数值分析(计算方法)总结
数值分析 知识点总结
数值分析知识点总结一、数值分析的基本概念1. 数值分析的对象数值分析的对象是现实生活中的数字数据和信息。
这些数据和信息可以来自各个领域,包括自然科学、社会科学、技术工程等。
例如,物理实验中测得的实验数据、经济管理中的统计信息、天气观测中的气象数据等,都是数值分析的对象。
2. 数值分析的目的数值分析的主要目的是通过对数值数据和信息的定量分析,发现其中的规律,提取有用的信息,做出科学的预测和决策。
例如,通过对某种药物的临床试验数据进行数值分析,可以得出这种药物的疗效和毒性情况,为临床医生的治疗决策提供依据。
3. 数值分析的方法数值分析采用数学和计算机科学的方法对数值数据和信息进行处理和分析。
它涉及的具体方法包括数值计算、插值与逼近、数值微分和积分、常微分方程数值解、数值线性代数等。
二、数值分析的基本内容1. 数值计算数值计算是数值分析的基本方法之一,它包括离散化、数值稳定性、误差分析等内容。
离散化是将连续问题转化为离散问题,这是数值计算的基本工作方式。
数值稳定性研究的是数值方法对误差的敏感程度,是评价数值方法好坏的重要指标。
误差分析则研究数值计算中产生的误差的成因和大小。
2. 插值与逼近插值与逼近是数值分析的重要内容之一,它研究如何通过已知的数值数据估计未知函数的值。
插值是通过已知的离散数据点构造一个连续函数,使得这个函数通过这些数据点;逼近则是通过已知的离散数据点构造一个近似函数,使得这个函数与原函数的差尽量小。
3. 数值微分和积分数值微分和积分是数值分析的又一重要内容,它研究如何通过已知的函数值计算函数的导数和定积分值。
数值微分是通过函数值计算函数的导数值;数值积分则是通过函数值计算函数的定积分值。
这两项工作在科学计算中有着广泛的应用。
4. 常微分方程数值解常微分方程数值解也是数值分析的重要内容之一,它研究如何通过数值方法计算常微分方程的近似解。
常微分方程是自然界和技术工程中经常出现的数学模型,因此其数值解的研究有着广泛的应用价值。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析是计算数值解的方法和理论,它研究的是如何利用计算机对数学问题进行数值计算和数值逼近。
数值分析包括了数值方法的设计、分析和实现,以及误差分析和计算复杂性分析等方面。
下面是数值分析的一些重要知识点的总结。
1.数值算法:数值算法是解决数学问题的计算方法,它由一系列具体的计算步骤组成。
常见的数值算法有插值、数值积分、数值微分、常微分方程数值解法等。
2.数值稳定性:数值稳定性是指数值算法在计算过程中对误差的敏感程度。
一个数值算法如果对输入数据的微小扰动具有较大的响应,就称为不稳定算法;反之,如果对输入数据的微小扰动具有较小的响应,就称为稳定算法。
3.四舍五入误差:在浮点数计算中,由于计算机表示的限制,涉及舍入运算的计算可能会引入误差。
四舍五入误差是指在进行舍入运算时,取最近的浮点数近似值所引入的误差。
4.条件数:条件数是用来衡量数值问题的不稳定性的一个指标。
它描述了输入数据的微小扰动在计算结果中的放大程度。
条件数的大小决定了数值算法的数值稳定性,通常越大表示问题越不稳定。
5.插值:插值是基于已知数据点,构造插值函数来近似未知数据点的方法。
常用的插值方法有线性插值、多项式插值和样条插值等。
6. 数值积分:数值积分是用数值方法进行积分计算的一种方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、Simpson法则和Gauss-Legendre积分法等。
7.数值微分:数值微分是通过数值方法来计算函数的导数的一种方法。
常用的数值微分方法有中心差分法和前向差分法等。
8. 常微分方程数值解法:常微分方程数值解法用于求解常微分方程的近似解。
常用的常微分方程数值解法有Euler法、Runge-Kutta法和Adams法等。
9.误差分析:误差分析是对数值算法计算结果误差的研究。
可以通过理论分析或实验方法来估计误差,并找到减小误差的方法。
10.计算复杂性分析:计算复杂性分析是对数值算法运行时间和计算资源的需求进行评估的方法。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析知识点总结:本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题,但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。
第1章数值分析与科学计算引论:绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标,有效数字则是描述近似值精度的一种方式。
其中,相对误差限是绝对误差的上界。
有效数字的计算方法为:如果近似值x的误差限是某一位的半个单位,该位到x的第一位非零数字共有n位,就说x*共有n位有效数字。
一个比较好用的公式是f(x)的误差限:f(x)f'(x)(x)。
第2章插值法:插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。
三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同,但哪一个更优越需要根据实际情况而定。
确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数?为确定这些参数,需加上什么条件?三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。
第3章函数逼近与快速傅里叶变换:带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式,其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。
切比雪夫多项式也有其独特的性质。
用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。
最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线,但当次数n较大时,不直接求解法方程。
第4章数值积分与数值微分:XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法,其中高斯求积公式可以用来计算定积分。
勒让德多项式的零点就是高斯点,这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法,其公式如下:插值型的求导公式有两点公式和三点公式。
第5章介绍了解线性方程组的直接方法,其中包括LU矩阵的推导过程。
相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。
第6章介绍了解线性方程组的迭代法,判断迭代法是否收敛的条件如下:第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法,其中牛顿法是一种常见的方法。
对于单根且光滑的f(x)=0,牛顿法是局部二阶收敛的。
