第十四讲泰勒公式在近似计算中应用

泰勒公式的应用范文

泰勒公式的应用范文泰勒公式是一种在微积分中用来近似计算函数值的方法。

它将一个函数表示为一个无穷级数的形式，使得我们可以通过计算级数中的有限项来近似计算函数的值。

泰勒公式广泛应用于数学、物理学、工程学和计算机科学等领域，并对数值计算和数学建模等重要任务具有重要意义。

以下将介绍泰勒公式在这些领域的一些应用。

一、在数学领域的应用：1.函数近似：泰勒公式可用于近似计算一个函数在其中一点的函数值，特别是在点附近的小区间内。

这对于无法直接计算的复杂函数或含有未知变量的函数是非常有用的。

2.导数和高阶导数的计算：泰勒公式可以通过计算级数中的有限项来近似计算一个函数在其中一点的导数。

这对于无法直接计算导数或高阶导数的函数是非常有用的。

3.极限计算：泰勒公式提供了一种计算函数在一个点的极限的方法，特别是对于无法直接计算的函数或复杂函数而言。

二、在物理学领域的应用：1.运动学和动力学：泰勒公式可用于近似计算运动学和动力学中各种物理量的变化率，如速度、加速度和力。

2.波动学：泰勒公式可以近似计算波函数随时间和位置的变化，从而帮助解决波动学相关的问题，如声波、光波和电磁波等。

3.热力学：泰勒公式可用于计算物体在热力学过程中的温度、能量和熵等的变化。

三、在工程学领域的应用：1.信号处理：泰勒公式可以用于近似表示信号在时间域和频域中的变化，从而帮助处理和分析各种类型的信号。

2.控制理论：泰勒公式可用于近似表示控制系统中各种变量的变化，从而帮助设计和优化控制器，以实现稳定和可靠的系统性能。

3.电路分析：泰勒公式可用于近似计算电路中各种元件的电压、电流和功率等的变化，特别是在非线性电路和非稳态电路的分析中。

四、在计算机科学领域的应用：1.数值计算：泰勒公式可用于近似计算各种数学函数的值，从而帮助实现高效和准确的数值计算方法，如数值积分、数值微分和数值优化等。

2.图像处理：泰勒公式可以用于近似表示图像中各个像素值的变化，从而帮助实现图像增强、图像压缩和图像恢复等处理算法。

泰勒公式在近似计算中的应用

泰勒公式在近似计算中的应用泰勒公式是一种数学工具，可以用于近似计算。

它是由英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）在18世纪提出的，用于近似计算复杂函数的值。

泰勒公式在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。

泰勒公式的基本思想是将一个复杂的函数表示为无穷级数的形式。

如果一个函数在某个点附近具有充分的可导性，那么该函数在这个点附近的值可以通过泰勒公式进行近似计算。

泰勒公式的一般形式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)是要计算的函数，a是近似点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等分别是函数在a点的一阶、二阶、三阶导数。

泰勒公式可以根据需要进行截断，只保留有限项进行计算，以达到近似计算的目的。

泰勒公式的应用非常广泛。

在计算机科学中，泰勒公式可以用于优化算法、图像处理、机器学习等领域。

例如，在图像处理中，可以利用泰勒公式对图像进行插值，从而实现图像的放大和缩小。

在优化算法中，泰勒公式可以用于求解无约束优化问题，通过近似计算优化函数的值和导数，从而加快优化过程。

在机器学习中，泰勒公式可以用于构造损失函数的近似值，从而简化模型的训练过程。

在物理学中，泰勒公式可以用于近似计算物理量的变化。

例如，在牛顿力学中，可以利用泰勒公式对物体的运动进行近似计算。

通过计算物体在某一时刻的位置、速度和加速度，并利用泰勒公式进行递推，可以得到物体在未来时刻的位置和速度。

这种近似计算方法在天体力学、流体力学等领域有着广泛的应用。

除了在科学和工程领域，泰勒公式还可以用于金融和经济学中的近似计算。

例如，在金融领域中，可以利用泰勒公式对金融衍生品的价格进行近似计算。

通过对金融模型的近似展开，并利用泰勒公式进行截断，可以得到金融衍生品的近似价格。

泰勒公式求近似值

泰勒公式求近似值
泰勒公式是用来求解函数在某一点的近似值的一种方法。

其基本思想是将函数在该点的值表示成一系列关于该点的幂次项的和，并且通过不断增加幂次项的数量来提高近似的精度。

泰勒公式的一般形式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)/2! + ... +
f(a)(x-a)/n! + R(x)
其中，f(x)是函数在点x处的函数值，f(a)是函数在点a处的函数值，f(a)是函数在点a处的n阶导数，R(x)是余项。

