基础椭圆的简单性质巩固练习

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椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)

椭圆的简单几何性质基础卷1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是（A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >02．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为（A ）221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）2211625x y += 3．已知P 为椭圆221916x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为（A ）54 （B ）45 （C ）417 （D ）7474．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为（A ）23 （B ）33 （C ）316 （D ）6165．在椭圆12222=+by a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有（A ）r 1, r 2, r 3成等差数列（B ）r 1, r 2, r 3成等比数列（C ）123111,,r r r 成等差数列（D ）123111,,r r r 成等比数列 6．椭圆221925x y +=的准线方程是（A ）x =±254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±2547．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .8．对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2:2211612x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆12222=+by a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。

椭圆的几何性质练习题

椭圆的几何性质练习题椭圆的几何性质练习题椭圆是数学中一种重要的几何形状，具有许多特殊的性质和应用。

在本文中，我们将通过一些练习题来探索椭圆的一些几何性质。

练习题一：椭圆的定义1. 如何定义一个椭圆？2. 椭圆的焦点和直径分别是什么？练习题二：椭圆的离心率1. 什么是椭圆的离心率？2. 离心率为1的椭圆是什么特殊的形状？练习题三：椭圆的焦点性质1. 椭圆的焦点位于什么位置？2. 如何通过椭圆的焦点和直径来确定椭圆的方程？练习题四：椭圆的长轴和短轴1. 如何确定椭圆的长轴和短轴？2. 长轴和短轴之间的关系是什么？练习题五：椭圆的周长和面积1. 如何计算椭圆的周长和面积？2. 椭圆的周长和面积与长轴和短轴之间有什么关系？练习题六：椭圆的焦点到点的距离1. 如何计算椭圆上任意一点到焦点的距离？2. 椭圆上任意一点到焦点的距离与椭圆的离心率之间有什么关系？练习题七：椭圆的应用1. 椭圆在日常生活中有哪些应用？2. 椭圆在科学和工程领域中有哪些应用？通过以上练习题，我们可以更好地理解和掌握椭圆的几何性质。

椭圆作为一种特殊的几何形状，具有许多独特的特点和应用，对于数学和实际问题的解决都具有重要意义。

在解答这些练习题的过程中，我们需要熟练掌握椭圆的定义、离心率、焦点性质、长轴和短轴的确定方法，以及椭圆的周长、面积和焦点到点的距离的计算方法。

同时，我们还需要了解椭圆在不同领域中的应用，以便更好地理解和应用椭圆的几何性质。

通过不断的练习和思考，我们可以逐渐提高对椭圆的理解和应用能力。

椭圆作为数学中的一种重要几何形状，不仅具有美丽的形态，还具有广泛的应用价值。

在学习和应用中，我们应该保持好奇心和求知欲，不断探索和发现椭圆的更多奥秘。

总之，椭圆的几何性质是数学中的重要内容之一，通过练习题的探索和解答，我们可以更好地理解和应用椭圆的特点和应用。

希望通过这些练习题，读者们能够对椭圆有更深入的了解，并能够在实际问题中灵活运用椭圆的几何性质。

(完整版)椭圆的简单性质练习题及答案

椭圆一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0）的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0）和定直线ca x 2-=的距离之比为ac （a >c>0）的点的轨迹是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F （c ，0）的距离之比为ca (a >c 〉0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2,0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 ( ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ )A ．(0，+∞)B ．（0,2)C ．（1，+∞）D ．(0，1)4．设定点F 1(0，－3)、F 2(0，3),动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ,则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+by a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 ( ）A ．41B ．22 C ．42 D ． 217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点,若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1,－1)，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2｜MF|的值最小,则这一最小值是（）A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M （－2,0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1,P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为 ( ）A ．2 B ．－2 C ．21 D ．－21 二、填空题（本题共4小题,每小题6分，共24分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ 。

