五年级奥数_数的整除
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 数论之数的整除性
第三讲 数论之数的整除性卷Ⅰ1. 熟练掌握整除性质及特殊数的整除特征；答案：因为432165a a a a a a 能被5整除，所以4a 是5；由于165432a a a a a a 、321654a a a a a a 和543216a a a a a a 分别能被2、4、6整除，因此1a 、3a 、5a 是偶数，取值为2、4、6，进而知道2a 、6a 是1和3；上述能被4整除的那个六位数的末两位32a a 应是4的倍数，而2a 是奇数，所以3a 只能为2和6．根据上面的分析，为使原六位数最大，1a 可取最大的数字6，2a 取1、3中的大数3，这样其余各数分别是3a =2，4a =5，5a =4，6a =1，所以最大值为632541．教学目标专题精讲数的整除性质：[性质1] 如果a 能被b 整除，b 能被c 整除，那么a 一定能被c 整除．例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除．[性质2] 如果a 、b 都能被c 整除，那么(a ±b ) 也一定能被c 整除． 例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除．[性质3] 如果c 能分别被两个互质的自然数a 、b 整除，那么c 一定能被ab 整除． 例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除．①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……②一个数各位数数字和能被3整除，这个数就能被9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.⑤部分特殊数的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；10101=3×7×13×37；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73.（一）整除的性质【例1】（2005全国小学数学奥赛）某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？分析：可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续11个自然数的和说明该数能被11整除，因此该数是[9,5,11]=495，因此符合条件的最小自然数是495．注意：本题易错答案为990，提醒同学们注意.（拓展）一个各位数字均不为零的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字、个位数字分别划去后可以得到3个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个能被5整除，另一个能被6整除，还有一个能被7整除．那么原来的三位数是多少？分析：那个能被5整除的两位数的个位数字是0或5，且应是原三位数的十位数字或个位数字．注意到各位数字均不为零且本身是偶数，故必须有原三位数的是十位数字是5．三位数能被8整除意味着末两位数应能被4整除．在51~59之间只有52、56是4的倍数，但52不是5、6、7中任何一个数的倍数，故题设中的三位数个位数字一定是6．由上述分析可知，百位数字和6组成的两位数是6的倍数，可能为36、66、96，则得到三个三位数：356、656、956，经检验只有656是8的倍数．【例2】（第14届迎春杯考题）1）从1～3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？（2）从1～3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？分析：（1）第一问比较简单，3998÷4=999…6所以1～3998中有996个能被4整除的（2）考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的，因此我们考虑分组的方法，我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上0补足4位，然后对这4000个数做如下分组：（0000，1000，2000，3000），（0001，1001，2001，3001），（0002，1002，2002，3002），…(0999，1999，2999，3999)，共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有1000个数字和是4的倍数，但注意到我们补充了一个0000进去．所以原来的3998个数里，有999个数字和是4的倍数．【例3】在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除？分析：如果2008+a 能被2007-a 整除，那么2008+a 2007-a 为自然数，2008+a 2008200712007-a 2007a++=-也是自然数， 4015能被（2007-a ）整除，所以4015=5×11×73，4015的约数中小于2007的数有1、5、11、73、55、365、803， 所以当a 取2006、2002、1996、1934、1952、1642、1204能使2008+a 能被2007-a 整除.【例4】 已知两个三位数abc 与def 的和abc def +能被37整除，证明：六位数abcdef 也能被37整除．分析：abcdef =abc ×1000+def =abc ×999+（abc +def ），因为999能被37整除，所以abc ×999能被37整除，而（abc +def ）也能被37整除，所以其和叶能被37整除.（前铺）已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么四位数〇△□☆是多少？分析：因为□△□△□△=□△10101⨯，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△=10101．作质因数分解得37137310101⨯⨯⨯=，由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有371321⨯⨯．注意到两位△□的十位数字和个位数字分别和另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=13，□〇=37，☆△=21．即〇=7，△=1，□=3，☆=2，所求的四位数是7132．（前铺）证明：形如abcabc 的六位数一定能被7，11，13整除． 分析：1001,100171113abcabc abc =⨯=⨯⨯，所以得证.（拓展）若4b+2c+d=32.试问abcd 能否被8整除?请说明理由．分析：由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即可.10010bcd b c d =++，有(42)9688(12)bcd b c d b c b c -++=+=+，所以abcd 能被8整除.（拓展）已知a ，b 是整数，求证a+b,ab 、a-b 这三个数之中，至少有一个是3的倍数．