简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。
数值分析的所有知识点总结
数值分析的所有知识点总结一、数值分析的基本概念1.1 数值分析的定义和作用数值分析是研究利用计算机对数学问题进行数值计算的一门学科。
它旨在发展和分析数值计算方法,以解决实际问题中出现的数学模型。
数值分析的主要作用在于加快科学研究和工程设计的速度,提高计算精度和可靠性,以及发现新的科学规律和工程技术。
1.2 数值计算的基本步骤数值计算通常包括以下基本步骤:建立数学模型、选择适当的数值方法、编写计算程序、进行计算和分析结果。
其中,建立数学模型是数值计算的基础,它将实际问题抽象为数学公式或方程组的形式;选择适当的数值方法是指根据具体问题的特点,选择合适的数值计算方法进行求解;编写计算程序是指将选择的数值方法用计算机程序的形式实现;进行计算和分析结果是指利用计算机进行数值计算,并分析计算结果的准确性和可靠性。
1.3 数值分析的应用范围数值分析广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
在科学研究中,数值分析常用于数学建模、实验数据处理、科学计算等方面;在工程领域,数值分析常用于工程设计、结构分析、流体力学、传热传质等方面;在经济金融领域,数值分析常用于风险评估、金融工程、市场预测等方面。
二、数值计算方法2.1 插值法插值法是利用已知的离散数据(如实验数据、观测数据)推导出未知的数据值的一种数值计算方法。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值等。
2.2 数值微分与数值积分数值微分是指利用离散数据计算函数的导数值的数值计算方法。
常用的数值微分方法包括差商法、中心差商法等。
数值积分是指利用离散数据计算函数的积分值的数值计算方法。
常用的数值积分方法包括复合梯形法、复合辛普森法等。
2.3 数值线性代数数值线性代数是研究线性代数问题的数值计算方法。
它涉及到线性方程组的求解、线性方程组的特征值和特征向量的计算、矩阵的LU分解、矩阵的QR分解等内容。
2.4 非线性方程求解非线性方程求解是研究非线性方程的数值计算方法。
数值分析实验报告心得(3篇)
第1篇在数值分析这门课程的学习过程中,我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。
通过一系列的实验,我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。
以下是我对数值分析实验的心得体会。
一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识:通过实验,将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中,加深对数值分析概念和方法的理解。
2. 培养实际操作能力:实验过程中,我学会了使用Matlab等软件进行数值计算,提高了编程能力。
3. 增强解决实际问题的能力:实验项目涉及多个领域,通过解决实际问题,提高了我的问题分析和解决能力。
4. 培养团队协作精神:实验过程中,我与同学们分工合作,共同完成任务,培养了团队协作精神。
二、实验内容及方法1. 实验一:拉格朗日插值法与牛顿插值法(1)实验目的:掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理,能够运用这两种方法进行函数逼近。
(2)实验方法:首先,我们选择一组数据点,然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。
最后,我们将插值多项式与原始函数进行比较,分析误差。
2. 实验二:方程求根(1)实验目的:掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法,能够运用这些方法求解非线性方程的根。
(2)实验方法:首先,我们选择一个非线性方程,然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。
最后,比较不同方法的收敛速度和精度。
3. 实验三:线性方程组求解(1)实验目的:掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法,能够运用这些方法求解线性方程组。
(2)实验方法:首先,我们构造一个线性方程组,然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。
最后,比较不同方法的计算量和精度。
4. 实验四:多元统计分析(1)实验目的:掌握多元统计分析的基本方法,能够运用这些方法对数据进行分析。
(2)实验方法:首先,我们收集一组多元数据,然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。
数值分析学习总结感想
数值分析学习总结感想在数值分析学习的过程中,我深刻体会到了这门学科的重要性和广泛应用的范围。
通过学习数值分析,我不仅加深了对数学理论的理解,还掌握了一些重要的数值计算方法和算法。
在此过程中,我收获了很多,也产生了许多感想。
首先,数值分析教给我了科学问题解决的方法。
在数值计算中,我们通常无法通过简单的代数运算来求解问题,而是需要借助计算机和数值算法来逼近解。
这种方法可以应用于很多实际问题,例如求解线性方程组、积分、微分方程等。
通过数值分析课程的学习,我掌握了很多常见的数值计算方法,例如高斯消元法、插值方法、数值积分等。
这些方法在实际问题中的应用非常广泛,能够帮助我们解决许多实际问题,提高计算效率和精度。
其次,数值分析也教会了我如何分析和估计误差。
在数值计算中,误差是无法避免的,而且可能会在计算过程中不断累积。
因此,我们需要了解误差的来源,能够进行误差估计和控制。
通过学习数值分析,我学会了如何使用泰勒展开式、理解截断误差和舍入误差等概念,同时也学会了如何使用残差计算和误差估计方法。
这对于判断数值结果的可靠性和计算效果的好坏非常重要,能够帮助我们找到优化方法和改进方案。
另外,数值分析还教会了我如何进行数值模拟和数据处理。
在实际工程和科学研究中,常常需要通过数值模拟来研究分析问题。
通过数值分析的学习,我学会了如何建立数学模型、选择合适的数值方法和算法来模拟求解问题,并能够对模拟结果进行合理的处理和分析。
这对于科学研究和工程设计都非常有价值,能够提高研究效率和解决复杂问题的能力。
最后,数值分析还培养了我一种严谨的科学态度和问题解决的能力。
在数值计算中,一个细微的误差可能会导致完全不同的结果,因此需要我们对问题进行仔细的分析,并保持谨慎的态度。
通过编程实现数值算法,我学会了如何调试代码和检查问题,发现解决bug的方法。
这培养了我的逻辑思维和问题解决能力,也增强了我对科学研究和工程实践的兴趣和热情。
综上所述,通过数值分析的学习,我不仅掌握了一些重要的数值计算方法和算法,还学会了科学问题解决的方法和误差估计的技巧。
数值分析期末知识点总结
数值分析期末知识点总结一、引言数值分析是一门研究如何使用计算机提高数学模型数值计算精度和效率的学科。
它是计算数学的一个重要分支,涉及到数值计算、数值逼近和误差分析等一系列内容。