高中数学第三章3.1椭圆3.1.2椭圆的简单性质课后训练案巩固提升含解析北师大版选修2_1

1.2 椭圆的简单性质课后训练案巩固提升A组1.设椭圆=1(a>b>0)的离心率为e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情形都有解析:∵e=,∴.∵a2=b2+c2,∴b2=a2.∵x1+x2=-,x1·x2=-,∴=(x1+x2)2-2x1x2=+1=<2.∴P点在圆x2+y2=2内.答案:A2.已知对k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取值范围是()A.(0,1)B.(5,+∞)C.[1,5)∪(5,+∞)D.[1,5)解析:直线y-kx-1=0恒过点(0,1),仅当点(0,1)在椭圆上或椭圆内时,此直线才恒与椭圆有公共点,∴≤1,且m>0,得m≥1.又m≠5,故选C.答案:C3.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是()A.B.C. -1 D.解析:由题意得|AF1|=,|AF2|=|BF2|.∵△ABF2是等腰直角三角形,∴|AF1|=|F1F2|,即=2c.∴b2=a2-c2=2ac.整理得e2+2e-1=0,∴e=-1.答案:C4.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()A. =1B. +y2=1C. =1D.x2+=1解析:依题意,得a=2,a+c=3,故c=1,b=,故所求椭圆的标准方程是=1.答案:A5.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为()A.2B.3C.6D.8解析:由椭圆方程得F(-1,0),设P(x0,y0),则=(x0,y0)·(x0+1,y0)= +x0+.∵P为椭圆上一点,∴=1.∴+x0+3+x0+3= (x0+2)2+2.∵-2≤x0≤2,∴的最大值在x0=2时取得,且最大值等于6.答案:C6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是.解析:由已知,得a=2b,c=2,又a2-b2=c2,故b2=4,a2=16,又焦点在x轴上,故椭圆方程为=1.答案: =17.导学号90074059已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为.解析:如图所示,e=-1.∵|PF2|<a+c,∴e=-1>-1,即e>-1,∴e2+2e-1>0.又∵0<e<1,∴-1<e<1.答案:( -1,1)8.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为.解析:由题设,知2a=12, ,∴a=6,c=3.∴b=3.答案: =19.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6.解(1)设椭圆的标准方程为=1或=1(a>b>0).由已知a=2b, ①且椭圆过点(2,-6),从而有=1或=1.②由①②,得a2=148,b2=37,或a2=52,b2=13.故所求椭圆的方程为=1或=1.(2)如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且OF=c,A1A2=2b,∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18.故所求椭圆的方程为=1.10.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是椭圆的两个顶点.若焦点F1到直线AB的距离为,求椭圆的离心率.解(方法一)由题意,直线AB的方程为=1,即bx-ay+ab=0.∵焦点F1到直线AB的距离d=,∴.两边平方、整理,得8c2-14ac+5a2=0,两边同时除以a2,得8e2-14e+5=0,解得e=或e= (舍去).(方法二)在△AF1B中,由面积公式可得=(a-c)·b,将b2=a2-c2代入上式,整理得8c2-14ac+5a2=0.(以下解法同解法一)B组1.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是()A.[6,10]B.[6,8]C.[8,10]D.[16,20]解析:不妨设焦点在x轴上,由题意知a=10,b=8,设椭圆上的点M(x0,y0),由椭圆的范围知,|x0|≤a=10,|y0|≤b=8,点M到椭圆中心的距离d=.又因为=1,所以=64=64-,则d=.因为0≤≤100,所以64≤+64≤100,所以8≤d≤10.故选C.答案:C2.已知c是椭圆=1(a>b>0)的半焦距,则的取值范围是()A.(1,+∞)B.(,+∞)C.(1,)D.(1,]解析:如图,在△AFO中,令∠AFO=θ,其中θ为锐角,则=sin θ+cos θ=sin∈(1,].答案:D3.如图,把椭圆=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.解析:设F1是椭圆的另一个焦点,则根据椭圆的对称性,知|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同理,|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a.又|P4F|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35.答案:354.已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的直线与椭圆相交于A,B两点.若线段AB中点的横坐标是-,求直线AB的方程.解依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理,得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则由线段AB中点的横坐标是-,得=-=-,解得k=±,适合①.所以直线AB的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.5.已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|=4,过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M,N两点,设∠MF1F2=α(0≤α≤180°),问α取何值时,|MN|等于椭圆短轴长?解(方法一)如图,建立平面直角坐标系,则a=3,c=2,b=1,∴椭圆方程为+y2=1.当直线MN斜率不存在时,得|MN|=,不合题意.故可设过F1的直线方程为y=k(x+2).∴①代入②,整理可得(1+9k2)x2+36k2x+72k2-9=0,∴x1+x2=,x1·x2=.代入|MN|=,可得|MN|=.∵=2,∴k=±,即tan α=±,∴α=或α=π.(方法二)如图所示建立平面直角坐标系,由已知可得a=3,c=2,b=1.令|F1M|=x,则|F2M|=6-x,|F1F2|=4,在△MF1F2中利用余弦定理得x=,若令|F1N|=y,则|F2N|=6-y,|F1F2|=4,在△NF1F2中利用余弦定理得y=,∴|MN|=x+y=,∴=2,cos α=±,∴α=或α=π.6.导学号90074060有一椭圆形溜冰场,长轴长100 m,短轴长60 m,现要在这个溜冰场上规定一个各顶点都在溜冰边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在何处?这时矩形的周长是多少?解分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x轴和y轴,以长轴的中点为坐标原点O,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上.易知矩形ABCD关于原点O及x轴、y轴都是对称的.已知椭圆的长轴长2a=100 m,短轴长2b=60 m,则椭圆的方程为=1.设顶点A的坐标为(x0,y0),x0>0,y0>0,则=1,得 (502-)= (502-).根据矩形ABCD的对称性,可知它的面积S=4x0y0.由于 (502-)=.∴当时,取得最大值,此时S也取得最大值.此时x0=25,y0=15,矩形ABCD的周长为4(x0+y0)=4(25+15)=160 (m).因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25 m的直线,这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点;这个矩形区域的周长为160 m.。

椭圆巩固练习(含解析)

