第十五章-稳恒磁场-1

Ｎ
６、通电螺线管的行为与条形磁铁类似
二、磁铁和电流在本质上是否一致？
十九世纪法国安培的分子环流假说：组成磁铁的最小单 元是环形电流，大量的分子电流整齐地排列起来，在宏 观上显示出磁性。
Ｎ
电流 磁性的本源 运动电荷 相互作用 运动电荷
磁铁
磁场
§15.2 磁感应强度和磁通量
一.磁场与磁感应强度
运动电荷周围存在磁场 磁场的宏观性质：
总匝数为N , 总长为L , 通过稳恒电流 , 电流强度为I
分析对称性, 知内部场沿轴向
方向与电流成右手螺旋关系
I
L
B
由磁通连续原理可得 B内B外
取过场点的每个边都相当小的矩形环路a b c d a
LBdl B 内 d l B d l B 外 d l B d l
ab bc cd
da
对其中的运动电荷有力的作用 磁场是一种物质，有质量、能量，是客观存在 磁力通过磁场传递
静止电荷 静止电荷 运动电荷
库仑相互作用 f e
库仑相互作用
f
e
磁相互作用 fm
静止电荷 运动电荷 运动电荷
洛仑兹力公式 ffefm
qEqvB
电场力，与电荷 的运动状态无关
磁场力，运动电 荷才受磁力
洛仑兹力是力的基本关系式
对称性分析
By dBy 0
BB x40
Idl x2R 2
R 0I
x2R 2 2
R2
x2 R2
3 2
B0I 2
R2
x2 R2
3 2
方向如图示
I
圆心处的磁感强度
B 0I
2R
R
O
xP
方向：与电流环绕方向成右手螺旋
例3 求载流直螺线管轴线上的磁场
In
解：取电流元 dIIndx
R
在P点的磁感强度
§15.3 毕奥－萨伐尔定律
一. 毕—萨定律 二. 1820年，法国物理学家毕奥
和萨 三. 伐尔通过精确测定直线电流
对磁
Idl
rP
I dB
四. 铁B的作I 用r 力发现直线电流产
拉普生拉的斯从数学上推导出
d五电B.I流d磁元l场4c的0ur磁Ird场erlnt2erˆleme0n t 41方d07向N B/由A2右4真手0空螺Ird中2旋l的s判i磁定n导率
整个电流受力 F dF
l
I
B
Idl
dF
Idl
B
设导线截面积S，电流I，载流子
-
浓dF 度n ，n n带电SS 量fd m q，q d l漂v l移速B 率vnqvl SB vd Ifmd lB
安培力公式
dFIld B
FIdl B
l
求载流导线在磁场中受力 步骤：
1）求电流元受力 d FIld B
B
(a)
均 匀 场
I
(b) (a)
dl
B
I
a
IabB
b =30°
FIabBsin IBR 方向
结论
均匀磁场中任意弯曲通电导线ab，
所受磁场力为：
I
FIa bB
a
均匀磁场中任意闭合通电导线（通电线圈），
所受磁场力为：
F0
I
F Ia B b Ib B a a
b B
b B
例2 如图 一圆柱形磁铁N极上方水平放置一半径
当
fm
fe
时 ，为稳定状态 B
q UH
h
qvB
fm
qv
fe
+
I
UH h
-b
2、电子导电（载流子为负） qv
I nqvbh
UH
1 nq
IB b
B
-
fm
I
UH
+
-
h
b
fe
.B x
2、 B y 对载流线圈的作用
取任意电流元
磁场力 d FIld B
磁力矩
dM rdF
dM dM
dF Idl
I
r
.
