2-4 介质中的高斯定律 电位移矢量
介质的极化和介质中的高斯定理
部电都介产质生内附部加的电总场场E强'。E
E0
E'
E0
'
'
极化电荷所产生的附加电场不足以将介质中的外电
场完全抵消，它只能削弱外电场。称为退极化场。
介质内部的总场强不为零！ 在各向同性均匀电介质中： E
E0
r
r称为相对介电常数或电容率。
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理
d
D2S 0S D1 D2 0 , D2 0
E2
D2
0r
0 0r
11
I区：D1
0,
E1
0 0
0
II区：D2 0 ,
②.求电容C
E2
0 0r
由C q U ab
与 U ab
Ed
高 斯
C q
0S
面
U ab E1(d d ' ) E 2d '
d' 0
D P1 P2
r
d
质中的高斯定理求场强：先根据自由电荷的分布利用 介质中的高斯定理求出电位移矢量的分布，再根据电 位移矢量与场强的关系求出场强的分布。
7
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介
质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。
解：在介质球内、外各作半径为 r 的
高斯球面。
SD dS q0
荷密度为 0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 r 的电介质。
求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电容。
解： ①. 过 P1 点作高斯柱面, 左右底面分别经过导体
和 P1 点。
D SD dS q0
介质中的高斯定理
第 2 章静电场2.4 介质中的静电场方程2.4.2 介质中的高斯定律1.介质中高斯定律的微分形式ερ=∙∇E 0ερρp+=∙∇E （真空中）（电介质中）定义电位移矢量（Displacement ）∙D 线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。
D ——辅助矢量，又称电通密度，C /m 2代入P∙-∇=p ρ)(1P E 0∙∇-=∙∇ρερε=+∙∇)(0P E PE D +=0ε则有ρ=⋅∇D 电介质中高斯定律的微分形式为自由电荷体密度ρ2. 介质中高斯定律的积分形式⎰∑=∙SqS D d 介质中高斯定律的积分形式⎰∑∑+=∙Sq q )(S E p 01dε代入⎰∙-=S p q SP d ⎰⎰∑∙-=∙S S q SP S E d d 0ε⎰∑⎰=∙+∙SSqS P S E d d 0ε⎰∑=∙+SqS P E d )(0εq 为闭合面包围的自由电荷• D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；• P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。
• E 线由正电荷出发，终止于负电荷；D 线E 线P 线D 、E 与P三者之间的关系图示平行板电容器中放入介质板后，其D 线、E 线和P 线的分布。
3.D 和E 的关系D = ε0E + P P = χe ε0E⇒⎭⎬⎫D = ε0E +χe ε0E = ε0(1+χe ) E= ε0εr E = εED = εE介质的本构关系或组成关系er 1χεεε+==ε——介质的电容率（介电常数）F/mεr ——介质的相对电容率（相对介电常数）无量纲χe 、εr 和ε的取值取决于媒质的特性4. 介质特性电场中，介质的特性由其介电常数确定。
E D ε=r ε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x E E E D D D 333231232221131211εεεεεεεεε均匀、线性、各向同性介质的介电常数是常量--简单介质。
大学物理标准答案第10章
第十章 静电场中的导体与电介质10－1将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A ）升高 （B ）降低（C ）不会发生变化 （D ）无法确定分析与解不带电的导体B 相对无穷远处为零电势.由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）.10－2将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷.若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ） （A ）N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地 （C ）N 上的所有电荷入地（D ）N 上所有的感应电荷入地题 10-2 图分析与解导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关.因而正确答案为（A ）.10－3如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图.设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d εq V E 0π4,0==（B ）dεqV d εq E 020π4,π4== （C ）0,0==V E （D ）RεqV d εq E 020π4,π4==题 10-3 图分析与解达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零.点电荷q 在导体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势.因而正确答案为（A ）.10－4根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和.下列推论正确的是( )（A ）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B ）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 （C ）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D ）介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ）介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关.因而正确答案为（E ）. 10－5对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ）（A ）电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍（B ）电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍（C ）在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍（D ）电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εｒ倍分析与解电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有()∑⎰⎰=⋅=⋅+ii S S εχq 01d d 1S E S E 即E ＝E ０/εｒ，因而正确答案为（A ）.10－6不带电的导体球A 含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷q b 、q c ，导体球外距导体球较远的r 处还有一个点电荷q d （如图所示）.试求点电荷q b 、q c 、q d 各受多大的电场力.题 10-6 图分析与解根据导体静电平衡时电荷分布的规律，空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表面感应电荷；导体球A 外表面的感应电荷近似均匀分布，因而近似可看作均匀带电球对点电荷q d 的作用力.()20π4rεq q q F dc bd +=点电荷q d 与导体球A 外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零，点电荷q b 、q c 处于球形空腔的中心，空腔内表面感应电荷均匀分布，点电荷q b 、q c 受到的作用力为零.10－7一真空二极管，其主要构件是一个半径R １＝5.0×10－4m 的圆柱形阴极和一个套在阴极外、半径R ２＝4.5×10－3m 的同轴圆筒形阳极．阳极电势比阴极电势高300 V ，阴极与阳极的长度均为L ＝2.5×10－２ m ．假设电子从阴极射出时的速度为零．求：（１）该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（２）电子刚从阳极射出时所受的力．题 10-7 图分析 （1）由于半径R １＜＜L ，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性．从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电子所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少．由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率． （2）计算阳极表面附近的电场强度，由F ＝q E 求出电子在阴极表面所受的电场力． 