五年级奥数.数论.整除性(A级).教师版
奥数数的整除讲义、练习含答案(推荐文档)
数的整除（1）性质、特征、奇偶性知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a—b）也能被c整除。
2）如果数a 能被自然数b 整除，自然数b 能被自然数c 整除，则数a 必能被数c 整除。
3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。
反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。
整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。
2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。
3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3或9）整除。
4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，则这个数能被11 整除。
5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。
奇数±奇数 =偶数（ 2）偶数±偶数 =偶数（ 3）奇数±偶奇数X 奇数二奇数（5）偶数X 偶数二偶数（6）奇数X 偶典型例题】 例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？例2: 1〜200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个?奇偶性：（1） 数 =奇数（ 4）数=偶数（ 7） 奇数一奇数二奇数（8）…例3 ：任意取出1998 个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？例4：有“ 1”，“ 2 ”，“ 3 ”4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？例5如杲41位数5亍-5口99…9能被7整除，那么中间方格内的数字是几? 【精英班】PT'【竞赛班】例6：某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是: 答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数?【课后分层练习】A组：入门级1、判断306371 能否被7整除？能否被13整除?2、abcabc能否被7、11和13整除？3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
小学五年级奥数题整除性质及应用
小学五年级奥数题——整除性质及应用整除有几个性质。
其中一个性质是：“如果数b能整除数a，数c能整除数a，且b和c互质，那么b和c的积也能整除a。
”如，2能整除12，3能整除12，且2和3互质，则2×3=6也能整除12。
整除的这一性质，应用较为广泛。
请看：例1.只修改970405的某一个数字，就可使修改后的六位数能被225整除，修改后的六位数是_____。
（安徽省1997年小学数学竞赛题）解：逆向思考：因为225=25×9，且25和9互质，所以，只要修改后的数能分别被25和9整除，这个数就能被225整除。
我们来分别考察能被25和9整除的情形。
由能被25整除的数的特征（末两位数能被25整除）知，修改后的六位数的末两位数可能是25，或75。
再据能被9整除的数的特征（各位上的数字之和能被9整除）检验，得9＋7+0＋4＋5＝25，25＋2＝27，25＋7=32。
故知，修改后的六位数是970425。
例2.在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？（山东省1997年小学生数学竞赛初赛试题）解：因为15=3×5，且3和5互质。
所以，只需分别考察能被3和5整除的情形。
由能被5整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是5或0。
再据能被3整除的数的特征试算，若个位上是5，则有3＋2＋5=10。
可推知，百位上最大可填入8。
即组成的四位数是3825；若个位上是0，则有3＋2＋0=5。
可推知，百位上最大可填入7。
即组成的四位数是3720。
故知，这个数是3825。
例3.一位采购员买了72只桶，在记账本上记下这笔账。
由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。
账本是这样写的：72只桶，共用去□67.9□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。
应是____元。
（德阳市第十届小学生数学邀请赛试题）。
解：72只桶共用去a67.9b元，把它改写成a679b分后，应能被72整除。
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
第三讲 整除、质数与合数 精英班 教师版(带完整答案)_5年级奥数讲义与课件
nm…d 000 第三讲整除、质数与合数1.整除问题（1）用位值的知识证明常用的特殊自然数的整除特征1）2 系列：能被 2 和 5 整除的数要看个位，能被 4 和 25 整除的要看末两位，能被 8 和 125 整除的要看末三位。
请大家想想为什么？我们以被8整除看末三位为例证明以上两个系列的性质，假设一个多位数为是nm…dcba则还可以表示为：nm…dcba =nm…d 000 +cba =nm…d ⨯1000 +cba ，由于8 1000 所以8 ，因此只要cba 能被8 整除该数就一定能被8 整除。
2）3 系列：能被 3 和 9 整除只需看各位数字之和能否被 3 和 9 整除，为什么?我们以三位数abc 为例来证明被 9 整除只需看各位数字之和这一性质，如：abc = 100a +10b +c =(99a + 9b)+(a +b +c)显然(99a + 9b)是 9 的倍数，因此只要(a +b +c)即各个数位数字之和能被 9 整除那么这三位数abc 就能被 9 整除，反之亦然。
推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下。
3）7,11,13 系列：被7、11、13 整除的判别方法：看多位数的末三位和前面部分之差能否被7、11、13整除。
为什么呢？仔细观察我们会发现7×11×13＝1001,比1000大1，由此可以有如下证明：假设一个多位数为是nm…dcba ，有：nm…dcba =nm…d000 +cba =nm…d⨯1000 +cba=nm…d ⨯1001-nm…d +cba =nm…d ⨯1001-(nm…d -cba )，由于 1001 是 7、11、13的倍数，故只要(nm…d -cba)能被7、11、13 整除即可。
4）特别的，我们还有另外一种判别能否被11 整除的性质，就是看奇数位数字之和与偶数为数字之和能否被11 整除，这个定理也是可以证明的，我们以简单的三位数abc 来说明：abc =100a +10b +c = 99a +11b +a -b +c =(99a +11b)+(a +c -b)显然(99a +11b)是 11的倍数，因此只要(a +c -b)即各个数位数字之和能被 9 整除那么这三位数abc 就能被 9 整知识说明除，反之亦然。
