《数值分析》课后习题解答

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数值分析课后习题全解(可编辑优质文档)

数值分析课后习题全解（可编辑优质文档）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）第5章数值分析课后习题全解第5章：解线性方程组的直接方法1．证明：由消元公式及A 的对称性得(2)211,,2,3,..........,1111111a a j i a a a a a a i j na a ijij j j iji =-=-== 故2A对称2．证明：（1）因A 对称正定，故,)0,1,2,......,e i ni >=aii=(Ae i其中i e =（0,…,0,1,0,...,0）T 为第i 个单位向量.(2)由A 的对称性及消元公式得111211122222n n nn n n u u u d d u u d d u d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2)ij a =ija -1111i j a a a =ji a -111j a a 1i a =(2)ji a ，I,j=2,…,n故2A 也对称.又 11120Ta a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1L A 1TAL其中 1L =211111111.....1n a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦显然1L 非其异,从而对任意的x ≠0,有1TL X ≠0,(x,1L A 1TL X)=(1TL x, A 1TL X)>0 (由A 的正定性) 故11T L AL 正定.又11T L AL =11200a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,而11a >0,故2A 正定. 3.证明由矩阵乘法简单运算即得证.4.解设有分解4232125316⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=123431231αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1231111βββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由公式11,1111,2,3,,,2,3,.1i i i i ii i b a c b i n c i n αβαβααβ-==⎧⎪=+=⎨⎪==-⎩其中i b ,i a ,i c 分别是系数矩阵的主对角线元素及下边和上边的次对角线元素.故有112233414,272,27397,7138513αβαβαβα⎧==⎪⎪⎪=-=-⎪⎨⎪==⎪⎪⎪=⎩从而有4232125316⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=4732392785113⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦11221771131⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦故 1y =64=32, 2y =12372y --=573y =21022039137y -=, 4y =3518513y +=故4x =1,3x =420711313x -=,2x =352177x +=,1x =231122x -= 5. 解 (1)设U 为上三角阵1112112222n n nn n u u u x u u x u x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=12n d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因nn n u x =n d ，故n x =nnnd u . 因 10001010302171101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎦⎣ii i u x +1n ij j j i u x =+∑=id ,故i x =1ni ij ij i iid u xu =+-∑,i=n-1,n-2,,1当U 为下三角阵时11212212n n nn u u u u u u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦= 12n d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得,1x =111d u , 1x =11i i ij jj iid u x u -=-∑,i=2,3,…,n.(2)除法次数为n,乘法次数为1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2 故总的乘法次数为n+n(n-1)/2=n(n+1)/2. (3)设U 为上三角阵,1U-=S,侧S 也是上三角阵.由11121222n n nn u u u u s u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11121222n n nn s s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得 1ii iis u =, i=1,2,…,nij s =-1jik kjk i iiusu =+∑,j=i+1,i+2,…,n; i=n-1,n-2,…,1当U 为下三角阵时,由11212212n n nn d d d d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11212212n n nn s s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦= 111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得 1ii iis u =,i=1,2,…,n ij s =11i ik kjk iiusu -=-∑,i=2,3,…,n;j=1,2,…,i-16. 证明 (1)因A 是对称正定阵,故存在唯一的分解A=L TL ,其中L 是具有正对角元素的下三角阵.从而 1A -=(L TL )1-=(TL )1-L 1-=(L 1-)TL 1-(A 1-)T =11()TT L L --⎡⎤⎣⎦=11()T L L --=1A -故1A -是对称矩阵.又1L -非奇异,故对任意的 x ≠0,有1L -x ≠0,故1Tx A -X=11()T T x L L x --=11()()T L x L x -->0故1A -是对称正定矩阵,即1A -也对称正定.(2)由A 对称正盯,故A 的所有顺序主子式均不为零,从而A 有唯一的 Doolittle 分解A=L U.又U=1122nn u u u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1121111222111n n u u uu u u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=D 0U 其中D 为对三角阵, 0U 为单位上三角阵,于是 A=U L =D L 0U又 A=TA =TO U D TL由分解的唯一性即得T O U =L从而有 A=D L TL 又由A 的对称正定性知 1d =1D >0, i d =1ii D D ->0 (i=2,3,…,n) 故 D=12n d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣=12D 12D 故A=L D TL =L12D12D TL =(L 12D )(L 12D )T =LL T其中L=L 12D 为三角元为正的下三角矩阵.7. 解[A|I]=21311000310701001242001010150001⎡--⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎢⎦⎣-> 101500010138010302330011011111002⎡-⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎦⎣-> 1015010138010300319021700431101⎡-⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥---⎢⎦⎣->421410003333010110114192170010333385542500013333⎡⎤---⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦-> 410231685178517100033641130100851785170010191538851785170001314585178517⎤--⎥⎥⎡⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎥⎥--⎦->1A -=4102316851785173364113851785171953885178517314585178517⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=0.04705890.58823530.27058820.94117650.38823530.35294120.48235290.76470590.22352940.29411760.03529410.47058820.03529410.05882350.04705890.2941176--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦8．解设有分解2112112112112-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦= 123451111ααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123451111βββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由公式11,1111,(2,3,4,5),(2,3,4)i i i i i i i b c b i c i ααβαβααβ-==⎧⎪=+=⎨⎪==⎩其中i b ，i a ，i c 分别是系数矩阵的主角线元素及其下边和上边的次对角线元素，则有12α=， 232α=， 343α=， 454α=， 565α= 112β=-， 223β=-， 334β=-， 445β=-由12345231120410305140615y y y y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦得1y =12，213y =，314y =，415y =，516y = 由112213314415⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦123451213141516x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得5x =16，4x =13，3x =12，2x =23，1x =569．解设211123131-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=121312123231323111111d l l l d l l l d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由矩阵乘法得1d =2， 2112l =-， 3112l = 252d =-，3275l =-3275d =由123141152617125y y y ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦得 14y =，27y =，3695y = 由12311122245717256927155x x x ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 得 123111222247514175256927123559x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故3x =239=2.555 555 6，279x ==0.777 777 8，1x =109=1.111 111 1 10．解 A 中2∆=0，故不能分解。