泰勒公式可以用来求解函数在某一点的近似值。

例如，如果我们想要求解函数f(x)=sin(x)在点x=0.5处的近似值，我们可以使用泰勒公式：
sin(0.5) = sin(0) + cos(0)(0.5-0) - sin(0)(0.5-0)/2! - cos(0)(0.5-0)/3! + ...
化简之后可以得到：
sin(0.5) ≈ 0.47942
这就是函数sin(x)在点x=0.5处的近似值。

总而言之，泰勒公式是一种常用的求解函数近似值的方法，可以通过不断增加幂次项的数量来提高近似的精度。

- 1 -。

通过泰勒展开迭代求函数近似值

通过泰勒展开迭代求函数近似值泰勒展开是一种用多项式函数近似表示给定函数的方法，它可以通过迭代的方式来逼近给定函数的值。

通过泰勒展开迭代求函数近似值需要先了解泰勒展开的原理和方法，然后通过迭代计算逐步逼近目标函数的值。

下面将详细介绍泰勒展开的原理和方法，并通过一个具体的例子来演示如何通过泰勒展开迭代求函数的近似值。

泰勒展开是一种将一个函数表示成以该函数在某一点的各阶导数为系数的无穷级数的方法。

泰勒展开的公式如下所示：\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...\]其中，\(f(x)\)是要逼近的函数，\(f(a)\)是函数在点\(a\)处的值，\(f'(a)\)、\(f''(a)\)等分别表示在点\(a\)处的一阶、二阶导数等。

通过泰勒展开，可以将一个函数表示成一个无穷级数的形式，从而在某一点的附近用一个多项式来近似表示原函数。

在实际计算中，通常只需要考虑前几项的级数，即通过截断级数来近似表示原函数。

下面通过一个具体的例子来演示如何通过泰勒展开迭代求函数的近似值。

假设我们要求函数\(f(x)=e^x\)在\(x=0\)处的近似值。

根据泰勒展开的公式，我们可以得到：\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+...\]由于\(e^x\)的各阶导数在\(x=0\)处的值都为1，因此上述公式可以简化为：\[f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\]现在我们可以利用这个泰勒展开的级数来逼近\(e^x\)在\(x=0\)处的值。

为了得到一个更为精确的近似值，我们可以通过迭代的方式逐步计算级数的部分和，以逼近\(e^x\)在\(x=0\)处的值。

泰勒公式的应用

Taylor 公式在高等数学解题中的应用1 预备知识Taylor 中值定理如果函数f (x )在含有x 0的某个开区间(a ，b )内具有直到(n +1)阶的导数，则∀x ∈(a ，b )，有f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+!2)(0x f '' (x -x 0)2+…!)(0)(n x f n (x -x 0)n +R n (x ) (1) 其中R n (x )=10)1()()!1()(++−+n n x x n f ξ，这里ξ是x 0与x 之间的某个值，称(1)式为Taylor 公式．2 Taylor 公式的应用2.1求函数的近似值在微分的近似计算中，有函数的近似公式：))(()()(000x x x f x f x f −'+≈，但它的精度往往比较低。

事实上，它只是Taylor 公式的一阶近似，利用高阶Taylor 公式可以使精度达到我们所要求的水平：如M x f n ≤+)()1(，d x x ≤−0，则)(!)())(()()(00)(000x x n x f x x x f x f x f n −++−'+≈ ，其误差110)1()!1()()!1()()(++++≤−+=n n n n d n M x x n f x R ξ。

2.2求多项式的表达式例 1 三次多项式)(x p 在1=x 处的函数值及各阶导数值为1)1(=p ，2)1(−='p ，4)1(=''p ，6)1(='''p ，求)(x p 。