在数值分析课程中,我们将学习到数值解微分方程、线性代数问题的求解、插值与拟合、积分等一系列内容。
本文将对数值分析期末知识点进行总结,以便帮助大家复习。
二、常见数值计算方法1. 插值与拟合插值与拟合是数值分析中重要的内容,它们用于在给定数据点集上构造一个函数,以便在其他点上进行求值。
插值是通过一些已知数据点来求得一个函数,使得这个函数能够通过这些点,而拟合则是通过已知数据点来求得一个函数,使得这个函数在这些点附近能够比较好地拟合数据。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等;而拟合方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合等。
2. 数值解微分方程数值解微分方程是数值分析的一个重要内容,它讨论如何使用计算机对微分方程进行数值求解。
微分方程是自然界中描述变化的数学方程,它们在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
数值解微分方程的方法包括欧拉法、中点法、四阶龙格-库塔法等。
3. 数值线性代数数值线性代数是数值分析领域的另一个重要内容,它讨论如何使用数值方法解决线性代数问题。
原始的线性代数问题可能非常大或者非常复杂,因此我们常常需要使用计算机进行数值计算。
数值线性代数的方法包括高斯消元法、LU分解、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel 迭代法等。
4. 数值积分数值积分是数值分析的一个重要内容,它讨论如何使用数值方法对积分进行数值求解。
在实际问题中,有很多积分问题是无法解析求解的,因此我们需要使用数值方法进行近似求解。
数值积分的方法包括复合辛普森法、复合梯形法、龙贝格积分法等。
三、数值分析的误差分析在数值计算过程中,我们会遇到误差的问题。
这些误差可能来自于测量、舍入、截断等各种原因。
因此,误差分析是数值分析中一个非常重要的内容。
数值分析实验报告总结
一、实验背景数值分析是研究数值计算方法及其理论的学科,是计算机科学、数学、物理学等领域的重要基础。
为了提高自身对数值分析理论和方法的理解,我们进行了数值分析实验,通过实验加深对理论知识的掌握,提高实际操作能力。
二、实验目的1. 理解数值分析的基本理论和方法;2. 掌握数值分析实验的基本步骤和技巧;3. 培养实验设计和数据分析能力;4. 提高编程和计算能力。
三、实验内容本次实验主要分为以下几个部分:1. 线性方程组求解实验:通过高斯消元法、LU分解法等求解线性方程组,并分析算法的稳定性和误差;2. 矩阵特征值问题计算实验:利用幂法、逆幂法等计算矩阵的特征值和特征向量,分析算法的收敛性和精度;3. 非线性方程求根实验:运用二分法、牛顿法、不动点迭代法等求解非线性方程的根,比较不同算法的优缺点;4. 函数插值实验:运用拉格朗日插值、牛顿插值等方法对给定的函数进行插值,分析插值误差;5. 常微分方程初值问题数值解法实验:运用欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等求解常微分方程初值问题,比较不同算法的稳定性和精度。
四、实验过程1. 线性方程组求解实验:首先,编写程序实现高斯消元法、LU分解法等算法;然后,对给定的线性方程组进行求解,记录计算结果;最后,分析算法的稳定性和误差。
2. 矩阵特征值问题计算实验:编写程序实现幂法、逆幂法等算法;然后,对给定的矩阵进行特征值和特征向量的计算,记录计算结果;最后,分析算法的收敛性和精度。
3. 非线性方程求根实验:编写程序实现二分法、牛顿法、不动点迭代法等算法;然后,对给定的非线性方程进行求根,记录计算结果;最后,比较不同算法的优缺点。
4. 函数插值实验:编写程序实现拉格朗日插值、牛顿插值等方法;然后,对给定的函数进行插值,记录计算结果;最后,分析插值误差。
5. 常微分方程初值问题数值解法实验:编写程序实现欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等算法;然后,对给定的常微分方程初值问题进行求解,记录计算结果;最后,比较不同算法的稳定性和精度。
数值分析学习公式总结
第一章1霍纳(Horner )方法: n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P (x )=0b该方法用于解决多项式求值问题P (x )=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注:p ˆ为近似值绝对误差:|ˆ|pp E p -=相对误差:|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= (d 为有效数字,为满足条件的最大整数) 3 Big Oh(精度的计算): O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则,可得到序列值{}。
设函数g 。
如果对于所有x ,映射y=g(x)的范围满足y , 则函数g 在内有一个不动点; 此外,设定义在内,且对于所有x ,存在正常数K<1,使得,则函数g 在内有唯一的不动点P 。
定理2.3 设有(i )g ,g ’,(ii )K 是一个正常数,(iii )。
如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下,P 成为排斥不动点,而且迭代显示出局部发散性。
. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值(位)法:<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小,但可能不趋近于0,所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数:)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明:用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination (高斯消元法 )第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ;第二步 令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ; 第三步 Ux=y,又上三角解出x ;三Iterative Methods (迭代法)2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值 判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件(绝对对角占优原则)第四章 插值与多项式逼近·第一节 泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开:for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1(泰勒多项式逼近)设,而是固定值。
数值分析学习公式总结
