高考数学二轮复习 专题五 复数与平面向量课件 理
第五章复数的几何意义【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
由 = ,得(x-1,y-3)=(2,2),
即 x-1=2,y-3=2,解得 x=3,y=5,
故点 D(3,5),其对应的复数为 3+5i.
(2)因为 B(0,-1),C(2,1),
所以直线 BC 的方程为 x-y-1=0,
|1-3-1|
所以点 A 到直线 BC 的距离 d=
上,故选ABC.
答案ABC
微练习2
若x-2+yi和3x-i(x,y∈R)互为共轭复数,则x=
,y=
.
解析由题意,可得
答案-1
1
-2 = 3,
= -1,
故
= 1,
= 1.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
复数与点的对应关系
例1求实数a分别取何值时,复数
下列条件:
(1)在复平面的第二象限内.
=(3,10),而=(0,-3),于是 D(3,7).
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 1.若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的向量
2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得
.
=(a,b).
3.一个向量不管怎样平移,它所对应的复数是不变的,但其起点与终点对
激趣诱思
知识点拨
例1求实数a分别取何值时,复数
四、共轭复数
+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件:
复数z=a+bi(a,b∈R)用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内点Z的坐标是(a,b),而非(a,bi).
这个通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴.
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件理
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是 必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
第十七页，共33页。
下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
第五页，共33页。
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
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(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.5复数的概念课件理
自查自纠
1．－1 运算律 2．实部 虚部 ①b＝0 ②b≠0 ③a＝0 3．a＝c 且 b＝d a＝b＝0 4．一一对应 5．实数 原点 纯虚数
6.|z| a2＋b2
7．共轭复数 z
8．整数集(Z) 有理数集(Q) 实数集(R)
b≠0
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(2015·福建)若集合 A＝{i，i2，i3，i4}(i 是虚数
2．熟练掌握复数部分的一系列概念，对于求解复 数题至关重要．以下三点请注意：
(1)对于复数 m＋ni，如果 m，n∈C(或没有明确界 定 m，n∈R)，则不可想当然地判定 m，n∈R.
第十九页，共20页。
(2)易误认为 y 轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点 除外)．
(3)对于 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意 了 a＝0 而漏掉了 b≠0.
2x0＋1＝0.
∴m＝－13(x02＋x0)＝－13×14－12＝112.故填112.
【点拨】依据两个复数相等的充要条件，构造关于实
数根 x0 与参数 m 的方程组是解决此类问题的有效手段．
第十七页，共20页。
已知 i 为虚数单位，复数 z1＝－1＋2i，
z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为 A，B， C，若O→C＝xO→A＋yO→B，x，y∈R，求 x＋y 的值．
解：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
则 z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得 y＝－2； 2－z i＝x2－－2ii＝15(x－2i)(2＋i)＝15(2x＋2)＋15(x－4)i.
由题意得 x＝4.∴z＝4－2i.
∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.
