有理数(数轴相反数绝对值)

知识点：一、有理数：()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数.例题：【例1】 ⑴如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为 .⑵高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示 .⑶某地区5月平均温度为20C ︒，记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+，0，1.4+，3-， 4.7-，那么这5项记录表示的实际温度是 .⑷向南走200-米，表示 .【例2】 ⑴在下列各数：(2)--，2(2)--，2--，2(2)-，2(2)--中，负数的个数为 个．⑵①10a -；②21a --；③a -；④2(1)a -+一定是负数的是 （填序号）．练习题：1、下列说法正确的是（ ）A ．a -一定是负数B ．一个数不是正数就是负数C ．0-是负数D ．在正数前面加“-”号，就成了负数2、下列说法正确的是（ ）A、一个数不是正数就是负数B、整数又叫自然数C、正整数又叫自然数D、整数与分数统称为有理数3、下列说法正确的是（）A、0是正整数B、0是正数C、0是整数D、0既不是奇数又不是偶数4、下列说法正确的是（）A．a 表示负有理数B．一个数的绝对值一定不是负数C．两个数的和一定大于每个加数D．绝对值相等的两个有理数相等二、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.⑶数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例：M有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π. 例题：【例3】如右图所示，数轴上的点M 和N 分别对应有理数m 、n ， 那么以下结论正确的是( )A .0m <，0n <，m n >B .0m <，0n >，m n >C .0m >，0n >，m n <D .0m <，0n >，m n < 【例4】数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d +的大小关系为（ ）A.a c b d +<+B.a c b d +=+C.a c b d +>+D.不确定的【例5】在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为练习题：1、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D ，，，对应的数分别为整数a b c d ，，，，并且29b a -=，那么数轴的原点对应点为（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点2、数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数_________3、已知数轴上有A B ，两点，A B ，之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 所对应的数为4、轴上表示整数的点称为整点。

某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是（ ） A. 2002或2003 B. 2003或2004 C. 2004或2005 D. 2005或2006三、相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0.相反数的性质：⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0．相反数必须成对出现，不能单独存在．例如5+和5-互为相反数，或者说5+是5-的相反数，5-是5+的相反数，而单独的一个数不能说是相反数．另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开．例如3+与3-互为相反数，而3+与2-虽然符号不同，但它们不是相反数．⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“ - ”号即可．一般地，数a的相反数是a-；这里以a表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意a-不一定是负数．当0a<时，0a->.a-=；当0a-<；当0a>时，0a=时，0⑷互为相反数的两个数的和为零，即若a与b互为相反数，则0a b+=，反之，若0a b+=，则a与b互为相反数．⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.例题：【例6】下面各量具有相反意义的是( )A ．向北走3千米，向东走3千米B ．七年级⑴班男生有25人，女生有15人C ．上午气温零上30C ︒，下午气温零上8C ︒D ．上升200米，下降15米 【例7】3的相反数是A ． 3B ． －3C ． ±3D ．13【例8】如果0a b +=，那么a ，b 两个实数一定是（ ）A ．都等于0B ．一正一负C ．互为相反数D ．互为倒【例9】a 、b 、c 、m 都是有理数，且a+2b+3c=m ，a+b+2c=m ，那么b 与c ( )． A ．互为相反数 B ．互为倒数 C ．互为负倒数 D ．相等 【例10】如果0a <，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数⑴()a -+；⑵()a --；⑶[]()a -+-；⑷[]()a ---；⑸(){}a -+--⎡⎤⎣⎦练习题：1、2010的相反数是（ ） A. 2010 B ．20101C ．2010-D ．20101-2、m -的相反数是 ，1m -+的相反数是 ，m n a b +-+的相反数是 .3、若0m n +=，0n p +=，且0m q -=，则( ).A .p 与q 相等B .m 与p 互为相反数C . m 与n 相等D .n 与q 相等 4、下列说法错误的是( )A .(3)+-与(3)--互为相反数B .(3)+-与(3)++互为相反数C .(3)+-与(3)-+互为相反数D .3-与(3)--互为相反数5、a 和b 之和的2003次方等于1-，a 与b 的相反数之和的2003次方等于1，则20042004a b +的值为多少？四、绝对值绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；aa b b=(0)b ≠；（4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+，对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．例题：一：绝对值代数意义及化简【例1】列各组判断中，正确的是 ( )A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b > C. 若a b >，则一定有a b >D ．若a b =，则一定有()22a b =-【例2】如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【例3】设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a bc b a c -+--+-．【例4】已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．【例5】如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--.【例6】若0x <，化简23x x x x---．练习题：1、如果2a ＞2b ，则 ( ) A ．a b > B ．a ＞b C ．a b < D a ＜b2、对于1m -，下列结论正确的是 ( )A ．1||m m -≥B ．1||m m -≤C ．1||1m m --≥D ．1||1m m --≤3、数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+--4、若a b <-且0ab>，化简a b a b ab -+++5、若1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ．6、已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--二.分类讨论-—零点分段法零点分段讨论的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号． 【例7】求12m m m +-+-的值．练习题：1、化简代数式24x x ++-2、化简：121x x --++.三：关于a a的探讨应用【例8】已知a 是非零有理数，求2323a a a a a a++的值.【例9】已知0abc ≠，求ab ac bcab ac bc++的值．【例10】a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c a a bb cc a++的值等于多少？练习题：1、若01a <<，21b -<<-，则1212a b a ba b a b-++-+-++的值是（ ） A ．0 B ．1-C ．3-D ．4-2、如果0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，求200220032004()()()a b ca b c-+的值．3、如果20a b +=，求12a ab b-+-的值．四、绝对值的非负性绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.【例11】若42a b -=-+，则_______a b +=.练习题：1、若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋. 2、设a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = 3、已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______ 五、绝对值的几何意义a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．重点：奇数个绝对值相加，数按照从小到大排列，x 取中间数，得最小值；偶数个绝对值相加，数按照从小到大排列，x 取中间两个数及两数之间的数得最小值。