椭圆巩固练习班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1．已知椭圆C:22195x y +=，点(1,1)A ，则点A 与椭圆C 的位置关系是（）． A ．点A 在椭圆C 上 B ．点A 在椭圆C 内 C ．点A 在椭圆C 外 D ．无法判断2．我们规定离心率e =的椭圆叫优美椭圆，下列结论正确的个数是( ) ①一个焦点、一个短轴顶点与一个长轴顶点构成直角三角形的椭圆是优美椭圆；②短轴长与长轴长之比为12的椭圆是优美椭圆；③椭圆2212x =是优美椭圆；④焦距、短轴长、长轴长成等比数列的椭圆是优美椭圆. A ．1B ．2C ．3D ．43．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的右焦点，A 为左顶点，点P 在椭圆上，PF x ⊥轴，若1PF AF 4=，则椭圆的离心率为（）A ．34 B ．12C D ．24．一个圆圆心为椭圆右焦点，且该圆过椭圆中心，交椭圆于P ，直线11(PF F 为该椭圆左焦点)是此圆切线，则椭圆离心率为( )A 1B ．1C ．12D 5．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，点1F ，2F 为椭圆C 在左、右焦点，在椭圆C 上存在点P ，使2122PF PF c ⋅=，则椭圆的离心率范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．,32⎣⎦C ．1,23⎡⎢⎣⎦D ．1,3⎛ ⎝⎦6．参数方程4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）表示的曲线是（）A．以(为焦点的椭圆 B ．以(4,0)±为焦点的椭圆CD ．离心率为35的椭圆7．已知两椭圆1C 、2C ，且1C 在2C 的内部，设内椭圆1C 的方程为()222210x y m n m n+=>>，外椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，过椭圆1C 上的任一点M 作1C 的切线交椭圆2C 于P 、Q 两点，过P 、Q作椭圆2C 的切线，则此两切线的交点R 的轨迹方程为（）A ．2222221x y m a n b+= B ．2222221x y a bm n += C ．2244221x y m na b += D ．2244221x y a bm n += 8．若()()122,0,2,0F F -，124PF PF a a+=+（常数0a >），则点P 的轨迹是（） A ．椭圆B ．线段C ．椭圆或线段D ．椭圆或直线9．设直线:3460l x y +-=，椭圆22:14x C y +=，将椭圆C 绕着其中心O 逆时针旋转90︒（旋转过程中椭圆C 的大小形状不变，只是位置变化）到与椭圆22':14y C x +=重合，则旋转过程中椭圆C 与直线l交于,A B 两点，则||AB 的最大值为( ) A ．85BC ．53D．10．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 为左右焦点，点P 在椭圆C 上，△12F PF 的重心为G ，内心为I ，且有12IG F F λ=（λ为实数），则椭圆方程为（） A ．22186x y +B ．221164x y +=C ．2251927x y +=D ．221105x y +=二、填空题11．已知椭圆22:11612x y C +=，12,F F 分别为椭圆的两焦点，点P 椭圆在椭圆上，且23PF =，则12PF F ∆的面积为__________．12．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(5,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.13．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 、O 为坐标原点，点P在椭圆上，点Q 在椭圆的右准线上，若12PQ FO =，()111110F P FO FQ F P FO λλ⎛⎫⎪=+> ⎪⎝⎭则椭圆的离心率为_____. 14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 关于直线12y x =对称的点在椭圆上，则椭圆的离心率为___．三、解答题15．设椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的焦点为())1233F F -，、，，且该椭圆过点132⎫⎪⎭，.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上的点()00M x y ，满足12MF MF ⊥，求0y 的值.16．已知椭圆1E ：22221(0)x y a b a b +=>>，若椭圆2E ：22221(0,1)x y a b m ma mb+=>>>，则称椭圆2E 与椭圆1E “相似”.（1）求经过点(2,1)，且与椭圆1E ：2212x y += “相似”的椭圆2E 的方程；（2）若4m =，椭圆1E 的离心率为22，P 在椭圆2E 上，过P 的直线l 交椭圆1E 于A ，B 两点，且AP AB λ=.①若B 的坐标为(0,2)，且2λ=，求直线l 的方程； ②若直线OP ，OA 的斜率之积为12-，求实数λ的值.椭圆巩固练习班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1．已知椭圆C:22195x y +=，点(1,1)A ，则点A 与椭圆C 的位置关系是（）． A ．点A 在椭圆C 上 B ．点A 在椭圆C 内 C ．点A 在椭圆C 外 D ．无法判断【答案】B【解析】当1x =时，代入椭圆得到3y =± ，133-<<故点(1,1)A 在椭圆内故选：B2．我们规定离心率12e =的椭圆叫优美椭圆，下列结论正确的个数是( ) ①一个焦点、一个短轴顶点与一个长轴顶点构成直角三角形的椭圆是优美椭圆；②短轴长与长轴长之比为的椭圆是优美椭圆；③椭圆2212x +=是优美椭圆；④焦距、短轴长、长轴长成等比数列的椭圆是优美椭圆. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于A ，一个焦点、一个短轴顶点与一个长轴顶点构成直角三角形的椭圆是优美椭圆，则满足()()()22222a c a b b c +=+++，化简可得220a ac c --=，即210e e +-=，解得12e -+=或12e -=，所以A 正确；对于B ，即b a =，则12c e a ====≠，所以B 错误；对于C ，椭圆2212x =，则12c e a ====，所以C 正确；对于D ，焦距、短轴长、长轴长成等比数列，即()2222b c a =⨯，化简可得220a ac c --=，由A 可知，D 中椭圆为优美椭圆，所以D 正确，综上可知，正确的为ACD ，故选：C.3．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的右焦点，A 为左顶点，点P 在椭圆上，PF x ⊥轴，若1PF AF 4=，则椭圆的离心率为（）A ．34 B ．12C D 【答案】A【解析】因为点P 在椭圆上，且PF x ⊥轴，所以(),P c y 代入椭圆方程可得2b PF a=，又因为AF a c=+且若14PF AF =，所以()()224c a a a c -=+，即()4c a a -=，则34a c =，应选答案A ． 4．一个圆圆心为椭圆右焦点，且该圆过椭圆中心，交椭圆于P ，直线11(PF F 为该椭圆左焦点)是此圆切线，则椭圆离心率为( )A 1B ．1C ．12D ．2【答案】A【解析】设F 2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P ，并且直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P 是切点，所以PF 2＝c 并且PF 1⊥PF 2．又因为F 1F 2＝2c ，所以∠PF 1F 2＝30°，所以PF 1=．根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a ﹣c ．所以2a ﹣c =，所以e 1=．故选:A5．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，点1F ，2F 为椭圆C 在左、右焦点，在椭圆C 上存在点P ，使2122PF PF c ⋅=，则椭圆的离心率范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎦【答案】C【解析】设(),P x y ，则22212PF PF x y c⋅=+-，∴2223x y c +=∴点P 为半径的圆上，该圆与椭圆有交点，∴b a ≤≤e ≤12e ≤≤ 故选：C6．参数方程4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）表示的曲线是（）A ．以(为焦点的椭圆B ．以(4,0)±为焦点的椭圆C ．离心率为5的椭圆 D ．离心率为35的椭圆【答案】A【解析】将参数方程化为普通方程得221169x y +=，易知c ==(，故选A.7．已知两椭圆1C 、2C ，且1C 在2C 的内部，设内椭圆1C 的方程为()222210x y m n m n+=>>，外椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，过椭圆1C 上的任一点M 作1C 的切线交椭圆2C 于P 、Q 两点，过P 、Q作椭圆2C 的切线，则此两切线的交点R 的轨迹方程为（）A ．2222221x ym a n b+= B ．2222221x y a bm n += C ．2244221x y m na b += D ．2244221x y a bm n += 【答案】D【解析】设()00,M x y ，则0022:1pQ x x y yl m n+= ① 又设()11,P x y 、()22,Q x y ，(),R R R x y ，则过点P 、Q 的两切线方程分别为11221x x y y a b +=，22221x x y ya b+=，又此两切线的交点为R ，则有11221R R x x y y a b +=，22221R R x x y ya b+=.因此，PQ l 又可表示为221R R x x y y a b +=，再由式①知022R x xm a =，022R y y n b=. 又因为2200221x ym n+=，消去0x 、0y 化简可得2244221R Rx y a b m n +=,选D. 8．若()()122,0,2,0F F -，124PF PF a a+=+（常数0a >），则点P 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．线段C ．椭圆或线段D ．椭圆或直线【答案】C【解析】当a=2时，若F 1（﹣2，0），F 2（2，0），|PF 1|+|PF 2|=4，则点P 的轨迹是线段，当2a ≠时124PF PF a a+=+>4,这时轨迹是椭圆。

一个椭圆的性质练习题

一个椭圆的性质练习题
1. 什么是椭圆？
椭圆是一个平面上的几何图形，由到两个焦点的距离之和等于
常数的点构成。

其形状类似于被压扁或被拉长的圆。

2. 椭圆的性质：
- 椭圆的中心：椭圆的两个焦点的连线的中点就是椭圆的中心。

- 椭圆的长轴和短轴：椭圆的长轴是通过椭圆两个焦点的线段，短轴是与长轴垂直通过椭圆中心的线段。

- 椭圆上的点：椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和等于常数。

- 椭圆的离心率：椭圆离心率是一个无单位的常数，其定义为
焦距与长轴长度之比。

- 椭圆的焦点：椭圆上的焦点是使得到两个焦点的距离之和等
于常数的点。

3. 练题：
- 椭圆的长轴和短轴分别是8和6，求椭圆的离心率。

- 椭圆的离心率为0.5，且长轴长度为12，求椭圆的短轴长度。

- 椭圆上的点到焦点A的距离为5，焦点B的距离为9，求椭圆的长轴和短轴的长度。

4. 答案：
- 椭圆的离心率为：e = sqrt(1 - (b^2/a^2)) = sqrt(1 - (6^2/8^2)) ≈ 0.6
- 椭圆的短轴长度为：b = a * sqrt(1 - e^2) = 8 * sqrt(1 - 0.5^2) ≈ 7.33
- 椭圆的长轴长度为：a = sqrt((5^2 + 9^2)/2) ≈ 8.06。