解：注意到)(x p 在1=x 处有三阶导，不妨考虑将)(x p 在1=x 处展开为带Lagrange 型余项的Taylor 公式，则)1(,)1(!4)()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(4)4(32x x p x p x p x p p x p <<−+−'''+−''+−'+=ξξ 又)(x p 为三次多项式，则0)()4(=ξp ，所以43)1()1(2)1(21)(2332+−−=−+−+−−=x x x x x x x p2.3求未定式的极限在寻找未定式极限时常用等价无穷小替换法，如x e x ~1−，x x ~sin （0→x 时），以及洛必达法则。

函数的泰勒展开与近似计算

函数的泰勒展开与近似计算函数的泰勒展开在数学和物理领域中具有重要的意义。

它提供了一种用多项式逼近函数的方法，使得在某个点附近的函数值可以通过多项式计算得到。

在实际问题中，我们经常需要计算复杂函数的近似值，而泰勒展开提供了一种简单而有效的方式来进行这样的计算。

本文将介绍泰勒展开的原理和应用，并且通过具体的例子来说明它在近似计算中的作用。

1. 泰勒展开原理泰勒展开是将一个函数在某个点附近进行多项式逼近的方法。

给定一个函数f(x)，如果该函数在点x=a处有无穷阶可导，那么该函数可以表示为以下的泰勒级数：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中f'(a)表示f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在点a处的二阶导数，依此类推。

当x接近于a时，泰勒级数可以无限地逼近原函数f(x)。

2. 近似计算泰勒展开在近似计算中具有广泛的应用。

通过截取泰勒级数的有限项，我们可以得到原函数在某个点附近的一个近似值。

这种近似计算方法在科学计算中非常常见，因为多项式计算通常比其他复杂函数计算更加简单和高效。

在实际应用中，我们经常需要计算一些复杂的数学函数，例如三角函数、指数函数和对数函数等。

对于这些函数，我们可以通过泰勒展开来计算它们的近似值，从而简化计算过程。

3. 例子：计算正弦函数的近似值我们以计算正弦函数的近似值为例来说明泰勒展开的具体应用。

正弦函数的泰勒展开可以表示为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...如果我们希望计算sin(0.1)的近似值，可以截取泰勒级数的前几项进行计算。

假设我们截取前五项，那么近似值可以计算如下：sin(0.1) ≈ 0.1 - 0.1^3/3! + 0.1^5/5! - 0.1^7/7! + ...通过计算，可以得到sin(0.1)的近似值为0.0998*******。

利用泰勒公式近似计算函数值

利用泰勒公式近似计算函数值引言在数学和科学领域中，经常需要计算复杂函数的近似值。

泰勒公式是一种常用的数学工具，通过展开函数为一系列项的和，可以将原函数在某个参考点附近的值近似表示出来。

在本文中，我们将探讨如何利用泰勒公式来近似计算函数的值，并展示一些实际应用的例子。

泰勒公式的介绍泰勒公式是一种通过幂级数展开来近似计算函数值的方法。

它基于以下观察：任何光滑函数都可以表示为无穷级数的形式。

泰勒公式的一般形式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a)/1! + f''(a)(x - a)^2/2! + ... + f^n(a)(x - a)^n/n! + R_n其中，f(x)是要近似计算的函数，a是参考点，f’(a)、f’’(a)等表示函数在参考点处的导数，R_n表示剩余项。

利用泰勒公式进行近似计算的步骤下面是使用泰勒公式进行近似计算的一般步骤：1.选择一个合适的参考点a。

2.计算函数在参考点处的值f(a)。

3.计算函数在参考点处的各阶导数f’(a)、f’’(a)等。

4.根据泰勒公式的形式，将导数和剩余项代入公式。

5.根据需要的精度，截断无穷级数，保留前n项进行近似计算。

实际应用示例示例一：正弦函数的近似计算我们使用泰勒公式来近似计算正弦函数在0附近的值，以了解该方法的效果。

首先选择参考点a为0，计算得到相关导数：f(a) = sin(0) = 0f'(a) = cos(0) = 1f''(a) = -sin(0) = 0f'''(a) = -cos(0) = -1代入泰勒公式，我们得到近似公式：f(x) ≈ 0 + 1(x - 0) / 1! + 0(x - 0)^2 / 2! - 1(x - 0)^3 / 3!化简得：f(x) ≈ x - x^3/6通过比较计算得到的近似值和正弦函数的真实值，可以验证该方法的准确性。

