离散数学---通路、回路与图的连通性
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离散数学图的连通性判定方法介绍
离散数学图的连通性判定方法介绍离散数学是一门研究离散结构以及这些结构中的对象、性质和关系的学科。
其中，图论是离散数学中的一个重要分支，主要研究图的性质和关系。
图是由节点和边组成的结构，可以用于表示各种实际问题以及计算机科学中的数据结构。
在图的研究中，连通性是一个重要的概念，它描述了图中节点之间是否存在路径相连。
在实际应用中，判断图的连通性是一个常见的问题。
下面将介绍几种常用的图的连通性判定方法。
1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常用的图遍历算法，它通过栈来实现。
该算法从图的某个节点开始，首先访问该节点并将其标记为已访问，然后递归地访问它的邻居节点，直到所有可达的节点都被访问过。
如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种常用的图遍历算法，它通过队列来实现。
与深度优先搜索不同的是，广度优先搜索首先访问图中的某个节点，并将其标记为已访问。
然后访问该节点的所有邻居节点，并将未访问的邻居节点加入队列。
接下来，依次从队列中取出节点并访问其邻居节点，直到队列为空。
如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
3. 并查集并查集是一种数据结构，用于管理元素之间的动态连通性。
在图的连通性判定中，可以使用并查集来判断图中的节点是否连通。
首先，将每个节点都初始化为一个独立的集合。
然后，遍历图中的所有边，如果两个节点之间存在边，则将它们所在的集合合并为一个集合。
最后，判断图中是否只存在一个集合，如果是，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
4. 最小生成树最小生成树是一种保留了图连通性的树结构。
在连通性判定中，可以通过构建最小生成树来判断图的连通性。
首先，选择一个节点作为起始节点。
然后，从所有与当前树相连的边中选择权值最小的边，并将连接的节点加入树中。
重复该过程，直到树中包含了图中的所有节点。
如果最后构建的树包含图中的所有节点，则图是连通的。
离散数学 图论-通路与回路
§14.4
图的矩阵表示
一、图的矩阵表示 用矩阵表示图之前，必须将图的顶点或边标定成顺序，使其成为标定图 1、无向图的关联矩阵 1）定义14．24 设无向图G＝<V，E>，V＝{v1,v2,…，vn}。 E={e1,e2,e3，…em}，令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则称(mij)nxm为G的 关联矩阵，记作 M(G)． 2）关联矩阵的性质: 关联矩阵是n行（结点数）m列（边数）的矩阵
6、有关强连通图与单向连通图的判定 （1）定理： 设有向图D＝<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}． D是强连通图当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路． (2) 定理 设D是n阶有向图 D是单向连通图当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路．
例2．设有向图D是单向连通图，但不是强连通图，问在D中至少加几条边所 得图D’就能成为强连通图? 作业：P292 16、17、18、39、40（1、2）、43
(1）M(G)每列元素之和均为2，这正说明每条边关联两个顶点(环所关联的两个端 点重合)． ∑mij = 2 (j = 1，2，…，m) (2）M(G)第i行元素之和为结点vi的度数，i＝1，2，…n (3) 所有行的和（即矩阵所有元素之和）等于边数的2倍（该例10＝边数5的2倍 ）。 ∑d(vi)＝∑∑mij= ∑2 ＝ 2m，这个结果正是握手定理的内容（即各顶 点的度数之和等于边数的2倍） ． （4）第j列与第k列相同，当且仅当边ej与ek是平行边． (5) 某行i的和为0（即 ∑mij = 0）,当且仅当vi是孤立点． 2、有向图的关联矩阵 定义：设有向图D＝<V，E>中无环，V＝{v1，v2，…，vn}。 E＝{el，e2,…，em}， 令 1 vi为边ej的起点 mij = 0 vi为边ej不关联 －1 vi为边ej的终点 则称(mij)nxm，为D的关联矩阵，记作M(D）
离散数学第十四章图论基本概念
19
14.2 通路与回路
定义14.11 给定图G=<V,E>（无向或有向的），G中顶点与
边的交替序列 = v0e1v1e2…elvl，
vi1, vi 是 ei 的端点.
(1) 通路与回路： 为通路；若 v0=vl， 为回路，l 为回路长
度.
(2) 简单通路与回路：所有边各异， 为简单通——v的出度 d(v)——v的入度 d(v)——v的度或度数 (3) (G), (G) (4) +(D), +(D), (D), (D), (D), (D) (5) 奇顶点度与偶度顶点
8
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
v的闭邻N 域 D(v)ND(v){v}
9. 标定图与非标定图 10. 基图
6
多重图与简单图
定义14.3 (1) 无向图中的平行边及重数 (2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性） (3) 多重图 (4) 简单图 在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念
7
顶点的度数
定义14.4 (1) 设G=<V,E>为无向图, vV, d(v)——v的度数, 简称度 (2) 设D=<V,E>为有向图, vV,
n
d(vi ) 2m
i1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
n
n
d (v i)2 m , 且d (v i)d (vi) m
14.2 通路与回路
定义14.11 给定图G=<V,E>（无向或有向的），G中顶点与
边的交替序列 = v0e1v1e2…elvl，
vi1, vi 是 ei 的端点.
