基础椭圆的简单性质巩固练习

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椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)

椭圆的简单几何性质基础卷1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是（A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >02．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为（A ）221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）2211625x y += 3．已知P 为椭圆221916x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为（A ）54 （B ）45 （C ）417 （D ）7474．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为（A ）23 （B ）33 （C ）316 （D ）6165．在椭圆12222=+by a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有（A ）r 1, r 2, r 3成等差数列（B ）r 1, r 2, r 3成等比数列（C ）123111,,r r r 成等差数列（D ）123111,,r r r 成等比数列 6．椭圆221925x y +=的准线方程是（A ）x =±254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±2547．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .8．对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2:2211612x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆12222=+by a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。

椭圆的几何性质练习题

椭圆的几何性质练习题椭圆的几何性质练习题椭圆是数学中一种重要的几何形状，具有许多特殊的性质和应用。

在本文中，我们将通过一些练习题来探索椭圆的一些几何性质。

练习题一：椭圆的定义1. 如何定义一个椭圆？2. 椭圆的焦点和直径分别是什么？练习题二：椭圆的离心率1. 什么是椭圆的离心率？2. 离心率为1的椭圆是什么特殊的形状？练习题三：椭圆的焦点性质1. 椭圆的焦点位于什么位置？2. 如何通过椭圆的焦点和直径来确定椭圆的方程？练习题四：椭圆的长轴和短轴1. 如何确定椭圆的长轴和短轴？2. 长轴和短轴之间的关系是什么？练习题五：椭圆的周长和面积1. 如何计算椭圆的周长和面积？2. 椭圆的周长和面积与长轴和短轴之间有什么关系？练习题六：椭圆的焦点到点的距离1. 如何计算椭圆上任意一点到焦点的距离？2. 椭圆上任意一点到焦点的距离与椭圆的离心率之间有什么关系？练习题七：椭圆的应用1. 椭圆在日常生活中有哪些应用？2. 椭圆在科学和工程领域中有哪些应用？通过以上练习题，我们可以更好地理解和掌握椭圆的几何性质。

椭圆作为一种特殊的几何形状，具有许多独特的特点和应用，对于数学和实际问题的解决都具有重要意义。

在解答这些练习题的过程中，我们需要熟练掌握椭圆的定义、离心率、焦点性质、长轴和短轴的确定方法，以及椭圆的周长、面积和焦点到点的距离的计算方法。

同时，我们还需要了解椭圆在不同领域中的应用，以便更好地理解和应用椭圆的几何性质。

通过不断的练习和思考，我们可以逐渐提高对椭圆的理解和应用能力。

椭圆作为数学中的一种重要几何形状，不仅具有美丽的形态，还具有广泛的应用价值。

在学习和应用中，我们应该保持好奇心和求知欲，不断探索和发现椭圆的更多奥秘。

总之，椭圆的几何性质是数学中的重要内容之一，通过练习题的探索和解答，我们可以更好地理解和应用椭圆的特点和应用。

希望通过这些练习题，读者们能够对椭圆有更深入的了解，并能够在实际问题中灵活运用椭圆的几何性质。

(完整版)椭圆的简单性质练习题及答案

椭圆一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0）的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0）和定直线ca x 2-=的距离之比为ac （a >c>0）的点的轨迹是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F （c ，0）的距离之比为ca (a >c 〉0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2,0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 ( ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ )A ．(0，+∞)B ．（0,2)C ．（1，+∞）D ．(0，1)4．设定点F 1(0，－3)、F 2(0，3),动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ,则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+by a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 ( ）A ．41B ．22 C ．42 D ． 217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点,若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1,－1)，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2｜MF|的值最小,则这一最小值是（）A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M （－2,0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1,P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为 ( ）A ．2 B ．－2 C ．21 D ．－21 二、填空题（本题共4小题,每小题6分，共24分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ 。

