个性质是研究几何图形的基础，复习时应抓住性质中的关键性字眼，不能出现似是而非的错误．③注意线段的中点是指把线段分成相等的两条线段的点；而连结两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.这里应特别注意线段与距离的区别，即距离是线段的长度，是一个量；线段则是一种图形，它们之间是不能等同的．④在复习角的概念时，应注意理解两种方式来描述，即一种是从一些实际问题中抽象地概括出来，即有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角；另一种是用旋转的观点来定义，即一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.角的两种定义都告诉我们这样一些事实：（1）角有两个特征：一是角有两条射线，二是角的两条射线必须有公共端点，两者缺一不可；（2）由于射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边的长短无关；（3）当角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置、图形的放大或缩小而改变.如一个37°的角放在放大或缩小若干倍的放大镜下它仍然是37°不能误认为角的大小也放大或缩小若干倍.另外对角的表示方法中，当用三个大写字母来表示时，顶点的字母必须写在中间，在角的两边上各取一点，将表示这两个点的字母分别写在顶点字母的两旁，两旁的字母不分前后．⑤在研究互为余角和互为补角时，容易混淆这两个概念.常常误认为互为余角的两个角的和等于180°，互为补角的两个角的和等于90°.（9）要准确把握好教学要求总体上说，起始章的教学要求不宜过高，要充分保护学生学习积极性，避免产生畏难情绪，但是基础知识要落实扎实，养成规范的表达分析习惯，为后续学习打好基础，因此要注意根据学生具体情况来把握教学要求.①立体图形和平面图形、点线面体的概念要求学生在实际背景中认识、理解这些概念，体会抽象的过程，而不是通过形式化的描述让学生接受概念．②视图的知识对于三视图大部分内容是安排在第29章“视图与投影”中的．在这一章，没有给出严格的三视图的概念，是要求能从一组图形中辨认出是从什么方向看得到的图形，能说出从不同方向看一些最基本的几何体（长方体、正方体、圆柱、圆锥、球）以及它们的简单组合所能得到的图形（对于语言难以表达的，可画出示意图，基本形状正确即可，不做尺寸要求）．③展开图的要求教材从展开和折叠两个方面都有要求，且教材中的习题中出现正方体表面有图案的情况，这也是中考的一个热点．圆锥的侧面展开图在后面的章节还要再学习，其余的多面体的展开图很少涉及，所以尽可能多做一些练习，尽量在本章中过关．在教学中，可以从看图分析图形特点进行想象或先动手做再分析图形，两方面同时进行．正方体的11种展开图，在操作中理解展开和折叠的过程，从不同的分类角度认识展开图．④推理能力的要求教科书是按照“简单说理”“说理”“推理”“用符号表示推理”不同层次分阶段逐步加深安排的．在本章，不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要“简单说理”．直线和线段性质的应用、余角和补角的性质的得出等都有简单说理的成分．教学中要注意利用这里“简单说理”的因素，为后面逐步让学生养成言之有据的习惯作准备．规范的推理形式，学生虽然一开始接受有些困难，随着教学的深入不断地纠正、强化，学生是可以掌握的，为以后的几何学习起到示范作用．本章中线段的中点、角平分线、互余、互补、同角的余角（补角）相等，等角的余角（补角）相等，要从文、图、式三方面加深理解，并加以应用，要配上适当的练习，巩固学生的说理．（10）关于本章作图的要求：①作一条线段等于已知线段②作已知线段的中点③作一个角等于已知角④作一个角的平分线2.各小节教学建议4．1．1 立体图形与平面图形知识点1：在实际背景中了解立体图形和平面图形的概念，体会抽象的过程，能举出实例．教学建议：1.理解从模型→图形，就是数学化的过程．2.能够认清N棱柱和N棱锥，圆柱和圆锥，注意“棱”字和“锥”字的写法；能区分棱柱（锥）与圆柱（锥），能区分圆形和球体，不要求但也可以认识棱台或圆台．知识点2：从不同角度看立体图形得到平面图形．教学建议：简单几何体要求会画图；复杂几何体能想象、辨认、说明即可．知识点3：立体图形的展开图．教学建议：1．对于立体图形展开图，学生首先要分析认清立体图形的空间结构，可以把每个面都标上它的位置名称，在展开后方便分清每个面所达到的位置．正方体的11种展开图，不要求学生记忆，重要的是展开和折叠的过程．鼓励学生自己动手尝试．圆锥的侧面展开图在后面圆一章中还能够再学习，其余的多面体的展开图很少涉及，所以尽可能多做一些练习，尽量在本章中过关．2. 通过“展开”和“围成”两种途径认识常见几何体的展开图．尽量提供学生动手操作的机会．4．1．2 点、线、面、体知识点：能从几何实体中抽象出点、线、面、体；知道“…动成…”．教学建议：这部分学生在小学阶段就有了相应的体验，关键是学生能进一步抽象理解这些概念，如对点的认识，它只表示一个位置，没有大小，甚至于无法画出来．这里还要说明线分直线和曲线，面分平面和曲面．4．2 直线、射线、线段知识点1：三种基本几何图形的概念、表示、作图、性质教学建议：联系：射线、线段是直线的一部分，反向延长射线得到直线，两方延长线段得到直线．区别：名称图像表示延伸端点度量直线 1.直线AB(或直线BA)2.直线l 向两端无限延伸0 不可度量射线 1.射线AB2.射线l 向一端无限延伸1 不可度量线段 1.线段AB(或线段BA)2.线段a不可延伸 2 可度量知识点2：几何语言和作图；点和直线教学建议：1.应该学会“过某点”、“点在线上/外”、“相交于某点”、“延长（到某点）”、“在某线上截取”、“连接AB”、“作直线/射线/线段AB”、“有且只有”等说法，并能画出相应的图形．2.学生在书写时可能会出现用小写字母表示点的问题．知识点3：尺规作图：作一条线段等于已知线段；叠合法比较两条线段的长度大小教学建议：要让学生理解为什么在“射线”上截取，在直线或线段上截取行不行．知识点4：线段的中点、N等分点的概念教学建议：1.强调中点必须在线段上，可以提出探究性问题“MA=MB，能否断言M就是线段AB的中点？”，可以要学生利用尺规作图进行探究．2.合理利用中点进行推理．知识点5：线段的和差倍分教学建议：1．注意规范符号语言的书写，要求学生模仿，从现在起必须变算术式为几何语言．2．建议此时不上难题、综合题，目的是先解决“三种语言”的问题，也为后续研究角的计算打好基础，分散难点．4．3．1 角知识点1：角的两种定义方法教学建议：1.通常情况下角的范围是(0,180]．2.明确角的分类．3.在第二种定义下，说明角的范围可以进一步扩展到0和大于180的角．知识点2：角的三种表示方法教学建议：1.角的表达规范问题．2.书写时尽量写成简洁的表达形式．知识点3：角的大小、单位制、方位角教学建议：1.度分秒的转换、计算是难点，学生对于60进制的换算还是不太适应．2.一般方位，都统一用“北偏X”或“南偏X”表示；在图中标记角度．4．3．2 角的比较与运算知识点1：叠合法比较角度大小；角分线的概念；角度和差倍分的计算教学建议：1.类比“线段”的研究来学习“角”．可以从以下方面作类比：①定义、图形、符号表示②测量：测量工具、测量方法、度量单位③比较大小：两条线段/两个角的大小关系的方法④特殊位置：线段的等分点、角等分线⑤和差倍分运算：感受运算中的推理和方程思想⑥角的作图：感受作图中的方案设计2.典型习题：A CM BN4．3．3 余角和补角知识点：余角和补角的概念和计算教学建议：1．明确这两个概念仅表示数量关系、不涉及位置关系；但反过来，特殊的位置关系（垂直、邻补角）则往往会出现两个角互为余角/补角，可以用来计算角的大小．2．可以考虑将性质写成“已知-求证-证明”的形式，让学生初步感受几何中的推理和证明．4.4 课题学习制作长方体形状的包装纸盒通过这一学习体会长方体（立体图形）与其侧面展开图（平面图形）之间的关系．教学建议：可以安排与立体图形展开图教学结合进行．第四章几何图形初步小结复习1.建立完善的认知结构，体会一些数学思想方法的应用．2.注重渗透数学思想方法：分类讨论思想、方程思想、数形结合思想等等．分类讨论思想例1．两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，求它们的交点个数？分析由于题设条件中并没有明确这三条直线的具体位置，所以应分情况讨论.前两条的关系很确定，当画第三条时，会出现分类，或平行于某一条，或相交于同一个点，或相交不在同一个点等三种情况．说明：在过平面上若干点可以画多少条直线，应注意这些点的分情况讨论；或在画其它的图形时，应注意图形的各种可能性.例2.点A，B，C 在同一条直线上，AB＝3 cm，BC=1 cm．求AC的长．方程思想在处理有关角的大小，线段大小的计算时常需要通过列方程来解决．例．如果一个角的补角是150°，求这个角的余角.分析若设这个角的大小为x°，则这个角的余角是90°－x，于是由这个角的补角是150°可列出方程求解．数形结合思想例．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF．将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B'处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A'处，得折痕EN，求∠NEM的度数．说明：对于几何中的一些概念、性质及关系，应把几何意义与数量关系结合起来加以认识，达到形与数的统一．三、几个主要知识点1．从不同方向看例1．将两个大小完全相同的杯子（如图1-甲）叠放在一起（如图1-乙），则从上往下看图乙，得到的平面图形是（）第解析：从上面往下看，可以看到上面杯子的底和两杯子的口都是圆形，应用实线表示，故选C. 例2．图2是一个几何体的实物图，从正面看这个几何体，得到的平面图形是（）解析：此几何体由上下两部分组成，从正面看上面的几何体，看到的是一个等腰梯形，从正面看下面的几何体，看到的是一个长方形，再根据上面的几何体放置的位置特征，应选C. 2．展开与折叠例3．如图3所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是（）解析：圆锥的展开图是一个圆和一个扇形，D 选项中是一个圆和一个三角形，不能围成圆锥，故选D.例4．图4是正方体的展开图，原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是DC B A 图1图2图3图4________．解析：将正方体的展开图折成正方体，可以得到2与6两个面相对，3与4两个面相对，1与5两个面相对，所以相对两个面上的数字之和的最小值是：1＋5=6．故填6. 3 .线段的性质与计算例5. 在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是___________.解析：本题是线段性质的实际应用，根据线段的性质直接得到答案. 应填“两点之间，线段最短. ”例6．如图5，点C 是线段AB 上的点，点D 是线段BC 的中点，若AB =12，AC =8，则CD=______．解析：由图可知，CB=AB-AC=12-8=4. 又因为D 是BC 的中点，所以CD=12BC=2.故填2. 4. 角度的计算例7．如图6所示，已知O 是直线AB 上一点，∠1=40°，OD 平分∠BOC ，则∠2的度数是（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 70°解析：由∠1=40°及平角定义，可求出∠BOC 的度数，由角平分线的定义，通过∠BOC=2∠2可求出∠2的度数.因为∠1=40°，所以∠BOC=180°-∠AOC=140°. 又因为OD 是∠BOC 的平分线，所以∠2=12∠BOC=70°. 故选D. 例8．如图7，直线AB 与直线CD 相交于点O ，E 是∠AOD 内一点，已知OE ⊥AB ，∠BOD=45°，则∠COE 的度数是（）A. 125°B. 135°C. 145°D. 155° 解析：因为OE ⊥AB ，所以∠BOE=90°.因为∠BOD=45°，所以∠DOE=45°. 所以∠COE=180°-∠DOE=135°. 故选B. 5. 余角与补角例9．（1）已知∠α＝20°，则∠α的余角等于度.（2）一个角的补角是36°35′，这个角是．12ABO C D 图6ACBEDO 图7 图5解析：（1）由余角定义，∠α的余角为：90°-20°=70°．故填70.（2）由补角定义，这个角是：180°-36°35′=143°25′.故填143°25′.6. 规律探究问题例10．平面上不重合的两点确定1条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的八个点最多可确定直线（）A. 25条B. 26条C. 27条D. 28条解析：用n 表示平面上的点数，当n=2时，有1条直线；当n=3时，最多有直线：2+1=3（条）；当n=4时，最多有直线： 3+2+1=6（条），…，由此可见，平面内有n 个点时，最多可画出2)1(-n n 条直线. 所以平面上不同的八个点最多可确定直线：8(81)2-=28（条）.故选D.四、易错点点拨举例易错点1 对概念、性质把握不准例1 有下列说法：①直线是射线长度的2倍；②线段AB 是直线BA 的一部分；③直线、射线、线段中，线段最短. 其中说法正确的有（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个错解：选A.分析：错解没有真正理解直线、射线的延伸性，这种延伸决定了直线、射线不能度量其长度，不能比较其长短，所以①③是错误的.正解：选C.易错点2 角的表示错误例2如图1所示，∠1，∠2，∠3用字母怎样表示？错解：∠1可表示为∠A ，∠2可表示为∠D ，∠3可表示为∠C.分析：错误的原因在于不能正确理解角的表示方法，同一顶点处有多个角时，必须用三个字母表示.正解：∠1可表示为∠CAD ，∠2可表示为∠ADC ，∠3可表示为∠ECF.易错点3换算之间的错误A CB D E1 2 3 图1例3计算：（1）30°52′+43°50′；（2）106°9′-34°58′.错解：（1）30°52′+43°50′=74°2′；（2）106°9′-34°58′=71°51′.分析：与度、分、秒有关的角度计算，应把度、分、秒分别计算，同时还要注意它们之间是60进制.错解错在把度、分、秒之间的进制当成了100进制.正解：（1）30°52′+43°50′ =（30°+43°）+（52′+50′）=73°102′=74°42′；（2）106°9′-34°58′=（105°+69′）-（34°+58′）=（105°-34°）+（69′-58′）=71°11′.易错点4 拼图识图错误例4如果将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后从新拼接得到标号为P，Q，M，N的四个图形，如图2所示，A，B，C，D分别与哪个图形对应？图2错解：A与P对应，B与Q对应，C与M对应，D与N对应.分析：本题错误的原因是观察图形不细心，像这样的问题，最好动手剪一剪，拼一拼.正解：A与M对应，B与P对应，C与Q对应，D与N对应.。