(1) 通路与回路： 为通路；若 v0=vl， 为回路，l 为回路长
度.
(2) 简单通路与回路：所有边各异， 为简单通——v的出度 d(v)——v的入度 d(v)——v的度或度数 (3) (G), (G) (4) +(D), +(D), (D), (D), (D), (D) (5) 奇顶点度与偶度顶点
8
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
v的闭邻N 域 D(v)ND(v){v}
9. 标定图与非标定图 10. 基图
6
多重图与简单图
定义14.3 (1) 无向图中的平行边及重数 (2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性） (3) 多重图 (4) 简单图 在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念
7
顶点的度数
定义14.4 (1) 设G=<V,E>为无向图, vV, d(v)——v的度数, 简称度 (2) 设D=<V,E>为有向图, vV,
n
d(vi ) 2m
i1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
n
n
d (v i)2 m , 且d (v i)d (vi) m
《离散数学》第6章 图的基本概念
E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集， 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边 为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边 称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中，
第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点 度数等基本概念，
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
4、简单图，完全图，子图， 补图的概念， 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。 有向图 D V , E E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
离散数学课件14.2-3通路与回路-连通性
connected graph
边割集
若存在边集子集E' E, 使G删除E'(将E'中的边从G中全删除)后, 所得子图的连通分支数与G的连通分支数 满足p(G-E')＞p(G), 而删除E'的任何真子集E''后,p(G-E'')＝p(G), 则称E'是G的一个边割集. 若边割集中只有一条边e,则称e为割边或桥. 注：完全图没有割边和割点.
当v0＝vl时,此通路称为回路.
connected graph
简单通路或迹
若Γ中的所有边e1,e2,···,el互不相同, 则称Γ为简单通路或一条迹. 若回路中的所有边互不相同,称此回 路为简单回路或一条闭迹.
connected graph
初级通路
若通路的所有顶点v0,v1···,vl互不相 同(从而所有边互不相同),则称此通 路为初级通路或一条路径. 若回路中,除v0＝vl外,其余顶点各不 相同,所有边也各不相同,则称此回 路为初级回路或圈. 长度为奇(偶)数的圈称为奇(偶)圈
通路
connected graph
给定图G＝<V,E>.
设G中顶点和边的交替序列为
Γ＝v0e1v1e2…elvl,若Γ满足如下条件: vi-1和vi是ei的端点(在G是有向图时,要求vi-1是ei 的始点,vi是ei的终点),i＝1,2,…,l,则称Γ为顶点v0 到vl的通路. v0和vl分别称为此通路的起点和终点,Γ中边的数 目l称为Γ的长度.
connected graph
有向图的连通性
易见:强连通性 单向连通性 弱连通性; 但反之 不真.反例如下:
a
c
a
强连通
d
图的通路与连通
v0e1v1e2v2…vk-1ekvk, 其中viVG, eiEG, 且 ei 的两个端点是vi-1和vi,(i=1,2,…,k)。 通路的两个特例
简单通路：v0e1v1e2v2…vk-1ekvk中，i,j, ij eiej 初级通路(路径): v0e1v1e2v2…vk-1ekvk中，i,j, ij
的初级回路。
8
可达性关系
定义：RcVGVG, u,vVG, <u,v>Rc 当且仅当 G中存在(u,v)通路。 如果约定，对G中任意顶点u，存在长度为0的(u,u)-通路，则无向图上
定义的Rc是等价关系。 Rc是VG上的相邻关系Ra的传递闭包
假如| A|n,则A上的关R系 的传递闭包是：
n
Ri RR2 Rn
5
g
9,h
21
S4
1,c
b
7 1
2 2
2,c
e
34 1
8
a
6,d 2
s c0 4
4
7
6,e f3
3
4
6
h 3,e
d
U4 4,c
5
g
9,h
22
求最短路的一个例子(续)
1
2
2
7 12
53 1
6
8 s0
4
24
7
6
3
3
3
4
6
4
5
9
23
求最短路的一个例子(续)
1
2
2
7 12
35 1
8
76
3
6
s0
3
4 24
14
求最短路的Dijkstra算法
算法步骤：
简单通路：v0e1v1e2v2…vk-1ekvk中，i,j, ij eiej 初级通路(路径): v0e1v1e2v2…vk-1ekvk中，i,j, ij
的初级回路。
8
可达性关系