高中数学第三章3.1椭圆3.1.2椭圆的简单性质课后训练案巩固提升含解析北师大版选修2_1

1.2 椭圆的简单性质课后训练案巩固提升A组1.设椭圆=1(a>b>0)的离心率为e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情形都有解析:∵e=,∴.∵a2=b2+c2,∴b2=a2.∵x1+x2=-,x1·x2=-,∴=(x1+x2)2-2x1x2=+1=<2.∴P点在圆x2+y2=2内.答案:A2.已知对k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取值范围是()A.(0,1)B.(5,+∞)C.[1,5)∪(5,+∞)D.[1,5)解析:直线y-kx-1=0恒过点(0,1),仅当点(0,1)在椭圆上或椭圆内时,此直线才恒与椭圆有公共点,∴≤1,且m>0,得m≥1.又m≠5,故选C.答案:C3.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是()A.B.C. -1 D.解析:由题意得|AF1|=,|AF2|=|BF2|.∵△ABF2是等腰直角三角形,∴|AF1|=|F1F2|,即=2c.∴b2=a2-c2=2ac.整理得e2+2e-1=0,∴e=-1.答案:C4.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()A. =1B. +y2=1C. =1D.x2+=1解析:依题意,得a=2,a+c=3,故c=1,b=,故所求椭圆的标准方程是=1.答案:A5.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为()A.2B.3C.6D.8解析:由椭圆方程得F(-1,0),设P(x0,y0),则=(x0,y0)·(x0+1,y0)= +x0+.∵P为椭圆上一点,∴=1.∴+x0+3+x0+3= (x0+2)2+2.∵-2≤x0≤2,∴的最大值在x0=2时取得,且最大值等于6.答案:C6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是.解析:由已知,得a=2b,c=2,又a2-b2=c2,故b2=4,a2=16,又焦点在x轴上,故椭圆方程为=1.答案: =17.导学号90074059已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为.解析:如图所示,e=-1.∵|PF2|<a+c,∴e=-1>-1,即e>-1,∴e2+2e-1>0.又∵0<e<1,∴-1<e<1.答案:( -1,1)8.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为.解析:由题设,知2a=12, ,∴a=6,c=3.∴b=3.答案: =19.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6.解(1)设椭圆的标准方程为=1或=1(a>b>0).由已知a=2b, ①且椭圆过点(2,-6),从而有=1或=1.②由①②,得a2=148,b2=37,或a2=52,b2=13.故所求椭圆的方程为=1或=1.(2)如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且OF=c,A1A2=2b,∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18.故所求椭圆的方程为=1.10.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是椭圆的两个顶点.若焦点F1到直线AB的距离为,求椭圆的离心率.解(方法一)由题意,直线AB的方程为=1,即bx-ay+ab=0.∵焦点F1到直线AB的距离d=,∴.两边平方、整理,得8c2-14ac+5a2=0,两边同时除以a2,得8e2-14e+5=0,解得e=或e= (舍去).(方法二)在△AF1B中,由面积公式可得=(a-c)·b,将b2=a2-c2代入上式,整理得8c2-14ac+5a2=0.(以下解法同解法一)B组1.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是()A.[6,10]B.[6,8]C.[8,10]D.[16,20]解析:不妨设焦点在x轴上,由题意知a=10,b=8,设椭圆上的点M(x0,y0),由椭圆的范围知,|x0|≤a=10,|y0|≤b=8,点M到椭圆中心的距离d=.又因为=1,所以=64=64-,则d=.因为0≤≤100,所以64≤+64≤100,所以8≤d≤10.故选C.答案:C2.已知c是椭圆=1(a>b>0)的半焦距,则的取值范围是()A.(1,+∞)B.(,+∞)C.(1,)D.(1,]解析:如图,在△AFO中,令∠AFO=θ,其中θ为锐角,则=sin θ+cos θ=sin∈(1,].答案:D3.如图,把椭圆=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.解析:设F1是椭圆的另一个焦点,则根据椭圆的对称性,知|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同理,|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a.又|P4F|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35.答案:354.已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的直线与椭圆相交于A,B两点.若线段AB中点的横坐标是-,求直线AB的方程.解依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理,得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则由线段AB中点的横坐标是-,得=-=-,解得k=±,适合①.所以直线AB的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.5.已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|=4,过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M,N两点,设∠MF1F2=α(0≤α≤180°),问α取何值时,|MN|等于椭圆短轴长?解(方法一)如图,建立平面直角坐标系,则a=3,c=2,b=1,∴椭圆方程为+y2=1.当直线MN斜率不存在时,得|MN|=,不合题意.故可设过F1的直线方程为y=k(x+2).∴①代入②,整理可得(1+9k2)x2+36k2x+72k2-9=0,∴x1+x2=,x1·x2=.代入|MN|=,可得|MN|=.∵=2,∴k=±,即tan α=±,∴α=或α=π.(方法二)如图所示建立平面直角坐标系,由已知可得a=3,c=2,b=1.令|F1M|=x,则|F2M|=6-x,|F1F2|=4,在△MF1F2中利用余弦定理得x=,若令|F1N|=y,则|F2N|=6-y,|F1F2|=4,在△NF1F2中利用余弦定理得y=,∴|MN|=x+y=,∴=2,cos α=±,∴α=或α=π.6.导学号90074060有一椭圆形溜冰场,长轴长100 m,短轴长60 m,现要在这个溜冰场上规定一个各顶点都在溜冰边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在何处?这时矩形的周长是多少?解分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x轴和y轴,以长轴的中点为坐标原点O,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上.易知矩形ABCD关于原点O及x轴、y轴都是对称的.已知椭圆的长轴长2a=100 m,短轴长2b=60 m,则椭圆的方程为=1.设顶点A的坐标为(x0,y0),x0>0,y0>0,则=1,得 (502-)= (502-).根据矩形ABCD的对称性,可知它的面积S=4x0y0.由于 (502-)=.∴当时,取得最大值,此时S也取得最大值.此时x0=25,y0=15,矩形ABCD的周长为4(x0+y0)=4(25+15)=160 (m).因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25 m的直线,这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点;这个矩形区域的周长为160 m.。