人教版七年级数学上册作业课件第四章几何图形初步专题训练(七) 线段的计算

6．A，B两点在数轴上的位置如图所示，现A，B两点分别以1个单位/秒、4个单位/秒的速度同时向左运动．
(1)几秒钟后，原点O恰好在两点正中间？ (2)几秒钟后，恰好有OA∶OB＝1∶2?
解：(1)由图可知 OA＝3，OB＝12，设 x 秒钟后，原点 O 恰好在两点正中间，则有 3＋x＝12－4x，解得 x＝95 (2)设 y 秒钟后，恰好有 OA∶OB＝1∶2，则 OB＝2OA，分两种情况：①当点 B 在点 O 的右边时，有 12－4y＝2(3＋y)，解得 y＝1；②当点 B 运动到点 O 的左边时，有 4y－12＝2(3＋y)，解得 y＝9
5．如图，线段AB上有两点P，Q，点P将AB分成两部分，AP∶PB＝2∶3；点 Q将AB也分成两部分，AQ∶QB＝4∶1，且PQ＝3 cm，求AP，QB，AB的长.
解：设AP＝2x cm，则PB＝3x cm，所以AB＝AP＋PB＝5x cm，因为AQ∶QB ＝4∶1，所以AQ＝4x cm，QB＝x cm，因为AQ－AP＝PQ，所以4x－2x＝3，解得x＝1.5，所以AP＝3 cm，QB＝1.5 cm，AB＝7.5 cm
9．已知点A，B在数轴上的位置如图：
(1)若点P在数轴上，且PA＋PB＝6，求P点对应的数； (2)若点M在数轴上，MA∶MB＝1∶3，求点M对应的数. 解：(1)①当点P在A，B之间时，不符合题意舍去；②当点P在点A右边时，点P 对应的数为2；③当点P在点B左边时，点P对应的数为－4 (2)①点M在线段AB上时，点M对应的数为0；②M在BA的延长线上时，点M对应的数为3；③点M在AB的延长线上时，不合题意舍去
二、利用方程思想求线段的长 3．如图，已知线段 AB 上有两点 C，D，AD＝35，BC＝44，AC＝23 BD，求线段 AB 的长．

方程思想的解题中的应用

方程思想的解题中的应用数学思想是数学的灵魂，任何数学问题的解决都是数学思想作用的结果，因此正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键。

今天所说的方程思想就是一种十分重要的数学思想。

方程模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以使人们从数量关系的角度来认识事物。

下面笔者就从以下几个角度阐述方程思想在解题中的运用。

一、通过构造方程，解决与定义、性质、规律相关的问题数学中的很多定义、性质、规律等理论性知识本身就直接或间接地体现着方程关系，如，单项式与同类二次根式的定义、各种类型的方程的定义、非负数的性质、平方根的特点等等。

若遇到此类问题，可以运用其所隐含的数学关系，通过建立方程加以解决。

二、通过几何定理体现的数量关系，将与几何图形相关的问题转化为方程问题解决几何中的许多定理都反映了图形数量上的相等关系，例如勾股定理、相交弦定理、切割线定理等等。

在很多情况下，若能根据这些定理反映数量关系，合理设出未知数并建立方程，可以使复杂几何问题的解答变得相对简单。

三、通过寻找等量关系，用方程思想解决实际问题例，《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为。

为确保行车安全，一段高速公路全程限速110千米/时（即任一时刻的车速都不能超过110千米/时）。

以下是张师傅和李师傅行驶完这段全程为400千米的高速公路时的对话片断。

张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，少用我1小时就跑完了全程，还是慢点。

”李：“虽然我的时速快，但最大时速也不超过我平均时速的10%，可没有超速违法啊。

”李师傅超速违法吗？为什么？分析：此题是一道判断说理题，解题的关键是求出李师傅的平均速度，而实际上在张师傅和李师傅的对话中隐藏着一个等量关系，即李师傅所用的时间-张师傅所用的时间=1小时。

于是可设出未知数，列方程解决。

说明：运用方程思想解答应用题的关键是寻找等量关系，在实际问题中等量关系是多样化的，需要我们认真审题，打开思路，深入挖掘。

初中数学压轴题解题思路及技巧

初中数学压轴题解题思路及技巧1、学会运用数形结合思想纵观近几年全国各地的中考压轴题，绝大部分都是与平面直角坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题。

另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

2、学会运用函数与方程思想用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。

这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。

因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。

例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。

3、学会运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

分类的原则：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按一个标准；(3)分类讨论应逐级进行，正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。

4、学会运用等价转换思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。

运用方程思想巧解析纸计算问题

所以ＡＡＤＣ￣ＡＢＥ（ＡＳ，ＣＡ）
即Ａ＝ＢＧＤＡＣ＝ＢＥ．
所以与ＡＡＤ＋Ｂ相等的线段是ＡＣ或ＢＥ．
匝攀暖鐾数圈
解：能求出Ｃ之长．理由如下：Ｄｒ
依题意，由轴对称性质知：
△ Ｃ △ 正，Ｄｌ
在Ｒ △ Ｃ中，设ＥＣ＝五ｔ则ＥＦ：Ｄ＝８一．Ｅ
根据勾股定理，有４＝（８一）．
解之得＝３即Ｅ，Ｃ长为３ｍ．ｅ
评析：折纸问题在各种资料和考题中屡见不鲜，同学们普遍感到做起来困难．倘若我们认真审题，充分利用轴对称性质，沟通未知元素与已知元素之问的联系，把待求问题转化为 “ 直角三角形 ” 解问题．通过巧设未知数，并用未知数和已知数表示出直角三角形各
。．．
ＡＥ：ＡＣ＝６．ＤＣ＝ＤＥ，ＤＥＢ＝Ｃ一９０ｏ．
在ＲｔＢＡＡＣ中，由勾股定理，得
ＡＢ＝√ ｃ＋ｃ＝√６８一１Ｂ。０＋
在ＲＡＢＤ中，设ＤＥ＝，ＤＣ＝五ＤＢ：８一Ｅ＝１ｔＥ则Ｂ０
ＡＡＢ＋Ｄ，此时只需证明Ａ＝ＢＣ即Ｄ
可．事实上，同角的余角相等可得而用
到／ＤＣ：Ａ，从而证明ＡＡ￣ＤＣ
ＡＢＥ，问题获证．Ｃ
证明：因为Ｅ＿，ｌ＿Ｃ
所以ＥＣ＝９。０，
即＋Ｃ＝９。曰０．

苏教版初一数学教材中的常见难点剖析

苏教版初一数学教材中的常见难点剖析数学作为一门学科，常常给学生带来挑战和困惑。

在初一的学习阶段中，苏教版数学教材中存在一些难以理解的难点。

本文将对苏教版初一数学教材中的常见难点进行剖析和解答，以帮助学生更好地掌握数学知识。

第一章：整式与方程1.1 阶乘在初一数学教材中，阶乘是一个常见的难点。

阶乘常常出现在排列组合、概率等章节中。

学生容易将阶乘的概念和运算混淆，导致计算错误。

正确掌握阶乘的概念和运算法则，可以通过解题经验和实例来加深理解。

1.2 一元一次方程一元一次方程是数学学习的一项重点内容。

学生在解一元一次方程时，常常出现未知数项系数简单或系数为1的情况。

容易产生混淆和计算错误。

要特别注意方程两边同时加减同一个数值或变量时等式依然成立的原则。

第二章：图形与几何2.1 三角形的性质在三角形的性质中，学生常常混淆三边的关系以及角度与边长之间的关系。

理解和掌握三角形的角度和边长的对应关系，可以通过练习题目，多进行理性思考和解答。

2.2 平行线与垂直线平行线与垂直线的概念和性质是初中数学的基础内容。

学生容易将平行线的特点与垂直线的特点混淆，导致在证明过程中出错。

正确理解平行线和垂直线的定义和证明方法，可以通过画图辅助和实例分析来提升理解能力。

第三章：数据与统计3.1 平均数平均数是数据处理和统计学中的重要概念。

学生在计算平均数时，经常出现数据丢失或者计算错误的情况。

正确理解平均数的定义和计算方法，可以通过练习题目和实际生活中的例子来加深理解。

3.2 概率概率作为一个抽象的数学概念，常常给学生带来困惑。

在计算概率时，学生容易迷失在复杂的题目中，难以抓住核心思想。

正确理解概率的概念和计算方法，可以通过实际问题的分析和解答来提高计算能力。

第四章：函数4.1 函数与方程函数与方程是初中数学中的重要内容。

学生容易将函数与方程的概念混淆，导致在解题过程中出现错误。

要正确理解函数和方程的定义和性质，可以通过练习题目和实例分析来加深理解。

上海市七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项经典习题

一、解答题1．如图，∠AOC：∠COD：∠BOD=2：3：4，且A，O，B三点在一条直线上，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，OG平分∠EOF，求∠GOF的度数。

