第十八章 机械振动基础
机械振动基础
固有频率及固有周期
n
def
k m
只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。
Tn
def
2
n
2
m k
固有周期
例 图示的直升机桨叶 经实验测出其质量为m， 质心C距铰中心O距离 为l。现给予桨叶初始 扰动，使其微幅摆动， 用秒表测得多次摆动 循环所用的时间，除 以循环次数获得近似 的固有周期，试求桨 叶绕垂直铰O 的转动惯量。
def
e nt e n ( t Td )
n Td
2 1
2
2
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
e. 自由振动中含有的阻尼信息提供了由实验确 定系统阻尼的可能性。通常，可根据实测的 自由振动，通过计算振幅对数衰减率来确定 系统的阻尼比。
Vmax
1 mg( R r ) 2 , m 2
Tref
3 m( R r ) 2 2 m 4
Vmax n T ref
2g 3( R r )
2.3 粘性阻尼系统的自由振动
k (u+ s) cu k m c
s
k m f (t )
c u u
b
m O mg f (t )
c
这种性质称为等时性。
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
c. 阻尼固有频率和阻尼固有周期是阻尼系统自 由振动的重要参数。当阻尼比很小时，它们 与系统的固有频率、固有周期差别很小，甚 至可忽略。 d. 为了描述振幅衰减的快慢，引入振幅对数衰 减率。它定义为经过一个自然周期相邻两个 振幅之比的自然对数
ln
单自由度系统在外激励作用下振动的微分方程
机械基础振动笔记
机械基础振动笔记一、振动的基本概念。
1. 定义。
- 机械振动是指物体在平衡位置附近做往复运动。
例如，钟摆的摆动，汽车在不平整路面行驶时车身的上下晃动等。
2. 振动系统的组成要素。
- 质量（惯性元件）- 是振动系统中具有惯性的部分。
质量的存在使得物体在受力时不能立即改变运动状态，而是按照牛顿第二定律产生加速度。
例如，在弹簧 - 质量系统中，质量块就是提供惯性的部分。
- 弹簧（弹性元件）- 它能够储存和释放能量，提供弹性恢复力。
当弹簧被拉伸或压缩时，会产生与变形量成正比的力，遵循胡克定律 F = kx（k为弹簧刚度，x为弹簧变形量）。
- 阻尼器（阻尼元件）- 阻尼器的作用是消耗振动系统的能量。
它产生的阻尼力与物体的运动速度有关，常见的有粘性阻尼，其阻尼力F_d = c ẋ（c为阻尼系数，ẋ为速度）。
二、简谐振动。
1. 运动方程。
- 简谐振动是最简单、最基本的振动形式。
其运动方程为x = Asin(ω t+φ)。
- 其中，x表示振动体偏离平衡位置的位移；A为振幅，它表示振动的最大位移；ω为角频率，ω=√(frac{k){m}}（对于弹簧 - 质量系统，k为弹簧刚度，m为质量），单位是rad/s；t为时间；φ为初相位，它决定了振动的初始状态。
2. 速度和加速度。
- 速度。
- 对位移方程求导可得速度方程：ẋ=Aωcos(ω t +φ)。
速度的最大值为v_max=Aω。
- 加速度。
- 对速度方程求导可得加速度方程：ẍ=-Aω^2sin(ω t+φ)。
加速度的最大值为a_max=Aω^2。
三、自由振动。
1. 无阻尼自由振动。
- 对于弹簧 - 质量系统，无阻尼自由振动的运动方程为m ẍ+kx = 0。
- 其解为x = Asin(ω t+φ)，其中ω=√(frac{k){m}}，振动周期T=(2π)/(ω)=2π√(frac{m){k}}，频率f=(1)/(T)=(1)/(2π)√(frac{k){m}}。
机械振动知识点
机械振动知识点引言：机械振动是工程学中一个重要的研究领域，涉及到许多基础概念和技术。
在现代工程中，机械振动的理论和应用广泛存在于各个行业，为我们理解和应对振动问题提供了重要的参考。
本文将探讨机械振动的一些基本概念和相关知识点。
一、振动的定义和分类机械振动是指物体在受到外力作用后，发生周期性的来回运动。
振动可以分为自由振动和受迫振动两种形式。