数值分析课后习题及答案

第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

数值分析课后部分习题答案

习题一（P.14）1. 下列各近似值均有4个有效数字,300.2,521.13,001428.0***===z y x ,试指出它们的绝对误差和相对误差限.解*20.001428=0.142810x -=⨯有4个有效数，即4n =，2m =-由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为611101022m n --⨯=⨯，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101022n a ---⨯=⨯； *213.521=0.1352110y =⨯有4个有效数，即4n =，2m =由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为211101022m n --⨯=⨯，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101022n a ---⨯=⨯； *12.300=0.230010z =⨯有4个有效数，即4n =，1m =由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为311101022m n --⨯=⨯，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101024n a ---⨯=⨯.2．下列各近似值的绝对误差限都是31021-⨯,试指出它们各有几位有效数字.***2.00021,0.032,0.00052x y z ===解*12.000210.20002110x ==⨯，即1m =由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯，即3m n -=-，所以，2n =；*10.0320.3210y ==⨯，即1m =由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯，即3m n -=-，所以，4n =；*30.000520.5210z -==⨯，即3m =-由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯，即3m n -=-，所以，0n =.4.设有近似数35.2,84.1,41.2***===z y x 且都有3位有效数字，试计算***z y x S +=，问S 有几位有效数字.解方法一因*1*1*12.41=0.24110, 1.840.18410, 2.350.23510x y z =⨯==⨯==⨯都有3位有效数字，即3n =，1m =，则211|(*)|101022m n e x --≤⨯=⨯，211|(*)|101022m n e y --≤⨯=⨯，211|(*)|101022m n e z --≤⨯=⨯，|(**)||*(*)*(*)|*|(*)|*|(*)|e y z z e y y e z z e y y e z ≈+≤+222112.3510 1.8410 2.0951022---≤⨯⨯+⨯⨯=⨯，221|(***)||(*)(**)|10 2.095102e x y z e x e y z --+≈+≤⨯+⨯1110.259510102--=⨯≤⨯，又1***=2.41 1.84 2.350.673410x y z ++⨯=⨯，此时1m =，1m n -=-，从而得2n =.方法一因*1*1*12.41=0.24110, 1.840.18410, 2.350.23510x y z =⨯==⨯==⨯都有3位有效数字，即3n =，1m =，则211|(*)|101022m n e x --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 2.41r e x e x x -⨯≤， 211|(*)|101022m n e y --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 1.84r e y e y y -⨯≤，211|(*)|101022m n e z --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 2.35r e z e z z -⨯≤|(**)||(*)(*)|r r r e y z e y e z ≈+，***|(***)||(*)(**)|******r r rx y z e x y z e x e y z x y z x y z +≈+++2.41 1.84 2.35|(*)||(*)+(*)|2.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35r rr e x e y e z ⨯≤++⨯+⨯22211110 1.8410 2.35102222.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35---⨯⨯⨯⨯⨯≤+++⨯+⨯+⨯20.385410-<⨯21102-<⨯，由有效数字与绝对误差的关系得2n =.5.序列{}n y 有递推公式),2,1(,1101 =-=-n y y n n若41.120≈=y （三位有效数字），问计算10y 的误差有多大，这个计算公式稳定吗？解用0ε表示0y 的误差，由41.120≈=y ，得0=0.0042ε，由递推公式),2,1(,1101 =-=-n y y n n ，知计算10y 的误差为810=0.4210ε⨯，因为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大，这个计算公式不稳定.习题2 ( P.84)3.证明()1nkk lx ==∑，对所有的x其中()k l x 为Lagrange 插值奇函数. 证明令()1f x =，则()1i f x =，从而 0()()()()nnn k k k k k L x l x f x l x ====∑∑，又(1)1()()()0(1)!n n n f R x x n ξω++==+，可得 ()()1n l x f x ==，从而()1nkk lx ==∑.4. 求出在=012x ，，和3处函数2()1f x x =+的插值多项式. 解方法一因为给出的节点个数为4，而2()1f x x =+从而余项(4)34()()()04!f R x x ξω==，于是233()()()()=+1L x f x R x f x x =-=（n 次插值多项式对次数小于或等于的多项式精确成立）.方法二因为(0)1(1)2(2)5(3)10f f f f ====，，，，而0(1)(2)(3)1()=-(1)(2)(3)(01)(02)(03)6x x x l x x x x ---=------，1(2)(3)1()=(2)(3)(10)(12)(13)2x x x l x x x x --=-----，2(1)(3)1()=-(1)(3)(20)(21)(23)2x x x l x x x x --=-----，3(1)(2)1()=(1)(2)(30)(31)(32)6x x x l x x x x --=-----，从而30123()()(0)()(1)()(2)()(3)L x l x f l x f l x f l x f =+++2=+1x .5. 设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证21max |()|()max |()|8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤''≤-.证明因()()0f a f b ==，则1()0L x =，从而1()()()()()2!f f x R x x a x b ξ''==--，由极值知识得 21max |()|()max |()|8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤''≤-6. 证明 (()())()()()(+)f x g x f x g x f x g x h ∆=⋅∆+∆⋅. 证明由差分的定义(()())(+)()()()f xg x f xh g x h f x g x ∆=+-[(+)()()(+)][()()()()]f x h g x h f x g x h f x g x h f x g x =+-++-()()()(+)f x g x f x g x h =⋅∆+∆⋅或着 (()())(+)()()()f x g x f x h g x h f x g x ∆=+-[(+)()()()][()()()()]f x hg xh f x h g x f x h g x f x g x =+-+++- ()()()()f x h g x f x g x =+⋅∆+∆⋅7. 证明 n 阶差商有下列性质(a ) 如果()()F x cf x =，则0101[,,,][,,,]n n F x x x cf x x x =. (b ) 如果()()()F x f x g x =+，则010101[,,,][,,,][,,,]n n n F x x x f x x x g x x x =+.证明由差商的定义 (a ) 如果()()F x cf x =，则12011010[,,,]-[,,,][,,,]n n n n F x x x F x x x F x x x x x -=-120110[,,,]-[,,,]n n n cf x x x cf x x x x x -=-120110[,,,]-[,,,]n n n f x x x f x x x c x x -=⋅-01[,,,]n cf x x x =.(b ) 如果()()()F x f x g x =+，则12011010[,,,]-[,,,][,,,]n n n n F x x x F x x x F x x x x x -=-12120110110[[,,,][,,,]]-[[,,,][,,,]]n n n n n f x x x g x x x f x x x g x x x x x --++=-12011120110,,,]-[,,,][,,,][,,,]+n n n n n n f x x x f x x x g x x x g x x x x x x x ---=--[ 0101[,,,][,,,]n n f x x x g x x x =+8. 设74()3431f x x x x =+++，求0172,2,,2]f [，0182,2,,2]f [.解由P.35定理7的结论(2)，得7阶差商0172,2,,2]=3f [(()f x 的最高次方项的系数)，8阶差商0182,2,,2]=0f [(8阶以上的差商均等与0).9. 求一个次数不超过4次的多项式()P x ，使它满足：(0)(0)0P P '==，(1)(1)1P P '==，(2)1P =.解方法一先求满足插值条件(0)0P =，(1)=1P ，(2)1P =的二次插值多项式2()P x 213=22x -+(L-插值基函数或待定系数法)，设()P x 22=()(1)(2)(1)(2)P x Ax x x Bx x x +--+--213=22x x -+2+(1)(2)(1)(2)Ax x x Bx x x --+-- 从而()P x '323=4B +(39)(641)(2)2x A B x A B x A -+-+-++，再由插值条件(0)0P '=，(1)1P '=，得3=,4A -1=,4B所以 ()P x 213=22x x -+231(1)(2)(1)(2)44x x x x x x ---+--，即 ()P x 41=4x 332x -29+4x .方法二设()P x 23401234=a a x a x a x a x ++++，则 ()P x '231234=234a a x a x a x +++由插值条件(0)(0)0P P '==，(1)(1)1P P '==，(2)1P =，得010********0123400++++1+2+3+41+2+4+8+161a a a a a a a a a a a a a a a a =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩ 解得 234931=,=-,=424a a a ，从而()P x 41=4x 332x -29+4x . 方法三利用埃尔米特插值基函数方法构造. 10. 下述函数()S x 在[1,3]上是3次样条函数吗？3232321,12()=92217,23x x x x S x x x x x ⎧-++≤≤⎨-+-+≤≤⎩ 解因为22362,12()=31822,23x x x S x x x x ⎧-+≤≤'⎨-+-≤≤⎩， 66,12()=618,23x x S x x x -≤≤⎧''⎨-+≤≤⎩而12(2)=1=(2)S S ，12(2)=2=(2)S S ''，12(2)=6=(2)S S ''''，又()S x 是三次函数，所以函数()S x 在[1,3]上是3次样条函数.补设f (x )=x 4，试利用L-余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.解因为 (4)34()()()(+1)(1)(2)4!f R x x x x x x ξω==--，从而3233()()()22L x f x R x x x x =-=+-习题3 ( P.159)1．设n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组且)(x k ϕ为首项系数为1的k 次的多项式，则n k k x 0)}({=ϕ于],[b a 线性无关.解方法一因为n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组,则其Gram 行列式不等于零，采用反证法：若{}n ϕϕϕ,,,10 于],[b a 线性相关，于是，存在不全为零,,,,10n c c c 使0011()()()0,[,]n n c x c x c x x a b ϕϕϕ+++=∈上式两边与i ϕ作内积得到0011(,)(,)(,)0(0,1,,)i i n i n c c c i n ϕϕϕϕϕϕ+++==，由于{}i c 不全为零，说明以上的齐次方程组有非零解),,,,(10n c c c 故系数矩阵的行列式为零，即{}0,,,10=n G ϕϕϕ 与假设矛盾.方法二因为n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组,则其Gram 行列式不等于零，由( P.95)定理2得n k k x 0)}({=ϕ于],[b a 线性无关.2．