离散数学 通路、回路与图的连通性
离散数学图的连通性判定方法介绍
离散数学图的连通性判定方法介绍离散数学是一门研究离散结构以及这些结构中的对象、性质和关系的学科。
其中，图论是离散数学中的一个重要分支，主要研究图的性质和关系。
图是由节点和边组成的结构，可以用于表示各种实际问题以及计算机科学中的数据结构。
在图的研究中，连通性是一个重要的概念，它描述了图中节点之间是否存在路径相连。
在实际应用中，判断图的连通性是一个常见的问题。
下面将介绍几种常用的图的连通性判定方法。
1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常用的图遍历算法，它通过栈来实现。
该算法从图的某个节点开始，首先访问该节点并将其标记为已访问，然后递归地访问它的邻居节点，直到所有可达的节点都被访问过。
如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种常用的图遍历算法，它通过队列来实现。
与深度优先搜索不同的是，广度优先搜索首先访问图中的某个节点，并将其标记为已访问。
然后访问该节点的所有邻居节点，并将未访问的邻居节点加入队列。
接下来，依次从队列中取出节点并访问其邻居节点，直到队列为空。
如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
3. 并查集并查集是一种数据结构，用于管理元素之间的动态连通性。
在图的连通性判定中，可以使用并查集来判断图中的节点是否连通。
首先，将每个节点都初始化为一个独立的集合。
然后，遍历图中的所有边，如果两个节点之间存在边，则将它们所在的集合合并为一个集合。
最后，判断图中是否只存在一个集合，如果是，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
4. 最小生成树最小生成树是一种保留了图连通性的树结构。
在连通性判定中，可以通过构建最小生成树来判断图的连通性。
首先，选择一个节点作为起始节点。
然后，从所有与当前树相连的边中选择权值最小的边，并将连接的节点加入树中。
重复该过程，直到树中包含了图中的所有节点。
如果最后构建的树包含图中的所有节点，则图是连通的。
离散数学 通路、回路与图的连通性
由定义可知, 若h1>h2, 图G是h1-连通的, 则G也是h2-连 通的。
若h1>h2, 图G是h1-边连通的, 则G也是h2-边连通。 一个图的连通度越大, 它的连通性能就越好。
G2
27
假设n个顶点代表n个站，e条边表示铁路或者
桥梁或者电话线，e≥n-1。为了使n个站之间 的连接不容易被破坏，必须构造一个具有n个 顶点e条边的连通图，并使其具有最大的点连
通度和边连通度。按图中G1的连接法，如果3 个站被破坏，或者3条铁路被破坏，余下的站
仍能继续相互联系，也就是仍具有连通性。
12
【例】 在一次国际会议中，由七人组成的小
组{a,b,c,d,e,f,g}中，a会英语、阿拉伯语； b会英语、西班牙语；c会汉语、俄语；d会 日语、西班牙语；e会德语、汉语和法语；f 会日语、俄语；g会英语、法语和德语。问： 他们中间任何二人是否均可对话（必要时可 通过别人翻译）？
精选2021版课件
对 (G) – 1条边中的每一条边都选取一个不同于u, v的顶点, 把这些 (G) – 1个顶点删去则必至少删 去 (G) – 1边。
若剩下的图是不连通的, 则k(G)≤(G)–1≤ (G); 若剩下的图是连通的, 则e仍是桥, 此时再删去u和v,
就必产生一个非连通图, 也有k (G)≤ (G)。 综上所述, 对任意的图G, 有k (G)≤ (G)≤ (G)。
条边的始点重合…...。第一条边的始点称为通路的 始点，最后一条边的终点称为通路的终点。
当通路的终点和始点重合时，称为回路。
通路或回路中所含边数称为该通路或回路的长度。
离散数学第七章图论习题课
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
证明 ：
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。 无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点 出,入度。 由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。 关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
割点。
a c
a c
b
d
b
d
a c
a c
b
d
b
d
推论:任何6人的人群中，或者有3人互相认识，或者有 3人彼此陌生。(当二人x,y互相认识，边(x,y)着红色， 否则着兰色。则6人认识情况对应于K6边有红K3或者 有兰K3。)
证明简单图的最大度小于结点数。
证明： 设简单图G有n个结点。对任一结点u，由于G没
第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
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6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无 向 图
b
f
e
2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。 在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)
《离散数学》第6章 图的基本概念
E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集， 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边 为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边 称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中，
第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点 度数等基本概念，
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
4、简单图，完全图，子图， 补图的概念， 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。 有向图 D V , E E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
离散数学第十四章图论基本概念
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i 1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈)
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
20
几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
3
有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的
4
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
25
点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点 割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是 桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割 集吗？
3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.
图的连通性_离散数学─图论初步
则称v是割
割点
(注意：只需考虑割点所在的连通分支，以下讨论不妨只 考虑连通图)
关于割点的三个等价命题
• 对于连通图，以下三个命题等价：
(1) v是割点。 (2) 存在V-{v}的划分{V1, V2}, 使 u∈V1, w∈V2, uw-通路均包含v。 (3) 存在顶点u,w(u≠v, w≠v)，使得任意的uw-通路均包含v。 – 证明： (1) (2): ∵v是割点，G-v至少存在两个连通分支，设其中一个的
假设这样的公共点中距离v最近的
是x(不妨假设它在P上)，则Q+wv 边以及P上的ux-段+P’上的xv-段是u
u,v之间两条中间点不相交的通路。
P
x
v
w Q
连通性的一般性质
• Menger定理（Whitney定理的推广）
– 图G是k-连通图 当且仅当 G中任意两点被至少k条除端
点外顶点不相交关联
的顶点（集合）分隔v与G-C，κ(G)≤|F|。
连通度的上限（续）
dG(v) ≤
|F|
连通度的上限（续）
• 若G中的各顶点均和F中的某条边关联。对任意顶点 v,令C是G-F中包含v的连通分支。考虑v的任一邻居 w。若w在C中，则w必定和F中的某条边关联；若 w在G-C中，则边vw属于F。因此，|N(v)| ≤ |F|, 即dG(v) ≤ |F|.