椭圆巩固练习(含解析)

椭圆巩固练习班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1．已知椭圆C:22195x y +=，点(1,1)A ，则点A 与椭圆C 的位置关系是（）． A ．点A 在椭圆C 上 B ．点A 在椭圆C 内 C ．点A 在椭圆C 外 D ．无法判断2．我们规定离心率e =的椭圆叫优美椭圆，下列结论正确的个数是( ) ①一个焦点、一个短轴顶点与一个长轴顶点构成直角三角形的椭圆是优美椭圆；②短轴长与长轴长之比为12的椭圆是优美椭圆；③椭圆2212x =是优美椭圆；④焦距、短轴长、长轴长成等比数列的椭圆是优美椭圆. A ．1B ．2C ．3D ．43．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的右焦点，A 为左顶点，点P 在椭圆上，PF x ⊥轴，若1PF AF 4=，则椭圆的离心率为（）A ．34 B ．12C D ．24．一个圆圆心为椭圆右焦点，且该圆过椭圆中心，交椭圆于P ，直线11(PF F 为该椭圆左焦点)是此圆切线，则椭圆离心率为( )A 1B ．1C ．12D 5．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，点1F ，2F 为椭圆C 在左、右焦点，在椭圆C 上存在点P ，使2122PF PF c ⋅=，则椭圆的离心率范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．,32⎣⎦C ．1,23⎡⎢⎣⎦D ．1,3⎛ ⎝⎦6．参数方程4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）表示的曲线是（）A．以(为焦点的椭圆 B ．以(4,0)±为焦点的椭圆CD ．离心率为35的椭圆7．已知两椭圆1C 、2C ，且1C 在2C 的内部，设内椭圆1C 的方程为()222210x y m n m n+=>>，外椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，过椭圆1C 上的任一点M 作1C 的切线交椭圆2C 于P 、Q 两点，过P 、Q作椭圆2C 的切线，则此两切线的交点R 的轨迹方程为（）A ．2222221x y m a n b+= B ．2222221x y a bm n += C ．2244221x y m na b += D ．2244221x y a bm n += 8．若()()122,0,2,0F F -，124PF PF a a+=+（常数0a >），则点P 的轨迹是（） A ．椭圆B ．线段C ．椭圆或线段D ．椭圆或直线9．设直线:3460l x y +-=，椭圆22:14x C y +=，将椭圆C 绕着其中心O 逆时针旋转90︒（旋转过程中椭圆C 的大小形状不变，只是位置变化）到与椭圆22':14y C x +=重合，则旋转过程中椭圆C 与直线l交于,A B 两点，则||AB 的最大值为( ) A ．85BC ．53D．10．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 为左右焦点，点P 在椭圆C 上，△12F PF 的重心为G ，内心为I ，且有12IG F F λ=（λ为实数），则椭圆方程为（） A ．22186x y +B ．221164x y +=C ．2251927x y +=D ．221105x y +=二、填空题11．已知椭圆22:11612x y C +=，12,F F 分别为椭圆的两焦点，点P 椭圆在椭圆上，且23PF =，则12PF F ∆的面积为__________．12．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(5,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.13．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 、O 为坐标原点，点P在椭圆上，点Q 在椭圆的右准线上，若12PQ FO =，()111110F P FO FQ F P FO λλ⎛⎫⎪=+> ⎪⎝⎭则椭圆的离心率为_____. 14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 关于直线12y x =对称的点在椭圆上，则椭圆的离心率为___．三、解答题15．设椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的焦点为())1233F F -，、，，且该椭圆过点132⎫⎪⎭，.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上的点()00M x y ，满足12MF MF ⊥，求0y 的值.16．已知椭圆1E ：22221(0)x y a b a b +=>>，若椭圆2E ：22221(0,1)x y a b m ma mb+=>>>，则称椭圆2E 与椭圆1E “相似”.（1）求经过点(2,1)，且与椭圆1E ：2212x y += “相似”的椭圆2E 的方程；（2）若4m =，椭圆1E 的离心率为22，P 在椭圆2E 上，过P 的直线l 交椭圆1E 于A ，B 两点，且AP AB λ=.①若B 的坐标为(0,2)，且2λ=，求直线l 的方程； ②若直线OP ，OA 的斜率之积为12-，求实数λ的值.椭圆巩固练习班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1．