五年级奥数专题02：数的整除性
数的整除性训练目标：数的整除是数论中最初步的知识，是学习约分、通分和进行分数四则运算的基础。
我们在这一讲要学习掌握整除的数的特征，并能灵活的运用。
【能被3（或9）整除的数的特征】各位数字之和能被3（或9）整除。
【能被4（或25）整除的数的特征】末尾两位数能被4（或25）整除。
【能被8（或125）整除的数的特征】末尾三位数能被8（或125）整除。
【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。
【能被11整除的数的特征】，还可以这样叙述：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差（大减小）能被11整除时，则这个数便能被11整除。
典型例题：例1：有一个四位数7A2B能被2,3,5整除，这个四位数是多少？例2：在一个五位数25□4□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又能被5整除？例3：有一个四位数7AA1能被9整除，A代表什么数字？这个四位数是几？例4：在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。
在符合这些条件的六位数中，最小是多少？例5：能被11整除，首位数字是4，其余各位数字都不相同的最大及最小的六位数分别是多少？基础练习：1、从0,1,2,4,5,7中，选出4个数，排列成能被2,3,5整除的四位数，其中最大的是多少？2.四位数8A1B能被2,3,5整除，这个四位数是多少？3.有一个四位数3AA1，它能被9整除，请问A代表几？4.已知五位数A192B能被18整除，其中A比大3，求出这样的五位数。
5.一个五位数能被72整除，首尾两个数字不知道，千、百、十位上的数字分别是6、7、9，这个五位数是多少提高练习：1.有五筐苹果，质量分别为12kg,15kg,10kg,8kg和13kg,从中选出四张给小红和小张，小红的苹果的质量是小张的2倍，剩下的是哪一筐？2.已知整数5a6b7c8d9e能被11整除，那么a+b+c+d+e=?3.在358后面补上3个数字来组成一个六位数，使它能被4，5,9整除，这个六位数最小是多少？5.从1，2 ，3 ，4，5中选出4个数字组成一个四位数，使其能被3,5,7整除，这个数是多少？6.两个整数，他们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70和30，那么在1,2,3……16，这16个整数中，有几对“好数”？7.超市里有六箱货物，分别重16,19,20,18,15,31千克，两顾客买走其中5箱货物，其中一个顾客买的货物的重量是另一个顾客的两倍，超市里剩下的那箱货物是多少千克？一、填空题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6. 所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.二 数的整除性(B)年级 班 姓名 得分一、填空题1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____. 2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____. 3. 下面一个1983位数99199133 (3)44...4个个中间漏写了一个数字(方框),已知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.5. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.6. 一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是___.7. 任取一个四位数乘3456,用A 表示其积的各位数字之和,用B 表示A 的各位数字之和,C 表示B 的各位数字之和,那么C 是_____.8. 有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.9. 从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是_____. 10. 所有数字都是2且能被10066...6个整除的最小自然数是_____位数.二、解答题11. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？12．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？13．500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？14．试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.———————————————答案——————————————————————1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上, 3771÷9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3. 990 要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367 先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=33676. 1665 能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99 这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)⨯30÷2=16657. 96910或46915A691能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或5.当B=0五位数BA能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,因此A=9；当B=5时,同样可求出时,6910A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3⨯5⨯7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。
五年级奥数学而思专题2、数的整除性（A）备课讲稿