分析：若a,b 之一是3的倍数，则ab 是3的倍数；若a,b 都不是3的倍数：1)a=b=3k+1或3k-1 （都余1或都余2），则a-b 是3的倍数； 2)a,b 一个是3k+1 一个是3k-1 （一个余1，一个余2），则a+b 是3的倍数； 所以a+b,ab,a-b 这三个数之中,至少有一个是3的倍数.（拓展）五位数abcde 是9的倍数，其中abcd 是4的倍数，那么abcde 的最小值是_______．分析：1）若a、b、c、d、e不同的字母代表相同的数值时，abcde=abcd×10+e=(abcd+e)+ abcd ×9，因为abcde是9的倍数，所以(abcd+e)是9的倍数，要abcde最小，我们希望abcd和e都能取最小，这样和也就最小．abcd是4的倍数，所以最小是1000，要让(abcd+e)是9的倍数，e最小是8，所以abcde最小值是10008.2）若a、b、c、d、e不同的字母代表不同的数值时，abcd是4的倍数，所以最小是1024，但e为2，矛盾，所以abcd最小是1028，即abcde最小值是10287.（二）整除的特征【例5】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？分析：乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．5，15=5×3，20=5×4，25=5×5，30=5×6，35=5×7，40=5×8，45=5×9，50=5×5×2，55=5×11，发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个5，写到55时共出现11＋1＋1=13个因数5，所以至少应当写到55，最多可以写到59．[前铺] 从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？分析：首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0．其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的数字5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有++147=+个0．124[巩固] 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？343=，则可知，在11个连续的两位数种，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一分析：因为37个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，就是说这连续的11个自然数应该“含有”4个5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45．[拓展] 975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？分析：积的最后4个数字都是0，说明乘数里至少4个2和4个5．975=5×5×39，935=5×187，972=2×2×243，共有3个5，2个2，方框内至少是2×2×5=20 答：在方框内最小应填20．卷Ⅱ【例6】 已知四十一位数55…55□99…99（其中5和9各20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？分析：因为555555和999999都是7的倍数，如果原数是能被7整除，那么由5个205555□ 9个209999=5个205555□99999910999969个14+⨯知 5个205555□ 9个149999也能被7整除；又 5个205555□9个149999可以表示成 5555552910⨯＋ 5个145555□ 9个149999，说明 5个145555□9个149999也能被7整除， 相当于将原数的前后分别去掉555555和999999后整除性不变，依次下去，得到55□99．因此□44是7的倍数，□3是7的倍数，所以得□=6．[前铺1] 已知10□8971能被13整除，求□中的数．分析：10□8-971=1008-971+□0=37+□0．上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8．[前铺2] 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？分析：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除.[巩固1] 在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使得这个六位数能够被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？分析：（法1）这个六位数能够被17和19整除，那么也应当能被17×19=323整除，因为119911减去某个数□□00就可能是323的倍数.119911=323×371＋78，说明119911应当减去的四（三）位数满足□□00除以323也余78，也就是满足□□22除以323应当能够除尽.说明□□22是4522，那么□□00是4600，因此所求的六位数是119911－4600=115300.[巩固2] 应当在如下的问号“?”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数可被7整除?(其中数码6和5各重复了50次)666...66?555 (55)分析：可在“?”的位置上填上2或9．事实上，111111(6个1)可被7整除，因此如果将我们的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下66?55．从中减去63035，并除以10，即得3?2．此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除．所以？上填2或9.[拓展] 应当在如下的“□□”的位置上填上哪两个数码，才能使得所得的整数可被63整除？（其中数码2和7都重复了25次.222...22□□77 (777)分析：63=7×9，所以中间□□两个数的和能被9整除，又111111(6个1)可被7整除，所以去掉首尾24个数字后，剩下的2□□7，也能被7整除，2007=7×286+5，所以□□5也能被7整除，□□5-35能被7整除，所以两位数□□被7除余3，在两位数中被7除余3，且能被9整除的只有45. □□中所填的数是45.【例7】 （★★全国小学数学奥林匹克）200820082008200808n 个能被99整除，那么，n 的最小值为多少？分析：由于99=9×11，所以200820082008200808n 个能被11和9整除，200820082008200808n 个中奇位数减偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8，当n=6、17、28……时，（3n+1）是11的倍数，所以n 的最小值是6.200820082008200808n 个各位数字之和为（2+8）×n+8=10n+8，所以当n=1、10、19、28……等数时，能被9整除，所以n 的最小值为28.