图的连通性
离散数学─图论初步
内容提要
• 通路与回路 • 通路与同构 • 无向图的连通性
– 连通度 – 2-连通图
• 有向图的连通性
– 无向图的定向
通路的定义
• 定义：图G中从v0到vn的长度为n的通路是G的n条
边e1,…, en的序列，满足下列性质
离散数学第五版第五章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
12
5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
21
5.1 无向图及有向图
23
5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
24
5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
25
第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
离散数学 图论-通路与回路
2)有向图关联矩阵的性质 （1） ∑mij= 0，j＝1，2，…，m，从而∑∑mij = 0，这说明M(D)中所有元 素之和为0． (2) M(D)中，负1的个数等于正1的个数，都等于边数m，这正是有向图握手定 理的内容（入度之和等于出度之和）． （3）第i行中，正1的个数等于d+(vi)（结点的入度），负1的个数等于d-(vi) （结点的出度）． （4）平行边所对应的列相同 3、有向图的邻接矩阵 1）定义：设有向图D＝<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}，E＝{e1，e2，…，em} 令： aij为顶点vi邻接到顶点vj边的条数 称(aij))nxn为D的邻接矩阵，记作A(D)，或简记为A． 2）邻接矩阵的性质 （1）每列元素之和为结点的入度，即 ∑aij ＝ d+(vi)，i＝1，2，…，n 所有列的和 ∑∑aij ＝ ∑d+(vi) ＝ m ，等于边数 每行元素之和为结点的出度，所有行的和也等于边数 （2）邻接矩阵中元素 aij 反映了有向图中结点vi到vj通路长度为1的条数
§14.4
图的矩阵表示
一、图的矩阵表示 用矩阵表示图之前，必须将图的顶点或边标定成顺序，使其成为标定图 1、无向图的关联矩阵 1）定义14．24 设无向图G＝<V，E>，V＝{v1,v2,…，vn}。 E={e1,e2,e3，…em}，令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则称(mij)nxm为G的 关联矩阵，记作 M(G)． 2）关联矩阵的性质: 关联矩阵是n行（结点数）m列（边数）的矩阵
2、结点的相互可达 若vi → vj 且vj → vi 则称vi与vj是相互可达的，记作: vi ↔ vj 规定vi ↔ vi ． 3、 结点的可达关系为V上的二元关系，但不是等价关系（不满足对称性）。 相互可达关系为V上的二元关系，且是V上的等价关系． 有向图中顶点之间的可达关系既无对称性，也无反对称性 4、有向图中结点的距离 定义：设D＝<V，E>为有向图 ∀ vi,vj ∈V，若 vi → vj，称vi到vi长度最短的通路为vi到vj的短程线 短程线的长度为vi到vj的距离，记作d<vi，vj> 注：该定义与无向图中顶点vi与vj之间的距离d(vi，vj)的区别：无对称性 一般地：d<vi，vj> ≠ d<vj，vi> （可能d<vi，vj> 不存在） 5、弱连通图、单向连通图和强连通图 定义1 设D＝{V，E)为一个有向图． 若D的作为无向图是连通图，则称D是弱连通图，简称为连通图． 定义2 设D＝{V，E)为一个有向图， 若∀ vi,vj ∈V , vi → vj与vj→ vi至少成立其一，则称D是单向连通图． 若∀ vi,vj ∈V，均有vi ↔ vj，则称D是强连通图 注：三种图的关系：强连通图一定是单向连通图，反之不成立 单向连通图一定是弱连通图．反之不成立
离散数学第七章图的基本概念
4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的 等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则 称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.
CH7 图的基本概念 2 3 通路、回路、图的连通性
有向图的连通性
定义 设D＝<V,E>为一个有向图。vi,vj∈V，若从 vi到vj存在通路，则称vi可达vj，记作vi→vj， 规定vi总是可达自身的，即vi→vi。 若vi→vj且vj→vi，则称vi与vj是相互可达的，记 作vi vj。 规定vivi。
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,· ,vn},E={e1,e2,· ,em}, · · · ·
令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则称(mij)n×m为G的 关联矩阵，记为M(G)。
性质：P163
2.有向图的关联矩阵
设简单有向图
G=<V,E>,V={v1,v2,·· n},E={e1,e2,·· m}, 则称 ·,v ·,e (mij)n×m为G的关联矩阵，记为M(G)。其中，
性质：P164
3. 图的邻接矩阵
设图
G=<V,E>,V={v1,v2,·· n},E={e1,e2,·· m}, ·,v ·,e 则称(aij)n×m为G的邻接矩阵，记为A(G)。 其中， aij为vi邻接(到)vj的边的条数.