已知椭圆C:22195x y +=，点(1,1)A ，则点A 与椭圆C 的位置关系是（）． A ．点A 在椭圆C 上 B ．点A 在椭圆C 内 C ．点A 在椭圆C 外 D ．无法判断【答案】B【解析】当1x =时，代入椭圆得到3y =± ，133-<<故点(1,1)A 在椭圆内故选：B2．我们规定离心率12e =的椭圆叫优美椭圆，下列结论正确的个数是( ) ①一个焦点、一个短轴顶点与一个长轴顶点构成直角三角形的椭圆是优美椭圆；②短轴长与长轴长之比为的椭圆是优美椭圆；③椭圆2212x +=是优美椭圆；④焦距、短轴长、长轴长成等比数列的椭圆是优美椭圆. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于A ，一个焦点、一个短轴顶点与一个长轴顶点构成直角三角形的椭圆是优美椭圆，则满足()()()22222a c a b b c +=+++，化简可得220a ac c --=，即210e e +-=，解得12e -+=或12e -=，所以A 正确；对于B ，即b a =，则12c e a ====≠，所以B 错误；对于C ，椭圆2212x =，则12c e a ====，所以C 正确；对于D ，焦距、短轴长、长轴长成等比数列，即()2222b c a =⨯，化简可得220a ac c --=，由A 可知，D 中椭圆为优美椭圆，所以D 正确，综上可知，正确的为ACD ，故选：C.3．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的右焦点，A 为左顶点，点P 在椭圆上，PF x ⊥轴，若1PF AF 4=，则椭圆的离心率为（）A ．34 B ．12C D 【答案】A【解析】因为点P 在椭圆上，且PF x ⊥轴，所以(),P c y 代入椭圆方程可得2b PF a=，又因为AF a c=+且若14PF AF =，所以()()224c a a a c -=+，即()4c a a -=，则34a c =，应选答案A ． 4．一个圆圆心为椭圆右焦点，且该圆过椭圆中心，交椭圆于P ，直线11(PF F 为该椭圆左焦点)是此圆切线，则椭圆离心率为( )A 1B ．1C ．12D ．2【答案】A【解析】设F 2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P ，并且直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P 是切点，所以PF 2＝c 并且PF 1⊥PF 2．又因为F 1F 2＝2c ，所以∠PF 1F 2＝30°，所以PF 1=．根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a ﹣c ．所以2a ﹣c =，所以e 1=．故选:A5．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，点1F ，2F 为椭圆C 在左、右焦点，在椭圆C 上存在点P ，使2122PF PF c ⋅=，则椭圆的离心率范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎦【答案】C【解析】设(),P x y ，则22212PF PF x y c⋅=+-，∴2223x y c +=∴点P 为半径的圆上，该圆与椭圆有交点，∴b a ≤≤e ≤12e ≤≤ 故选：C6．参数方程4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）表示的曲线是（）A ．以(为焦点的椭圆B ．以(4,0)±为焦点的椭圆C ．离心率为5的椭圆 D ．离心率为35的椭圆【答案】A【解析】将参数方程化为普通方程得221169x y +=，易知c ==(，故选A.7．已知两椭圆1C 、2C ，且1C 在2C 的内部，设内椭圆1C 的方程为()222210x y m n m n+=>>，外椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，过椭圆1C 上的任一点M 作1C 的切线交椭圆2C 于P 、Q 两点，过P 、Q作椭圆2C 的切线，则此两切线的交点R 的轨迹方程为（）A ．2222221x ym a n b+= B ．2222221x y a bm n += C ．2244221x y m na b += D ．2244221x y a bm n += 【答案】D【解析】设()00,M x y ，则0022:1pQ x x y yl m n+= ① 又设()11,P x y 、()22,Q x y ，(),R R R x y ，则过点P 、Q 的两切线方程分别为11221x x y y a b +=，22221x x y ya b+=，又此两切线的交点为R ，则有11221R R x x y y a b +=，22221R R x x y ya b+=.因此，PQ l 又可表示为221R R x x y y a b +=，再由式①知022R x xm a =，022R y y n b=. 又因为2200221x ym n+=，消去0x 、0y 化简可得2244221R Rx y a b m n +=,选D. 8．若()()122,0,2,0F F -，124PF PF a a+=+（常数0a >），则点P 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．线段C ．椭圆或线段D ．椭圆或直线【答案】C【解析】当a=2时，若F 1（﹣2，0），F 2（2，0），|PF 1|+|PF 2|=4，则点P 的轨迹是线段，当2a ≠时124PF PF a a+=+>4,这时轨迹是椭圆。