数值分析学习公式总结数值分析是以计算机为工具,对数学问题进行数值计算和近似方法的研究。
在数值分析中,有许多重要的数学公式和算法被广泛应用。
下面是一些数值分析中常用的公式和算法的总结。
1.插值公式:-拉格朗日插值公式:假设有给定的n个点(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n),则对于任意一个x,可以通过拉格朗日插值公式计算出相应的y值。
-牛顿插值公式:利用差商构造的插值公式,对给定n个点进行插值,得到一个多项式函数。
2.数值积分公式:-矩形法:将区间分割成若干小矩形,计算每个矩形的面积然后求和。
-梯形法:将区间分割成若干个梯形,计算每个梯形的面积然后求和。
-辛普森法则:将区间分割成若干个小区间,通过对每个小区间应用辛普森公式计算出近似的定积分值。
3.数值微分公式:-前向差分公式:利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系,通过近似计算导数的值。
-后向差分公式:类似于前向差分公式,但是利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系,通过近似计算导数的值。
-中心差分公式:利用函数在特定点的导数与函数在该点两侧的值之间的差异,通过近似计算导数的值。
4.数值解线性方程组方法:-直接法:高斯消元法,LU分解法等。
-迭代法:雅可比迭代法,高斯-赛德尔迭代法等。
5.最小二乘拟合法:-线性最小二乘拟合:通过线性回归的方法,寻找最佳的拟合直线。
-非线性最小二乘拟合:通过非线性回归的方法,寻找最佳的非线性拟合曲线。
6.数值求解常微分方程方法:-欧拉法:将微分方程离散化,通过迭代计算得到近似解。
-改进欧拉法:利用欧拉法的计算结果进行修正,提高近似解的精度。
- 二阶龙格-库塔法:利用四阶Runge-Kutta法的计算结果进行修正,提高近似解的精度。
7.插值法的误差估计:-真实误差:插值函数与原函数之间的差异。
-误差界:对于给定的插值公式,通过计算条件和边界限制,得到误差的上限。
8.特殊函数的数值计算:-常用特殊函数的近似计算方法,如阶乘函数,指数函数,对数函数等。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结说明:本文只提供部分较好的例题,更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。
一、第1章 数值分析与科学计算引论1. 什么是绝对误差与相对误差?什么是近似数的有效数字?它与绝对误差和相对误差有何关系?相对误差限:**r re ε=的一个上界。
有效数字:如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位,该位到*x 的第一位非零数字共有n 位,就说x *共有n 位有效数字。
即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1)),其中a 1≠0,并且*11102m n x x -+-≤⨯。
其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。
例如9.80的m 值为0,n 值为3,绝对误差限*211102ε-=⨯。
2. 一个比较好用的公式:f(x)的误差限:()***()'()()f x f x x εε≈ 例题:二、第2章插值法例题:5. 给出插值多项式的余项表达式,如何用其估计截断误差?6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别?哪一个更优越?7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数?为确定这些参数,需加上什么条件?8. 三弯矩法:为了得到三次样条表达式,我们需要求一些参数:对于第一种边界条件,可导出两个方程:,那么写成矩阵形式:公式 1对于第二种边界条件,直接得端点方程:,则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。
对于第三种边界条件,可得:也可以写成如下矩阵形式:公式 2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。
(追赶法详见第五章)例题:数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换的正交多项式?什么是[-1,1]上的勒让德多项式?它有3.什么是[a,b]上带权()x什么重要性质?4.什么是切比雪夫多项式?它有什么重要性质?5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?6.什么是最小二乘拟合的法方程?用多项式做拟合曲线时,当次数n较大时,为什么不直接求解法方程?例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论误差来源:模型误差、观测误差、截断误差(方法误差)、舍入误差是的绝对误差,是的误差,为的绝对误差限(或误差限)为的相对误差,当较小时,令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为:即:绝对误差有量纲,而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位,且该位直到的第一位非零数字共有n位,则称近似值有n位有效数字,或说精确到该位。
例:设x==3。
1415926…那么,则有效数字为1位,即个位上的3,或说精确到个位.科学计数法:记有n位有效数字,精确到。
由有效数字求相对误差限:设近似值有n位有效数字,则其相对误差限为由相对误差限求有效数字:设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差(限)等于误差(限)的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1.避免两相近数相减2.避免用绝对值很小的数作除数3.避免大数吃小数4.尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1。
逐步搜索法设f (a) <0, f (b)〉 0,有根区间为 (a, b),从x0=a出发,按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨,每跨一步进行一次根的搜索,即判别f(x k)=f(a+kh)的符号,若f(x k)〉0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0,x k即为所求根),然后从x k—1出发,把搜索步长再缩小,重复上面步骤,直到满足精度:|x k—x k-1|< 为止,此时取x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根.2。
二分法设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0,f(b)〉0。