0 2 2 0 1 1 0 0
1 1 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
7.3 图的矩阵表示
图的表示：
数学定义 图形表示 矩阵表示 便于用代数知识来研究图的性质 便于用计算机处理 矩阵的行列有固定的顺序，因此在用矩阵表示图之 前，必须将图的顶点和边（如果需要）编号。 本节学习： • 图的关联矩阵 • 图的邻接矩阵 • 有向图的可达矩阵
离散数学--第7章 图论-2(路与连通)
15
连通图可以看成是只有一个连通分支的图，即 w(G ) 1 。
返回 结束
7.2.2 图的连通性
4、有向图的连通
强连通—— G 中任一对顶点都互相可达 (双向) 连通 单向连通—— G 中任一对顶点至少一 向可达
路
10
(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
n 1的路。
证明思路：多于n-1条边的路中必有重复出现的结点，反 复删去夹在两个重复结点之间的边之后，剩余的边数不会 超过n-1条边。
v n 在一个 阶图中，若从顶点 i 到 v j 存在 推论：
通路(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
返回 结束
7.2.2 图的连通性
7.2.2 图的j 存在路，称 有向图中，从 vi 到 v j 存在路，称 (注意方向) 2、短程线，距离。 短程线——连通或可达的两点间长度最短的 路。 距离——短程线的长度，
12
vi 到 v j 是 连通的(双向)。 vi 可达 v j 。
1 v1e1v2e5v5e7v6 2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路
简单通路
复杂通路
返回 结束
7.2.1 路
例1、(2)
7
图(2)中过 v 2 的回路 (从 v 2 到 v 2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2 2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
7.2 路与连通
内容：图的通路，回路，连通性。 重点：
离散数学13教案讲稿
黑板 讲授法，练习法，讨论法 包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题 时 间 分 配 布置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容 (90 分钟) 引入新课： 重点难点讲授：
教 学 过 程
1 通路和回路 2 无向图的连通性 3、无向图的连通程度 4 有向图的连通性 5 Menger 定理 6、二部图的概念
(G E) (G) ，则称 E 为 G 的一个边割集，同样对于一个边叫割边或桥．
例 3 如在图 5-2-4 中， 割点： v2 ， v6 ； 点割集： {v3 , v5 }
e1
v3
u
e6
v1
v5 e9
e7
v2
e5
边割集： {e3 , e4 }、 {e4 , e5 } 、
e8
e2
3、无向图的连通程度．
等价关系可以导致集合的划分，无向图中连通关系是等价关系，因此任何无向图中顶点集 都存在一种划分，使得每个划分块中的顶点都彼此连通，不同划分块中的顶点都不连通． 定义 6 （连通分支） 在一个无向图 G 中，存在 V 的一个分类， 把 V 分成非空子集 V1 ，V2 ，…，
V , 使得两个顶点 u 和 v 是连通的当且仅当它们属于同一子集 Vi ．子图 G[V1 ] ， G[V2 ] ，…，
G e 中 x 和 y 将被路 C - e 所连．于是， u 和 v 在 G e 中就连通了，导致矛盾．
反之， 假设 e = xy 不是 G 的割边， 则 (G e) = (G ) ． 由于在 G 中存在一条 ( x, y ) 路 （即 ，所以 x 和 y 都在 G 的同一个分支中．由此推知： x 和 y 在 G e 的同一个分支中，从 x y） 而在 G e 中存在一条 ( x, y ) 路 p ，于是 e 就位于 G 的圈 P + e 中了． 定义 8（连通度） 设无向图 G 为连通图, 定义
天大《离散数学(1)》学习笔记八
主 题：《离散数学（1）》学习笔记内 容：《离散数学（1）》学习笔记八——图论的基本概念、连通性教学目的、要求:掌握：图的基本概念及其性质，通路和回路，图的连通性的判别方法。
理解：通路、回路的概念。
了解：图的同构。
教学内容：基本内容：图的基本概念，图的同构，通路和回路，图的连通性。
重点：图的概念，结点次数和边关系的定理。
难点：判别图的同构。
基本要求1．熟悉图的基本概念及其性质。
2．了解图的同构。
3．理解通路、回路的概念，掌握其判别方法。
第六章图论图论（graphic theory）是一门既古老又年轻的学科。
说它古老，是因为早在18世纪初，学者们便已运用现在称之为图的工具来解决一些困难的问题；说它年轻，是因为直到20世纪中、后期，图的理论研究和应用研究才得到广泛的重视，图论作为一个数学的分支，才真正确立自己的地位。
对于离散结构的刻划，图是一种有力的工具。
我们已经看到，有限集合上的关系可用一一种直观的图——有向图来表示；我们可以想象，在运筹规划、网络研究中，在计算机程序流程分析中，都会遇到由称为“结点”和“边”的东西组成的图。
因此，对图论基础知识的学习，以及对有广泛应用价值的各种特殊图的了解是十分必要的。
本章的任务是，讨论图的基本概念及有关术语，研究图的基本性质。
6.1图论的基本概念6.1.1图的实例1736年瑞士数学家欧拉（Euler）解决了当时很有名的哥尼斯堡七桥问题，并发表了第一篇图论方向的论文。
哥尼斯堡（曾名为加里宁格勒）位于立陶宛的普雷格尔河畔。
河中有两个小岛，城市与小岛由七座小桥相联（如图6. l（a）所示）。
当时城中居民热衷于这样一个问题：游人是否可能从城市或小岛的一点出发，经由七座桥，并且只经由每座桥一次，然后回到原地。
许多人久而不得其解，但欧拉却用一个十分简明的工具----一张图（如图6.1（b）所示）解决了这一问题。
图中的结点用以表示河两岸及两个小岛，边用以表示小桥，如果游人可以作出所要求的那种游历，那么必可从图的某一结点出发，经过每条边一次且仅经过一次后又回到原结点。
《离散数学》第七章_图论-第2节-预习
定理7-2.1推论
推论1： 在n阶图G中，若从不同结点vj到vk有 路，则从vj到vk有长度小于等于n-1的通路。 证明： 若路不是通路， 则路上有重复结点， 删除所有重复结点之间的回路， 得到的是通 路， 其长度小于等于n-1。 推论2：在一个具有n个结点的图中，如果存在 经过结点vi回路（圈），则存在一条经过vi 的长度不大于n的回路（圈）。
Whitney定理
（最小点割集<=最小边割集<=最小点度数）
Whitney定理的证明
证明：设G中有n个结点m条边。 (2)若G连通 1)证明λ(G)≤δ(G)
若G是平凡图，则λ(G)=0≤δ(G)； 若G是非平凡图，由于每一结点上关联的所有 边显然包含一个边割集，因而删除最小度数 δ(G)对应结点所关联的边，则使G不连通，即 存在一个边割集的元素个数小于等于δ(G) ， 即λ(G)≤δ(G)。
e6,e5都是割边
边连通度(edgeconnectivity)
为了破坏连通性，至少需要删除多少条边? 边连通度： G是无向连通图, (G) = min{ |E’| | E’是G的边割集 } 即产生一个不连通图需删去的边的最小数 目。 规定： G非连通： (G)=0 (Kn) = n-1
