5年级上第2讲整除问题初步

五年级上册
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整除问题初步
如果整数 a 除以整数 b （ b 0 ），除得的商是整数且没有余数，我们就说
a 能被
b 整除，也可以说 b 能整除 a ，记作b | a ．
如果除得的结果有余数，我们就说 a 不能被 b 整除，也可以说 b 不能整除 a ．
能被 3、9 整除的数的特征：各位数字之和能被 3 或 9 整除．
第二讲整除初步
从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：
数论． 什么是数论呢？
人类从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出
很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就
出现了数论这门学科．
我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧
确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠。

一、整除的定义
二、整除的一些基本性质
1. 尾数判断法
（1）
（2）
（3）
2. 数字求和法
3. 奇偶位求差法
我们把一个数从右往左数的第 1 位、第 3 位、第 5 位，⋯⋯统称为奇数位，把一个
数从右往左数的第 2 位、第 4 位、第 6 位，⋯⋯统称为偶数位．我们把“奇数位上的数
字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．
下面我们来看一下如何运用这些性质． 能被 11 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被 11 整除．
能被 8、125 整除的数的特征：末三位能被 8 或 125 整除． 能被 4、25 整除的数的特征：末两位能被 4 或 25 整除． 能被 2、5 整除的数的特征：个位数字能被 2 或 5 整除．
五年级上册
例题1：:判断下面11 个数的整除性：
23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407
（1）这些数中，有哪些数能被4 整除？哪些数能被8 整除？
（2）哪些数能被25 整除？哪些数能被125 整除？
（3）哪些数能被 3 整除？哪些数能被9 整除？
（4）哪些数能被11 整除？
分析关于4、8、25、125 以及3、9、11 的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除
特性判断一下．
随堂练习1. 在3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除？哪些数能被3 整除？哪些数能被11 整除？
如果将例题1 中能被 3 整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被 3 整除；同
样的，如果其中能被11 整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11 整除．从
中我们可以总结出如下规律：
和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a 整除，那它们的和与差
也都能被a 整除．
例题2： 173□是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3 个数字，得到的3 个四位数依次能被9、11、8 整除．”问：数学老师先后填入的3 个数字之和是多少？
分析本题包括三个小问题，我们逐个分析：
第一个数字使得173□能被9 整除，由9 的整除特征，我们只要考虑数字和即可；
第二个数字使得173□能被11 整除，由11 的整除特征，需要考虑奇位和与偶位和之差；
第三个数字使得173□能被8 整除，由8 的整除特征，需要考虑它的末三位
73□．
随堂练习2：在23□的方框内先后填入3 个数字，分别组成3 个三位数，使它们依次能被3、4
、5 整除．
上面我们已经学习了如何利用“整除特征”解决单个数的整除问题．下面我们再来看一看涉及多个数的整除问题应该如何解决．
整除问题初步
例题3：刘经理给45 名员工发完工资后，将总钱数记在一张纸上．
不知为何，记帐的这张纸破了两个洞，上面只剩下“67□8□”，其中方框是破的
两个洞．刘经理记得每名员工的工资都一样，并且都是整数元，那
么这45 名员工的总工资可能是多少元呢？
分析这45 名员工的工资都一样，所以总工资能被45 整除．即67□8□能被45
整除．
我们没有学过被45 整除的数的特征．但注意到45 5 9 ，于是67□8□应该能同时被5 和9 整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？
随堂练习3：七位数22□333□能被44 整除，那么这个七位数是多少？
在例 3 中，我们并不知道45 的整除特征，但是45 5 9 ，能被45 整除的数，也能被 5 和9 整除，那么只需考虑5 和9 的整除特征即可．
请同学们注意，虽然45 3 15 ，但是在考虑能否被45 整除时，不能考虑被3 和15整除．你能想明白为什么吗？
小幽默——天才未必事事都聪明
牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的．一次，粮仓里闹鼠灾了，大人
让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出．结果他开了两个洞——大的给老猫，小的给小
猫．
在整除性的问题当中也有类似情况．比如
要在200□□的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被 4、5、8 整除，实际根本不用考虑 4，只要考虑 5 和 8 即可，因为能被 8
整除的数也必然能被 4 整除．如果你还要再考虑 4 的整除性，那就多此一举了
还有一些数的整除特征具有特殊规律．
2.三位截断法
能被7、11、13 整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7 或11 或13 整除．
例如：29071 的末三位是 071，前面是 29．它们的差为71 29 42 ，42 能被 7 整除，
所以29071 能被7 整除．而42 不能被13 整除，所以29071 不能被13 整除．
例题4：卡莉娅写了一个两位数59，墨莫写了一个两位数89，他
们让小高写一个一位数放在59 与89 之间拼成一个五位数59□89 ，使得这个五位数能被
7 整除，那么小高写的数应该是几？
分析根据能被7 整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之
差能被7 整除，我们可以由此将问题简化．
五年级上册
随堂练习4：五位数73□29 能被13 整除，那么这个五位数除以13 等于多少？
例题5：小高写了一个五位数，用方格盖住了两个数字后变成：3□6□5 ，并告诉墨莫说这个五位数既是7 的倍数，又是125 的倍数．那么小高写的五位数可能是多
少？
分析能被7 整除的数的特征是末三位与末三位以前的数之差也能被7 整除，
随堂练习5：如果六位数73□37□既是13 的倍数，又是125 的倍数，那么这个六位数可能是多少？
思考题：如果九位数1234□□789 能被99 整除，那么这样的九位数有多少个？
本课知识点总结：一、尾数判定法：适用于2、5；4、25；8、125；⋯
二、数字和判定法：适用于3、9、99 等．
三、奇偶位求差法：适用于11 等．
四、三位截断法：适用于7、11、13．
课后作业
1.（1）四位数7 A2 A 能被5 整除，那么A 可以代表哪个数字？
（2）六位数12F 45G 能被8 整除，那么这个六位数最小是多少？
2.（1）四位数7BB1 能被9 整除，那么 B代表哪个数字？
（2）五位数2D656 能被7 整除，那么 D代表哪个数字？
整除问题初步
3、萱萱买了14 支铅笔、4 支圆珠笔和7 块橡皮．已知圆珠笔每支售价2 元8 角，
橡皮每块售价6 角，售货员让萱萱一共付款12 元5 角，售货员是否算错了呢？
4、阿呆买了72 支同样的钢笔，可是发票不慎被水浸湿，单价已无法辨认，总价数字
也不全，只能认出：□11.4□元（□表示不明数字）．你能帮助阿呆找出不明数字吗？
5、现有一个六位数87x32 y （x、y 允许相同）：
（1）如果它能同时被5 和11 整除，这个六位数可能是什么？
（2）如果它能被56 整除，这个六位数可能是什么？
五年级上册。