定义：RcVGVG, u,vVG, <u,v>Rc 当且仅当 G中存在(u,v)通路。 如果约定，对G中任意顶点u，存在长度为0的(u,u)-通路，则无向图上
定义的Rc是等价关系。 Rc是VG上的相邻关系Ra的传递闭包
假如| A|n,则A上的关R系 的传递闭包是：
n
Ri RR2 Rn
5
g
9,h
21
S4
1,c
b
7 1
2 2
2,c
e
34 1
8
a
6,d 2
s c0 4
4
7
6,e f3
3
4
6
h 3,e
d
U4 4,c
5
g
9,h
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求最短路的一个例子(续)
1
2
2
7 12
53 1
6
8 s0
4
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4
6
4
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求最短路的一个例子(续)
1
2
2
7 12
35 1
8
76
3
6
s0
3
4 24
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求最短路的Dijkstra算法
算法步骤：
图的连通性_离散数学─图论初步
• 相关点
– 长度为0的通路由单个顶点组成。 – 不必区分多重边时，可以用相应顶点的序列表示通路。 – 回路：起点与终点相同，长度大于0。 – 简单通路： 边不重复，即， i, j, i j ei ej
通路（举例）
a
b
c
d
e
f
• 简单通路：a, d, c, f, e。 长度为4。 • 通路：a, b, e, d, a, b。 长度为5。 • 回路：b, c, f, e, b。长度为4。 • 不是通路：d, e, c, b。
路)
• u,v VD,均存在 (u,v)-有向通路和(v,u)-有向通路，则D
称为强连通有u向图。 (见下左u 图)
u
v
v
v
强连通的充分必要条件
• 有向图D是强连通的当且仅当D中的所有顶点在同
一个有向回路上。
– 证明： 显然 设VD={v1,v2,…,vn}，令 i是vi到vi+1的有向通路 (i=1,…,n-1)，令 n是vn到v1的有向通路，则 1，
假设这样的公共点中距离v最近的
是x(不妨假设它在P上)，则Q+wv 边以及P上的ux-段+P’上的xv-段是u
u,v之间两条中间点不相交的通路。
P
x
v
w Q
连通性的一般性质
• Menger定理（Whitney定理的推广）
– 图G是k-连通图 当且仅当 G中任意两点被至少k条除端
点外顶点不相交的路径所连接。
则称v是割
割点
(注意：只需考虑割点所在的连通分支，以下讨论不妨只 考虑连通图)
关于割点的三个等价命题
• 对于连通图，以下三个命题等价：
(1) v是割点。 (2) 存在V-{v}的划分{V1, V2}, 使 u∈V1, w∈V2, uw-通路均包含v。 (3) 存在顶点u,w(u≠v, w≠v)，使得任意的uw-通路均包含v。 – 证明： (1) (2): ∵v是割点，G-v至少存在两个连通分支，设其中一个的
– 长度为0的通路由单个顶点组成。 – 不必区分多重边时，可以用相应顶点的序列表示通路。 – 回路：起点与终点相同，长度大于0。 – 简单通路： 边不重复，即， i, j, i j ei ej
通路（举例）
a
b
c
d
e
f
• 简单通路：a, d, c, f, e。 长度为4。 • 通路：a, b, e, d, a, b。 长度为5。 • 回路：b, c, f, e, b。长度为4。 • 不是通路：d, e, c, b。
路)
• u,v VD,均存在 (u,v)-有向通路和(v,u)-有向通路，则D
称为强连通有u向图。 (见下左u 图)
u
v
v
v
强连通的充分必要条件
• 有向图D是强连通的当且仅当D中的所有顶点在同
一个有向回路上。
– 证明： 显然 设VD={v1,v2,…,vn}，令 i是vi到vi+1的有向通路 (i=1,…,n-1)，令 n是vn到v1的有向通路，则 1，
假设这样的公共点中距离v最近的
是x(不妨假设它在P上)，则Q+wv 边以及P上的ux-段+P’上的xv-段是u
u,v之间两条中间点不相交的通路。
P
x
v
w Q
连通性的一般性质
• Menger定理（Whitney定理的推广）
– 图G是k-连通图 当且仅当 G中任意两点被至少k条除端
点外顶点不相交的路径所连接。
则称v是割
割点
(注意：只需考虑割点所在的连通分支，以下讨论不妨只 考虑连通图)
关于割点的三个等价命题
• 对于连通图，以下三个命题等价：
(1) v是割点。 (2) 存在V-{v}的划分{V1, V2}, 使 u∈V1, w∈V2, uw-通路均包含v。 (3) 存在顶点u,w(u≠v, w≠v)，使得任意的uw-通路均包含v。 – 证明： (1) (2): ∵v是割点，G-v至少存在两个连通分支，设其中一个的
离散数学第五版第五章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
称+(G)，+(G)，－(G)，－(G)分别为G的最大出度、 最小出度、最大入度和最小入度。
12
5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
21
5.1 无向图及有向图
23
5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
24
5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