由于(z＋ai)2 在复平面上对应的点在第一象限，
2023届高考二轮总复习试题(适用于老高考旧教材) 数学(理)复数、平面向量(含解析)
2.复数、平面向量考向1 复数的概念、运算及几何意义1.(2022·河南开封一模)设(1+i 4n+3)z=i,n ∈Z ,则在复平面内,复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(2022·全国甲·理1)若z=-1+√3i,则zz -1=( )A.-1+√3iB.-1-√3iC.-13+√33iD.-13−√33i3.(2022·全国乙·理2)已知z=1-2i,且z+a z +b=0,其中a ,b 为实数,则( ) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-24.(2022·山东潍坊一模)已知复数z 满足z+3=4z +5i,则在复平面内复数z 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.(2022·新高考Ⅰ·2)若i(1-z )=1,则z+z =( ) A.-2B.-1C.1D.2考向2 平面向量的概念及线性运算6. (2022·河南名校联盟一模)如图,在△ABC 中,点M 是AB 上的点且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是CM 上的点,且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.12a +14b B.35a +15b C.14a +12bD.310a +35b7.(2022·河南名校联盟一模)下列关于平面向量的说法正确的是( ) A.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则点A ,B ,C ,D 必在同一直线上 B.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥cC.若G 为△ABC 的外心,则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.若O 为△ABC 的垂心,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.(2022·新高考Ⅰ·3)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD=2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n9.(2022·河南许昌质检)正方形ABCD 中,P ,Q 分别是边BC ,CD 的中点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x=( ) A.1113B.65C.56D.3210.(2022·河南名校联盟一模)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R ,n ∈R ),则n-m= . 考向3 平面向量的数量积11.(2022·新高考Ⅱ·4)已知向量a =(3,4),b =(1,0),c =a +t b ,若<a ,c >=<b ,c >,则实数t=( ) A.-6 B.-5C.5D.612. (2022·新高考八省第二次T8联考)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB ,AD 向外分别作正方形ABEF ,正方形ADMN ,其中AB=2,AD=1,∠BAD=π4,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗=( )A.-2√2B.2√2C.0D.-1 13.(2022·山东威海期末)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=2,且a -b 在a 上的投影为2+√3,则<a ,b >=( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π614.(2022·山东潍坊期末)已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的内切圆的一条弦,点P 为正方形四条边上的动点,当弦MN 的长度最大时,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[0,1]B.[0,√2]C.[1,2]D.[-1,1]15.(2022·山东济宁一模)等边三角形ABC 的外接圆的半径为2,点P 是该圆上的动点,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.4 B.7C.8D.111 3,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=.16.(2022·全国甲·理13)设向量a,b的夹角的余弦值为2.复数、平面向量1.B 解析: ∵i 4n+3=i 4n ·i 3=-i, ∴(1+i 4n+3)z=(1-i)z=i, ∴z=i1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-12+12i,∴复数z 在复平面内对应的点为-12,12位于第二象限. 故选B . 2.C 解析: zz -1=√3i(-1+√3i )(-1-√3i )-1=√3i(-1)2+(√3)2-1=-13+√33i,故选C .3.A 解析: ∵z=1-2i, ∴z =1+2i,∴z+a z +b=1-2i +a (1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i =0, ∴{a +b +1=0,2a -2=0, 解得{a =1,b =-2.故选A .4.A 解析: 设z=x+y i,x ,y ∈R ,则z =x-y i,由z+3=4z +5i 得(x+y i)+3=4(x-y i)+5i,即(x+3)+y i =4x+(5-4y )i,于是得{x +3=4x ,y =5-4y ,解得x=y=1,则有z=1+i 对应的点为(1,1),所以在复平面内复数z 对应的点在第一象限. 故选A .5.D 解析: ∵i(1-z )=1, ∴z=i -1i=1+i, ∴z =1-i . ∴z+z =2. 故选D .6.B 解析: AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=45AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45×34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +15b .7.D 解析: 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则直线AB 与CD 平行或重合,∴点A ,B ,C ,D 不一定在同一直线上,A 错;当b =0时,满足a ∥b 且b ∥c ,不能得出a ∥c ,B 错; 当G 为△ABC 的重心,则GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C 错; 若O 为△ABC 的垂心,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴D 正确,故选D . 