0
ei (vi 1 , vi ), (ei v i 1 , v i )
v
v1 v 2 0 e e 1 2
v i 1 v i ei
vn en
结点数=边数+1
路长度 ：边的数目。
回路(closed walk)
回路： … v e v e v
0 1 1 2
当v 0 v n时
i 1
圈(cycles)
C1 C2 C3 C4 C5
《离散数学》第七章图的基本概念讲稿
《离散数学》第七章图的基本概念讲稿7.1 ⽆向图及有向图⼀、本节主要内容⽆向图与有向图顶点的度数握⼿定理简单图完全图⼦图补图⼆、教学内容⽆序对: 两个元素组成的⼆元组（没有顺序），即⽆论a,b是否相同，（a,b ）＝（b, a ）⽆序积: A与B 为两个集合，A&B={(x,y) |x∈A∧y∈B}例A={a1, a2}, B={b1, b2}A&B={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 )}A&A={(a1 , a1 ), (a1 , a2 ) ,(a2 , a2 )}多重集合: 元素可以重复出现的集合⽆向图与有向图定义⽆向图G=, 其中(1) V?≠为顶点集，元素称为顶点(2) E为V&V的多重⼦集，其元素称为⽆向边，简称边.例如, G=如图所⽰,其中V={v1, v2, …,v5},E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}定义⽆向图G=, 其中(1) V≠?为顶点集，元素称为顶点(2) E为V&V的多重⼦集，其元素称为⽆向边，简称边.例如, G=如图所⽰,其中V={v1, v2, …,v5},E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} ⽆向图与有向图(续)定义有向图D=, 其中(1) V同⽆向图的顶点集, 元素也称为顶点(2) E为V?V的多重⼦集，其元素称为有向边，简称边.⽤⽆向边代替D的所有有向边所得到的⽆向图称作D的基图右图是有向图，试写出它的V和E⽆向图与有向图(续)通常⽤G表⽰⽆向图, D表⽰有向图,也常⽤G泛指⽆向图和有向图,⽤ek表⽰⽆向边或有向边.V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集.n 阶图: n个顶点的图有限图: V, E都是有穷集合的图零图: E=?平凡图: 1 阶零图顶点和边的关联与相邻定义设ek=(vi, vj)是⽆向图G=的⼀条边, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi ( vj)关联.若vi ≠ vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次数为1;若vi = vj, 则称ek为环, 此时称ek与vi 的关联次数为2;若vi不是ek端点, 则称ek与vi 的关联次数为0.⽆边关联的顶点称作孤⽴点.定义设⽆向图G=, vi,vj∈V,ek,el∈E,若(vi,vj) ∈E, 则称vi,vj相邻;若ek,el⾄少有⼀个公共端点, 则称ek,el相邻.对有向图有类似定义. 设ek=?vi,vj?是有向图的⼀条边, vi,vj是ek端点,⼜称vi 是ek的始点, vj是ek的终点,vi邻接到vj, vj邻接于vi.邻域和关联集设⽆向图G , v ∈V(G)v 的邻域 N(v)={u|u ∈V(G)∧(u,v)∈E(G)∧u ≠v} v 的闭邻域 = N(v)∪{v} v 的关联集 I(v)={e|e ∈E(G)∧e 与v 关联} 设有向图D, v ∈V(D)v 的后继元集 ={u|u ∈V(D)∧∈E(G)∧u ≠v}v 的先驱元集 ={u|u ∈V(D)∧∈E(G)∧u ≠v}v 的邻域v 的闭邻域顶点的度数设G=为⽆向图, v ∈V,v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点的次数之和悬挂顶点: 度数为1的顶点悬挂边: 与悬挂顶点关联的边 G 的最⼤度?(G)=max{d(v)| v ∈V} G 的最⼩度δ(G)=min{d(v)| v ∈V} 例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4, ?(G)=4, δ(G)=1,v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环顶点的度数(续)设D=为有向图, v ∈V,v 的出度d+(v): v 作为边的始点的次数之和 v 的⼊度d -(v): v 作为边的终点的次数之和 v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点次数之和 d(v)= d+(v)+ d-(v)D 的最⼤出度?+(D), 最⼩出度δ+(D) 最⼤⼊度?-(D), 最⼩⼊度δ-(D) 最⼤度?(D), 最⼩度δ(D) 例如 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,+(D)=4, δ+(D)=0, ?-(D)=3, δ-(D)=1, ?(D)=5, δ(D)=3. 图论基本定理——握⼿定理定理任意⽆向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点⼊度之和等于出度之和等于边数.)(v N )(v D +Γ)(v D -Γ)()()(v v v N D D D -+ΓΓ= }{)()(v v N v N D D =证 G 中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G 中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供2m 度.有向图的每条边提供⼀个⼊度和⼀个出度, 故所有顶点⼊度之和等于出度之和等于边数. 握⼿定理(续)推论在任何⽆向图和有向图中，度为奇数的顶点个数必为偶数. 证设G=为任意图，令 V1={v | v ∈V ∧d(v)为奇数} V2={v | v ∈V ∧d(v)为偶数}则V1∪V2=V, V1∩V2=?，由握⼿定理可知∑∑∑∈∈∈+==21)()()(2V v V v Vv v d v d v d m由于2m,∑∈2)(V v v d 均为偶数，所以 ∑∈1)(V v v d 也为偶数, 但因为V1中顶点度数都为奇数，所以|V1|必为偶数.图的度数列设⽆向图G 的顶点集V={v1, v2, …, vn} G 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数序列:4,4,2,1,3设有向图D 的顶点集V={v1, v2, …, vn} D 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) D 的出度序列: d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D 的⼊度序列: d -(v1), d -(v2), …, d -(vn) 如右图度数序列:5,3,3,3出度序列:4,0,2,1 ⼊度序列:1,3,1,2 握⼿定理的应⽤例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数序列吗? 解不可能. 它们都有奇数个奇数.