解析：60°【分析】根据∠AOC：∠COD：∠BOD=2：3：4分别设∠AOC=2x，∠COD=3x，∠BOD=4x，根据这三个角之和等于180°，求得三个角的度数，然后根据角平分线的性质即可求得∠EOF的大小．【详解】设∠AOC=2x，∠COD=3x，∠BOD=4x∵∠AOC+∠COD+∠BOD=∠AOB=180°∴2x+3x+4x=180°∴x=20°∴∠AOC=40°∠COD=60°∠BOD=80°∵OE,OF平分∠AOC，∠BOD∴∠EOC=20°，∠DOF=40°∴∠EOF=120°又∵OG平分∠EOF∴∠EOG=∠GOF=60°∴∠GOF=60°.【点睛】本题考查角平分线的性质.角平分线把一个角平分成两部分，它们都等于原来角的1 2 .2．如图所示，长度为12cm的线段AB的中点为点M，点C将线段MB分成:1:2MC CB=，求线段AC的长度.解析：8cm【解析】【分析】设MC=xcm，由MC：CB=1：2得到CB=2xcm，则MB=3x，根据M点是线段AB的中点，AB=12cm，得到AM=MB12=AB12=⨯12=3x，可求出x的值，又AC=AM+MC=4x，即可得到AC的长．【详解】设MC =xcm ，则CB =2xcm ，∴MB =3x ．∵M 点是线段AB 的中点，AB =12cm ，∴AM =MB 12=AB 12=⨯12=3x ， ∴x =2，而AC =AM +MC ，∴AC =3x +x =4x =4×2=8（cm ）．故线段AC 的长度为8㎝．【点睛】本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离．也考查了方程思想的运用．3．如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连．解析：见解析【解析】试题分析：根据旋转的特点和各几何图形的特性判断即可．试题如图所示： 4．已知A ，B ，C 三点，他们所表示的数分别是5，-3，a.(1)求线段AB 的长度AB ；(2)若AC=6，求a 的值；(3)若d=3a ++5a -，求d 的最小值，并判定d 与AB .解析：（1）8；（2）a =11或－1；（3）8，d =AB ．【分析】（1）线段AB的长等于A点表示的数减去B点表示的数；（2）AC=|A点表示的数－C点表示的数|，然后解方程即可；（3）要想使d的最小，点C一定在A、B两点之间，且最小值为8．【详解】（1）AB=5－（－3）=8；（2）AC=5a =6，解得：a=11或－1；即在数轴上，若C点在A点左边，则a=－1，若C点在A点右边，则a=11；（3）要想使d的最小，点C一定在A、B两点之间，且最小值为8，所以d=AB．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，利用数轴上求线段长度的方法，找出等量关系，解决问题．5．如图，把下列物体和与其相似的图形连接起来．解析：见解析.【分析】根据圆锥，圆柱，球体，正方体的形状连接即可．【详解】连接如图．【点睛】此题考查认识立体图形，解题关键在于掌握立体图的概念.6．百羊问题甲赶群羊逐草茂，乙牵肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬．若得原有一群凑，再添一半小一半，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？请列出方程.(说明：“小一半”是指一半的一半，即四分之一)解析：x＋x＋12x＋14x＋1＝100.【分析】根据“再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只”这一等量关系列出方程即可．【详解】设羊群原有羊x 只，根据题意可列出方程：x ＋x ＋12x ＋14x ＋1＝100. 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键在于理解题意列出方程.7．如图，已知40AOB ∠=︒，3BOC AOB ∠=∠，OD 平分AOC ∠，求BOD ∠的度数.解析：40°【分析】根据3BOC AOB ∠=∠，40AOB ∠=︒求出120BOC ∠=︒，得到∠AOC 的度数，利用OD 平分AOC ∠，求出∠AOD 的度数，即可求出BOD ∠的度数.【详解】解：∵3BOC AOB ∠=∠，40AOB ∠=︒，∴120BOC ∠=︒.∵AOC AOB BOC ∠=∠+∠，40120=︒+︒，160=︒，又∵OD 平分AOC ∠， ∴1802AOD AOC ∠=∠=︒， ∴BOD AOD AOB ∠=∠-∠，8040=︒-︒， 40=︒.【点睛】此题考查角度的和差计算，会看图明确各角之间的大小关系，注意角平分线的运用. 8．如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使70AOC ∠=︒，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O 处.（注：90DOE ∠=︒）（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，那么COE ∠的度数为______；（2）如图2，将直角三角板DOE 绕点O 按顺时针方向转动到某个位置，如果OC 恰好平分AOE ∠，求COD ∠的度数；（3）如图3，将直角三角板DOE 绕点O 任意转动，如果OD 始终在AOC ∠的内部，请直接用等式表示AOD ∠和COE ∠之间的数量关系.解析：（1）20︒；（2）20︒；（3）20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠.【分析】（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，则∠COE =20°；（2）由角平分线可得70COE AOC ∠=∠=︒，再利用角的和差进行计算即可；（3）分别用∠COE 及∠AOD 的式子表达∠COD ，进行列式即可．【详解】解：（1）∵90DOE ∠=︒，70AOC ∠=︒∴907020COE DOE AOC =∠-∠=︒-︒=︒∠故答案为：20︒（2）∵OC 平分AOE ∠，70AOC ∠=︒，∴70COE AOC ∠=∠=︒，∵90DOE ∠=︒，∴907020COD DOE COE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．（3）∵90COD DOE COE COE =∠-∠=︒-∠∠，70COD AOC AOD AOD =∠-∠=︒-∠∠∴9070COE AOD ︒-∠=︒-∠∴20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．故答案为：20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．【点睛】本题考查了角的和差关系，准确表达出角的和差关系是解题的关键．9．（1）已知一个角的补角比它的余角的3倍多10︒，求这个角的度数．（2）已知α∠的余角是β∠的补角的13，并且32βα∠=∠，试求a β∠+∠的度数．解析：（1）50°；（2）150°【分析】（1）设这个角为α，则补角为（180°-α），余角为（90°-α），再由补角比它的余角的3倍多10°，可得方程，解出即可；（2）根据互余和互补的定义，结合已知条件列出方程组，解方程组得到答案．【详解】（1）设这个角为α，根据题意，得 18039010()a α︒-=︒-+︒．解得：50α=︒．答：这个角的度数为50︒．（2）根据题意，得190(180)3αβ︒︒-∠=⨯-∠且32βα∠=∠， ∴60α∠=︒，90β∠=︒．∴ 150αβ∠+∠≡︒．【点睛】本题考查的是余角和补角的概念，掌握若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补是解题的关键．10．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全；（2）若图中的正方形边长为5cm ，长方形的长为8cm ，请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积.解析：（1）多余一个正方形，图形见解析；（2）表面积为：210cm 2；体积为：200cm 3．【分析】（1）根据长方体的展开图判断出多余一个正方形；（2）根据表面积=四个长方形的面积+两个正方形的面积，体积=底面积×高分别列式计算即可得解．【详解】解：（1）多余一个正方形，如图所示：（2）表面积为：225285450160210()cm ⨯+⨯⨯=+=，体积为：2358200()cm ⨯=【点睛】本题考查了几何体的展开图以及长方体的表面积、体积的求法，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．11．如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使80BOC ∠=︒，将一个直角三角形的直角顶点放在点O 处(注：90DOE ∠=︒)()1如图①，若直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OB 上，则COE ∠= ．()2如图②，将直角三角板DOE 绕点O 逆时针方向转动到某个位置，若OC 恰好平分∠BOE ，求COD ∠的度数；()3如图③，将直角三角板DOE 绕点O 转动，如果OD 始终在BOC ∠的内部，试猜想BOD ∠与COE ∠有怎样的数量关系？并说明理由．解析：（1）10°；（2）10°；（3）∠COE －∠BOD ＝10°，理由见解析．【分析】（1）根据COE DOE BOC =-∠∠∠，即可求出COE ∠的度数；（2）根据角平分线的性质即可求出COD ∠的度数；（3）根据余角的性质即可求出∠COE －∠BOD ＝10°．【详解】（1）∵90DOE ∠=︒,80BOC ∠=︒∴908010COE DOE BOC =-=︒-︒=︒∠∠∠∴∠COE ＝10°（2）∵OC 恰好平分∠BOE ∴12COE COB BOE ==∠∠∠ ∴∠COD ＝∠DOE －∠COE ＝∠DOE －∠BOC ＝10°（3）猜想：∠COE －∠BOD ＝10°理由：∵∠COE ＝∠DOE －∠COD ＝90°－∠COD ∠COD ＝∠BOC －∠BOD ＝80°－∠B OD∴∠COE ＝90°－（80°－∠B OD ）＝10°＋∠B OD即∠COE －∠BOD ＝10°【点睛】本题考查了角的度数问题，掌握角平分线的性质、余角的性质是解题的关键．12．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，∠AOC ＝40°，求∠BOD 的度数．结合图形，完成填空：解：因为∠AOC+∠COB ＝ °，∠COB+∠BOD ＝ ①所以∠AOC ＝．②因为∠AOC ＝40°，所以∠BOD ＝ °．在上面①到②的推导过程中，理由依据是：．解析：90，90，∠BOD ，40，同角的余角相等【分析】根据同角的余角相等即可求解．【详解】解：因为∠AOC+∠COB ＝ 90 °，∠COB+∠BOD ＝ 90 ° -﹣﹣﹣①所以∠AOC＝∠BOD ．﹣﹣﹣﹣②-因为∠AOC＝40°，所以∠BOD＝40 °．在上面①到②的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等．故答案为：90，90，∠BOD，40，同角的余角相等．【点睛】本题考查了余角的性质：同角（或等角）的余角相等，及角的和差关系．13．如图，在数轴上有A，B两点，点A在点B的左侧．已知点B对应的数为2，点A对应的数为a．（1）若a＝﹣1，则线段AB的长为；（2）若点C到原点的距离为3，且在点A的左侧，BC﹣AC＝4，求a的值．解析：（1）3；（2）﹣2【分析】（1）根据点A、B表示的数利用两点间的距离公式即可求出AB的长度；（2）设点C表示的数为c，则|c|＝3，即c＝±3，根据BC﹣AC＝4列方程即可得到结论．【详解】（1）AB＝2﹣a＝2﹣（﹣1）＝3，故答案为：3；（2）∵点C到原点的距离为3，∴设点C表示的数为c，则|c|＝3，即c＝±3，∵点A在点B的左侧，点C在点A的左侧，且点B表示的数为2，∴点C表示的数为﹣3，∵BC﹣AC＝4，∴2﹣（﹣3）﹣[a﹣（﹣3）]＝4，解得a＝﹣2．【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.14．如图，C，D，E为直线AB上的三点.（1）图中有多少条线段，多少条射线？能用大写字母表示的线段、射线有哪些？请表示出来；（2）若一条直线上有n个点，则这条直线上共有多少条线段，多少条射线？解析：（1）有10条线段，10条射线.能用大写字母表示的线段：线段AC、线段AD、线段AE、线段AB、线段CD、线段CE、线段CB、线段DE、线段DB、线段EB.（2）(1)2n n条线段，2n条射线.【解析】【分析】对于（1），这条直线上共5个点，求直线上的线段条数，相当于求从5个点中任取两个点的不同取法有多少种，可从点A开始，用划曲线的方法从左向右依次连接其它各点，再从点C开始，用同样的划曲线方法，直到将线段EB画出为止，即可找到所有的线段，由于每个点对应两条射线，由直线上的5个点即可知有多少条射线；对于（2），和（1）类似，当一条直线上有n个点时，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，结合其中有一半重合的线段，则可计算出n个点所组成的线段条数；一个点对应延伸方向相反的两条射线，可表示出当一条直线上有n个点时的射线条数.【详解】解：（1）图中有10条线段，10条射线.如图所示.能用大写字母表示的线段：线段AC、线段AD、线段AE、线段AB、线段CD、线段CE、线段CB、线段DE、线段DB、线段EB.能用大写字母表示的射线：射线AC、射线CD、射线DE、射线EB、射线CA、射线DC、射线ED、射线BE.（2）因为n个点，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，所以n个点就组成n(n-1)条线段.因为其中有一半重合的线段，如线段AC与线段CA，所以这条直线上共有(1)2n n条线段.因为一个端点对应延伸方向相反的两条射线，所以当一条直线上有n个点时，共有2n条射线.【点睛】此题考查直线、射线、线段，解题关键在于掌握直线上射线、线段条数的求法. 15．如图，∠AOB=∠DOC=90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F.（1）∠AOD和∠BOC是否互补？说明理由；（2）射线OF是∠BOC的平分线吗？说明理由；（3）反向延长射线OA至点G，射线OG将∠COF分成了4：3的两个角，求∠AOD．解析：（1）互补；理由见解析；（2）是；理由见解析；（3）54°或720()11【分析】（1）根据和等于180°的两个角互补即可求解；（2）通过求解得到∠COF =∠BOF ，根据角平分线的定义即可得出结论；（3）分两种情况：①当∠COG ：∠GOF =4：3时；②当∠COG ：∠GOF =3：4时；进行讨论即可求解．【详解】（1）因为∠AOD +∠BOC =360°﹣∠AOB ﹣∠DOC =360°﹣90°﹣90°=180°，所以∠AOD 和∠BOC 互补．（2）因为OE 平分∠AOD ，所以∠AOE =∠DOE ，因为∠COF =180°﹣∠DOC ﹣∠DOE =90°﹣∠DOE ，∠BOF =180°﹣∠AOB ﹣∠AOE =90°﹣∠AOE ，所以∠COF =∠BOF ，即OF 是∠BOC 的平分线．（3）因为OG 将∠COF 分成了4：3的两个部分，所以∠COG ：∠GOF =4：3或者∠COG ：∠GOF =3：4．①当∠COG ：∠GOF =4：3时，设∠COG =4x °，则∠GOF =3x °，由（2）得：∠BOF =∠COF =7x °因为∠AOB +∠BOF +∠FOG =180°，所以90°+7x +3x =180°，解方程得：x =9°，所以∠AOD =180°﹣∠BOC =180°﹣14x =54°．②当∠COG ：∠GOF =3：4时，设∠COG =3x °，∠GOF =4x °，同理可列出方程：90°+7x +4x =180°，解得：x = 90()11，所以∠AOD =180°﹣∠BOC =180°﹣14x 720()11 ．综上所述：∠AOD 的度数是54°或720()11．【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，同时涉及到分类思想的综合运用．16．把如图图形沿虚线折叠，分别能折叠成什么几何体(图中的五边形均为正五边形)？观察折成的几何体，回答下列问题：（1）每个几何体有多少条棱？哪些棱的长度相等？（2）每个几何体有多少个面？它们分别是什么图形？哪些面的形状、大小完全相同？解析：（1）第一个图形能折成一个正五棱锥，有10条棱，侧棱相等，底面上的五条棱相等；第二个图形能折成一个正五棱柱，有15条棱，上下底面上的棱相等，侧棱相等；（2）第一个几何体有6个面，分别是5个等腰三角形，1个正五边形，等腰三角形的形状、大小相同；第二个几何体有7个面，分别是5个长方形，2个正五边形，长方形的形状、大小相同，正五边形的形状、大小相同【分析】（1）由五棱锥与五棱柱的折叠及五棱锥与五棱柱的展开图解题．（2）根据五棱锥与五棱柱的特征即可求解．