将[a0,b0]对分,中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。
3.比例法一般地,设 [a k,b k]为有根区间,过(a k,f(a k))、 (b k, f(b k))作直线,与x轴交于一点x k,则:1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法,而且不保证收敛.2。
数值分析总结
数值分析总结数值分析是数学与计算机科学交叉的一个重要领域,用来研究数学上的问题通过计算机进行有效的数值近似和解答。
它的应用范围广泛,包括物理学、工程学、金融学等各个领域。
在实际应用中,数值分析不仅能解决复杂的数学问题,还能帮助人们做出科学决策和优化设计。
本文将对数值分析的基本原理、常用方法和应用案例进行总结。
首先,数值分析的基本原理是通过近似计算的方式,以数值方法对数学问题进行求解。
它的核心思想是将连续的数学问题转化为离散的数值计算问题,通过将问题划分为多个离散的子问题来进行求解。
常用的数值分析方法包括差分法、插值法、数值积分等。
差分法是将连续函数在一系列有限的点上进行逼近的方法。
通过计算函数在这些离散点上的差分值,来近似计算连续函数的导数或微分方程的解。
差分法广泛应用于数值微分、数值积分和常微分方程的数值解法等问题中。
插值法是利用已知数据点构造一个连续函数,通过对这个函数进行求值来近似计算其他位置的数值。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法和牛顿插值法。
插值法在数值逼近、数据拟合和信号处理等领域有重要应用。
数值积分是通过对函数在一段有限区间上进行近似计算来求取积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和高斯积分法。
数值积分在物理学、统计学和金融学等领域有广泛应用。
除了上述方法,数值分析还包括线性方程组求解、非线性方程求解和最优化等问题的数值解法。
线性方程组求解是在给定线性方程组的系数矩阵和常数向量的情况下,通过计算求解未知变量的数值解。
非线性方程求解是通过数值迭代法求解一个非线性方程的数值解。
最优化是寻找一个函数的最优解的问题,通过数值方法进行求解。
数值分析在实际应用中有许多成功的案例。
例如,在工程设计中,利用数值分析可以进行电路仿真、结构分析和流体力学模拟等,帮助工程师优化设计和验证方案。
在金融学中,数值分析可以用来计算期权定价、风险管理和投资组合优化等,对金融机构和投资者做出科学决策。
数值分析总结
数值分析总结数值分析是研究用计算机和数学方法解决数学问题的一门学科,其核心是通过数值计算方法求解数学问题。
数值分析广泛应用于科学计算、工程计算以及实际问题的数值模拟和优化等领域。
本文将从数值方法的基本原理、数值线性代数、非线性方程求解、插值和曲线拟合、数值微分和数值积分、数值常微分方程等方面对数值分析进行总结。
数值方法的基本原理是将需要求解的数学问题转化为离散的数值计算问题。
数值方法主要包括近似计算、误差分析和收敛性研究。
近似计算通过选择适当的数值计算方法和算法,对原始问题进行精确程度有限的近似计算。
误差分析是研究数值计算和解析解之间的差别,包括截断误差和舍入误差。
收敛性研究是研究离散数值计算方法的收敛性,即当步长趋于零时,数值计算结果趋于解析解。
数值线性代数是数值分析的重要内容之一、数值线性代数主要研究线性代数方程组的数值解法。
常见的数值解法包括高斯消元法、LU分解法、Cholesky分解法等。
解线性代数方程组的数值方法可以分为直接法和迭代法两类。
直接法通过有限次数的计算求得方程组的解,而迭代法是通过求解逐步逼近方程组的解。
非线性方程求解是数值分析的另一个重要内容。
非线性方程求解的目标是找到方程的根,即方程的解。
常见的非线性方程求解方法包括二分法、牛顿法、割线法和迭代法。
这些方法根据不同的原理和特点,对非线性方程根的进行逐步逼近,最终得到根的近似值。
插值和曲线拟合是利用已知数据点确定未知数据点的数值计算方法。
插值方法通过已知数据点之间的连线来估计未知数据点的值。
常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
曲线拟合是通过已知数据点拟合出一条曲线,使得该曲线在已知数据点上与原始数据最接近。
最小二乘法是常用的曲线拟合方法,通过最小化数据点到拟合曲线的垂直距离来得到最佳拟合曲线。
数值微分和数值积分是数值分析的基础性内容。
数值微分是通过差商的定义计算函数在特定点的导数值。
常见的数值微分方法有前向差分法和中心差分法。
数值分析总结
数值分析总结随着现代科技的不断进步,数值分析已经成为各领域中不可或缺的一部分。
其在物理学、工程学、金融学等方面的应用都得到了广泛的认可,因此,对于计算机科学专业的同学们来说,学习数值分析已经成为必修的一门课程。
在本文中,我将就自己在学习数值分析课程中所掌握的知识做一些总结。
数值分析是一门关于如何使用数字来解决近似问题的科学。
在这个科学中,有许多有用的方法可以用来解决各种数学问题,其中最为常见的方法是数值计算。
数值计算是一种使用数字来解决特定的问题的方法。
在许多情况下,使用数值计算方法可以更加准确和快速地解决问题。
在数值分析课程中,学生需要掌握许多计算方法以及相关工具的使用。
例如,学生需要了解矩阵的乘法、矩阵分解、常微分方程等。
这些工具不仅可以应用于各种物理学和工程学问题中的数值解法,而且在生物学和社会科学领域也有着广泛的应用。
生物学家可以使用数值解法来模拟生物过程,比如分子动力学模拟。
社会学家可以使用数值方法来模拟不同的人类行为,例如人口数量增长预测。
在学习这些数值方法时,学生应该注意到这些方法的局限性。
尽管数值方法可以解决许多数学和物理问题,但在某些情况下会出现误差。
例如,在矩阵乘法的过程中,如果矩阵存在着特殊条件,那么乘法会变得更加困难。
此外,在微积分应用中,数值方法有时难以确定解是真的或近似的,因为误差可以在整个过程中积累。
在课程中,我们还学会了如何在计算中减少误差。
一个有用的方法是使用不同步长的方法,从而可以确定误差的上限。
为了减小误差,我们还可以使用不同的算法和不同的计算工具。
在实际的生产中,这些方法对于确保准确和可靠的计算是非常重要的。
另外,我们也学会了如何评估一种方法或算法的优点和缺点。
我们应该选择最适合特定问题的解决方案,以确保我们的计算是正确的。
在总结中,可以看出数值分析是一个广泛应用于各个学科领域的科学。
在学习数值分析时,我们需要了解各种数学和物理工具,并学会如何选择最适合我们的问题的数值方法。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析是一门研究数值计算方法的学科,它旨在研究如何使用计算机算法来解决数学问题。
数值分析广泛应用于科学与工程领域,如物理学、化学、计算机科学、经济学等,有助于我们在计算机上进行精确、高效、可靠的数值计算。
以下是数值分析的一些重要知识点。
1.数值误差:数值计算中存在着各种误差,包括舍入误差、截断误差、传播误差等。
舍入误差是由于计算机对无限小数进行近似表示而产生的误差,截断误差是由于计算方法不完全而导致的误差,传播误差是由于误差在计算过程中的传播而产生的误差。
2.插值与外推:插值是一类问题,它的目标是通过已知数据点的近似值来估计未知点的值。