25
第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
12
5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
21
5.1 无向图及有向图
23
5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
24
5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
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第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
离散数学CH04_图论_路与连通性
4.3 连通图
证明：
⑴如果G是不连通的，由点连通度和边连通度的定义有
k(G)=(G)=0， 所以 k(G)≤(G)≤ (G)
4.3 连通图
⑵如果G是连通图。 ①先证明(G)≤ (G) 如果G是平凡图，(G)=0≤(G)，即(G)≤ (G)，如果 G是非平凡图，设n=(G)=mindeg(v)|vV，则存在 G的一个结点v，它关联了n条边，而其它结点关联的边 数大于等于n，将v关联的这n条边删除，G成为不连通 的。从而这n条边或这n条边中的几条边组成一个边割集 ，即存在一个边割集的基数小于等于n，所以 min{|E 1| | E 1是G的边割集}≤n=min{deg(v) | vV }，即 (G)≤ (G)
的交替序列L：v0e1v1e2v2…envn叫做v0到vn的
路。其中vi-1与vi是ei的端点，i=1,…,n。
v0和vn分别叫做路L的始点和终点。
路L中边的条数叫做该路的长度。
4.2 路和回路
例如， L1：v5e8v4e5v2e6v5e7v3 是从v5到v3的路，v5 是始点，v3是终点，长度为4。 L2：v1e1v2e3v3 是从v1到v3的路，v1是始点， v3是终点，长度为2。
e=(u,v)仍是桥。此时再删除u或v，就必产生了一个不连
通图，故k(G)≤(G) 由⑴和⑵得k(G)≤(G)≤ (G)
4.3 连通图 例 请求出下图的(G), K(G), (G)
v1
v2
v5
v4
(G) = 2 K(G) = 2 (G ) = 2
4.3 连通图
画出一个<<的无向简单连通图
例 试验证下列边集合是否为割集 v
1
4.3 连通图
v5
CH7 图的基本概念 2 3 通路、回路、图的连通性
{e6},{e5},{e2,e3},{e1,e2},{e3 ,e4},{e1,e4},{e1,e3},{e2,e4} 都是割集， e6,e5是桥。
有向图的连通性
定义 设D＝<V,E>为一个有向图。vi,vj∈V，若从 vi到vj存在通路，则称vi可达vj，记作vi→vj， 规定vi总是可达自身的，即vi→vi。 若vi→vj且vj→vi，则称vi与vj是相互可达的，记 作vi vj。 规定vivi。
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,· ,vn},E={e1,e2,· ,em}, · · · ·
令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则称(mij)n×m为G的 关联矩阵，记为M(G)。
性质：P163
2.有向图的关联矩阵
设简单有向图
G=<V,E>,V={v1,v2,·· n},E={e1,e2,·· m}, 则称 ·,v ·,e (mij)n×m为G的关联矩阵，记为M(G)。其中，
性质：P164
3. 图的邻接矩阵
设图
G=<V,E>,V={v1,v2,·· n},E={e1,e2,·· m}, ·,v ·,e 则称(aij)n×m为G的邻接矩阵，记为A(G)。 其中， aij为vi邻接(到)vj的边的条数.
0 2 2 0 1 1 0 0
1 1 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
7.3 图的矩阵表示
图的表示：
数学定义 图形表示 矩阵表示 便于用代数知识来研究图的性质 便于用计算机处理 矩阵的行列有固定的顺序，因此在用矩阵表示图之 前，必须将图的顶点和边（如果需要）编号。 本节学习： • 图的关联矩阵 • 图的邻接矩阵 • 有向图的可达矩阵
有向图的连通性
定义 设D＝<V,E>为一个有向图。vi,vj∈V，若从 vi到vj存在通路，则称vi可达vj，记作vi→vj， 规定vi总是可达自身的，即vi→vi。 若vi→vj且vj→vi，则称vi与vj是相互可达的，记 作vi vj。 规定vivi。
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,· ,vn},E={e1,e2,· ,em}, · · · ·
令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则称(mij)n×m为G的 关联矩阵，记为M(G)。
性质：P163
2.有向图的关联矩阵
设简单有向图
G=<V,E>,V={v1,v2,·· n},E={e1,e2,·· m}, 则称 ·,v ·,e (mij)n×m为G的关联矩阵，记为M(G)。其中，
性质：P164
3. 图的邻接矩阵
设图
G=<V,E>,V={v1,v2,·· n},E={e1,e2,·· m}, ·,v ·,e 则称(aij)n×m为G的邻接矩阵，记为A(G)。 其中， aij为vi邻接(到)vj的边的条数.
