《大学物理》第六章 恒定电流的磁场

第六章 恒定电流的磁场
E的定义；E的计算；高斯定理；环路定理；库仑定律；静 电场中的导体；静电场中的介质.
B的定义；B的计算；高斯定理；环路定理；安培定律；电 荷在磁场中的运动；介质中的磁场.
*§6-1 恒定电流
§6-2 磁感应强度 §6-3 毕奥-萨伐尔定律
dB 0 4
Idl sin
r2
§6-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理 LB dl 0 Ii
B dl L
0
Ii
i
讨论
1. 静电场的环路定理说明静电场是无旋场；恒定磁 场的环路定理反映恒定磁场是有旋场。
2. 式中的电流是指闭合曲线所包围并穿过的电流，不 包括闭合曲线以外的电流，且电流必须是闭合载流导 线的电流。
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3. 电流的符号规定：
当电流方向与积分路径的绕 行方向构成右手螺旋关系时 电流为正,反之为负。
0
I πR 2
πr 2
0
r2 R2
I
B
0rI 2 R 2
(r R)
思考：若电流I 沿圆柱的表 面流动，圆柱内外的磁场 分布又如何？
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2. 长直螺线管内的磁感应强度( I、n ) 分析：由电流分布的对称性，管内磁场平行于轴线方向，
且管内外与轴等距离处B相等；螺线管密绕，管外磁场 近似为零。
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3. 载流螺绕环内的磁场
设环上线圈的总匝数为N，电流为I。 B //d l
sin
R r
(R2
R
x2
)1 2
S π R 所以
B
0 IR 2
2(R 2
x2
)3 2
百度文库
0
2π
(R2
IS
x2
)3 2
2
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所以
B
0 IR2
2(R2
x2
)3 2
0
2π
(R2
IS
x2
)
3 2
讨论：
（1）在圆心处 x 0
B 0I
2R
（2）在远离线圈处 x R, x r
载流线圈 的磁矩
引入
m
L B1 B2 Bn
dl
I1
L B1 d l L B2 d l L B n d l
0I1 0I2 0In 0 Ii
I2 In
L
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安培环路定理： 在真空中的恒定磁场内，磁感应
强度B矢量沿任何闭合曲线L的环流等于穿过闭合曲
线回路所有传导电流的代数和的0倍。
设带电量为q，速度为v的运动试探电荷处于
磁场中，实验发现：
1. v 0 F 0
v 0
一般， F 0
z
F
O
y
qB
x
v
2. q 以同一速率沿不同方向通过P点时，所受磁力
大小不同 v B F 0 v B F Fm
F v, F B.
即 F (v,B) 。
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z
F
O
因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
SB dS 0
恒定磁场的高斯定理
表明穿过任意闭合曲面S的总磁通必然为零， 说明磁场是无源场。
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恒定磁场的高斯定理
SB dS 0
B线：无头无尾
闭合线
静电场的高斯定理
E dS
qi
S
0
E线：出自正电荷，
收于负电荷
恒定磁场是无源场 原因：自然界无磁单极
I dl
R
I
O
r
d B
dB
x
P d B//
B
d
L
B
/
/
dB sin
L
0
4π
I d l sin
L r2
0 I sin
4πr 2
2 πR
dl
0
0 I sin
4πr 2
2πR
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B 0 I sin 2πR
4πr 2
I dl
r
d B
dB
R
I
x
O
P d B//
因
r2 R2 x2;
L
L
L B cos dl
2π 0 I r d
0 2πr
θ
0I
表明：磁感应强度矢量的环流与闭合曲线的形状 无关，它只和闭合曲线内所包围的电流有关。
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*4* 电流在环路之外
B dl 0I 0I
L
0
*5* 多根载流导线穿过环路
B B1 B2 Bn
B dl L
L1
I1
P1
I2
(a)
L2
I1
P2
I2
I3
(b)
B dl B dl
L1
L2
BP1 BP2
B dl B dl
L1
L2
BP1 BP2
B dl B dl
L1
L2
BP1 BP2
B dl B dl
L1
L2
BP1 BP2
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三、安培环路定理的应用
Bdl
L
一、毕奥－萨伐尔（Biot-Savart）定律
回顾求任意形状带电体产生的电场 E ：
E
dE
dq
4π 0r 3
r
rP
dq
类似方法计算任意形状电流产生的磁场：
线电流 B
I
电流元 Idl dB
B dB
Idl
r
P
dB
线电流
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dB Idl