[前铺] 如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是 .分析：200520052005200501n 个中奇数位减偶数位的差为（5－2）n ＋1=3n ＋1,当n=7时，(3n ＋1)是11的倍数，所以n 的最小值是7.【例8】 （奥数网原创题）已知多位数55…5599…99□□（其中5和9各n 个）能被7整除，那么当n取值为什么时，方格内的数字的不同的情况数为定值，并求出这个定值？分析：由例题1知当n=6k （k 为自然数），100÷7=14…2，所以共有15种不同的情况；当n ≠6k （k 为自然数）,情况不定．[前铺1] 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？分析：199300÷105余10，199300-10=199290，即它的最后两位数是90.[前铺2] 已知200520052005□□是72的倍数，求末两位数是多少？分析：72=8×9，因为被9整除，所以末两位数字和是被9除余6的，因为被8整除，注意到百位是奇数，所以末两位被8除余4，满足这2个条件的2位数就只有60.[拓展] 已知多位数□□55…5599…99（其中5和9各n 个）能被77整除，那么方格内的数字是多少？分析：由例题知当n=6k （k 为自然数），100÷77=1…23，方格内的数字是77；当n ≠6k （k 为自然数）,情况不定．【例9】 （奥数网原创题）已知四十一位数55…55□7□99…99（其中5和9各19个）能被77整除，那么方格内的数字分别是多少？分析：由上题知可化为5□7□9能被7整除，50709÷77=658…43，所以□0□0+43=7 k （k 为自然数），即□0□0+1=7 k （k 为自然数），又21+□+□=11 k （k 为自然数），所以□+□=10，设第一个□为x ，则第二个□为（10-x ），有1000x+10（10-x ）+1=7 k （k 为自然数），，所以x=6，即第一个□为6，所以第二个□为4，即所求的数为56749.[前铺1] 五位数329A B 能被72整除，问：A 与B 各代表什么数字？分析：已知329A B 能被72整除.因为72＝8×9，8和9是互质数，所以329A B 既能被8整除，又能被9整除．根据能被8整除的数的特征，要求29B 能被8整除，由此可确定B ＝6.再根据能被9整除的数的特征，329A B 的各位数字之和为A ＋3＋2＋9＋B ＝A ＋3－f －2＋9＋6＝A ＋20，因为l ≤A ≤9，所以21≤A ＋20≤29.在这个范围内只有27能被9整除，所以A ＝7.[前铺2] 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除.分析：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数．因为9，25，8两两互质，由整除的性质知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4.这个七位数是4735800.[拓展1] 买28支价格相同的钢笔共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？分析：∵9□.2□元=9□2□分，28＝4×7，∴根据整除“性质2”可知4和7均能整除9□2□．4｜2□可知□处能填0或4或8．因为79020，79424，所以□处不能填0和4；因为7｜9828，所叫□处应该填8．又∵9828分=98.28元，98.28÷28＝3.51（元），即每支钢笔3.51元．[拓展２] 仓库有两个箱子，其中一个装了74个大杯子，另一个装了75个小杯子．地上有两个价格牌，一个写着总价“132.××元”，另一个写着“总价123.××元”．已知这两个价格牌原来贴在箱子上，但现在已经弄不清楚哪个价格牌贴在哪个箱子上了，唯一知道的是大杯子的单价比小杯子的贵，那么小杯子的单价是多少元？分析：设大杯子和小杯子的价格分别为S 和s ．如果s ×75=132.××，S ×74=123.××，因为S >s ，所以s >132.××－123.×× > 8元．可是如此小杯子的总价格大于8×75=300元，不符合题目要求．所以123.××是小杯子的总价钱．由此可得出123××是75=3×25的倍数，则××可以为00、25、50、75，经实验12300和12375是75的倍数．相应的s 分别为：12300÷75=1.64元、12375÷75=1.65元．【例10】 求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除．分析：所求的数写成100a ＋56的形式．由于100a ＋56能被56整除，所以a 能被14整除，所以a 应是14的倍数．而且a 的数字和等于56－5－6=45．具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除．接下来数字和为45的偶数是289998和298998，但前者不能被7除尽，后者能被7整除，所以本题的答数就是29899856．[前铺] 求最小的偶数，它的各位数数字之和为40.分析：各位数数字之和为40的数，至少有5位，万位上的数至少为4，否则，各位数数字之和最多为3+9+9+9+9=39，当万位数上的数为4是，这个数只能是49999，不是偶数，所以最小的偶数只能是59998.[拓展]在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有多少？分析：因为5×8=40，5个数字的和等于43时，其中至少有3个9，并且只有以下两种情况.(1) 数字中4个9、1个7，则奇数位数字和减去偶数位数字和只能是3×9-（9+7）=11，这样的书有99979和97999，(2) 数字中3个9，一个7，则奇数位数字和减去偶数位数字的和只可能是3×9-2×8=11，这样的数有98989.数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授.练习三专题展望1. （例1）有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和，例如：30满足上述要求，因为30=9＋10＋11；30=6＋7＋8＋9；30=4＋5＋6＋7＋8．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由．分析：3个连续自然数的和，一定能够被3整除；4个连续自然数的和，一定能够被2整除，且除以2所得的商是奇数，也就是说它不能被4整除，也即除以4所得余数为2；5个连续自然数的和，一定能够被5整除．3、4、5的最小公倍数是60．60以内满足上述三个条件的数是30，所以60的整数倍加上30就可以满足条件．700=60×11＋40，所以第一个符合题意的数是750=60×12＋30，最大的一个数是990=60×16＋30，共计16－12＋1=5个数，分别为750、810、870、930、960．关键是让学生把该问题转化到整除问题，也可简单复习连续自然数求和与项数的关系．2. （例3）在1，2，3，……，1995，这1995个数中找出所有满足下面条件的数a 来：（1995+a ）能整除1995×a. 分析：1995a 1995+a ⨯是自然数，所以1995a 199519951995-=1995+a 1995+a⨯⨯也是自然数，即1995+a 是1995×1995的约数.