第八章 恒定电流的磁场2

I1 O R
A
−
I2 D
+
B F
解：如图所示的电流系统在环中心处O点激发的磁感应强 如图所示的电流系统在环中心处 点激发的磁感应强 度，为如图所示的五段电流所产生的磁感应强度的叠加。 为如图所示的五段电流所产生的磁感应强度的叠加。 • O点在直电流 IAE 与 IFB 所在延长线上。 所在延长线上。 点在直电流
q dq = ⋅ 2π rdr 2 πR dq dq qω dI = = = rdr 2 T 2π ω π R µ0 dI µ0 qω dB = = dr (圆心处 ) 2 2r 2π R R µ qω µ0 qω 0 B = ∫ dB = ∫ dr = 2 0 2π R 2π R
ω
r
8
习题8-20 一个半径为 ，电荷线密度为 的均匀带电圆环， 一个半径为R，电荷线密度为λ的均匀带电圆环， 的均匀带电圆环 习题 绕远新且与圆平面垂直的轴以角速度ω转动 绕远新且与圆平面垂直的轴以角速度 转动 ，求： 处的磁感应强度； （1）圆心 处的磁感应强度； ）圆心O处的磁感应强度 处的一点的磁感应强度。 （2）轴线上距离圆心为 处的一点的磁感应强度。 ）轴线上距离圆心为a处的一点的磁感应强度
BAE = BFB = 0
• O点离 EF很远，此电流的磁场可不计 点离I 点离 很远，
BEF = 0
2
• I1电流在 点的磁场，方向×，大小 电流在O点的磁场 方向× 点的磁场，
B1 = ∫
L1 0
µ0 I1dl µ0 I1 L1 ⋅ 2 = 2 4π R 4π R
µ 0 I 2 dl µ 0 I 2 L2 ⋅ 2 = 2 4π R 4π R
dq qr 2λ dr λω = = = dI 3 = dr dt T 2π ω π µ0 dI 3 dB3 = 2r
b
λ b O a
µ0 λω µ0 λω b B3 = ∫ dB3 = ∫ dr = ln a 2r π 2π a µ0 λω b 1 B = B1 + B2 + B3 = µ0 λω + ln 2 2π a
Q
B = Bx = ∫ dBx = ∫ dB cos θ
L2 −L 2
=∫
µ0δ cos θ dx 2π r
5
B=∫
L2 −L 2
µ0δ cos θ dx 2π r
y
x x = sin θ , = tgθ , r = x 2 + z 2 r z
x z
θ
µ0 I arctg ( L 2 z ) B= ∫ − arctg ( L 2 z ) dθ 2π L µ0 I B= arctg ( L 2 z ) πL
I1L1=I2L2
• I2电流在 点的磁场，方向⊙，大小 电流在O点的磁场 方向⊙ 点的磁场，
B2 = ∫
由电阻定理知 R = 因此
L2 0
ρl S
对于并联电路 R1I1=R2I2
µ0 B = B1 − B2 = ( I1 L1 − I 2 L2 ) = 0 2 4π R
3
平面内， 习题 8-16 在xy平面内，有一宽度为 的无限长载流薄金属 平面内 有一宽度为L的无限长载流薄金属 方向单位长度上的电流（ 板，沿x方向单位长度上的电流（线电流密度）为δ。求： 方向单位长度上的电流 线电流密度） 。 轴上P点的磁感应强度的大小和方向 （1）x轴上 点的磁感应强度的大小和方向； ） 轴上 点的磁感应强度的大小和方向； （2）通过板的中线并于板垂直的直线上 点的磁感应强度 ）通过板的中线并于板垂直的直线上Q点的磁感应强度 的大小和方向。 的大小和方向。 y 把薄板分成宽dx的无数窄长条 的无数窄长条， 解 (1) 把薄板分成宽 的无数窄长条，每 一个窄长条可视为无限长直导线。 处 一个窄长条可视为无限长直导线。在x处 o 取宽度为dx的无限载流窄长条，其电流为： 取宽度为 的无限载流窄长条，其电流为： 的无限载流窄长条
L 0
µ0δ d + L = ln 2π ( L + d − x) 2π d
y x r z θ
µ0δ dx
(2) 电流 在Q点产生的磁感应强度为： 电流dI在 点产生的磁感应强度为 点产生的磁感应强度为：