泰勒公式及其在在计算方法中的应用讲解

泰勒公式在计算方法中的应用摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。

通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便.关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分§1 引言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数,进行函数值的计算;而且函数的Taylor 公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用.§2泰勒（Taylor ）公式定理 1 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1+n 阶导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：()20000000()()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x '''=+-+-+-+……+n!(1)其中 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+ （2）公式（1）称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式,()n R x 的表达式（2）称为拉格朗日型余项.定理2 若函数()f x 在点0x 存在直至n 阶导数,则有()200000000()()()()()()()()(())2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x '''=+-+-+-+-……+n!(3)公式(3)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式,形如(())no x x -的余项称为佩亚诺型余项. 特别地：在泰勒公式(1)中,如果取00x =,则ξ在0与x 之间,因此可令(01),x ξθθ=<<从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm ）公式:()()()112(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!nn n n f f f x f x f f x x x xn θ++'''=+++++……+n!(01)θ<<（4）在公式(3)中,如果取00x =,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!n nn f f f x f f x x x o x '''=++++……+n!(5)§3 泰勒公式的求法（1）带佩亚诺余项的泰勒公式的求法只要知道()f x 在x =0x 处n 阶可导，就存在x =0x 带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式。

泰勒公式在近似计算和误差估计的应用

泰勒公式在近似计算和误差估计的应用泰勒公式在近似计算和误差估计1. 什么是泰勒公式？泰勒公式是数学中一种用多项式来逼近函数的方法。

通过泰勒公式，我们可以将复杂的函数用一个无穷级数的形式表示出来，并利用有限项来近似计算函数的值。

2. 泰勒公式的应用在数值计算中的近似计算泰勒公式在数值计算中有广泛的应用，其中最常见的就是利用泰勒级数来近似计算函数的值。

通过截取泰勒级数的前几项，我们可以得到一个多项式函数，该函数可以在原函数附近进行近似计算。

这对于计算机在求解复杂函数时非常有用，因为计算机可以快速计算多项式函数的值。

误差估计泰勒公式可以帮助我们估计近似计算的误差。

通过泰勒公式展开函数并截取一定项数的级数，我们可以得到一个近似值和一个误差项。

误差项表示了我们使用近似计算方法得到的值和实际值之间的差距。

通过估计误差项的大小，我们可以知道近似计算的可靠性，进而进行进一步的优化和调整。

在物理学中的应用泰勒公式在物理学中也有广泛的应用，尤其是在近似计算和误差估计方面。

例如在力学中，我们经常需要计算物体的位移、速度和加速度等相关量。

通过在泰勒公式中选择适当的展开点和阶数，我们可以用泰勒级数来近似计算这些相关量，从而简化问题的求解过程。

3. 总结泰勒公式是一种用多项式逼近函数的方法，它在近似计算和误差估计中具有广泛的应用。

在数值计算中，我们可以利用泰勒级数来近似计算函数的值，并通过截取级数的项数来控制计算的精度。

在物理学中，泰勒公式可以用来近似计算物体的相关物理量，简化问题的求解过程。

同时，通过估计泰勒展开的误差项，我们可以对近似计算的可靠性进行评估，并进行进一步的优化调整。

泰勒公式及其在在计算方法中的应用讲解

泰勒公式在计算方法中的应用摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。

通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便.关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分§1 引言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数,进行函数值的计算;而且函数的Taylor 公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用.§2泰勒（Taylor ）公式定理 1 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1+n 阶导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：()20000000()()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x '''=+-+-+-+……+n!(1)其中 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+ （2）公式（1）称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式,()n R x 的表达式（2）称为拉格朗日型余项.定理2 若函数()f x 在点0x 存在直至n 阶导数,则有()200000000()()()()()()()()(())2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x '''=+-+-+-+-……+n!(3)公式(3)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式,形如(())no x x -的余项称为佩亚诺型余项. 特别地：在泰勒公式(1)中,如果取00x =,则ξ在0与x 之间,因此可令(01),x ξθθ=<<从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm ）公式:()()()112(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!nn n n f f f x f x f f x x x xn θ++'''=+++++……+n!(01)θ<<（4）在公式(3)中,如果取00x =,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!n nn f f f x f f x x x o x '''=++++……+n!(5)§3 泰勒公式的求法（1）带佩亚诺余项的泰勒公式的求法只要知道()f x 在x =0x 处n 阶可导，就存在x =0x 带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式。