五年级奥数学而思专题2、数的整除性（A）备课讲稿五年级奥数学而思专题2、数的整除性( A)二数的整除性（A）_年级_班姓名_得分一、填空题1. 四位数3AA1”是9的倍数，那么A= ____ .2. 在25口79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____ .3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是______ .4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是______ .5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____ .6. 所有能被3整除的两位数的和是________ .7. 已知一个五位数口691 □能被55整除,所有符合题意的五位数是_____ .8. 如果六位数1992口□能被105整除,那么它的最后两位数是_______ .9. 42 □ 28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是 _______ .10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是________ 号.二、解答题11. 173 □是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12 ?在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13. 在“改革”村的黑市上人们只要有心，总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券，也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14. 试找出这样的最小自然数，它可被11整除，它的各位数字之和等于13. ----------------------------- 答案------------------------------------1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1 一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+仁18,则A=7,符合题意.事实上,3771 9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除?偶数位上数字和是5+7=12,因而，奇数位上数字和2+口+9应等于12, □内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一：能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999 □ 0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二：或者这样想，2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和，再求100以内所有能被3整除的数的和，以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+ --+100)- (3+6+9+12+?+99)=(1+100) 2 100-(3+99) 2 33=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下：12,15,18,21, …，96, 99这一列数共30个数，其和为12+15+18+-+96+99=(12+99) 30 2=16657. 96910 或46915五位数A691 B能被55整除，即此五位数既能被5整除，又能被11整除.所以B=0或5.当B=0时，A6910能被11整除，所以(A+9+0)-(6+1)= A+2能被11整除, 因此A=9;当B=5时，同样可求出A=4.所以，所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3 5 7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7 整除。
五年级奥数.数论.整除性（A级）.教师版
五年级奥数.数论.整除性（A级）.教师版九进制乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州⼀所中学的数学教师，他对数学特别敏感⽽且有极⼤的研究兴趣。
他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅⼒。
他开始注意⼀些巧合的事件，⼒图⽤数学的⽅式来破解巧合。
他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元⾸希特勒相隔⼀个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。
拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。
拿破仑1816年战败，希特勒1945年战败，相隔129年。
拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938年攻⼈维也纳，也是相隔129年。
拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔129年后进攻苏联。
美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。
两⼈同在星期五并在⼥⼈的参与下被刺遇害。
接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。
更巧的是，杀害林肯的凶⼿出⽣于1829年，杀害肯尼迪的凶⼿出⽣于1929年，相隔⼜是100年。
兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。
他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，⽤921减去129，⽤100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有⼀个⼗位和个位都相同的两位数的商。
兰伯特⾮常吃惊，他对9着了迷。
他发现将l 、2、3、4、5、6、7、8、9加在⼀起是45，⽽4+5=9。
他还发现，⽤9乘以任何⼀个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。
取任何⼀个数，⽐如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，⽤2004减去6结果得到1998，⽽1998÷9=222，能被9除尽。
他还总结出这样⼀个规律：把⼀个⼤数的各位数字相加得到⼀个和，再把这个和的各位数字相加⼜得到⼀个和。
【精品资料】小学奥数知识点-数论
数论知识点整除定义及特征判断1、数的整除性：整数a除以整数b（b≠0），所得的商是整数而没有余数，则称a能被b整除，或b整除a，记作：b｜a．2、整除的性质：性质1. 如果c｜a，c｜b，则c｜（a±b）性质2. 如果bc｜a，则b｜a，c｜a性质3. 如果c｜b，b｜a，则c｜a3、整除问题的解决方法：整除特征法；补9、补0试除法。
4、涉及极值的整除问题：贪心法、弃倍法、逐步调整法。