解 （1）电子到达阳极时，势能的减少量为J 108.4Δ17ep -⨯-=-=eV E由于电子的初始速度为零，故J 108.4ΔΔ17ep ek ek -⨯-=-==E E E因此电子到达阳极的速率为1-7ek s m 1003.122⋅⨯===meVm E v （2）两极间的电场强度为r rελe E 0π2-= 两极间的电势差1200ln π2d π2d 2121R R r r V R R R R ελελ-=-=⋅=⎰⎰r E负号表示阳极电势高于阴极电势．阴极表面电场强度r r R R R V R ελe e E 12110ln π2=-=电子在阴极表面受力r e e E F N)1037.414-⨯=-=（这个力尽管很小，但作用在质量为９.1１×10－3１kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加速度的5×10１5倍．10－8一导体球半径为R １，外罩一半径为R 2的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q ，而内球的电势为V ０．求此系统的电势和电场的分布． 分析若200π4R εQV =，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强度处处为零，内球不带电．若200π4R εQV ≠，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带电．一般情况下，假设内导体球带电q ，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示．依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布．并由⎰∞⋅=pp V l E d 或电势叠加求出电势的分布．最后将电场强度和电势用已知量V 0、Q 、R １、R 2表示．题 10-8 图解根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高斯面，由高斯定理()()∑⎰⋅=⋅=⋅02/π4d εq r E rr E S E ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为r ＜R １时，()01=r E R １＜r ＜R 2时，()202π4rεqr E =r ＞R 2时，()202π4r εqQ r E +=由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布． r ＜R １时，20103211π4π4d d d d 2211R Q R q V R R R R r r εε+=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰∞∞lE l E l E l ER １＜r ＜R 2时，200322π4π4d d d 22R Q r q V R R r r εε+=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰∞∞lE l E l Er ＞R 2时，rqQ V r 03π4d ε+=⋅=⎰∞l E 3也可以从球面电势的叠加求电势的分布：在导体球内（r ＜R １）20101π4π4R εQR εq V +=在导体球和球壳之间（R １＜r ＜R 2）2002π4π4R εQr εq V +=在球壳外（r ＞R 2）为rqQ V 03π4ε+=由题意102001π4π4R εQR εq V V +==得Q R R V R q 21010π4==ε 于是可求得各处的电场强度和电势的分布： r ＜R １时，01=E ；01V V =R １＜r ＜R 2时，22012012π4r R εQR r V R E -=；rR Q R r r V R V 201012π4)(ε-+= r ＞R 2时，220122013π4)(r R Q R R r V R E ε-+=；rR QR R r V R V 2012013π4)(ε-+= 10－9地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km ，试估算地球－电离层系统的电容．设地球与电离层之间为真空．解由于地球半径R 1＝6.37×106m ；电离层半径R 2＝1.00×105m ＋R 1＝6.47×106m ，根据球形电容器的电容公式，可得F 1058.4π4212210-⨯=-=R R R R εC10－10两线输电线，其导线半径为3.26mm ，两线中心相距0.50m ，导线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略．求输电线单位长度的电容．分析 假设两根导线带等量异号电荷，电荷在导线上均匀分布，则由长直带电线的电场叠加，可以求出两根带电导线间的电场分布,-++=E E E再由电势差的定义求出两根导线之间的电势差，就可根据电容器电容的定义，求出两线输电线单位长度的电容解建立如图坐标，带等量异号电荷的两根导线在P 点激发的电场强度方向如图，由上述分析可得P 点电场强度的大小为)11(π20xd x E --=ελ 电场强度的方向沿x 轴，电线自身为等势体，依照定义两导线之间的电势差为x xd x l E U lRd Rd )11(π2d 0--=⋅=⎰⎰-ελ 上式积分得RR d ελU -=ln π0 因此，输电线单位长度的电容Rd εR R d εU λC ln /πln /π00≈-==代入数据F 1052.512-⨯=C题 10-10 图10－11电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）.当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号.假设金属片面积为50.0mm 2，两金属片之间的距离是0.600mm .如果电路能检测出的电容变化量是0.250pF ，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？题 10-11 图分析按下按键时两金属片之间的距离变小，电容增大，由电容的变化量可以求得按键按下的最小距离：解按下按键时电容的变化量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011Δd d S εC按键按下的最小距离为mm 152.0ΔΔΔ00200min =+=-=SC d Cd d d d ε10－12一片二氧化钛晶片，其面积为1.0cm 2，厚度为0.10mm ．把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.（1）求电容器的电容；（2）当在电容器的两极间加上12V 电压时，极板上的电荷为多少？此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？（3）求电容器内的电场强度． 解 （1）查表可知二氧化钛的相对电容率εr ＝173，故充满此介质的平板电容器的电容F 1053.190-⨯==dSεεC r （2）电容器加上U ＝12V 的电压时，极板上的电荷C 1084.18-⨯==CU Q极板上自由电荷面密度为2-80m C 1084.1⋅⨯==-SQσ晶片表面极化电荷密度2-400m C 1083.111⋅⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='-σεσr （3）晶片内的电场强度为1-5m V 102.1⋅⨯==dUE 10－13如图所示，半径R ＝0.10m 的导体球带有电荷Q ＝1.0×10－８C ，导体外有两层均匀介质，一层介质的εr ＝5.0，厚度d ＝0.10m ，另一层介质为空气，充满其余空间．求：（1）离球心为r ＝5cm 、15cm 、25cm 处的D 和E ；（2）离球心为r ＝5cm 、15cm 、25cm 处的V ；（3）极化电荷面密度σ′．题 10-13 图分析 带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的．任取同心球面为高斯面，电位移矢量D 的通量与自由电荷分布有关，因此，在高斯面上D 呈均匀对称分布，由高斯定理⎰∑=⋅0d qS D 可得D （r ）．再由r εε0/D E =可得E （r ）．介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系⎰∞⋅=rV l E d 求得，或者由电势叠加原理求得．极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷面密度n P ='σ．解 （1）取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得r ＜R 0π421=⋅r D01=D ；01=ER ＜r ＜R ＋d Q r D =⋅22π422π4r QD =；202π4r εεQ E r= r ＞R ＋d Q r D =⋅23π423π4r QD =；203π4r Q E ε= 将不同的r 值代入上述关系式，可得r ＝5cm 、15cm 和25cm 时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外．