椭圆巩固练习-2023届高三数学一轮复习

2023届高考复习一轮小练《椭圆》巩固练习一、单选题1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)分别过点A(2，0)和点B(1,√32)，则该椭圆的焦距为( )A.√3B.2C.2√3D.2√52.椭圆x216+y29=1的两焦点为F1,F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|=6，则|AF1|+|BF1|的值为( )A.10B.8C.16D.123.椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF2|=2，则∠F1PF2的大小为( )A.150∘B.135∘C.120∘D.90∘4.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，椭圆C的面积为2√3π，且短轴长为2√3，则椭圆C 的标准方程为( )A.x212+y2=1 B.x24+y23=1 C.x23+y24=1 D.x216+y23=15.点F为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF(O为坐标原点)为正三角形，则椭圆的离心率为( )A.√3−12B.√3−1 C.√2−12D.√2−16.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60∘，则C的离心率为( )A.1−√32B.2−√3 C.√3−12D.√3−17.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则的离心率为( )A.√32B.√22C.12D.138.椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F（3，0）为椭圆C的右焦点，则OP→⋅PF→的取值范围为( )A.（−16，−10）B.（−10，−394）C.（−16，−394] D.（−∞，−394]二、多选题9.椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴的两个端点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则( )A.椭圆E的长轴长为4√2B.椭圆E的焦点坐标为(−2，0)，(2，0)C.椭圆E的离心率为√22D.椭圆E的标准方程为x24＋y22=110. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则( )A.a−c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=√(m+R)(n+R)11.已知椭圆C：x2a2＋y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过椭圆C的左焦点F1作斜率为2直线交椭圆于A，B两点，若三角形AF1F2为直角三角形，则椭圆C的离心率为( )A.√53B.12C.√3−1D.√5−212.已知F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，M，N是椭圆C上的两点，且F1F2→=13F1M→+2 3F1N→，|F1M|:|MN|=4:3，则下列结论中正确的是( )A.M，F2，N三点共线B.|F1M||F2M|=2C.△MF1N为直角三角形D.椭圆C的离心率为23三、填空题13.过点(√3,−√5)，且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆标准方程为.14.已知F1，F2为椭圆x24+y2=1的两个焦点，并且椭圆上点P满足∠F1PF2=90∘，则△F1PF2的面积为．15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∣DE⊨6，则△ADE的周长是．16.已知圆F1:x2+y2+4x−32=0和点F2(2,0)，在圆F1上任取点M(不在直线F1F2上)，作线段MF2的垂直平分线交线段MF1于点P，O为坐标原点，若N是∠F1PF2的平分线上一点，F1N⊥NP，则|ON|的取值范围是四、解答题17.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，且F2(√7，0)，上顶点为(0，√2)．(1)求椭圆的标准方程；(2)点P在椭圆上，若|PF1|=4，求∠F1PF2的大小．18.设F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点.(1)若椭圆C上的点A(1,32)到F1,F2两点的距离之和等于4，求椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，Q(0,12)，求|PQ|的最大值.19.已知直线l：x=t（0<t<2）与椭圆Γ：x24+y22=1相交于A、B两点，其中A在第一象限，M是椭圆上一点．(1)记F1、F2是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F2，当M到F1的距离与到直线AB的距离相等时，求点M的横坐标；(2)若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；(3)设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|⋅|OQ|为定值．。

椭圆的简单几何性质练习题

1．椭圆63222=+y x 的焦距是〔〕A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．的长轴端点坐标为椭圆6622=+y x ( )A.），），（，（0101- B ），），（，（0606- C.），），（，（0606- D.），），（，（6060- 3．到右焦点的距离上一点椭圆P y x 192522=+〔〕 A ．最大值为5，最小值为4 B ．最大值为10，最小值为8C ．最大值为10，最小值为6D ．最大值为9，最小值为14．以下说法错误的选项是．．．．．．( ) A ．命题“假设2320x x -+=，那么1x =〞的逆否命题为：“假设1x ≠，那么2320x x -+≠〞 B ．22320x x x >-+>“”是“”的充分不必要条件C ．假设q p ∧为假命题，那么p 、q 均为假命题.D ．假设命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<〞，那么p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥〞5．过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，那么A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是〔〕 A.22 B. 2 C.2D. 16．椭圆焦点在x 轴，假设长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，那么此椭圆的方程是〔〕 A 、2218172x y += B 、221819x y += C 、2218145x y += D 、2218136x y += 7．写出命题"01,0"3≤++>∀x x x 的否认_____________________________________8．在数列{}n a 满足11a =，n n a a 21=+，那么=n a ___________,7S =_________________9．在等差数列{}n a 中，3737a a +=，那么2468a a a a +++=__________10．实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’那么y x z -=2的取值范围是______________11．在等差数列｛n a ｝中,,4,1201-==d a 假设)2(≥≤n a S n n ，那么n 的最小值为__________12．椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的32倍，那么椭圆的焦距是_______,离心率是_________ 那么椭圆方程为______________ 13．〔思考〕椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，且21PF F ∠＝60°，那么△21PF F 的面积为__________________14．动点P 〔x ，y 〕到定点()2,0F 的距离与点P 到定直线l ：22x =的距离之比为22．求动点P 的轨迹C 的方程；〔参考教材P47 例6〕15．点()11,M 位于椭圆12422=+y x 内，过点M 的直线与椭圆交于两点A 、B ，且M 点为线段AB 的中点，求直线AB 的方程及AB 的值。