8.B解析: 如图.∵BD=2DA ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m +3n . 故选B .9.C 解析: ∵P ,Q 分别是正方形边BC ,CD 的中点,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+y -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-12y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x+y )AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -12y =1,x +y =12,∴{x =56,y =-13,故选C . 10.12解析: 由题意在题图中以O 为原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴非负半轴,过O 与OA 垂直向上为y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则A (1,0),∵向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α, tan α=7,∴cos α=√210,sin α=7√210, 又|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,∴C15,75,cos(α+45°)=-35,sin(α+45°)=45,∴B -35,45, ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴15,75=m (1,0)+n -35,45,∴{m -35n =15,45n =75,解得{m =54,n =74,∴n-m=12. 11.C 解析: 由题意得c =(3+t ,4),cos <a ,c >=cos <b ,c >,故9+3t+16|c |×5=3+t|c |×1,解得t=5.故选C .12.C 解析: AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +A A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π4+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 3π4+0=√2−√2=0.选C . 13.D 解析: (a -b )·a =|a -b ||a |cos <a -b ,a >=(2+√3)·2, 即a 2-a ·b =4+2√3,a ·b =-2√3.所以|a ||b |cos <a ,b >=-2√3,cos <a ,b >=-√32,<a ,b >=5π6.14.A 解析: 由题当弦MN 长度最大时,即MN 为直径,设弦MN 的中点为O ,由题意,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|-1,由1≤|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√2,得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,1]. 15.C解析: 如图所示,建立平面直角坐标系,设△ABC 的边长为a ,则asinA =2R=4(R 为△ABC 外接圆半径),所以a=2√3,A (0,3),B (-√3,0),C (√3,0),△ABC 的外接圆的方程为x 2+(y-1)2=4,设P 点坐标为(2cos θ,1+2sin θ),θ∈R ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+2√3cos θ+2sin θ=4+4cos θ-π6≤8,当cos θ-π6=1时,等号成立.故选C .。
高考数学总复习 第五篇 平面向量与复数《第27讲 平面
向量坐标与点的坐标的区别
在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量
→ OA
＝a，点A的位
置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，
y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝
→ OA
＝
(x，y)．
当平面向量O→A平行移动到O→1A1时，向量不变即O→1A1＝O→A＝ (x，y)，但O→1A1的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．
2．平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算
向量 a
b
a＋b a－b
λa
坐标
(x1，y1)
(x2，y2)
(x1＋x2， y1＋y2)
(x1－x2， y1－y2)
(λx1，λy1)
(2)向量坐标的求法
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
→ AB
＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向
量的坐标等于该向量 终点 的坐标减去 始点 的坐标．
(3)平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a＝ λb⇔ x1y2－x2y1＝0 .
基底的不唯一性 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的 选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底 e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
双基自测 1．已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，则a1＋a2＋…＋an－1 ＝________. 解析 a1＋a2＋…＋an－1＝－an＝(－3，－4)． 答案 (－3，－4)
2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，用a，b表示c，则c ＝________. 解析 设c＝xa＋yb，则xx－ ＋yy＝ ＝42， ， ∴xy＝ ＝3－，1. ∴c＝3a－b. 答案 3a－b
高三数学专题复习之平面向量与复数
平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。
复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。
高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。
数学(理)高考二轮复习：专题五第二讲《椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质》课件(共46张PPT)
a2＋b2＝25
a2＝20
依题意1＝ba×2
，解得b2＝5 ，∴双曲线 C 的方程为
2x02 －y52＝1.