r 1＝5cm ，该点在导体球内，则01=r D ；01=r Er 2＝15cm ，该点在介质层内，εｒ＝5.0，则2822m C 105.3π42--⋅⨯==r QD r 12220m V 100.8π42-⋅⨯==r εεQ E r r r 3＝25cm ，该点在空气层内，空气中ε≈ε0，则2823m C 103.1π43--⋅⨯==r QD r ； 13220m V 104.1π43-⋅⨯==r Q E r ε （2）取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得 r 3＝25cm ，V 360π4d 0r 331==⋅=⎰∞rεQV r E r 2＝15cm ，()()V480π4π4π4d d 0020r3222=+++-=⋅+⋅=⎰⎰+∞+d R Qd R Q r Q V r r dR d R εεεεεrE r E r 1＝5cm ，()()V540π4π4π4d d 000321=+++-=⋅+⋅=⎰⎰+∞+d R εQd R εεQ R εεQ V r r dR RdR rE r E（3）均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率ε＝ε0，极化电荷可忽略．故在介质外表面；()()()20π411d R εQ εE εεP r r n r n +-=-=()()282m C 106.1π41--⋅⨯=+-==d R εQεP σr r n在介质内表面：()()20π411R εQ εE εεP r r n r n -=-=()282m C 104.6π41--⋅⨯-=-=-='R εQ εP σr r n介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号． 10－14人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷.设某细胞壁厚为5.2×10－9m ，两表面所带面电荷密度为±5.2×10－3C ／m 2，内表面为正电荷．如果细胞壁物质的相对电容率为6.0，求（1）细胞壁内的电场强度；（2）细胞壁两表面间的电势差． 解 （1）细胞壁内的电场强度V /m 108.960⨯==rεεσE ；方向指向细胞外． （2）细胞壁两表面间的电势差V 101.52-⨯==Ed U ．10－15如图（a ）所示，有两块相距为0.50的薄金属板A 、B 构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒Ｋ内，金属盒上、下两壁与A 、B 分别相距0.25mm ，金属板面积为30mm ×40mm .求（1）被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍？题 10-15 图分析薄金属板A 、B 与金属盒一起构成三个电容器，其等效电路图如图（ｂ）所示，由于两导体间距离较小，电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可以求得A 、B 间的电容. 解 （1）由等效电路图可知13232123C C C C C C C C ++⋅=+=由于电容器可以视作平板电容器，且32122d d d ==，故1322C C C ==，因此A 、B 间的总电容12C C =（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，相当于2C （或者3C ）极板短接，其电容为零，则总电容13C C =10－16在A 点和B 点之间有5个电容器，其连接如图所示．（1）求A 、B 两点之间的等效电容；（2）若A 、B 之间的电势差为12V ，求U A C 、U CD 和U D B ．题 10-16 图解 （1）由电容器的串、并联，有μF 1221=+=C C C ACμF 843=+=C C C CD51111C C C C CD AC AB ++= 求得等效电容C AB ＝4μF ．（2）由于AB DB CD AC Q Q Q Q ===，得V 4==AB ACABAC U C C U V 6==AB CDABCD U C C U V 2==AB DBABDB U C C U 10－17如图，有一个空气平板电容器，极板面积为S ，间距为d ．现将该电容器接在端电压为U 的电源上充电，当（1）充足电后；（2）然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（δ＜d ）、相对电容率为εｒ的电介质板；（3）将上述电介质换为同样大小的导体板．分别求电容器的电容C ，极板上的电荷Q 和极板间的电场强度E ．题 10-17 图分析电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U ．插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱．由于极板间的距离d 不变，因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有()δSεεQ δd S εQU r 00+-=相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由电荷和插入导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E 增强，以维持两极板间的电势差不变，并有()δd SεQU -=0 综上所述，接上电源的平板电容器，插入介质或导体后，极板上的自由电荷 均会增加，而电势差保持不变． 解 （1）空气平板电容器的电容dSεC 00=充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为U dS εQ 00=d U E /0=（2）插入电介质后，电容器的电容C 1为()()δd εδS εεδS εεQ δd SεQ Q C r r r -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=0001/ 故有()δd εδSUεεU C C r r -+==011介质内电场强度()δd εδUS εεQ E r r -+=='011 空气中电场强度()δd εδU εS εQ E r r -+==011 （3）插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为δd SεC -=02 U δd S εQ -=02导体中电场强度02='E 空气中电场强度δd UE -=2无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于E 0/εｒ．10－18为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为εｒ的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A ，B 为平板电容器的导体极板，d 0为两极板间的距离．试说明检测原理，并推出直接测量量电容C 与间接测量量厚度d 之间的函数关系．如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？题 10-18 图分析导体极板A 、B 和待测物体构成一有介质的平板电容器，关于电容C 与材料的厚度的关系，可参见题10－17的分析． 解由分析可知，该装置的电容为()d d d SC r r -+=00εεε则介质的厚度为()()C εSεεd εεC εS εεC d εd r r r r r r r 1110000---=--=如果待测材料是金属导体，其等效电容为dd SεC -=00导体材料的厚度CSεd d 00=-= 实时地测量A 、B 间的电容量C ，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度．通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度．10－19有一电容为0.50μF 的平行平板电容器，两极板间被厚度为0.01mm 的聚四氟乙烯薄膜所隔开，（1）求该电容器的额定电压；（2）求电容器存贮的最大能量．分析通过查表可知聚四氟乙烯的击穿电场强度E b ＝1.9×107V ／m ，电容器中的电场强度E ≤E b ，由此可以求得电容器的最大电势差和电容器存贮的最大能量． 解 （1）电容器两极板间的电势差V 190b max ==d E U（2）电容器存贮的最大能量J 1003.92132max e -⨯=CU W10－20半径为0.10cm 的长直导线，外面套有内半径为1.0cm 的共轴导体圆筒，导线与圆筒间为空气．略去边缘效应，求：（1）导线表面最大电荷面密度；（2）沿轴线单位长度的最大电场能量．分析如果设长直导线上单位长度所带电荷为λ，导线表面附近的电场强度0π2εσR ελE ==查表可以得知空气的击穿电场强度E b ＝3.0×106（V ／m ），只有当空气中的电场强度E ≤E b 空气才不会被击穿，由于在导线表面附近电场强度最大，因而可以求出σ的极限值．再求得电场能量密度，并通过同轴圆柱形体元内电场能量的积分求得单位长度的最大电场强度．解 （1）导线表面最大电荷面密度250max m C 1066.2--⋅⨯==b E εσ显然导线表面最大电荷面密度与导线半径无关．（2）由上述分析得b E R ελ10max π2=，此时导线与圆筒之间各点的电场强度为()1210m π2R r R rR r E <<==ελ0=E (其他)222102m 0m 2121rE R E w b εε==沿轴线单位长度的最大电场能量r rER r r w W R Rb d 1πd π2212210m ⎰⎰⎰⎰Ω=⋅=ε14122210m m J 1076.5lnπ--⋅⨯==R R E R W b ε 10－21一空气平板电容器，空气层厚1.5cm ，两极间电压为40k V ，该电容器会被击穿吗？现将一厚度为0.30cm 的玻璃板插入此电容器，并与两极平行，若该玻璃的相对电容率为7.0，击穿电场强度为10ＭV· m －1．则此时电容器会被击穿吗？