5、数的整除特征：a.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；b.一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；c.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；d.一个数从个位到高位，每三位进行分段，将形成的奇位之和与偶位之和以大减小，如果差可以被7、11、13整除，则此数也可被7、11、13整除；如果一个整数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；e.如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除，那么这个数能被7整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除，那么这个数能被11整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除，那么这个数能被13整除；f.一个数从个位到高位，每两位分成一段，将每段上的数相加。
如果相加的和能被99所整除，那么这个数就能被99所整除。
奇数、偶数与奇偶性的应用一、奇数和偶数的概念：1)整数可以分成奇数和偶数两大类。
2)能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
3)因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数)，因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k＋1来表示奇数(这里k是整数)。
小学奥数经典讲义五年级秋季 第三讲数论之数的整除性提高
第三讲 数论之数的整除性数的整除性是数论的基础内容，学生能否熟练掌握该内容对以后进一步深入学习数论至关重要. 本讲需要教授的内容有：，方框教学目标分析：因为36=4×9，所以C6能被4整除，从而C只可能是1，3，5，7，9.要使商最小，A、B应尽可能小，先取A=0，又1+5+6+A+B+C=12+B+C=9+3+B+C，所以3+B+C是9的倍数，B=1，C=5时，取得最小值.[拓展]要使15ABC6能被36整除，而且所得的商最大，那么A、B、C分别是多少？分析：先取A=9，则3+B+C是9的倍数，B=8，C=7时，取得最大值.【例4】（★★★祖冲之杯小学数学邀请赛）一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是 .分析：设这样的数为x，则20x-1=153a，a是整数，即20x=153a＋1，因为20x的末位数一定是0，所以a最小取3，从而x最小是23.[巩固](这一类型的题虽然也被分入Ⅰ类，但非常特殊，应当注意).一个数的20倍加7能被59整除，这样的自然数最小的是多少？分析：20x=59a-7，59a个位是7，所以a的个位是3，a=3时，x不能取整数，a=13时，x=38.【例5】（★★★★）求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除．分析：所求的数写成100a＋56的形式．由于100a＋56能被56整除，所以a能被14整除，所以.应是14的倍数．而且a的数字和等于56－5－6=45．具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除．接下来数字和为45的偶数是289998和298998，但前者不能被7除尽，后者能被7整除，所以本题的答数就是29899856．[前铺]：求最小的偶数，它的各位数数字之和为40.分析：各位数数字之和为40的数，至少有5位，万位上的数至少为4，否则，各位数数字之和最多为3+9+9+9+9=39，当万位数上的数为4是，这个数只能是49999，不是偶数，所以最小的偶数只能是59998. [拓展]在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有多少？分析：因为5×8=40，5个数字的和等于43时，其中至少有3个9，并且只有以下两种情况.(1)数字中4个9、1个7，则奇数位数字和减去偶数位数字和只能是3×9-（9+7）=11，这样的书有99979和97999，(2)数字中3个9，一个7，则奇数位数字和减去偶数位数字的和只可能是3×9-2×8=11，这样的数有98989.Ⅱ、整除与数字组合【例6】（★★★2002年南京市少年数学智力冬令营）一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3， (18)除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是 .分析：这个十全数能被10整除，个位数必为0；能被4整除，十位数必为偶数，末两位只能是20．设这个十全数为4876abcd20．由于它能被11整除，必有b＋d-(a＋c)=10，所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4 876 391 520，4 876 351 920，4 876 193 520，4 876 153 920中的一个．经检验，它是4 876 391 520．【例7】（★★）用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它们能被168整除，这个六位数是 .分析：168=2×2×2×3×7，由于这个六位数被8整队，后三位只能是688，768或者776三种情况，分别验证这个6位数被7除的情况可知，只有768768满足要求.[拓展]：用数字4、5、6各两个，组成一个六位数，使它们能被165整除，这样的六位数有多少个？分析：165=3×5×11，所以，这样的六位数的个位数为5，且各位数数字之和为3的倍数（已满足），奇偶数位之和的差为11的倍数，4+4+5+5+6+6=30，30拆成两个差为11的倍数的数和有两种方法：30=15+15或4+26，显然后一种是无法达到的，而15只能等于4+5+6，所以，万位数和百位数上一个是4，一个是6，十万位、千位、十位上是4、5、6的某个排列，所以一共有2×3×2×1=12个.【例8】（★★★）用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?分析：现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被¨除尽，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作B．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：(1) 1，8 9，8(2) 1，9 8，8(3) 9，8 1，8(4) 8，8 1，9经过验证，第(1)种分组法满足前面的要求：A=1＋8=9，B=9＋8＋3=20，B －A=11能被11除尽．但其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第(1)分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，×[；③×Ⅲ、多位数整除【例10】（★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）下面这个199位整数：19910010010011001位被13除，余数是多少？