2015中考复习数学归纳猜想
中考数学第二轮复习归纳猜想问题
中考数学第二轮复习归纳猜想问题中考数学复习课件专题解读2中考数学复习课件考情透析归纳猜想问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.考查学生的归纳、概括、类比能力.有利于培养学生思维的深刻性和创造性.3中考数学复习课件思路分析解决这类题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”,具体做法：1.认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；2.根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；3.结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性.4中考数学复习课件专题突破5中考数学复习课件一、数式归纳猜想题这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论.找出题目中规律，即不变的和变化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的关键.6中考数学复习课件【例题1】(2022·浙江金华五模)已知a≠0,S1=2a,222S2=,S3=,,S2022=,则S2022=S1S2S2022________(用含a的代数式表示).212解析∵S1=2a,∴S2==,∴S3==2a,S4=S1aS2111a,,∴S2022=a.故答案是a.答案1a7中考数学复习课件二、图形归纳猜想题此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系.其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系.8中考数学复习课件【例题2】(2022·浙江宁波)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：(1)第5个图形有多少黑色棋子？(2)第几个图形有2022颗黑色棋子？请说明理由.分析(1)根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案.(2)根据(1)所找出的规律，列出方程，即可求出答案.9中考数学复习课件解(1)寻找规律：第一个图需棋子6=3某2,第二个图需棋子9=3某3,第三个图需棋子12=3某4,第四个图需棋子15=3某5,∴第五个图需棋子3某6=18.∴第5个图形有18颗黑色棋子.(2)由(1)可得，第n个图需棋子3(n+1)枚设第n个图形有2022颗黑色棋子，则3(n+1)=2022,解得n=670.∴第670个图形有2022颗黑色棋子.10。
中考数学《归纳与猜想》复习教案
中考数学复习归纳与猜想归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。
猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。
猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。
我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。
典型分析例1、用等号或不等号填空： （1）比较2x 与x 2＋1的大小①当x ＝2时，2x x 2＋1； ②当x ＝1时，2x x 2＋1；③当x ＝－1时，2x x 2＋1．（2）可以推测：当x 取任意实数时，2x x 2＋1．分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。
解：（1）＜，＝，＜； （2）≤。
例2、观察下列分母有理化的计算：12121-=+，23231-=+，34341-=+，45451-=+…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2002)(200120021341231121(+++++++++ =＿＿＿＿。
分析：解本题时，要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。
还要注意相消后所剩下的是什么。
解：1)2002)(200120021341231121(+++++++++=)12002)(20012002342312(+-++-+-+- =)12002)(12002(+- =2002—1 =2001。
例3、 观察下列数表：1 2 3 4 … 第一行 2 3 4 5 … 第二行 3 4 5 6 … 第三行 4 5 6 7 … 第四行 … … … … 第一列 第二列 第三列 第四列根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n 行与第n 列交叉点上的数应为＿＿＿＿。
（用含正整数n 的式子表示）分析：本题要求的是同行同列交叉点上的数，因此，必须先研究同行同列交叉点上的数有什么规律，然后利用此规律解题。
2015年中考数学概率知识点：知识归纳与例题讲解三
2015年中考数学概率知识点：知识归纳与例题讲解三
一、知识归纳与例题讲解：
3、方差，标准差与极差。
方差：顾名思义是差的平方，因有多个差的平方，所以要求平均数，弄清是数据与平均数差的平方的平均数，标准差是它的算术平方根。
会用计算器计算标准差与方差。
例6：数据90，91，92，93的标准差是（）
（A）2（B）54（C）54（D）52
例7：甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8、7、9、7、9，乙所中的环数的平均数x＝8，方差S2乙＝0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是（）
（A）甲的射击成绩较稳定（B）乙的射击成绩较稳定
（C）甲、乙的射击成绩同样稳定（D）甲、乙的射击成绩无法比较
例8：一个样本中，数据15和13各有4个，数据14有2个，求这个样本的平均数、方差、标准差和极差（标准差保留两个有
效数字）。
中考数学专题知识突破七归纳猜想型问题
专题知识打破七概括猜想型问题一、中考专题解说概括猜想型问题在中考取愈来愈被命题者所着重。
这种题要求依据题目中的图形或许数字，剖析概括，直观地发现共同特点，或许发展变化的趋向，据此去展望预计它的规律或许其余有关结论，使带有猜想性质的推测尽可能与现真相况相符合，必需时能够进行考证或许证明，依此表现出猜想的实质意义。
二、解题策略和解法精讲概括猜想型问题对考生的察看剖析能力要求较高，常常以填空等形式出现，解题时要擅长从所供给的数字或图形信息中，找寻其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
此中包含着“特别——一般——特别”的常用模式，表现了总结概括的数学思想，这也正是人类认识新惹祸物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，详细题目常常是直观猜想与科学论证、详细应用的联合，解题的方法也更加灵巧多样：计算、考证、类比、比较、丈量、画图、挪动等等，都能用到。
因为猜想自己就是一种重要的数学方法，也是人们研究发现新知的重要手段，特别有益于培育创建性思想能力，所以备授命题专家的喜爱，逐渐成为中考的连续热门。
三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律往常给定一些数字、代数式、等式或许不等式，而后猜想此中包含的规律。
一般解法是先写出数式的基本构造，而后经过横比（比较同一等式中不一样部分的数目关系）或纵比（比较不一样样式间同样地点的数目关系）找出各部分的特点，改写成要求的格式。
例1（2019?菏泽）下边是一个某种规律摆列的数阵：依据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n－2个数是（用含n的代数式表示）思路剖析：察看不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n－1行的数据的个数，再加上n－2获得所求数的被开方数，而后写出算术平方根即可．考点二：猜想图形规律依据一组有关图形的变化规律，从中总结经过图形的变化所反应的规律。
此中，以图形为载体的数字规律最为常有。
中考数学思想方法 【猜想归纳】数式规律中的猜想归纳思想(学生版+解析版)
数式规律中的猜想归纳思想知识方法精讲1.规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．2. 猜想归纳思想归纳猜想类问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。
考查学生的归纳、概括、类比能力。
有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
解决归纳猜想类问题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：（1）认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；（2）根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；（3）结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性。