插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
外推是在已知数据点外估计函数值的方法,例如外推法、Richardson外推法等。
3.数值积分与微分:数值积分是计算函数在给定区间上的定积分的近似值的方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格法则等。
数值微分是通过计算函数在给定点的导数的近似值来估计函数的变化率。
4.线性方程组的求解:线性方程组是数值计算中的重要问题之一,其解决方法包括直接法和迭代法。
直接法是通过代数运算求解线性方程组的精确解,如高斯消元法、LU分解法等。
迭代法是通过迭代计算逼近线性方程组的解,如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
5.非线性方程的求解:非线性方程求解是指求解形式为f(x)=0的方程的根。
常用的非线性方程求解方法有二分法、牛顿法、割线法等。
6.常微分方程的数值解法:常微分方程的数值解法是指通过计算机算法来近似求解微分方程的解。
常用的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
7.特征值与特征向量的计算:特征值和特征向量是矩阵与线性变换中的重要概念。
求解特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵或线性变换的性质。
常用的特征值计算方法有幂法、反幂法等。
8.曲线拟合与回归分析:曲线拟合是通过给定的散点数据来拟合出一个函数曲线的方法。
数值分析期末总结与体会
数值分析期末总结与体会数值分析是一门应用数学课程,主要研究数值计算方法和数值计算误差,并为实际问题提供数值计算解决方案。
在本学期的学习中,我深入学习了数值计算的基本概念与原理,并通过编程实践掌握了常见的数值计算方法。
在期末考试前夕,我对这门课的学习经历进行了总结与体会,下面是我对数值分析的期末总结与体会。
一、总结1. 知识掌握:在学习过程中,我通过系统的学习,掌握了课程中介绍的求根问题、插值问题、数值积分和数值微分等数值计算方法。
我了解了牛顿迭代法、二分法、割线法等求解非线性方程根的方法,熟悉了拉格朗日插值、牛顿插值等插值方法,学会了辛卜生插值多项式、三次样条插值等高级插值方法。
同时,我还学习了梯形法则、辛普森法则等数值积分算法,掌握了欧拉法、龙格-库塔法等数值微分算法。
2. 编程实践:在理论学习的基础上,我通过编写程序加深了对数值计算方法的理解与掌握。
我使用Python语言编写了求解非线性方程根、插值计算、数值积分和数值微分的代码,并通过实际运行验证了这些数值计算方法的正确性与有效性。
编程实践过程中,我深刻体会到了算法的重要性,不同的算法对于同一个数值计算问题,可能会有不同的效果。
3. 数值计算误差:在学习数值计算的过程中,我逐渐认识到数值计算误差的存在与产生机理。
由于计算机内部采用的是二进制表示法,而浮点数的二进制表示无法准确表示所有的实数,从而引入了舍入误差;另外,数值计算方法本身也存在精度误差,例如插值多项式的截断误差、数值积分的数值误差等。
掌握数值计算误差的产生原因和估计方法,对于正确评估数值计算结果的精度至关重要。
4. 应用实例:在学习过程中,我们还分析了各种实际问题,并通过数值计算方法得到了解决方案。
例如,在求根问题中,我们可以利用牛顿迭代法估计气体状态方程的参数;在插值问题中,我们可以使用拉格朗日插值方法恢复图像;在数值积分中,我们可以利用梯形法则或辛普森法则计算定积分;在数值微分中,我们可以应用欧拉法或者龙格-库塔法求解微分方程等。
数值分析总结范文
数值分析总结范文数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科,它运用数学模型和计算机技术对实际问题进行数值计算和数值仿真。
数值分析在科学研究、工程设计和生产制造等领域中具有重要的应用价值。
本文将对数值分析的基本概念、方法和应用进行总结,并讨论其在实际问题中的重要性。
数值分析的基本概念包括离散化、数值逼近和数值解等。
离散化是将连续问题转化为离散问题,即将问题的自变量和函数值的取值范围划分为一系列离散的点,通过计算这些点上的数值来获得连续问题的近似解。
数值逼近是利用已知数据和适当的数学模型来构造近似函数,从而求出函数的近似值。
数值解是通过数值计算方法获得的问题的近似解,它往往是一个有限精度的数值。
数值分析的方法主要包括数值插值、数值积分、数值微分、求解线性方程组和求解非线性方程等。
数值插值是通过已知离散数据来构造一个连续函数的近似值,常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。
数值积分是用数值方法计算函数的积分值,常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。
数值微分是通过数值方法计算函数的导数值,常用的数值微分方法包括中心差分法和前向差分法等。
求解线性方程组是通过数值方法找到线性方程组的解,常用的求解方法有高斯消元法和LU分解法等。
求解非线性方程是通过数值方法找到非线性方程的近似解,常用的求解方法有二分法和牛顿法等。
数值分析在实际问题中具有广泛的应用。
在科学研究中,数值分析可以帮助科学家解决数学模型求解的问题,从而推动科学的发展。
例如,在物理学中,数值分析可以用来解决质点运动、电磁场分布和流体力学等问题。
在工程设计中,数值分析可以帮助工程师设计和优化产品的结构和性能。
例如,在航空工程中,数值分析可以用来模拟飞机的空气动力学性能,从而指导机翼和机身的设计。
在生产制造中,数值分析可以帮助生产者提高产品的质量和效率。
例如,在汽车制造中,数值分析可以用来模拟车辆的碰撞和疲劳性能,从而提高车辆的安全性和耐久性。
数值分析总结
数值分析总结数值分析是一门研究实际问题数值解法和计算方法的学科。
它通过将求解问题的过程数值化,利用计算机进行数值计算,从而得到问题的近似解。
数值分析在自然科学、工程学和经济学等领域有着广泛的应用。
在本文中,我将对数值分析这门学科进行总结和分析。
首先,数值分析主要包括数值插值、数值积分、数值微分、数值代数方程组求解和常微分方程数值解等内容。
其中,数值插值是通过已知函数值的一些点来推求未知点的近似值的方法;数值积分是利用数值方法计算函数在给定区间上的积分;数值微分是利用近似方法计算函数在某一点的导数。
而数值代数方程组求解和常微分方程数值解则是求解方程组和常微分方程近似解的方法,这两者是数值分析最重要的应用之一。
其次,数值分析方法的选择对于问题的求解有着重要的影响。
对于不同的问题,我们需要选择适合的数值方法来得到较为准确的解。
例如,在求解数值积分问题时,我们可以选择梯形法则、辛普森法则等方法来近似计算积分值;在求解常微分方程数值解时,我们可以选择显式欧拉法、隐式欧拉法、龙格-库塔法等数值解法。
合理选择数值方法可以提高求解问题的准确性和计算效率。
此外,数值分析中的误差分析是一项重要的工作。
由于数值计算的舍入误差和截断误差的存在,我们得到的数值解通常会与真实解有所偏差。
因此,在进行数值计算时,我们需要对误差进行分析和控制。
误差分析可以帮助我们评估数值方法的可靠性,并调整计算过程来尽量减小误差。