因为：1995×1995=32×52×72×192，，它在1995与2×1995之间的约数有 32×192=3249，7×192=2527，3×72×19=2793， 52×7×19=3325，32×5×72=2205，3×52×72=3675， 于是a 的值有6个，即3249-1995=1254，2527-1995=532，2793-1995=798， 3325-1995=1330，2205-1995=210，3675-1995=1680.3. （例4）已知p 、q 都是大于1的整数，并且qp 12-和p q 12-都是整数，那么p ＋q 的值是多少？分析：根据对称性，不妨设p q ≥，于是21q p-为大于0、小于2的整数，只能等于1.由于21q p -=，可将21p q -化为34q-，这样3q =，5p =，所以8p q +=.4. （例5）把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？分析：1到10的乘积里会出现2×5和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是49个0，还要扩大至220时加4个0，所以最小的数应该是220，而最大应该是224．5. （例6）二百零一位数11…1□22…2（其中1和2各有100个）能被13整除，那么中间方格内应填什么数？分析：由111111被13整除，而100=6×16+4，故原来被13整除的算式即变为13｜1111□2222；还可变为13｜333-1□2，即可知方格应填1．6. （例7）已知数022983298329832983个 n 能被18整除，那么n 的最小值是多少？分析：13n+2=9k ，所以k=6 时，n=4位最小值.人生要学会遗忘人生在世，忧虑与烦恼有时也会伴随着欢笑与快乐的．正如失败伴随着成功，如果一个人的脑子里整天胡思乱想，把没有价值的东西也记存在头脑中，那他或她总会感到前途渺茫，人生有很多的不如意．所以，我们很有必要对头脑中储存的东西，给予及时清理，把该保留的保留下来，把不该保留的予以抛弃．那些给人带来诸方面不 利的因素，实在没有必要过了若干年还值得回味或耿耿于怀．这样，人才能过得快乐洒脱一点．众所周知，在社会这个大家庭里，你要想赢得别人的尊重，你首先必须尊重别人，多记住别人的优点，而学会遗忘别人的过失．其次，一个人要学会遗忘自己的成绩，有些人稍微做了一点成绩就骄傲起来，沾沾自喜，这显然是造成失败的一个原因．成绩只是过去，要一切从零开始，那样才能跨越人生新的境界．同时，一个人自己对他人的帮助，应该看作是一件微不足道小事，以至于遗忘．这样，你的处事之道方能获得他人的赞许．人生需要反思，需要不断总结教训，发扬优点，克服缺点．要学会遗忘，用理智过滤去自己思想上的杂质，保留真诚的情感，它会教你陶冶情操．只有善于遗忘，才能更好地保留人生最美好的回忆．成长故事。
五年级奥数第一讲：整除初步
五年级奥数第一讲：整除初步例题1，判断下面12个数的整除性。
23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407，91301301。
（1）哪些数能被4整除？--末尾2位数。
分析：3568、5880、198954、6512、864都是4的倍数，因为末尾2位数都是4的倍数。
（2）哪些数能被8整除？--末尾3位数。
分析：3568、5880、6512、864都是8的倍数，末尾三位数是8的倍数即可。
（3）哪些数能被25整除？---末尾2位数。
分析：8875、93625都是25的倍数，因为末尾2位数是25倍数。
（4）哪些数能被125整除？---末尾3位数。
分析：8875、93625，末尾三位数都是125的倍数。
（5）哪些数能被3整除？-----数字和是3的倍数。
分析：23487、6765、5880、198954、864、91301301都是3的倍数，因为数字和都是3的倍数。
（6）哪些数能被9整除？---数字和是9的倍数。
分析：198954、864，因为数字和是9的倍数。
（7）哪些数能被11整除？--截位判别法或奇偶位和差分析法。
分析：6765、6512、407是11的倍数。
（8）哪些数能被13整除？-截位判别法。
分析：91301301，末尾三位数和末尾三位数之前的数的差是13的倍数。
练习1：在数列3124，312，3823，45235，5289，5588，661，7314中。
（1）哪些数能被4整除？--末尾2位数。
分析：3124、312、5588的末尾两位数都是4的倍数，所以是4的倍数。
（2）哪些数能被3整除？---数字和。
分析：312、5289、7314都是3的倍数，因为数字和是3的倍数。
（3）哪些数能11整除？--截位判别法或奇偶位和差分析法。
分析：3124、5588是11的倍数。
例题2，173（）是一个四位数，在括号内依次输入三个数字，分别得到三个四位数，依次分别能被9，11，8整除。
五年级奥数竞赛之数的整除性
五年级奥数竞赛之数的整除性数的整除性整除的基本性质:性质1 如果a、b都能被m整除，那么它们的和a，b与差a,b都能被m整除。
它可记为:若m/a，m/b，则m/(a?b)。
m能同时整除a、b，即m既是a的约数，又是b的约数，则称m是a、b的公约数。
如果两个数只有唯一的公约数1，则称这两个数互质。
例如1与12，4与5，5与9，3与25等。
性质2 如果a/m，b/m，且a和b互质，那么a和b的乘积也能整除m，即(a×b)/m。
例如:3/72，4/72，且3和4互质，那么3与4的乘积12/72。
性质2中，“两数互质”这一条件是必不可少的。
6/72，8/72，但6与8的乘积48不能整除72，这就是因为6与8不互质。
根据性质2，我们常常可有如下解题思路:要使m被a×b整除，而a与b互质，就可以分别考虑m被a整除与m被b整除。
性质3 (传递性)如果c/b，且b/a，那么c/a。
特别是若b/a，m为整数，则有b/(a×m)。
1、形如1993 1993…1993 520，且能被11整除的最小数是。
n个19932、所有数字都是2且能被66…6整除的最小自然数是多少,3、500名士兵排成一列横队，第一次从左到右1，2，3，4，5(1至5)名报数;第二次反过来从右到左1，2，3，4，5，6(1至6)报数，既报1又报6的士兵有多少名,4、一个六位数的各位数字都不相同。
最左边一个数字是3，且此六位数能被11整除。
这样的六位数中的最小的数是。
5、已知一个两位数恰好是它的两个数字之和的六倍，求这个两位数是 ,6、已知a、b、c、d是各不相同的数字，a，b，c,18，b，c，d,23，四位数badc被5除余3，求四位数abcd是。
7、用1,6六个数字组成一个六位数abcdef其中不同字母代表1,6中的数字，要求ab是2的倍数，abc是3的倍数，abcd能被5整除，zbcdef是6的倍数，求这样的六位数有个，各是。
小学五年级奥数--数的整除特征
（二） 数的整除性质
• 1、看下面的两个例子： • ⑴ 我们知道 2︱10 ， 2︱6 ，2能整除10
与6的和或者差吗 • 能 。 2︱（10＋6）且 2︱（10－6） • ⑵ 我们再看 5︱25 ， 5︱10 ，5能整除
25与10的和或差吗？ • 能 。 5︱（25＋10）， 5︱（25－10） • 你能从上面的题目中得到上面规律？
• 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
• 即：如果c︱b ， b︱a 那么 c︱a。