选择α，使下述积分取得最小值1221()[],a x x dx α--⎰120()()x b e x dx α-⎰解1221()[]a x x dx αα-∂-∂⎰1221=[]x x dx αα-∂-∂⎰1221=2[]()x x x dx α--⋅-⎰5112=5x α-4=5α，令1221[]=0x x dx αα-∂-∂⎰，得=0α. 12()()x b e x dx αα∂-∂⎰120=()xe x dx αα∂-∂⎰1=2()()x e x x dx α-⋅-⎰2=23α- 令120()=0x e x dx αα∂-∂⎰，得=3α.3．设],3,1[,1)(∈=x xx f 试用},1{1x H 求)(x f 一次最佳平方逼近多项式.解取权函数为()x x ω=(为了计算简便)，则32311(1,1)42x xdx ===⎰,33321126(1,)(,1)33x x x x dx ====⎰, 343311(,)204x x x x dx ===⎰,33111((),1)2f x xdx x x=⋅==⎰，3232111((),)42x f x x x dx x =⋅==⎰，得法方程0126423264203a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，解得011211311a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以)(x f 的一次最佳平方逼近多项式1123()1111P x x =-. 8．什么常数C 能使得以下表达式最小？ ∑=-ni x i iCe x f 12))((解21(())i n x i i f x Ce C =∂-∂∑1=2(())()i i nx x i i f x Ce e =-⋅-∑，令21(())=0i nx i i f x Ce C =∂-∂∑，得121()(),iinx x ii nx xx i f x ef x e C e e e=-=⋅==∑∑（）（，）. 14．用最小二乘法求解矛盾方程组2+314921x y x y x y =⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩. 解方法一方程组可变形为31+22491122x y x y x y ⎧=⎪⎪-=-⎨⎪⎪-=-⎩，原问题转化成在已知三组离散数据3142211()922t f t ----下求一次最小二乘逼近函数1()P x x yt =+(x 与y 为一次函数的系数，t 为自变量)，取1H 基{}1,t ,求解法方程331133321113()()i i i i i i i i i i i x t f x t t t f x y =====⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑, 即3-3-93737-32x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得到矛盾方程组的解为37=-3156=31x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩. 方法二方程组可变形为31+22491122x y x y x y ⎧=⎪⎪-=-⎨⎪⎪-=-⎩，令(,)I x y 2223111=+-+4+9++2222x y x y x y --（）（）（）(,)I x y x ∂∂3111=2+-+24+9+2+2222x y x y x y ⨯⨯-⨯-（）（）（）=6618x y -+，(,)I x y y ∂∂331111=+44+9+222222x y x y x y ⨯--⨯--⨯-（）（）（） 37=3372x y -+- 令(,)0(,)0I x y x I x y y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩，得3373372x y x y -=-⎧⎪⎨-+-⎪⎩，解之得矛盾方程组的解为37315631x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 习题47. 对列表函数 124810()0152127x f x求(5)(5).f f '''，解一阶微商用两点公式(中点公式),得(8)(2)10(5),63f f f -'≈= 二阶微商用三点公式(中点公式),首先用插值法求(5)f , 由(4)5,(8)21,f f ==得一次插值函数1()411,L x x =-从而 1(5)(5)9f L ≈=,于是,2(2)2(5)(8)4(5).39f f f f -+''≈= 8. 导出数值数分公式)]23()2(3)2(3)23([1)(3)3(h x f h x f h x f h x f h x f ---++-+≈并给出余项级数展开的主部.解由二阶微商的三点公式(中点公式),得213()[()2()()]2222h h h f x f x f x f x h h ''-≈+--+-,213()[()2()()]2222h h h hf x f x f x f x h ''+≈+-++-从而 (3)()()22()h h f x f x f x h''''+--≈3133=[()3()3()()]2222h h f x h f x f x f x h h +-++--- 将33()()()()2222h h f x h f x f x f x h ++--，，，分别在x 处展开,得2(3)3(4)4(5)55331313()=()()()()()()222!23!21313()()()()+()(1)4!25!2f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h O h '''++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅2(3)3(4)4(5)5511()=()()()()()()222!23!211()()()()()(2)4!25!2h h h h f x f x f x f x f x h h f x f x O h '''++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+2(3)3(4)4(5)5511()=()()()()()()()222!23!211()()()()()(3)4!25!2h h h h f x f x f x f x f x h h f x f x O h '''-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+2(3)3(4)4(5)55331313()=()()()()()()()222!23!21313()()()()()(4)4!25!2f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h O h '''-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+(1)－(2)×3 +(3)×3－(4), 得(5)222131()[()2()()]()()22228h h h f x f x f x f x h f x h O h h ''--+--+-=-+,即余项主部为(5)21()8f x h -习题 5 (P. 299)3. 设n n R A ⨯∈为对称矩阵，且011≠a ，经高斯消去法一步后，A约化为11120T a a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试证明2A 亦是对称矩阵. 证明设1111()=T ij aa A a A α⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中 21311=n a a a α⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，121311=n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，22232123=n n n nn a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则经高斯消去法一步后，A 约化为111111110TT a a A a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，因而211111T A A a a α=-，若n n R A ⨯∈为对称矩阵，则1A 为对称矩阵，且1=a α，易知211111T A A a a α=-为对称矩阵. 13. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A(1) 计算2||||,||||A A ∞； (2) 计算∞)(A Cond ，及2)(A Cond . 解 (1) 计算||||=199A ∞,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A，其特征值为1,299λ=，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A 为对称矩阵，则2=T A A A 的特征值为221,2(99λ=±，因此2||||99A ===+；(2)1989999100A --⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，1||||=199A -∞，所以1()=||||||||=9801Cond A A A -∞∞∞⋅，1989999100A --⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦为对称矩阵，其特征值为1,299λ=-± 则1112()=()T A A A ---的特征值为221,2(99λ=，因此12||||99A -===+所以1222()=||||||||Cond A A A -⋅2(99=+15. 设,n n n A R x R ⨯∈∈，求证（1）1xx n x ∞∞≤≤； (2)∞∞≤≤An A A n11.证明 (2) 由（1）1x x n x∞∞≤≤，得1AxAx n Ax∞∞≤≤，则 11Ax Ax n Ax n x xx∞∞∞∞≤≤，从而11max max max nnnx Rx Rx RAxAx n Ax n xxx∞∞∀∈∀∈∀∈∞∞≤≤，由算子范数的定义max nx RAx Ax∞∞∀∈∞=，111max nx RAx A x∀∈=，得∞∞≤≤An A A n11.17. 设n n R W ⨯∈为非奇异阵，又设x为n R 上一向量范数，定义WxWx=，求证：Wx是nR 上向量的一种范数（称为向量的W 一范数）.证明 ①正定性，因Wx为一向量，0WxWx =≥，下证=0=0Wxx ⇔，⇒“”若=0Wx 即=0Wx ，由向量范数的正定性得=0Wx ，n n R W ⨯∈为非奇异阵，所以=0x ；⇐“”若=0x ，则=0Wx ，由向量范数的正定性得=0Wx 即=0Wx.②齐次性，任意实数α有=Wx W x Wxααα=，由向量范数的齐次性，得=WWxW x Wx Wx xααααα===；③ 三角不等式，任意实数,n n x R y R ∈∈，有+(+)=+Wx yW x y Wx Wy=，再由向量范数的三角不等式，得+(+)=+WWWx yW x y Wx Wy Wx Wy xy=≤+=+.习题 6 (P.347)1. 设有方程组(b )1231231232211221x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，考查用Jacobi迭代法,G-S 迭代法解此方程组的收敛性.解系数矩阵分裂如下,122111221A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭D L U =--10022110112200-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ Jacobi迭代矩阵为1()J D L U -=+=02211220-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭， J 的特征方程为2211022λλλ-=，展开得 30λ=，即01λ=<，所以用Jacobi 迭代法解此方程组是收敛的.G-S 迭代矩阵为1()G D L U -=-11022=11012210--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100022=110010210-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭122=023002-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭， G 的特征方程为12221002λλλ---=-，展开得 (1)(2)(2)0λλλ---=，即1λ=或2λ=，由迭代基本定理得用G-S 迭代法解此方程组是不收敛的.4. 设有方程组Ax b =，其中A 为对称正定阵，且有迭代公式(1)()()()k k k x x b Ax ω+=+- (0,1,k =)，试证明当20ωβ<<时，上述迭代法收敛(其中A 的特征值满足0()A αλβ<≤≤).证明 A 为对称正定阵， A 的特征值满足0()A αλβ<≤≤，且20ωβ<<，则0()2A ωλ<<又迭代公式可变形为(1)()()k k x I A x bωω+=-+ (0,1,k =)，从而迭代矩阵 B I A ω=-，迭代矩阵的特征值为1()A ωλ-，且满足11()1A ωλ-<-<，即 |()|1B λ<，由迭代基本定理得该迭代法是收敛的.5. 设111a a A aa a a⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中a 为实数，试确定a 满足什么条件时，解Ax b =的Jacobi 迭代法收敛.解系数矩阵分裂如下,111a a A aa a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭D L U =--1001100a a aa aa--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭Jacobi迭代矩阵为1()J D L U -=+=000a a aa a a--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，J 的特征方程为0a aa a aaλλλ=，展开得 323320a a λλ--=，即a λ=-或2a λ=-，()max{||,|2|}J a a ρ=--()1J ρ<当且仅当1122a -<<，所以当1122a -<<时，解Ax b=的Jacobi 迭代法收敛.。