自由振动是指系统在无外力作用下的振动，主要受到初始条件的影响。
受迫振动则是在外力作用下发生的振动，外力可能是周期性的或非周期性的，对物体的振动状态有影响。
二、振动的参数和描述方法了解机械振动的参数和描述方法对于研究和分析振动问题至关重要。
常见的振动参数包括振幅、周期、频率和相位等。
振幅是指物体在振动过程中达到的最大位移距离；周期是指物体完成一个完整振动周期所用的时间；频率是指单位时间内振动完成的周期数；相位表示物体当前位置相对于某一特定位置的相对位置关系。
通过这些参数的描述，我们能够更加准确地刻画振动的特征和性质。
三、单自由度系统的振动在机械振动研究中，单自由度系统是最基本的模型。
它是指一个物体在沿一个特定方向上的振动，如弹簧和质点的振动。
对于单自由度系统，可以通过求解微分方程来获得振动的解析解，进一步揭示振动的特性和规律。
其中，阻尼和劲度是单自由度振动最关键的参数，影响着振动的衰减和频率等特性。
四、多自由度系统的振动除了单自由度系统，还存在着多自由度系统的振动。
这类系统包含有多个振动部件，相互之间有耦合关系，振动会以不同的模态和频率发生。
因此，研究多自由度系统的振动需要考虑更多的因素和参数。
通过模态分析和矩阵计算等方法，我们可以得到多自由度系统的共振频率、模态形式和振动特性等信息。
五、振动控制和减振对于某些工程应用来说，振动可能是不可避免的，但我们可以采取一些措施来控制和减小振动的影响。
振动控制技术包括主动控制、被动控制和半主动控制等，通过对系统施加合适的力或刚度，可以改变振动的状态和特性。
机械振动基础
机械振动基础1. 引言机械振动是工程中一个重要的概念，在各种机械设备中都会出现振动现象。
了解机械振动的基础知识对于设计、分析和维护机械系统都至关重要。
本文将介绍机械振动的基本概念、分类以及振动分析的方法。
2. 机械振动的概念机械振动是指机械系统中物体在某一参考点附近以往复运动的方式进行振荡。
振动可由外力引起，也可由机械系统本身的结构、弹性特性或制动装置等因素引起。
机械振动可分为自由振动和受迫振动两种形式。
自由振动是指机械系统在无外力作用下，自身的动力系统引起的振动。
受迫振动是指机械系统在外力作用下，强制性地以某种频率进行振动。
3. 机械振动的分类根据振动的特性和产生机制，机械振动可分为以下几类：3.1 自由振动自由振动是机械系统在无外力作用下，由于初位置、初速度或初形状等因素引起的振动。
在自由振动中，机械系统会按照一定的频率（固有频率）和振幅进行振动，直至最终停止。
3.2 受迫振动受迫振动是机械系统在外力作用下进行的振动。
外力的作用可能是周期性的，也可能是随机的。
受迫振动的频率与外力的频率相同或有一定的关系。
3.3 维持振动维持振动是指机械系统中某个部件受到外力作用后，振动会持续存在，没有衰减的现象。
维持振动往往是由于机械系统的频率与外力频率非常接近或相同。
3.4 阻尼振动阻尼振动是指机械系统在振动过程中，由于能量的损耗而逐渐减小振幅的过程。
阻尼可以分为线性阻尼和非线性阻尼两种形式。
4. 振动分析方法为了对机械系统中的振动进行分析和评估，需要采用相应的振动分析方法。
以下是几种常用的振动分析方法：4.1 振动传感器振动传感器是用来检测机械系统中的振动信号的装置。
常用的振动传感器包括加速度传感器、速度传感器和位移传感器等。
这些传感器能够测量机械系统中的振动信号，并将其转化为电信号供后续分析。
4.2 频域分析频域分析是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
通过对振动信号进行傅里叶变换等数学处理，可以将振动信号转化为频谱图并分析其中的频率成分和幅值。
初中物理机械振动知识点详解
初中物理机械振动知识点详解1. 什么是机械振动机械振动指的是物体在受到外力作用后产生的周期性运动。
在机械振动中，物体会围绕某个平衡位置做往复运动。
2. 机械振动的基本特征机械振动具有以下基本特征：- 振动的物体有一个平衡位置，即物体在没有外力作用时所处的位置。
- 振动的物体围绕平衡位置做往复运动，即在两个极端位置之间来回运动。
- 振动是周期性的，即在一定的时间内重复发生。
- 振动的物体有一个振动的幅度，即离开平衡位置的最大距离。