R
nˆ
dF
By
取对称电流元，分析受磁场
力和磁力矩的情况 合力矩≠0
dMrdF R s in Id ysl iB n
M 20 IR 2B ysi2n d dlRd
R2IB sin
1 2 0
Bn0I
方向：与电流环绕方向 成右手螺旋
B
半无限长直螺线管轴线上：
1 2 2 0
B n0I 2
L
X
LR
§15.4 安培环路定理
一、磁场中的“高斯定律”
BdS0
无源场
S
二、安培环路定理
在恒定电流的磁场中，磁感强度 B沿任
一闭合路径 L 的线积分等于路径 L 所包围
的电流强度的代数和的 0 倍。
洛仑兹力是相对论不变式 B 磁感强度
(Magnetic Induction) 或称磁通密度 (magnetic flux density)
单位：特斯拉(T)
磁感应强度
是表征磁场力的性质的物理量
1、B 的来源 在S系中， q只受到静电场力的作用
S S
q
v
fe qE
q0 v0
在 S系中， q的受力是两个运动电荷
§15.1 磁的基本现象和基本规律
一、基本磁现象
中性区
磁极
1、条形磁铁
磁极
2、磁针
磁南极 北
3、磁铁与磁铁之间有相互作用 N
同名相斥，异名相吸
4、磁铁与电流之间有
西
相互作用
东 S 南 磁北极
1820年 丹麦奥斯特 电流对磁针有作用力 I
磁铁对电流有作用力
电流的磁效应
５、电流与电流之间也有相互作用
Ｓ
之间的相互作用，由洛伦兹变换：
B 2、qvBsfimn的单1位T1NS fCqE M qvqE c12vq0v E B
二、磁力线 1）典型电流的磁力线 2）磁力线的性质
无头无尾，闭合曲线 与电流铰链 与电流成右手螺旋关系
三m 、磁通S量B ds
BdS0
无源场
单位：韦伯(Wb)
S
B0
磁通连续原理（磁场的高斯定律）
B内ab
由安培环路定理
0
N l
abI
均 匀
பைடு நூலகம்
n N l
场
B0nI
b
a B内
P
X
c
d
由安培环路定理可解一些典型的场
无限长载流直导线
密绕螺绕环 匝数
B2r0I
B2r0NI
B 0I
I r
B 0 NI
r
2 r
2 r
无限大均匀载流平面 (面)电流的(线)密度
B
BabBcd0jabb
a r
j
B 0 j
0 4
Idl rˆ
r2
大小
dB 0 4
Id r2
lsi
n
方向
Idl
r
aP
o
dB
同 向 叠 加
BdB r d alsaindlsin2actg4 B 0aIc12o0s1I4sci1anods2
B4 0a Ico1sco2s
讨论：1）无限长直电流 a << L
1 0 2
B 0I 2 a
半无限长直电流
2
r
c
d
电流密度
I
(体)电流的(面)密度
S
如图 电流强度为I 的电流通过截面S
若均匀通过 电流密度为 J I S
(面)电流的(线)密度
如图 电流强度为I 的电流通过截线
若均匀通过 则 j I
I
l
l
§15.5 磁场对电流的作用
一、安培力公式
怎么计算电流受到的磁场力？
任意电流元 Idl 受力为 dF
电流元的磁场:
dB
0
4
Idl rˆ
r2
载流导线的磁场:
B L dB L 4 0 Id rl2rˆ
二、叠加法求磁场
1、取电流元
2、电流元的磁场 dB ，分析其大小及方向。
同向叠加，B dB
L
否则，Bi dBi i=x、y、z
L
3、积分，得出结果 B Bi
ix,y,z
三. 匀速运动点电荷的磁场
L1
L2
则从I 向L 引两条切线，
将L 分为L1 和L2 两段，
I
Bdl
L
L120IdL220Id =0
3、对定理的正确认识
Bdl 0Iint
L
t
L 在场中任取的一闭合路径 任意规定一个绕行方向 dl L上的任一线元
线元所在处的磁场 B 空间所有电流共同产生
I3
I1
L dl I 2
I in 与L铰链的电流，如图示的 I1 I2
2）看
dF 的方向，同方向叠加，则
F
dF
l
F i dF i
否则，
l
i x, y,z
例1 在均匀磁场中放置一半径为R的半圆形导线，电流强
度为I，导线两端连线与磁感强度方向夹角=30°，求此
段圆弧电流受的磁力。
解：在电流上任取电流元 Idl
(b)
ab 2R
F Idl B
Idl
由毕-萨定律：dB
0
4
Idl rˆ
r2
Idl
r
P
设导线截面积S，电流I，载流子
dB
浓度n，带电量q，漂移速率v
Idl
dl 中有 nSdl个载流子
dB40 nSrq2lvdrˆ
nSBdl
当v << c v
B
0 4
qvrˆ r2
-
r
P
B
例1 求直线电流的磁场
y 2
取电流元 磁感强度
dB
二、均匀磁场中的载流线圈
以半径R、电流I 的
圆形载流线圈为例
1、 B x 对载流线圈的作用
取任意电流 元
磁场力 dFIldB
磁力矩
dM rdF
取对称电流元，分析受磁场
力和磁力矩的情况 合力矩=0
R
Y
By
I
nˆ
B
X Bx
dF dM
dM
dF
. Id.l
.
r
.