归纳猜想类问题可以分成四大类：（1）数式归纳猜想题这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论。
找出题目中规律，即不变的和变化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的关键。
（2）图形归纳猜想题此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系。
其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系。
（3）结论归纳猜想题结论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况。
发现或归纳出周期性或规律性变化，是解题的关键。
（4）类比归纳猜想题类比归纳猜想题通常是指由两类对象的具有某些相同或相似的性质，和其中一类对象的某些已知的性质，推断出另一类对象也具有这些性质的一种题型，有时也指两个对象在研究方法、学习过程上类比，考查类比归纳推理能力。
专题复习 归纳与猜想(含答案)-
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。
例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
2015中考数学命题趋势和方向大猜想
2015年中考数学命题趋势和方向大猜想对未来中考预测时，需要考虑以下2个主要因素：一个是数学课程标准的变化；二是过去中考试题中展现出来的相对稳定的特点。
虽然过往的考试大纲和说明还不能作为2014年中考命题的依据，但在某种程度上，过往的大纲和说明是会对今后中考命题具有一定影响作用。
因此，在对2014年中考试题预测时，需要参考以往的考试说明和大纲上的内容和要求上的变化。
此外，近几年中考试题自身呈现的相对稳定的特点，在某种程度上体现了课程标准突出强调的内容，体现重点内容重点考查的命题基本原则。
因此，关注近年来的中考试题特点，有助于掌握未来中考试题发展趋势。
以下分析仅供考生和老师参考！数与代数部分：（一）数与式综观近年来中考“数与式”部分的试题，2014年关于“数与式”考查还会主要为基础性题目集中在基础知识与基本技能方面。
但伴随着近年来试题不断推陈出新，以“数与式”内容为依托，加强数学理解能力的考查也越发凸显。
如2012年浙江省台州卷16题是以新定义概念为载体的开放题，着重考查数学理解能力，这种能力在近年来的中考题中并不少见，如2012年内蒙古呼伦贝尔卷第5题等，另外，依托于“数与式”的有关知识，考查探索规律的能力，即合情推理、归纳概括能力，已经成为一种趋势，如2009年安徽卷第17题。
此外，以几何图形为载体，结合“数与式”的基础知识、考查图形观察能力和逻辑推理能力。
这种试题的呈现形式是把“数与式”部分内容与图形结合，增大了思考量，具有一定的难度。
这种形式值得大家进一步关注。
如2010年广州卷第10题、2011辽宁卷第9题及2012年浙江丽水卷第10题。
（二）方程（组）与不等式（组）首先，关注解方程（组）与不等式（组）的基本技能。
综观历年中考题，都是针对解方程（组）与不等式（组）这一基本技能编制的试题，其解法的是课程标准中要求掌握的。
因此，有理由确信，在2013年的中考中，对解方程（组）与不等式（组）的试题依然出现。
2015年中考数学专题知识突破 专题知识突破七 归纳猜想型问题
专题知识突破七归纳猜想型问题一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2014•菏泽）下面是一个某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n－2个数是（用含n的代数式表示）思路分析：观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n－1行的数据的个数，再加上n－2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
其中，以图形为载体的数字规律最为常见。
猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
专题三 归纳猜想型问题
3 ∴△ A1A2A3 的高线为 2× ＝ 3， 2 ∵ A1A2 与 x 轴相距 1 个单位， ∴ A3O＝ 3－ 1， ∴ A3 的坐标是(0， 3－ 1)； ∵ 92÷ 3＝ 30„ 2， ∴ A92 是第 31 个等边三角形的第二个顶点， 第 31 个等边三角形边长为 2× 31＝ 62， 1 ∴点 A92 的横坐标为 × 62＝ 31， 2
步步高中考总复习
专题三 归纳猜想型问题
步步高中考总复习
专题解读
专题突破
步步高中考总复习
特征类型
归纳猜想型问题也是探究规律型问题，这类问题一般给出 一组具有某种有规律的数、式、图形，或给出与图形有关 的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过观察、分
析、推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳猜想出一般性
别是与序号的规律，猜想得出一般性结论；3.结合题目所
给的材料验证(或证明)结论的正确性.
专题解读
专题突破
步步高中考总复习
一、数字归纳猜想型问题
常考角度：这类题目通常是先给出一组数字，通过观察、 归纳这组数字的变化规律，写出一般性的结论，再用这个 结论，解决问题．
专题解读
专题突破
步步高中考总复习
【例题1】 (2013· 湛江)如图，所有正 三角形的一边平行于x轴，一顶点
1．找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化的部分
与序号的关系是解题的关键； 2．找到规律后一定要用已有的数字进行验证．
专题解读
专题突破
步步高中考总复习
二、图形归纳猜想型问题
常考角度：此类问题通常给出一组图形的排列(或操作得 到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考 查图形所蕴含的数量关系．
A2B2C2D2的周长是________；四边形A2 013B2 013C2 013D2
专题复习_中考数学归纳与猜想(含答案)-
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。
例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
中考数学二轮复习(三)归纳与猜想专题
中考二轮复习（三）归纳与猜想专题
归纳猜想题型是指试题中给出一个条件，可以是有规律的数、算式、图形或图表，让同学们在观察、分析的基础上综合归纳，大胆猜想，获得结论，进而验证。
这几年的热点题目，着重考查学生们的观察、分析、综合能力，同时也是考查学生对数、式及图形变化领域基础知识的一种检验，考查学生对重要公式、法则及规律的理解和掌握。
研究数学、学习数学、应用数学的过程，实际上就是探索、研究数学规律并运用数学规律的过程。
探索的目的是为了提出猜想，提出猜想的目的是为了发现规律。
在初中数学的学习中，不仅要经历探索和猜想的方法学习数学，培养敢于探索和大胆猜想的精神，而且要掌握一些基本的策略和方法，会探索、敢猜想。
探索规律的试题，在中考中从简单的填空题、选择题、到复杂的代数、几何综合题，以多样的形式、多彩的背景为内容频繁出现。
解答此类问题的过程中，需要经历观察、归纳、猜想、实验、证明等数学活动。
能够很好的培养学生们在数学方面的探索精神，符合课程标准的要求。
解答此类题，首先需要观察数据、代数式、等式或图形，寻找规律，并根据规律用代数式、方程、函数、不等式等数学模型表示出图形的数量关系及变化规律。
2015年九年级数学猜想论证题(带答案)
2014-2015学年度九年级数学猜想论证题汇集1、（1）如图，直线同侧有两点A 、B ，在直线上求一点C ，使它到A 、B 之和最小．（保留作（2）知识拓展：如图，点P 在∠AOB 内部，试在OA 、OB 上分别找出两点E 、F 要想使 2、观察发现（1）如图1，若点A ，B 在直线同侧，在直线l 上找一点P ，使AP+BP 的值最小。
做法如下：作点B 关于直线l 的对称点B'，连接AB'，与直线l 的交点就是所求的点P ； （2）如图2，在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小。
做法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP+PE 的最小值为_____。
实践运用（3）如图3，已知⊙O 的直径CD 为4，AD 的度数为60°，点B 是的中点，在直径CD 上找一点P ，使BP+AP 的值最小，并求BP+AP 的最小值。
拓展延伸（4）如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB=∠APD ，保留作图痕迹，不必写出作法。