µ0 dI µ0δ dx dB = = 2π r 2π r
方向根据右手定则， 方向根据右手定则，由于 B = 0 z 因此： 因此：
By = 0
π
dI =
Idθ
y
电流方向
θ
x
µ0 I B = Bx = ∫ dB sin θ = ∫ sin θ dθ 2 0 2π R π µ0 I µ0 I = 2 ( − cos θ ) 0 = 2 2π R π R
7
习题8-19 一个塑料圆盘，半径为 ，电荷 均匀的分布于表 一个塑料圆盘，半径为R，电荷q均匀的分布于表 习题 圆盘绕通过圆心垂直于盘面的轴转动，角速度为ω 面，圆盘绕通过圆心垂直于盘面的轴转动，角速度为 ， 求圆盘中心处的磁感应强度。 求圆盘中心处的磁感应强度。
v v r2 • ∫ L1 B ⋅ dl = B ⋅ 2π r =µ0 I ′ = µ0 I 2 R1
R3 R2 R1
µ0 I B= r 2 2π R1
•
( r < R1 )
∫
L2
v v B ⋅ dl = B ⋅ 2π r =µ0 I
µ0 I B= 2π r
( R1 < r < R2 )
14
2 2 v v r − R2 ∫ L3 B ⋅ dl = B ⋅ 2π r =µ0 ( I − I ′′) = µ0 I 1 − R32 − R22 • µ0 I R32 − r 2 B= ( R2 < r < R3 ) 2 2 2π r R3 − R2
(实心柱形导体内部)
( 无限长直导线)
13
习题8-25 如图所示的无限长同轴电缆，由一个圆柱形导体 如图所示的无限长同轴电缆， 习题 和一个同轴的圆筒状导体组成，半径分别为R 和一个同轴的圆筒状导体组成，半径分别为 1、R2 、R3 ， 这两个导体中，分别通有大小相等，方向相反的均匀电流I， 这两个导体中，分别通有大小相等，方向相反的均匀电流 ， 求空间磁感应强度的分布。 求空间磁感应强度的分布。
R3
•
∫
L4
v v B ⋅ dl = B ⋅ 2π r =µ0 ( I − I )
B
R2 R1
B =0
( r > R3 )
R1
R2
R3
r
15
习题8-26 半径为 的无限长圆柱形导体内部挖去一个半径 半径为R的无限长圆柱形导体内部挖去一个半径 习题 的无限长圆柱体， 为r的无限长圆柱体，两个柱体的轴线平行，相距为 ，今 的无限长圆柱体 两个柱体的轴线平行，相距为d， 有电流沿空心导体的轴线方向均匀流动， 有电流沿空心导体的轴线方向均匀流动，求圆柱轴线上和 空心周线上的磁感应强度。 空心周线上的磁感应强度。 补偿法， 解 补偿法，认为圆柱体和空心柱 体内分别通有电流密度相同的均 匀电流I 匀电流 1 I2，分别产生磁感应强度 B1 B2，且有： 且有：
r 2 − R12 ) v v ( ∫ L B ⋅ dl = B ⋅ 2π r =µ0 I ′ = µ0 I ( R22 − R12 ) r
R1 δ
µ0 I 1 r 2 − R12 B= 2 2π r R2 − R12 µ0 I r R1 = 0, B = 2 2π R2 µ0 I r = R2 , B = 2π R2
a
∫
R
0
rdr
12
习题8-24 如图所示的空心圆柱形导体内外半径分别为 1和 如图所示的空心圆柱形导体内外半径分别为R 习题 R2，到体内通有均匀分布的电流 ，求导体内部各点 到体内通有均匀分布的电流I， (R1<r<R2)的磁感应强度，并讨论极限情况R1=0；r=R2 。 的磁感应强度，并讨论极限情况 ； 的磁感应强度 I δ= π ( R22 − R12 ) R2
一、磁感应强度的计算
两根无限长直导线相互平行的放置在真空中， 习题 8-9 两根无限长直导线相互平行的放置在真空中，如图 所示，其中通以同向的电流I 所示，其中通以同向的电流 1=I2=10A，已知 点距离两根导 ，已知P点距离两根导 线的垂直距离均为a=0.5m，试求 点处的磁感应强度。 点处的磁感应强度。 线的垂直距离均为 ，试求P点处的磁感应强度 点处的磁感应强度大小为： 解：I1和I2在P点处的磁感应强度大小为： 点处的磁感应强度大小为