例2 已知图G 有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均⼩于等于2, 问G ⾄少有多少个顶点? 解设G 有n 个顶点. 由握⼿定理, 4?3+2?(n-4)≥2?10 解得 n ≥8握⼿定理的应⽤(续)例3 给定下列各序列,哪组可以构成⽆向图的度数序列 (2,2,2,2,2) (1,1,2,2,3) (1,1,2,2,2) (1,3,4,4,5)多重图与简单图定义(1) 在⽆向图中,如果有2条或2条以上的边关联同⼀对顶点, 则称这些边为平⾏边, 平⾏边的条数称为重数.(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点, 则称这些边为有向平⾏边, 简称平⾏边, 平⾏边的条数称为重数.(3) 含平⾏边的图称为多重图.(4) 既⽆平⾏边也⽆环的图称为简单图.注意:简单图是极其重要的概念多重图与简单图(续)例如e5和e6 是平⾏边重数为2不是简单图e2和e3 是平⾏边,重数为2 e6和e7不是平⾏边不是简单图图的同构定义设G1=, G2=为两个⽆向图(有向图), 若存在双射函数f: V1→V2, 使得对于任意的vi,vj∈V1,(vi,vj)∈E1（∈E1）当且仅当(f(vi),f(vj))∈E2（∈E2），并且,(vi,vj)（）与(f(vi),f(vj))（）的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1?G2.图的同构(续)⼏点说明：图之间的同构关系具有⾃反性、对称性和传递性.能找到多条同构的必要条件, 但它们都不是充分条件:①边数相同，顶点数相同②度数列相同(不计度数的顺序)③对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等若破坏必要条件，则两图不同构图的同构(续)例1 试画出4阶3条边的所有⾮同构的⽆向简单图例2 判断下述每⼀对图是否同构:(1)度数列不同不同构例2 (续)(2)不同构⼊(出)度列不同度数列相同但不同构为什么?完全图与正则图n阶⽆向完全图Kn: 每个顶点都与其余顶点相邻的n阶⽆向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1)/2, ?=δ=n-1n阶有向完全图: 每对顶点之间均有两条⽅向相反的有向边的n阶有向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1), ?=δ=2(n-1),+=δ+=?-=δ-=n-1n阶k正则图: ?=δ=k 的n阶⽆向简单图简单性质: 边数m=nk/2完全图与正则图(续)(1) 为5阶⽆向完全图K5(2) 为3阶有向完全图(3) 为彼得森图, 它是3 正则图⼦图定义设G=, G '=是2个图(1) 若V '?V且E '?E, 则称G '为G的⼦图, G为G '的母图, 记作G '?G(2)若G '?G且G '≠ G（即V '?V 或E '?E），称G '为G的真⼦图(3) 若G '?G 且V '=V，则称G '为G的⽣成⼦图(4) 设V '?V 且V '≠?, 以V '为顶点集, 以两端点都在V '中的所有边为边集的G的⼦图称作V '的导出⼦图，记作G[V '](5) 设E '?E且E '≠?, 以E '为边集, 以E '中边关联的所有顶点为顶点集的G的⼦图称作E '的导出⼦图, 记作G[E ']⼦图(续)例画出K4的所有⾮同构的⽣成⼦图补图定义设G=为n阶⽆向简单图，以V为顶点集,所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作G?G.若G ? G , 则称G 是⾃补图.例画出5阶7条边的所有⾮同构的⽆向简单图⾸先，画出5阶3条边的所有⾮同构的⽆向简单图然后，画出各⾃的补图7.2 通路、回路与图的连通性⼀、本节主要内容简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路⽆向连通图, 连通分⽀弱连通图, 单向连通图, 强连通图点割集与割点边割集与割边(桥) ⼆、教学内容通路与回路定义给定图G=（⽆向或有向的），设G 中顶点与边的交替序列Γ=v0e1v1e2…elvl ，(1) 若?i(1≤i ≤l), vi -1 和 vi 是ei 的端点(对于有向图, 要求vi -1是始点, vi 是终点), 则称Γ为通路, v0是通路的起点, vl 是通路的终点, l 为通路的长度. ⼜若v0=vl ，则称Γ为回路. (2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为初级通路(初级回路).初级通路⼜称作路径, 初级回路⼜称作圈.(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路). 通路与回路(续) 说明:在⽆向图中，环是长度为1的圈, 两条平⾏边构成长度为2的圈. 在有向图中，环是长度为1的圈, 两条⽅向相反边构成长度为2的圈. 在⽆向简单图中, 所有圈的长度≥3; 在有向简单图中, 所有圈的长度≥2. 通路与回路(续)定理在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通路，则从vi 到vj 存在长度⼩于等于n -1的通路.推论在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通121212G G G G G G ??例设与均为⽆向简单图，当且仅当路，则从vi到vj存在长度⼩于等于n-1的初级通路.定理在⼀个n阶图G中，若存在vi到⾃⾝的回路，则⼀定存在vi到⾃⾝长度⼩于等于n的回路.推论在⼀个n阶图G中，若存在vi到⾃⾝的简单回路，则⼀定存在长度⼩于等于n的初级回路.⽆向图的连通性设⽆向图G=,u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与⾃⾝总连通.连通关系R={| u,v ∈V且u~v}是V上的等价关系连通图: 平凡图, 或者任意两点都连通的图连通分⽀: V关于R的等价类的导出⼦图设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的连通分⽀, 其个数记作p(G)=k.G是连通图? p(G)=1u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路(u与v连通)u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.性质：d(u,v)≥0, 且d(u,v)=0 ? u=vd(u,v)=d(v,u)（对称性）d(u,v)+d(v,w)≥d(u,w) （三⾓不等式)点割集记G-v: 从G中删除v及关联的边G-V': 从G中删除V'中所有的顶点及关联的边G-e : 从G中删除eG-E': 从G中删除E'中所有边定义设⽆向图G=, 如果存在顶点⼦集V'?V, 使p(G-V')>p(G)，⽽且删除V'的任何真⼦集V''后（? V''?V'），p(G-V'')=p(G), 则称V'为G的点割集. 若{v}为点割集, 则称v为割点.点割集(续)例{v1,v4}, {v6}是点割集, v6是割点.{v2,v5}是点割集吗？边割集定义设⽆向图G=, E'?E, 若p(G-E')>p(G)且?E''?E',p(G-E'')=p(G), 则称E'为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e为割边或桥.