关于泰勒公式在近似计算中的应用

定理２：若函数ｆ（ｘ，ｙ）在点Ｐ（ｘ。，Ｙ。）的邻域Ｇ存在ｎ＋ｌ阶连续
的偏导数，则
。（ｐ “ 、／＝￣￣／０．０８＋（－０．０４）了＝面ｘ／－ｇ６＜０．ｏ９
，
ＶＱ（ｘ０＋ｈ，ｙｏ＋ｋ） ∈Ｇ，有
要使『ＲｘＩ．一 —
ｎ＝５即可．
定理１：设函数ｆ（ｘ）在点ｘ０的某个邻域内具有直到ｎ十１阶的导数，则对该邻域内异于ｘｎ的任意点ｘ有ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ。）＋ｆ，（ｘ。）（ｘ — ｘ
符号（）ｄｘｄｉ（兰Ｙ）Ｉｆ（ｘ。，ｙ０）表示偏导数三在Ｐ（ｘ０，ｙ０）的值，
３＋ｋ３
－－－－
）￣ｆ（ｘ
ｏ，Ｙｏ）＝
ｃ
ｒｃｘ０，ｙ０）．
参考文献：［１］同济大学数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教
要使得Ｒ＜Ｏ．００９，只需ｐ “ ＜０．００９，而ｐ＜（０．０９）＝Ｏ．００８１＜
０．００９．
ｆ（ｘｏ＋ｈ，ｙｏ＋ｋ）＝ｆ（ｘ。，ｙ０）＋｛『（ｈ＋ｋ）ｆ（ｘ。，ｙ０）＋（ｈ＋ｋ
＝
１＋４ × ０．０８＋６ × ０．０８２＋０

《高等数学》课程中泰勒公式的应用

《高等数学》课程中泰勒公式的应用泰勒公式是高等数学中一种常用的数学工具，它可以将一个函数在某点附近展开成无穷次幂的形式，从而方便我们进行运算和近似计算。

泰勒公式的应用非常广泛，下面将介绍一些泰勒公式的常见应用。

一、泰勒公式的定义及展开形式泰勒公式是数学中的一种近似计算方法，它是由英国数学家James Gregory和Brook Taylor独立发现的，所以又称为Gregory-Taylor公式。

对于任意可导的函数f(x)，泰勒公式可以将其在某一点a附近展开成无穷次幂的形式，表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a) (x-a)^2/2!+f'''(a) (x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rnf'(a)表示函数f(x)在点a处的导数，f''(a)表示函数f(x)在点a处的二阶导数，f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数，n!表示n的阶乘，Rn表示剩余项。