[拓展]199100000位被13除余多少？分析：19910010010011001位-199100000位=19610010011001位显而易见19610010011001位也是1001的倍数，所以也是13的倍数，所以199100000位与19910010010011001位被13除所得的余数相同,余数是1.【例11】（★★）200820082008200808n 个能被11整除，那么，n 的最小值为多少 分析：200820082008200808n 个中奇位数减偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8，当n=6时，（3n+1）是11的倍数，所以n 的最小值是6.[巩固]（★★全国小学数学奥林匹克）如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是 .分析：200520052005200501n 个中奇数位减偶数位的差为（5－2）n ＋1=3n ＋1,当n=7时，(3n ＋1)是11的倍数，所以n 的最小值是7.【例12】（★★★）应当在如下的问号“？”的位置上填上哪个数码，才能使得所得的整数可被7整除？（其中数码2和7都重复了50次）222...22?77 (777)分析：事实上，111111(6个1)可被7整除，因此如果将我们的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下“22?77”．从中减去21077，并除以100，即得“1?”．此时不难验证，具有此种形式的二位数中，只有14可被7整除．所以？上填4.专题展望数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授.1、（★例1）六位数20□□08能被99整除，□□是 .72×是0的末尾数一定是9，所以a 最小取7，从而x 最小是17.5、（★★★例9）已知ABABAB 是154的倍数，求AB 的最小值.分析：事实上ABABAB =AB ×10101，而10101=3×7×13×37，所以只要保证AB 能被22整除，所以AB 的最小值为22.练习三数学知识时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系.可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的.原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了.譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的.因为历法需要的精确度较高，时间的单位"小时"、角度的单位"度"都嫌太大，必须进一步研究它们的小数.时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍.以1/60作为单位，就正好具有这个性质.譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……数学上习惯把这个1/60的单位叫做"分"，用符号"′"来表示；把1分的1/60的单位叫做"秒"，用符号"″"来表示.时间和角度都用分、秒作小数单位.这个小数的进位制在表示有些数字时很方便.例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数.这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天.。
五年级奥数.数论.因数个数(A级).教师版
富翁打赌有两个富翁，一个头脑精明，一个吝啬刁钻。
贪财好利是他们的共同特点。
一天，两个富翁遇到了一起，双方争强好胜，话不投机，竟然打起赌来。
精明的富翁说：“我可以每天给你1万元，只收回你1分钱。
”吝啬的富翁以为对方吹牛皮，便说：“你若真的每天给我1万元，别说我给你1分钱，就是再给你1千我也干！”“不！”精明的富翁说，“条件只是第一天，你给我1分。
”“难道你第二天还要给我1万？”“是的”，精明的富翁说：“只是你第二天收了我的1万，要给我2分。
第3天……”没等精明的富翁说完，吝啬的富翁急切地问：“第三天你再给我1万，我给你“4分！就是说，我每天得到的钱都是前一天的两倍。
”吝啬的富翁心想：这家伙可能神经出了毛病，便问：“每天送我1万，这样下去，你的钱够送多少天呢？” “我是人人都知道的百万富翁。
”精明的富翁说：“我不打算都送给你，只拿出30万，先送你一个月足够了。
但是你给我的钱也1分不能少！”吝啬的富翁怕精明的富翁反悔，提出要签协议。
吝啬的富翁说：“你敢签订协议吗？”于是他们找来了几个公证人，签了协议。
吝啬的富翁回到家，高兴得一夜没合眼。
天刚亮，对方提着1万元送上门来，按约定他给了对方1分钱。
第二天，对方仍然如约送来了1万元。
他简直像做梦一般，这样下去一个月，便可以有30万元的收入了！想着，想着，数钱的手都颤抖了！于是自己也如约给了对方2分钱。
对方高高兴兴地拿走了2分钱，还叮嘱：“别忘了，明天给我4分钱！”可是，20多天以后，吝啬的富翁突然要求终止打赌。
课前预习因数个数对方以及一些证人当然不会同意，30天的时间已经过去大半了，任何一方都无权不执行协议。
到最后，吝啬的富翁竟把全部家当都输光了。
聪明的小朋友，你们说这是为什么？原来呀，吝啬的富翁在1个月内共得到300000元。
他需要付给对方的钱，总数是：1＋2＋4＋8＋16＋32……＋536870912＝1073741823（分）＝10737418.23（元）。
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析.DOC数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5,63÷7=9一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b（b不等于0）,除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）,我们就说,a能被b整除（或者说b 能整除a）。
记作b｜a.否则,称为a不能被b整除,（或b不能整除a）,记作ba。
如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a,c｜b,那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10,2｜6,那么2｜（10＋6）,并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a,那么b｜a,c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a,c｜a,且（b,c）=1,那么bc｜a。
例如：如果2｜28,7｜28,且（2,7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。
即：如果c｜b,b｜a,那么c｜a。
例如：如果3｜9,9｜27,那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面,个位数字是偶数（包括0）的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