dB
d B s in
Pr θ Idl
d
B
1 r2
I
dB 方向垂直于
d Idl
B
与
k
r
I d l sin
r2
组成的平面，右手螺旋法则。
而 k 0 4π 故
d B 0 4
I d l sin
r2
其中 0 4π 10-7 N A，2 称为真空中的磁导率。
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磁感应强度的矢量式：
Biot-Savart定
dB
0
4π
Idl er r2
律的微分形式 Biot-Savart定
B dB 0 I d l er
L
4π L r2
律的积分形式
B
r
Idl
有限长线电流产生的磁场
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二、毕奥－萨伐尔定律的应用
环形载流导线中心处的磁场
I
R
Idl
B
l
0 4
Idl sin
r2
0 Idl sin 90
l 4
R2
B 0I
2R
环形载流导线 中心处的磁场
L
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特例：无限长直载流导线的磁场
*0*垂直平面内的与B方向相同的同心圆L
I
B dl B cosdl
L
L
0 l 2
I r
dl
0I
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*1* 电流穿过环路
在垂直于导线的平面内任作一环路：
B 0I
dl cos rd
2πr
LB dl L B cos dl
B dl
I
Idl
L
r
2
1 d
r ddBB
P
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例题6-2 载流圆线圈轴线上的磁场 设有圆形线圈L，半 径为R，通以电流I。求轴线上一点磁感应强度。
解：
I dl
R
I
O
（1）选坐标，取任一小量Idl
r
dB
x P
（2）决定θ角，写出B的微分形式
dB 0 Idl sin 4 r 2
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（3）确定积分变量，沿坐标轴投影
11世纪沈括发明指南针，发现地磁偏角，比欧 洲的哥伦布早四百年。
12世纪已有关于指南针用于航海的记载。
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早期的磁现象包括:
(1)天然磁铁吸引铁、钴、镍等物质。 (2)条形磁铁两端磁性最强，称为磁极。任一磁铁总是两 极同时存在，在自然界不存在独立的N极、S极。同性磁极相 互排斥，异性磁极相互吸引。
若线圈有N匝
B
0
2π
IS x3
0
2π
IS r3
ISen
m N ISen
B
0
2π
m r3
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Homework Page 242 6-5 6-6
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§6-4 恒定磁场的高斯定理和安培环路定理 一、恒定磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面，
穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同，
磁单极子虽理论预言存在，至今尚未观察到。
(3)地球本身为一个大磁体，地球 磁体N、S极与地理南北极不是同一点。 存在磁偏角。
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在历史上很长一段时期里,人们曾认 为磁和电是两类截然不同的现象。
1819年,奥斯特实验首次发现了 电流与磁铁间有力的作用，才逐渐揭 开了磁现象与电现象的内在联系。
1820年7月21日，奥斯
y
qB
900
x
v
大小： B Fm qv
方向：左手定则
单位：T（特斯拉）, Gs（高斯） 1T 1 0 4 G s
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一些磁场的大小：
如心电激发磁场 约3×10-10T。测 人体内磁场分布 可诊断疾病，图 示磁共振图像。
地球磁场约 5×10-5T。 超导磁体能激 发高达25T磁 场；原子核附 近可达104T； 脉冲星表面高 达 108T。
大型电磁铁磁 场可大于2T。
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三、磁感应线和磁通量
1.磁感线 为形象描述磁场分布情况,用一些假想的有方向的
闭合曲线——磁感应线代表磁场的强弱和方向。
I
直电流
I
圆电流
I
I
螺线管电流
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磁感应线的性质 与电流套链 闭合曲线(磁单极子不存在) 互不相交 方向与电流成右手螺旋关系
I I
B
B
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2. 磁通量 磁通量：穿过磁场中任一给定曲面的磁感应线总数。
通过面元dS的磁通量：
dΦ B cosdS B dS
通过有限曲面S的磁通量：
Φ
d
s
Φ
B
s
cosdS
B
s
dS
单位(SI)： Wb(韦伯), 1T m2 1Wb
B dΦ dS
磁感应强度又称磁通量密度。