数值分析课后习题部分参考答案

数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1（P10）5. 求2的近似值*x ，使其相对误差不超过%1.0。

解： 4.12=。

设*x 有n 位有效数字，则n x e -⨯⨯≤10105.0|)(|*。

从而，1105.0|)(|1*nr x e -⨯≤。

故，若%1.0105.01≤⨯-n，则满足要求。

解之得，4≥n 。

414.1*=x 。

（P10）7. 正方形的边长约cm 100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过12cm 。

解：设边长为a ，则cm a 100≈。

设测量边长时的绝对误差为e ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e ⨯⨯≈1002。

按测量要求，1|1002|≤⨯⨯e 解得，2105.0||-⨯≤e 。

Chapter 2（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011012111A 。

解：设()γβα=-1A。

分别求如下线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001αA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010βA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100γA 。

先求A 的LU 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1)1(。

即，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121012001L ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=300210111U 。

经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ly 和y U =α，得，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100α；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ly 和y U =β，得，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323131β；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ly 和y U =γ，得，；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=313231γ。

所以，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3132132310313101A。

（P47）6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----816211515311401505231214321x x x x 解:平方根法：先求系数矩阵A 的Cholesky 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1)15(2)1(1)5(3)3(3)14(2)0(1)1(1)5(2)2(1)1(，即，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121332100120001L ，其中，TL L A ⨯=。