【详解】解：（1）图形（1）有10条棱，底面棱的长度相等，侧面棱的长度相等；图形（2）有15条棱，两个底面棱的长度相等，侧面棱的长度相等；（2）图形（1）有6个面，底面是五边形，侧面是形状、大小完全相同的三角形；图形（2）有7个面，底面是形状、大小完全相同的五边形，侧面是形状、大小完全相同的长方形．【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体的知识，有一定难度，同时考查了学生的想象和动手能力．17．如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度数．解析：120°【分析】此题可以设∠AOC=x，进一步根据角之间的关系用未知数表示其它角，再根据已知的角列方程即可进行计算．【详解】解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．∴∠AOB＝3x．又OD平分∠AOB，∴∠AOD＝1.5x．∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝20°．∴x＝40°∴∠AOB＝120°．【点睛】此题考查角平分线的定义及角的计算，设出适当的未知数，运用方程求出角的度数是解题的关键．18．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？为什么？（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝度．（直接写出结果）（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON的度数是多少？为什么？解析：（1）45°，理由见解析；（2）35；（3）12α，理由见解析【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（3）表示出∠AOC度数，表示出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC 求出即可．【详解】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+60°＝150°，∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC＝12∠AOC＝75°，∠NOC＝12∠BOC＝30°，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°；（2）如图2，∵∠AOB＝70°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝70°+60°＝130°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝12∠AOC＝65°，∠NOC＝12∠BOC＝30°，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝65°﹣30°＝35°．故答案为：35．（3）如图3，∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β，∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC＝12∠AOC＝12（α+β），∠NOC＝12∠BOC＝12β，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝12（α+β）﹣12β＝12α．【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON=∠MOC-∠NOC.19．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE=90°.（1）如图1，若OC平分∠AOE,求∠AOD的度数；（2）如图2，若∠BOC=4∠FOB，且OE平分∠FOC，求∠EOF的度数.解析：（1）135°；（2）54°【分析】（1）利用OC平分∠AOE，可得∠AOC＝12∠AOE＝12×90°＝45°，再利用∠AOC+∠AOD=180°，即可得出．（2）由∠BOC=4∠FOB，设∠FOB=x°，∠BOC=4x°，可得∠COF=∠COB-∠BOF=3x°，根据OE平分∠COF，可得∠COE=∠EOF=12∠COF=32x°，即可得出．【详解】（1）∵∠AOE=90°，OC 平分∠AOE ，∴∠AOC ＝12∠AOE ＝12×90°＝45°， ∵∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°，即∠AOD 的度数为135°．（2）∵∠BOC=4∠FOB ，∴设∠FOB=x°，∠BOC=4x°∴∠COF=∠COB-∠BOF=4x°-x°=3x°∵OE 平分∠COF∴∠COE=∠EOF=12∠COF=32x° ∵32x+x ＝90° ∴x=36， ∴∠EOF=32x°=32×36°＝54° 即∠EOF 的度数为54°．【点睛】本题考查了角平分线的性质、方程思想方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力．20．已知线段10cm AB =，在直线AB 上取一点C ，使16cm AC =，求线段AB 的中点与AC 的中点的距离．解析：13cm 或3cm ．【分析】结合题意画出简单的图形，再结合图形进行分类讨论：当C 在BA 延长线上时，当C 在AB 延长线上时，分别依据线段的和差关系求解．【详解】解：①如图，当C 在BA 延长线上时．因为10cm AB =，16cm AC =，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以15cm 2AD AB ==，18cm 2AE AC ==，所以81513(cm)DE AE AD =+=+=． ②如图，当C 在AB 延长线上时．因为10cm AB =，16cm AC =，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以15cm 2AD AB ==，18cm 2AE AC ==，所以853(cm)DE AE AD =-=-=．综上，线段AB 的中点与AC 的中点的距离为13cm 或3cm ．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据题意画出图形，进行分类讨论． 21．如图，射线ON ，OE ，OS ，OW 分别表示以点O 为中心的北，东，南，西四个方向，点A 在点O 的北偏东45︒方向，点B 在点O 的北偏西30方向．（1）画出射线OB ，若BOC ∠与AOB ∠互余，请在图（1）或备用图中画出BOC ∠；（2）若OP 是AOC ∠的平分线，直接写出AOP ∠的度数．（不需要计算过程）解析：（1）见解析；（2）45︒或30．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据角平分线的定义即可得到结论．【详解】（1）如图所示，BOC ∠与BOC '∠即为所求．（2）AOP ∠的度数为45︒或30︒．∵∠AON=45°，∠BON=30°，∴∠AOB=75°，∵∠BOC 与∠AOB 互余，∴∠BOC=∠BOC′=15°，∴∠AOC=90°，∠AOC=60°，∵OP 是∠AOC 的角平分线，∴∠AOP=45°或30°．【点睛】本题主要考查了方向角的定义，余角的定义，作出图形，正确掌握方向角的定义是解题关键．22．射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE 有公共端点O ．（1）若OA 与OE 在同一直线上，如图（1），试写出图中小于平角的角．（2）如图（2），若108AOC ︒∠=，(072)COE n n ︒∠=<<，OB 平分AOE ∠，OD平分COE ∠，求BOD ∠的度数．解析：（1）AOD ∠，AOC ∠，AOB ∠，∠BOE ，BOD ∠，BOC ∠，COE ∠，COD ∠，DOE ∠；（2）54︒【分析】（1）根据角的定义即可解决；（2）利用角平分线的性质即可得出∠BOD=12∠AOC+12∠COE ，进而求出即可．【详解】（1）题图（1）中小于平角的角有AOD ∠，AOC ∠，AOB ∠，∠BOE ，BOD ∠，BOC ∠，COE ∠，COD ∠，DOE ∠．（2）因为OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠，108AOC ︒∠=，(072)COE n n ︒∠=<<，所以1111()2222BOD BOE DOE AOE COE AOE COE AOC ∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠．因为108AOC ∠=︒，所以54BOD ∠=︒【点睛】本题考查了角的平分线的定义和角的有关计算，本题中将所有锐角的和转化成与∠AOE 、∠BOD 和∠BOD 的关系是解题的关键，23．如图，点C 在线段AB 上，AC=6cm ，MB=10cm ，点M 、N 分别为AC 、BC 的中点．（1）求线段BC 的长；（2）求线段MN 的长；（3）若C 在线段AB 延长线上，且满足AC ﹣BC=b cm ，M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请写出你的结论（不需要说明理由）解析：（1）BC= 7cm ；（2）MN= 6.5cm ；（3）MN=2b 【分析】（1）根据线段中点的性质，可得MC 的长，根据线段的和差，可得BC 的长；（2）根据线段中点的性质，可得MC 、NC 的长，根据线段的和差，可得MN 的长；（3）根据（1）（2）的结论，即可解答．【详解】解：（1）∵AC=6cm ，点M 是AC 的中点，∴12MC AC ==3cm ， ∴BC=MB ﹣MC=10﹣3=7cm ．（2）∵N 是BC 的中点，∴CN=12BC=3.5cm ， ∴MN=MC+CN=3+3.5=6.5cm ．（3）如图，MN=MC ﹣NC=1122AC BC -=12（AC ﹣BC ）=12b ． MN=2b ．【点睛】本题考查两点间的距离．24．已知线段AB ＝10cm ，直线AB 上有一点C ，BC ＝6cm ，M 为线段AB 的中点，N 为线段BC 的中点，求线段MN 的长．解析：2cm 或8cm【分析】分两种情况：（1）点C 在线段AB 上时，（2）点C 在AB 的延长线上时，分别求出线段MN 的值，即可．【详解】解：（1）若为图1情形，∵M 为AB 的中点，∴MB ＝MA ＝5cm ，∵N 为BC 的中点，∴NB ＝NC ＝3cm ，∴MN＝MB﹣NB＝2cm；（2）若为图2情形，∵M为AB的中点，∴MB＝AB＝5cm，∵N为BC的中点，∴NB＝NC＝3cm，∴MN＝MB+BN＝8cm．【点睛】本题主要考查线段的和差倍分和线段的中点概念，根据题意，画出图形，分类讨论，是解题的关键．25．作图：如图，平面内有 A，B，C，D 四点按下列语句画图：（1）画射线 AB，直线 BC，线段 AC（2）连接 AD 与 BC 相交于点 E.解析：答案见解析【分析】利用作射线，直线和线段的方法作图．【详解】如图：【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．26．如图，点C是AB的中点，D，E分别是线段AC，CB上的点，且AD＝23AC，DE＝35AB，若AB＝24 cm，求线段CE的长．解析：CE ＝10.4cm ．【分析】根据中点的定义，可得AC 、BC 的长，然后根据题已知求解CD 、DE 的长，再代入CE=DE-CD 即可.【详解】∵AC=BC=12AB=12cm ，CD=13AC=4cm ，DE=35AB=14.4cm ， ∴CE=DE ﹣CD=10.4cm. 27．已知线段14AB =，在线段AB 上有点C ，D ，M ，N 四个点，且满足AC ：CD ：1DB =：2：4，12AM AC =，且14DN BD =，求MN 的长．解析：7或3【分析】求出AC ，CD ，BD ，求出CM ，DN ，根据MN CM CD DN =++或MN CM CD ND =+-求出即可．【详解】如图，14AB =，AC ：CD ：1BD =：2：4，2AC ∴=，4CD =，8BD =，12AM AC =，14DN DB =， 1CM ∴=，2DN =，1427MN CM CD DN ∴=++=++=或1423MN CM CD ND =+-=+-=．则MN 的长是7或3．【点睛】本题考查了求出两点间的距离的应用及分类讨论的数学思想，关键是找找出线段间的数量关系.28．如图，将一个长方形沿它的长或宽所在的直线旋转一周，回答下列问题：（1）得到什么几何体？（2）长方形的长和宽分别为6cm 和4cm ，分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到不同的几何体，它们的体积分别为多少？（结果保留π）解析：（1）圆柱；（2）它们的体积分别为3144cm π，396cm π【分析】(1)矩形旋转一周得到圆柱；(2)绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm ，高为6cm ，绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm ，高为4cm ，从而可以计算出体积．【详解】解：(1)圆柱(2) 绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm ，高为4cm ，21V r h π=264π=⨯⨯144π=绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm ，高为6cm ，2246V π=⨯⨯96π=∴它们的体积分别为3144cm π，396cm π【点睛】本题主要考查的是圆柱的体积，熟记圆柱的体积公式是解题的关键．29．已知：点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，100BOC ∠=︒．（1）如图1，求AOC ∠的度数；（2）如图2，过点O 作射线OD ，使90COD ∠=︒，作AOC ∠的平分线OM ，求MOD ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP ，若BOP ∠与AOM ∠互余，请画出图形，并求COP ∠的度数．解析：（1）80°；（2）50°；（3）50︒或150︒，图见解析【分析】（1）直接根据邻补角的概念即可求解；（2）直接根据角平分线的性质即可求解；（3）根据P BO ∠与M AO ∠互余，可得50BOP ∠=︒，分①当射线P O 在C BO ∠内部时；②当射线P O 在C BO ∠外部时，两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）180********∠=︒-∠=︒-︒=︒AOC BOC ；（2）由（1）得80AOC ∠=︒，90COD ∠=︒，10AOD COD AOC ∴∠=∠-∠=︒， OM 是AOC ∠的平分线， 11804022AOM AOC ∴∠=∠=⨯︒=︒， 401050MOD AOM AOD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）由（2）得40AOM ∠=︒，BOP ∠与AOM ∠互余，90BOP AOM ∴∠+∠=︒，90904050BOP AOM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，①当射线OP 在BOC ∠内部时（如图3-1)，1005050COP BOC BOP ∠=∠-∠=︒-︒=︒；②当射线OP 在BOC ∠外部时（如图3-2)，10050150COP BOC BOP ∠=∠+∠=︒+︒=︒．综上所述，COP ∠的度数为50︒或150︒．【点睛】此题主要考查邻补角的概念、角平分线的性质、余角的概念，熟练进行逻辑推理是解题关键．30．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm 到达A 点，再向左移动3cm 到达B 点，然后向右移动9cm 到达C 点．(1)用1个单位长度表示1cm ，请你在数轴上表示出A ，B ， C 三点的位置；(2)把点C 到点A 的距离记为CA ，则CA=______cm.(3)若点B 以每秒2cm 的速度向左移动，同时A ．C 点分别以每秒1cm 、4cm 的速度向右移动．设移动时间为t 秒，试探索:CA−AB 的值是否会随着t 的变化而改变?请说明理由．解析：（1）数轴见解析；（2）6；（3）CA−AB 的值不会随着t 的变化而改变，理由见解析；【分析】（1）在数轴上表示出A ，B ，C 的位置即可；（2）求出CA 的长即可；（3）不变，理由如下：当移动时间为t秒时，表示出A，B，C表示的数，求出CA-AB的值即可做出判断．【详解】(1)如图:(2)CA=4−(−2)=4+2=6cm，(3)不变，理由如下:当移动时间为t秒时，点A. B. C分别表示的数为−2+t、−5−2t、4+4t，则CA=(4+4t)−(−2+t)=6+3t，AB=(−2+t)−(−5−2t)=3+3t，∵CA−AB=(6+3t)−(3+3t)=3∴CA−AB的值不会随着t的变化而改变.【点睛】此题考查数轴，两点间的距离，整式的加减，列代数式，解题关键在于结合数轴进行解答.。