椭圆基础巩固题组含答案

1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( ) A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1D.x 216＋y 212＝12、已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝13、已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A.8B.7C.6D.54、已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23B.12C.13D.145、以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A.1B. 2C.2D.226、已知两定点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( ) A.55B.105C.255D.21057、若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是8、已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．一、选择题1.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( ) A.5B.3C.5或3D.82.(2019·郑州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 24＝1D.x 29＋y 25＝13.已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( ) A.12B. 2C.2D.224.(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( ) A.43B.1C.45D.345.已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( ) A. 2 B.2 C.2 2D.3二、填空题6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为_____.7.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 的面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为________.8.椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________. 三、解答题9.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3).若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.10.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B . (1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程.能力提升题组11.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( ) A.32B.2－12C.3－12D.5－1212、已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△P AB 的面积.答案(1)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()A.x236＋y232＝1 B.x29＋y28＝1C.x29＋y25＝1 D.x216＋y212＝1(2)(2019·榆林模拟)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x 轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为()A.x22＋y2＝1 B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1 D.x25＋y24＝1解析(1)椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c＝13·2a＝2，得c＝1，因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8，所以此椭圆的标准方程为x29＋y28＝1.(2)由题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，将A(c，y1)代入椭圆方程得c2a2＋y21b2＝1，由此求得y21＝b4a2，所以|AB|＝3＝2b2a，又c＝1，a2－b2＝c2，可解得a＝2，b2＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.答案(1)B(2)C考点三椭圆的几何性质多维探究角度1椭圆的长轴、短轴、焦距【例3－1】(2019·泉州质检)已知椭圆x2m－2＋y210－m＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A.8B.7C.6D.5解析因为椭圆x2m－2＋y210－m＝1的长轴在x轴上，所以⎩⎨⎧m－2>0，10－m>0，m－2>10－m，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8. 答案 A角度2 椭圆的离心率【例3－2】 (2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23B.12C.13D.14解析由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，过P 作PE 垂直x 轴于点E ，则∠PF 2E ＝60°，所以|F 2E |＝c ，|PE |＝3c ，即点P (2c ，3c ). ∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上， ∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14. 答案 D角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题【例3－3】 (2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析 ①当焦点在x 轴上，依题意得 0<m <3，且3m≥tan ∠AMB 2＝ 3.∴0<m <3且m ≤1，则0<m ≤1. ②当焦点在y 轴上，依题意m >3，且m3≥tan ∠AMB 2＝3，∴m ≥9，综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 答案 A规律方法 1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围、离心率的范围等不等关系.【训练3】 (1)(2018·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A.1B. 2C.2D.22(2)(2019·豫南九校联考)已知两定点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( ) A.55B.105C.255D.2105解析 (1)设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，即长轴长2a 的最小值为2 2.(2)不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，与直线l 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5，所以e ＝c a ＝1a ≤55，所以e 的最大值为55. 答案 (1)D (2)A[思维升华]1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n ). [易错防范]1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小.2.在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( ) A.5B.3C.5或3D.8解析由题意知椭圆焦距为2，即c ＝1，又满足关系式a 2－b 2＝c 2＝1，故当a 2＝4时，m ＝b 2＝3；当b 2＝4时，m ＝a 2＝5. 答案 C2.(2019·郑州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1D.x 29＋y 25＝1解析由题意可得c a ＝23，4a ＝12，解得a ＝3，c ＝2，则b ＝32－22＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1. 答案 D3.已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( ) A.12B. 2C.2D.22解析由题意得，椭圆的右焦点F 为(c ，0)，上顶点B 为(0，b ).因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过右焦点F 和上顶点B ，所以⎩⎨⎧（c －1）2＋1＝2，1＋（b －1）2＝2，解得b ＝c ＝2，则a 2＝b 2＋c 2＝8，解得a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝222＝22.答案 D4.(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( ) A.43B.1C.45D.34解析不妨设A 点在B 点上方，由题意知：F 2(1，0)，将F 2的横坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中，可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以由S ＝12Cr 得内切圆半径r＝2S C ＝68＝34(其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长). 答案 D5.已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( ) A. 2 B.2 C.2 2D.3解析由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2. 答案 A 二、填空题6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________.解析 ∵c ＝23，a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝3b 2＝c 2＝12，b 2＝4，a 2＝16.又焦点在y 轴上，∴标准方程为y 216＋x 24＝1.答案 y 216＋x 24＝17.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C于A ，B 两点，若△F 2AB 的面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为______________.解析 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可求得|F 1A |＝|F 1B |＝b 2a .又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴b 2a ＝33×2c .①又S △F 2AB ＝12×2c ×2b 2a ＝43，② a 2＝b 2＋c 2，③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.答案 x 29＋y 26＝18.(2019·昆明诊断)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m取最大值时，点P 的坐标是________.解析记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.∴点P 的坐标为(－3，0)或(3，0). 答案 (－3，0)或(3，0) 三、解答题9.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3).若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.解设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0). 设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0). ∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5，0)，F 2(5，0). ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.10.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程. 解 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，椭圆的离心率为e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y ). 由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·宣城二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM→·NF →＝0，则椭圆的离心率为( )A.32B.2－12C.3－12D.5－12解析由题意知，M (－a ，0)，N (0，b )，F (c ，0)，∴NM→＝(－a ，－b )，NF →＝(c ，－b ).∵NM→·NF →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac .∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍).∴椭圆的离心率为5－12. 答案 D12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析由题意可得，|PF 2|2＝|F 1F 2|2＋|PF 1|2－2|F 1F 2|·|PF 1|cos ∠PF 1F 2＝4c 2＋4c 2－2·2c ·2c ·cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|＝22c ·1－cos ∠PF 1F 2，所以a ＝|PF 1|＋|PF 2|2＝c ＋2cc ·1－cos ∠PF 1F 2，又60°<∠PF 1F 2<120°，∴－12 <cos ∠PF 1F 2<12，所以2c <a <(3＋1)c ，则13＋1<c a <12，即3－12<e <12. 答案 B13.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP→＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大.解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎨⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案 514.(2019·石家庄月考)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△P AB 的面积.解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝12，b 2＝4. 故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－124，由Δ＝36m 2－16(3m 2－12)>0得m 2<16，则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m . 因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PD ⊥AB ，即PD 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2，满足m 2<16. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝32，又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32，12|AB|·d＝9 2.所以△P AB的面积为S＝。

高中数学高考总复习---椭圆及其性质巩固练习题(含答案解析)

，
解得（Ⅱ）因为
．，所以直线的斜率为
．
所以直线的斜率为定值．
9
【参考答案与解析】
1.【答案】B
【解析】
的周长为 20，顶点 B(0,-4),C(0,4)
点 A 到两个顶点的距离之和等于定值，点 A 的轨迹是椭圆
2
椭圆的方程是
故选 B.
2.B3.C4.A5.A 6.【答案】
【解析】由题意知点 P 的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣ ），
∵∠F1PF2=60°， ∴= ，
P 到左、右准线距离的比是_______.
17．若椭圆
的焦点在轴上，过点（1，）作圆
的切线，切点分别为 A,B，
直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________.
18．已知
是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若
是正三角形，则这个椭圆的离心率是＿＿＿.
B. 5 倍
C. 4 倍
D. 3 倍
6.（2015 福州校级模拟）过椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，
F2 为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为．
7.椭圆 8.椭圆ຫໍສະໝຸດ 的长轴的端点坐标是＿＿＿＿＿. 的一个焦点是（0，2），则＝＿＿＿.
1
9.过点
由韦达定理，得 x1+x2=
，x1x2=
，
∵kBM﹣1=
=
= =0， ∴kBM=1=kDE，即 BM∥DE；
8
综上所述，直线 BM 与直线 DE 平行． 20．解析：
（Ⅰ）由题意知，
．
y D