（三）数的整除特征
• （一）：能被2、3、5、9、整除的数的整除特征； • （二）①能被4、25整除：末两位数能被4和25整
除； • ②能被8、125整除：末三位数能被8、125整除； • ③能被11整除：奇位数字之和与偶位数字之和的
9□.2□元＝9□2□分
• 解：∵28＝4×7，根据整除的性质③，
•
可知4︱9□2□ 且7︱9□2□
• ∴ 根据4的整除特征可知□可以填0、4、8 ，
•
∵ 7 9020， 7 9424；7 9828。
•
∴ □处应当填 。 ∣
•
÷28＝ 8（分）＝ （元）
• 答：9每82支8钢笔的价格35是1
元3。.51
Thank You
世界触手可及
（德阳市第十届小学生数学邀请赛试题）。
4、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____
5、 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数 能被11整除, 方格内应填_____。
6、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们 分别能被2 3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
携手共进，齐创精品工程
数的整除性质1
五年级奥数-数的整除
专题一数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题内容之一。
一、基本概念和知识1.整除例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a）7是63的约数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
④能被5整除的数的特征：个位是0或5。
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。
（小五奥数）解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。
五年级奥数题及答案：数的整除性规律问题-精选教学文档
五年级奥数题及答案：数的整除性规律问题编者小语：数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。
这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行积极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。
查字典数学网为大家准备了小学五年级奥数题，希望小编整理的五年级奥数题及参考答案：数的整除性规律问题，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!数的整除性规律【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。
例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=243|24，则3|1248621。
又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=279|27，则9|372681。
【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。
例如，173824的末两位数为24，4|24，则4|173824。
43586775的末两位数为75，25|75，则25|43586775。
【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。
例如，32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。
3569824的末三位数为824，8|824，则8|3569824。
214813750的末三位数为750，125|750，则125|214813750。
【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。
例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，则7|75523。
小学五年级下期数学思维训练(奥数)《数的整除》教学设计及练习题
数的整除专题简析：数的整除是研究自然数之间关系的学问。
我们在课本中已经学习了能被2、3、5整除的数的特征，本讲让我们来探讨能被4或25,8或125,9,7,11,13整除的数的特征。
例1研究能被4或25整除的数的特征。
有四组数如下：（1）424 316 9840 628 880（2）7354 126 766 894 9343（3）925 575 850 1000 8075（4）835 355 360 1005 495把第（1）、（2）两组数分别除以4，第（3）、（4）两组数分别除以25，找出能被4或25整除的数的特征。
分析与解答：通过计算可以知道：第（1）组的数都能被4整除，而第（2）组的数都不能被4整除；同样，第（3）组的数都能被25整除，第（,4）组的数都不能被25整除.。
仔细观察这四组数的末两位数会发现：第（1）组中的每个数的末两位数都能被4整除，而第（2）组中的每个数的末两位数都不能被4整除；同样，第（3）组中的每个数的末两位数都能被25整除，而第（4）组中的每个数的末两位数都不能被25整除。
所以能被4或25整除的数的特征：一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。
随堂练习：1、判断312、142、280能否被4整除。
2、判断375、260、165能否被25整除。
例2研究能被8或125整除的数的特征。
有四组数如下：（1）4840 3160 7544 6112 2248（2）5551 9854 4886 1102 4540（3）3750 3500 3875 2625 5375（4）2005 1050 2795 7350 1985把第（1）、（2）两组数分别除以8，第（3）、（4）两组数分别除以125，找出能被8或125整除的数的特征。
分析与解答：通过计算可以知道：第（1）组的数都能被8整除，而第（2）组的数都不能被8整除；同样，第（3）组的数都能被125整除，第（4）组的数都不能被25整除.。
五年级奥数讲义第5讲数的整除性(一)
第5讲数的整除性（一）三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。
这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。
数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。
例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。
因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。
这个七位数是4735800。
例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。
