离散数学---通路、回路与图的连通性

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二、图的连通性：
在图G中，如果A到B存在一条通路，则称A到B是可达的。 1、无向图的连通性 如果无向图中，任意两点是可达的，图为连通图。否则为 不连通图。 当图是不连通时，定是由几个连通子图构成。称这样的连 通图是连通分支。
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无向图的连通性
设无向图G=<V,E>,
u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通. 连通关系 R={<u,v>| u,v V且uv}是V上的等价关系
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点割集
在连通图中，如果删去一些顶点或边，则 可能会影响图的连通性。所谓从图中删去 某个顶点v，就是将顶点v和与v关联的所 有的边均删去；删除边只需将该边删除
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例如”国际会议对话”任何一人请假，图G-v还 连通，小组对话仍可继续进行，但如果f、g二 人同时不在，G-{f，g}是分离图，则小组中的 对话无法再继续进行。
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关于通路与回路的几点说明
表示方法 ① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5
环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图
连通图: 平凡图, 任意两点都连通的图 连通分支: V关于R的等价类的导出子图
设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的 连通分支, 其个数记作p(G)=k.
G是连通图 p(G)=1
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设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
a d
b
c
f
g
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e
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定理 在n阶简单图G, 如果对G的每对顶点u和v, deg(u) + deg(v)≥ n–1, 则G是连通图。
证明 假设G不连通, 则G至少有两个分图。
设其中一个分图含有q个顶点, 而其余各分图共含有 n– q个顶点。
在这两部分中各取一个顶点u和v, 则
0≤deg(u)≤q – 1,
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3
3、基本通路：如果通路中各个顶点都不相同。 如基本通路：v1→v6 →v3 →v4长度为3
4、基本回路：如果回路中各个顶点都不相同。
如基本回路：v1→v6 →v3 →v2 →v1 显然，基本通路（回路）一定是简单通路（回路）。
反之不然。
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4
若通路(回路)中有边重复出现, 则称为复杂通路(回路).
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定理 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路， 则从vi到vj存在长度小于等于n1的通路.
推论 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路， 则一定存在vi到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单 回路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.
性质：
d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v
d(u,v)=d(v,u)
d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
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图的连通性的应用
在实际问题中, 除了考察一个图是否 连通外, 往往还要研究一个图连通的 程度, 作为某些系统的可靠性度量。
图的连通性在计算机网、通信网和 电力网等方面有着重要的应用。
始点，最后一条边的终点称为通路的终点。
当通路的终点和始点重合时，称为回路。
通路或回路中所含边数称为该通路或回路的长度。
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1、简单通路：如果通路中各边都不相同。
如简单通路：v1→v2 →v5 →v6 →v2 →v3 →v4长度为6
2、简单回路：如果回路中各边都不相同。
如简单回路：v1→v2 →v3 →v5 →v2 →v6 →v1长度为6
中, 所有圈的长度2.
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在两种意义下计算的圈个数
① 定义意义下
在无向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作2l个不同的 圈. 如v0v1v2v0 , v1v2v0v1 , v2v0v1v2看作3个不同的圈. 在有向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作l个不同的 圈.
② 同构意义下
所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.
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【例】 在一次国际会议中，由七人组成的小 组{a,b,c,d,e,f,g}中，a会英语、阿拉伯语；b 会英语、西班牙语；c会汉语、俄语；d会日 பைடு நூலகம்、西班牙语；e会德语、汉语和法语；f会 日语、俄语；g会英语、法语和德语。问： 他们中间任何二人是否均可对话（必要时可 通过别人翻译）？
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解 用顶点代表人，如果二人会同一种语言，则在代 表二人的顶点间连边，于是得到下图。问题归结为： 在这个图中，任何两个顶点间是否都存在着通路？ 由于下图是一个连通图，因此，必要时通过别人翻 译，他们中间任何二人均可对话。
0≤deg(v)≤n – q – 1,
因此deg(u) + deg(v)≤n – 2,
这与题设deg(u ) + deg(v)≥n – 1矛盾。
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短程线与距离
u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路 (u与v连通) u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长
度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.
a
b
c
e d
f
g
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点割集
记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV: 从G中删除V中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边
7.2 通路、回路与图的连通性
▪ 简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路 ▪ 连通图, 连通分支 ▪ 弱连通图, 单向连通图, 强连通图 ▪ 点割集与割点 ▪ 边割集与割边(桥)
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一、通路和回路
在图中，一条通路是顶点和边的交替序列，以顶点
开始，以顶点结束。其中，第一条边的终点与第二
条边的始点重合…...。第一条边的始点称为通路的
即:A上模3等价关系的关系图为:
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【例】 求证：若图中只有两个奇度数顶点，则二 顶点必连通。
证明 用反证法来证明。
设二顶点不连通，则它们必分属两个不同的连通 分支，而对于每个连通分支，作为G的子图只有一 个奇度数顶点，余者均为偶度数顶点，与握手定理 推论矛盾，因此，若图中只有两个奇度数顶点，则 二顶点必连通。