一个椭圆的性质练习题

一个椭圆的性质练习题
1. 什么是椭圆？
椭圆是一个平面上的几何图形，由到两个焦点的距离之和等于
常数的点构成。

其形状类似于被压扁或被拉长的圆。

2. 椭圆的性质：
- 椭圆的中心：椭圆的两个焦点的连线的中点就是椭圆的中心。

- 椭圆的长轴和短轴：椭圆的长轴是通过椭圆两个焦点的线段，短轴是与长轴垂直通过椭圆中心的线段。

- 椭圆上的点：椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和等于常数。

- 椭圆的离心率：椭圆离心率是一个无单位的常数，其定义为
焦距与长轴长度之比。

- 椭圆的焦点：椭圆上的焦点是使得到两个焦点的距离之和等
于常数的点。

3. 练题：
- 椭圆的长轴和短轴分别是8和6，求椭圆的离心率。

- 椭圆的离心率为0.5，且长轴长度为12，求椭圆的短轴长度。

- 椭圆上的点到焦点A的距离为5，焦点B的距离为9，求椭圆的长轴和短轴的长度。

4. 答案：
- 椭圆的离心率为：e = sqrt(1 - (b^2/a^2)) = sqrt(1 - (6^2/8^2)) ≈ 0.6
- 椭圆的短轴长度为：b = a * sqrt(1 - e^2) = 8 * sqrt(1 - 0.5^2) ≈ 7.33
- 椭圆的长轴长度为：a = sqrt((5^2 + 9^2)/2) ≈ 8.06。