在实际问题中,误差分析对于判断结果的合理性至关重要。
最后,数值分析的发展受到计算机技术的支持。
随着计算机性能的提升和算法的改进,数值分析的应用范围也在不断扩大。
计算机的高速计算和存储能力使得我们能够处理更加复杂的问题,并得到更加精确的数值解。
同时,以数值分析为基础的科学计算软件的开发也极大地推进了数值分析的发展。
综上所述,数值分析是一门重要的学科,它为实际问题的求解提供了有效的数值方法和计算工具。
在实践中,我们需要选择合适的数值方法来解决具体问题,并进行误差分析以确保结果的可靠性。
数值分析知识点大全总结
数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础,它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。
下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。
1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。
常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。
其中,最为重要的是多项式逼近,它可以用来近似任意函数,并且具有较好的数学性质。
2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
其中,辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法,它可以用来估计任意函数的积分值,并且具有较好的数值稳定性。
3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据,常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。
4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。
常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。
而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。
5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。
6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。
常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。
其中,牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法,它具有收敛速度快的特点。
7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。
其中,龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法,它可以用来求解各种类型的常微分方程。
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第一章 绪论误差来源:模型误差、观测误差、截断误差(方法误差)、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差,e =x ∗−x 是x ∗的误差,ε(x )=|x −x ∗|≤ε,ε为x ∗的绝对误差限(或误差限) e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差,当|e r |较小时,令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为:εr 即:|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲,而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位,且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位,则称近似值 x ∗有n 位有效数字,或说 x ∗精确到该位。
例:设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位,即个位上的3,或说 x ∗精确到个位。
科学计数法:记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ,则x ∗有n 位有效数字,精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限:设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (a 1≠0)有n 位有效数字,则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字:设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (a 1≠0)的相对误差限为为12(a 1+1)×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值,且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η(y )和的误差(限)等于误差(限)的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η(y )3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21.避免两相近数相减2.避免用绝对值很小的数作除数 3.避免大数吃小数 4.尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0,有根区间为 (a , b ),从x 0=a 出发, 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨,每跨一步进行一次根的搜索,即判别f (x k )=f (a +kh )的符号,若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0,x k 即为所求根), 然后从x k -1出发,把搜索步长再缩小,重复上面步骤,直到满足精度:|x k -x k -1|<E 为止,此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
2.二分法设f (x )的有根区间为[a ,b ]= [a 0,b 0], f (a )<0, f (b )>0.将[a 0,b 0]对分,中点x 0= ((a 0+b 0)/2),计算f (x 0)。