高中数学椭圆几何性质练习题

2．1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质双基达标（限时20分钟）1．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )． A ．(±13，0) B ．(0，±10) C ．(0，±13) D ．(0，±69)解析由题意知，椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．答案 D2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )．A.32B.34C.22D.23解析将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，c＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝32.答案 A3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为( )． A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1解析因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. 答案 A4．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．解析设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，焦距为2c ，则b ＝1，a 2＋b 2＝(5)2，即a 2＝4.所以椭圆的标准方程是x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.答案 x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝15．已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________．解析当k ＋8>9时，e 2＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8＝14，k ＝4；当k ＋8<9时，e 2＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－54.答案 4或－546．求椭圆x 24＋y 2＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解已知方程为x 24＋y 21＝1，所以，a ＝2，b ＝1，c ＝4－1＝3，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a ＝4，2b ＝2，离心率e ＝c a ＝32，两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，椭圆的四个顶点是A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－1)，B 2(0，1)．综合提高（限时25分钟）7．已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝( )． A.14 B.12 C ．2 D ．4解析将椭圆方程化为标准方程为x2＋y21m＝1，∵焦点在y轴上，∴1m>1，∴0<m<1.由方程得a＝1m，b＝1.∵a＝2b，∴m＝14.答案 A8．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()．A.52 B.33 C.12 D.13解析记|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝2c3，|PF2|＝4c3，则椭圆的离心率e＝2c2a ＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝2c2c3＋4c3＝33，故选B.答案 B9．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．解析依题意，设椭圆G的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12.∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为32，∴e＝ca ＝a2－b2a＝32，∴36－b26＝32，∴b2＝9.∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1.答案x236＋y29＝110．已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________．解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝92，c a ＝35，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝42.但焦点位置不确定．答案 x 250＋y 232＝1或x 232＋y 250＝111．已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A (2，－6)．求椭圆的标准方程．解法一依题意a ＝2b .(1)当椭圆焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1. 代入点A (2，－6)坐标，得44b 2＋36b 2＝1，解得b 2＝37， ∴a 2＝4b 2＝4×37＝148， ∴椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆方程为y 24b 2＋x 2b 2＝1. 代入点A (2，－6)坐标得364b 2＋4b 2＝1， ∴b 2＝13，∴a 2＝52.∴椭圆的标准方程为y 252＋x 213＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1. 法二设椭圆方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由已知椭圆过点A (2，－6)，所以有4m ＋36n ＝1.① 由题设知a ＝2b ，∴m ＝2n ，② 或n ＝2m ，③由①②可解得n ＝37，∴m ＝148.由①③可解得 m ＝13，∴n ＝52.所以所求椭圆的标准方程为 x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.12．(创新拓展)已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，一个顶点为H (2，0)． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t ，0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3. ∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP→·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32.∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1. ∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．。

椭圆巩固练习题

椭圆巩固练习题一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在括号内。

1. 椭圆的定义是指：A. 两点到平面上任意一点的距离之和为定值B. 两点到平面上任意一点的距离之差为定值C. 两点到平面上任意一点的加权距离之和为定值D. 两点到平面上任意一点的加权距离之差为定值( )2. 椭圆的焦点与直径的关系是：A. 焦点在直径的中点B. 焦点在线段上C. 焦点在直径的延长线上D. 焦点垂直于直径( )3. 椭圆的离心率定义是：A. 焦距与长轴之差B. 焦距与长轴之和C. 焦距与短轴之比D. 焦距与长轴之比( )4. 椭圆的离心率与其形状的关系是：A. 离心率越小，形状越扁平B. 离心率越小，形状越圆C. 离心率越大，形状越扁平D. 离心率越大，形状越圆( )5. 椭圆的焦半径分别为5和3，求其离心率为：A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 1.0( )6. 对于标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，椭圆的焦距为：A. 2aB. 2bC. a+bD. a-b( )7. 椭圆的周长公式为：A. C = π(a + b)B. C = πa^2 + πb^2C. C = πa^2 - πb^2D. C = 2πab( )8. 椭圆的离心率为1/2，长轴的长度为10，求短轴的长度：A. 4B. 5C. 6D. 8( )9. 椭圆的面积公式为：A. S = π(a + b)B. S = πa^2 + πb^2C. S = πa^2 - πb^2D. S = πab( )10. 当椭圆退化成直线时，其离心率为：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定( )二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）在每小题的空格内填写出符合要求的答案。

11. 椭圆的离心率范围是0到。

12. 椭圆的长轴和短轴之比称为。

13. 椭圆的焦点到顶点的距离称为。

高考数学总复习含答案：椭圆及其性质(基础)巩固练习

【巩固练习】 1.(2015春高台县校级期末)已知ABC ∆的周长为20，且顶点()0,4B -，()0,4C ，则顶点A 的轨迹方程是( ) A.()22103620x y x +=≠ B.()22102036x y x +=≠ C.()2210620x y x +=≠ D.()2210206x y x +=≠ 2．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于（）A 、21 B 、22 C 、2 D 、2 3.已知椭圆中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率为0.6，长、短轴之和为36，则椭圆方程为（）．Ａ 6410022y x +＝１Ｂ 1006422y x +＝１Ｃ 6410022y x +＝１或1006422y x +＝１Ｄ以上全不对 4．若△ABC 的两个顶点坐标为A （－4，0）、B （4，0），△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（）A ．221(0)259x y y +=≠B ．221(0)259y x y +=≠ C ．221(0)169x y y +=≠ D ．221(0)169y x y +=≠ 5. 椭圆22x y 1123+=的焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A. 7倍B. 5倍C. 4倍D. 3倍 6.（2015 福州校级模拟）过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为．7.椭圆2266x y +=的长轴的端点坐标是＿＿＿＿＿.8.椭圆2255x ky +=的一个焦点是（0，2），则k ＝＿＿＿. 9.过点(3,2)-且与22194x y +=有相同的焦点的椭圆的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿. 10．已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0，1)，P 是椭圆上一点，并且|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|，则椭圆的方程是________.11.若(0,)2πα∈，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是＿＿＿.12.求满足下列条件的椭圆标准方程：（1）焦点在y 轴上，且过两点(0,2),(1,0)；（2）离心率为32，且过点(2,0)；（3）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2,6)-；（4）过两点121(0,)2P -11(,),P 33；（5）两条准线方程为y=±9，离心率为13. 13. （2015 安徽高考）设椭圆E 的方程为=1（a ＞b ＞0），点O 为坐标原点，点A 的坐标为（a ，0），点B 的坐标为（0，b ），点M 在线段AB 上，满足|BM |=2|MA |，直线OM 的斜率为．（1）求E 的离心率e ；（2）设点C 的坐标为（0，﹣b ），N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB 14．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ．（I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ+u u u r u u u r 与AB u u u r 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．【参考答案与解析】1.【答案】B【解析】ABC ∆Q 的周长为20，顶点B(0,-4),C(0,4)8,20812BC AB AC ∴=+=-=128>Q∴点A 到两个顶点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆26,420a c b ∴==∴=∴椭圆的方程是()22102036x y x +=≠故选B. 2.B3.C4.A5.A6.【答案】【解析】由题意知点P 的坐标为（﹣c ，）或（﹣c ，﹣）， ∵∠F 1PF 2=60°，∴=，即2ac =b 2=（a 2﹣c 2）． ∴e 2+2e ﹣=0， ∴e =或e =﹣（舍去）．故答案为． 7.(0,6)± 8．1 9． 2211510x y += 10． 22134x y += 11． (,42ππ） 12．答案： (1) 2214y x += (2) 2214x y +=或221164y x += （3）22114837x y +=或2211352x y += （4）22541x y += （5）22198y x += 13.【解析】（1）设M （x ，y ），∵A （a ，0）、B （0，b ），点M 在线段AB 上且|BM |=2|MA |， ∴=2，即（x ﹣0，y ﹣b ）=2（a ﹣x ，0﹣y ），解得x =a ，y =b ，即M （a ，b ），又∵直线OM 的斜率为，∴=， ∴a =b ，c ==2b ，∴椭圆E 的离心率e ==；（2）证明：∵点C 的坐标为（0，﹣b ），N 为线段AC 的中点，∴N （，﹣），∴=（，﹣），又∵=（﹣a ，b ）， ∴•=﹣a 2+=（5b 2﹣a 2），由（1）可知a 2=5b 2，故•=0，即MN ⊥AB ． 14．解析：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为2y kx =+代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为22⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，∞∞．（Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r ，，由方程①，12212x x k+=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =u u u r ，，．所以OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r 共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =．由（Ⅰ）知2k <-或2k >，故没有符合题意的常数k ．。