按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节，因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。
例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。
能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。
5奥 第5讲 数的整除
第五讲 数的整除例1， 有0，1，4，7，9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的三位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是几？例2， 在五位数15□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又含有约数5？例3， 有一个首位数字为8的五位数，它能被9整除，且各位数字均不相同，问这样的五位数最小是几？例4， 已知整数1X2X3X4X5能被11整除，求所有满足这个条件的整数。
例5， 在算式abcde 1×3=1abcde 中，不同的字母表示不同的数字，相同的字母表示相同的数字，求abcde .例6， 某小学五年级学生张明做数学题时发现“任意一个三位数，连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7、11、13整除”。
这个结论你会证明吗？例7， 将三位数3ab 接连重复地写下去，共写1993个3ab ，所得的数3ab3ab3ab ….3ab(1993个3ab)正好是91的倍数，试求ab=？例8， 下面这个四十一位数55……5□99……9(其中5和9各有20个)能被7整除。
那么中间方格内的数字是几？例9， 如果六位数1993□□能被105整除，那么，它的最后两位数是多少？例10， 在下面的方框中各填入一个数字，使这个六位数能被17和19整除。
那么，方框中的两位数“□□”是多少？ 11□□11练习1.一个六位数586□□□能同时被3、4、5整除，求这样的六位数中最小的一个。
2.在□内填上合适的数字，使□679□能同时被8、9整除。
3.有一个四位数是45ab，同时能被2、3、4、5、9整除，求出这个四位数。
4.李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元。
已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？5.求出所有能被3整除的两位数的和。
6.已知六位数□8919□能被33整除，那么这个六位数是多少？7.小马虎在一张纸上写了一个无重复数字的五位数9□4□5，其中十位数字和千位数字都看不清了，但是已知这个数能被75整除，那么满足上述条件的五位数中，最大的一个是多少？8.在25□79这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填多少？。
五年级下册数学奥数讲义—第十三讲数的整除通用版
数的整除一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；1. 2和5例：把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？解：乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．，，发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现个因数5，所以至少应当写到55。
五年级奥数题：数的整除性
数的整除性一、填空题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6. 所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.———————————————答案——————————————————————1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,3771÷9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)⨯30÷2=16657. 96910或46915A691能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以五位数BA能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除, B=0或5.当B=0时,6910因此A=9；当B=5时,同样可求出A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3⨯5⨯7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。
五年级奥数—数的整除性(一)
数的整除性（一）数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（5）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（7）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（8）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（9）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（10）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
五年级奥数数的整除
数的整除(3.26)姓名_______________一、知识要点1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
二、例题分析1、请写出50以内的质数。
2、某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？并将它们写出来。
3、把下列各数写成质因数乘积的形式：(1)84 (2)924 (3) 693 ※(4) 539※（5）323 ※（6）211124、自然数123456789是质数，还是合数？为什么5、两个质数的和是39，求这两个质数的积。
6、两个大于10的合数的和是31，求这两个数。
7、两个自然数的和为20，积为96，求这两个数。
8、两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？9、三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.10、四个自然数和乘积是308，求这四个自然数。
11、请写出100以内的平方数：_____________________________________________________________________。
(1)、20乘以一个自然数，乘积是一个平方数，这个自然数最小是多少？这个平方数又是多少？(2)、315乘以一个自然数a，乘积是一个整数的平方。
求最小的a和这个整数。