五年级奥数归类详细讲解——数的整除性
第1讲数的整除性（一）三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。
这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。
数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。
例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。
因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。
这个七位数是4735800。
例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。
按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节，因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。
例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。
能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。
小学奥数数的整除数论知识讲解及习题
小学奥数数的整除数论知识讲解及习题1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
例题：在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除?解：如果56□2能被9整除，那么5+6+□+2=13+□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除; 如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
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九 进 制乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。
他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。
他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。
他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。
拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。
拿破仑1816年战败，希特勒1945年战败，相隔129年。
拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938年攻人维也纳，也是相隔129年。
拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔129年后进攻苏联。
美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。
两人同在星期五并在女人的参与下被刺遇害。
接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。
更巧的是，杀害林肯的凶手出生于1829年，杀害肯尼迪的凶手出生于1929年，相隔又是100年。
兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。
他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有一个十位和个位都相同的两位数的商。
兰伯特非常吃惊，他对9着了迷。
他发现将l 、2、3、4、5、6、7、8、9加在一起是45，而4+5=9。
他还发现，用9乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。
取任何一个数，比如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，用2004减去6结果得到1998，而1998÷9=222，能被9除尽。
他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。
这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。
最后这个数称为最初那个数的“数字根”，这个数字等于原数除；29的余数，这个计算过程被称作是“弃9法”。
懂得了弃9法，蓝伯特醒悟了不少，他进而想到，人类不应该10个10个地数数，也不应该12个12个数数，而应该9个9个地数数，实行9进制。
课前预习数论之整除性科学家认为，使用九进制，能使加减乘除运算变得更快更准确。
但目前对9的研究还很不够，9对人类来说极具神秘性。
包括兰伯特在内的数学家们正努力探索9的奥秘，希望在不久的将来对9的研究有更大的突破。
1、 熟悉常见数的整除性质2、 对于整除含义的理解，求解一些特定问题整除性质（1）2：个位是偶数的自然数（2）5：个位是0或5的自然数注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0（3）4、25：末两位能被4、25整除（4）8、125：末三位能被8、125整除（5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除（6）7、11、13通用性质：①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13整除②从末三位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除（8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除（9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除注意：当同时能被多个数整除时，一般优先顺序为2和5确定个位，再4、25、8、125来确定十位、百位，接着考虑3和9，最后7、11、13，知识框架考试要求1、熟记整除性质，若遇未学过的，则尽量分解成互质的几个数相乘，如：72=8×92、已知一个多位数的前半部分求后半部分时，可用估算，把原数看大些，利用除法求出余数，再把余数减去，如例93、看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5，如例8【例1】 在□内填上适当的数字，使五位数23□6□既能被3整除又能被5整除.【解析】五位数能被3和5整除，可先考虑5的整除性质，则个位为0或5，当个位为0时，根据3的整除性质，则百位可填1、4、7，当个位为5时，百位可填2【巩固】已知五位数xy 154能被72整除，求x+y 的值.【解析】能被72整除则一定是8和9的倍数，根据9的整除性质，则x+y=8或17；根据8的整除性质，则4xy 必是8的倍数；当x+y=8时，可求出x=0,y=8;x=8,y=0；当x+y=17时，x=9,y=8,不可能是8的倍数，则x+y 只能等于82、六位数3ABABAB 是6的倍数，其中A 、B 表示不同的数字，这样的六位数共有多少个？