解：（2）；（3）作点B 关于CD 的对称点E ，则点E 正好在圆周上，连接OA 、OB 、OE ，连接AE 交CD 与一点P ，AP+BP 最短， ∵AD 的度数为60°，点B 是的中点，∴∠AOB=∠BOD=30°，∵B 关于CD 的对称点E ，∴∠DOE=∠BOD=30°，∴∠AOE=90°，又∵OA=OE ，DAE=；O AC=x°．，则是否存在这样的① ABO 的度数是 400--------------------1分 ②∵∠MON=800，，且OE 平分∠MON ，∴∠1=∠2=400，又∵AB//ON ，∴∠3=∠1=400，∵∠BAD=∠ABD ，∴∠BAD=400，---------------2分 ∴∠4=800，----------------------------------------------3分 ∴∠OAC=600，即x=600,-----------------------------4分 （2）（本小题4分，每个1分，全对4分）存在这样的x ，x=100---------6分 x=250---------7分 x=400---------8分4、如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和A B C ''重合放置，其中C ∠=90°，B B '∠=∠=30°，2AC AC '==．（Ⅰ）操作发现如图②，固定△ABC ，将△A B C ''绕点C 旋转，当点A '恰好落在AB 边上时，①CA B ''∠= °，旋转角α= °（0＜α＜90），线段A B ''与AC 的位置关系是 ；②设△A BC '的面积为1S ，△AB C '的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是 ； （Ⅱ）猜想论证当△A B C ''绕点C 旋转到图③所示的位置时，小明猜想（Ⅰ）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△A BC '和△AB C '中BC ，B C '边上的高A D '，AE ，请你证明小明的猜想；（Ⅲ）拓展探究如图④，MON ∠=60°，OP 平分MON ∠，4OP PN ==，PQ ∥MO 交ON 于点Q ．若在射线OM 上存在点F ，使PNF OPQ S S =△△，请直接写出相应的OF 的长． 解：（Ⅰ）①60 60 A B ''∥AB…………………………3分②12S S =；…………………………4分（Ⅱ）证明∵△A B C ''由△ABC 旋转得到，∴△A B C ''≌△ABC ． ∴A CB ACB ''∠=∠=90°． ∵ACB BCA A CB ACB ''''∠+∠+∠+∠=360°， ∴BCA ACB ''∠+∠=180°． 又ACE ACB '∠+∠=180°，∴BCA ACE '∠=∠． 又CDA CEA '∠=∠=90°，A C AC '=，∴△A DC '≌△AEC ．………6分∴A D AE '=． …………7分又112S BC A D '=⋅，212S B C AE '=⋅，BC B C '=，∴12S S =；……………8分10分提示：如图，作1PF ∥ON 交OM 于点1F ，作2PF OP ⊥交OM 于点2F ，1OF ，2OF 即为所求） 5、如图1，△DBE 和△ABC 都是等腰直角三角形，D ，E 两点分别在AB ，BC 上，∠B =90°．将△DBE 绕点B 顺时针旋转，得到图2． （1）在图2中，求证：AD=CE ；（2）设AB =a ，BD =b ，且当A 、D 、E 三点在同一直线上时，∠EAC =30°，请利用备用图画出此情况下的图形，并求旋转的角度和ba的值．解：(1)∵△DBE 和△ABC 都是等腰直角三角形，∴AB=BC , DB=BE ,∠ABC =∠DBE =90°,………………………………………………1分 ∴∠ABD =90°-∠DBC =∠CBE =90°-∠DBC , ∴△ABD ≌△CBE ,∴AD=CE ;…………………………………………3分 (2)如图, A 、D 、E 三点在同一直线上时，MN O P 图 ④∵△DBE 和△ABC 都是等腰直角三角形， ∴∠BAC =∠BDE =∠BED =45°, 又△AB D ≌△CBE ，∴∠ADB =∠CEB =135°． ∴∠AEC =90°，……………………………………4分∵∠EAC =30°， ∴∠BAD =45°-30°=15°，∴∠ABD =30°，即旋转角为30°.…………………………5分 ∵△DBE 和△ABC 是等腰直角三角形，AB =a , BD =b ,∴AC =a 2，DE =b 2,……6分 ∵△ABD ≌△CBE , ∴AD=EC ，∵∠EAC =30°，∠AEC =90°，AC =a 2， ∴AD=EC =a 22， ……………………………………………………………………8分 ∴AE =AD +DE =a 22+b 2=a a AC 2622330cos =⋅=⋅ ， 整理得13132,32+=-==+b a a b a .………………………………………10分 6、如图①，△ABC 与△DEF 是将△ACF 沿过A 点的某条直线剪开得到的（AB ，DE 是同一条剪切线）．平移△DEF 使顶点E 与AC 的中点重合，再绕点E 旋转△DEF，使ED ，EF 分别与AB ，BC 交于M ，N 两点．（1）如图②，△ABC 中，若AB=BC ，且∠ABC=90°，则线段EM 与EN 有何数量关系？请直接写出结论；（2）如图③，△ABC 中，若AB=BC ，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由；（3）如图④，△ABC 中，若AB ：BC=m ：n ，探索线段EM 与EN 的数量关系，并证明你的结论．解：（1）EM=EN ．证明：过点E 作EG⊥BC，G 为垂足，作EH⊥AB，H 为垂足，连接BE ，如答图②所示． 则∠EHB=∠EGB=90°．∴在四边形BHEG 中，∠HBG+∠HEG=180°． ∵∠HBG+∠DEF=180°， ∴∠HEG=∠DEF．∴∠HEM=∠GEN．∵BA=BC，点E为AC中点，∴BE平分∠AB C．又∵EH⊥AB，EG⊥BC，∴EH=EG．在△HEM和△GEN中，∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，∴△HEM≌△GEN．∴EM=EN．（2）EM=EN仍然成立．证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图③所示．则∠EHB=∠EGB=90°．∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．∵∠HBG+∠DEF=180°，∴∠HEG=∠DEF．∴∠HEM=∠GEN．∵BA=BC，点E为AC中点，∴BE平分∠ABC．又∵EH⊥AB，EG⊥BC，∴EH=EG．在△HEM和△GEN中，∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，∴△HEM≌△GEN．∴EM=EN．（3）线段EM与EN满足关系：EM：EN=n：m．证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图④所示．则∠EHB=∠EGB=90°．∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．∵∠HBG+∠DEF=180°，∴∠HEG=∠DEF．∴∠HEM=∠GEN．∵∠HEM=∠GEN，∠EHM=∠EGN，∴△HEM∽△GEN．∴EM：EN=EH：EG．∵点E为AC的中点，∴S△AEB=S△CEB．∴AB•EH=BC•EG．∴EH：EG=BC：AB．∴EM：EN=BC：AB．∵AB：BC=m：n，∴EM：EN=n：m．7、小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD 平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是；如图②，M 为边AC 反向延长线上一点，则BD 、MF 的位置关系是 ； 如图③，M 为边AC 延长线上一点，则BD 、MF 的位置关系是 ； （2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明. 解：（1）平行；垂直；垂直； ……………………………………………………3分 （2）选① 证明BD ∥MF理由如下：∵∠A=90°，ME ⊥BC ，∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°，………………………1分 ∵BD 平分∠ABC ，MF 平分∠AME ，∴∠ABD=21∠ABC ，∠AMF=21∠AME ， ∴∠ABD+∠AMF=21（∠ABC+∠AME ）=90°，…………………2分又∵∠AFM+∠AMF=90°，∴∠ABD=∠AFM ，……………………………………………………3分 ∴BD ∥MF.……………………………………………………………4分 选② 证明BD ⊥MF ．理由如下：∵∠A=90°，ME ⊥BC ，∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，∴∠ABC=∠AME ，……………………………………………………1分 ∵BD 平分∠ABC ，MF 平分∠AME ，∴∠ABD=∠AMF ，……………………………………………………2分 ∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠AMF+∠ADB=90°，……………………………………………3分 ∴BD ⊥MF. ……………………………………………………………4分 选③ 证明BD ⊥MF ．