第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一
课前自主诊断
课堂对点补短 限时规范训练 上页 下页
试题
通解 优解
考点一
考点二
考点三
2．设 F1，F2 分别为椭圆x42＋y2＝1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，
第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质 课前自主诊断 课堂对点补短
考点三 直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系
限时规范训练 上页 下页
试题
解析
考点一 考点二
考点三
6．(2016·高考全国Ⅰ卷)设圆 x2＋y2＋2x－15＝0 的圆心为 A，直 线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且 与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积 的取值范围．
10，点 P(2,1)在 C 的一条渐近线上，则 C 的方程为( A )
A.2x02 －y52＝1
B.x52－2y02 ＝1
C.8x02－2y02 ＝1
D.2x02－8y02 ＝1
第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一
课前自主诊断
课堂对点补短
限时规范训练 上页 下页
试题
解析
考点一 考点二 考点三
长即可表示出面积，解方程求 b 即可． 由题意知双曲线的渐近线方程为 y＝±b2x，圆的方程为 x2＋y2＝4，
2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量基本定理及坐标表示
2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.(×)(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案(1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，＝5－x ，＝6－y ，＝1，＝5.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.题组三易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.答案－6解析因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝2a －53b.因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，2－λ＝2x ，－1＝－53x ，x ＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案34解析∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，即P 为AB的一个三等分点，如图所示．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →，而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →.又CP →＝CA →－PA →＝－AC →＋13AB →，由已知CM →＝tCP →，可得x 2AB →＝AC →＋13AB 又AB →，AC →不共线，＝t 3，1＝－t，解得t ＝34.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)答案A解析设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案－2解析由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.答案－2或6解析由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →1－x ＝6，－4＝2－2y ，x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114答案B解析因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3(1)(2018·济南模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．答案2解析∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．答案－23解析AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为()A ．(－8,1)1D ．(8，－1)答案B解析设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于()A ．(3,1)B ．(4,2)C ．(5,3)D ．(4,3)答案B解析AC →＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1,1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC →＋BC →＝(4,2)．故选B.3．(2018·海南联考)设向量a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x )，若向量a 与b 同向，则x 等于()A ．－2B ．2C ．±2D ．0答案B解析由向量a 与b 共线得－x 2＝－4，所以x ＝±2.又向量a 与b 同向，所以x ＝2.故选B.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于()A ．22 B.2C ．2D ．42答案A解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2019·蚌埠期中)已知向量m A n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C 解析∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，∴1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3，∴A 1，∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈－π6，因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.7．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．答案(－4，－2)解析∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a ＝(－4，－2)．9．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案12解析由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.10．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线；(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)k a－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－1 2 .(2)方法一∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λBC→，即2a＋3b＝λ(a＋m b)，＝λ，＝mλ，解得m＝32.方法二AB→＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a＋m b＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝32.12.如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC→|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，－12，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，λ－12μ，＝32μ，＝4，＝2.所以λ＋μ＝6.13.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ等于()A ．3B.52C ．2D ．1答案B 解析由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)，∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)，∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →－μ＝12，＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.14．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为()A ．3B ．22 C.5D．2答案A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)0＝2＋255cos θ，0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤sin φ＝55，cos φ当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.15.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)，若AP →＝λED →＋μAF →，则2λ－μ的值是________．答案0解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (2,0)，F (3,1)，所以ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)，则AP →＝λED →＋μAF →＝(－2λ＋3μ，2λ＋μ)，又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为(2，2)，AP →＝(2，2)，所以－2λ＋3μ＝2，2λ＋μ＝2，所以λ＝24，μ＝22，所以2λ－μ＝0.16.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA →，OB →，OC →满足条件：OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解建立如图所示的平面直角坐标系，由tan α＝7知α为锐角，且sin α＝7210，cos α＝210，故cos(α＋45°)＝－35，sin(α＋45°)＝45.∴点B ，C －35，∴OB →－35，OC →又OC →＝mOA →＋nOB →，m (1,0)＋－35，－35n ＝210，＝7210，＝528，＝728，∴m ＋n ＝528＋728＝322.。
《复数的概念及其几何意义》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
把新引进的数添加到实数集后，我们希望按照前面总结的数系扩充的“规则”，对实数系进行进一步扩充，那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成？
，
，
．(如：，，，等)
所有新数集中的数都可以写成（，）的形式，因为，，，．
我们把形如（，）的数叫做复数．通常用字母表示，即
（，）．
实数的绝对值和向量的模的几何意义分别是什么？通过类比，你能说出复数的模的几何意义吗？
数轴上表示数的点到原点的距离，就叫做这个数的绝对值．而向量的大小称为向量的长度，也称为向量的模． 类比可得， 复数的模：．
从几何上来看复数（，）的模表示点到原点的距离．
全体复数构成的集合为，，叫做复数集，用字母一般记作．
复数集与实数集有什么关系呢？
对于复数（，），当且仅当时，它是实数，当且仅当时，它是实数，当时，叫做虚数，当且时，叫做纯虚数．
复数集
虚数集
实数集
你能写出自然数集、整数集、有理数集、实数集和复数集的关系，并用图表示吗？
显然实数集是复数集的真子集，即．
我们知道复数集是由形如（，）的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，那么，两个复数和（，）相等的含义是什么呢？
复数由实部和虚部唯一确定，所以判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等．
两个实数可以比较大小，但是两个负数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或不相等．
解：向量平移后得到向量，则，因而向量所对应的复数是．注意：(1)向量平移后，所得向量的坐标不变．(2)向量的横坐标、纵坐标分别是其对应复数的实部与虚部．
结构框图
教材第167页练习第1-4题．
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2023年高考数学一轮复习 核按钮版 课件 第5章 平面向量与复数
(3)在△ABC 中，点 M，N 满足A→M＝2M→C，B→N＝N→C. 若M→N＝xA→B＋yA→C，则 x＝__________； y＝__________.