0 2 2 0 1 1 0 0
1 1 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
7.3 图的矩阵表示
图的表示：
数学定义 图形表示 矩阵表示 便于用代数知识来研究图的性质 便于用计算机处理 矩阵的行列有固定的顺序，因此在用矩阵表示图之 前，必须将图的顶点和边（如果需要）编号。 本节学习： • 图的关联矩阵 • 图的邻接矩阵 • 有向图的可达矩阵
离散数学--第7章 图论-2(路与连通)
u1 v4 v1 v4 v3 u4 v2 u4 u3 G2 v3 u u13 v1 u2 v2 u2
15
连通图可以看成是只有一个连通分支的图，即 w(G ) 1 。
返回 结束
7.2.2 图的连通性
4、有向图的连通
强连通—— G 中任一对顶点都互相可达 (双向) 连通 单向连通—— G 中任一对顶点至少一 向可达
路
10
(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
n 1的路。
证明思路：多于n-1条边的路中必有重复出现的结点，反 复删去夹在两个重复结点之间的边之后，剩余的边数不会 超过n-1条边。
v n 在一个 阶图中，若从顶点 i 到 v j 存在 推论：
通路(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
返回 结束
7.2.2 图的连通性
7.2.2 图的j 存在路，称 有向图中，从 vi 到 v j 存在路，称 (注意方向) 2、短程线，距离。 短程线——连通或可达的两点间长度最短的 路。 距离——短程线的长度，
12
vi 到 v j 是 连通的(双向)。 vi 可达 v j 。
1 v1e1v2e5v5e7v6 2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路
简单通路
复杂通路
返回 结束
7.2.1 路
例1、(2)
7
图(2)中过 v 2 的回路 (从 v 2 到 v 2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2 2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
7.2 路与连通
内容：图的通路，回路，连通性。 重点：
15
连通图可以看成是只有一个连通分支的图，即 w(G ) 1 。
返回 结束
7.2.2 图的连通性
4、有向图的连通
强连通—— G 中任一对顶点都互相可达 (双向) 连通 单向连通—— G 中任一对顶点至少一 向可达
路
10
(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
n 1的路。
证明思路：多于n-1条边的路中必有重复出现的结点，反 复删去夹在两个重复结点之间的边之后，剩余的边数不会 超过n-1条边。
v n 在一个 阶图中，若从顶点 i 到 v j 存在 推论：
通路(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
返回 结束
7.2.2 图的连通性
7.2.2 图的j 存在路，称 有向图中，从 vi 到 v j 存在路，称 (注意方向) 2、短程线，距离。 短程线——连通或可达的两点间长度最短的 路。 距离——短程线的长度，
12
vi 到 v j 是 连通的(双向)。 vi 可达 v j 。
1 v1e1v2e5v5e7v6 2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路
简单通路
复杂通路
返回 结束
7.2.1 路
例1、(2)
7
图(2)中过 v 2 的回路 (从 v 2 到 v 2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2 2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
7.2 路与连通
内容：图的通路，回路，连通性。 重点：
离散数学14.2 通路、回路 + 14.3 图的连通性
13
定义14.15（短程线）设u，v为无向图G中任意两个 顶点，若uv，称u，v之间长度最短的通路为u，v之 间的短程线，短程线的长度称为u，v之间的距离，记 作d(u,v)。当u，v不连通时，规定d(u,v)=∞。
例如：在完全图Kn（n2）中，任何两个顶点之间 的距离都是1；
而在零图Nn（n2）中，任何两个顶点之间的距离 都是∞。
5
例14.4 无向完全图Kn（n3）中有几种非同构的圈？ 解：
长度相同的圈都是同构的， 因而只有长度不同的圈才是非同构的。 易知Kn（n3）中含长度为3，4，…，n的圈， 所以Kn（n3）中有n-2种非同构的圈。
6
例14.5无向完全图K3的顶点依次标定为a，b，c。在 同构意义下和定义意义下K3中各有多少个不同的圈。
K3,3
22
例：
K3,3
K2,3
23
例：
定理14.10（二部图的判别定理） 一个无向图G是 二部图当且仅当G中无奇圈。
24
19
例：如下图
（1）Leabharlann （2）（1）是强连通图 （2）是单向连通图 （3）是弱连通图。
（3）
20
强连通图和单向连通图的判别定理
定理14.8 有向图D是强连通图当且仅当D中存在经 过每个顶点至少一次的回路。
定理14.9 有向图D是单向连通图当且仅当D中存在 经过每个顶点至少一次的通路。
（1）
（2）
图（1）存在经过每个顶点的回路，所以是强连通图 图（2）存在经过每个顶点的通路，所以是单向连通图
18
定义14.22（弱、单向、强连通图） 在一个有向图D=<V，E>中，如果D的基图是连通图，
则称D是弱连通图。 如果对于任意的两个顶点u，v，u→v与v→u至少
定义14.15（短程线）设u，v为无向图G中任意两个 顶点，若uv，称u，v之间长度最短的通路为u，v之 间的短程线，短程线的长度称为u，v之间的距离，记 作d(u,v)。当u，v不连通时，规定d(u,v)=∞。