理由如下：∵∠A=90°，ME ⊥BC ，∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，∴∠ABC=∠AME ，……………………………………………………1分 ∵BD 平分∠ABC ，MF 平分∠AME ，∴∠ABD=∠AMF ，……………………………………………………2分 ∵∠AMF+∠F=90°，∴∠ABD+∠F=90°，…………………………………………………3分 ∴BD ⊥MF ．……………………………………………………………4分 8、（1）猜想与证明：如图10（1），摆放着两个矩形纸片ABCD 和矩形纸片ECGF ，使B 、C 、G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上，连接AF ，若M 为AF 的中点，连接DM 、ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展与延伸：如图10（2），若将”猜想与证明“中的矩形纸片换成正方形纸片ABCD 和正方形纸片ECGF ，并使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．解：（1）猜想：DM =ME ………………1分图10（1） 图10（2）证明：如图1，延长EM 交AD 于点H ， ……………2分 ∵四边形ABCD 和CEFG 是矩形， ∴AD ∥EF ，∴∠EFM =∠HAM ， ………………3分 又∵∠FME =∠AMH ，FM =AM ， 在△FME 和△AMH 中，EFM HAM FM AMFME AMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩……………… 4分 ∴△FME ≌△AMH （ASA ）……………………………5分 ∴HM =EM ， ………………………………6分 在RT △HDE 中，HM =EM ， ∴DM =HM =ME ，∴DM =ME ． …………………………………………7分 （2）猜想：DM =ME ………………………………8分 如图2，连接AC ， ……………………………………9分 ∵四边形ABCD 和ECGF 是正方形，∴∠FCE =45°，∠FCA =45°， ………………………10分 ∴AE 和EC 在同一条直线上， ………………………11分 在RT △ADF 中，AM =MF ，∴DM =AM =MF ， ………………………………………12分 在RT △AEF 中，AM =MF ，∴AM =MF =ME ， ………………………………………13分 ∴DM =ME ． ………………………………………14分 9、【试题再现】如图1，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,直线l 过点C,过点A,B 分别作AD ⊥DE 于点D,BE ⊥DE 于点E,则DE=AD+BE （不用证明）.（1）【类比探究】如图2，在△ABC 中，AC=BC,且∠ACB=∠ADC=∠BEC=100°.上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出一个你认为正确的结论.（2）【拓展延伸】①如图3，在△ABC 中，AC=nBC,且∠ACB=∠ADC=∠BEC=1000，猜想线段DE 、AD 、BE 之间有什么数量关系？并证明你的猜想.②若图1的Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=nBC ，并将直线l 绕点C 旋转一定角度后与斜边AB 相交，分别过点A 、B 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 和点E.请在备用图上画出图形，并直接写出线段DE 、AD 、BE 之间满足的一种．．数量关系(不要求写出证明过程). 解：（1）【类比探究】猜想DE=AD+BE.…………1分理由：∵∠ADC=100°,∴∠DAC+∠DCA=80°,∵∠ACB=100°,∴∠DCA+∠ECB=80°, ∴∠DAC=∠ECB,在△ACD 和△CBE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CB AC ECB DAC CEB ADC ∴△ACD ≌△CBE, ∴AD=CE,CD=BE, ∴DE=AD+BE. ………5分 （2）【拓展延伸】①猜想：DE=n1AD+nBE.………………6分理由：∵∠ADC=100°,∴∠DAC+∠DCA=80°,∵∠ACB=100°,∴∠DCA+∠ECB=80°, ∴∠DAC=∠ECB.∵∠ADC=∠CEB,∴△ADC ∽△CEB,∴n BCACBE CD CE AD ===,∴CE=n 1AD,CD=nBE,∴DE=DC+CE=n1AD+nBE.………………10分 ② nBE AD n DE -=1或AD nnBE DE 1-=…………………………14分解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，P 与C 重合， ∴OB =OP ， ∠BOC =∠BOG =90°. ∵PF ⊥BG ，∠PFB =90°， ∴∠GBO =90°-∠BGO ，∠EPO =90°-∠BGO . ∴∠GBO =∠EPO . ………….3分 ∴△BOG ≌△POE （AAS ）. ………….4分 （2）12BF PE =.…………..5分 证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB.∵∠OBC=∠OCB =45°，∴∠NBP=∠NPB，∴NB=NP.∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，∴∠MBN=∠NPE. ∴△BMN≌△PEN（ASA），∴BM=PE.∵∠BPE=12∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF.∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°.又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）. ∴BF=MF，即BF=12 BM.∴BF=12PE，即12BFPE..…………..8分（3）3=8BFPE..…………..10分(说明：用其它方法得到结果请相应给分)11、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．(1) 证明：如图，∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90o，又∠CDG=90o+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG．∴ AE=CG．（2）猜想：AE⊥CG．证明：如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N．∵△ADE≌△CDG，∴∠DAE=∠DCG．又∵∠ANM=∠CND，∴△AMN∽△CDN．∴∠AMN=∠ADC=90o．∴AE⊥CG．12、已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为2 2 ，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC ， ∵四边形ADEF 是正方形，∴AD=AF ，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠DAC ， ∠CAF=90°﹣∠DAC ，∴∠BAD=∠CAF ，则在△BAD 和△CAF 中，， ∴△BAD≌△CAF（SAS ），∴BD =CF∵BD+CD=BC ∴CF+CD=BC （2）CF ﹣CD=BC ；（3）①CD﹣CF=BC②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF， ∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD 和△CAF 中，∴△BAD≌△CAF（SAS ），∴∠ACF=∠ABD，∵∠ABC=45°，∴∠ABD =135°，∴∠ACF=∠ABD=135°，∴∠FCD=90°∴△FCD 是直角三角形。
中考复习(十)：归纳与猜想——中考复习资料文档
海豚教育个性化教学教案（内页1）【例题讲解】一：知识网络图二：基础知识整理1. 猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
2. 相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