解：因为A→M＝2M→C，所以A→M＝23A→C. 因为B→N＝N→C，所以A→N＝12(A→B＋A→C)，所以M→N＝A→N－A→M ＝12(A→B＋A→C)－23A→C＝12A→B－16A→C，所以 x＝12，y＝－16. 故填12；－16.
3. 向量共线定理
向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa.
【常用结论】
4. 加法运算的推广 (1)加法运算的推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An－1An＝A→1An. (2)向量三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第 三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形). 5. 线性运算重要结论 (1)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则O→P＝12(O→A＋O→B). (2)若 G 为△ABC 的重心，则G→A＋G→B＋G→C＝0. (3)若O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ为实数)，则点 A，B，C 共线的充要条件是 λ＋μ＝1.
【点拨】 进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点 出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决.
(1)(2020 届河南高三开学摸底)如图所示的△ABC 中，点 D，E，F 分别在边 BC，AC，
AD 上，且 BD＝DC，AE＝2EC，DF＝2AF，则向量E→F＝
(2021 宁夏大学附属中学高一月考)若 a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，则以下向量中与 2a＋b 共
高考数学考点知识专题讲解6---平面向量与复数
2
uuur uuur OA+OB
= 2 (a + b)
uuuur uuur uuuur ∴ MN=ON-OM
=
1
a
−
1
b
33
3
26
第6题
第 2 讲 向量的数量积
【考点导读】 1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义.
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质 律 2. 掌握平面向量数量积的性 及运算 . 达 3. 掌握平面向量数量积的坐标表 式. 长 4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、 度的问题.
的 角 为 12 ，
⊥ 取值 围 （1）求证： (a − b) c ；（2）若| ka + b + c |> 1 (k ∈ R) ，求 k 的 范 .
: , 分析 问题（1）通过证明 (a − b) ⋅ c = 0 证明 (a − b) ⊥ c 问题（2）可以利用| ka + b + c |2 = (ka + b + c )2
即 （2）∵ | ka + b + c |> 1， | ka + b + c |2 > 1
就也 是 k2a2 + b2 + c2 + 2ka ⋅ b + 2ka ⋅ c + 2b ⋅ c > 1
∵ a ⋅ b = b ⋅ c = a ⋅ c = − 1 ，∴ k 2 − 2k > 0 2
． 所以 k < 0 或 k > 2
AD
的中点，则
OE
=
1
a
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
b
+
高三高考数学二轮复习 复数与平面向量
复数与平面向量[回归教材]1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的相关概念 (1)复数的分类①z 是实数⇔b ＝0；②z 是虚数⇔b ≠0；③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模|z |＝a 2＋b 2.(4)复数的相等： a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 2．复数的运算法则(1)加减法：类比多项式的加减法运算； (2)乘法：类比多项式的乘法运算； (3)除法：分母实数化． 3．复数中常用结论(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )． (2)z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n .4．平面向量的线性运算：加法、减法及数乘运算 (1)两个运算法则：三角形法则和平行四边形法则． (2)共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))． (3)三点共线的2个结论①若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)． ②OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. 5．平面向量的数量积设a ，b 为非零向量，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则 (1)a·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)cos θ＝a·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.(3)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |. 6．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 7．有关向量夹角的2个结论(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．8．