例如：在完全图Kn（n2）中，任何两个顶点之间 的距离都是1；
而在零图Nn（n2）中，任何两个顶点之间的距离 都是∞。
5
例14.4 无向完全图Kn（n3）中有几种非同构的圈？ 解：
长度相同的圈都是同构的， 因而只有长度不同的圈才是非同构的。 易知Kn（n3）中含长度为3，4，…，n的圈， 所以Kn（n3）中有n-2种非同构的圈。
6
例14.5无向完全图K3的顶点依次标定为a，b，c。在 同构意义下和定义意义下K3中各有多少个不同的圈。
K3,3
22
例：
K3,3
K2,3
23
例：
定理14.10（二部图的判别定理） 一个无向图G是 二部图当且仅当G中无奇圈。
24
19
例：如下图
（1）Leabharlann （2）（1）是强连通图 （2）是单向连通图 （3）是弱连通图。
（3）
20
强连通图和单向连通图的判别定理
定理14.8 有向图D是强连通图当且仅当D中存在经 过每个顶点至少一次的回路。
定理14.9 有向图D是单向连通图当且仅当D中存在 经过每个顶点至少一次的通路。
（1）
（2）
图（1）存在经过每个顶点的回路，所以是强连通图 图（2）存在经过每个顶点的通路，所以是单向连通图
18
定义14.22（弱、单向、强连通图） 在一个有向图D=<V，E>中，如果D的基图是连通图，
则称D是弱连通图。 如果对于任意的两个顶点u，v，u→v与v→u至少
离散数学的连通性基础知识
离散数学的连通性基础知识离散数学是研究离散对象及其性质、结构、关系和操作的数学分支。
而离散数学中连通性是一个重要的概念，用于描述图论、算法、网络等领域中对象之间的联通性质。
本文将介绍离散数学中连通性的基础知识，包括连通图、连通关系、路径等概念及相关性质。
一、连通图在图论中，一个图G被称为连通图，当且仅当任意两个顶点之间都存在一条路径。
具体而言，对于图G=(V,E)，其中V是顶点的集合，E是边的集合，若对于任意两个顶点v和u，存在一条路径连接它们，则称图G是连通的。
连通图可以进一步分为强连通图和无向连通图。
强连通图是指有向图中，任意两个顶点之间都存在一条有向路径，即无论从哪一个顶点出发都可以到达其他任意一个顶点。
无向连通图是指无向图中，任意两个顶点之间都存在一条无向路径，即无论选择哪一条边或者路径，都可以从一个顶点到达另一个顶点。
一个具有n个顶点的完全图K_n是一个连通图，其中任意两个顶点之间都存在一条边。
二、连通关系在集合论中，连通关系是用来描述集合中元素之间的连通性质。
给定一个集合S和一个关系R，如果对于集合S中的任意两个元素x和y，存在一个元素序列x_1, x_2, ..., x_k，使得x=x_1, y=x_k，并且对于序列中的任意相邻元素x_i和x_{i+1}，(x_i, x_{i+1})\in R，则称关系R是S上的连通关系。
连通关系可以用来描述图中顶点之间的连通性质。
对于图G=(V,E)，其中V是顶点的集合，E是边的集合。
我们可以定义一个关系R，使得对于任意两个顶点v和u，(v, u)\in R当且仅当v和u之间存在一条路径。
这样我们就可以利用连通关系R来刻画图G中顶点之间的连通性。
三、路径路径是指在图中从一个顶点到另一个顶点的一条经过的边的序列。
如果存在一条路径从顶点v到顶点u，我们可以称v是u的先驱，u是v的后继。
路径的长度是指路径上所经过的边的数量。
最短路径是指在图中两个顶点之间路径长度最短的路径。
离散第18讲 路径、回路及连通性
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1 图的基础知识 2 路径、回路及连通性 3 欧拉图与哈密顿图 4 图的矩阵表示
《离散数学》第18讲 路径、回路及连通性 Page 112 to 117
拟路径及长度
定义：图G的顶点v1到顶点vl的拟路径是指以下顶点与边的序列： v1 , e1, v2, e2, v3, …, vl-1, el-1, vl v1 ,v2 ,v3 ,… ,vl-1 ,vl为G的顶点，e1 ,e2 ,… ,el-1 为G的边 ei( i= 1,2, … ,l-1 )以vi及vi+1为端点 对有向图G，ei以vi为起点，以vi+1为终点
证明：若G为不连通图或单一孤立结点的图，那么据定义知:
χ(G) = λ(G) = 0≤δ(G) 。 若G为完全图Kn，那么χ(G) = λ(G) = δ(G) = n – 1 。 对其它情况：先证λ(G) ≤δ(G)。 由于度数最小的那个结点上关联的所有边被删除后，G显然不 再连通，因而λ(G)至多是δ(G)，即λ(G) ≤δ(G)。
证明：充分性是显然的。 必要性：设顶点v是简单连通图G的割点，如果不存在两个 顶点v1，v2，使v1到v2的通路都经过顶点v，那么对任意两 个顶点v1，v2，都有一条通路不经过顶点v，因而删除顶点v 不能使G不连通，与v是简单连通图G的割点矛盾。故G中必 存在两个顶点v1，v2，使v1到v2的通路都经过顶点v 。
第18讲 路径、回路及连通性
-20-
边连通度
定义：λ(G)称为图G的边连通度，定义如下：
0
当G非连通图时
(G) 0
当G为一孤立结点时
min{ S : S为G的割集} 否则
v1
v4 v2
v5 v7
1 图的基础知识 2 路径、回路及连通性 3 欧拉图与哈密顿图 4 图的矩阵表示
《离散数学》第18讲 路径、回路及连通性 Page 112 to 117
拟路径及长度
定义：图G的顶点v1到顶点vl的拟路径是指以下顶点与边的序列： v1 , e1, v2, e2, v3, …, vl-1, el-1, vl v1 ,v2 ,v3 ,… ,vl-1 ,vl为G的顶点，e1 ,e2 ,… ,el-1 为G的边 ei( i= 1,2, … ,l-1 )以vi及vi+1为端点 对有向图G，ei以vi为起点，以vi+1为终点
证明：若G为不连通图或单一孤立结点的图，那么据定义知:
χ(G) = λ(G) = 0≤δ(G) 。 若G为完全图Kn，那么χ(G) = λ(G) = δ(G) = n – 1 。 对其它情况：先证λ(G) ≤δ(G)。 由于度数最小的那个结点上关联的所有边被删除后，G显然不 再连通，因而λ(G)至多是δ(G)，即λ(G) ≤δ(G)。
证明：充分性是显然的。 必要性：设顶点v是简单连通图G的割点，如果不存在两个 顶点v1，v2，使v1到v2的通路都经过顶点v，那么对任意两 个顶点v1，v2，都有一条通路不经过顶点v，因而删除顶点v 不能使G不连通，与v是简单连通图G的割点矛盾。故G中必 存在两个顶点v1，v2，使v1到v2的通路都经过顶点v 。
第18讲 路径、回路及连通性
-20-
边连通度
定义：λ(G)称为图G的边连通度，定义如下：
0
当G非连通图时
(G) 0
当G为一孤立结点时
min{ S : S为G的割集} 否则
v1
v4 v2
v5 v7
图的连通性_离散数学─图论初步
( κ(G)=k： k-连通图，且存在k个顶点，删除它们就不连
通。)
图的边连通度
(注意：若G是顶点数不少于2的连通图，删除足够数量的 边使得图变成不连通。)
• 类似地，使非平凡连通图G变成不连通 需要删除的最 少边数称为图G的边连通度。记为 (G)。
连通图“连接的牢固度”不一样
• 图G1中删除任意一条边都不连通了。 • 图G2则至少删除两条边，或删除中间那个顶点，才不连通。 • 图G3删除任意一个点依然连通。 • 图G4至少要删除四条边才可能不连通，且不可能通过删除
顶点使其不连通。
G1
G2
G3
G4
图的(点)连通度
(注意：若G是顶点数不少于2的非完全图，删除足够数量的 点一定能使图变成不连通图或者平凡图。)
通路的定义（有向图）
• 定义：有向图G中从v0到vn的长度为n的通路是G的n
条边e1,…, en的序列，满足下列性质
– 存在vi V ，使得vi-1和vi分别是ei的起点和终点 (1 i n)。
• 相关点
– 长度为0的通路由单个顶点组成。 – 不必区分多重边时，可以用相应顶点的序列表示通路。 – 回路：起点与终点相同，长度大于0。 – 简单通路： 边不重复，即， i, j, i j ei ej
• 同构图的不变量：长度为k的回路的存在性。
– B=U A U-1 相等？）
Bk=U Ak U-1（对角线元素之和
通路与同构
u1
u6
u2
v1
v6
v2
u5
u3
v5
u4
u2
u1 u5
u3 u4
v1 v5
v3 v4 v2
v3 v4
无向图的连通性
通。)
图的边连通度
(注意：若G是顶点数不少于2的连通图，删除足够数量的 边使得图变成不连通。)
• 类似地，使非平凡连通图G变成不连通 需要删除的最 少边数称为图G的边连通度。记为 (G)。
连通图“连接的牢固度”不一样
• 图G1中删除任意一条边都不连通了。 • 图G2则至少删除两条边，或删除中间那个顶点，才不连通。 • 图G3删除任意一个点依然连通。 • 图G4至少要删除四条边才可能不连通，且不可能通过删除
顶点使其不连通。
G1
G2
G3
G4
图的(点)连通度
(注意：若G是顶点数不少于2的非完全图，删除足够数量的 点一定能使图变成不连通图或者平凡图。)
通路的定义（有向图）
• 定义：有向图G中从v0到vn的长度为n的通路是G的n
条边e1,…, en的序列，满足下列性质
– 存在vi V ，使得vi-1和vi分别是ei的起点和终点 (1 i n)。
• 相关点
– 长度为0的通路由单个顶点组成。 – 不必区分多重边时，可以用相应顶点的序列表示通路。 – 回路：起点与终点相同，长度大于0。 – 简单通路： 边不重复，即， i, j, i j ei ej
• 同构图的不变量：长度为k的回路的存在性。
– B=U A U-1 相等？）
Bk=U Ak U-1（对角线元素之和
通路与同构
u1
u6
u2
v1
v6
v2
u5
u3
v5
u4
u2
u1 u5
u3 u4
v1 v5
v3 v4 v2
v3 v4
无向图的连通性
离散数学---通路、回路与图的连通性
2021/6/7
16
图的连通性的应用
在实际问题中, 除了考察一个图是否 连通外, 往往还要研究一个图连通的 程度, 作为某些系统的可靠性度量。
图的连通性在计算机网、通信网和 电力网等方面有着重要的应用。
2021/6/7
17
点割集
在连通图中，如果删去一些顶点或边，则 可能会影响图的连通性。所谓从图中删去 某个顶点v，就是将顶点v和与v关联的所 有的边均删去；删除边只需将该边删除
设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的 连通分支, 其个数记作p(G)=k. G是连通图 p(G)=1
2021/6/7
10
设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
即:A上模3等价关系的关系图为:
2021/6/7
2021/6/7
7
定理 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的通路.
推论 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路， 则一定存在vi到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单 回路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.
7.2 通路、回路与图的连通性
▪ 简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路 ▪ 连通图, 连通分支 ▪ 弱连通图, 单向连通图, 强连通图 ▪ 点割集与割点 ▪ 边割集与割边(桥)
2021/6/7
1
一、通路和回路
在图中，一条通路是顶点和边的交替序列，以顶点
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.