3. 机械振动的分类机械振动可以分为以下几类：- 自由振动：物体在没有外力作用下的振动，例如摆钟。
- 强迫振动：物体在外力的作用下进行的振动，例如摩擦力使得弹簧振子振动。
- 受迫振动：物体在外力周期性作用下的振动，例如风吹树木摆动。
4. 机械振动的重要参数在机械振动中，有几个重要的参数需要了解：- 振动周期（T）：振动完成一个往复运动所需的时间。
- 振动频率（f）：振动完成一个往复运动所需的次数。
- 振动幅度（A）：物体离开平衡位置的最大距离。
- 振动角频率（ω）：振动频率与2π的乘积。
- 振动频率与周期的关系：f = 1 / T，频率和周期是倒数关系。
5. 机械振动的过程机械振动的过程包括以下几个阶段：- 起始阶段：物体受到外力的作用，开始从平衡位置偏离。
- 最大位移阶段：物体离开平衡位置，达到最大偏离距离。
- 回复阶段：物体开始回到平衡位置，速度逐渐减小。
- 平衡阶段：物体回到平衡位置，速度为零。
6. 机械振动的影响因素机械振动受以下几个因素影响：- 物体的质量：质量越大，振动的惯性越大。
- 物体的弹性恢复力：恢复力越大，振动的频率越高。
- 外力的大小和方向：外力的大小和方向会改变振动的幅度和方向。
- 空气阻尼：空气的阻力会减弱振动的幅度和周期。
7. 机械振动的应用机械振动在生活中有着广泛的应用，例如：- 摇篮摇晃：通过摇篮的周期性摆动，帮助婴儿入睡。
- 震动筛分：将颗粒品进行分离，根据颗粒的大小进行筛选。
大学物理学 机械振动
大学物理学中的机械振动是指物体在受到外力作用后，产生周期性的来回振动运动的现象。
以下是关于机械振动的一些基本概念和内容：
1. 振动的基本特征
-周期性：振动是一个周期性的过程，即物体在围绕平衡位置来回振动。
-频率：振动的频率指的是单位时间内振动的周期数，通常用赫兹（Hz）表示。
-振幅：振动的振幅是物体从平衡位置最大偏离的距离。
2. 单自由度振动系统
-弹簧振子：是一种经典的单自由度振动系统，由弹簧和质点组成，受到弹簧的恢复力驱使质点振动。
-简谐振动：在没有阻尼和外力干扰的情况下，弹簧振子的振动是简谐的，即振动周期固定，频率与系统的固有频率相关。
3. 振动的参数和描述
-角频率：振动描述中常用的参数之一，表示振动的快慢程度，与频率之间有一定的关系。
-相位：描述振动状态的参数，表示振动的相对位置或状态。
-能量：振动系统具有动能和势能，能量在振动过程中不断转换，影响着振动的特性。
4. 阻尼振动和受迫振动
-阻尼振动：在振动系统中存在阻尼，会导致振动逐渐减弱，最终趋于稳定。
-受迫振动：当振动系统受到外力周期性作用时，会产生受迫振动，其频率与外力频率相同或有关。
5. 振动的应用
-工程领域：振动理论在工程领域有着广泛的应用，如建筑结构的抗震设计、机械系统的振动分析等。
-科学研究：振动理论也在物理学、工程学、生物学等领域中发挥重要作用，帮助解释和研究各种现象和问题。
以上是关于大学物理学中机械振动的一些基本内容和相关概念，希望能帮助您更好地理解这一领域的知识。
绪论：机械振动基础
步骤 4 ：结果分析
对振动现象进行分析，对系统进行优动系统的研究内容
1．响应分析（正问题）
已知系统参数及外界激励
求系统的响应(位移、速度、加速度和力的响应等）
激励 输入
√
系统
响应 输出
√
?
主要任务在于验算结构、产品等在工作时的动力响 应，是否满足预定的安全要求或其它要求
振动系统的研究内容
1．响应分析
车辆在给定的路面上行走，求车身的加速度响应
a1x1(t) +a2x2(t)
振动分析的一般步骤
步骤 1 ：建立数学模型
建立数学模型的目的是揭示系统的重要特性，从而得到描述系 统动力学特性的控制方程
步骤 2 ：推导控制方程
应用牛顿第二定律、能量守恒原理推导描述系统变化规 律的运动微分方程。
步骤 3 ：求解控制方程的解
为了得到控制系统的响应规律，必须求解控制方程。方 法：拉普拉斯变换、Matlab数值计算等
2．系统设计和系统辨识
已知路面 和 加速度 求车身刚度和阻尼系数
c x
k c k c
振动系统的研究内容
3．环境预测
（第二个 逆问题） 已知系统响应和系统参数
求系统激励
激励 输入
?