二、泰勒公式的应用1.函数的近似计算泰勒公式可以通过截取展开式的前几项，近似计算一个函数的极限。

特别是当函数在某点处的极限存在但不容易计算时，我们可以利用泰勒公式进行近似计算，从而得到更精确的结果。

3.函数的图像绘制由于泰勒公式将一个函数表示为一系列多项式的和，因此可以利用这个特性，将一个函数的图像近似为一系列多项式的图像的和。

如果我们截取展开式的前几项，就可以得到近似于原函数图像的图像，从而方便我们进行观察和分析。

4.误差估计剩余项Rn在泰勒公式中起到了重要的作用，它表示了使用泰勒公式近似计算的误差。

通过对剩余项的分析和估计，我们可以得到一个近似值的误差范围，从而判断近似结果的有效性，并进行误差的控制和优化。

泰勒公式是一种非常重要的数学工具，在高等数学的学习中具有广泛的应用。

它在函数的近似计算、极限计算、图像绘制和误差估计等方面都发挥着重要的作用。

泰勒公式在近似计算及数值积分中的应用

２０１４年７月
黑龙江科学ＨＥＩＩＤＮＧＪＩＡＮＧＳＣＩＥＮＣＥ
Ｊｕｌｙ２０１４
泰勒公式在近似计算及数值积分中的应用
张春红
（黑龙江职业学院，哈尔滨１５０００１）
摘要：泰勒公式可以将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能为复杂函数值的近似计算提供了一种有效的途径。本文通过实例介绍了泰勒公式在近似计算及数值积分中的应用。关键词：泰勒公式；近似计算；数值积分；余项；误差
01800031fi180j102泰勒公式的应用ff21利用泰勒公式求近似值usooo2321010k180j在应用泰勒公式做近似计算时往往使用带有拉格朗日余可见为使结果精确到小数点后7位在上式snix的泰勒展开项的泰勒展开其余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数时所产生的误差
第５卷第７期
１．１带有拉格朗日型余项的泰勒公式
ｌｎ（１＋ｘ）＝ｘ一等＋手一人＋（一１），卜 ’ 等十（，其中
假设函数：／（）在ｊｃｏ点的某个邻域内Ｉ１＂＋１阶可微，则在
此邻域内
Ｒ（）＝ｉ器
余项的泰勒公式
ｓｉ。ｎｘ一
假设函数Ｙ：厂（）在点阶可微，则在附近有
ｆ（ｘ（／（）＋掣（）＋Ａ＋（）（
特别的，若Ｘｏ：０则

泰勒公式及泰勒级数在计算中的应用

—科教导刊（电子版）·2019年第19期/7月（上）—182泰勒公式及泰勒级数在计算中的应用高爱平（阳江职业技术学院广东·阳江529566）摘要将函数作泰勒展开是非常有力的数学方法。

文章通过实例介绍泰勒公式及泰勒级数在极限、导数、微分、积分等计算问题中的应用，突出泰勒公式的重要性，开拓解题思路。

关键词泰勒公式泰勒级数应用中图分类号：O171文献标识码：A 泰勒公式及泰勒级数是高等数学的一个重要内容，它不仅在理论上占有重要地位，被誉为微积分的基本定理，而且在计算、证明等方面有着广泛应用。

解决问题的主要方法是将一个不太容易处理的函数转换为简单的多项式函数，从而进行有效的运算或证明。

本文仅就数值计算问题探讨泰勒公式所提供的有效而又方便快速的解决方案。

泰勒定理：若函数在的邻域存在阶导数，，则有带皮亚诺余项的泰勒公式；若在的邻域存在阶导数，，则有带拉格朗日余项的泰勒公式其中在与之间。

以下是部分常用函数的泰勒级数（麦克劳林级数）：1利用泰勒公式计算极限为了简化极限运算，有时可用泰勒公式来代替其中的一项，使得原来的函数的极限问题转化为多项式有理分式的极限问题，从而解决一些用等价无穷小和洛必达法则较难解决的题。

2利用泰勒级数计算高阶导数为了简化高阶导数的计算,有时可用泰勒级数来代替其中的一项，使得原来的函数的高阶导数问题转化为幂级数的系数问题，从而解决一些用直接计算和莱布尼兹公式较难解决的题。

例2：设，求。

2n3泰勒级数在解微分方程的应用例3：解微分方程（是常数）。

解：假设原方程在原点周围有幂级数解则，由恒等定理知上述等式右端系数全为零。

即：一般的，，得递推公式：由此可知，下标为偶数的系数均可用表示，下标为奇数的系数均可用表亦即：代入幂级数解中，得：数|学|研|究—科教导刊（电子版）·2019年第19期/7月（上）—183则有不难验证，级数，的收敛区域均为。

经检验知：是原方程的解，其中，4利用泰勒公式计算积分例4：解：将在处展开，有。

泰勒级数在近似计算中的应用

泰勒级数在近似计算中的应用在数学和物理学中，近似计算是一种基本技能。

在实际问题中，有时我们需要用已知的函数来近似另一个函数。

这时，泰勒级数就成为一个有用的工具。

泰勒级数是一个常见的近似函数集合。

它是一个用一系列无穷次求导构成的级数来近似刻画数学函数的方法。

这个概念早于伯努利（Jacob Bernoulli)，但是被称为泰勒级数，因为它在泰勒手中被更好地阐述和流行化。

在数学和物理学中，我们经常会遇到复杂的函数，无法直接求解。

泰勒级数可以帮助我们近似这些函数。

泰勒级数是一种通过将函数表示为关于其导数的级数来逼近函数的方法。

它非常有用，因为它允许我们使用简单的函数（可能是多次求导的函数）来近似比较复杂的函数。

一个函数的泰勒级数由该函数在某个点处的所有导数的值确定。

对于在点 a 处可导的函数 f(x)，它的 nth 阶导数 dn/dxn 可以在点 a 上计算出来。

这里 d 表示求导操作，n 表示求导次数。

当 n=0 时，dn/dxn 等于 f(x) 本身。

泰勒级数的公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f’’(a)/2!(x-a)^2+f’’’(a)/3!(x-a)^3+ ……其中，f(a)、f'(a)、f''(a) 等都是函数 f 在点 a 的导数。