考点1：猜想数式规律例1：下面是一个某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n－2个数是（用含n的代数式表示）考点2：猜想图形规律例2：将相同的矩形卡片，按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长为2，宽为1，依此类推，摆放2021个时，实线部分长为．考点3：猜想坐标的变化规律例3：如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2021次，点B的落点依次为123B B B，，，…，则2014B的坐标为．猜想性问题猜想规律型猜想结论型猜想数式规律猜想图形规律猜想数值结果猜想数量关系猜想变化情况考点4：猜想数量关系例4：【问题情境】如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 边上的一点，E 是CD 边的中点，AE 平分∠DAM ． 【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC ；（2）AM=DE+BM 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）若四边形ABCD 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．考点5：猜想变化情况例5：如图，在x 轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点1234n A A A A A ⋯，，，，， 分别过这些点做x 轴的垂线与反比例函数y=1x的图象相交于点1234n P P P P P ⋯，，，，； 作211132224333111n n n n P B A P P B A P P B A P P B A P ---⊥⊥⊥⋯⊥，，，， ；垂足分别为12341n B B B B B -⋯，，，，， ；连接1223341n n PP P P P P P P -⋯，，，， ；得到一组11222333411n n n Rt PB P Rt P B P Rt P B P Rt P B P --⋯，，，， 则11n n n Rt P B P -- 的面积为 ．考点6：猜想数字求和例6：计算下列各式的值：2222919;99199;9991999;999919999++++ ．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得220149201499991999⋯+⋯个个= ．【课堂训练】1．请你计算：（1－x ）（1+x ），（1－x ）（21x x ++ ），…，猜想（1－x ）（21nx x x +++⋯+ ）的结果是（ ） A ．11n x +-B ．11n x ++C ．1n x - D ．1n x +2．将一组数3,6,3,23,15,...,310 ，按下面的方式进行排列：3,6,3,23,15；32,21,26,33,30 ；… 若23 的位置记为（1，4），26 的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（ ） A ．52（，）B ．5（，3）C ．2（6，）D ．（6，5）3. 现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列0S ，将其中的每个数换成该数在0S 中出现的次数，可得到一个新序列S 1，例如序列0S ：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S 1：（2，2，1，2，2），若0S 可以为任意序列，则下面的序列可作为1S 的是（）A ．（1，2，1，2，2）B ．（2，2，2，3，3）C ．（1，1，2，2，3）D ．（1，2，1，1，2）4．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图形一共有6棵棋子，第③个图形一共有16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）A ．51B ．70C ．76D ．815．如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OA 1C 1，Rt △22OA C ，Rt △33OA C ，Rt △44OA C …的斜边都在坐标轴上，11223344AOC A OC A OC A OC ∠=∠=∠=∠ =…=30°．若点A 1的坐标为（3，0），122334OA OC OA OC OA OC ===，， …，则依此规律，点2014A 的纵坐标为（ ） A ．0B ．20133332-⨯（）C ．201423（）D ．20133332⨯（）6. 如图，在第1个△A 1BC 中，∠B=30°，A 1B=CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D = ，得到第2个12A A D ；在边2A D 上任取一点E ，延长123A A A 到 ，使232A A A E = ，得到第3个23A A E ，…按此做法继续下去，则第n 个三角形中以n A 为顶点的内角度数是（ ）A ．1•752n︒（） B ．11•652n -︒（） C ．11•752n -︒（） D ．1•852n ︒（）7．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第n 次运算的结果n y ．8. 如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n 个图形中，点的个数为 ． 9．如图，抛物线2y x = 在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为123n A A A A ⋯，， ，…．将抛物线2y x =沿直线L ：y=x 向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件： ①抛物线的顶点123n M M M M ⋯，，， ，…都在直线L ：y=x 上；②抛物线依次经过点123n A A A A ⋯，，，…．则顶点2014M 的坐标为 ．10．将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2021对应的有序数对为11. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△11AB C 的位置，点B 、O 分别落在点B 11C 、 处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点1B 顺时针旋转到112A B C 的位置，点2C 在x 轴上，将112A B C 绕点2C 顺时针旋转到222A B C 的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去…．若点A （53，0），B （0，4），则点2014B 的横坐标为 ．12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm ，AD 为BC 边上的高．动点P 从点A 出发，沿A→D 方向以2cm/s 的速度向点D 运动．设△ABP 的面积为1S ，矩形PDFE 的面积为2S ，运动时间为t 秒（0＜t ＜8），则t= 秒时，122S S = .13．如图，已知∠AOB=90°，点A 绕点O 顺时针旋转后的对应点1A 落在射线OB 上，点A 绕点A 1顺时针旋转后的对应点A 2落在射线OB 上，点A 绕点2A 顺时针旋转后的对应点A 3落在射线OB 上，…，连接123AA AA AA ，， …，依次作法，则∠1n n AA A + 等于 度．（用含n的代数式表示，n 为正整数）．14．已知点1122233341n n n A a a A a a A a a A a a +⋯（，），（，），（，），（，） （n 为正整数）都在一次函数y=x+3的图象上．若12a = ，则2014a = .15．如图，一段抛物线y=－x （x －1）（0≤x≤1）记为1m ，它与x 轴交点为O 、1A ，顶点为1P ；将1m 绕点A 1旋转180°得2m ，交x 轴于点2A ，顶点为2P ；将m 2绕点2A 旋转180°得m 3，交x 轴于点3A ，顶点为3P ，…，如此进行下去，直至得10m ，顶点为10P ，则10P 的坐标为 ．16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，1），B （－1，1），C （－1，－2），D （1，－2），把一根长为2021个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A 处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 ．17．如图，∠AOB=60°，123O O O ，， …是∠AOB 平分线上的点，其中12OO =，若123O O O ，， …分别以为圆心作圆，使得123O O O ，， …均与∠AOB 的两边相切，且相邻两圆相外切，则2014O 的面积是 ．18. 如图，已知△ABC 的面积是12，点E 、I 分别在边AB 、AC 上，在BC 边上依次作了n 个全等的小正方形DEFG ，GFMN ，…，KHIJ ，则每个小正方形的边长为 .19.一列数：0，－1，3，－6，10，－15，21，…，按此规律第n 个数 .20. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P （－y+1，x+1）叫做点P′伴随点．已知点1A 的伴随点为2A，点A2的伴随点为3A，点A3的伴随点为4A，…，这样依次得到点123nA A A A⋯，，，，，…．若点1A的坐标为（3，1），则点3A的坐标为，点2014A的坐标为；若点1A的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点nA均在x轴上方，则a，b应满足的条件为．21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到1M，使得100M M OM⊥，得到线段1OM；又将线段1OM绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到2M，使得211M M OM⊥，得到线段2OM；如此下去，得到线段345OM OM OM，，，…根据以上规律，请直接写出201OM4的长度为．22. 一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？23. 已知：22211213-=-；22224321431152-+--+-=；.计算：222222654321654321-+-+-=-+-+-；猜想：()()()22222222216543212222126543[()]()()()[]()()()21n nn n+-++⋯+-+-+-+-++⋯+-+-+-.24. 下面是按照一定规律排列的一列数：第1个数：11122⎛⎫-+-⎪⎝⎭；第2个数：()()2311111113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+⨯+⨯+⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭第3个数：()()()()23451111111111+1423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+⨯+⨯+⨯⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是.25. （1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）] （2）如图2，在▱ABCD中，对角线焦点为O，1111A B C D、、、分别是OA、OB、OC、OD 的中点，A2、B2、C2、D2分别是1111OA OB OC OD、、、的中点，…，以此类推．若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？26. 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22021的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22021+22021，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22021+22021将下式减去上式得2S-S=22021-1即S=22021-1即1+2+22+23+24+…+22021=22021-1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．27. 如图，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，第n次平移将矩形A n-1B n-1C n-1D n-1沿A n-1B n-1的方向平移5个单位，得到矩形A n B n C n D n（n＞2）．（1）求AB1和AB2的长．（2）若AB n的长为56，求n．28. 我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，…（1）观察以上图形并完成下表：图形的名称基本图的个数特征点的个数图1 1 7图2 2 12图3 3 17图4 4………猜想：在图（n）中，特征点的个数为（用n表示）；（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1，2），则x1= ；图（2021）的对称中心的横坐标为．海豚教育【出门考】（年月日周）学生姓名：年级：科目：评价：【出门考】正文订正栏1.求1+2+22+23+…+22021的值，可令S=1+2+22+23+…+22021，则2S=2+22+23+24+…+22021，因此2S﹣S=22021﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52021的值为（）A．52021﹣1B．52021﹣1C．D．2. 观察下列一组数：32，54，76，98，1110，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是．3. 一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是_____.4. 如图，在标有刻度的直线L上，从点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的倍，第n个半圆的面积为。
2015中考数学专题复习_规律与猜想
规律与猜想学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来.规律与猜想类试题选材一般来源于学生熟悉的生活，有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同角度，利用不同方法探索并发现数学规律，同时利用发现的规律，让学生学会自我验证，真正考查了学生的数学思考能力.类型之一数式的变化规律例1 (2014·安徽)观察下列关于自然数的等式：32-4×12=552-4×22=972-4×32=13……根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92-4×( )2=( )；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性.【思路点拨】(1)从等式的结构看，等于号的左边第一项的底数依次增大2，第二项的底数依次增大1，等于号的右边依次增大4.依次规律就可写出第四个等式；(2)先根据分析的规律用含n的等式表示出第n个等式，然后将等号的一边经过整理与另一边相同.【解答】(1)4，17.(2)(2n+1)2-4×n2=4n+1.验证：∵左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边，∴等式成立.方法归纳：探究等式变化规律的题目，关键把握两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分；二是分析出“变”的规律即等式的个数之间存在的规律.1.(2014·东营)将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行，第一列，与有序数对(2，1)对应；数5与(1，3)对应；数14与(3，4)对应；根据这一规律，数2 014对应的有序数对为 .2.(2014·菏泽)下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n 行(n 是整数，且n ≥3)从左至右数第n-2个数是 (用含n 的代数式表示).3.(2014·滨州)计算下列各式的值：= .4.(2014·巴中)如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了(a+b)n(n 为非负整数)的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数.例如，(a+b)2=a 2+2ab+b 2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出(a-b)4的展开式为 .5.(2014·黄石)观察下列等式：第一个等式：a 1=23122⨯⨯=112⨯-2122⨯第二个等式：a 2=34232⨯⨯=2122⨯-3132⨯ 第三个等式：a 3=45342⨯⨯=3132⨯-4142⨯第四个等式：a 4=56452⨯⨯=14142⨯-5152⨯按上述规律，回答以下问题： 用含n 的代数式表示第n 个等式：a n = = ；式子a 1+a 2+a 3+…+a 20= .6.(2014·烟台)…，若(1，4)， (2，3)，则这组数中最大的有理数的位臵记为( )A.(5，2)B.(5，3)C.(6，2)D.(6，5)类型之二图形的变化规律例2 (2014·金华)一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接.(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2)若有餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？【思路点拨】由拼图可知，每多拼一张餐桌，可坐的人数就增多4人，依次规律可探究出餐桌的个数与可坐人数之间的关系.从而就可解决问题.