在上⼀页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集，e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？⼏点说明：Kn⽆点割集n阶零图既⽆点割集，也⽆边割集.若G连通，E'为边割集，则p(G-E')=2若G连通，V'为点割集，则p(G-V')≥2有向图的连通性设有向图D=u可达v: u到v有通路. 规定u到⾃⾝总是可达的.可达具有⾃反性和传递性D弱连通(连通): 基图为⽆向连通图D单向连通: ?u,v∈V，u可达v 或v可达uD强连通: ?u,v∈V，u与v相互可达强连通?单向连通?弱连通有向图的连通性(续)例下图(1)强连通, (2)单连通, (3) 弱连通有向图的短程线与距离u到v的短程线: u到v长度最短的通路(u可达v)u与v之间的距离d: u到v的短程线的长度若u不可达v, 规定d=∞.性质：d+d ≥d注意: 没有对称性7.3 图的矩阵表⽰⼀、本节主要内容⽆向图的关联矩阵有向图的关联矩阵有向图的邻接矩阵有向图的可达矩阵⼆、教学内容⽆向图的关联矩阵定义设⽆向图G=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n?m为G的关联矩阵，记为M(G).定义设⽆向图G=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n?m为G的关联矩阵，记为M(G).性质关联次数为可能取值为0，1，2有向图的关联矩阵定义设⽆环有向图D=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令则称(mij)n ?m 为D 的关联矩阵，记为M(D). 性质:有向图的邻接矩阵定义设有向图D=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令 )1(ij a 为顶点vi 邻接到顶点vj 边的条数，称()1(ij a )n ?n 为D 的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A. 1110001110()1001200000M G=1100010111()0000101110M D ---?=-??-??平⾏边的列相同)4(2)3(),...,2,1()()2(),...,2,1(2)1(,11mm n i v d m m j m ji ijimj ijni ij =====∑∑∑==(1)1(1)1(1)(),1,2,...,(2)(),1,2,...,nij i j n ij ji a d vi n a d v j n+=-=====∑∑性质D 中的通路及回路数定理设A 为n 阶有向图D 的邻接矩阵, 则Al(l ≥1)中元素)(l ij a 为D 中vi 到vj 长度为 l 的通路数， )(l ii a 为vi 到⾃⾝长度为 l 的回路数，∑∑==n i nj l ija11)( 为D 中长度为 l 的通路总数，∑=ni l iia1)( 为D 中长度为 l 的回路总数.D 中的通路及回路数(续)推论设Bl=A+A2+…+Al(l ≥1), 则Bl 中元素为D 中长度⼩于或等于l 的通路数，为D 中长度⼩于或等于l 的回路数. 例有向图D 如图所⽰, 求A, A2, A3, A4, 并回答问题：(1) D 中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别为多少条？ (2) D 中长度⼩于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路？12100010()00010010A D=有向图的可达矩阵定义设D=为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令称(pij)n ?n 为D 的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P. 性质:P(D)主对⾓线上的元素全为1.D 强连通当且仅当P(D)的元素全为1. 有向图的可达矩阵(续)例右图所⽰的有向图D 的可达矩阵为7.4 最短路径及关键路径⼀、本节主要内容最短路关键路线⼆、教学内容对于有向图或⽆向图G 的每条边，附加⼀个实数w(e)，则称w(e)为边e 上的权. G 连同附加在各边上的实数，称为带权图.设带权图G=,G 中每条边的权都⼤于等于0.u,v 为G 中任意两个顶点，从u 到v 的所有通=1101110111110001P路中带权最⼩的通路称为u 到v 的最短路径.求给定两个顶点之间的最短路径，称为最短路径问题. 算法：Dijkstra(标号法){}()*()*1()*()()1()*1.2./5.i r r i i i i ir i r r j j j j j r i r v l v v v l v r p l l v v v l v r l v v p r T V r ∞==-j ij r r 如果顶点与v 不相邻，则w =为顶点到顶点最短路径的权，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了标号（永久性标号）3.为顶点到顶点最短路径的权的上界，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了t 标号（临时性标号）4.P 已经获得标号为第步通过集P 为第步未通过集例：求图中v0与v5的最短路径(0)*000(0)0(1)*(0)(1)*1010100,{},T {},1,2,3,4,5{},min {},T T {}(2)T j jj i j i v T l P l w j l l l P P t ∈=======?=-0012345j i i i i 第步(r=0)：v 获得p 标号v v ，v ，v ，v ，v ，v 获得t 标号第1步(r=1)：(1)求下⼀个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标1(1)(0)(1)*(2)*(1)(2)*2121(2)(1)(2)*2min{,}{},min {},T T {}(2)T min{,}j jj iij i j iv T j j iij ll lw l l l P P t l l l w ∈=+==?=-=+i i i i 号：第2步(r=2)：(1)求下⼀个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标号：2.关键路径问题,(){/,}(){/,}D D D V E v V v x x V v x E v v x x V x v E v +=<>∈Γ=∈∧<>∈Γ=∈∧<>∈－设为⼀个有向图，，则为的后继元集为的先继元集定义：PERT 图设D=是n 阶有向带权图1. D 是简单图2. D 中⽆环路3. 有⼀个顶点出度为0，称为发点；有⼀个顶点⼊度为0，称为收点4. 记边的权为wij,它常常表⽰时间1. 最早完成时间：⾃发点v1开始，沿最长路径（权）到达vi 所需时间，称为vi 的最早完成时间，记为TE （vi ），i=1,2,…,nj 1i i j ij v ()234567TE(v )=0,v (1)TE(v )={(v )+w },1,2,,max TE(v )=max{0+1}=1;TE(v )=max{0+2,1+0}=2;TE(v )=max{0+3,2+2}=4;TE(v )=max{1+3,4+4}=8;TE(v )=max{2+4,8+1}=9;TE(v )=max{1+4,2+D i v i TE i n -∈Γ≠=显然的最早完成时间按如下公式计算：813784}=6;TE(v )=max{6+6,9+1}=12;v v v v 关键路径：从发点到收点的⼀条最长路径，2. 