数学利用一元一次方程解几何图形问题

知2－讲
解：根据小王的设计可以设宽为x米，则长为(x＋5)米．根据题意，得2x＋(x＋5)＝35. 解得x＝10.因此小王设计的长为10＋5＝15(米)，而墙的长度只有14米，所以小王的设计不符合实际．根据小赵的设计可以设宽为y米，则长为(y＋2) 米．根据题意，得2y＋(y＋2)＝35.解得y＝11. 因此小赵设计的长为11＋2＝13(米)，而墙的长度是14米，显然小赵的设计符合实际，按照他的设计养鸡场的面积是11×13＝143(平方米)．
这个长方形的长与宽分别是( )
A．9 cm，7 cm
B．5 cm，3 cm
C．7 cm，5 cm
D．10 cm，6 cm
知1－练
3 一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
（来自教材）
知2－讲
例3 将装满水的底面直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一个底面直径为 50厘米的圆柱形水桶里，这时水面的高度是多少？
导引：本题中的相等关系为：底面直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶中水的体积＝底面直径为50厘米的圆柱形水桶中水的体积，故可设这时水面的高度为x厘米，用含x的式子表示出水的体积即可．
4 一个长方形苗圃，长比宽多10 m，沿着苗圃走一圈要走40 m，这个苗圃的占地面积为( ) A．400 m2 B．75 m2 C．150 m2 D．200 m2
知识点 2 等积变形
知2－讲
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，常用的关系有： (1)形状变了，体积没变； (2)原材料体积＝成品体积．
圆柱体体积=长方体体积.

七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项知识点总结(含答案解析)

