第十八章 机械振动基础

n
g
st
方法三：已知系统的运动微分方程
A
d2x dt 2
Bx
0
n
B A
13
§4-1 单自由度系统的自由振动
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⑵ 振幅与初位相 简谐振动表达式 x Asin(nt )
振 幅 A — 相对于振动中心点O的最大位移
相位角 nt — 决定质点在某瞬时t 的位置
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§4-1 单自由度系统的自由振动
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无阻尼自由振动微分方程
d2x dt 2
n2
x
0
解为 x Asin(nt )
角度周期为2π，有 [n (t T ) ] (nt ) 2
则自由振动的周期为 T 2 n
n
2
1 T
2f
其中 f 1 — 频率 每秒振动次数(1/s,Hz赫兹) T
§4-1 单自由度系统的自由振动
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mg k st ; F k(x st )
由质点运动微分方程可得
l0
m
d2x dt 2
mg
k ( st
x)
mg k st
kx — 恢复力
st
Ox
F
（始终指向原点）
x
mg
只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动。
x
mg
方程解表示为 x C1 cosnt C2 sin nt
C1、C2为积分常数，由初始条件确定
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§4-1 单自由度系统的自由振动
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方程解表示为 x C1 cosnt C2 sin nt
设 A C12 C22
tan C1
C2
l0
st
微分方程的解 x Asin(nt )
初相位 — 决定质点运动的起始位置
自由振动的振幅A 和初相位θ是两个待定常数， 它们由运动的初始条件确定。
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§4-1 单自由度系统的自由振动
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简谐振动表达式 x Asin(nt ) 设t 0时，x x0，v v0 x An cos(nt )
x0 Asin ; v0 An cos
A
x
2 0
v02
n2
, tan n x0
v0
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§4-1 单自由度系统的自由振动
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例4-1 如图所示，质量为m = 0.5kg的物块沿光滑斜面无初速度 滑下。当物块下落高度h = 0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹
一、自由振动微分方程
模型：弹簧质量系统
（弹簧原长l0,刚性系数k）
l0
在重力作用下弹簧变形δst为
st
静变形，该位置为平衡位置。
Ox
Fst k st 平衡 mg k st
st
mg k
x
Fst
F mg
mg
取重物平衡位置O点为坐标原点，x 轴铅直向下为正;
弹簧力 F k(x st )
5
2
第四章 机械振动基础
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பைடு நூலகம்
按振动系统的自由度
单自由度系统的振动 多自由度系统的振动 弹性体的振动
按振动产生原因
自由振动 无阻尼自由振动
有阻尼自由振动
强迫振动 无阻尼的强迫振动
有阻尼的强迫振动
自激振动
本章只研究单自由度系统和两自由度系统的振动。
3
第四章 机械振动基础
Ox
无阻尼自由振动是简谐振动
x
运动图线 x
A x0
Ot n
t t+T
F
mg
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§4-1 单自由度系统的自由振动 二、无阻尼自由振动的特点
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1、固有频率 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动 任意t 时刻的运动规律为 x(t) x(t T ) — 周期函数 T — 周期 单位：秒 (s) 无阻尼自由振动经过时间T后又重复原来的运动
固有频率是振动理论中的重要概念，它反映了 振动系统的动力学特性，计算系统的固有频率是研究 系统振动问题的重要课题之一。
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§4-1 单自由度系统的自由振动
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由
m
P;k P
g
st
n
k m
g
st
若已知无阻尼自由振动系统在重力作用下的静变 形，就可求得系统的固有频率。
n 2f — 圆频率 2π秒内振动次数(rad/s,弧度/秒)
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§4-1 单自由度系统的自由振动
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n2
k m
n
k m
— 固有圆频率
自由振动的圆频率ωn只与表征系统本身特性的质 量m 和刚度k有关，而与运动的初始条件无关，它是
振动系统的固有特性 。
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1 单自由度系统的自由振动 2 计算固有频率的能量法 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 6 转子的临界转速
7 隔振
4
§4-1 单自由度系统的自由振动
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簧不再分离。弹簧刚度k = 0.8 kN/m，倾角β= 30°，求此系统振
动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。
解:⑴ 取质量弹簧系统为研究对象
物块在平衡位置时，弹簧变形量
0
mg
sin k
x
k0 0
F
O
mg
mg FN
如：我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢 上下振动的频率。
满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大，则其振动 频率比空载车厢低。
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§4-1 单自由度系统的自由振动
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固有频率的确定方法：
方法一:
n
k m
方法二：弹簧质量系统平衡时 mg kst
k m
g
st
理论力学
1
第四章 机械振动基础
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说话，声带振动 听声，耳膜振动
振动: 物体在平衡位置附近往复运动
利：振动给料机 振动筛 振动沉拔桩机
弊：磨损,减少寿命,影响强度 引起噪声,影响劳动条件 消耗能量,降低精度
研究振动的目的： 消除或减小有害振动，充分利用有利振动。
令
n2
k m
d2x dt 2
n2 x
0
—
无阻尼自由振动微 分方程的标准形式
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§4-1 单自由度系统的自由振动
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d2x dt 2
n2
x
0
— 二阶齐次线性常 系数微分方程
l0
设 x ert
st
代入微分方程得特征方程 r 2 n2 0 O x
F
两个根为 r1 in; r2 in