最晚完成时间：在保证收点vn 的最早完成时间不增加的条件下，⾃发点v1最迟到达vi 所需时间，称为vi 的最晚完成时间，记为TL （vi ）.j n n i i j ij v ()876543TL(v )=TL(v ),v ()TL(v )={(v )-w },1,2,,min TL(v )=12;TL(v )=min{12-6}=6;TL(v )=min{12-1}=11;TL(v )=min{11-1}=10;TL(v )=min{10-4}=6;TL(v )=min{6-2,11-4,6-4}=2;TL(D i v i n TL i n∈Γ≠=＋显然的最晚完成时间按如下公式计算：21v )=min{2-0,10-3,6-4}=2;TL(v )=min{2-1,2-2,6-3}=0;3. 缓冲时间：TS(vi)=TL(vi)- TE(vi) TS(v1)= TS(v3)= TS(v7)= TS(v8)=0 TS(v2)=2-1=1; TS(v4)=6-4=2; TS(v5)=10-8=2; TS(v6)=11-9=2。
离散数学的连通性基础知识
离散数学的连通性基础知识离散数学是研究离散对象及其性质、结构、关系和操作的数学分支。
而离散数学中连通性是一个重要的概念，用于描述图论、算法、网络等领域中对象之间的联通性质。
本文将介绍离散数学中连通性的基础知识，包括连通图、连通关系、路径等概念及相关性质。
一、连通图在图论中，一个图G被称为连通图，当且仅当任意两个顶点之间都存在一条路径。
具体而言，对于图G=(V,E)，其中V是顶点的集合，E是边的集合，若对于任意两个顶点v和u，存在一条路径连接它们，则称图G是连通的。
连通图可以进一步分为强连通图和无向连通图。
强连通图是指有向图中，任意两个顶点之间都存在一条有向路径，即无论从哪一个顶点出发都可以到达其他任意一个顶点。
无向连通图是指无向图中，任意两个顶点之间都存在一条无向路径，即无论选择哪一条边或者路径，都可以从一个顶点到达另一个顶点。
一个具有n个顶点的完全图K_n是一个连通图，其中任意两个顶点之间都存在一条边。
二、连通关系在集合论中，连通关系是用来描述集合中元素之间的连通性质。
给定一个集合S和一个关系R，如果对于集合S中的任意两个元素x和y，存在一个元素序列x_1, x_2, ..., x_k，使得x=x_1, y=x_k，并且对于序列中的任意相邻元素x_i和x_{i+1}，(x_i, x_{i+1})\in R，则称关系R是S上的连通关系。
连通关系可以用来描述图中顶点之间的连通性质。
对于图G=(V,E)，其中V是顶点的集合，E是边的集合。
我们可以定义一个关系R，使得对于任意两个顶点v和u，(v, u)\in R当且仅当v和u之间存在一条路径。
这样我们就可以利用连通关系R来刻画图G中顶点之间的连通性。
三、路径路径是指在图中从一个顶点到另一个顶点的一条经过的边的序列。
如果存在一条路径从顶点v到顶点u，我们可以称v是u的先驱，u是v的后继。
路径的长度是指路径上所经过的边的数量。
最短路径是指在图中两个顶点之间路径长度最短的路径。
离散数学_第7章 图论 -1-2图的基本概念、路和回路
第9章 图论
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第9章 图论
第7章 图论
图论是一个重要的数学分支。数学家欧拉1736年发 表了关于图论的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡七 桥问题。克希霍夫对电路网络的研究、凯来在有机化学 的计算中都应用了树和生成树的概念。随着科学技术的 发展，图论在运筹学、网络理论、信息论、控制论和计 算机科学等领域都得到广泛的应用。本章首先给出图、 简单图、完全图、子图、路和图的同构等概念，接着研 究了连通图性质和规律，给出了邻接矩阵、可达性矩阵、 连通矩阵和完全关联矩阵的定义。最后将介绍欧拉图与 哈密尔顿图、二部图、平面图和图的着色、树和根树。
v3
e7
a e6e3
e2
b e5
（本课程仅讨论无向图和有向图）
v4
c
9章 图论
【例7.1.1】无向图G=V(G),E(G),G
其中：V(G)=a,b,c,d
E(G)=e1,e2,e3,e4
G：G(e1)=(a,b) G(e2)=(b,c) G(e3)=(a,c) G(e4)=(a,a)
试画出G的图形。
即，deg(v)=deg－(v)+deg＋(v)，或简记为d(v)=d－(v)+d＋(v)
4）最大出度：+(G) =max deg＋(v) | vV
5）最小出度：+(G) = min deg＋(v) | vV
6）最大入度： (G) =max deg－(v) | vV
7）最小入度： (G) = min deg－(v) | vV
解：G的图形如图7.1.2所示。
图 7.1.2
由于在不引起混乱的情况下，图的边可以用有序对或无序 对直接表示。因此，图可以简单的表示为：
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此时 k(G) = (G) = 1, (*) 式成立。
29
若 (G)≥2, 则必可删去某 (G)边, 使G不连通,而删 去其中(G) – 1条边, G仍然连通, 且有一条桥e = {u, v}。
对 (G) – 1条边中的每一条边都选取一个不同于u, v的顶点, 把这些 (G) – 1个顶点删去则必至少删 去 (G) – 1边。
证明 用反证法来证明。 设二顶点不连通，则它们必分属两个不同的连通
分支，而对于每个连通分支，作为G的子图只有一 个奇度数顶点，余者均为偶度数顶点，与握手定理 推论矛盾，因此，若图中只有两个奇度数顶点，则 二顶点必连通。
12
【例】 在一次国际会议中，由七人组成的小 组{a,b,c,d,e,f,g}中，a会英语、阿拉伯语； b会英语、西班牙语；c会汉语、俄语；d会 日语、西班牙语；e会德语、汉语和法语；f 会日语、俄语；g会英语、法语和德语。问： 他们中间任何二人是否均可对话（必要时可 通过别人翻译）？
(b)
(c)
1）强连通图：有向图中，任意A、B是互为可达的。如图(a)
2）单向连通图：在有向图中，任意两点A、B存在着A到B的通 路
或存在着B到A的通路。如图(b) 3）显弱然连：通在图有：向在图有中向，图如中果，有如一果条其通底过图图是中无所向有连点通的图回。路如，图(c)
则此图是强连通的。 如果有一条通过图中所有点的通路，
环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图
中, 所有圈的长度2.
6
在两种意义下计算的圈个数 ① 定义意义下 在无向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作2l个不同的 圈. 如v0v1v2v0 , v1v2v0v1 , v2v0v1v2看作3个不同的圈. 在有向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作l个不同的 圈. ② 同构意义下 所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.