12、把下列各数写成质因数乘积的形式，并指出他们分别有多少个两位数的约数：（1）126 （2）435 （3）46213.在50到100之间找出两个整数，使其乘积等于6930。
五年级奥数-数的整除
数的整除如果整除a除以不为零数b，所得的商为整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。
如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做b的倍数。
数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。
（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。
（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。
（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。
（6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。
（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。
（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。
一、例题与方法指导例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能或又 23056088=2620238568÷88=2711所以,本题的答案是2620或2711.例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.思路导航：因为36=9⨯4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.例3. 下面一个1983位数33…3□…4中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.思路导航：33...3□44 (4)991个个=33...3⨯10993+3□4⨯10990+44 (4)990个 990个因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要个个3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.所以，答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34。
五年级(奥数) 数的整除
五年级数的整除
1、有三根铁丝，分别长12厘米、18厘米、54厘米。
要把它们都截成同样长的小段不许剩余，每段最长是多少厘米？一共能截多少段？
2、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育锻炼，要把它们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱。
最多每组多少人？每班各分多少组？
3、一张长方形纸长112厘米，宽80厘米，把它剪成若干个同样大小的正方形，使边长是
整厘米且不能有剩余，最少能剪多少个？
4、用长16厘米，宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板多
少块？
5、张妮有若干张画片，7张一数还余4张，5张一数又少3张，3张一数正好。
问：张妮
至少有多少张画片？
6、五年级两个班的学生一起排队去做操，如果9人排一队，多出一人；如果10人排一队，同样多出一个人。
这两个班最少共有多少人？
7、有一篮鸡蛋，每按4个一堆分多一个；按5个一堆分多1个；按每6个一堆分也多1个。
这篮鸡蛋至少有多少个？
8、一个四位数9□2□既有约数2，又是3的倍数，同时又能被5整除。
这个四位数最大是什么？
9、六位数“568□□□”能同时被2、3、5整除。
求这样的六位数中最小的一个是多少？。
整除问题技巧
小学五年级上册奥数知识点整理：数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强，是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b 不能整除a），记作ba。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
五年级奥数专题02：数的整除性
二数的整除性（A）年级班姓名得分一、填空题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6. 所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.二 数的整除性(B)年级 班 姓名 得分一、填空题1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.3. 下面一个1983位数99199133 (3)44...4个个中间漏写了一个数字(方框),已知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.5. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.6. 一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是___.7. 任取一个四位数乘3456,用A 表示其积的各位数字之和,用B 表示A 的各位数字之和,C 表示B 的各位数字之和,那么C 是_____.8. 有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.9. 从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是_____.10. 所有数字都是2且能被10066...6个整除的最小自然数是_____位数.二、解答题11. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？12．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？13．500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？14．试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.———————————————答案——————————————————————1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上, 3771÷9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3. 990 要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367 先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=33676. 1665 能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99 这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)⨯30÷2=16657. 96910或46915A691能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或5.当B=0五位数BA能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,因此A=9；当B=5时,同样可求出时,6910A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3⨯5⨯7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。