数值分析课后习题答案

习题一解答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。

求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。

注意，不应先求相对误差再求绝对误差。

有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。

有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。

根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。

解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。

相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。

而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。

（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。

相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。

而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。

（3）绝对误差:22() 3.141592653.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。

数值分析课程课后习题答案(李庆扬等)1

第一章绪论1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ，相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

数值分析课后习题答案

7、计算的近似值，取。

利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。

〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解：计算各项的条件数由计算知，第一种算法误差最小。

解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。

因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。

9、通过分析浮点数集合F=〔10，3，-2，2〕在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。

10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。

解：此算法是数值稳定的。

第二章习题解答1.〔1〕 R n×n中的子集“上三角阵〞和“正交矩阵〞对矩阵乘法是封闭的。

〔2〕R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。

设A是ｎ×ｎ的正交矩阵。

证明A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。

证明：〔2〕A是ｎ×ｎ的正交矩阵∴A A-1 =A-1A=E 故〔A-1〕-1=A∴A-1〔A-1〕-1=〔A-1〕-1A-1 =E 故A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。

设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。

A非奇异∴A可逆且A-1非奇异又A T=A ∴〔A-1〕T=〔A T〕-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设A是单位上〔下〕三角阵。

证A-1也是单位上〔下〕三角阵。

证明：A是单位上三角阵，故|A|=1，∴A可逆，即A-1存在，记为〔b ij〕n×n由A A-1 =E，那么〔其中 j＞i时，〕故b nn=1, b ni=0 (n≠j)类似可得，b ii=1 (j=1…n) b jk=0 (k＞j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。

R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。

2、试求齐次线行方程组Ax=0的根底解系。

A=解：A=～～～故齐次线行方程组Ax=0的根底解系为，3.求以下矩阵的特征值和特征向量。

数值分析课后习题答案

第一章习题解答1. 在下列各对数中，X 是精确值ａ的近似值（1）ａ=π，x=3.1 （2）ａ=1/7，x=0.143 （3）ａ=π/1000，x=0.0031 （4）ａ=100/7，x=14.3 试估计x 的绝对误差和相对误差。

解：（1） e=∣3.1-π∣≈0.0416， δr = e/∣x ∣≈0.0143 （2） e=∣0.143-1/7∣≈0.0143 δr = e/∣x ∣≈0.1 （3） e=∣0.0031-π/1000∣≈0.0279 δr = e/∣x ∣≈0.9 (4) e=∣14.3-100/7∣≈0.0143 δr = e/∣x ∣≈0.0012. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。

试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。

解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10-4x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σni=1∣∂f/∂x i ∣δx ie r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049e r （μ2）≦1/∣μ2∣［-x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3/ x 1δx 4］ =0.497073. 设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。

数值分析-课后习题答案

(2)如果A为对称正定矩阵,则Cond2(A)=1/n,1和n 分别为A的最大和最小特征值.
证明 (1)A正交,则ATA=AAT=E,Cond2(A)=A2A-12=1. (2)A对称正定,ATA=A2, A2=1. A-12=1/n.
精选课件
12
三.习题3 (第75页)
3-2.讨论求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收
计算结果如下:
x x 1 2 ( (k k 1 1 ) ) 3 2 1 2 .x 5 2 (x k ) 1 (k 1 )
k
J法x1(k)
0
1.01
1
0.98
2
2.03
3
1.94
4
5.09
5
4.82
6
14.27
J法x2(k) 1.01 0.485 0.53 -1.045 -0.91 -5.635精选课件 -5.23
1.01
1.01
1
0.66
0.995
0.66
1.17
2
0.67
1.17
0.553333
1.223333
3
0.553333
1.165
0.517778
1.241111
4
0.556667
1.223333
0.505926
1.247037
5
0.517778
1.221667
0.501975
1.249012
6
0.518889
3 4精1选课件
1
1
5
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1

数值分析课后答案

1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。

由于ni i inn n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1 (1))(21110200---=，.1,...,1,0-=n i故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。

又)(x V n 的最高次幂nx 的系数为)(...1...1..................1),...,,(101121112222102001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -==∏-≤<≤-----------。

故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V6、解：（1）设.)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n对)(x f 构造Lagrange 插值多项式，),()(0x l x x L j nj k j n ∑==其0)()!1()()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ，ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j =故),()(x L x f n =即.,...,1,0,)(0n k xx l x kjnj k j ==∑=特别地，当0=k 时，10)(=∑=nj x j l。

（2）0)()1(1)()1()()(0000=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j ki i j ii k j nj ki i j knj j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。

7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得)()()(1b f ab ax a f b a b x x P --+--=因0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。