17
点割集
在连通图中，如果删去一些顶点或边，则 可能会影响图的连通性。所谓从图中删去 某个顶点v，就是将顶点v和与v关联的所 有的边均删去；删除边只需将该边删除
.
18
例如”国际会议对话”任何一人请假，图G-v还 连通，小组对话仍可继续进行，但如果f、g二 人同时不在，G-{f，g}是分离图，则小组中的 对话无法再继续进行。
即:A上模3等价关系的关系图为:
.
11
【例】 求证：若图中只有两个奇度数顶点，则二 顶点必连通。
证明 用反证法来证明。
设二顶点不连通，则它们必分属两个不同的连通 分支，而对于每个连通分支，作为G的子图只有一 个奇度数顶点，余者均数顶点，则 二顶点必连通。
0≤deg(v)≤n – q – 1,
因此deg(u) + deg(v)≤n – 2,
这与题设deg(u ) + deg(v)≥n – 1矛盾。
.
15
短程线与距离
u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路 (u与v连通) u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长
度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.
性质：
d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v
d(u,v)=d(v,u)
d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
.
16
图的连通性的应用
在实际问题中, 除了考察一个图是否 连通外, 往往还要研究一个图连通的 程度, 作为某些系统的可靠性度量。
图的连通性在计算机网、通信网和 电力网等方面有着重要的应用。
a
b
c
e d
f
g
.
19
点割集
记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV: 从G中删除V中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边
7.2 通路、回路与图的连通性
▪ 简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路 ▪ 连通图, 连通分支 ▪ 弱连通图, 单向连通图, 强连通图 ▪ 点割集与割点 ▪ 边割集与割边(桥)
.
1
一、通路和回路
在图中，一条通路是顶点和边的交替序列，以顶点
开始，以顶点结束。其中，第一条边的终点与第二
条边的始点重合…...。第一条边的始点称为通路的
.
5
关于通路与回路的几点说明
表示方法 ① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5
环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图
连通图: 平凡图, 任意两点都连通的图 连通分支: V关于R的等价类的导出子图
设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的 连通分支, 其个数记作p(G)=k.
G是连通图 p(G)=1
.
10
设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
.
12
【例】 在一次国际会议中，由七人组成的小 组{a,b,c,d,e,f,g}中，a会英语、阿拉伯语；b 会英语、西班牙语；c会汉语、俄语；d会日 语、西班牙语；e会德语、汉语和法语；f会 日语、俄语；g会英语、法语和德语。问： 他们中间任何二人是否均可对话（必要时可 通过别人翻译）？
.
13
解 用顶点代表人，如果二人会同一种语言，则在代 表二人的顶点间连边，于是得到下图。问题归结为： 在这个图中，任何两个顶点间是否都存在着通路？ 由于下图是一个连通图，因此，必要时通过别人翻 译，他们中间任何二人均可对话。
始点，最后一条边的终点称为通路的终点。
当通路的终点和始点重合时，称为回路。
通路或回路中所含边数称为该通路或回路的长度。
.
2
1、简单通路：如果通路中各边都不相同。
如简单通路：v1→v2 →v5 →v6 →v2 →v3 →v4长度为6
2、简单回路：如果回路中各边都不相同。
如简单回路：v1→v2 →v3 →v5 →v2 →v6 →v1长度为6
a d
b
c
f
g
.
e
14
定理 在n阶简单图G, 如果对G的每对顶点u和v, deg(u) + deg(v)≥ n–1, 则G是连通图。
证明 假设G不连通, 则G至少有两个分图。
设其中一个分图含有q个顶点, 而其余各分图共含有 n– q个顶点。
在这两部分中各取一个顶点u和v, 则
0≤deg(u)≤q – 1,
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3
3、基本通路：如果通路中各个顶点都不相同。 如基本通路：v1→v6 →v3 →v4长度为3
4、基本回路：如果回路中各个顶点都不相同。
如基本回路：v1→v6 →v3 →v2 →v1 显然，基本通路（回路）一定是简单通路（回路）。
反之不然。
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4
若通路(回路)中有边重复出现, 则称为复杂通路(回路).
中, 所有圈的长度2.
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6
在两种意义下计算的圈个数
① 定义意义下
在无向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作2l个不同的 圈. 如v0v1v2v0 , v1v2v0v1 , v2v0v1v2看作3个不同的圈. 在有向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作l个不同的 圈.
② 同构意义下
所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.
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8
二、图的连通性：
在图G中，如果A到B存在一条通路，则称A到B是可达的。 1、无向图的连通性 如果无向图中，任意两点是可达的，图为连通图。否则为 不连通图。 当图是不连通时，定是由几个连通子图构成。称这样的连 通图是连通分支。
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9
无向图的连通性
设无向图G=<V,E>,
u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通. 连通关系 R={<u,v>| u,v V且uv}是V上的等价关系
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7
定理 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路， 则从vi到vj存在长度小于等于n1的通路.
推论 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路， 则一定存在vi到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单 回路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.