系统
响应 输出
√
√
振动系统的研究内容
3．环境预测
振源判断、载荷识别、基于振动 信号的工况监视与故障诊断。
用五轮仪来测量路面的不平度 对于五轮仪，其系统特性已知，通过测量五轮 仪的输出，可以反推出路面的不平度特性。
振动系统的分类
按自由度划分
自由度：机构具有确定运动时所必须 给定的独立运动参数的数目 离散系统：可用有限数量自由度描述的系 统，也称集中参数系统 连续系统：具有无限多个自由度的系统， 也称分布参数系统
机械振动基础课后习题答案
机械振动基础课后习题答案1. 简谐振动的特点是什么？简述简谐振动的基本方程。
答：简谐振动是指振动系统在无外力作用下，自身受到弹性力作用而产生的振动。
其特点有以下几点：振动周期固定、振幅不变、振动轨迹为正弦曲线。
简谐振动的基本方程为x = A*cos(ωt + φ)，其中x为振动的位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
2. 简述自由振动、受迫振动和阻尼振动的区别。
答：自由振动是指振动系统在无外力作用下，自身受到弹性力作用而产生的振动。
受迫振动是指振动系统在外力作用下，产生与外力频率相同的振动。
阻尼振动是指振动系统在有阻尼力作用下，产生的振动。
三者的区别在于外力的有无和阻尼力的存在与否。
3. 什么是振动的自由度？简述单自由度振动和多自由度振动的特点。
答：振动的自由度是指描述振动系统所需的独立坐标的个数。
单自由度振动是指振动系统所需的独立坐标只有一个，可以用一个坐标来描述整个振动系统。
多自由度振动是指振动系统所需的独立坐标大于一个，需要多个坐标来描述整个振动系统。
单自由度振动的特点是简单、容易分析，而多自由度振动具有更复杂的动力学特性。
4. 简述振动系统的自然频率和强迫频率。
答：振动系统的自然频率是指系统在无外力作用下自由振动时的频率。
自然频率只与系统的质量、刚度和几何形状有关。
强迫频率是指系统在受到外力作用下振动的频率。
强迫频率可以是任意频率，与外力的频率相同或不同。
5. 什么是共振？简述共振现象的发生条件。
答：共振是指振动系统在受到外力作用下，当外力的频率接近系统的自然频率时，振动幅度达到最大的现象。
共振现象发生的条件包括：外力的频率接近系统的自然频率，外力的幅度足够大，系统的阻尼较小。
6. 简述振动系统的阻尼对振动的影响。
答：阻尼对振动有以下几种影响：阻尼可以减小振幅，使振动逐渐衰减；阻尼可以改变振动的频率，使其偏离自然频率；阻尼可以引起相位差，使振动的相位发生变化。
7. 什么是振幅衰减？简述振幅衰减的特点。
机械振动知识点总结
机械振动知识点总结机械振动是指机械系统在运动过程中由于受到外界激励或系统自身激励而产生的振动现象。
它是研究机械系统动态特性的重要内容之一，也是工程实践中常见的问题。
了解机械振动的知识点，有助于我们更好地设计、分析和改进机械系统，提高系统的稳定性和可靠性。
振动的基本概念。
振动是指物体围绕平衡位置作周期性的往复运动。
在机械系统中，振动可以分为自由振动和受迫振动两种。
自由振动是指系统在没有外界激励的情况下的振动现象，而受迫振动是指系统受到外界激励后的振动现象。
振动的基本参数包括振幅、频率、周期和相位等，这些参数描述了振动的特征和规律。
振动的分类。
根据振动的性质和特点，可以将机械振动分为线性振动和非线性振动。
线性振动是指系统的振动方程是线性的，振动的特性随时间不变；非线性振动是指系统的振动方程是非线性的，振动的特性随时间变化。
此外，振动还可以根据激励方式分为强迫振动和自激振动，根据系统的自身特性分为自由振动和阻尼振动等。
振动的原因。
机械系统产生振动的原因有很多，主要包括外界激励、系统失稳、系统结构设计缺陷、材料疲劳等。
外界激励是指系统受到外部力或扰动的作用，导致系统产生振动；系统失稳是指系统在特定条件下失去平衡，从而产生振动；系统结构设计缺陷和材料疲劳会导致系统在运行过程中出现振动问题。
振动的影响。
机械振动会对系统的性能和稳定性产生不利影响。
首先，振动会增加系统的能量损耗，降低系统的效率；其次，振动会导致系统的磨损加剧，缩短系统的使用寿命；最后，振动还会引起噪音和震动，影响设备的正常运行和人员的工作环境。
振动的控制。
为了减小振动对机械系统的影响，需要采取相应的振动控制措施。
常见的振动控制方法包括加阻尼、加质量、改变系统刚度、采用主动振动控制和半主动振动控制等。
这些方法可以有效地减小振动的幅值和频率，提高系统的稳定性和可靠性。
总结。