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A . (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. [保温训练]1．设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则z 的共轭复数为( )A ．iB ．－iC ．2iD ．－2i A [∵1－z 1＋z ＝i ，∴z ＝1－i 1＋i＝－2i2＝－i ， ∴z ＝i.故选A ．]2．(2020·曲靖二模)若复数2a ＋2i1＋i (a ∈R )是纯虚数，则复数2a ＋2i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [2a ＋2i 1＋i ＝2(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i 是纯虚数，则⎩⎨⎧a ＋1＝0，1－a ≠0，a ＝－1, 2a ＋2i ＝－2＋2i ，对应点为(－2,2)，在第二象限．故选B ．]3．(2020·山西省一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝13，|b |＝1，且|2a ＋b |＝|a ＋b |，则a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6C [因为平面向量a ，b 满足|a |＝13，|b |＝1，且|2a ＋b |＝|a ＋b |, 所以|2a ＋b |2＝|a ＋b |2，所以2ab ＝－3a 2，所以 2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－3a 2，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，所以a 与b 的夹角为2π3.故选C ．]4．(2020·重庆模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝(m,2)，且(a －2b )⊥c ，则实数m ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．任意实数B [∵a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，∴a －2b ＝(3,0)，∵c ＝(m,2)，(a －2b )⊥c ，则(a －2b )·c ＝3m ＝0，解得m ＝0.故选B ．] 5．已知命题p ：复数z ＝1－2i 1＋i的虚部是－32，命题q ：复数(2＋i )(1－2i )＝4－3i ，以下命题真假判断正确的是( )A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假A [因为z ＝1－2i 1＋i ＝(1－2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－12－32i ，所以其虚部为－32，所以p 为真命题；因为(2＋i )(1－2i )＝2－4i ＋i －2i 2＝4－3i ，所以q 为真命题，故选A ．] 6．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则EM →＝( )A ．12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB → C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB →C [如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.]7．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________. －6 [a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.]8．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝1，|a －b |＝3，则|b |＝________. 2 [∵|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝3，|a |＝1， 向量a 与b 的夹角为60°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12|b |，|a |2＝1，∴|b |2－|b |－2＝0，解得|b |＝2或|b |＝－1(舍去)．]。
高考数学 第五章平面向量复数5.5复数课件
思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算. (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
跟踪训练 1 (1)已知 a∈R，i 是虚数单位，若 z＝ 3＋ai，z·z ＝4，则 a＝1_或__－__1_. 解析 由题意得 z ＝ 3－ai， 故 z·z ＝3＋a2＝4，解得 a＝±1.
师生共研
题型三 复数的几何意义
例4 (1)复数z满足(2＋i)z＝|3－4i|，则z在复平面内对应的点位于第__四__象限.
解析 ∵(2＋i)z＝3－4i＝ 9＋16＝5，
∴2－i(2＋i)z＝52－i，5z＝52－i，z＝2－i，
z 在复平面内对应的点为2，－i2＋i
5
，
a＋2i ∵复数 2－i 为纯虚数，∴2a－2＝0 且 a＋4≠0，
解得a＝1.
思维升华
复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注 意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解.
多维探究
题型二 复数的运算
命题点1 复数的乘法运算 例1 (1)(2018·全国Ⅲ改编)(1＋i)(2－i)＝_3_＋__i_. 解析 (1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.
5.若复数 z 满足3＋4iz＝1－i(i 是虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 z ＝－__21_5_＋__27_5_i_.