对于给定精度ε,即b−a 2k<ε,可得所需步数k ,k >[ln (b−a )−ln (ε)ln23.比例法一般地,设 [a k ,b k ]为有根区间,过(a k , f (a k ))、 (b k , f (b k ))作直线,与x 轴交于一点x k ,则:x =a −f(a)f (b )−f(a)∗(b −a)1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法,而且不保证收敛。
2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根,而是在一定条件下直接构造出一个点列(递推公式),使该点列收敛到方程的根。
——这正是迭代法的基本思想。
事先估计:|x ∗−x k |≤L 1−L |x 1−x 0|事后估计|x ∗−x k |≤11−L |x k+1−x k |局部收敛性判定定理:设x ∗为方程x =φ(x )的根,φ(x)′在x ∗的某一邻域内连续, 且|φ(x ∗)′|<1,则该迭代局部收敛局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱,但对初始点要求较高,即初始点必须选在精确解的附近Steffensen 迭代格式:x ̃k+1=φ(x k ) x ⃗ k+1=φ(x ̃k+1)x k+1=x k −(x ̃k+1−x k )2k+1k+1kNewton 法:x k+1=x k −f(x k )f′(x k )Newton 下山法:x k+1=x k −λf(x k )f′(x k),λ是下山因子 弦割法:x k+1=x k −f (x k )∗(x k −x k−1)f (x k )−f(x k−1)抛物线法:令t =x −x k ,h 0=x k−2−x k ,h 1=x k−1−x k ,可化为y (t )=at 2+bt +c其中:a =(f (x k−2)−c )∗h 1−(f (x k−1)−c )∗h 0h 1∗h 02−h 0∗h 12b =(f (x k−1)−c )∗h 02−(f (x k−2)−c )∗h 12h 1∗h 02−h 0∗h 12c =f(x k )则:x k+1={ x k −2cb +√b 2−4ac b >0x k +b +√b 2−4acb ≤0设迭代 x k +1 = g (x k ) 收敛到g (x ) 的不动点(根) x * 设 e k = x k x *若lim k→∞|e k+1||e k |p=C ,则称该迭代为p (不小于1)阶收敛,其中 C (不为0)称为渐进误差常数 第三章 解线性方程组直接法列主元LU 分解法:计算主元S i =a ik −∑l ir u rk ,i =k,k +1…n k−1r=1选主元|S ik |=max k≤i≤n{|S i |}{u 1j =a 1j ,(j =1,2…n)l i1=a i1u 11,(i =2,3…n){u kj =a kj −∑l km u mj ,(j =k,k +1,…n ),即为上式主元k−1m=1l ik =1u kk(a ik −∑l im u mk k−1m=1),(i =k +1,k +2,…n )对于Ax=b ,三角分解A=LU ,Doolittle 分解:L 为单位下三角矩阵,U 为上三角矩阵;Crout 分解:L 为下三角矩阵,U 为单位上矩阵。
可分解为: {Ly =b ,下三角方程组Ux =y ,上三角方程组若利用紧凑格式可化为:Ux =y{y 1=b 1y k =b k −∑l km y m ,(k =2,3…n )k−1m=1Cholesky 平方根法:系数矩阵A 必须对称正定AX =b ⇔{Ly =bL T x =y(其中A =L L T ){l 11=√a 11,l i1=a i1l 11(i =2,3…n)l kk =√a kk −∑l km 2k−1m=1,l ik =1l kk (a ik−∑l im l km )(i =k +1,k +2…n ,k =2,3…n)k−1m=1改进Cholesky 分解法:A =LDL TL =[ 1l 211l 31l 321………⋱l n1l n2…l n(n−1)1],D =[ d1d 2⋱⋱d n ]。
由A =L(DL T ) A =[ 1l 211l 31l 321………⋱l n1l n2…l n(n−1)1],D =[d 1d 1l 21d 1l 31…d 1l n1d 2d 2l 32…d 2l n2⋱…d 3l n3⋱⋮d n ],逐行相乘 {l ij =1d j (a ij −∑l ik d k l jk ),(j =1,2…i −1)j−1k=1d i =a ii −∑l ik 2j−1k=1d k ,(i =1,2…n)为减少计算量,令c ij =l ij d j ,可改为:{c ij =a ij −∑c ik l jk j−1k=1l ij =c ij d j d j =a ii −∑c ik l ik i−1k=1(i =2,3…n ,j =1,2…i −1),等价于{Ly =bL T x =D −1y 其中:D−1=[1d 11d 2⋱1d n ] 追赶法:Ax=d(A=LU),可化为Ly=d,Ux=y A =[a 1c 1b 1a 2c 2⋱⋱⋱a n−1b n−1c n−1a nb n ] =[1l 21⋱⋱l n−11l n1] [u 1c 1u 2c 2⋱⋱u n−1c n−1u n ]{u 1=b 1l i =a iu i−1u i =b i −l i c i−1,(i =2,3…n)向量范数::{‖A ‖1=∑|x i |n i=1,1−范数‖A ‖2=√∑x i 2n i=1,2−范数或欧氏范数‖A ‖∞=lim p→+∞‖x ‖p =max 1≤i≤n{|x i |},∞−范数矩阵范数:{‖A ‖1=max 1≤j≤n ∑|a ij |n i=1,列范数‖A ‖2=√λmax (A T A ),谱范数‖A ‖∞=max 1≤i≤n∑|a ij |nj=1,行范数谱半径:ρ(A )=max 1≤i≤n{|λi |}λ为特征值,且ρ(A )≤‖A ‖,若A 为对称阵则:ρ(A )=‖A ‖2收敛条件:谱半径小于1条件数:Cond =‖A −1‖∗‖A ‖,Cond 2(A )=|λmax ||λmin |第四章 解线性方程组的迭代法Jacobi 迭代:x i (k+1)=1a ii(b i −∑a ij x j (k )−∑a ij x j (k ))nj=i+1i−1j=1,(i =1,2…n;k =0,1,2…)基于Jacobi 迭代的Gauss-Seidel 迭代:x i (k+1)=1a ii(b i −∑a ij x j (k+1)−∑a ij x j (k ))nj=i+1i−1j=1,(i =1,2…n;k =0,1,2…) 迭代收敛:谱半径小于1,范数小于1能推出收敛但不能反推逐次超松弛迭代(SOR ):x i (k+1)=x i(k)−ϖa ii(b i −∑a ij x j (k+1)−∑a ij x j (k ))nj=i+1i−1j=1,(i =1,2…n;k =0,1,2…) 或:x i(k+1)=(1−ϖ)x i (k )+ϖa ii(b i −∑a ij x j (k+1)−∑a ij x j (k ))nj=i+1i−1j=1,(i =1,2…n;k =0,1,2…)当ϖ=1时,就是基于Jacobi 迭代的Gauss-Seidel 迭代(加权平均)。