机械振动是机械系统中常见的动态现象，了解振动的基本概念、分类、原因、影响和控制方法对于工程实践具有重要意义。
机械振动基础
六、谐振微分方程
dV d 2 x a= = 2 = ω2 Acos(ωt + ) = ω2 x dt dt d2x 谐振微分方程 +ω 2 x = 0 ——谐振微分方程 2 dt Q 2 d Q 1 + Q=0 C L 2 LC dt Q
ω=
1 LC
注意：谐振微分方程中因变量前的系数是大于零的常数 注意：
x0 = 1 = 2cos ， cos = 1/ 2 x0 < 0 ， V0 < 0 ， ∈ΙΙ ， = 2π / 3
4π 2π ω = 4π / 3 ， x = 2cos( t + )(cm) 3 3
位相是决定质点振动状态的物理量 注意与“ 注意与“A、 、 是描述简谐振动的物理量”的区别 ω 是描述简谐振动的物理量” 五、谐振质点的速度和加速度 位移 x = Acos(ωt + )
dx = ωAsin( ωt + ) dt dV 加速度 a = = ω 2 Acos(ωt + ) dt
速度 V =
2 0
V x0 或 tg = 0 A = x + 2 ， cos = ωx0 A ， ω
ω
x0 > 0, V0 > 0, ∈ΙV
A
ω x
A
x
x0 > 0, V0 < 0, ∈Ι
ω x A x0 > 0, V0 > 0, ∈ΙV
ω
A
x0 > 0, V0 < 0, ∈Ι
x
A
x0 < 0, V0 > 0, ∈ΙΙΙ
机械振动基础
第1 节
一、定义
简谐振动运动学
x = Acos(ωt + )，
【精品课件】机械振动基础
而产生的振动 随机振动 :系统在随机激励作用下的振动
单自由度系统振动 多自由度系统振动 连续系统振动
线性振动 非线性振动
第15-1节
单自由度振动的线性化方程
单自由度系统的微振动
微振动 — 质系在它的稳定平衡位形附近的 微幅振动。也称为线性振动。
Ah
例3
以物块的静平衡
位置O为坐标原
点，建立坐标系。
受力图如图示。
物块的运动微分
方程为：
x
解
x
o
A
h
F
O
mg N
m x m gsin k(0x) x p2x 0 p40rad/s
初始条件为：x 0 0 3 .0 6 m m ,x 02 g h 1 .4 m /s
A x 0 2 x 0 2 /p 2 3 5 . 1 m m , a r c t a n ( p x 0 / x 0 ) 0 . 0 8 7 r a d
坐标原点取在静平衡位置
m xm gk(sx)
k
mxkx
mxkx0
O'
k
l0
O
s
m x l0
s
xAsin(pta)
m
x
返回
固有频率的计算方法
运动微分方程法
x p2x 0
静变形法
p k kg g
m mg s
能量法 xAsin(pt)
T1mA2p2cos2(pt) V1kA2sin2(pt)
2
2
机械振动基础
振动是工程中常见的现象 汽车在不平的路面上颠簸 发动机运转 结构物受阵风、波浪或地震的作用
机械振动基础.
J m 2 R
2 d s 2 ks mg dt
s
（2）相对于系统平衡 状态伸长x，系统的运 动微分方程为：
F
v
l0
x
s
mg
0 x
0
平衡位置
J m 2 R
2 d x 2 kx 0 dt
√
6
小阻尼振动曲线 5 4 3 2 1
振幅
0 -1 -2 -3 -4 -5 0 5 10 时间 15 20
1 0.5
v t x t An cos nt
x
2
a a
4
v v
6 8 10 12 14
t
27
-0.5 -1
Fig. 2
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动
练习1
图示的弹簧质量系统，已 知：弹簧的刚度系数为k，质 量块的质量为m，将质量块缓 慢向下移动a0后，在t=0的时 刻突然放开。 试求质量块的运动规律。
2 C12 C2 sin( n t )
令： C12 C22 A,
x A sin(nt )
24
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动 §2 单自由度系统的无阻尼自由振动
2.1 振动微分方程： x t A sin n t
2.2 振动的特点 周期函数： x t x t T , T T : 周期，单位为秒（s ）。
激励（输入）
√
振动系统
？ √
响应（输出）
16
1.2 振动系统
3．环境预测
已知: 系统参数和系统响应，
确定: 系统的激励.