一、解答题1．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE 平分∠AOB ，OF 平分∠BOC ，求∠AOC 和∠COB 的度数．解析：120°，30°【分析】先根据角平分线，求得∠BOE 的度数，再根据角的和差关系，求得BOF ∠的度数，最后根据角平分线，求得BOC ∠、AOC ∠的度数．【详解】∵OE 平分∠AOB ，∠AOB=90°∴∠BOE=∠AOB =45°又∵∠EOF=60°∴∠BOF=∠EOF －∠BOE= 15°又∵OF 平分∠BOC∴∠BOC=2∠BOF=30°∴∠AOC=∠AOB ＋∠BOC=120°故∠AOC=120°，∠COB=30°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键.注意：也可以根据AOC ∠的度数是EOF ∠度数的2倍进行求解．2．如图，C ，D ，E 为直线AB 上的三点.（1）图中有多少条线段，多少条射线？能用大写字母表示的线段、射线有哪些？请表示出来；（2）若一条直线上有n 个点，则这条直线上共有多少条线段，多少条射线？解析：（1）有10条线段，10条射线.能用大写字母表示的线段：线段AC 、线段AD 、线段AE 、线段AB 、线段CD 、线段CE 、线段CB 、线段DE 、线段DB 、线段EB.（2）(1)2n n -条线段，2n 条射线.【解析】【分析】对于（1），这条直线上共5个点，求直线上的线段条数，相当于求从5个点中任取两个点的不同取法有多少种，可从点A开始，用划曲线的方法从左向右依次连接其它各点，再从点C开始，用同样的划曲线方法，直到将线段EB画出为止，即可找到所有的线段，由于每个点对应两条射线，由直线上的5个点即可知有多少条射线；对于（2），和（1）类似，当一条直线上有n个点时，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，结合其中有一半重合的线段，则可计算出n个点所组成的线段条数；一个点对应延伸方向相反的两条射线，可表示出当一条直线上有n个点时的射线条数.【详解】解：（1）图中有10条线段，10条射线.如图所示.能用大写字母表示的线段：线段AC、线段AD、线段AE、线段AB、线段CD、线段CE、线段CB、线段DE、线段DB、线段EB.能用大写字母表示的射线：射线AC、射线CD、射线DE、射线EB、射线CA、射线DC、射线ED、射线BE.（2）因为n个点，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，所以n个点就组成n(n-1)条线段.因为其中有一半重合的线段，如线段AC与线段CA，所以这条直线上共有(1)2n n-条线段.因为一个端点对应延伸方向相反的两条射线，所以当一条直线上有n个点时，共有2n条射线.【点睛】此题考查直线、射线、线段，解题关键在于掌握直线上射线、线段条数的求法.3．如图所示，长度为12cm的线段AB的中点为点M，点C将线段MB分成:1:2MC CB=，求线段AC的长度.解析：8cm【解析】【分析】设MC=xcm，由MC：CB=1：2得到CB=2xcm，则MB=3x，根据M点是线段AB的中点，AB=12cm，得到AM=MB12=AB12=⨯12=3x，可求出x的值，又AC=AM+MC=4x，即可得到AC的长．【详解】设MC=xcm，则CB=2xcm，∴MB =3x ．∵M 点是线段AB 的中点，AB =12cm ，∴AM =MB 12=AB 12=⨯12=3x ， ∴x =2，而AC =AM +MC ，∴AC =3x +x =4x =4×2=8（cm ）．故线段AC 的长度为8㎝．【点睛】本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离．也考查了方程思想的运用．4．如图所示，∠AOB =35°，∠BOC =50°，∠COD =22°，OE 平分∠AOD ，求∠BOE 的度数.解析：5°【解析】【分析】首先根据角的和差关系算出∠AOD 的度数，再根据角平分线的性质可得∠AOE =12∠AOD ，进而得到答案．【详解】∵∠AOB =35°，∠BOC =50°，∠COD =22°，∴∠AOD =35°+50°+22°=107°．∵OE 平分∠AOD ，∴∠AOE =12∠AOD =12×107°=53.5°，∴∠BOE =∠AOE －∠AOB =53.5°－35°=18.5°．【点睛】本题考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．5．如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连．解析：见解析【解析】试题分析：根据旋转的特点和各几何图形的特性判断即可．试题如图所示：6．如图，直角三角形ABC的两条直角边AB和BC分别长4厘米和3厘米，现在以斜边AC 为轴旋转一周．求所形成的立体图形的体积．解析：6π立方厘米【解析】试题分析：先根据勾股定理求出斜边为5厘米，再用“3×4÷5=2.4厘米”求出斜边上的高，绕斜边旋转一周后所得到的就是两个底面半径为2.4厘米，高的和为5厘米的圆锥体，由此利用圆锥的体积公式求得这两个圆锥的体积之和即可．试题过B作BD⊥AC，∵直角边AB和BC分别长4厘米和3厘米，∴AC=2234=5（厘米），斜边上的高为“3×4÷5=2.4（厘米），所形成的立体图形的体积：132.42 5 =9.6π（立方厘米）．7．如图，点B和点C为线段AD上两点，点B、C将AD分成2︰3︰4三部分，M是AD的中点，若MC＝2，求AD的长．解析：AD=36.【分析】根据点B、C将AD分成2︰3︰4三部分可得出CD与AD的关系，根据中点的定义可得MD=12AD，利用MC=MD-CD即可求出AD的长度.【详解】∵点B、C将AD分成2︰3︰4三部分，∴CD=49AD，∵M是AD的中点，∴MD=12 AD，∵MC=MD-CD=2，∴12AD-49AD=2，∴AD=36.【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．8．古时候，传说捷克的公主柳布莎曾出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人，再取余下的一半又两个给第二个人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余，篮中原有李子多少个？”解析：34个在最后一次送了一半加三个，篮子的李子没有剩余，可以知道最后一次的一半就是三个，所以上一次剩余6个，6个加上送的2个合计8个，为第二次的一半，可以知道第一次送出后还有16个，16在加上第一次送的1个为17个，所以最初一共有34个.【详解】用逆推法：解： ()32221234⎡⎤⨯+⨯+⨯=⎣⎦（个）【点睛】送出一半又3个的时候，剩余为0，直接可以知道一半就是3个.9．如图，把下列物体和与其相似的图形连接起来．解析：见解析.【分析】根据圆锥，圆柱，球体，正方体的形状连接即可．【详解】连接如图．【点睛】此题考查认识立体图形，解题关键在于掌握立体图的概念.10．百羊问题甲赶群羊逐草茂，乙牵肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬．若得原有一群凑，再添一半小一半，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？请列出方程.(说明：“小一半”是指一半的一半，即四分之一)解析：x ＋x ＋12x ＋14x ＋1＝100. 【分析】根据“再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只”这一等量关系列出方程即可．【详解】设羊群原有羊x 只，根据题意可列出方程：x ＋x ＋12x ＋14x ＋1＝100.此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键在于理解题意列出方程.11．说出下列图形的名称．解析：依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形、六边形．【分析】根据平面图形：一个图形的各部分都在同一个平面内可得答案．【详解】根据平面图形的定义可知：它们依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形、六边形．【点睛】此题考查认识平面图形，解题关键在于掌握其定义对图形的识别.12．如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使70AOC ∠=︒，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O 处.（注：90DOE ∠=︒）（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，那么COE ∠的度数为______；（2）如图2，将直角三角板DOE 绕点O 按顺时针方向转动到某个位置，如果OC 恰好平分AOE ∠，求COD ∠的度数；（3）如图3，将直角三角板DOE 绕点O 任意转动，如果OD 始终在AOC ∠的内部，请直接用等式表示AOD ∠和COE ∠之间的数量关系.解析：（1）20︒；（2）20︒；（3）20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠.【分析】（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，则∠COE =20°；（2）由角平分线可得70COE AOC ∠=∠=︒，再利用角的和差进行计算即可；（3）分别用∠COE 及∠AOD 的式子表达∠COD ，进行列式即可．【详解】解：（1）∵90DOE ∠=︒，70AOC ∠=︒∴907020COE DOE AOC =∠-∠=︒-︒=︒∠故答案为：20︒（2）∵OC 平分AOE ∠，70AOC ∠=︒，∴70COE AOC ∠=∠=︒，∵90DOE ∠=︒，∴907020COD DOE COE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．（3）∵90COD DOE COE COE =∠-∠=︒-∠∠，70COD AOC AOD AOD =∠-∠=︒-∠∠∴9070COE AOD ︒-∠=︒-∠∴20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．故答案为：20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．【点睛】本题考查了角的和差关系，准确表达出角的和差关系是解题的关键．13．已知AOB m ∠=，与AOC ∠互为余角，与BOD ∠互为补角，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，（1）如图，当35m =时，求AOM ∠的度数；（2）在（1）的条件下，请你补全图形，并求MON ∠的度数；（3）当AOB ∠为大于30的锐角，且AOC ∠与AOB ∠有重合部分时，请求出MON ∠的度数.（写出说理过程，用含m 的代数式表示）解析：(1)27.5°；(2) 135°或10°；(3) 2135︒-︒m 或45+︒︒m 或1352︒-︒m .【分析】(1)根据题目已知条件OM 平分AOC ∠，得出∠COM=∠MOA ，因35m =即可求出.(2)∠AOB 和∠BOD 互补，分两种情况讨论，第一种情况是∠AOB 和∠BOD 没有重合部分时，第二种情况是∠AOB 和∠BOD 有重合部分时，再根据题目已知条件求解.(3)根据题目要求画出符合题目的图，在根据题目给出的已知条件求解.【详解】解：(1)∠AOB=35°∵OM 平分AOC ∠∴∠COM=∠MOA=()9035227.5︒-︒÷=︒(2)当∠AOB 和∠BOD 没有重合部分时如图所示∵∠AOB=35°，∠AOB 与∠BOD 互补∴∠AOB+∠BOD=180°∵ON 平分BOD ∠∴∠BON=∠NOD=()18035272.5︒-︒÷=︒∴∠MON=∠NOB+∠BOA+∠AOM=72.5+35+27.5=135︒︒︒︒当∠AOB 和∠BOD 有重合部分时由(1)知∠MOA=27.5°，∠AOB=35°∠AOB 与∠BOD 互补∴∠AOB+∠BOD=180°∠BOD=180°-35°=145°同理可得：∠NOB=72.5°∠MON=72.5°-27.5°-35°=10°∴∠MON=135°或10°(3)如图所示因为∠AOB ∠AOC 互余，AOB m ∠=∴∠AOC=90︒-m∵OM 平分AOC ∠∴∠COM=∠MOA=()902=452︒︒-÷︒-m m ∵∠OB 与∠BOD 互补∴∠AOB+∠BOD=180°ON 平分BOD ∠∴∠CON=∠NOD=()1802902︒︒-÷=︒-m m ∴∠NAO=3909022︒︒--︒=︒-m m m ∴∠MON=390+45135222︒-︒-=︒-︒m m m同理可得∠MON=45+︒︒m同理可得∠MON=2135︒-︒m∴∠MON=2135︒-︒m 或45+︒︒m 或1352︒-︒m【点睛】本题主要考查的是余角和补角的定义以及角平分线的应用，再做题之前一定要思考清楚需要分几个情况，再根据已知条件解出每种情况.14．如图，已知线段a 和b ，直线AB 和CD 相交于点O.利用尺规，按下列要求作图（只保留作图痕迹即可）：（1）在射线OA ，OB ，OC 上作线段OA′，OB′，OC′，使它们分别与线段a 相等；（2）在射线OD 上作线段OD′，使OD′与线段b 相等；（3）连接A′C′，C′B′，B′D′，D′A′.解析：详见解析【解析】【分析】（1）以点O 为圆心，a 为半径作圆，分别交射线OA ，OB ，OC 于A′、B′、C′；、（2）以点O 为圆心，b 为半径作圆，分别交射线OD ，于D′. （3）依次连接A′C′B′D′,即可解答. 【详解】解：（1）如图所示OA′、OB′、OC′. （2）如图所示OD′. （3）如图所示A′C′B′D′.【点睛】此题考查作图—复杂作图，解题关键在于掌握尺规作图.15．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且22AB =，动点P 从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为()0t t >秒．（1）数轴上点B 表示的数是___________；点P 表示的数是___________(用含t 的代数式表示)（2）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P Q 、同时出发，问多少秒时P Q 、之间的距离恰好等于2？（3）若M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．解析：（1）14-，85t -；（2）2.5秒或3秒；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为11，图形见解析．【分析】（1）根据点B 和点P 的运动轨迹列式即可．（2）分两种情况：①点P Q 、相遇之前；②点P Q 、相遇之后，分别列式求解即可．（3）分两种情况：①当点P 在点A B 、两点之间运动时；②当点P 运动到点B 的左侧时，分别列式求解即可．【详解】（1）14-，85t -；（2）分两种情况： ①点P Q 、相遇之前，由题意得32522t t ++=，解得 2.5t =． ②点P Q 、相遇之后，由题意得32522t t -+=，解得3t =．答：若点P Q 、同时出发，2.5或3秒时P Q 、之间的距离恰好等于2；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为11，理由如下：①当点P 在点A B 、两点之间运动时：11111()221122222MN MP NP AP BP AP BP AB =+=+=+==⨯=； ②当点P 运动到点B 的左侧时，1111()112222MN MP NP AP BP AP BP AB =-=-=-==； ∴线段MN 的长度不发生变化，其值为11．【点睛】本题考查了数轴动点的问题，掌握数轴的性质是解题的关键．16．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．解析：（1）8；（2）见解析；（3）200000立方厘米【分析】1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数；（2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况；（3）设底面边长为acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积．【详解】解：（1）由图可得，小明共剪了8条棱，故答案为：8．（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴可设底面边长acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，长方体纸盒高为20cm，∴4×20+8a＝880，解得a＝100，∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米．【点睛】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．17．如图所示，A，B两条海上巡逻船同时在海面发现一不明物体，A船发现该不明物体在他的东北方向（从靠近A点的船头观测），B船发现该不明物体在它的南偏东60 的方向上（从靠近B点的船头观测），请你试着在图中确定这个不明物体的位置．解析：见解析【分析】根据题意这个不明物体应该在这两个方向的交叉点上，根据图示方向在A点向东北方向作一条线，在B点向南偏东60°方向作一条线，交点即是．【详解】根据题意，分别以A和B所在位置作出不明物体所在它们的方向上的射线，两线的交点D即为不明物体所处的位置．如图所示，点D即为所求：．【点睛】本题考查了方位角在生活中的应用，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．18．已知：如图，18cmAB=，点M是线段AB的中点，点C把线段MB分成:2:1MC CB=的两部分，求线段AC的长．请补充下列解答过程：解：因为M是线段AB的中点，且18cmAB=，所以AM MB==________AB=________cm．因为:2:1MC CB=，所以MC=________MB=________cm．所以AC AM=+________=________+________=________(cm)．解析：12，9，23，6，MC，9，6，15．【分析】根据线段中点的性质，可得AM，根据线段的比，可得MC，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：∵M是线段AB的中点，且18cmAB=，∴19cm 2AM MB AB ===． ∵:2:1MC CB =，∴26cm 3MC MB ==． ∴9615(cm)AC AM MC =+=+=．故答案为：12，9，23，6，MC ，9，6，15．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出AM ，线段的比得出MC 是解题关键．19．已知90AOB ∠=︒，OC 为一条射线，OE ，OF 分别平分AOC ∠，BOC ∠，求EOF ∠的度数．解析：45︒【分析】本题需要分类讨论，当OC 在AOB ∠内部时，根据OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12COE AOC ∠=∠，12COF BOC ∠=∠，即可求出EOF ∠的度数；当OC 在AOB ∠外部时，OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12EOC AOC ∠=∠，12FOC BOC ∠=∠，所以1122EOF FOC EOC BOC AOC ∠=∠-∠=∠-∠，即可解决．【详解】解：①如图，当OC 在AOB ∠内部时．因为OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12COE AOC ∠=∠，12COF BOC ∠=∠，所以1122COE COF AOC BOC ∠+∠=∠+∠，即12EOF AOB =∠∠．又因为90AOB ︒∠=，所以45EOF ︒∠=．②如图，当OC 在AOB ∠外部时．因为OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12EOC AOC ∠=∠，12FOC BOC ∠=∠，所以1111()452222EOF FOC EOC BOC AOC BOC AOC AOB ︒∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠=．综上所述，45EOF ︒∠=．【点睛】本题主要考查了角度的计算和角平分线的定义，熟练分类讨论思想，并且画出图形是解决本题的关键．20．如图，长度为12cm 的线段AB 的中点为M ，点C 将线段MB 分成两部分，且:1:2MC CB =，则线段AC 的长度为________．解析：8cm【分析】先由中点的定义求出AM ，BM 的长，再根据MC ：CB=1：2的关系，求MC 的长，最后利用AC=AM+MC 得其长度．【详解】∵线段AB 的中点为M ， ∴AM=BM=6cm 设MC=x ，则CB=2x ， ∴x+2x=6，解得x=2 即MC=2cm ．∴AC=AM+MC=6+2=8cm ．故答案为：8cm ．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，在解题时要能根据两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．21．如图，射线ON ，OE ，OS ，OW 分别表示以点O 为中心的北，东，南，西四个方向，点A 在点O 的北偏东45︒方向，点B 在点O 的北偏西30方向．（1）画出射线OB ，若BOC ∠与AOB ∠互余，请在图（1）或备用图中画出BOC ∠；（2）若OP 是AOC ∠的平分线，直接写出AOP ∠的度数．（不需要计算过程）解析：（1）见解析；（2）45︒或30．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据角平分线的定义即可得到结论．【详解】（1）如图所示，BOC ∠与BOC '∠即为所求．（2）AOP ∠的度数为45︒或30︒． ∵∠AON=45°，∠BON=30°， ∴∠AOB=75°， ∵∠BOC 与∠AOB 互余， ∴∠BOC=∠BOC′=15°， ∴∠AOC=90°，∠AOC=60°， ∵OP 是∠AOC 的角平分线， ∴∠AOP=45°或30°．【点睛】本题主要考查了方向角的定义，余角的定义，作出图形，正确掌握方向角的定义是解题关键．22．如图，是一个几何体的表面展开图．（1）该几何体是________；A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥（2）求该几何体的体积．解析：（1）C；（2）4【分析】（1）本题根据展开图可直接得出答案．（2）本题根据体积等于底面积乘高求解即可．【详解】（1）本题可根据展开图中两个全等的等腰直角三角形，以此判定该几何体为三棱柱，故选C．（2）由图已知：该几何体底面积为等腰三角形面积12222=⨯⨯=；该几何体的高为2；故该几何体体积=底面积⨯高=22=4⨯．【点睛】本题考查几何体展开图以及体积求法，根据展开图推测几何体时需要以展开图的特征位置作为推测依据，求解体积或者面积时按照公式求解即可．23．如图，点O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．（1）分别写出图中∠AOD和∠AOC的补角（2）求∠DOE的度数．解析：（1）∠BOD，∠BOC；（2）90°．【分析】（1）由题意根据补角的定义即和是180度的两个角互补，一个角是另一个角的补角进行分析；（2）根据角平分线的性质，可得∠COE，∠COD，再根据角的和差即可得出答案．【详解】解：（1）根据补角的定义可知，∠AOD的补角是∠BOD；∠AOC的补角是∠BOC；（2）∵OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ， ∴∠COD=12∠AOC ，∠COE=12∠BOC ．由角的和差得∠DOE=∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=90°．【点睛】本题考查余角和补角，利用了补角的定义和角的和差以及角平分线的性质进行分析求解． 24．已知：O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠．（1）如图1．若30AOC ∠=︒．求DOE ∠的度数；（2）在图1中，AOC a ∠=，直接写出DOE ∠的度数（用含a 的代数式表示）；（3）将图1中的DOC ∠绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置，探究AOC ∠和DOE ∠的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．解析：（1）15DOE ∠=︒；（2）12DOE a ∠=；（3）2AOC DOE ∠∠=，理由见解析. 【分析】（1）先根据补角的定义求出∠BOC 的度数，再由角平分线的性质得出∠COE 的度数，根据∠DOE =∠COD -∠COE 即可得出结论；（2）同（1）可得出结论；（3）先根据角平分线的定义得出∠COE =∠BOE =12∠BOC ，再由∠DOE =∠COD -∠COE 即可得出结论．【详解】（1）∵COD ∠是直角，30AOC ∠=︒，180903060BOD ∴∠=︒-︒-︒=︒， 9060150COB ∴∠=︒+︒=︒， ∵OE 平分BOC ∠，1752BOE BOC ∴∠=∠=︒，756015DOE BOE BOD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．（2）COD ∠是直角，AOC a ∠=，1809090BOD a a ∴∠=︒-︒-=︒-， 9090180COB a a ∴∠=︒+︒-=︒-， ∵OE 平分BOC ∠，119022BOE BOC a ∴∠=∠=︒-，()11909022DOE BOE BOD a a a ∴∠=∠-∠=︒--︒-=．（3）2AOC DOE ∠=∠，理由是：180BOC AOC ∠=︒-∠，OE 平分BOC ∠，119022BOE BOC AOC ∴∠=∠=︒-∠，90COD ∠=︒，()909018090BOD BOC AOC AOC ∴∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠-︒，()11909022DOE BOD BOE AOC AOC AOC ⎛⎫∴∠=∠+∠=∠-︒+︒-∠=∠ ⎪⎝⎭，即2AOC DOE ∠=∠．【点睛】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、补角的定义是解答此题的关键． 25．已知线段14AB =，在线段AB 上有点C ，D ，M ，N 四个点，且满足AC ：CD ：1DB =：2：4，12AM AC =，且14DN BD =，求MN 的长．解析：7或3 【分析】求出AC ，CD ，BD ，求出CM ，DN ，根据MN CM CD DN =++或MN CM CD ND =+-求出即可．【详解】如图，14AB =，AC ：CD ：1BD =：2：4， 2AC ∴=，4CD =，8BD =，12AM AC =，14DN DB =， 1CM ∴=，2DN =，1427MN CM CD DN ∴=++=++=或1423MN CM CD ND =+-=+-=．则MN 的长是7或3．【点睛】本题考查了求出两点间的距离的应用及分类讨论的数学思想，关键是找找出线段间的数量关系.26．把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．（1）问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是；（2）拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是多少？（3）问题解决：当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD时，求∠BOC的度数．解析：（1）180°；（2）180°；（3）60°．【解析】试题分析：（1）先根据OB平分∠COD得出∠BOC及∠AOC的度数，进而可得出结论；（2）根据直角三角板的性质得出∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°进而可得出结论；（3）根据（1）、（2）的结论可知∠AOD+∠BOC=180°，故可得出∠AOD=180°﹣∠BOC，根据∠BOC的余角的4倍等于∠AOD即可得出结论．解：（1）∵OB平分∠COD，∴∠BOC=∠BOD=45°．∵∠AOC+∠BOC=45°，∴∠AOC=45°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°．故答案为180°；（2）∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=90°+90°=180°；（3）∵由（1）、（2）得，∠AOD+∠BOC=180°，∴∠AOD=180°﹣∠BOC．∵∠AOD=4（90°﹣∠BOC），∴180°﹣∠BOC=4（90°﹣∠BOC），∴∠BOC=60°．考点：余角和补角；角平分线的定义．27．如图，将一个长方形沿它的长或宽所在的直线旋转一周，回答下列问题：（1）得到什么几何体？（2）长方形的长和宽分别为6cm 和4cm ，分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到不同的几何体，它们的体积分别为多少？（结果保留π）解析：（1）圆柱；（2）它们的体积分别为3144cm π，396cm π【分析】(1)矩形旋转一周得到圆柱；(2)绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm ，高为6cm ，绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm ，高为4cm ，从而可以计算出体积．【详解】解：(1)圆柱(2) 绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm ，高为4cm ，21V r h π=264π=⨯⨯144π=绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm ，高为6cm ，2246V π=⨯⨯96π=∴它们的体积分别为3144cm π，396cm π【点睛】本题主要考查的是圆柱的体积，熟记圆柱的体积公式是解题的关键．28．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如下图所示拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）解析：见解析．【分析】根据正方体展开图直接画图即可．【详解】解：【点睛】正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背．29．已知：点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，100BOC ∠=︒．（1）如图1，求AOC ∠的度数；（2）如图2，过点O 作射线OD ，使90COD ∠=︒，作AOC ∠的平分线OM ，求MOD ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP ，若BOP ∠与AOM ∠互余，请画出图形，并求COP ∠的度数．解析：（1）80°；（2）50°；（3）50︒或150︒，图见解析【分析】（1）直接根据邻补角的概念即可求解；（2）直接根据角平分线的性质即可求解；（3）根据P BO ∠与M AO ∠互余，可得50BOP ∠=︒，分①当射线P O 在C BO ∠内部时；②当射线P O 在C BO ∠外部时，两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）180********∠=︒-∠=︒-︒=︒AOC BOC ；（2）由（1）得80AOC ∠=︒，90COD ∠=︒，10AOD COD AOC ∴∠=∠-∠=︒， OM 是AOC ∠的平分线，11804022AOM AOC ∴∠=∠=⨯︒=︒， 401050MOD AOM AOD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）由（2）得40AOM ∠=︒，BOP ∠与AOM ∠互余，90BOP AOM ∴∠+∠=︒，90904050BOP AOM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，①当射线OP 在BOC ∠内部时（如图3-1)，1005050COP BOC BOP ∠=∠-∠=︒-︒=︒；②当射线OP 在BOC ∠外部时（如图3-2)，10050150COP BOC BOP ∠=∠+∠=︒+︒=︒．综上所述，COP ∠的度数为50︒或150︒．【点睛】此题主要考查邻补角的概念、角平分线的性质、余角的概念，熟练进行逻辑推理是解题关键．30．如图，A 、B 、C 三点在一条直线上，根据图形填空：（1）AC ＝ + + ；（2）AB ＝AC ﹣ ；（3）DB+BC ＝ ﹣AD（4）若AC ＝8cm ，D 是线段AC 中点，B 是线段DC 中点，求线段AB 的长．解析：（1）AD ，DB ，BC ；（2）BC ；（3）AC ；（4）6cm ．【分析】（1）根据图形直观的得到线段之间的关系；（2）根据图形直观的得到线段之间的关系；（3）根据图形直观的得到各线段之间的关系；（4）AD 和CD 的长度相等并且都等于AC 的一半，DB 的长度为CD 长度的一半即为AC 长度的四分之一．AB 的长度等于AD 加上DB ，从而可求出AB 的长度．【详解】（1）AC ＝AD+DB+BC故答案为：AD ，DB ，BC ；（2）AB ＝AC ﹣BC ；故答案为：BC；（3）DB+BC＝DC=AC﹣AD故答案为：AC；（4）∵D是AC的中点，AC＝8时，AD＝DC＝4B是DC的中点，∴DB＝2∴AB＝AD+DB＝4+2，＝6（cm）．【点睛】本题重点是根据题干中的图形得出各线段之间的关系，在第四问中考查了线段中点的性质．线段的中点将线段分成两个长度相等的线段．。