分析在未插入玻璃板时，不难求出空气中的电场强度小于空气的击穿电场强度，电容器不会被击穿．插入玻璃后，由习题10－17可知，若电容器与电源相连，则极板间的电势差维持不变，电容器将会从电源获取电荷．此时空气间隙中的电场强度将会增大．若它大于空气的击穿电场强度，则电容器的空气层将首先被击穿．此时40k V 电压全部加在玻璃板两侧，玻璃内的电场强度如也大于玻璃击穿电场强度的值，则玻璃也将被击穿．整个电容器被击穿． 解未插入玻璃时，电容器内的电场强度为16m V 107.2/-⋅⨯==d U E因空气的击穿电场强度16m V 100.3-⋅⨯=b E ，b E E <，故电容器不会被击穿．插入玻璃后，由习题6－26可知，空气间隙中的电场强度()16m V 102.3-⋅⨯=+-=δδd εVεE r r此时，因b E E >，空气层被击穿，击穿后40k V 电压全部加在玻璃板两侧，此时玻璃板内的电场强度17m V 103.1/-⋅⨯==δV E由于玻璃的击穿电场强度1bm MV 10-⋅='E ，b E E '>，故玻璃也将相继被击穿，电容器完全被击穿．10－22某介质的相对电容率 2.8r ε=，击穿电场强度为611810V m -⨯⋅，如果用它来作平板电容器的电介质，要制作电容为0.047 μF ，而耐压为4.0 k V 的电容器，它的极板面积至少要多大．解介质内电场强度16m V 1018-⋅⨯=≤b E E电容耐压U m ＝4.0k V ，因而电容器极板间最小距离m 1022.2/4-⨯==b m E U d要制作电容为0.047μF 的平板电容器，其极板面积210m 42.0==εεCdS 显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通常将平板电容器卷叠成筒状后再封装． 10－23一平行板空气电容器，极板面积为S ，极板间距为d ，充电至带电Q 后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d ．求：（1）电容器能量的改变；（2）此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系．分析在将电容器两极板拉开的过程中，由于导体极板上的电荷保持不变，极板间的电场强度亦不变，但电场所占有的空间增大，系统总的电场能量增加了．根据功能原理，所增加的能量应该等于拉开过程中外力克服两极板间的静电引力所作的功． 解 （1）极板间的电场为均匀场，且电场强度保持不变，因此，电场的能量密度为20220221S εQ E εw e == 在外力作用下极板间距从d 被拉开到2d ，电场占有空间的体积，也由V 增加到2V ，此时电场能量增加SεdQ V w W e e 022ΔΔ== （2）两导体极板带等量异号电荷，外力F 将其缓缓拉开时，应有F ＝－F e ，则外力所作的功为SεdQ QEd 02e 2ΔA ==⋅-=r F 外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加．。
大学物理介质中的高斯定理
r1
r2
18
例:球形电容器由半径为R1的球体和内半径为R3的导 体球壳构成，带电 q，其间有两层均匀电介质，
分界面的半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。 求：E, D 和C。
解：
D
dS
4
r
2
D
q
S
R2
R1 r2
D1
q 4r 2
D2
q 4r 2
R3
r1
在界面上电位移线会发生折射
tan1 1
tan2
2
2 1
若 2 > 1 2 > 1 ，电位移线将折离法线
*
上海交通大学 董占海
28
证明：
E1t E2t D1n D2n
E1sin1 E2sin2
D1 cos 1 D2 cos 2
D1 1E1 D2 2 E2
39
思考：带电金属球 (R、Q)，半个球处在电介质εr 中，则球正下方r > R 处的 E、D。
r
同上
上海交通大学 董占海
40
例5：一点电荷Q放在半无限大电介质为εr和真空的 界面处，求E、D。
解：空间的场强 = 两个点
电荷Q和q′产生的
故空间各点的E、为
r
点电荷的场，具有球
对称性
xd 2
2 DS 0 0 S0d
D
i
0
d
2
上海交通大学 董占海
d
r
0
Ox
23
xd 2
E
D
0r
0 x
第2章 电磁场的基本规律(2)
D dS q
电介质中的高斯定理 的积分形式
表明电位移矢量穿过任一闭合曲面的通量等于该闭合曲面内的 自由电荷的代数和。
对介质中静电场基本方程的讨论
注意式中：q为自由电荷电量，不包括极化电荷电荷。
S E dS S DdS q ( D0 P )dS q S D0 dS P dS q S S D0 dS q qP
r 1 2 3
r 0 3 4π 107 3.77 (μH/m) B H 5.31 yex (kA/m) M m H 2 H 10.62 yex (kA/m) M x J m M ez 10.62ez (kA/m 2 ) y (kA/m 2 ) J C H 5.31ez
r 1 m 媒质的相对磁导率 （除铁磁性物质外r 1 ）
0 r 媒质的磁导率
抗磁性媒质磁化后使磁场减弱，因此
顺磁性媒质磁化后使磁场增强，因此
m 0, 0 , r 1
m 0, 0 , r 1
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此， 可以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。
在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观 上不显出电特性
3）介质的极化： 在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分子的取向一致， 宏观上出现电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，
使电场发生变化。
无极分子 有极分子 无外加电场
E
电介质的极化和介质中的高斯定理
1.真空中 P = 0 ，真空中无电介质。 真空中 真空中无电介质。 2.导体内 P = 0 ，导体内不存在电偶极子。 导体内 导体内不存在电偶极子。
8
（2）极化（束缚）电荷与极化强度的关系 ）极化（束缚） 在电介质的表面上， 在电介质的表面上，极化强度与极化电荷之间有 r r 如下关系： 如下关系： ' = P = P cosθ = P ⋅ e σ
r E'
r E
r E0
εr 称为相对
介电常数或 电容率。 电容率。
2.电介质极化的微观机制 2.电介质极化的微观机制 从电学性质看电介质的分子可分为两类：无极分子、 从电学性质看电介质的分子可分为两类：无极分子、 有极分子。 有极分子。 每个分子负电荷对外影响均可等效为 的作用。 单独一个静止的负电荷 的作用。其大小为 分子中所有负电之和， 分子中所有负电之和，这个等效负电荷的 作用位置称为分子的 负电作用中心” 称为分子的“ 作用位置称为分子的“负电作用中心”。
静电场中的电介质 介质中的高斯定理
1
从电场这一角度看，电介质就是绝缘体。 从电场这一角度看，电介质就是绝缘体。 特点：电介质体内只有极少自由电子。 特点：电介质体内只有极少自由电子。 我们只讨论静电场与各向同性电介质的相互作用。 我们只讨论静电场与各向同性电介质的相互作用。
一、静电场对电介质的作用—电介质的极化 静电场对电介质的作用—
∫ P ⋅ dS = − ∑ q
S S inside
在任一闭合曲面内极化电荷的负值等于极化强度的通量。 在任一闭合曲面内极化电荷的负值等于极化强度的通量。
9
四、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理 1.介质中的高斯定理 真空中的高斯定理 φ =
大学物理课件-4静电场中的电介质电介质中的电场高斯定理电位移
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2021/3/18
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4πe r
Q R12
2
4πR1
er
1 Q
er
在外表面上的正极化电荷的总量为
q外
外 S外
er 1 4πe r
Q R22
4πR22
er 1Q er
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21
例2：平行板电容器充满两层厚度 +
为 d1 和 d2 的电介质(d=d1+d2 )，
相对电容率分别为e r1 和e r2 。
S1
求：1.电介质中的电场 ；2.电容量。
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12
在保持电容器极板所带电量不变的情况下， 电容与电势差成反比，所以
C C0
U012 U12
er
即
C = e r C0
式中C0是电介质不存在时电容器的电容。
可见，由于电容器内充满了相对电容率为e r的 电介质， 其电容增大为原来的e r倍。
2021/3/18
13
四、电介质存在时的高斯定理
但随着外电场的增强，排列整齐的程度要增大。
无论排列整齐的程度如何，在垂直外电场的两个端面上 都产生了束缚电荷。
结论：有极分子的电极化是由于分子偶极子在外电场的作用 下发生转向的结果，故这种电极化称为转向电极化。
说明：在静电场中，两种电介质电极化的微观机
理显然不同，但是宏观结果即在电介质中出现束缚
电荷的效果时确是一样的，故在宏观讨论中不必区
在宏观上测量到的是大量分子电偶极矩的统计
平均值，为了描述电介质在外场中的行为引入电极化
强度矢量。
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6