要近似一个函数 f(x)，我们使用 n 阶泰勒级数，只保留级数的前 n 项。

这样得到的近似函数被称为泰勒多项式 Pn(x)。

它的公式为：Pn(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f’’(a)/2!(x-a)^2+f’’’(a)/3!(x-a)^3+ ……+f(n)(a)/n!(x-a)^n泰勒多项式的特点是：它在点 x=a 和所有阶数的导数都等于函数 f 在点 x=a 的导数，因此在点 a 处，泰勒多项式和函数 f(x) 重合。

泰勒级数的应用泰勒级数在数学和物理学中有着广泛的应用，比如：1. 计算不可微函数的一些特定点的导数在某些时候，我们需要计算一个函数在某一不可微的点的导数。

泰勒公式在近似计算中的应用

泰勒公式在近似计算中的应用【摘要】本文给出了泰勒公式在近似计算中的几个应用，如果函数的形式过于复杂，就可以考虑利用泰勒公式将函数用简单的多项式函数近似代替，然后依据具体的精度要求进行计算，如超越函数的近似计算，导数的近似计算以及积分的近似计算。

【关键词】泰勒公式；超越函数；数值微分；数值积分在高等数学课程中，泰勒公式一直是学生学习的重点与难点. 很多学生不理解为什么要引入泰勒公式，泰勒公式又由何而来. 实际上，如果教师在授课过程中，让学生多了解一些泰勒公式的应用，那么学生对该部分内容的掌握必然会比较深入. 本文将对泰勒公式在近似计算这一方面的几个应用做简单的介绍. 下面我们先回顾一下泰勒中值定理。

如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任意，有其中，这里是介于与之间的某个值。

1.超越函数的近似计算许多超越函数如三角函数，指数函数，对数函数等都无法算出其精确值，但在理论研究和实际应用中，却需要求出来，学习了泰勒公式后，就可以将复杂的函数用简单的多项式函数近似表达，从而求出符合精度要求的近似值. 这部分的应用在高等数学课本中介绍较多，在这里仅通过一个例题来体现，不再赘述..3.积分的近似计算众所周知，可以利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分，可是当的结构复杂，求原函数困难时，或的原函数不能用初等函数表示时，很多积分的计算就变得相当困难，如，等，有了泰勒公式这一工具，可以考虑将被积函数用简单的函数表示出来，再进行积分计算求得数值解。

从几何意义上来说，就是用矩形面积近似代替了曲边梯形面积，上述两式称为矩形求积公式。

参考文献：[1] 常迎香，栗永安等. 高等数学[M]. 北京：科学出版社，2009.[2] 同济大学应用数学系，高等数学（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，2003.[3] 易大义，沈云宝，李有法，计算方法（第二版）[M]，浙江：浙江大学出版社，2002.[4] 电子科技大学应用数学系，实用数值计算方法[M]，北京：高等教育出版社，2001.。

第十四讲泰勒公式在近似计算中应用

数学分析第六章微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式
x − x2 + + (−1)n−1 xn ,
2
n
在近似计算中的应用
ln(1 − x) 的 n 阶泰勒多项式为
−x − x2 − − xn ,
1+ x
2n
所以 ln 的 2n 阶泰勒多项式为
+
1 9!
≈
2.718281,
其误差不超过 10−6.
数学分析第六章微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式
在近似计算中的应用
下证 e 是无理数. 这是因为
n!e − n!(1 + 1 + 1 + + 1 ) =eθ . (7) 2! n! n + 1
§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式
在近似计算中的应用
第十四讲泰勒公式在近似计算中的应用
数学分析第六章微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式
在近似计算中的应用
泰勒公式在近似计算中的应用
例5 (1) 计算 e 的值,使其误差不超过 10−6.
1− x
x3
x2n−1
2x+
3
+
+
2n
−
1
.
而 f (2n+1)( x) = (2n)!(1 + x)−2n−1 + (2n)!(1 − x)−2n−1