椭圆的性质巩固练习1

【巩固练习】一、选择题1. 一个椭圆的半焦距为2,离心率e 諾，那么它的短轴长是（3A . 3B .75C . 2薦D . 62 22.已知点（3, 2）在椭圆刍+ ^2=1上，则（）a bA.点（一3,— 2）不在椭圆上B. 点（3,— 2）不在椭圆上C. 点（一3, 2）在椭圆上D. 无法判断点（一3,— 2）、（3,— 2）、（一 3, 2）是否在椭圆上 3. （优质试题全国I ）直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的丄，贝y 该椭圆的离心率为（4A 1C 12f 3A.—B.—C.—D.—32344. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，0为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个26, codOFA=2，则椭圆的方程是（）132 2B. — +—= 1169 1442 2D.丄 +-^=1169 1445. 椭圆y+y 2=1的两个焦点为F 1,F 2，过F 1作垂直于一个交点为P ,则IPF 2I 为（）顶点，若椭圆的长轴长是 2 2A. — + —=11691442 2C.——144 252+h=1169 144x 轴的直线与椭圆相交,A . — B. 73 C. 7D. 42 22 2 2 26.已知椭圆C:务+三=1与椭圆- + ^=1有相同离心率，则椭圆C的方a2b2 4 8程可能是（）2 _x 1 2+y 2=a 2（a >0）与椭圆+ ±=1有公共点，则实数a 的取值范围9 42 29.（优质试题潮州一模）设F1, F 2分别是椭圆針16“的左，右焦点,P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为（6, 4），则|PM|+|PF i |的最大值为10. 已知椭圆C 的焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为 3,最小值为1，则椭圆C 的标准方程为三、解答题11. 已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A （3, 0）,并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。

3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质练习册正文

3.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质一、选择题1.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√53,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为12,则该椭圆的短轴长为 ( )A .8B .6C .5D .42.若椭圆x 29+y 2m+9=1的离心率是12,则m 的值为 ( )A .-94B .14C .-94或3D .14或33.下列四个椭圆中,形状最扁的是 ( )A .x 220+y 29=1B .x 220+y 210=1C .x 220+y 211=1D .x 220+y 212=14.如图,把椭圆x 24+y 23=1的长轴AB 分成10等份,过每个分点作x 轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P 1,P 2,…,P 9,F 是椭圆的左焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 9F|=( )A .16B .18C .20D .225.[2024·安徽芜湖一中高二期中] 设B 是椭圆C :x 25+y 24=1的上顶点,点P 在C 上,则|PB|的最大值为 ()A .16B .4C .3D .56.椭圆x 25a +y 24a 2+1=1的焦点在x 轴上,则它的离心率的取值范围是 ( )A .(0,15)B .(15,√55]C .(0,√55]D .[√55,1)7.[2024·河南商丘高二期中] 过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点F (-c ,0)(c>0)的直线与C 的一个交点为P ,与圆O :x 2+y 2=14c 2相切于点M ,若FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则C 的离心率为( )A .12B .√3-1C .√32D .1-√32 8.(多选题)已知椭圆C 以坐标轴为对称轴,经过点(4,0),且长轴长是短轴长的2倍,则椭圆C 的标准方程可以是( )A .y 216+x 24=1 B .x 216+y 24=1 C .y 264+x 216=1 D .x 264+y 216=19.(多选题)如图所示,用一个与圆柱底面成θ(0<θ<π2)角的平面截圆柱,截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2,θ=π3,则 ( )A .椭圆的长轴长等于4B .椭圆的离心率为√32C .椭圆的标准方程可以是y 216+x 24=1D .椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-2√3二、填空题10.[2024·河南周口高二期中] 已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,过点B (32,-1)且与椭圆y 29+x 28=1有相同的焦点,则E 的离心率为 .11.[2024·福建南平一中高二月考] 已知点A (-√5,0),B (√5,0),C (-1,0),D (1,0),P (x ,y ),若直线PA ,PB 的斜率之积为-45,记∠PCD=α,∠PDC=β,则sinα+sinβsin (α+β)= .12.设F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点,且AF 1⊥AF 2,AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则椭圆C 的离心率为 .13.[2024·湖北A9联盟高二期中] 在以O 为中心,F 1,F 2为焦点的椭圆上存在一点M ,满足|MF 1|=2|MO|=2|MF 2|,则该椭圆的离心率为 .三、解答题14.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为C 上一点,O 为坐标原点.(1)若△POF 2为等边三角形,求C 的离心率;(2)若存在点P ,使得PF 1⊥PF 2,且△F 1PF 2的面积等于16,求b 的值和a 的取值范围.15.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),若椭圆C 上存在一点M ,使得△MF 1F 2的内切圆的半径为c 2,则椭圆C 的离心率的取值范围是 ( )A .(0,35]B .(0,45] C .[35,1) D .[45,1)16.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率是√22,左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (2,√3),F 2在线段PF 1的垂直平分线上.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)如果圆E :(x -12)2+y 2=r 2(r>0)上的点均在椭圆C 内部(包括边界),求圆E 的半径的最大值.。

3.1.2 椭圆的简单几何性质(2)-A基础练(解析版).