五年级奥数-数的整除问题
五年级奥数-数的整除问题介绍本文档将涵盖五年级奥数中与数的整除问题相关的内容。
数的整除是数学中的一项基本概念，它在解决实际问题和数学推理中起着重要的作用。
数的整除定义两个整数a和b，若存在整数c，使得c * b = a，则称a能被b 整除，记作b|a。
其中a称为被除数，b称为除数，c称为商。
整除的特性1. 如果a能被b整除，那么a的所有倍数也能被b整除。
2. 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。
3. 如果a能被b整除，b能被a整除，那么a和b相等。
判断一个数能否被另一个数整除的方法1. 试除法：从除数的最小可能取值开始逐步增加，直到找到一个能整除被除数的除数或者超过了被除数的一半。
如果找到了能整除的除数，则其为被除数的因数；否则，被除数为质数。
试除法：从除数的最小可能取值开始逐步增加，直到找到一个能整除被除数的除数或者超过了被除数的一半。
如果找到了能整除的除数，则其为被除数的因数；否则，被除数为质数。
2. 质因数分解法：将被除数和除数都进行质因数分解，然后比较它们的质因数是否相同。
如果除法相同，则说明除数能够整除被除数；否则，不可整除。
质因数分解法：将被除数和除数都进行质因数分解，然后比较它们的质因数是否相同。
如果除法相同，则说明除数能够整除被除数；否则，不可整除。
数的整除问题的应用数的整除问题在实际生活和数学中都有广泛的应用，例如：1. 分配问题：将一定数量的物品平均分给每个人，需要确定每个人能够得到多少个物品，就需要解决数的整除问题。
2. 判断质数：质数是只能被1和自身整除的数，通过判断能否被其他数整除，可以检验一个数是否为质数。
3. 数论问题：在数论研究中，数的整除问题是一个重要的主题，涉及到数的性质和结构等方面。
总结数的整除是五年级奥数中的基本概念之一，通过研究整除的定义、特性和判断方法，可以解决实际问题和进行数学推理。
在实际生活和数学领域中，数的整除问题有着广泛的应用，我们应该加强对该概念的理解和掌握。
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开元教育数的整除
姓名_______________
数的整除特征：
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
⑧互质6=2*3 88=8*11 ·······
例1、36、60、87、95、104、123、235、396、432、505、606、712、918这些数中。
能被2整除的数有________________________________________；是3的倍数的有_________________________________；5的倍数有____________________________。
你还能找出哪些数是6的倍数吗？______________________________________。
例2、126、248、368、472、582、1234、5678、2468、2340、97532这些数中能被4整除的数有_______________________________；8的倍数有____________________。
你还能找出12的倍数吗？___________________________________。
例3、在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除.
例4、在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除.
例5、在□内填上合适的数字，使□679□能同时被8、9整除.
例6、在□内填上合适的数字，使六位数19□88□能被35整除.
例7、一个六位数586□□□能同时被3、4、5整除，求这样的六位数中最小的一个？
例8、一年级有72名学生，课间加餐共交了□67.9□元（□内的数字辨认不清），每人交了多少钱？（每人交钱一样多）
例9、一个整数a与108的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。
例10、问24共有多少个约数？全部约数之和是多少？
例11、求240的约数的个数。
全部约数之和是多少？
例12、求1080的约数的个数。
例13、2×3×4×…×9×10，这个连乘积的末尾有几个0？
例14、225×72×（），要使这个连乘积的最后四个数字都是0，在括号内最小应填什么自然数？
※拓展练习：
1、个位数是6，且能被3整除的三位数有多少个？
2、用1，2，3，4这四个数码可以组成24个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有哪几个？
3、一个三位数能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除，这样的三位数有哪些？
4、小马虎买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：□11.4□元(□表示不明数字)。
你能帮助小马虎找出不明数字吗？
5、40名同学排成一排，由第一名开始报数，报奇数的同学落选退出队列，报偶数的同学站在原位置不动，然后再从头报数，如此继续下去，最后剩下的一名当选。
小胖非常想去，他在第一次排队时应该站在队列的什么位置上才能被选中？
1、在数38、57、76、95、105、25
2、365、405、987中，
能被2整除的有：（）
能被5整除的有：（）
能被3整除的有：（）
2、 (1) 18共有多少个约数？
(2) 180共有多少个约数？
3、在□内填上适当的数字，使七位数98765□能被4整除。
4、五位数4□56□能被9整除。
这个五位数可能是多少？（至少写出三个）
( )、（）、（）。
5、 150×148×（），要使这个连乘积的最后四个数字都是0，在括号内最小应填什么自然数？
6、在65后面补上2个数字，组成一个四位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。
△7、李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元.已知□
处数字相同，请问每支钢笔多少元？
△8、在□内填上合适的数字，使□679□能同时被8、9整除。
※9、求各位数字都是 7，并能被63整除的最小自然数。
※10、把一个三位数的百位和个位上的数字互换，得到一个新的三位数，新、旧两个三位数都能被4整除。
这样的三位数共有多少个？。