离散数学 通路、回路与图的连通性

桥梁或者电话线，e≥n-1。为了使n个站之间 的连接不容易被破坏，必须构造一个具有n个 顶点e条边的连通图，并使其具有最大的点连
通度和边连通度。按图中G1的连接法，如果3 个站被破坏，或者3条铁路被破坏，余下的站 仍能继续相互联系，也就是仍具有连通性。
但按图中G2的连接法，如果v站被破坏，余下
的站就不能保持连通。
割点或割边都是图连通的关键部位, 并不是所有的图 都有割点或割边。
没有割点和割边的连通图, 需要去掉几条边或几个点,
图才会变得不连通。
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几点说明： Kn无点割集 n阶零图既无点割集，也无边割集. 若G连通，E为边割集，则p(GE)=2 若G连通，V为点割集，则p(GV)2
一个连通图G，若存在点割集和边割集，一般 并不唯一，且各个点（边）割集中所含的点 （边）的个数也不尽相同。我们用含元素个数 最少的点割集和边割集来刻画它的连通度
4、基本回路：如果回路中各个顶点都不相同。
如基本回路：v1→v6 →v3 →v2 →v1 显然，基本通路（回路）一定是简单通路（回路）。
反之不然。
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若通路(回路)中有边重复出现, 则称为复杂通路(回路).
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关于通路与回路的几点说明
表示方法 ① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5
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定理 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的初级通路. 定理 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路， 则一定存在vi到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单 回路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.
环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图
中, 所有圈的长度2.
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在两种意义下计算的圈个数 ① 定义意义下 在无向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作2l个不同的 圈. 如v0v1v2v0 , v1v2v0v1 , v2v0v1v2看作3个不同的圈. 在有向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作l个不同的 圈. ② 同构意义下 所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.
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解 用顶点代表人，如果二人会同一种语言，则在代 表二人的顶点间连边，于是得到下图。问题归结为： 在这个图中，任何两个顶点间是否都存在着通路？ 由于下图是一个连通图，因此，必要时通过别人翻 译，他们中间任何二人均可对话。
a
b
d f
c g
e
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定理 在n阶简单图G, 如果对G的每对顶点u和v, deg(u) + deg(v)≥ n–1, 则G是连通图。
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图中
v7
v4
e1
e4
e6
e7
v1
e3
v3
e8
v6
e2
v2 e5
v5 e9
{e1, e2}, {e1, e3, e4}, {e6}, {e7, e8}, {e2, e3, e4},
{e2, e3, e5}, {e4, e5}, {e7, e9}, {e8, e9},等都是割集, 其中{e6} 为桥。
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短程线与距离
u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路 (u与v连通) u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长
度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.
性质： d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v d(u,v)=d(v,u) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
(b)
(c)
1）强连通图：有向图中，任意A、B是互为可达的。如图(a)
2）单向连通图：在有向图中，任意两点A、B存在着A到B的通 路
或存在着B到A的通路。如图(b) 3）显弱然连：通在图有：向在图有中向，图如中果，有如一果条其通底过图图是中无所向有连点通的图回。路如，图(c)
则此图是强连通的。 如果有一条通过图中所有点的通路，
证明 用反证法来证明。 设二顶点不连通，则它们必分属两个不同的连通
分支，而对于每个连通分支，作为G的子图只有一 个奇度数顶点，余者均为偶度数顶点，与握手定理 推论矛盾，因此，若图中只有两个奇度数顶点，则 二顶点必连通。
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【例】 在一次国际会议中，由七人组成的小 组{a,b,c,d,e,f,g}中，a会英语、阿拉伯语； b会英语、西班牙语；c会汉语、俄语；d会 日语、西班牙语；e会德语、汉语和法语；f 会日语、俄语；g会英语、法语和德语。问： 他们中间任何二人是否均可对话（必要时可 通过别人翻译）？
定义 设有图G = (V, E), 若k(G)≥h, 则称G是h-连通 的; 若(G)≥h, 则称G是h-边连通的。
例 上图所示的图是1-连通的, 是2-边连通的。
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简单图都是1-连通的和1-边连通的。 n阶完全图是(n–1)-连通的和(n–1)-边连通的。 对于任何n阶连通图, 当且仅当没有割点时, 它是2-连通
证明 假设G不连通, 则G至少有两个分图。 设其中一个分图含有q个顶点, 而其余各分图共含有 n– q个顶点。 在这两部分中各取一个顶点u和v, 则
0≤deg(u)≤q – 1,
0≤deg(v)≤n – q – 1, 因此deg(u) + deg(v)≤n – 2, 这与题设deg(u ) + deg(v)≥n – 1矛盾。
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图的连通性的应用 在实际问题中, 除了考察一个图是否
连通外, 往往还要研究一个图连通的 程度, 作为某些系统的可靠性度量。 图的连通性在计算机网、通信网和 电力网等方面有着重要的应用。
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点割集
在连通图中，如果删去一些顶点或边，则 可能会影响图的连通性。所谓从图中删去 某个顶点v，就是将顶点v和与v关联的所 有的边均删去；删除边只需将该边删除
此时 k(G) = (G) = 1, (*) 式成立。
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若 (G)≥2, 则必可删去某 (G)边, 使G不连通,而删 去其中(G) – 1条边, G仍然连通, 且有一条桥e = {u, v}。