3.1.2椭圆的简单几何性质（2）-A 基础练一、选择题1．（2020·河北桃城衡水中学期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，若长轴长为8，离心率为12，则此椭圆的标准方程为()A ．2216448x y +=B ．2216416x y +=C ．221164x y +=D ．2211612x y +=【答案】D【解析】因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴长为8，所以28a =，即4a =，又离心率为12，所以12c a =，解得：2c =，则222b a c =-=12，所以椭圆的标准方程为：2211612x y +=．2.（2020全国高二课时练）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为22143x y +=，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】由题意可得24a =,23b =,2221c a b =-=,所以2a =,1c =.①若光线从椭圆一个焦点沿x 轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射,则所经过的路程为()22a c -=,②若光线从椭圆一个焦点沿x 轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射,则所经过的路程为()26a c +=.③若光线从椭圆一个焦点沿非x 轴方向出发,则所经过的路程为48a =，故选:B3．（2020·金华市曙光学校月考）无论k 为何值，直线2y kx =+和曲线22194x y +=交点情况满足（）A ．没有公共点B ．一个公共点C ．两个公共点D ．有公共点【答案】D【解析】因为2y kx =+过定点()0,2，且椭圆22194x y +=的上顶点也为()0,2，所以当直线的斜率为0时，此时直线与椭圆相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点，所以无法确定直线与椭圆的公共点是一个还是两个，故选：D.4.（2019·安徽安庆月考）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（）A ．2B ．2C 1-D 1【答案】A【解析】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上，即22b c =，∴c b =，∴椭圆C 的离心率2e ===．5．（多选题）（2020广东濠江高二月考）椭圆22116x y m+=的焦距为m 的值为（）A ．9B ．23C ．16D ．16+【答案】AB【解析】椭圆22116x y m+=的焦距为，即2c =得c =依题意当焦点在x 轴上时，则167m -=，解得9m =；当焦点在y 轴上时，则 167m -=，解得 23m =，∴m 的值为9或23.6．（多选题）（2020全国高二课时练）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（）A ．焦距长约为300公里B ．长轴长约为3988公里C ．两焦点坐标约为()1500±，D ．离心率约为75994【答案】AD【解析】设该椭圆的半长轴长为a ，半焦距长为c .依题意可得月球半径约为1347617382⨯=，10017381838a c -=+=，40017382138a c +=+=，2183821383976a =+=，1988a =，21381988150c =-=，椭圆的离心率约为150751988994c e a ===，可得结论A 、D 项正确，B 项错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C 项错误.综上可知，正确的为AD ，故选：AD.二、填空题7.（2020·全国课时练习）若直线2y kx =+与椭圆22132x y +=有且只有一个交点，则斜率k 的值是_______.【答案】63±【解析】已知直线2y kx =+与椭圆22132x y+=有且只有一个交点，由222,1,32y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得()22231260kxkx +++=，由题意知，()22(12)46230∆=-⨯⨯+=k k ，解得：3k =±.8．光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点1F ,2F 的椭圆Γ与双曲线'Γ构成,现一光线从左焦点1F 发出,依次经'Γ与Γ反射,又回到了点1F ,历时1t 秒;若将装置中的'Γ去掉,此光线从点1F 发出,经Γ两次反射后又回到了点1F ,历时2t 秒;若214t t =,则Γ与'Γ的离心率之比为______.【答案】1:2【解析】如图,由双曲线定义得:212BF BF m -=——①,由椭圆定义得:212AF AF a +=——②,②-①得:1122BA AF BF a m ++=-;∴椭圆双曲线“复合”光学装置中,光线从出发到回到左焦点走过的路程为:22a m-对于单椭圆光学装置,光线经过2次反射后回到左焦点,路程为()()1112124AF AB BF AF AF BF BF a ++=+++=;由于两次光速相同,路程比等于时间比,∴()4422a a m =-,∴2a m =.∴12:::1:2c ce e m a a m===.9.（2020·福建漳州高二月考）已知1F ，2F 是椭圆222:1(04)16x y C b b+=<<的左、右焦点，点P 在C 上，线段1PF 与y 轴交于点M ，O 为坐标原点，若OM 为12PF F △的中位线，且||1OM =，则1PF =________.【答案】6【解析】如图所示，因为OM 为12PF F △的中位线，且1OM =，所以22PF =，由椭圆定义可得：1222426PF a PF =-=⨯-=.10．（2020上海华师大二附中月考）已知点F 为椭圆22:143x y Γ+=的左焦点，点P 为椭圆Γ上任意一点，点O 为坐标原点，则OP FP ⋅的最大值为________【答案】6【解析】设点P 的坐标为(),x y ，则22x -≤≤，则22143x y +=，可得22334y x =-，椭圆Γ的左焦点为()1,0F -，(),OP x y =uu u r，()1,FP x y =+，则()()2222231113322444OP FP x x y x x x x x x ⋅=++=++-=++=++，二次函数()()21224f x x =++在区间[]22-,上单调递增，所以，()()2max 124264f x f ==⨯+=.因此，OP FP ⋅的最大值为6.三、解答题11．我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径3400km =R ）的中心F 为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为800km ，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为80000km ．假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 的距离为时进行变轨，其中,a b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到100km ）．【解析】设所求轨道方程为22221( 0) ,x y a b c a b +=>>=．80034,834,438,396a c a c a c +=+-=+∴==．于是22235028b a c =-=．所以所求轨道方程为22119184435028x y +=．设变轨时，探测器位于()00,P x y ，则2200 81975. 1x y ab +==2200119184435028x y +=．解方程组，得00239.7,156.7x y ==（由题意）．187.3R -≈．所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为18700km .12.（2020全国高二课时练习）已知椭圆C:()222210x y a b a b +=>>经过点3(1,2M ,12,F F 是椭圆C 的两个焦点，12||F F =，P 是椭圆C 上的一个动点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在第一象限，且1214PF PF ⋅≤,求点的横坐标的取值范围；【解析】（1）由已知得2c =c =，∴12(F F ，142MF +===，同理242MF -=，∴1224a MF MF =+=，2a =，∴1b ==，椭圆标准方程为2214x y +=．（2）设(2cos ,sin )P θθ（(0,)2πθ∈），则1212(2cos )(2cos )PF PF F P F P θθθθ⋅=⋅=+⋅22214cos 3sin 3cos 24θθθ=-+=-≤，23cos 4θ≤，∴0cos 2θ<≤，∴02cos θ<≤，即P 点横坐标取值范围是．。

椭圆形性质练习题

椭圆形性质练习题
1. 椭圆形的定义
椭圆形是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个固定点称为焦点，常数称为离心率。

2. 椭圆形的性质
椭圆形具有以下性质：
- 椭圆形的长轴是通过两个焦点的直线段，短轴是通过中心垂
直于长轴的直线段。

- 椭圆形的长轴长度等于离心率乘以短轴长度的两倍。

- 椭圆形的离心率介于0和1之间，且离心率越接近于0，椭圆形越扁平。

- 对于任意点P在椭圆形上，到两个焦点的距离之和等于常数。

- 对于任意点P在椭圆形上，到两个焦点的距离差的绝对值等
于长轴的长度。

3. 椭圆形的方程
椭圆形的方程可以表示为：
(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
其中，a和b分别表示长轴的长度和短轴的长度。

4. 椭圆形的中心和焦点
椭圆形的中心位于原点(0, 0)，而焦点位于坐标轴上，具体坐标根据椭圆形的长短轴长度和离心率来确定。

5. 椭圆形的图像
通过绘制椭圆形的方程，我们可以得到椭圆形的图像。

图像的形状和尺寸取决于椭圆形的参数（长轴、短轴长度和离心率）。

以上是关于椭圆形的性质练习题的内容，希望对你的学习有所帮助。