激励（输入）
机械振动基础培训讲义课件
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos
mg
F k( st a sin )
考虑到微转角,则 cos 1, sin
在静平衡位置处，有
mgl k sta
JO
d 2
dt 2
mgl k( st
a)a
ka2
l
JO ka2 0
n a
1. 阻 尼
阻尼－系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑
表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的 阻力。
物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系
Fc cv
C－粘性阻尼系数或粘阻系数
2. 振动微分方程
取平衡位置为坐标原点，在建 立此系统的振动微分方程时， 可以不再计入重力的影响。
Fk kx 弹性恢复力 Fc cx 粘性阻尼力
my ky 0 meq keq＝F0sin( t)
非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将得到非 线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。
按系统的自由度划分：
单自由度振动－一个自由度系统的振动。
多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的振动。
连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统具有无 穷多个自由度。
物块的运动微分方程为
m
d2x dt 2
kx
c
dx dt
令:
2 n
k m
,
n c 2m
Fk Fc k
O
m v
x
c m
d2 dt
x
2
2n
dx dt
2 n
x
0
d2 dt
机械振动基础
例如
电机放在钢梁上，由于偏心质量引起振动，略 去钢梁的质量，把它简化成一个弹簧加一个阻尼器， 这就是单自由度系统有阻尼受迫振动的问题。
自由度——决定系统在任何瞬时几何位 置的独立坐标的个数（或参数）。
再如，当我们用有限元素法求解振动问题时， 也要把无限自由度系统简化成有限自由度系统。
13
机械振动基础
1 1 1 1 1 1 K min 2 K B K BR KC min K N K NR
5
振动是日常生活和工程实际中常见的现象。
广义地说，任何物理量交替增减变化的现象都叫做振动。
例如：钟表摆的来回摆动，交流电路中电流的交替增减， 电磁场的交替变化等等，都可以看成振动现象。振动现象很多， 分属不同学科领域，我们这里研究的是机械系统的振动问题。
则自由振动的微分方程的标准形式：
2 q n q 0
解为：
q A sin( nt )
18
q 设 t = 0 时， q0 , q q0
则可求得：
A
或：
2 q0
q0 2
2 n
, arctg
n q0
q0
q C1 cos n t C2 sin n t
性阻尼。
投影式：
R cv
Rx cx
23
c —— 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。
2、有阻尼自由振动微分方程及其解：
mx 弹簧—质量系统存在粘性阻尼： kx cx
k c 令 , m 2mn
2 n 2 则 2n x n x 0 x
11
5、按描述振动系统的自由度分 1.单自由度系统振动——用一个独立坐标就能 确定的系统的振动。 2.多自由度系统振动——用多个独立坐标才能 确定的系统的振动。 3.无限自由度系统振动——即弹性体的振动， 需用无限多个独立坐标（位移函数）才能确定系统 的振动。 我们研究的是弹性体振动问题，实际上都是属于无 限自由度系统的振动。但是，这要求解偏微分方程，只 对简单的情况才能求解。因此，对于大量的工程振动问 题，是按其具体情况，抓住主要矛盾，简化为有限自由 度问题去求解。 12
机械振动基础李晓蕾知识点总结
机械振动基础李晓蕾知识点总结
一、机械振动基础概念
机械振动是指机械系统在运动过程中发生的振动现象。
机械振动基础是研究机械系统振动的基本理论和方法，包括自由振动、强迫振动、阻尼振动等内容。
二、自由振动
自由振动是指机械系统在无外力作用下，由于初始位移或初始速度而引起的周期性运动。
自由振动的特点是周期性、渐减、共振等。
三、阻尼振动
阻尼是指机械系统受到摩擦力或空气阻力等因素的影响而逐渐减少能量。
阻尼对于机械系统的运行稳定性有重要影响，可以分为线性阻尼和非线性阻尼。
四、强迫振动
强迫振动是指机械系统受到外部周期性力作用时发生的周期性运动。
强迫振动可以分为共鸣和非共鸣两种情况，共鸣时会增加能量并导致损坏。
五、模态分析
模态分析是指对于复杂结构进行分解，将其分解为一系列简单的振动模态，以便于进行分析和计算。
模态分析可以用于机械系统的优化设计和故障诊断等方面。
六、振动测量
振动测量是指对机械系统振动参数进行实时监测和记录，以便于进行
故障诊断和预防性维护。
振动测量可以通过加速度计、速度计、位移
传感器等设备进行。
七、常见故障及处理方法
机械系统常见的故障包括不平衡、失衡、松动等问题。
处理方法包括
平衡校正、紧固螺栓、更换零部件等措施。