数值分析课后部分习题答案

习题一（P.14）1. 下列各近似值均有4个有效数字,300.2,521.13,001428.0***===z y x ,试指出它们的绝对误差和相对误差限.解 *20.001428=0.142810x -=⨯有4个有效数，即4n =，2m =- 由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为611101022m n --⨯=⨯，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101022n a ---⨯=⨯； *213.521=0.1352110y =⨯有4个有效数，即4n =，2m =由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为211101022m n --⨯=⨯，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101022n a ---⨯=⨯； *12.300=0.230010z =⨯有4个有效数，即4n =，1m =由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为311101022m n --⨯=⨯，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101024n a ---⨯=⨯.2．下列各近似值的绝对误差限都是31021-⨯,试指出它们各有几位有效数字.***2.00021,0.032,0.00052x y z ===解 *12.000210.20002110x ==⨯，即1m =由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯，即 3m n -=-，所以，2n =；*10.0320.3210y ==⨯，即1m =由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯，即 3m n -=-，所以，4n =；*30.000520.5210z -==⨯，即3m =-由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯，即 3m n -=-，所以，0n =.4.设有近似数35.2,84.1,41.2***===z y x 且都有3位有效数字，试计算***z y x S +=，问S 有几位有效数字.解方法一因*1*1*12.41=0.24110, 1.840.18410, 2.350.23510x y z =⨯==⨯==⨯都有3位有效数字，即3n =，1m =，则211|(*)|101022m n e x --≤⨯=⨯，211|(*)|101022m n e y --≤⨯=⨯，211|(*)|101022m n e z --≤⨯=⨯，|(**)||*(*)*(*)|*|(*)|*|(*)|e y z z e y y e z z e y y e z ≈+≤+222112.3510 1.8410 2.0951022---≤⨯⨯+⨯⨯=⨯，221|(***)||(*)(**)|10 2.095102e x y z e x e y z --+≈+≤⨯+⨯1110.259510102--=⨯≤⨯，又 1***=2.41 1.84 2.350.673410x y z ++⨯=⨯，此时1m =，1m n -=-，从而得2n =.方法一因*1*1*12.41=0.24110, 1.840.18410, 2.350.23510x y z =⨯==⨯==⨯都有3位有效数字，即3n =，1m =，则211|(*)|101022m n e x --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 2.41r e x e x x -⨯≤， 211|(*)|101022m n e y --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 1.84r e y e y y -⨯≤，211|(*)|101022m n e z --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 2.35r e z e z z -⨯≤|(**)||(*)(*)|r r r e y z e y e z ≈+，***|(***)||(*)(**)|******r r rx y z e x y z e x e y z x y z x y z +≈+++2.41 1.84 2.35|(*)||(*)+(*)|2.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35r rr e x e y e z ⨯≤++⨯+⨯22211110 1.8410 2.35102222.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35---⨯⨯⨯⨯⨯≤+++⨯+⨯+⨯20.385410-<⨯21102-<⨯，由有效数字与绝对误差的关系得2n =.5.序列{}n y 有递推公式),2,1(,1101 =-=-n y y n n若41.120≈=y （三位有效数字），问计算10y 的误差有多大，这个计算公式稳定吗？解用0ε表示0y 的误差，由41.120≈=y ，得0=0.0042ε，由递推公式 ),2,1(,1101 =-=-n y y n n ，知计算10y 的误差为810=0.4210ε⨯，因为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大，这个计算公式不稳定.习题2 ( P.84)3.证明 0()1nk k l x ==∑，对所有的x其中()k l x 为Lagrange 插值奇函数. 证明令()1f x =，则()1i f x =，从而 0()()()()nnn k k k k k L x l x f x l x ====∑∑，又 (1)1()()()0(1)!n n n f R x x n ξω++==+，可得 ()()1n l x f x ==，从而 0()1nk k l x ==∑.4. 求出在=012x ，，和3处函数2()1f x x =+的插值多项式.解方法一因为给出的节点个数为4，而2()1f x x =+从而余项(4)34()()()04!f R x x ξω==，于是 233()()()()=+1L x f x R x f x x =-=（n 次插值多项式对次数小于或等于的多项式精确成立）.方法二因为(0)1(1)2(2)5(3)10f f f f ====，，，，而 0(1)(2)(3)1()=-(1)(2)(3)(01)(02)(03)6x x x l x x x x ---=------，1(2)(3)1()=(2)(3)(10)(12)(13)2x x x l x x x x --=-----，2(1)(3)1()=-(1)(3)(20)(21)(23)2x x x l x x x x --=-----，3(1)(2)1()=(1)(2)(30)(31)(32)6x x x l x x x x --=-----，从而 30123()()(0)()(1)()(2)()(3)L x l x f l x f l x f l x f =+++2=+1x .5. 设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证21max |()|()max |()|8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤''≤-.证明因()()0f a f b ==，则1()0L x =，从而1()()()()()2!f f x R x x a x b ξ''==--，由极值知识得 21max |()|()max |()|8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤''≤-6. 证明 (()())()()()(+)f x g x f x g x f x g x h ∆=⋅∆+∆⋅. 证明由差分的定义(()())(+)()()()f xg x f xh g x h f x g x ∆=+-[(+)()()(+)][()()()()]f x h g x h f x g x h f x g x h f x g x =+-++-()()()(+)f xg x f x g xh =⋅∆+∆⋅或着 (()())(+)()()()f x g x f x h g x h f x g x ∆=+-[(+)()()()][()()()()]f x hg xh f x h g x f x h g x f x g x =+-+++- ()()()()f x h g x f x g x =+⋅∆+∆⋅7. 证明 n 阶差商有下列性质(a ) 如果()()F x cf x =，则0101[,,,][,,,]n n F x x x cf x x x =. (b ) 如果()()()F x f x g x =+，则010101[,,,][,,,][,,,]n n n F x x x f x x x g x x x =+.证明由差商的定义 (a ) 如果()()F x cf x =，则12011010[,,,]-[,,,][,,,]n n n n F x x x F x x x F x x x x x -=-120110[,,,]-[,,,]n n n cf x x x cf x x x x x -=-120110[,,,]-[,,,]n n n f x x x f x x x c x x -=⋅-01[,,,]n cf x x x =.(b ) 如果()()()F x f x g x =+，则12011010[,,,]-[,,,][,,,]n n n n F x x x F x x x F x x x x x -=-12120110110[[,,,][,,,]]-[[,,,][,,,]]n n n n n f x x x g x x x f x x x g x x x x x --++=-12011120110,,,]-[,,,][,,,][,,,]+n n n n n n f x x x f x x x g x x x g x x x x x x x ---=--[ 0101[,,,][,,,]n n f x x x g x x x =+8. 设74()3431f x x x x =+++，求0172,2,,2]f [，0182,2,,2]f [.解由P.35定理7的结论(2)，得7阶差商0172,2,,2]=3f [ (()f x 的最高次方项的系数)，8阶差商0182,2,,2]=0f [ (8阶以上的差商均等与0).9. 求一个次数不超过4次的多项式()P x ，使它满足：(0)(0)0P P '==，(1)(1)1P P '==，(2)1P =.解方法一先求满足插值条件(0)0P =，(1)=1P ，(2)1P =的二次插值多项式2()P x 213=22x -+(L-插值基函数或待定系数法)，设()P x 22=()(1)(2)(1)(2)P x Ax x x Bx x x +--+--213=22x x -+2+(1)(2)(1)(2)Ax x x Bx x x --+-- 从而()P x '323=4B +(39)(641)(2)2x A B x A B x A -+-+-++，再由插值条件(0)0P '=，(1)1P '=，得3=,4A -1=,4B 所以 ()P x 213=22x x -+231(1)(2)(1)(2)44x x x x x x ---+--，即 ()P x 41=4x 332x -29+4x . 方法二设()P x 23401234=a a x a x a x a x ++++，则 ()P x '231234=234a a x a x a x +++由插值条件(0)(0)0P P '==，(1)(1)1P P '==，(2)1P =，得010********0123400++++1+2+3+41+2+4+8+161a a a a a a a a a a a a a a a a =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩ 解得 234931=,=-,=424a a a ，从而 ()P x 41=4x 332x -29+4x .方法三利用埃尔米特插值基函数方法构造. 10. 下述函数()S x 在[1,3]上是3次样条函数吗？3232321,12()=92217,23x x x x S x x x x x ⎧-++≤≤⎨-+-+≤≤⎩解因为 22362,12()=31822,23x x x S x x x x ⎧-+≤≤'⎨-+-≤≤⎩，66,12()=618,23x x S x x x -≤≤⎧''⎨-+≤≤⎩而 12(2)=1=(2)S S ，12(2)=2=(2)S S ''，12(2)=6=(2)S S ''''，又()S x 是三次函数，所以函数()S x 在[1,3]上是3次样条函数.补设f (x )=x 4，试利用L-余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.