2013中考总结复习冲刺练：用方程思想解几何问题

5
C
面积不变性
B
8 x 10 D
6
A
2、如图， ⊿ABC中，D、E是AB、AC上的
点，且DE∥BC，若DE=2，BC=3，BD=1,
2 则AD的长是——————
A
相似性质
D
1
x 2 3
E C
B
3、如图，⊙O的弦AB⊥半径OE于D，若AB=12，
10 DE=2，则⊙O的半径是——————
勾股定理
A
AB∥CD，AB=1，CD=6
（2）若设AD=m，在线段AD 上存在唯一的一个点P，使得以点P、A、B为顶点的三角形和以点P、C、D为顶点的三角形相似？求m的取值范围。
A P
1 B
m
C D
6
例2：如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
AB∥CD，AB=1，CD=6
（3）若设AD=m，在线段AD 上存在两个点P，使得以点P、 A、B为顶点的三角形和以点 P、C、D为顶点的三角形相似？求m的值。
A P
1 B
m
C D
6
例3：如图，矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P、
Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B 移动，一直到达B点为止；点Q以2cm/s的速度向点D 移动，一直到达D点为止。P、Q两点出发后， (1)经过多少秒可得四边形PBCQ的面积为33cm2? (2)经过几秒可得点P与点Q 间的距离等于10cm? (3)是否存在经过几秒得点P、Q的连线与对角线AC垂直的可能？若存在，求出经过几秒？如不存在，请说明理由。
o r-2 D
r
2 6
B
E
3 4、在RtABC中， C Rt, AB AC 2, SinA , 5 AC=8 求AC的长.

方程思想在初中几何题中的应用

教法研究离是20，求AB、CD的长解：设BD=x，则AB=3x,CD=4x2解：设∠AOE=x，∠BOF=y，则∠DOE=3x，∠COF=3yAED.求∠EDC的度数.解：设∠EDC=xDBF相等的角？请说明理由.解：（1）∵BE平分∠ABC交，BD平分∠EBC2019年21期┆99教法研究代数式表示出来，可以简化计算过程。

例5：如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，解：连结OE，OD，OF.四、落实“八项规定精神”，持续推进廉政建设。

中央“八项规定”的出台，公司党委一直严格执行其精神，以整治形式主义、官僚主义为基础，坚定推进公司党风廉政建设。

每到重大节日，公司党委书记都要集中对各级党员干部集体谈话，各分管领导、部门负责人都要对所属人员进行集中谈话，公司纪委也将对每个关键岗位人员发送廉洁提醒短信进行警示，并要求开展专项监督检查节日后，将对发现的问题进行查处。

同时，在每个季度，对主管及中层管理人员，每月都要进行自查自评，看有没有违纪违规情况发生。

即使自己自评没有，但一旦发现，就将从重处罚。

在涉及收受红包礼金、公款吃喝、违规接待、红白喜事上都予以了重点监管，确保这些环节中不出现违规不守纪律事件。

五、努力提升监督执纪能力，强化纪检队伍建设作为反腐倡廉的首要部门，纪委、纪检人员担子不轻，压力巨大。

随着企业的发展，腐败可能会出新的变化，或许更加隐秘，更加难于查到。

这就需要我们的纪检队伍中专、兼职人员，不仅要有极高的政治素养，还要有更多的专业知专门拟定了具体的措施。

首先，必须强化纪检监察人员的政治思想建设，对执纪违纪的情况坚决查处，失职失责的坚决问责，严防、严控“灯下黑”现象发生；其次对纪检监察工作不断提出新要求，通过各种学习、培训、轮训、考试，以案例教学，努力提升他们的政治素养和办案能力，努力打造一支忠诚、干净、担当的纪检监察队伍，为企业发展作出重要贡献。