对 (G) – 1条边中的每一条边都选取一个不同于u, v的顶点, 把这些 (G) – 1个顶点删去则必至少删 去 (G) – 1边。
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二、图的连通性：
在图G中，如果A到B存在一条通路，则称A到B是可达的。 1、无向图的连通性 如果无向图中，任意两点是可达的，图为连通图。否则为 不连通图。 当图是不连通时，定是由几个连通子图构成。称这样的连 通图是连通分支。
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无向图的连通性
设无向图G=<V,E>, u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通. 连通关系 R={<u,v>| u,v V且uv}是V上的等价关系 连通图: 平凡图, 任意两点都连通的图 连通分支: V关于R的等价类的导出子图
设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的 连通分支, 其个数记作p(G)=k. G是连通图 p(G)=1
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设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
即:A上模3等价关系的关系图为:
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【例】 求证：若图中只有两个奇度数顶点，则二 顶点必连通。
e6
v4 e7
e8 v6
v5 e9
例 {v2, v7}, {v3}, {v4}为点割集, {v3}, {v4}均为割点
例 在下图中的那些是割点
{v3}和{v2}都是割点, {v2, v3,v4},{v1, v2, v4,v5}都不是点割集。
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边割集
定义 设无向图G=<V,E>, EE, 若p(GE)>p(G)且EE, p(GE)=p(G), 则称E为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e 为割边或桥. 在下图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集， e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？
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例如”国际会议对话”任何一人请假，图G-v还 连通，小组对话仍可继续进行，但如果f、g二 人同时不在，G-{f，g}是分离图，则小组中的 对话无法再继续进行。
a
b
c
e d
f
g
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点割集
记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV: 从G中删除V中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边
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下面从数量观点来描述图的连通性。 定义 设G = (V, E)是连通图,
k(G) = min{| V | | V是G的点割集}称为G的点连通
度;
(G) = min{| E | | E是G的边割集}称为G的边连
通度。
图G的点连通度是为了使G成为一个非连通图,需 要删除的点的最少数目。
定义 设无向图G=<V,E>, VV, 若p(GV)>p(G)且
VV, p(GV)=p(G), 则称V为G的点割集. 若
{v}为点割集, 则称v为割点.
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点割集(续)
例 {v1,v4}, {v6}是点割集, v6是割点.
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v1
e1 e2
v7 e4 e3
v3
v2 e5
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定理 对任意的图G = (V, E),
有 k(G)≤ (G)≤ (G)
(*)
证Βιβλιοθήκη Baidu 若G是平凡图或非连通图,
则 k(G) = (G) = 0, 上式显然成立。
若G是连通图, 则因每一顶点的所有关联边构成一 个边割集,
所以 (G)≤(G)。
下面证明k (G)≤ (G)。
若 (G) = 1, 则G有一割边,
的; 当且仅当没有割边时, 它是2-边连通的。 若图G是h-连通的, 则G也是h-边连通的。(k(G)≤ (G)) 由定义可知, 若h1>h2, 图G是h1-连通的, 则G也是h2-连
通的。 若h1>h2, 图G是h1-边连通的, 则G也是h2-边连通。 一个图的连通度越大, 它的连通性能就越好。
7.2 通路、回路与图的连通性
▪ 简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路 ▪ 连通图, 连通分支 ▪ 弱连通图, 单向连通图, 强连通图 ▪ 点割集与割点 ▪ 边割集与割边(桥)
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一、通路和回路
在图中，一条通路是顶点和边的交替序列，以顶点 开始，以顶点结束。其中，第一条边的终点与第二 条边的始点重合…...。第一条边的始点称为通路的 始点，最后一条边的终点称为通路的终点。 当通路的终点和始点重合时，称为回路。 通路或回路中所含边数称为该通路或回路的长度。
若剩下的图是不连通的, 则k(G)≤(G)–1≤ (G); 若剩下的图是连通的, 则e仍是桥, 此时再删去u和v,
就必产生一个非连通图, 也有k (G)≤ (G)。 综上所述, 对任意的图G, 有k (G)≤ (G)≤ (G)。
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例 在下图中, k(G) = 1, (G) = 2, (G) = 3
2
1、简单通路：如果通路中各边都不相同。
如简单通路：v1→v2 →v5 →v6 →v2 →v3 →v4长度为6
2、简单回路：如果回路中各边都不相同。 如简单回路：v1→v2 →v3 →v5 →v2 →v6 →v1长度为6
3
3、基本通路：如果通路中各个顶点都不相同。 如基本通路：v1→v6 →v3 →v4长度为3
若图G中存在割点, k(G) = 1。
图G的边连通度是为了使G成为一个非连通图, 需 要删除的边的最少数目。
若图G中存在割边, (G) = 1。
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【例】 下图中的两个连通图都是n=8，e=16， 其中,κ（G1）=4,λ(G1）=4,κ（G2）=1，
λ（G2）=3。
G1
G2
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假设n个顶点代表n个站，e条边表示铁路或者
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例如:下图的边连通度是3，所以它是3―边 连通的，也是2―边连通的和1-边连通的， 但不是4―边连通的。
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2、有向图的连通性
对于有向图，“图中任意两点都有通路相连”，这个要求 很高，因为有向图虽然是连在一起的，但受到边的方向 的限制，任意两点不一定有通路。以下分三种情况讨论：
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(a)