28
定理 对任意的图G = (V, E),
有 k(G)≤ (G)≤ (G)
(*)
证明 若G是平凡图或非连通图,
则 k(G) = (G) = 0, 上式显然成立。
若G是连通图, 则因每一顶点的所有关联边构成一 个边割集,
所以 (G)≤(G)。
下面证明k (G)≤ (G)。
若 (G) = 1, 则G有一割边,
4、基本回路：如果回路中各个顶点都不相同。
如基本回路：v1→v6 →v3 →v2 →v1 显然，基本通路（回路）一定是简单通路（回路）。
反之不然。
4
若通路(回路)中有边重复出现, 则称为复杂通路(回路).
5
关于通路与回路的几点说明
表示方法 ① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5
15
短程线与距离
u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路 (u与v连通) u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长
度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.
性质： d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v d(u,v)=d(v,u) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
2
1、简单通路：如果通路中各边都不相同。
如简单通路：v1→v2 →v5 →v6 →v2 →v3 →v4长度为6
2、简单回路：如果回路中各边都不相同。 如简单回路：v1→v2 →v3 →v5 →v2 →v6 →v1长度为6
3
3、基本通路：如果通路中各个顶点都不相同。 如基本通路：v1→v6 →v3 →v4长度为3
7
定理 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的初级通路. 定理 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路， 则一定存在vi到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单 回路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.
e6
v4 e7
e8 v6
v5 e9
例 {v2, v7}, {v3}, {v4}为点割集, {v3}, {v4}均为割点
例 在下图中的那些是割点
{v3}和{v2}都是割点, {v2, v3,v4},{v1, v2, v4,v5}都不是点割集。
22
边割集
定义 设无向图G=<V,E>, EE, 若p(GE)>p(G)且EE, p(GE)=p(G), 则称E为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e 为割边或桥. 在下图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集， e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？
若图G中存在割点, k(G) = 1。
图G的边连通度是为了使G成为一个非连通图, 需 要删除的边的最少数目。
若图G中存在割边, (G) = 1。
26
【例】 下图中的两个连通图都是n=8，e=16， 其中,κ（G1）=4,λ(G1）=4,κ（G2）=1，
λ（G2）=3。
G1
G2
27
假设n个顶点代表n个站，e条边表示铁路或者
定义 设有图G = (V, E), 若k(G)≥h, 则称G是h-连通 的; 若(G)≥h, 则称G是h-边连通的。
例 上图所示的图是1-连通的, 是2-边连通的。
31
简单图都是1-连通的和1-边连通的。 n阶完全图是(n–1)-连通的和(n–1)-边连通的。 对于任何n阶连通图, 当且仅当没有割点时, 它是2-连通
定义 设无向图G=<V,E>, VV, 若p(GV)>p(G)且
VV, p(GV)=p(G), 则称V为G的点割集. 若
{v}为点割集, 则称v为割点.
6}是点割集, v6是割点.
21
v1
e1 e2
v7 e4 e3
v3
v2 e5
16
图的连通性的应用 在实际问题中, 除了考察一个图是否
连通外, 往往还要研究一个图连通的 程度, 作为某些系统的可靠性度量。 图的连通性在计算机网、通信网和 电力网等方面有着重要的应用。
17
点割集
在连通图中，如果删去一些顶点或边，则 可能会影响图的连通性。所谓从图中删去 某个顶点v，就是将顶点v和与v关联的所 有的边均删去；删除边只需将该边删除
23
图中
v7
v4
e1
e4
e6
e7
v1
e3
v3
e8
v6
e2
v2 e5
v5 e9
{e1, e2}, {e1, e3, e4}, {e6}, {e7, e8}, {e2, e3, e4},
{e2, e3, e5}, {e4, e5}, {e7, e9}, {e8, e9},等都是割集, 其中{e6} 为桥。
25
下面从数量观点来描述图的连通性。 定义 设G = (V, E)是连通图,
k(G) = min{| V | | V是G的点割集}称为G的点连通
度;
(G) = min{| E | | E是G的边割集}称为G的边连
通度。
图G的点连通度是为了使G成为一个非连通图,需 要删除的点的最少数目。
的; 当且仅当没有割边时, 它是2-边连通的。 若图G是h-连通的, 则G也是h-边连通的。(k(G)≤ (G)) 由定义可知, 若h1>h2, 图G是h1-连通的, 则G也是h2-连
通的。 若h1>h2, 图G是h1-边连通的, 则G也是h2-边连通。 一个图的连通度越大, 它的连通性能就越好。
证明 假设G不连通, 则G至少有两个分图。 设其中一个分图含有q个顶点, 而其余各分图共含有 n– q个顶点。 在这两部分中各取一个顶点u和v, 则
0≤deg(u)≤q – 1,
0≤deg(v)≤n – q – 1, 因此deg(u) + deg(v)≤n – 2, 这与题设deg(u ) + deg(v)≥n – 1矛盾。
设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的 连通分支, 其个数记作p(G)=k. G是连通图 p(G)=1
10
设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
即:A上模3等价关系的关系图为:
11
【例】 求证：若图中只有两个奇度数顶点，则二 顶点必连通。
18
例如”国际会议对话”任何一人请假，图G-v还 连通，小组对话仍可继续进行，但如果f、g二 人同时不在，G-{f，g}是分离图，则小组中的 对话无法再继续进行。
a
b
c
e d
f
g
19
点割集
记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV: 从G中删除V中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边
7.2 通路、回路与图的连通性
▪ 简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路 ▪ 连通图, 连通分支 ▪ 弱连通图, 单向连通图, 强连通图 ▪ 点割集与割点 ▪ 边割集与割边(桥)
1
一、通路和回路
在图中，一条通路是顶点和边的交替序列，以顶点 开始，以顶点结束。其中，第一条边的终点与第二 条边的始点重合…...。第一条边的始点称为通路的 始点，最后一条边的终点称为通路的终点。 当通路的终点和始点重合时，称为回路。 通路或回路中所含边数称为该通路或回路的长度。
8
二、图的连通性：