1－i 1－i3－4i －1－7i 解析 由题意可得 z＝3＋4i＝3＋4i3－4i＝ 25 ， 所以 z ＝－215＋275i.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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(统考版)2023高考数学二轮专题复习：集合、复数与常用逻辑用语课件
zത 2+i 3+4i
解析：因为z＝2＋ ＝2＋
＝2－i，所以തz＝2＋i，则 ＝ ＝
，所以复
1+i
2
z 2−i
5
zത
数 在复平面内所对应的点在第一象限．z zത＝(2－i)(2＋i)＝4－i2＝5，则选项A，
z
C，D正确，选项B错误．故选B.
练后领悟
1．复数的概念及运算问题的解题技巧
(1)与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为mi(m∈R且m≠0)，
(4)A∩ B＝A⇔A⊆B，A∪ B＝A⇔B⊆A.
考点二
复数——求实、虚部是根本
考点二
复数——求实、虚部是根本
导向性
原则性
考查数学运算，逻辑推理核心素养．
主干知识、必考点、注意概念要点．
1.[2022·湖南高一期中]已知复数z＝m＋i(m∈R)，则“|z|>
“m>3”的(
)
A.充分不必要条件
B.充要条件
D.若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin
答案：D
2 5
α＝
5
)
3．[2022·河南新乡高二期中]若复数z在复平面内对应的点位于第二
象限，则(
)
A.z2不可能为纯虚数
B.z2在复平面内对应的点可能位于第二象限
C.z2在复平面内对应的点一定位于第三象限
D.z2在复平面内对应的点可能位于第四象限
中有3个元素，则集合B为{1，2，3}的非空真子集，有23－2＝6种取法；此时共
有1×6＝6种取法；综上所述：不同的取法共有9＋15＋6＝30种．
故选C.
练后领悟
1．解决集合问题的三个注意点
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2．活用公式与结论 (1)平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： ① a∥ b⇔ a＝ λb⇔ x1y2－ x2 y1＝ 0. ② a⊥ b⇔ a·b＝ 0⇔ x1 x2＋ y1y2＝ 0. (2)三角形两心的向量形式 设 O 为△ABC 所在平面上的一点． ①O 是三条中线的交点⇔O 是△ABC 的重心⇔O→A＋O→B＋O→C ＝0；
D．1－3i
解析：(a＋bi)(1＋i)＝2＋4i，
即(a－b)＋(a＋b)i＝2＋4i，
∴a－ a＋
b＝ b＝
2 ， 4
∴
a＝3，b＝
1.∴b＋10ai＝
10 ＝10（ 1＋3i
1－ 10
3i）
＝
1
－3i，故选 D.
1．设复数 z 满足11＋－zz＝i，则|z|＝( A )
A．1
B． 2
C. 3
2．复数－1＋6＋2ai i为纯虚数，则实数 a 的值为( B ) A．－3 B．3 C．6 D．－6
解析：－1＋6＋2ai i＝（（－1＋6＋2ai）i）（（1－1－22i）i） ＝（－6＋2a）＋（12＋a）i，
5 ∴－6＋2a＝0，a＝3.
3．若复数 z 满足 z－|z|＝－2＋4i，则 z 的实部为( B )
式，难度不会太大
卷Ⅰ， (2)2016年高考以复数的 基本概念以及复数的代
T13 数运算为主要考点，重
念和运 卷Ⅱ， T3
算
T13
卷Ⅱ， 点考查运算能力及转化 T13 与化归思想、方程思想
1．必记概念与定理 (1)平面向量的两个重要定理 ①向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一 个实数λ，使b＝λa. ②平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
＝ 3－ i＋ 1－ 2i＝ 4－ 3i，
∴－ 3i＝ (1＋ z)(4－ 3i)＝ 4－ 3i＋ (4－ 3i),
∴z＝4－－43i＝（
－4（4＋3i） 4－3i）（4＋3i）
＝－16－12i. 25 25
∴|z|＝ （－16）2＋（－12）2＝4.