. .
I.
nˆ
. .
.
.
.
其数学表达式为：Bdl 0Iint 有旋场
L
t
2、定理的正确性
以无限长直电流的磁场为例对环路定理作简单证明
dl θ B
在垂直于长直电流的平面 上取一任意闭合路径L
已知
B
0I
方向
r
r
2 r
I
L
线元 dl 与 B的夹角为θ
BdlBd co ls
L
L
L
0I 2
d
0I
rd
L 若闭合路径不包围电流
场中，当通以电流I 时，对应图中沿Z方向有电势差。
UH
RH
IB b
霍耳系数
RH
1 nq
z y BByy
x
I
b
金属导体
h
可以用带电粒子在磁场中 受力解释， 精确的解释只能用电子的 量子理论。
霍耳效应的应用： 判定导电机制 测量未知磁感强度
1、空穴导电（载流子为正）
设载流子电量为q，漂移速率为v，浓度为n
Iint
t
代数和 与L绕行方向成右手螺旋电流取正
如图示的电流 I 1 取负 I 2 取正
0
L
B
0
0 B dl 0
L
0
I L
IL
I
LI
三. 安培环路定理的应用
对于一些对称分布的电流，可以通过取合适的环路L，
利用磁场的环路定理比较方便地求解场量。
(具体实施，类似于电场强度的高斯定理的解题。) 例1 求密绕长直螺线管内部的磁感强度
磁矩 magnetic (dipole) moment
PmISnˆ
如果 场点距平面线圈的距离 r d
则称为磁偶极 子 磁偶极矩 pm
平面线圈的 平均线度
§15.6 带电粒子在磁场中的运动
一洛.仑带兹电力粒子f在m磁场q中v 受B 力
二.带电粒子在磁场中的运动
1、vB
回旋半径
m v2 qvB
R
为R 的圆电流I，圆电流所在处磁场的方向均与竖
直方向成 角，求圆电流所受磁力 解：在圆电流上任取电流元
d FIld B方向如图
dF
dF y
Y
I
B
圆电流所在处磁场的大小相同
dF x
dF xIdlcBos
dFIdlB
dF y IdlsBin
N
对称性分析得
Idl
X
dFx 0
2R
FdyF 2RI sB in 2R
1 2 2
B 0I 4 a
2) 延长线上一点
I
Idl rˆ 0 B0
y 2
LaP
o
B
1
P
例2 求圆电流轴线上的磁场
解：任取电流元
在P点的
磁感强度
dB
0
4
Idl rˆ
r2
大 小
dB
0 Id l 4r 2
方 向
I Idl
r
Y
dB
R
dB y
O
x
P
dBx
X
dBx dBsin dBy dBcos
X
大
小
dB0dI
2
x2
R2 R2
3 2
方向
dB
同向叠加
x1
x O P x2 X
B dB
dx
x2 x1
0Indx
2
x2
R2 R2
3 2
n20I
x2 x22R2
x1 x12R2
x1
dB xO P
dx
1
2
x2 X
Bn20I
x2 x22R2
x1 x12R2
n0Ic
2
o2sc
o1s
无限长直螺线管上：
B R
R mv Bq
fm
q
v
回旋周期 T 2R 2m
v Bq
2. v//B
若忽略重力，粒
fm 0 子将保持直线运
动状态
B
q
v
3. v与 B夹角为
v
vq
v //
R
螺旋运动
半径 R mv Bq
螺距
hv//T
2mv//
Bq
h
三.应用
1、磁聚焦 2、磁约束
§15.7 霍耳效应
1879年美国物理学家霍耳发现：将一导电板放在垂直磁
M In S ˆBPmB
3、小结：
载流线圈在均匀磁场中
合力 F合 0
力矩
MPmB
磁矩 magnetic (dipole) moment
PmISnˆ
如果 场点距平面线圈的距离 r d
则称为磁偶极 子 磁偶极矩 pm
平面线圈的 平均线度
3、小结：
载流线圈在均匀磁场中
合力 F合 0
力矩
MPmB