解因为 (4)34()()()(+1)(1)(2)4!f R x x x x x x ξω==--，从而 3233()()()22L x f x R x x x x =-=+-习题3 ( P.159)1．设n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组且)(x k ϕ为首项系数为1的k 次的多项式，则n k k x 0)}({=ϕ于],[b a 线性无关.解方法一因为n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组,则其Gram 行列式不等于零，采用反证法：若{}n ϕϕϕ,,,10 于],[b a 线性相关，于是，存在不全为零,,,,10n c c c 使0011()()()0,[,]n n c x c x c x x a b ϕϕϕ+++=∈上式两边与i ϕ作内积得到0011(,)(,)(,)0(0,1,,)i i n i n c c c i n ϕϕϕϕϕϕ+++==，由于{}i c 不全为零，说明以上的齐次方程组有非零解),,,,(10n c c c 故系数矩阵的行列式为零，即{}0,,,10=n G ϕϕϕ 与假设矛盾.方法二因为n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组,则其Gram 行列式不等于零，由( P.95)定理2得n k k x 0)}({=ϕ于],[b a 线性无关.2．选择α，使下述积分取得最小值1221()[],a x x dx α--⎰120()()x b e x dx α-⎰解 1221()[]a x x dx αα-∂-∂⎰1221=[]x x dx αα-∂-∂⎰1221=2[]()x x x dx α--⋅-⎰5112=5x α-4=5α，令 1221[]=0x x dx αα-∂-∂⎰，得=0α. 120()()x b e x dx αα∂-∂⎰120=()xe x dx αα∂-∂⎰1=2()()x e x x dx α-⋅-⎰2=23α- 令120()=0x e x dx αα∂-∂⎰，得=3α.3．设],3,1[,1)(∈=x xx f 试用},1{1x H 求)(x f 一次最佳平方逼近多项式.解取权函数为()x x ω=(为了计算简便)，则32311(1,1)42x xdx ===⎰,33321126(1,)(,1)33x x x x dx ====⎰, 343311(,)204xx x x dx ===⎰,33111((),1)2f x xdx x x=⋅==⎰，3232111((),)42x f x x x dx x =⋅==⎰，得法方程 0126423264203a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，解得011211311a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以)(x f 的一次最佳平方逼近多项式1123()1111P x x =-. 8．什么常数C 能使得以下表达式最小？∑=-ni x i iCe x f 12))((解 21(())i n x i i f x Ce C =∂-∂∑1=2(())()i i nx x i i f x Ce e =-⋅-∑，令 21(())=0i nx i i f x Ce C =∂-∂∑，得121()(),iinx x i i nx x x i f x e f x e C e e e=-=⋅==∑∑（）（，）. 14．用最小二乘法求解矛盾方程组2+314921x y x y x y =⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩. 解方法一方程组可变形为31+22491122x y x y x y ⎧=⎪⎪-=-⎨⎪⎪-=-⎩，原问题转化成在已知三组离散数据3142211()922tf t ----下求一次最小二乘逼近函数1()P x x yt =+(x 与y 为一次函数的系数，t 为自变量)，取1H 基{}1,t ,求解法方程331133321113()()i i i i i i i i i i i x t f x t t t f x y =====⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑, 即 3-3-93737-32x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得到矛盾方程组的解为37=-3156=31x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩.方法二方程组可变形为31+22491122x y x y x y ⎧=⎪⎪-=-⎨⎪⎪-=-⎩，令(,)I x y 2223111=+-+4+9++2222x y x y x y --（）（）（）(,)I x y x ∂∂3111=2+-+24+9+2+2222x y x y x y ⨯⨯-⨯-（）（）（）=6618x y -+，(,)I x y y ∂∂331111=+44+9+222222x y x y x y ⨯--⨯--⨯-（）（）（） 37=3372x y -+- 令 (,)0(,)0I x y xI x y y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩，得 3373372x y x y -=-⎧⎪⎨-+-⎪⎩，解之得矛盾方程组的解为37315631x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 习题47. 对列表函数 124810()0152127x f x求(5)(5).f f '''，解一阶微商用两点公式(中点公式),得(8)(2)10(5),63f f f -'≈=二阶微商用三点公式(中点公式),首先用插值法求(5)f ,由(4)5,(8)21,f f ==得一次插值函数1()411,L x x =- 从而 1(5)(5)9f L ≈=, 于是, 2(2)2(5)(8)4(5).39f f f f -+''≈=8. 导出数值数分公式)]23()2(3)2(3)23([1)(3)3(h x f h x f h x f h x f h x f ---++-+≈并给出余项级数展开的主部.解由二阶微商的三点公式(中点公式),得213()[()2()()]2222h h h f x f x f x f x h h ''-≈+--+-,213()[()2()()]2222h h h hf x f x f x f x h ''+≈+-++-从而 (3)()()22()h h f x f x f x h''''+--≈3133=[()3()3()()]2222h h f x h f x f x f x h h +-++--- 将33()()()()2222h h f x h f x f x f x h ++--，，，分别在x 处展开,得2(3)3(4)4(5)55331313()=()()()()()()222!23!21313()()()()+()(1)4!25!2f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h O h '''++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅2(3)3(4)4(5)5511()=()()()()()()222!23!211()()()()()(2)4!25!2h h h h f x f x f x f x f x h h f x f x O h '''++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+2(3)3(4)4(5)5511()=()()()()()()()222!23!211()()()()()(3)4!25!2h h h h f x f x f x f x f x h h f x f x O h '''-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+2(3)3(4)4(5)55331313()=()()()()()()()222!23!21313()()()()()(4)4!25!2f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h O h '''-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+(1)－(2)×3 +(3)×3－(4), 得(5)222131()[()2()()]()()22228h h h f x f x f x f x h f x h O h h ''--+--+-=-+,即余项主部为(5)21()8f x h -习题 5 (P. 299)3. 设n n R A ⨯∈为对称矩阵，且011≠a ，经高斯消去法一步后，A约化为11120T a a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试证明2A 亦是对称矩阵. 证明设1111()=T ija a A a A α⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中 21311=n a a a α⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，121311=n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，22232123=n n n nn a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则经高斯消去法一步后，A 约化为111111110TT a a A a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，因而211111T A A a a α=-，若n n R A ⨯∈为对称矩阵，则1A 为对称矩阵，且1=a α，易知211111T A A a a α=-为对称矩阵. 13. 设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A (1) 计算2||||,||||A A ∞； (2) 计算∞)(A Cond ，及2)(A Cond .解 (1) 计算||||=199A ∞,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A，其特征值为1,299λ=，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A 为对称矩阵，则2=T A A A 的特征值为221,2(99λ=±，因此2||||99A ===+；(2) 1989999100A --⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，1||||=199A -∞，所以1()=||||||||=9801Cond A A A -∞∞∞⋅，1989999100A --⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦为对称矩阵，其特征值为1,299λ=-± 则1112()=()T A A A ---的特征值为221,2(99λ=，因此12||||99A -===+所以 1222()=||||||||Cond A A A -⋅2(99=+15. 设,n n n A R x R ⨯∈∈，求证（1）1x x n x∞∞≤≤；(2) ∞∞≤≤An A An11.证明 (2) 由（1）1x x n x∞∞≤≤，得1AxAx n Ax∞∞≤≤，则11Ax Ax n Ax n xxx∞∞∞∞≤≤，从而 11maxmax max nnnx Rx Rx RAxAx n Ax n xxx∞∞∀∈∀∈∀∈∞∞≤≤，由算子范数的定义max nx RAx Ax∞∞∀∈∞=，111max nx RAx A x∀∈=，得 ∞∞≤≤An A An11.17. 设n n R W ⨯∈为非奇异阵，又设x为n R 上一向量范数，定义WxWx=，求证：Wx是nR 上向量的一种范数（称为向量的W 一范数）.证明 ①正定性，因Wx 为一向量，0WxWx =≥，下证=0=0Wxx ⇔，⇒“”若=0Wx 即=0Wx ，由向量范数的正定性得=0Wx ，n n R W ⨯∈为非奇异阵，所以=0x ；⇐“”若=0x ，则=0Wx ，由向量范数的正定性得=0Wx 即=0Wx.②齐次性，任意实数α有=Wx W x Wxααα=，由向量范数的齐次性，得=WWxW x Wx Wx xααααα===；③ 三角不等式，任意实数,n n x R y R ∈∈，有+(+)=+Wx yW x y Wx Wy=，再由向量范数的三角不等式，得+(+)=+WWWx yW x y Wx Wy Wx Wy xy=≤+=+.习题 6 (P.347)1. 设有方程组(b ) 1231231232211221x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，考查用Jacobi迭代法,G-S 迭代法解此方程组的收敛性.。