【解答】(1)根据图中的规律我们可以发现，每多拼接一张餐桌，可坐的人数就增多4人. 即：拼接x张餐桌可以就餐的人数为：6+4(x-1)=4x+2(人).所以，拼4张可以坐4×4+2=18(人)，拼8张可以坐4×8+2=34(人).(2)由题意可知4x+2=90.解得x=22.答：这样的餐桌需要拼接22张.方法归纳：当图形在变换时，图形的个数与对应的另一个变换的量的关系很难直接观察出规律时，可以通过建立这两个变量之间的函数关系，利用已知的几对对应值求出函数关系式，然后去论证.1.(2014·重庆A卷)如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有9个，……，按此规律，则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为( )A.20B.27C.35D.402.（2014·武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图片共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是( )A.31B.46C.51D.663.(2014·重庆B 卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，……，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A.22B.24C.26D.284.(2014·宜宾)如图，将n 个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A 1,A 2，…,A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是( )A.nB.n-1C.(14)n-1 D.14n 5.(2014·鄂州)如图，四边形ABCD 中，AC=a,BD=b,且AC ⊥BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n .下列结论正确的是( )①四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；②四边形A 3B 3C 3D 3是矩形；③四边形A 7B 7C 7D 7周长为8a b；④四边形A n B n C n D n 面积为·2na b . A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④6.(2014·内江)如图，已知A 1、A 2、……、A n 、A n ＋1是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝……＝A n A n ＋1＝1，分别过点A 1、A 2、……、A n 、A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝2x 于点B 1、B 2、……、B n、B n＋1，连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、……、A n B n＋1、B n A n＋1，依次相交于点P1、P2、P3、……、P n，△A1B1P1、△A2B2P2、……、△A n B n P n的面积依次为S1、S2、……、S n，则S n为( )A.121nn++B.231nn-C.221nn-D.22+1nn7.(2014·内江)如图所示，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2 014个图形是 .△△□□□△○○□□□△○○□□□△○○□……8.（2014·娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由个▲组成.9.(2014·盐城)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S n的值为 .(用含n的代数式表示，n为正整数)类型之三点的坐标的变化规律例3 (2014·泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位臵，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位臵，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位臵，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A(53,0),B(0,4),则点B2 014的横坐标为 .【思路点拨】先根据勾股定理求出AB的长度，再根据第4个图形与第1个图形的位臵相同，可知每三个三角形为一个循环依次循环，然后求出每个循环组中B点坐标的变化规律即可.【解答】由题意可得：∵AO=53，BO=4，∴AB=133，∴OA+AB1+B1C2=53+133+4=6+4=10，∴B2的横坐标为10，B4的横坐标为2×10=20，∴点B2 014的横坐标为：20142×10=10 070.故答案为：10 070.方法归纳：由于图形在坐标系中的运动而导致的点的坐标的变化情况，先应该分析图形的运动规律，然后结合点在图形中的位臵找出点的坐标的变化规律.1.如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形.若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2 014的坐标为 .2.(2013·湛江)如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是，A22的坐标是 .3.(2014·孝感)正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放臵.点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y=x+1和x 轴上，则点B 6的坐标是 .4.(2014·德州)如图，抛物线y ＝x 2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A 1，A 2，A 3，…A n ，….将抛物线y ＝x 2沿直线l ：y ＝x 向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M 1，M 2，M 3，…M n ，…都在直线l ：y ＝x 上； ②抛物线依次经过点A 1，A 2，A 3，…A n ，…. 则顶点M 2 014的坐标为 .参考答案类型之一数式的变化规律1.(45，12) 3.102 0141=100=1023，4，2 014.故答案为102 014.4.a 4-4a 3b+6a 2b 2-4ab 3+b 45.()1212n n n n +++；1·2n n -()1112n n ++；12-211212⨯ 6.C 类型之二 图形的变化规律1.B2.B3.C提示：每一次操作三角形个数增加6个.4.B提示：每两个之间重叠部分的面积都等于正方形面积的14，正方形的面积为4，所以重叠部分的面积为1，n个正方形有(n-1)个重叠部分，故重叠部分的面积之和为(n-1).5.A6.D提示：A n B n当底，利用函数y＝2x即可求得，利用黑白三角形相似如△A1B1P1∽△B2A2P1等求得P n到A n B n的距离，从而得△A n B n P n的面积.7.正方形8.3n+19.24n-5提示：根据A点的坐标为(8,4)即可得出正方形的边长依次为20、21、22、23、…，第n个正方形的边长为2n-1计算,第n个阴影部分是在第2n-1和2n个正方形中，与求S2的方法一样，第n个阴影部分的面积是第2n-1个正方形面积的一半，∴S n=12×（22n-1-1）2=24n-5.类型之三点的坐标的变化规律1.(1,-1 007)2.(0，-8)提示：由于22÷3=7……1，而A1的坐标为(-1，-1)；A4的坐标为(-2，-2)；A7的坐标为(-3，-3)；……；A22的坐标为(-8，-8).3.(63，32)提示：A1(0,1)，B1(1，1);A2(1，2)B2(3，2),A3(3，4),B3(7，4);依次类推A n(2n-1,2n-1),所以B6(63，32).4.(4 027，4 027)提示：M1(a1，a1)是抛物线y1=(x-a1)2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=(x-a1)2+a1相交于A1，得x2=(x-a1)2+a1，即2a1x=a21+a1，x=12(a1+1).∵x为整数点，∴a1=1，M1(1，1)；同理M2(3，3)，M3(5，5)，……，∴M2 014(2 014×2-1，2014×2-1)，即M2014(4 027，4 027).。
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(2)如图2，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝ BC＝CD＝AD＝2. ∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC， PH⊥AD， ∴四边形PEBF是矩形，四边形PFCG
