初级1 -第三章简单随机抽样

n
n
n 1 N 1 n N
n 1 N 1
二、实施方法 • 抽签 制作N个同质的签，充分混合。从中一次抽出n个签， 或者先抽出一个签但不放回，再抽下一个签直到抽 满n个签为止。抽出的这n个签对应的单元入选样本， 这是不放回简单随机抽样；若从充分混合的N个签 中抽取一个，记录后放回，再抽取下一个，如此进 行，直到抽满n个为止，则是放回简单随机抽样。 抽签法的实施起来比较麻烦，尤其是当总体单元数 N较大时，所以该方法的使用场合为当总体单元数 N比较小，签的制作比较方便时。
第三章 简单随机抽样

第一节
基本问题
一、什么是简单随机抽样
从 N个单元的总体中抽取 n个单元组成的样本。总体单元数为 N，
样本量为 n。 若抽样是放回的，每次都是从 个总体单元中随机抽取1个单元，独 立重复抽取n次，得到 个单元组成的样本，叫做放回简单随机抽样。 若抽样是不放回的，每次都是从剩下的总体单元中随机抽取1个单 元，相继依次抽取n次，得到n个单元组成的样本，叫做不放回简单 随机抽样。
精度margin of error
对精度的要求通常以允许最大绝对误差
差限）或允许最大相对误差 （相对误差限）来表 示。
r
d（绝对误
d 1 P
P r 1


样本量足够大时，可用正态分布近似
ˆ tS ˆ d t V
2
第三章 基本概念
N n N 1
N n N
为 修正系数
2
为 S 修正系数
n f ，称抽样比， N
2
令
N n 1 f 有限总体调整系数 故， N 2
S V ( y ) (1 f ) n
第三章 简单随机抽样
第三节 简单随机抽样中的估计
n 1 ˆ Y y yi n
2
合计
( y Y )
1000
第三章 简单随机抽样
样本分布
y
频数
100 1
105 2
110 3
115 4
120 3
125 2
130 1
0.0625
频率 0.0625 并且：
0.125 0.1875 0.25 0.1875 0.125
说明样本分布近似正态分布
E( y) Y
第三章 简单随机抽样

随机数表法
（1）定义：用随机数表查出样本号码的方法 （2）步骤： ● 随机决定所用数表页码（瞎子点点法或掷骰子法） ● 决定起点（瞎子点点法） ● 查样本号数：
﹡N≤10，查一位数字即可，取到n个样品为止，重复的数字取消 ﹡11≤n≤100，查两位数字，大于n的以n除之取余数，重复数字去掉 ﹡n＞100，向下取三位，大于n的以n除之取余数，重复数字去掉
第三章 简单随机抽样
二、 总量估计
Y NY Yi
i 1 N
N ˆ Ny Y n
ˆ Y EY

y
n
i
2 ˆ V (Y ) V ( Ny ) N V ( y )
2 N (1 f ) 2 2 V Y N V y S n

N (1 f ) 2 2 v Y N v y s n
n
简单随机抽样下，总体各单元的入样概率 相等。
入样概率指的是总体某单元入选样本（即被抽中）的
概率。 对于放回简单随机抽样，根据概率的乘法法则，总体 各单元未被抽中的概率都为 ( NN 1) ，所以总体各单元 的入样概率相等，都为 1 ( NN1) 。 n 对于不放回简单随机抽样，可能的样本有CN 种，包 C 种，所以总体各单元的入样概 含某单元的样本有 C n 率都为 C ，即 N 。另一种计算方法是：相继依次 1 抽取了n次，总体某单元第1次被抽出的概率为 N ， 1 第2次被抽出的概率也为 NN1 N11 N ，直到第n次被抽出 N 1 N 2 1 1 的概率也为 N N 1 N (n 1) N ，根据概率的加法法则，该 n 单元最终被抽中的概率为 N 。
1 f 2 1 0.1 ˆ vY s 19.1111 1.72 n 10
ˆ vY ˆ 1.3115 sY
由置信度95%对应的 t 1.96 ，因此，可以以95%的把