数值分析课后习题答案

x2 6.6667x2 8.205
再解
1
15 56
x31.785,7得 x35.769
1 25069x4 0.47847x4 1.4872
1 x5 5.3718 x5 5.3718
2-10.证明下列不等式:
(1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;
证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y
b.用Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=0.
102 x Байду номын сангаасy 1
100y 100
再用列主元Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=1.
x y
y 1
2
2-8.用追赶法求解方程组:
4 1
x1 100
1 4 1
x2 0
3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.
2 1 0 0 x1 1
1
0 0
2 1 0
1 2 1
0 12
x2 x3 x4
0 00
解直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效数字?
解因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
1 2
0
12 1,
1 2
1 2
0
12

数值分析课后部分习题答案

证明由差商的定义 (a) 如果 F ( x ) = cf ( x ) ，则
F [ x0 , x1 ,⋯ , xn ] =
=
F [ x1 , x2 ,⋯ , xn ]-F [ x0 , x1 ,⋯ , xn− 1 ] x n − x0
cf [ x1 , x2 , ⋯ , xn ]-cf [ x0 , x1 ,⋯ , xn −1 ] x n − x0 f [ x1 , x2 , ⋯ , xn ]-f [ x0 , x1 ,⋯ , xn−1 ] = cf [ x0 , x1 , ⋯ , xn ] . x n − x0
1 1 1 1 |e( x*)| ≤ × 10m − n = × 10−2 ， |e( y*)| ≤ × 10m − n = × 10 −2 ， 2 2 2 2 1 1 |e( z*)| ≤ × 10 m − n = × 10 −2 ， 2 2 | e( y * z*) |≈| z * e ( y*) + y * e ( z *) |≤ z * | e ( y *) | + y * | e (z *) |
m − n = −3 ，所以， n = 4 ； z * = 0.00052 = 0.52 × 10−3 ，即 m = −3
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
由有效数字与绝对误差的关系得即
m − n = −3 ，所以， n = 0 .
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
1 1 ≤ 2.35 × × 10−2 + 1.84 × × 10−2 = 2.095 × 10−2 ， 2 2 1 | e( x * + y * z*) |≈| e( x*) + e( y * z*) |≤ × 10 −2 + 2.095 × 10−2 2 1 = 0.2595 × 10−1 ≤ × 10−1 ， 2

(完整版)数值分析课后习题答案

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

数值分析课后题答案

数值分析第二章2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。

解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =为互异节点，求证：（1）0()nkkj j j x l x x=≡∑ (0,1,,);k n =（2）0()()0nk jj j xx l x =-≡∑ (0,1,,);k n =证明（1）令()kf x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()nk n j j j L x x l x ==∑。

插值余项为(1)1()()()()()(1)!n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+又,k n ≤(1)()0()0n n f R x ξ+∴=∴=0()nk kj j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =000(2)()()(())()()(())nk j j j n nj i k i k j j j i nnik ii kj j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑0i n ≤≤又由上题结论可知()nk ij jj x l x x ==∑()()0ni k i ik i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式∴得证。

数值分析课后习题集部分参考答案解析

数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1（P10）5. 求2的近似值*x ，使其相对误差不超过%1.0。

解： 4.12=。

设*x 有n 位有效数字，则nx e -⨯⨯≤10105.0|)(|*。

从而，1105.0|)(|1*nr x e -⨯≤。

故，若%1.0105.01≤⨯-n，则满足要求。

解之得，4≥n 。

414.1*=x 。

（P10）7. 正方形的边长约cm 100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过12cm 。

解：设边长为a ，则cm a 100≈。

设测量边长时的绝对误差为e ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e ⨯⨯≈1002。

按测量要求，1|1002|≤⨯⨯e 解得，2105.0||-⨯≤e 。

Chapter 2（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011012111A 。

解：设()γβα=-1A。

分别求如下线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001αA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010βA ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100γA 。

先求A 的LU 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1)1(。

即，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121012001L ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=300210111U 。

所以，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-3132132310313101A 。

（P47）6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----816211515311401505231214321x x x x 解: 平方根法：先求系数矩阵A 的Cholesky 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1)15(2)1(1)5(3)3(3)14(2)0(1)1(1)5(2)2(1)1(，即，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121332100120001L ，其中，TL L A ⨯=。

数值分析课后习题及答案

数值分析课后习题及答案第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当时，，求的二次插值多项式。

[解]。

3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，，则，，则，从而。

若取，，，则，，，则，从而补充题：1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。

[解]由，可知，，余项为，故。

2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有，从而。

5、给定数据表：，1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。

[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。

第三章函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。

又，，，故法方程为，解得。

均方误差为。

27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米）0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式，则由。

，。

又，，，故法方程为，解得。

故直线运动为。

补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。

[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：。

应用最小二乘原理，求R使得达到最小。

对求导得到：。

令，得到电阻R为。

2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。

[解]令，求x使得达到最小。

对求导得到：，令，得到，这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。