椭圆巩固练习-2023届高三数学一轮复习

2023届高考复习一轮小练《椭圆》巩固练习一、单选题1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)分别过点A(2，0)和点B(1,√32)，则该椭圆的焦距为( )A.√3B.2C.2√3D.2√52.椭圆x216+y29=1的两焦点为F1,F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|=6，则|AF1|+|BF1|的值为( )A.10B.8C.16D.123.椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF2|=2，则∠F1PF2的大小为( )A.150∘B.135∘C.120∘D.90∘4.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，椭圆C的面积为2√3π，且短轴长为2√3，则椭圆C 的标准方程为( )A.x212+y2=1 B.x24+y23=1 C.x23+y24=1 D.x216+y23=15.点F为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF(O为坐标原点)为正三角形，则椭圆的离心率为( )A.√3−12B.√3−1 C.√2−12D.√2−16.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60∘，则C的离心率为( )A.1−√32B.2−√3 C.√3−12D.√3−17.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则的离心率为( )A.√32B.√22C.12D.138.椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F（3，0）为椭圆C的右焦点，则OP→⋅PF→的取值范围为( )A.（−16，−10）B.（−10，−394）C.（−16，−394] D.（−∞，−394]二、多选题9.椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴的两个端点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则( )A.椭圆E的长轴长为4√2B.椭圆E的焦点坐标为(−2，0)，(2，0)C.椭圆E的离心率为√22D.椭圆E的标准方程为x24＋y22=110. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则( )A.a−c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=√(m+R)(n+R)11.已知椭圆C：x2a2＋y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过椭圆C的左焦点F1作斜率为2直线交椭圆于A，B两点，若三角形AF1F2为直角三角形，则椭圆C的离心率为( )A.√53B.12C.√3−1D.√5−212.已知F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，M，N是椭圆C上的两点，且F1F2→=13F1M→+2 3F1N→，|F1M|:|MN|=4:3，则下列结论中正确的是( )A.M，F2，N三点共线B.|F1M||F2M|=2C.△MF1N为直角三角形D.椭圆C的离心率为23三、填空题13.过点(√3,−√5)，且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆标准方程为.14.已知F1，F2为椭圆x24+y2=1的两个焦点，并且椭圆上点P满足∠F1PF2=90∘，则△F1PF2的面积为．15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∣DE⊨6，则△ADE的周长是．16.已知圆F1:x2+y2+4x−32=0和点F2(2,0)，在圆F1上任取点M(不在直线F1F2上)，作线段MF2的垂直平分线交线段MF1于点P，O为坐标原点，若N是∠F1PF2的平分线上一点，F1N⊥NP，则|ON|的取值范围是四、解答题17.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，且F2(√7，0)，上顶点为(0，√2)．(1)求椭圆的标准方程；(2)点P在椭圆上，若|PF1|=4，求∠F1PF2的大小．18.设F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点.(1)若椭圆C上的点A(1,32)到F1,F2两点的距离之和等于4，求椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，Q(0,12)，求|PQ|的最大值.19.已知直线l：x=t（0<t<2）与椭圆Γ：x24+y22=1相交于A、B两点，其中A在第一象限，M是椭圆上一点．(1)记F1、F2是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F2，当M到F1的距离与到直线AB的距离相等时，求点M的横坐标；(2)若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；(3)设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|⋅|OQ|为定值．。