【解析】六位数是6的倍数，则必为2和3的倍数，先考虑2的性质，可得B=0、2、4、6、8，再考虑3的性质，则3+3A+3B=3×（1+A+B ），因3×（1+A+B ）一定是3的倍数，则当B=0时，则A 可取1-9（因A 、B 不同），共9个，从中可看出，当B 取其他值时，A 都有9种可能性，则六位数有5×9=45个【巩固】七位数17562□的末位数字是 的时候，不管千位上是0到9中得哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数【解析】若175a62b 是11的倍数，则1+5+6+b 的和与7+a+2的和差为11的倍数，即12+b 与9+a 的差，等于3+b-a 或是a-b-3，则b 可取0—7，当b=0时，a=3时，七位数是11的倍数；当b=1时，a=4时，七位数是11的倍数……经验证，b=7时七位数不是11的倍数3、由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？例题精讲重难点【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6那么第3位一定是5，第5位为1该数最大为875413.【巩固】求出一个最大的十位数，它由0,1,2,3，…,9这十个不同的数字组成，并且能被11整除？【解析】各位数字和为0+1+2+3+……+9=45所以偶数位和奇数位上数字和分别为17和28为了使得该数最大，首位必须是9，第2位是8该数最大为9876524134、从0,3,5,7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数共有几个？【解析】三位数能被2和5整除，则个位一定为0，能被3整除，则只能取0、5、7，所有的可能有507、570、705、750，共4个【巩固】一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按从小到大的顺序排成一列，中间的一个是 . 【解析】三位数能被2和5整除，则个位一定为0，【2、5、7】=70，则满足条件的三位数是140、210、280、350、420、490、560、630、700、770、840、910、980共13个，中间的一个是5605、求被11整除且数字和等于43的五位数[思路]：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手【解析】：5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8.这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件.【巩固】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？【解析】两位数字中能被11 整除的数字是11、22、……99 这些数字中显然没有这样的数．（1）三位数，设这个三位数为abc ，有a+ b+ c= 13 和a+ c- b= 11 ，显然有a+ c= 12 ，b= 1 ，所以就有913 ，814，715，616 ，517 ，418 ，319 这7 个．（2） 四 位 数 ， 设 这 个 四 位 数 为 abcd ， ⑴ 有 a+ b+c+ d= 13 和( a+ c )- ( b+ d )= 11 中，若a+ c= 12 ， b+ d=1 则 a =3 或 4 有 2 种组合，b 和 d 有 2 种．因此有 4种；⑵ 有 a+b+c+d=13 和( b+ d )- ( a+ c )= 11 ， a+ c= 1 ， b+ d= 12 ，则只能 a= 1 ， c= 0 ， b 和 d 有 7 种组合．综上所述，这样的数有 7 +4 +7 =18 个．6、（2008解题能力展示六年级初赛）已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数，那么，这个九位数是【解析】 九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数，则一定是99的倍数，根据99的整除性质，可得2+00+7□+12+□2=99，可得九位数为200711232【巩固】42□28□能被99整除,方框里应该填什么数?【解析】42□28□能被99整除，则42+□2+8□=99×2，则为4272847、把三位数 接连重复的写下去，共写1993个，所得的数 个恰是91的倍数，求ab 【解析】91=13×7，则根据13、7的整除性质3ab 是91的倍数，则ab=64【巩固】如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是 .分析： 个中奇数位减偶数位的差为（5－2）n ＋1=3n ＋1,当n=7时，(3n ＋1)是11的倍数，所以n 的最小值是7.8、2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?【解】：先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0.由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数.而能分解出5的一定是5的倍数.注意：5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5……最终转化成计数问题，如5的倍数有[10/5]=2个.2005=5×401 684=2×2×171 375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0，应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子.因此□里最小是4.注意：看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5【巩固】从1到101这101个自然数连乘的末尾共有多少个连续的数码0？【解析】从1到101,看所有数中能分解出多少个5和2,2的个数够用，则5的倍数有100÷5=20个，25的倍数有100÷25=4个，则共有20+4=24个9、某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数是【解析】七位数能被2、3、4、5、6、7、8、9整除，则一定能被【2、3、4、5、6、7、8、9】=2520整除，把七位数看成1994000,1994000÷2520……680，则七位数为1994000-680=1993320【巩固】（2009年101中学小升初试题）在2009后面补上三个数字，组成一个七位数2009□□□，使得这个七位数能被2、3、4、5、6整除，那么当补上的三个数字的和最大时，所补的三个数字是【解析】七位数能被2、3、4、5、6整除，则一定能被【2、3、4、5、6】=60整除，把七位数看成2010000,2010000÷60……60，则七位数最大为2010000-60=2009940，9+4+0=13,要使补上的三个数字的和最大，则当七位数为2009880时，和最大为8+8+0=1610、某商场向顾客发出9999张购物券，每张上面印有一个四位数的号码，从0001到9999.