参考文献：[1]刘征文.强化反腐倡廉建设培育廉洁企业文化[J].现代国企研究,2018(20):237.[2]谢鑫建.反腐风暴契机下大学生廉洁教育体系的构建与强化[J].高教学刊,2015(23):247-248.[3]宋婷.传承核电企业廉洁文化强化反腐倡廉思想教育机制[J].东方企业文化,2015(06):23-24.（作者单位：中国五冶集团有限公司第四工程分公司）100┆好日子。

初中数学教学中用方程解决问题的方法经验谈

㊀㊀㊀㊀㊀初中数学教学中用方程解决问题的方法经验谈初中数学教学中用方程解决问题的方法经验谈Һ林加泉㊀（福建莆田青璜中学，福建㊀莆田㊀３５１１１１）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学对促进学生全面发展起到积极的作用和影响．为有效降低学生初中数学学习的难度，教师需要积极将方程解决问题的方法引入课堂教学当中，用方程来解决数学问题，有利于在潜移默化中培养学生良好的数学思维能力和解决问题的能力，进而提高学生的数学解题效率．ʌ关键词ɔ初中数学；方程；解决问题；方法数学是一门涉及领域十分广阔的学科，在初中数学教学中，教师引导学生用方程解决问题具有很大的教育价值和意义．一㊁初中数学教学中用方程解决问题的意义数学是一门逻辑性较强的学科，教师引导学生用方程解决问题，有利于推动学生全面发展．一方面，教师引导学生通过方程来解决数学问题，有利于帮助学生形成正确的问题分析习惯和学习意识，也可以使学生在用方程解决问题的过程中感受数学知识带来的乐趣，并能更好地满足学生数学学习的需求和求知欲望，不断增强学生解决数学问题的自信心．另一方面，教师引导学生用方程解决初中数学问题，有利于让学生的解题步骤更加直观和清晰，简化学生数学问题的解决步骤，帮助学生快速理解数学问题的题意，开阔学生的思路，提高学生学习的积极性，加深学生对用方程解决问题的正确认识和理解．二㊁初中数学教学中用方程解决问题的策略（一）明确教学目标，培养运用方程的良好思想在初中数学教学中，教师引导学生用方程解决问题，需要从培养学生运用方程的良好思想方面出发，提高学生数学学习的模型思想和空间观念，进而让学生更加乐于通过方程来解决数学问题．同时，教师培养学生应用方程的意识和思想也有利于提升学生在学习过程中通过建立方程和不等式的形式来将数学关系和变化规律表示出来的能力．教师需要在问题的解决和分析当中有效渗透方程思想，引导学生利用方程的性质去分析㊁转化㊁解决问题，不断提高学生用方程解决问题的效率．例如，教师在教学过程中可以通过下面一道题渗透方程思想．题目：某学校总共有５个大餐厅和２个小餐厅，通过调查后得知，同一时间开放２个小餐厅和１个大餐厅可供１６８０名学生就餐．如果该校餐厅同时开放１个小餐厅和２个大餐厅，则可供２２８０名学生就餐．问题：（１）求出该学校１个小餐厅㊁１个大餐厅分别可以供多少名学生就餐．（２）假如７个餐厅在同一时间开放，那么，该学校的餐厅能否供全校５３００名学生就餐？在学生解决此问题的过程中，教师可以向学生渗透列方程解决问题的思想，培养学生理解用方程解决问题的意义，以此来提高学生的问题解决效率．在列方程的过程中，学生可以根据题目的意思，设１个大餐厅可以供ｘ名学生就餐，１个小餐厅可以供ｙ名学生就餐．最后学生列出方程式：ｘ＋２ｙ＝１６８０２ｘ＋ｙ＝２２８０{由ｘ＋２ｙ＝１６８０，得出ｘ＝１６８０－２ｙ，通过代入得出方程组的解为ｘ＝９６０ｙ＝３６０{．该学校的１个大餐厅可供９６０人就餐，１个小餐厅可供３６０人就餐．如此一来，有利于培养学生运用方程解决问题的能力和意识，增强学生的数学解题效果，帮助学生养成良好的用方程解决问题的习惯．在回答第（２）题时，７个餐厅可供５５２０人就餐：５ˑ９６０＋２ˑ３６０＝５５２０，５３００＜５５２０，所以，该学校７个餐厅同时开放可供全校５３００名学生就餐．（二）几何拼图教学中渗透方程，提高学生的解题效率在初中数学中，很多数学知识是图形与几何领域的教学内容，学生在求几何图形的长㊁宽㊁高㊁周长等问题时，很容易出现各种各样的运算错误，为了更好地促进学生解题效率的提高，教师需要在几何拼图教学中渗透方程思想，不断增强学生运用方程模型解决相关几何运算问题的能力．例如：如图１所示，假设用相同的１０个小长方形拼成１个大长方形．请分别求出小长方形纸板的长和宽是多少．图１在解决这道题的过程中，教师可以引导学生采用设小长方形的长和宽并列出方程组的方式来解决问题，进而有效通过方程组来将相关问题解答出来．此时，学生会设小长方形的长为ｘｃｍ，宽为ｙｃｍ，并结合题目的相关内容得出：ｘ＋ｙ＝５０２ｘ＝ｘ＋４ｙ{，解得ｘ＝４０ｙ＝１０{通过计算结果可知，小长方形的长为４０ｃｍ，宽为１０ｃｍ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀教师在几何拼图教学中渗透方程思想有利于全面提高学生数学学习过程中用方程解决问题的能力，不断提高学生对数学学习的兴趣．（三）关注学生的经验和思维水平，培养学生的问题解决能力在初中数学教学过程中，教师应当关注学生已有的数学经验以及思维水平，整合资源创设优良的教学环境，帮助学生在新知识与已有认知结构之间构建联系，促进学生数学知识结构的不断完善．在数学教学过程中，教师必须引导学生温故知新，从而切实改善初中数学课堂教学的整体效果．数学学习不仅要关注数学知识，更要关注数学思维的发展，学生在数学学习过程中所遇到的障碍大都与数学思维存在密切的联系．在初中数学教学过程中，教师要尊重学生的主体地位，基于学生探索㊁思考㊁理解出发来促进数学活动的开展，让学生在数学学习过程中能够主动思考，让学生在数学知识的发生发展中有所收获，让学生在数学学习的过程中获得优良体验．在数学教学过程中，教师必须关注学生的发展，立足数学视角，引导学生进行思考和探究，这样一来，学生能够明确数学与现实生活之间的密切联系，这对于学生数学问题分析与解决能力的发展也至关重要．为确保学生能够正确运用方程来解决实际问题，教师可从相遇问题和鸡兔同笼问题入手，引导学生自由发挥，尝试通过方程去解决问题．通过题目对比，学生能够认识到方程在解决问题方面的重要作用．教师应当给予学生激励，师生协调配合，对数学问题进行探究，明确方程的运用思路．在此种方式下，学生能够对方程的价值形成深刻感知，明确列方程的关键在于找等量关系，这有助于强化学生的数学思维，促进学生解决数学问题的能力不断增强．（四）精心设计题目，发展学生的数学能力数学题目具有良好的教育价值，有助于巩固学生的数学基础，促进学生优良数学学习习惯的养成，有助于拓展学生的数学思维，促进学生数学能力不断发展．因此，数学题目的设计应当具有趣味性，能够吸引学生的注意力，促使学生学会运用方程去解决实际问题．比如教师可设计这样一道题目：初三（２）班学生到郊外野营，步行速度为每小时４千米，有１０名同学有事，耽误了２小时，他们组成一个小分队，追赶大部队的速度为每小时６千米．在他们出发后，教师安排一名同学骑自行车作为联络员，来回穿梭于大部队和小分队之间．联络员骑行速度为每小时１５千米，请问：小分队追上大部队时，联络员骑行了多少路程？小分队追上大部队用了多长时间？在设置趣味数学题目后，教师引导学生分析问题，为学生提供交流合作的空间，这样，学生的主体作用得到充分发挥．学生在探究开放性数学题目的过程中，能够主动构建知识结构，积极参与数学学习活动，促进数学水平逐步提升．学生在运用方程解决数学问题的过程中，能够主动进行探索和创造，这样创新思维也能够得到良好发展，初中数学高效教学也能得以顺利实现．（五）指导合作学习，落实育人教育在初中数学教学过程中，小组合作学习的开展能够对学生产生强烈的吸引力，提高学生的学习兴趣和积极性，打造高效的数学课堂．教师应当为学生提供一个探索的空间，确保学生在明确数学学习目标的基础上进行交流互动，通过交流来获取正确答案，促进学生数学思维不断发展．对于学生在数学学习过程中所遇到的阻碍，教师可组织学生就问题开展合作探究，鼓励学生探寻解题方法．在小组互动讨论的过程中，学生能够掌握方程的正确应用方法，促进数学问题的顺利解决．数学教师不应将注意力完全放在指导上，更应当关注学生互动交流的情况，对于小组交流中存在的问题及时进行指导，进而及时调整教学方案，就重难点知识进行深度讨论，促使学生更好地吸收㊁内化数学知识．在初中阶段，数学课堂是知识传递的载体，学生是教育的对象，教师基于新课标要求出发所开展的教育必须重视育人教育的高效落实，引导学生全面成长．教学具有鲜明的教育性，基于这一基本规律，初中数学教学活动的开展需要对教学中的道德因素进行深入挖掘，密切关注学生在数学活动中的具体表现．在参与数学学习的过程中，学生的体验也能得以优化，这就有助于学生感知数学学科的魅力，促使学生更好地运用数学知识去解决实际问题．部分数学题目与社会热点及现实生活存在密切的关联，其主要是对学生的数学知识运用能力进行考查．这些数学题目的特征在于题目信息多，但难度不大，学生需要耐心分析㊁探寻问题的解决思路．很多学生一看到长题目就失去信心，因此在初中数学教学过程中，教师应当对学生的数学学习进行指导，强化学生运用方程解决实际问题的能力，并在无形中落实育人教育，强化学生的解题意志，鼓励学生积极参与交流和讨论，促使学生在合作学习中更好地探究数学问题，循序渐进地提高学生的数学能力．这样，学生的合作意识㊁责任意识等都能得到良好的培养，初中数学教学目标也能得以顺利实现．ʌ参考文献ɔ［１］朱华伟，徐章韬．教育数学的行动：寻找初中数学课程的焦点［Ｊ］．课程．教材．教法，２０１６，３６（９）：５８－６２．［２］冉红芬，张瑛．基于四点突破范式的初中数学方程教学［Ｊ］．黔南民族师范学院学报，２０１８，３８（４）：１１４－１１７．。

用方程思想解几何题市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

8
A B'
D
？x 6-x
6E
6-x
106Biblioteka BC102
8
A B'
D
？x
6E
6-x
10 6
B
C
10
2
8
A B'
？x 1
2
6E
10
B
10
D
6
3
C
A
2x Bx E
6+x
D
2x-3
F
3
6
C
A
2x B xE
6+x
D
32x 3
2x-3
F
3
6
C
A
6+x
D
2x
60° 32x 3
3x
2x-3
F
B x 6+E x
(3)令 y3＝x，设其图象与抛物线 C1 的交点的横坐标为 x0，x′0，且 x0＜x′0，
∵抛物线 C2 可看作是抛物线 y＝12x2 左右平移得到的，观察图象，随着抛物线 C2 向右不断平移，x0，x′0 值不断增大， ∴当满足 2＜x≤m 时，y2≤x 恒成立时，m 的最大值在 x′0 处取得．可得，当 x0＝2 时，所对应的 x′0 即为 m 的最大值．
于是将 x0＝2 代入12(x－h)2＝x，有12(x－h)2＝2，解得 h＝4 或 h＝0(舍)，
∴y1＝12(x－4)2，此时，由 y2＝y3，得12(x－4)2＝x，解得 x0＝2，x′0＝8， ∴m 的值最大为 8.
A B'
D
？
6E
B
C
10
1