专题五 复数与平面向量
2016考向导航
历届高考
三年真题统计
考什么？ 2015 2014 2013
2016会怎样考？
1.复数的 卷Ⅱ，
概念与
运算
T2
2.平面向 卷Ⅰ， 量的概 T7
卷Ⅱ， T2
卷Ⅰ， T2
卷Ⅱ，
(1)2016年高考对本部分
卷Ⅱ，T2
内容的考查仍将以向量 的线性运算为主，将保
卷Ⅰ，T2 持选择题或填空题的形
(经典考题)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部
为( D )
A．－4
B．－45
C．4
D．45
[解析] ∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝|43＋－
3i|＝ 4i
42 ＋ 32 ＝5（ 3＋ 4i）
3－4i
25
＝3＋4i， 55
∴z 的虚部为4. 5
[名师点评] 判断复数z的实部与虚部时，应先将复数化简成z ＝a＋bi(a，b∈R)的形式，其中a为实部，b为虚部．
z2＝1＋2
＋ i
(1＋
i)2
＝（1＋2（i）1－（i1）－i）＋2i＝1－i＋2i＝1＋i.
3．若复数 z 满足－ 1＋3iz＝31＋0 i＋1＋5 2i，则|z|等于( D ) A.1
5 B．2
5 C.3
5 D．4
5
解析：1－＋3zi＝31＋0 i＋1＋5 2i
＝（31＋0（i）3（－3i）－i）＋（1－5（2i）1－（21i）＋2i）
②O 是三条高线的交点⇔O 是△ABC 的垂心⇔O→A·O→B＝
O→B·O→C＝O→C·O→A.
3．辨明易错易混点 (1)a＝0，则a·b＝0，但由a·b＝0，不能得到a＝0或b＝0，因 为a⊥b时，a·b＝0. (2)两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的 数量积大于0不等价．
考点一 复数的概念
D．2
解析：由11＋ －zz＝i， 得 z＝－1＋1＋i i＝（－1＋i）2 （1－i）＝22i＝i， 所以|z|＝|i|＝1，故选 A.
2．若复数 z 的共轭复数 z ＝1－i, 则2＋z2 等于( B ) z
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
解析：由 z ＝1－i 知 z＝1＋i
∴2＋ z
复数 z 满足|z|＝1，(3＋4i)z∈R，则 z 的实部为( C )
A.3
B．4
5
5
C．±3 5
解析：设 z＝x＋yi(x，y∈R)．
D．±4 5
则 (3＋ 4i)(x＋ yi)
＝ (3x－ 4y)＋(4x＋ 3y)i∈ R.
∴ 4x＋ 3y＝ 0，
又|z|＝1.即 x2＋y2＝1.
x＝3
x＝－3
(2)平面向量的三个性质
①若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2.
②若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2.
③若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为 a 与 b 的夹角，
则 cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 . x12＋y21 x22＋y22
[解析] ∵ 21＋＋aii＝3＋i， ∴ 2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i， ∴ a＝4，故选 D.
[名师点评] 根据复数的运算法则化简已知等式，然后利用 复数相等的概念求a.
若 a，b∈R，(a＋bi)(1＋i)＝2＋4i，则b＋10ai等于( D )
A．1＋3i
B．－1＋3i
C．－1－3i
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：设 z＝x＋yi(x，y∈R)
则 x＋yi－ x2＋y2＝－2＋4i，
∴x－ x2＋y2＝－2， y＝4
解之得 x＝3，y＝4.
考点二 复数的运算
(2015·高考全国卷Ⅱ，5 分)若 a 为实数，且21＋＋aii＝3＋i，
则 a＝( D )
．4
联解得
5或
5，故选 C.
y＝－4 y＝4
5
5
1．当复数 z＝m＋1＋(m－1)i(m∈R)的实部与虚部之和为 4 时，
则复数1z0的虚部为( B )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
解析：由题意得 m＋1＋m－1＝4.
∴m＝2，即 z＝3＋i，
∴1z0＝31＋0 i＝（31＋0（i）3（－3i）－i）＝3－i.