椭圆的简单几何性质练习题

1．椭圆63222=+y x 的焦距是〔〕A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．的长轴端点坐标为椭圆6622=+y x ( )A.），），（，（0101- B ），），（，（0606- C.），），（，（0606- D.），），（，（6060- 3．到右焦点的距离上一点椭圆P y x 192522=+〔〕 A ．最大值为5，最小值为4 B ．最大值为10，最小值为8C ．最大值为10，最小值为6D ．最大值为9，最小值为14．以下说法错误的选项是．．．．．．( ) A ．命题“假设2320x x -+=，那么1x =〞的逆否命题为：“假设1x ≠，那么2320x x -+≠〞 B ．22320x x x >-+>“”是“”的充分不必要条件C ．假设q p ∧为假命题，那么p 、q 均为假命题.D ．假设命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<〞，那么p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥〞5．过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，那么A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是〔〕 A.22 B. 2 C.2D. 16．椭圆焦点在x 轴，假设长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，那么此椭圆的方程是〔〕 A 、2218172x y += B 、221819x y += C 、2218145x y += D 、2218136x y += 7．写出命题"01,0"3≤++>∀x x x 的否认_____________________________________8．在数列{}n a 满足11a =，n n a a 21=+，那么=n a ___________,7S =_________________9．在等差数列{}n a 中，3737a a +=，那么2468a a a a +++=__________10．实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’那么y x z -=2的取值范围是______________11．在等差数列｛n a ｝中,,4,1201-==d a 假设)2(≥≤n a S n n ，那么n 的最小值为__________12．椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的32倍，那么椭圆的焦距是_______,离心率是_________ 那么椭圆方程为______________ 13．〔思考〕椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，且21PF F ∠＝60°，那么△21PF F 的面积为__________________14．动点P 〔x ，y 〕到定点()2,0F 的距离与点P 到定直线l ：22x =的距离之比为22．求动点P 的轨迹C 的方程；〔参考教材P47 例6〕15．点()11,M 位于椭圆12422=+y x 内，过点M 的直线与椭圆交于两点A 、B ，且M 点为线段AB 的中点，求直线AB 的方程及AB 的值。