如果号码的前面两位之和等于后面两位数字之和，则称为“幸运券”.例如号码0826，因0+8=2+6，所以叫做“幸运券”，试说明：商场发出的所有“幸运券”中，所有的“幸运券”的号码之和能被101整除.解：“配位求和法”，即号码为0000和9999的和一定能被101整除（9999=99×101），再接着应该是后两位增加1的，这样有四组数1001，0101，1010，0110；对应后面的为8998，9898，8989，9889这样每组数的和为1001+8998=9999，也能被101整除，因为总共有10000个号码（加上0000），所以肯定是对称出现的，所以肯定能被101整除.【巩固】求1～9999的所有数码和？【解析】在1～9999 前面补上0，共10000个数，利用“配位求和法”，则0+9999=9999，数码之和是0+9+9+9+9=36，同理1+9998=9999，数码之和是1+9+9+9+8=36……，共10000÷2=5000组，则所有的数码之和是36×5000=1800001、(2003年一零一中学入学摸底考试第11题)既能被3整除，又能被7整除的最小三位数是 . 课堂检测【解析】既能被3整除，又能被7整除，则一定能被21整除，则最小三位数是1052、(2003年一零一中学入学摸底考试第20题)一个五位数中各个数位上的数字和是42，则其中能被4整除的五位数是哪几个？【解析】五位数各个数位上的数字和是42，而五位数最大是99999，数字和是45，多了3，则五位数可由9、9、9、9、6或9、9、8、8、8或9、9、9、8、7组成，又因能被4整除的数个位一定是偶数，且末两位一定是4的倍数，即只有88、96满足，则五位数有99996、99888、98988、89988共4个3、(北京市一零一中学计算机培训班六年级04～05学年一学期第一次随堂测试第12题)在1～1000之间的自然数，能同时被2、3、5整除的数共有个.【解析】能同时被2、3、5整除的数一定能被60整除，则1000之内有1000÷60=16……40，共16+1=17个4、（2006年“我爱数学杯”数学竞赛）2006年6月11日是小明的生日.在2006的前边和后边各添上一个数，组成一个六位数，这个六位数正好能被他的出生月份数和日期数整除.这个六位数是 .【解析】这个六位数应能被2、3、11整除.由能被2整除，推知个位数是偶数.如果个位数是0，由能被11整除，推知首位是7,720060能被3整除，所以720060是解.如果个位数是2，由能被11整除，推知首位是9，920062不能被3整除，所以920062不是解.同理，由个位数4、6、8都得不到解.综上所述，这个六位数是720060.5、（06年十一学校选拔考试真题）一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有个．【解析】原两位数为10a+b，则交换个位与十位以后，新两位数为10b+a，两者之差为（10a+b）-（10b+a）=9（a-b）=27，即a-b=3，a、b为一位自然数，即96，85，74，63，52，41满足条件．6、（“祖冲之”杯数学邀请赛试题）求1，2，3，…，9999998，9999999这9999999个数中所有数码的和. 【解析】在这些数前面添一个数0，并不影响所有数码的和.将这1000万个数两两配对，因为0与9999999，1与9999998，…，4999999与5000000各对的数码和都是9×7=63.这里共有5000000对，故所有数码的和是63×5000000=315000000.1、 重点掌握2、3、5、9、11、99的整除性质2、 重点掌握求数码和的方法，如例10，此内容是杯赛常考类型，也可与余数问题结合起来1、 在25□79这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填 .【解析】能被11整除，则填12、 一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88所得的商是 或 .【解析】是88的倍数，则是8和11的倍数，根据8的性质个位可填0或8，则千位可填0或8，则商可为2620或27113、 有一个首位数字是8的六位数，它能被9整除，并且各个数位上的数字都不相等.这样的六位数最小是几？【解析】最小为8012354、（2008走美五年级初赛）2871a a 是2008的倍数，那么a=【解析】是2008的倍数，则是4和8的倍数，则a=1、5、9，经验证，a=95、已知九位数2005□□□□是2010的倍数，这样的九位数共有多少个？【解析】九位数2005□□□□是2010的倍数，则20060000÷2010……200，则满足条件最大的数是20059800，最小的是20051760，共有（20059800-20051760）÷2010+1=5个6、把30个自然数1、2、3……30乘到一起，那么这个乘积的末尾会有 个0【解析】看2和5的倍数的个数，共7个7、三位数中能被11整除，且数字之和是11的有 个【解析】三位数，设这个 三位数为 abc ，有 a+ b+ c= 11 和 a+ c-b= 11 ，显然有 a+ c= 11 ， b= 0 ，所以就有 209、308、407、506、605、704、803、902 共8 个 ．家庭作业复习总结8、（三帆培训班）一个四位数能被45整除，千位数字与个位数字之积是20，百位数字与十位数字组成的两位数是9的4倍，求这个四位数【解析】43659、（2005人大附中小升初真题）有个四位数满足以下条件：它的各位数都是互不相同的奇数；它的每个数字都能整除它本身.【解析】各位数都是互不相同的奇数，则组成的数只能是1、3、5、7、9，每个数字都能整除它本身，则只能由1、3、5、9组成，个位必须是5，则共有3×2×1=6个10、李老师带领一班学生去种树，学生恰好被平分成4个小组，总共种树667棵，如果师生每人种的棵数一样多，那么这个班共有学生人.=⨯，由于学生加上老师的总人数除以4余1，而23-1=22，不能被4整除.说明学生的人【分析】6672329数是29-1=28（人）.教学反馈注：例题、巩固、检测、以及家庭作业均用此格式【巩固】奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米．已知去时用了4天，回来时用了3天．问：学校距离百花山多少千米？【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】解法一：这道题目关键是弄清题意，发现关键是要求出第一天拉练的距离，在这里可以用方程的思想来帮助解题，可以给四年级学生一个方程的初步认识，来回的距离是相同的，通过这点来做方程求解，设第一天拉练的距离是x，则第二天为2x+，第x+，第三天为4四天6x+，第七天的12x+．且去时和x+，第六天的距离为10x+，第五天的距离为8来时的路程一样，则24681012++++++=+++++（）（）（）（）（）（），则18x x x x x x xx=，学校距离百花山84千米．解法二：七天所走路程形成了一个等差数列，公差为2. 五、六、七三天合走路程比二、三、四三天合走路程多（8+10+12）-（2+4+6）=18. 来回路程相等，所以第一天走了18千米，学校距百花山18+20+22+24=84千米．【答案】84。