为表征电介质的极化状态，定义极化强度矢量：
电介质中高斯定理
1
r r 1 Q Q r 0 0
)
Q Q0 (1
1
)
⑤极化电荷密度 与
E 0 rE
1 0 P ( 1 ) ( r 1 ) 0 0 0E 0 ( r 1 ) 0E 0E
r
r
R2
R1
r
R2
解（1）
R1
d S l D
S
D 2 π rl l
D
E ( R r R ) 1 2 r 2 π rr 0 0
D 2π r
r
R2
R1
( R r R ) （2）由（１）可知 E 1 2 2π 0r r R R d r 2 U E d r ln R 2 π r 2 π 0r R 0 r 1
2.极化电荷与电极化强度之间的关系 （以位移极化为例） 电场中每个分子产生电矩：
++++-
++++-
++++-
++++-
均匀介质
E
++++-
pe ql
单位体积中分子电矩 的矢量和为：
p P V
nql
e
npe
式中 n 为介质中单位体积的分子数。
电极化强度和极化电荷面密度的关系
6 2 P ( ε 1 ) ε E 5 . 89 10 C m r 0 6 2 σ ε E 8 . 85 10 C m 0 00 6 2 σ ' P 5 . 89 10 C m 6 2 D ε ε E ε E σ 8 . 85 10 C m 0 r 0 0 0
电位移矢量
r23
r31
q3
+
4πε o r32
q2
)]
1 W = ( q 1U 1 + q 2 U 2 + q 3 U 3 ) 2
5
v v v • P、D、E 之间的关系： 之间的关系：
v v v v v D = ε 0 E + P = ε 0 E + χ eε 0 E
v v D = (1 + χ e )ε 0 E
ε r = (1 + χ e )
称为相对电容率 或相对介电常量。 或相对介电常量。
εr
退极化场
v v v D = ε r ε 0 E = εE
自由电荷
二、有电介质时的高斯定律
v v ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ρ e dV
物理意义
S
V
通过任一闭合曲面的电位移通量，等于 通过任一闭合曲面的电位移通量， 该曲面内所包围的自由电荷的代数和。 该曲面内所包围的自由电荷的代数和。 电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。 电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。 与束缚电荷无关。 与束缚电荷无关。 电力线起始于正电荷终止于负电荷。 电力线起始于正电荷终止于负电荷。 包括自由电荷和与束缚电荷。 包括自由电荷和与束缚电荷。
v v q0 q0 E0 1 ( − 1) = + ∴E＝ 2 2 4πε0r 4πε0r ε r εr 7 束缚电荷的场 自由电荷的场
第六章 5电位移矢量介质中的高斯定理
q
II区：
V 2 r E 2 dr
q
R
r
q 4 0 r
2
dr
q 4 0 r
r
I II
r
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
例2：平行板电容器极板间距为 d , 极板 面积为 S，面电荷密度为 0 , 其间插有厚 度为 d’ 、电容率为 r 的电介质， 求 ：①.P1 、P2点的场强E； d' 0 0 ②.电容器的电容。 ①.解：过 P1 点作高 斯柱面, 左右底面分别 经过导体和 P1 点。 高 斯 D S D d S q 0 面
也可视为两电容器串联
C1 C2
d1
d2
0 r1S
d1
0 r 2S
d2 1 C1 1 C2
串联
C
1 C
r1
r2
d
C 1C 2 C1 C 2
0S
d1
r1
d2
r2
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
②.已知 U，求0、E、D、P。 解： 0
S 0 E d S q 0 S P d S S ( 0 E P ) d S q 0
高斯面
定义：D
0E P
为电位移矢量。
§5.电介质中的高斯定理 / 二、介质中的高斯定理
S D d S q 0
介质中的高斯定理：
一、极化强度通量
结论1 极化强度通量
P S P d S q '
E0
P
0
'
大学物理第六章课后习题答案马文蔚第五版
第六章 静电场中的导体与电介质6 －1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。
由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。
6 －2 将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。
若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ） （A ） N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地 （C ） N 上的所有电荷入地 （D ）N 上所有的感应电荷入地分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关。
因而正确答案为（A ）。
6 －3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。
设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）dεqV E 0π4,0== （B ）d εqV d εq E 020π4,π4==（C ）0,0==V E （D ）RεqV d εq E 020π4,π4==分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。
点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。
因而正确答案为（A ）。
6 －4根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。
下列推论正确的是( )（A）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷（B）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零（C）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷（D）介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关（E）介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。
《电磁场理论》2.5 介质中的高斯定理
D E
P ( 0 )E
在真空中， P 0
，
r 1
D 0 E
5
各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为
D x 11 D y 21 D z 31
12 13 E x 22 23 E y 32 33 E z
7
例1：已知半径为a，介电常数为 的介质球带电荷为q， 球外为空气，分别在下列情况下求空间各点的电场和介 质中的极化电荷分布： 1）电荷q均匀分布在球体内； 2）电荷q集中在球心； 3）电荷q均匀分布在球面上。 解：1）电荷q均匀分布在球体内时，电场分布为
q
DdS q
S
4 3 a 3
P P1 ( 0 ) E1
1 d 2 q ( 0 ) 2 (r )0 2 r dr 4 r
r=0处为电场的奇异点，该处应有一极化点电荷，设此 10 极化点电荷为qP，根据高斯定理，有
S
0
E 1 d S q qP
取S为以介质球心为中心，r(r<a) 为半径的球面， q 0 2 4 r q qP 2 4 r
如图，柱形面上、下底面积 1 媒质 1 S ΔS很小，故穿过截面ΔS的电 分界面 通量密度可视为常数，假设 h 0 2 媒质 2 柱形面的高 h→0 ，则其侧面 2 积可以忽略不计。 D2 设分界面上存在的自由面电荷密度为 ，由高斯定理
1
1
S
D dS D1 nS D2 nS S
S
D dS q
( D1 D2 ) n
15
说明：1) 为分界面上自由电荷面密度，不包括自 由极化电荷。 2）若媒质为理想媒质，则
2-4 媒质的电磁特性
B)
0
均匀磁化，磁化强度与坐标无关，即体分布的磁化电
流密度为零。
ra
J SM M en ra
球面上任一点，有 z a cos
ez
er
cos
e
s in
M
(er
cos
e
sin
)(Aa2
cos2
B)
J SM
(er
40
a 0
r2
r4 a2
dr
8 15
0a3
4 r2D02
于是
D02
2 15
0
a3 r2
当 r a
S
D01
dS
r 0
(r )4r 2dr
40
r 0
r2
r4 a2
dr
40
r3 3
r5 5a
度的旋度等于该点传导电流密度。
磁场强度仅与传导电流有关，简化了媒质中磁场强度的计算，正如 使用电通密度可以简化介质中静电场的计算一样。
磁化电流并不影响磁场线处处闭合的特性，媒质中磁感应强度通过 任一闭合面的通量仍为零，因而磁感应强度的散度仍然处处为零，即
SB dS 0
B 0
P5
0 2
1 r2
r1
r3
r4
试求：①各区域中的电场强度； ②各个表面上的自由电荷 和 束缚电荷。
解 由于结构为球对称，场也是球对称的， 应用高斯定理求解十分方便。取球面作为 高斯面，由于电场必须垂直于导体表面， 因而也垂直于高斯面。
静电平衡条件电介质中的高斯定理
-q
H+
= +
H+
H2O
+q
2. 电介质在外电场中的极化现象
电结构特点: 分子中的正负电荷 束缚的很紧, 介质内部几乎没有 自由电荷.