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【巩固练习】一、选择题
1．一个椭圆的半焦距为2，离心率2
3
e =
，那么它的短轴长是（）
A ．3
B
C ．
D ．6
2．已知点（3，2）在椭圆22
a
x ＋22b y =1上，则（）
A ．点（－3，－2）不在椭圆上
B ．点（3，－2）不在椭圆上
C ．点（－3，2）在椭圆上
D ．无法判断点（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在椭圆上
3．若直线y =kx +1与焦点在x 轴上的椭圆
22
15x y m
+=总有公共点，那么m 的取值范围是（）
A ．（0，5）
B ．（0，1）
C ．[1，5]
D ．[1，5） 4．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cos ∠O FA =
13
5
，则椭圆的方程是（） A ．144
16922y x +=1 B ．1441692
2x y +=1 C ． 2514422x y +=1或14416922y x +=1 D ．144
16922y x +=1或1441692
2x y +=1 5．椭圆2
214
x y +=的两个焦点为12,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF 为（）
A B C ．7
2
D ．4 6．已知椭圆C ：22
a
x
+22b y =1与椭圆42x +92y =1有相同离心率，则椭圆C 的方程可能是
（）
A ．8
2x +42
y =m 2(m ≠0)
B ．162x +64
2
y =1
C ． 8
2x +22
y =1
D ．以上都不可能
二、填空题
7．椭圆
2214x y m
+=的离心率为12，则m =________． 8．若圆x 2
+y 2
=A 2
（A ＞0）与椭圆22
194
x y +=有公共点，则实数A 的取值范围是_______． 9．若椭圆的两个焦点，短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为． 10．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为．
三、解答题
11．已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A （3，0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．
12．椭圆12222=+b
x a y (A >B>0)的两焦点为F 1（0，-c ），F 2（0，c ）(c >0)，离心率e=23
，
焦点到椭圆上点的最短距离为2-3，求椭圆的方程．
13．若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，且
1.
（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的离心率．
14．已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3
π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．
15．设F 1、F 2为椭圆14
92
2=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一
个直角三角形的3个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求
|
||
|21PF PF 的值．
【答案与解析】 1．【答案】C 【解析】 ∵c =2，2
3
e =
，∴A =3
∴B 2=A 2―c 2=9―4=5，∴b =
∴短轴长为2b =
2．【答案】 C
解析：∵点（3，2）在椭圆22
a
x ＋22b y =1上，
∴223a ＋22
2b
=1,∴222
2)2()3(b a ±+±=1．即点(±3,±2)在椭圆22
a
x ＋22b y =1上．
3．【答案】D
【解析】直线y =k x +1过定点（0，1），定点在椭圆的内部或椭圆上时直线y =k x +1与焦
点在x 轴上的椭圆
2215x y m +=总有公共点，∴22
0115m
+≤，得m ≥1，∴m 的取值范围是1≤m ＜5．
4．【答案】D
【解析】由c os ∠O FA =
13
5
，知A 是短轴的端点．∵长轴长是26，∴|FA |=13即A =13．∴13c =135，c =5，B 2=132-52=122
=144．∴椭圆的方程为144
16922y x +=1或14416922x y +=1．
5．【答案】C
【解析】∵12||||4,PF PF +=而211||2b PF a =
=，∴217
||422
PF =-= 6．【答案】 A
【解析】把方程82x +42y =m 2写成228m x +2
24m y =1,则A 2=8m 2,B 2=4m 2
, ∴c 2
=4m 2
,∴22a c =84=21,e =a
c =22,而椭圆42x +82y =1的离心率为22
．
7．【答案】3或
16
3
【解析】方程中4和m 哪个大哪个就是A 2，因此要讨论：（1）若0＜m ＜4则A 2=4，B 2=m ，
∴c =，∴1
22
e =
=，得m =3．
（2）m ＞4，则B 2=4，A 2=m ，∴c =，
∴12
e =
=，得16
3m =．
综上，m =3或16
3
m =． 8．【答案】[2，3]
【解析】根据图象可得圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径A 的取值范围为[2，3]
9．【答案】
1
2
【解析】由题意得
01cos602
c a == 10，【答案】22143
x y += 【解析】由题设椭圆C 的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，由已知得
3,1,a c a c +=-=∴2,1a c ==
2
2
2
3b a c =-=，∴椭圆的方程为22
143
x y +=
11．【解析】若椭圆的焦点在x 轴上，
设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
由题意得2223290
1a b
a b =⨯⎧⎪
⎨+=⎪⎩，解得31a b =⎧⎨=⎩． ∴椭圆的标准方程为2
219
x y +=．若椭圆的焦点在y 轴上，
设椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>．同理可求椭圆的方程为
22
1819
y x += 12．【解析】∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴A -c =2-3．
又e=
a c =2
3
，∴A =2．故B=1． ∴椭圆的方程为4
2y +x 2
=1．
13．【解析】设椭圆的方程为22
22
22221,
1(0)x y y x a b a b a b
+=+=>>或，由椭圆的对称性和正方形的对称性可知：正方形被椭圆的对称轴分割成了4个全等直角三角形，因此b c =（2c 为焦距）
由题意得222
1,a c b c a b c
⎧-=⎪
=⎨⎪=+⎩
解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
∴椭圆的方程为2
2
221,12
2
x y y x +=+=或．
（2
）椭圆的离心率为c e a ==
14．【解析】利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
2121x x k AB -+=
]4))[(1(212212x x x x k -++=．
因为6=a ，3=b ，所以33=c ．又因为焦点在x 轴上，
所以椭圆方程为
19
362
2=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为 93+=x y ．
由直线方程与椭圆方程联立得
0836372132=⨯++x x ．
设1x ，2x 为方程两根，所以13
3
7221-
=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ，
从而13
48
]4))[(1(1212212212
=
-++=
-+=x x x x k x x k AB ． 15．【解析】|PF 1|+|PF 2|=6，|F 1F 2|52=．
若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2，由此可得3
4||,314||21==
PF PF ；若∠F 1PF 2为直角，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，由此可得|PF 1|=4，|PF 2|=2． ∴
12||7,||2PF PF =或12||
2,||
PF PF =。