八、结论
机械振动基础是研究机械系统运行稳定性和故障诊断的重要基础理论。
了解自由振动、阻尼振动、强迫振动等内容，掌握模态分析和振动测
量技术，能够有效地预防和解决机械系统故障问题。
机械振动基础
机械振动基础机械振动是机械工程领域中一个重要的研究方向，涉及到物体在受到外部作用力的作用下发生的周期性运动。
本文将介绍机械振动的基础知识和相关的理论模型。
一、机械振动的概述机械振动是指物体在受到外力作用下，由平衡位置发生偏移，并随后发生周期性的来回摆动。
机械振动可以分为自由振动和受迫振动两种情况。
自由振动是指物体在无外力作用下的振动，而受迫振动则是物体在外力作用下的振动。
二、机械振动的基本特征1. 振幅：振幅是指物体离开平衡位置最大的偏移量。
振幅大小与外力的大小有关。
2. 周期：周期是指物体完成一个完整振动所需要的时间。
3. 频率：频率是指单位时间内完成的振动次数，用赫兹（Hz）表示，频率与周期的倒数成正比。
4. 相位：相位是指物体在某一时刻相对于某一个基准点的偏移角度。
三、机械振动的理论模型1. 单自由度系统：单自由度系统是指由一个质点和一个弹簧组成的振动系统。
在单自由度系统中，质点的运动可以用二阶线性微分方程描述，常见的模型包括单摆、弹簧振子等。
2. 多自由度系统：多自由度系统是指由多个质点和多个弹簧组成的振动系统。
在多自由度系统中，每个质点都有自己的运动方程，质点之间通过弹簧相连。
多自由度系统的振动会引发模态分析等问题。
3. 非线性振动系统：非线性振动系统是指振动系统中的力学特性不满足线性叠加原理的系统。
在非线性振动系统中，物体的振动会呈现出复杂的现象，如混沌、周期倍增等。
四、机械振动的应用机械振动的研究和应用涉及到很多领域，如工程领域的结构振动分析、振动控制、物体的动态特性研究等。
机械振动的应用可以用于改善工程设计、预测结构的损伤、提高设备的可靠性等。
总结：机械振动是机械工程中一项重要的研究内容，我们对其基本概念进行了介绍，并介绍了机械振动的特征和理论模型。
机械振动在实际应用中有着广泛的应用价值，对于提高工程设计的可靠性和减小结构的破坏性具有重要作用。
更深入地研究机械振动的特性和机理，对于改善工程设计和提高设备的运行效率具有重要意义。
第十八章机械振动基础
初相位 — 决定质点运动的起始位置
自由振动的振幅A 和初相位θ是两个待定常数， 它们由运动的初始条件确定。
15
§4-1 单自由度系统的自由振动
Northeastern University
简谐振动表达式 x Asin(nt ) 设t 0时，x x0，v v0 x An cos(nt )
Northeastern University
§4-1 单自由度系统的自由振动
Northeastern University
方程解表示为 x C1 cosnt C2 sin nt
设 A C12 C22
tan C1
C2
l0
st
微分方程的解 x Asin(nt )
Ox
无阻尼自由振动是简谐振动
n 2f — 圆频率 2π秒内振动次数(rad/s,弧度/秒)
11
§4-1 单自由度系统的自由振动
Northeastern University
n2
k m
n
k m
— 固有圆频率
自由振动的圆频率ωn只与表征系统本身特性的质 量m 和刚度k有关，而与运动的初始条件无关，它是
振动系统的固有特性 。
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
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动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。
解:⑴ 取质量弹簧系统为研究对象
物块在平衡位置时，弹簧变形量
0
mg
sin k
x
k0 0
F
O
mg
mg FN
如：我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢 上下振动的频率。
满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大，则其振动 频率比空载车厢低。
12
§4-1 单自由度系统的自由振动
Northeastern University
固有频率的确定方法：
方法一:
n
k m
方法二：弹簧质量系统平衡时 mg kst
k m
g
st
n
g
st
方法三：已知系统的运动微分方程
A
d2x dt 2
Bx
0
n
B A
13
§4-1 单自由度系统的自由振动
Northeastern University
⑵ 振幅与初位相 简谐振动表达式 x Asin(nt )
振 幅 A — 相对于振动中心点O的最大位移
相位角 nt — 决定质点在某瞬时t 的位置
初相位 — 决定质点运动的起始位置
自由振动的振幅A 和初相位θ是两个待定常数， 它们由运动的初始条件确定。
14
§4-1 单自由度系统的自由振动
Northeastern University
简谐振动表达式 x Asin(nt ) 设t 0时，x x0，v v0 x An cos(nt )
2
第四章 机械振动基础
Northeastern University
按振动系统的自由度
单自由度系统的振动 多自由度系统的振动 弹性体的振动