电介质极化: 在外电场的作用下, 介质表面产生电荷的现象.
极化电荷或束缚电荷
1) 非极性分子的位移极化 无外电场时
±±±±± ±±±±± ±±±±±
在外电场作用下
- + - F+ -
的电荷密度与其邻近处场强的大 象, 称为尖端放电.
小成正比.
2) 静电平衡时, 导体表面曲率越
大, 面电荷密度越大, 电场也越强.
尖端放电演示
+ +
- - ++++++
+ +
+
静电吹烛
避雷针
10.1.3 空腔导体和静电屏蔽 1. 空腔导体 • 腔内没有电荷: 屏蔽外电场
E0 E'
0
• 腔内存在电荷: 间断内外电
同理, B板中一点b : Eb=0.
Eb
1 2 0
2 2 0
3 2 0
4 2 0
0
(4)
q1
q2 解: 设四板面密
度如图示.
1 2 3 4
E4 E3 E2
. E1
a
. b
由电荷守恒得:
1S 2S q1 (1)
联立(1) (2) (3) (4)解得:
1
4
q1 q2 2S
2
3
q1 q2 2S
q1
q2
A
B 3S 4S q2 (2)
大学物理 第三篇 电位移矢量和有电介质时的的高斯定理
1Q W 2 C
2
四.场能密度
单位体积内的电能
能量储存于场中 dW we dV
以平行板电容器的场为特例可以 导出 在带电为 Q 时 We 电场能量密度为 we V (自证)
r
S
d
1 we D E 2
普遍
1 单位体积内的电能 we D E 2
例 导体球的电场能ຫໍສະໝຸດ 二. D 的高斯定理
S
D dS
q
i
0i
自由电荷
证： E dS
S
q
i
i
0
i
q q
i i
oi
0 E dS P dS qoi
S S
D dS q0i
S i
0
i
在具有某种对称性的情况下，可 以首先由高斯定理出发 解出 D
W Aq1
q2
q 2 E 1 dl q 2 E1 dl r r
q U 2 21 40 r
q1
在处的电势
q1 在 q2 所
也可以先移动 q2
q2 在 q1所
在处的电势
状态a
q2 W q1 q1U 12 40 r 作功与路径无关 q2U 21
Q E 2 40 r
We
Q D 2 4 r
r
ED
all space of field
we dV
Q 2 2 4 4 r dr 32 0 r R
2
We
Q
2
8 0 R
与前面计 算结果同
电磁学课后习题答案
第五章 静 电 场5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为2204π1L r QεE -=(2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为2204π21Lr r QεE +=若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为r r q εe E 20d π41d '=整个带电体在点P 的电场强度⎰=E E d接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，⎰=LE i E d(2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是⎰⎰==Ly E αE j j E d sin d证 (1) 延长线上一点P 的电场强度⎰'=L r πεE 202，利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则()220022204π12/12/1π4d π41L r QεL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰电场强度的方向沿x 轴.(2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为E r εqαE L d π4d sin 2⎰'=利用几何关系 sin α＝r /r ′，22x r r +=' 统一积分变量，则()2203/22222041π2d π41Lr rεQrx L xrQ εE L/-L/+=+=⎰当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度rελL r L Q r εE l 0220π2 /41/π21lim=+=∞→此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r 2/L 2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即⎰⋅=SS d s E Φ方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理∑⎰==⋅0d 0q εSS E 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S ′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而⎰⎰'⋅-=⋅=S SS E S E Φd d解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有⎰⎰'⋅-=⋅=S SS E S E Φd d依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向，E R πR E 22πcos π=⋅⋅-=Φ解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①()r θθθE e e e E sin sin cos sin cos ++=r θθR e S d d sin d 2=ER θθER θθER SS2ππ2222πdsin d sin dd sin sin d ===⋅=⎰⎰⎰⎰S E Φ5 －17 设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为()()R r ρkr ρ>=≤≤= 0R r 0k 为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E 与r 的函数关系.分析 通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有2S π4d r E ⋅=⋅⎰S E根据高斯定理⎰⎰=⋅V ρεd 1d 0S E ，可解得电场强度的分布. (2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为r r ρq ''⋅=d π4d 2，每个带电球壳在壳内激发的电场0d =E ，而在球壳外激发的电场rrεqe E 20π4d d =由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布()()()()R r r r Rr>=≤≤=⎰⎰d R r 0d 0E E E E解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理⎰⎰=⋅V ρεd 1d 0S E 得球体内(0≤r ≤R ) ()4202πd π41π4r εk r r kr εr r E r==⎰()r εkr r e E 024=球体外(r ＞R )()4202πd π41π4r εk r r kr εr r E R==⎰()r εkR r e E 024=解2 将带电球分割成球壳，球壳带电r r r k V ρq '''==d π4d d 2由上述分析，球体内(0≤r ≤R )()r r rεkr r r r r k εr e e E 0222004d π4π41=''⋅'=⎰ 球体外(r ＞R )()r r Rr εkR r r r πr k πεr e e E 20222004d 441=''⋅'=⎰5 －20 一个内外半径分别为R 1 和R 2 的均匀带电球壳，总电荷为Q 1 ，球壳外同心罩一个半径为R 3 的均匀带电球面，球面带电荷为Q 2 .求电场分布.电场强度是否为离球心距离r 的连续函数？ 试分析.分析 以球心O 为原点，球心至场点的距离r 为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而24d rπE ⋅=⎰S E .在确定高斯面内的电荷∑q 后，利用高斯定理∑⎰=0/d εq S E 即可求出电场强度的分布.解 取半径为r 的同心球面为高斯面，由上述分析∑=⋅02/π4εq r Er ＜R 1 ，该高斯面内无电荷，0=∑q ，故01=E R 1 ＜r ＜R 2 ，高斯面内电荷()31323131R R R r Q q --=∑ 故 ()()23132031312π4r R R εR r Q E --= R 2 ＜r ＜R 3 ，高斯面内电荷为Q 1 ，故2013π4r εQ E =r ＞R 3 ，高斯面内电荷为Q 1 ＋Q 2 ，故20214π4r εQ Q E +=电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B )所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r ＝R 3 的带电球面两侧，电场强度的跃变量230234π4ΔεσR εQ E E E ==-=这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时，E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E 的变化成为一跃变.5 －21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1 和R 2 ＞R 1 )，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r 处的电场强度：(1) r ＜R 1 ，(2) R 1 ＜r ＜R 2 ，(3) r ＞R 2 .