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§8-3 毕奥－萨伐尔定律
4π 1 d
0I
4πd
sin
2
sin
1
I
Idl
L
r
2
1 d
r ddBB
P
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B
0I
4πd
sin
2
sin
1
考虑三种情况： (1)导线无限长，即
B 0I
2πd
1
π π2
22
(2) 导 线 半 无 限 长 ， 场 点 与 一
端的连线垂直于导线
B 0I
4πd
(3)P点位于导线延长线上，B=0
（1）取环路
（2）用环路定理 选择闭合回路 L (abcda)
b c d a
LB dl a B dl b B dl c B dl d B dl
c
0 a
ab
nI
b B dl d B dl 0
Bab l 0lnI
Bcd 0
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B
0nI
0NI
l
长直螺线管内为匀强磁场，方向平行于轴线，且与 电流绕向构成右手螺旋关系。
L
0I rd 0I
L 2πr
2π
2π
0 d 0I
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*2* 如果环路不在垂直于导线的平面内：
B dl L
L B (d l d l//)
B
L
cos 90
dl
B
L
cos
dl//
0 0I
I
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*3* 如果沿同一路径但改变绕行方向积分：
B • dl B cos( π ) d l
B B1 B2
0 I1dl sin 90 0 I2dl sin 90
l1 4
R2
l2 4
R2
0 4
I1l1 R2
0 4
I 2l2 R2
0
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例题6-1 载流长直导线的磁场 设有长为L的载流直 导线，其中电流为I。计算距离直导线为d处的P点的 磁感应强度。
计算步骤：
II
（1）选坐标，取任一小量Idl
（2）决定θ角，写出B的微分形式 Idl
dB
0 4
Idl sin
r2
LL
（3）确定积分变量，沿坐标轴投影
r d ,l dtg , dl d d
cos
cos2
sin cos
r
2
1 d
r ddB
PP
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（4）确定积分上下限，求积分
B 0
4π
I d l sin
L r2
0 2 I cos d
§6-5 带电粒子在电场和磁场中的 运动
i
§6-6 磁场对载流导线的作用 d F Id l B
*§6-7 磁场中的磁介质
*§6-8 铁磁质
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§8-2 磁感应强度
一、 对磁现象的认识
中国在磁学方面的贡献：
最早发现磁现象：磁石吸引铁屑 春秋战国《吕氏春秋》记载：磁石召铁。
司南勺
东汉王充《论衡》描述：司南勺——最早的指 南器具。
N
特以拉丁文报导了60次实验
的结果。
I
S
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1822年，安培提出分子电流假设:磁现象的电本质—运动 的电荷产生磁场。
静电荷
电场
静电荷
运动电荷
磁场
运动电荷
注意:这里所说的运动和静止都是相对观察者说的，同一客
观存在的场，它在某一参考系表现为磁场，而在另一参考系 中却可能表现为电场。
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二、 磁感应强度
I4 I3
I1 I2
L
如右图所示： B dl 0 Ii 0 ( I 2 I1 I 3 ) L内 L
4. 同一电流与闭合回路N次链套时：
B dl 0NI
L
5. 式中的磁感应强度B是闭合曲线内外所有电流产
生的磁感应强度。
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如图，（a）、（b）在真空中各有一半径相同的圆形回路L1、L2，圆周 内有电流I1、I2，其分布相同，但在（b）中，L2外还有电流I3，P1、P2是 两环路的对应点，则（ ）．
0 NI
LB dl 02I
LB dl 0
1. 无限长载流圆柱形导体的磁场分布 分析：电流呈轴对称分布，磁场
对圆柱形轴线具有对称性。
（1）圆 柱外 的磁场：
（1）取环路 （2）用环路定理
B L
dl B 2π r
B 0I
0I
(r
R)
2πr
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（2）圆柱内的磁场：
B dl B 2πr 0I L
静电场是有源场
1913年英国物理学家狄拉克曾从理论上预言磁
单极子的存在，但至今未被观察到 。
B dl ?
E dl 0
L
L
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环流?
A F r
d A F d r
b
A a F d r
A F d r
F
F
r
b dr
a
F
dr
F
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二、安培环路定理
B的环流： B dl