O R
d O’r
I = I1 − I 2 , IR 2 I1 = 2 2 , R −r v v v B = B1 + B2 Ir 2 I2 = 2 2 R −r
16
• 圆柱体轴线 点处： B1 = 0, B = B2 圆柱体轴线O点处 点处：
µ0 Ir 2 BO = 2π d R 2 − r 2
• 空心柱轴线 点处： B2 = 0, B = B1 空心柱轴线O’点处 点处：
ω
11
二、安培环路定理的应用
习题8-23 一根很长的铜导线，均匀的通有电流 ，在导线 一根很长的铜导线，均匀的通有电流I， 习题 内部通过中心线做一平面S，如图所示， 内部通过中心线做一平面 ，如图所示，计算通过导线中长 平面内的磁通量。 为a 的S平面内的磁通量。 平面内的磁通量
2 v v r ∫ L B ⋅ dl = B ⋅ 2π r =µ0 I R 2 µ0 I I B= r 2π R 2 v v d Φ = B ⋅ dS = BdS = B ⋅ adr v v R µ0 Ia Φ = ∫ B ⋅ dS = ∫ B ⋅ adr = S 0 2π R 2 µ0 Ia R 2 µ0 Ia = = 2 2π R 2 4π
dq λ dl I= = = λ ⋅ v = λ ⋅ Rω dt dt µ0 I µ0 1 = (1) B = λ ⋅ Rω = µ0 λω 2R 2R 2 µ0 IR 2 λωµ0 R 3 = (2) B = 32 2 2 2 2 32 2(R + a ) 2(R + a )
x a O ω R
9
习题8-21 一闭合回路，由半径分别为 和b的两个同心共面 一闭合回路，由半径分别为a和 的两个同心共面 习题 半圆连接而成，其上均匀的分布线密度为 的电荷 的电荷， 半圆连接而成，其上均匀的分布线密度为λ的电荷，当回路 以角速度ω，绕过O点且与回路平面相垂直的轴转动时 以角速度 ，绕过 点且与回路平面相垂直的轴转动时 ， 求圆心O处的磁感应强度的大小。 求圆心 处的磁感应强度的大小。 处的磁感应强度的大小 解 等效成三个电流： 等效成三个电流： • 半径分别为 和b的半圆环电流 Ia Ib 半径分别为a和 的半圆环电流 • 宽为 宽为(b-a)的环面电流 I3 的环面电流
d
L
dx
P
x
dI = δdx
此电流在P点的磁感应强度为： 此电流在 点的磁感应强度为： 点的磁感应强度为
dB =
2π ( L + d − x)
µ0 dI
=
2π ( L + d − x)
µ0δ dx
, 方向： ⊗
4
则整个载流金属板在P点的磁场为 则整个载流金属板在 点的磁场为
B = ∫ dB = ∫
b O a λ
ω
µ0 I µ0 λ aω 1 dq qa λ ⋅ π a λ aω = = = → Ba = = ⋅ = µ0 λω Ia = 2 2a 2 a 2 4 dt T 2π ω µ0 I µ0 λbω 1 dq qb λ ⋅ π b λbω = = = → Bb = = ⋅ = µ0 λω Ib = 2 2b 2b 2 4 10 dt T 2π ω
Q
r
6
在半径R的无限长半圆柱形金属薄片中 的无限长半圆柱形金属薄片中， 习题 8-17 在半径 的无限长半圆柱形金属薄片中，均匀的 通有电流I，求圆柱周线上一点 的磁感应强度 的磁感应强度。 通有电流 ，求圆柱周线上一点P的磁感应强度。
π µ0 dI µ0 Idθ dB 来自百度文库 = 2 2π R 2π R
P a I
1
µ0I B = B2 = 1 2π a
2 1 2 2
a I2 B1 P
方向根据右手定则， 方向根据右手定则，如图所示
B = B + B = 2B 1 2µ0I = = 5.66×10−6T 2π a
I
1
B a
B1
a I2
1
E
在截面均匀铜环 铜环上任意两点用 习题 8-13 在截面均匀铜环上任意两点用 两根长直导线沿半径方向引到很远的电源 两根长直导线沿半径方向引到很远的电源 C 沿半径方向引到 求环中心处的磁感应强度。 上，求环中心处的磁感应强度。