分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且⎰⋅=rL E d π2S E ，求出不同半径高斯面内的电荷∑q .即可解得各区域电场的分布.解 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理∑=⋅0/π2εq rL Er ＜R 1 ，0=∑q01=E在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变 R 1 ＜r ＜R 2 ，L λq =∑rελE 02π2=r ＞R 2，0=∑q03=E在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变00π2π2ΔεσrL εL λr ελE ===这与5 －20 题分析讨论的结果一致.5 －22 如图所示，有三个点电荷Q 1 、Q 2 、Q 3 沿一条直线等间距分布且Q 1 ＝Q 3 ＝Q .已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q 1 、Q 3 的情况下，将Q 2从点O 移到无穷远处外力所作的功.分析 由库仑力的定义，根据Q 1 、Q 3 所受合力为零可求得Q 2 .外力作功W ′应等于电场力作功W 的负值，即W ′＝－W .求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为l E d 02⎰∞=Q W其中E 是点电荷Q 1 、Q 3 产生的合电场强度. (2) 根据电场力作功与电势能差的关系，有()0202V Q V V Q W =-=∞其中V 0 是Q 1 、Q 3 在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势). 解1 由题意Q 1 所受的合力为零()02π4π420312021=+dεQ Q d εQ Q 解得 Q Q Q 414132-=-=由点电荷电场的叠加，Q 1 、Q 3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为()2/322031π2yd εQ E E E yy y +=+=将Q 2 从点O 沿y 轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为()dεQ y y d εQ Q Q W y 022/322002π8d π241d =+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋅-='⎰⎰∞∞l E 解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时Q Q 412-=，并由电势的叠加得Q 1 、Q 3 在点O 的电势dεQd εQ d εQ V 003010π2π4π4=+=将Q 2 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功dεQ V Q W 0202π8=-=' 比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多. 5 －23 已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为r rελe E 0π2=为电荷线密度.(1)求在r ＝r 1 和r ＝r 2 两点间的电势差；(2)在点电荷的电场中，我们曾取r →∞处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？ 试说明. 解 (1) 由于电场力作功与路径无关，若沿径向积分，则有12012ln π2d 21r r ελU r r =⋅=⎰r E (2) 不能.严格地讲，电场强度r e rελE 0π2=只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电荷分布在无限空间，r →∞处的电势应与直线上的电势相等.5 －27 两个同心球面的半径分别为R 1 和R 2 ，各自带有电荷Q 1 和Q 2 .求：(1) 各区域电势分布，并画出分布曲线；(2) 两球面间的电势差为多少？分析 通常可采用两种方法(1) 由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由⎰∞⋅=pp V l E d 可求得电势分布.(2) 利用电势叠加原理求电势.一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为rεQV 0π4=在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势RεQV 0π4=其中R 是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布.解1 (1) 由高斯定理可求得电场分布()()()22021321201211π4π40R r r εQ Q R r R r εQ R r r r >+=<<=<=e E e E E 由电势⎰∞⋅=rV l E d 可求得各区域的电势分布.当r ≤R 1 时，有20210120212113211π4π4π411π40d d d 2211R εQ R εQ R εQ Q R R εQ V R R R R r+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰∞lE l E l E当R 1 ≤r ≤R 2 时，有202012021201322π4π4π411π4d d 22R εQ r εQ R εQ Q R r εQ V R R r+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅+⋅=⎰⎰∞lE l E当r ≥R 2 时，有rεQ Q V r02133π4d +=⋅=⎰∞l E(2) 两个球面间的电势差⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=⎰210121211π4d 21R R εQ U R R l E 解2 (1) 由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即r ≤R 1 ，则2021011π4π4R εQ R εQ V +=若该点位于两个球面之间，即R 1 ≤r ≤R 2 ，则202012π4π4R εQ r εQ V +=若该点位于两个球面之外，即r ≥R 2 ，则rεQ Q V 0213π4+=(2) 两个球面间的电势差()2011012112π4π42R εQ R εQ V V U R r -=-==第六章 静电场中的导体与电介质6 －1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。
电位移矢量ed
电位移矢量ed
电位移矢量（也称为电感应强度矢量）是在讨论静电场中存在电介质的情况下，描述电荷分布和电场强度关系的辅助物理量，用符号D表示。
其定义式为D=ε0E+P，其中E是电场强度，P是极化强度，ε0是真空介电常数。
对于线性各向同性的电介质，电位移矢量与电场强度的关系可以简化为D=εE，其中ε是电介质的绝对介电常数。
电位移矢量的单位是C/m²，表示单位面积上的电荷量。
这个物理量在描述电场时非常重要，特别是在存在电介质的情况下。
因为物质具有极化作用，电位移矢量是对真空中的高斯定律的修正。
此外，电位移矢量的时间变化率与电场的变化率和极化强度的变化率有关。
这个变化率被称为位移电流密度，其中电场的变化率部分与一般的电流密度有本质区别，尽管它们在物理效应上都是按毕奥-萨伐尔定律产生磁场。
因此，磁场的产生除了电荷运动外，还有电场的变化。
总的来说，电位移矢量是一个用以描述电场的重要物理量，特别是在存在电介质的情况下。
它与电场强度、极化强度以及位移电流密度等概念密切相关，对于理解电场的性质和行为具有重要意义。
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求：介质中的电场强度
v E
和电位移矢量
v D
。
解：由定义，知：
v D v P
v
0E
1 (1
r
v P
0
v
)D
v D
r
v P Pz
Dz Dz
4
v D
r r 1
v P
4 3
v P
…
v E
1
v D
4 0
3.5 介质中的高斯定律 边界条件
一、介质静电场基本方程
q
在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观 上不显出电特性
介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分 子的取向一致，宏观上出现电偶极矩
2）极化强度矢量
用极化强度矢量
v P
表示电介质被极化的程度。
P
lim
Pi
式中：pvi 表示i个分子极矩。
V 0 V
物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。
CE dl 0
微分方程：
D
E 0
本构方程： D r 0 E E
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 ，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度
(
0
)
s0
sp
(
0)
s0
0 (1 )
讨论:
1.