图2
是矩形，四边形PGDH是矩形，四边形PHAE是矩 形， ∴PE＝AH，PF＝BE，PG＝HD，PH＝AE， ∴PE＋PF＋PG＋PH＝AH＋BE＋HD＋AE＝AD＋ AB＝4.故答案为4. (3)设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2，
AC＝2，∠ABC＝60°，
图1
∴∠BAD＝30°，∴BD＝1，
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在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得∴AD ＝ 3， ∵S△ABP＋S△BCP＋S△ACP＝S△ABC. ∴12AB·r1＋12BC·r2＋12AC·r3＝12BC ×AD， ∵BC＝AC＝AB，∴r1＋r2＋r3＝AD. ∴r1＋r2＋r3＝ 3.
解析 ∵S1＝2a，∴S2＝S21＝1a，∴S3＝S22＝2a，S4＝ 1a，…，∴S2 012＝1a.故答案是1a.
答案
1 a
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二、图形归纳猜想题
此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形 的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．其解题关键 是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系．
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(1)理解与应用 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么 P 的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三 角形内任一点”，即：已知边长为 2 的等边△ABC 内任意一点 P 到各边的距离分别为 r1，r2，r3，试证 (明2)类：比r1＋与r推2＋理r3＝ 3. 边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于 ________；
始跳，则经过2 012次后它停在哪个数对应的点上
()
A．1
B．2
C．3
D．5
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解析 第1次跳后落在2上； 第2次跳后落在1上； 第3次跳后落在3上； 第4次跳后落在5上； … 4次跳后一个循环，依次在2，1，3，5这4个数上循环， ∴2 012÷4＝503，∴应落在5上．故选D.
答案 D
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四、类比归纳猜想题
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(3)设正 n 边形的边心距为 r，且正 n 边形的边长为 2， ∴S 正 n 边形＝22r×n. ∵S 正 n 边形＝12×2×r1＋12×2×r2＋12×2×r3＋…＋12×2 ×rn， ∴12×2×r1＋12×2×r2＋12×2×r3＋…＋12×2×rn＝22r ×n， ∴r1＋r2＋…＋rn＝nr(为定值)， ∵r＝tan90°－18n0°. 所以定值为 ntan90°－18n0°.
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(3)拓展与延伸
若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离 为r1，r2，…，rn，请问r1＋r2＋…＋rn是否为定值(用含n的式 子表示)，如果是，请合理猜测出这个定值．
解 (1)如图1，分别连接AP，BP，
CP，作AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝BC＝
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思路分析 解决这类题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验 证)”，具体做法： 1.认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间
的关系； 2.根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性
和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论； 3.结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性.
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专 题突 破
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一、数式归纳猜想题
这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的 共性规律，写出一个一般性的结论．找出题目中规律，即不变的和变 化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的关键．
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【例题 1】 (2012·浙江金华五模)已知 a≠0, S1＝2a，
S2＝S21，S3＝S22 ，…，S2 012＝S22011 ，则 S2 012＝ ________(用含 a 的代数式表示)．
类比归纳猜想题通常是指由两类对象的具有某些相同或相 似的性质，和其中一类对象的某些已知的性质，推断出另 一类对象也具有这些性质的一种题型，有时也指两个对象 在研究方法、学习过程上类比，考查类比归纳推理能力．
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【例题 4】 (2012·浙江一模)阅读材料：如图，△ABC 中，AB＝AC，P 为底边 BC 上任意一点，点 P 到 两腰的距离分别为 r1，r2，腰上的高为 h，连结 AP，则 S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，即：12AB·r1＋12AC·r2 ＝12AB·h，∴r1＋r2＝h.
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【例题2】 (2012·浙江宁波)用同样大小的黑色棋子 按如图所示的规律摆放：
(1)第5个图形有多少黑色棋子？ (2)第几个图形有2 013颗黑色棋子？请说明理由． 分析 (1)根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其 中的规律，即可得出答案． (2)根据(1)所找出的规律，列出方程，即可求出答 案．
专题三 归纳猜想问题
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专 题解 读
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考情透析 归纳猜想问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出 一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形 有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认 真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或 猜想出一般性的结论．考查学生的归纳、概括、类比能 力．有利于培养学生思维的深刻性论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况．发 现或归纳出周期性或规律性变化，是解题的关键．
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【例题3】 (2012·浙江金华一模)如 图，一只青蛙在圆周上标有数字 的五个点上跳，若它停在奇数点 上，则下次沿顺时针方向跳两个 点；若停在偶数点上，
则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开
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解 (1)寻找规律： 第一个图需棋子6＝3×2， 第二个图需棋子9＝3×3， 第三个图需棋子12＝3×4， 第四个图需棋子15＝3×5， ∴第五个图需棋子3×6＝18. ∴第5个图形有18颗黑色棋子． (2)由(1)可得，第n个图需棋子3(n＋1)枚 设第n个图形有2 013颗黑色棋子， 则3(n＋1)＝2 013 ，解得n＝670. ∴第670个图形有2 013颗黑色棋子.