《高等数学》课程中泰勒公式的应用

《高等数学》课程中泰勒公式的应用高等数学是大学必修的一门数学课程，其中包含了大量的数学知识和数学方法。

在高等数学中，泰勒公式是一个非常重要的概念，它具有广泛的应用价值。

本文将围绕着《高等数学》课程中泰勒公式的应用展开讲解。

我们来了解一下泰勒公式的内容。

泰勒公式是数学中的一个基本公式，用于表达一个函数在某点附近的近似值。

泰勒公式的一般形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ... + \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)f(x)是函数在点x处的值，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等分别是函数在点a处的一阶、二阶、三阶导数，R_n(x)是剩余的误差项。

泰勒公式可以用来近似计算一个函数在某点附近的值，尤其在科学计算、工程技术等领域有着广泛的应用。

泰勒公式的应用非常广泛，下面我们就来看一些具体的应用实例。

一、泰勒公式在物理学中的应用在物理学中，经常会遇到需要对函数进行近似计算的情况。

在光学中，泰勒公式可以用来近似计算光的传播路径；在力学中，泰勒公式可以用来近似计算物体的运动轨迹等。

对于复杂的物理现象，泰勒公式的应用可以极大地简化计算过程。

二、泰勒公式在工程技术中的应用在工程技术领域，泰勒公式也有着广泛的应用。

在电子工程中，泰勒公式可以用来近似计算电路中的电压、电流等参数；在机械工程中，泰勒公式可以用来近似计算机械结构的受力情况等。

泰勒公式的应用不仅能够简化计算，还可以提高计算的准确度。

泰勒公式在《高等数学》课程中具有着非常重要的应用价值。

它不仅可以用来近似计算各种复杂的函数值，还可以帮助我们更加深入地理解和应用数学知识。

泰勒公式在近似计算及数值积分中的应用

：136第 5 卷第 7 期 2014 年 7 月黑龙江科学 H EI L ONGJ I ANG SCI ENCE泰勒公式在近似计算及数值积分中的应用张春红（黑龙江职业学院，哈尔滨 150001）V o1.5 N o .7July 2014摘要：泰勒公式可以将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能为复杂函数值的近似计算提供了一种有效的途径。

本文通过实例介绍了泰勒公式在近似计算及数值积分中的应用。

关键词：泰勒公式；近似计算；数值积分；余项；误差中图分类号：O 29 文献标志码：A 文章编号：1674-8646（2014）07-0136-02对于一些比较复杂的函数，为了便于研究，往往用一些比较简单的函数来近似表达。

多项式是最为简单的一类函数，如果能将研究的对象转化成多项式形式的近似表示，将对问题的研究产生质的突破，特别是计算机的编程问题。

在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

1 泰勒公式1.1 带有拉格朗日型余项的泰勒公式假设函数在点的某个邻域内阶可微，则在此邻域内其中为拉格朗日余项，特别的，若，则1.2 带有皮亚诺型余项的泰勒公式假设函数在点阶可微，则在附近有特别的，若则知，如果为一定数，则其余项不会超过，从而可以近似地计算某些数值且估计出误差。

例 1 求的近似值（精确到 10-4）解：由于，设，将其在处展成带拉格朗日型余项的泰勒公式，其中则要使，只需取则其误差例 2 计算 s in10 的近似值（精确到 10-7）解：设，则将其在处展成带拉格朗日型余项的泰勒公式其中由以上可知泰勒公式的实质是使用一个次多项式去逼近一个已知的函数，而且这种逼近有很好的性质与在点具有相同的直到阶的导数。

第十四讲 泰勒公式在近似计算中应用

泰勒公式的应用范文

泰勒公式在近似计算中的应用

泰勒公式求近似值

通过泰勒展开迭代求函数近似值

泰勒公式的应用

函数的泰勒展开与近似计算

利用泰勒公式近似计算函数值

泰勒公式及其在在计算方法中的应用讲解

泰勒公式在近似计算和误差估计的应用

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关于泰勒公式在近似计算中的应用

《高等数学》课程中泰勒公式的应用

泰勒公式在近似计算及数值积分中的应用

泰勒公式及泰勒级数在计算中的应用

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第十四讲 泰勒公式在近似计算中应用

《高等数学》课程中泰勒公式的应用

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第十四讲泰勒公式在近似计算中应用

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