sp
和
s
恒
0
异
号。
2.
sp s0 ,
即交界面上极化电荷面密度在数 值上一定小于自由电荷面密度.
3. 交界面上总的电荷面密度为
s s0 sp
s0
1
(
0)
D
q0
4r 2
er
因 D E , 所以离球心r 处P点的场强为
E
D
q0
4r 2
er
q0
40 rr 2
er
E0
r
E
E0
r
结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介
质后，其场强减弱到真空时的1/εr倍. 同时可求出电极化强度为
P 0(r 1)E
度
P
arr m (，m 试 0求) 此介质球内束缚电荷密度和球表
面束缚面电荷密度。
解：在球坐标系中，由于极化强度只与r有关，具 有球对称性，所以
当r R时
p
P
1 r2
r
(r 2arm )
a(m 2)r m1
当r R时
ps
P
n
ar
真空中的高斯定律：
E dS
q
S
0
S 0E dS q
在介电常数为 的介质中，类似地，有：
S 0E dS q
SD
dS
q
介质中的高斯定律
D
在介质中，静电场仍然为保守场
Ev＝0
E dl 0
C
介质中的环路定律
v 1) D 的边界条件
在分界面上取一个扁盒，将 D dS q S
应用于此盒，并考虑h0，得
D
S
（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
3º解题一般步骤：
由q自 DdS q自
D
E
D
E
E
P eoE
P
P
n
例题1 一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀 “无限大”电介质（介电常数为ε），求球外任一点P的
场强及极化电荷分布。
q束)
等价!
3º以上讨论对任何形状的电介质都成立。
2．环路定理
束缚电荷q束产生的电场与 自由电荷q０产生的电场相同
保守力场
E dl 0
电位移线与电场线 性质不同。
电位移线：线上每一点的切线方向和该点电位移 的方向相同，并规定在垂直于电位移线的单位面积上 通过的电位移线数目等于该点的电位移的量值．
解:
DdS
S
DnS1 q0
S内
01S1
01
D
02
电介质
D 01en
E D 01en
en
介质左右的极化电荷面密度为:
S2
' 1
' 2
P en P en
0E en
0
01
0
01
s0 r
即总电荷面密度减小到自由电荷面密度的 1 r
这是离球心r处P点的场强减小到真空时的1/εr倍的原因。
例题2 平行板电容器两板如图所示，两板极之间充满
介电常数为ε的电介质,电容器两板极上自由电荷面密度
为σ01 和σ02 (σ02= -σ01 )。求（1）电介质中的电场，交界面的
σ’（2）电容器的电容.
真空中 r 1， D 0 E
一般
0, r 1
有介质的问题总体上说，比较复杂
但就各向同性线性介质来说，比较简单。
说明：
D dS q0
1ºD
E ,
D与E处处对应，且方向一致。
2º
D dS q0 与
EdS
1 o
(q自
ez er cos
O
P0 cos
例
半径为a的球形电介质体，其相对介电常数r 4 ,
若在球心处存在一点电荷Q，求极化电荷分布。
解：由高斯定律，可以求得
D dS Q
S
在媒质内：
v E
Qevr
4 r2
vv v
P D 0E
D
Qer
q'
S内
1
0
S内 q0
S
P d S
S
EdS
S
P
0
dS
1
0
q0
S内
S面内包 围的自 由电荷
D 0 E P
(0 E P) d S q0
S
S内
电位移矢量
电位移矢量 通量
D d S q0
S
S内
二、介质的电位方程
在均匀、各向同性、线性媒质中（
为常数）
D (E) E
v
E (E )
2
介质中的泊松方程
三、静电场的边界条件
在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变 分界面两边电场按照某种规律突变，称这种突变关系为电场的边 值关系或边界条件 推导边界条件的依据是静电场基本方程的积分形式
D 0E P
同时描述电场和电介质极化的复合矢量。
D d S q0
S
S内
有电介质时 的高斯定理
如果把真空看作电介质的特例
P0
D 0E
E d S q0 0
S
D d S q0
S
S内
S D dS V DdV
1）体极化电荷
介质被极化后，分子可视作一个电偶极子 设 分 子 的 电 偶 极 矩 p=ql 。 取 如 图 所 示 体 积
元，其高度 l 等于分子极矩长度。
则负电荷处于体积中的电偶极子的正电荷必定穿过面元dS
在空间中任取体积V，其边界为S，则经S穿出V的正电荷量为
dQLeabharlann nql dS
psp
S spdS
P dS
S
sp
P
n
式中：Pv为媒质极化强度 n) 为媒质表面外法向单位矢量
n
讨论：若分界面两边均为媒质，则
介质1
sp
n
(P1
P2 )
SP P1n P2n 介质2
真空、金属 P 0
（1）介质2是电介质而介质1是真空:
说明：对于线性媒质，介质的极化强度和外加电场成正比关系，即
v
v
P e0E
e : 媒质极化系数
二、极化电荷（束缚电荷）
媒质被极化后，在媒质体内和分界面上会
出现电荷分布，这种电荷被称为极化电荷。
由于相对于自由电子而言，极化电荷不能自
由运动，故也称束缚电荷。
体内出现的极化电荷成为体极化电荷，表 面上出现的极化电荷称为面极化电荷。
若q0已知，只要场分布有一定对称性，可以求出 D，但由于不知道P，仍然无法求出E
需要补充D和E的关系式，并且需要已知描述
介质极化性质的极化率e，对于各向同性线性
介质,有
介
P e0 E
电
D 0 E P 0 (1 e )E 0r E
常 数
1 e r 相对介电常数（与真空相对）
' 1
0
01