按振动产生原因
自由振动 无阻尼自由振动
有阻尼自由振动
强迫振动 无阻尼的强迫振动
有阻尼的强迫振动
自激振动
本章只研究单自由度系统和两自由度系统的振动。
3
第四章 机械振动基础
§4-1 单自由度系统的自由振动
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mg k st ; F k(x st )
由质点运动微分方程可得
l0
m
d2x dt 2
mg
k ( st
x)
mg k st
kx — 恢复力
st
Ox
F
（始终指向原点）
x
mg
只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动。
固有频率是振动理论中的重要概念，它反映了 振动系统的动力学特性，计算系统的固有频率是研究 系统振动问题的重要课题之一。
11
§4-1 单自由度系统的自由振动
Northeastern University
由
m
P;k Pgstnk mg
st
若已知无阻尼自由振动系统在重力作用下的静变 形，就可求得系统的固有频率。
n 2f — 圆频率 2π秒内振动次数(rad/s,弧度/秒)
10
§4-1 单自由度系统的自由振动
Northeastern University
n2
k m
n
k m
— 固有圆频率
自由振动的圆频率ωn只与表征系统本身特性的质 量m 和刚度k有关，而与运动的初始条件无关，它是
振动系统的固有特性 。
令
n2
k m
d2x dt 2
n2 x
0
—
无阻尼自由振动微 分方程的标准形式
6
§4-1 单自由度系统的自由振动
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d2x dt 2
n2
x
0
— 二阶齐次线性常 系数微分方程
l0
设 x ert
st
代入微分方程得特征方程 r 2 n2 0 O x
F
两个根为 r1 in; r2 in
Ox
无阻尼自由振动是简谐振动
x
运动图线 x
A x0
Ot n
t t+T
F
mg
8
§4-1 单自由度系统的自由振动 二、无阻尼自由振动的特点
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1、固有频率 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动 任意t 时刻的运动规律为 x(t) x(t T ) — 周期函数 T — 周期 单位：秒 (s) 无阻尼自由振动经过时间T后又重复原来的运动
9
§4-1 单自由度系统的自由振动
Northeastern University
无阻尼自由振动微分方程
d2x dt 2
n2
x
0
解为 x Asin(nt )
角度周期为2π，有 [n (t T ) ] (nt ) 2
则自由振动的周期为 T 2 n
n
2
1 T
2f
其中 f 1 — 频率 每秒振动次数(1/s,Hz赫兹) T
Northeastern University
1 单自由度系统的自由振动 2 计算固有频率的能量法 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 6 转子的临界转速
7 隔振
4
§4-1 单自由度系统的自由振动
Northeastern University
一、自由振动微分方程
模型：弹簧质量系统
（弹簧原长l0,刚性系数k）
l0
在重力作用下弹簧变形δst为
st
静变形，该位置为平衡位置。
Ox
Fst k st 平衡 mg k st
st
mg k
x
Fst
F mg
mg
取重物平衡位置O点为坐标原点，x 轴铅直向下为正;
弹簧力 F k(x st )
5
x0 Asin ; v0 An cos
A
x
2 0
v02
n2
, tan n x0
v0
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§4-1 单自由度系统的自由振动
Northeastern University
例4-1 如图所示，质量为m = 0.5kg的物块沿光滑斜面无初速度 滑下。当物块下落高度h = 0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹
x
mg
方程解表示为 x C1 cosnt C2 sin nt
C1、C2为积分常数，由初始条件确定
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§4-1 单自由度系统的自由振动
Northeastern University
方程解表示为 x C1 cosnt C2 sin nt
设 A C12 C22
tan C1
C2
l0
st
微分方程的解 x Asin(nt )
理论力学
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第四章 机械振动基础
Northeastern University
说话，声带振动 听声，耳膜振动
振动: 物体在平衡位置附近往复运动
利：振动给料机 振动筛 振动沉拔桩机
弊：磨损,减少寿命,影响强度 引起噪声,影响劳动条件 消耗能量,降低精度
研究振动的目的： 消除或减小有害振动，充分利用有利振动。