ˆ Y y 5

握说总体平均水平大约在 5 1.96 1.3115 之间，即2.4295和7.5705之间。
1. 调查费用确定样本量 先确定费用函数，如
费用

C c0 nc1
总费用 固定费用
设计费 分析费 办公费 管理费 场租费 等
可变费用 访问员费 交通费 礼品费 电话费 等
C 一定时，可得到样本量上限
C c0 n c1
STEPS
所需要的精度
找出样本量与精度之间的关系
估计所需的数值，求解 n 如超出预算，调整精度值重新计算
ˆ sY 131.1488 t 1.96 0.5141 51.41% ˆ 500 Y



第三章 简单随机抽样
三、比例估计 1，具有某种特征 令
总体比例 P 1
n 1 ˆ y P i n
yi 0，不具有某种特征
Y N
N i
n 1 样本比例 p yi n

2
【例2.3】续例2.2。估计总体总量，并给出在置 信度95%的条件下，估计的极限相对误差。
ˆ 100 5 500 Y
1 0.1 2 ˆ v Y 100 19.1111 17200 10
ˆ的极限相对误差为： 在置信度95%下，Y

ˆ vY ˆ 131 .1488 sY
p(1 p) ˆ v( P) (1 f ) n 1
例: N 500000， n 500 ，有425户家庭拥有彩 电，全市居民家庭彩电拥有率？
第三章 简单随机抽样
n 1 425 ˆ P yi 0.85 n 500
取 0.05
ˆ (1 p ˆ) p 500 0.85(0.15) ˆ v( P) (1 f ) (1 ) n 1 500000 500 1 0.000255
N=50n=10，编号：01—50
• 计算机抽取
计算器、计算机中的统计软件都有现成的产生随机
数的程序，虽然从本质上说这种随机数都是伪随机 数（遵循特定的计算法则），但基本可以保证数的 随机性。
如何利用SPSS产生伪随机数？
在SPSS中，产生一系列随机数方法是调用Transform
菜单下的Compute次级菜单 。菜单Compute 根据不 同的分布要求，可以选择以RV开头的函数进行计算 ，产生随机数字，注意待存放数据的数据格Cell必 须是已被激活或者说已填入空值的格子！ me=RND(RV.UNIFORM(1,300)) me=RND(RV.NORM(1,300))
将分子，分母同除以 N2
Nt S n0 2 N
n0 N 2 t 2 S 2 1 2 N N
n0 故 n n0 1 N
Sample Size
n0 n n0为重复抽样条件下的样本量 n0 1 N ts 2 tc 2 t 2S 2 n0 ( ) ( ) n0 2 rY r
例题：A、B 、C 、D 4人，体重分别为 100，110，120，130斤 可知： Y 115
2 2 ( 100 115 ) ( 130 115 ) 2 4 125
现采用抽样方法估计 Y ， n 2 ，放回抽样
第三章 简单随机抽样
样本 A,A A,C B,A B,C C,A C,C D,A D,C
r t ˆ V


变异系数

t S ˆ tCvˆ

第三章 简单随机抽样
2. 放回抽样
由
S t n0
2
得
t S n0 2
2
2
第三章 简单随机抽样
3. 不放回抽样 由
S N n t ( ) n N
2
2 2
得
Nt 2 S 2 n 2 2 2 N t S
第三章 简单随机抽样

三、符号说明 总体 单位数 N 总和 Y 均值 Y 比例 P 方差 2 及 S 2
N
样本
ˆ Ny Y
p
n
y
2
s
N 1

2
(Y Y )
i
N
2
S2
2 ( Y Y ) i
N
பைடு நூலகம்
s2
2 ( y y ) i
n
n 1
第三章 简单随机抽样
第二节 简单随机抽样的误差计算
抽样误差（标准差）
V ( y ) 1000 16 7.9
抽样误差计算公式
2 V ( y) 125 7.9 n 2
误差也可用方差形式表现
V ( y)
2
n
第三章 简单随机抽样
若采用不放回抽样
V ( y ) 500 12 6.45
计算公式
V ( y)

N n 125 4 2 ( ) ( ) 6.45 n N 1 2 4 1
y
100 110 105 115 110 120 115 125
( y Y )2
225 25 100 0 25 25 0 100
样本 A,B A,D B,B B,D C,B C,D D,B D,D
2
y
105 115 110 120 115 125 120 130
(y Y ) 100 0 25 25 0 100 25 225