2018-2019学年湖南省永州市九年级(上)期末数学试卷

2018-2019学年湖南省永州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.1，2〕，则k的值为（）A. 0.5B. 1C. 2D. 42.）C.3.方程x2-2x+1=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根4.已知点A（3，y1），B（5，y2）在函数y则y1，y2的大小关系是（）A. y1＜y2B. y1＞y2C. y1=y2D. 不能确定5.下列各式中，不成立的是（）A. cos60°=2sin30°B. sin15°=cos75°C. tan30°•tan60°=1D. sin230°+cos230°=16.为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭，并将这些家庭的月用水量进行统计，结果如下表：A. 中位数是5B. 平均数是5C. 众数是6D. 方差是67.在同一平面直角坐标系中，函数y y=kx+1（k为常数，k≠0）的大致图象是（）8.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加以下条件，不能判断△AED∽△ABC的是（）A. ∠AED＝∠ABCB. ∠ADE＝∠ACB9.如图，已知线段AB，过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC；连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点P）10.式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，这里“∑”是求和符号，，通过对以上材料的阅读，是（）二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，若BC=2，则DE的长是______．12.如图，点P在反比例函数y P作PA⊥x轴于点A，则△POA的面积是______．13.如图，某商店营业大厅自动扶AB的坡度为i=1：2.5，过B点作BC⊥AC．垂足为点C．若大厅水平距离AC的长为7.5m，则两层之间的高度BC为______米．14.已知关于x的方程x2+3x+q=0的一个根为-3，则它的另一个根为______，q=______．15.两个相似三角形的最短边长分别为5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么较大三角形的周长为______cm．16.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E，且tan∠ADEAC=5，则AB的长______．17.如图所示是小明家房子的侧面图，屋面两侧的斜坡AB=AC=6米，屋顶∠BAC=150°，计划把图中△ABC（阴影部分）涂上墙漆，若墙漆的造价每平方米为100元，则这部分墙漆的造价共需______元．18.我们规定：等腰三角形的底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”．如图，△ABC是以A为顶点的在△ABC外有一点D，若∠ADB=∠ABC，AD=4，BD=3，则∠ABC=______度，CD的长是______．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19.计算：|-2|+（π+2019）0-2tan45°．20.2018年全国青少年禁毒知识竞赛开始以来，永州市青少年学生跃参如，掀起了学习禁毒知识的热潮，禁毒知识竞赛的成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格．为了了解我市广大学生参加禁毒知识竞赛的成绩，抽取了部分学生的成绩，根据抽查结果，绘制了如下两幅不完整的计图（1）本次抽查的人数是______；（2）扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为______度；（3）补全条形统计图；（4）若某校有2000名学生，请你估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”两个等级共有多少人？21.为了预防“流感“，某学校对教室采用熏法进行消毒，已知药物燃烧时．室内每立方米空气中的含药量y（毫克/立方米）与药物点燃后的时间x（分钟）成正比例；药物燃尽后，y与x成反比例（如图所示）已知药物点燃后6分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为15毫克．（1）分别求出这两个函数的表达式：（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于3毫克时对人体没有危害，那么此次消毒后经过多长时间学生才可以安全进入教室？22.某公司2016年的生产成本是100万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2018年的生产成本是81万元，若该公司2017、2018年每年生产成本下降的百分率都相同．（1）求平均每年生产成本下降的百分率；（2）假设2019年该公司生产成本下降的百分率与前两次相同，请你预测2019年该公司的生产成本．23.如图，某数学兴趣小组为测量教学楼CD的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得教学楼顶端D的仰角∠DEG为30°，再向前走20米到达B处，又测得教学楼顶端D 的仰角∠DFG为60°，A、B、C三点在同一水平线上，求教学楼CD的高（结果保留根号）．24.已知关于x的方程x2-4x+3-a=0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a取满足条件的最小整数值时，求方程的解；（3）在（2）的条件下，若方程x2-4x+3-a=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，求等腰△ABC的周长．25.如图，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值？（3）在AC上是否存在点E，使△ADE是等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．26.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴、y轴上，D是对角线的交点，若反比例函数y D，且与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点E，F．（1）若D的坐标为（4，2）①则OA的长是______，AB的长是______；②请判断EF是否与AC平行，井说明理由；③在x轴上是否存在一点P．使PD+PE的值最小，若存在，请求出点P的坐标及此时PD+PE的长；若不存在．请说明理由．（2）若点D的坐标为（m，n），且m＞0，n＞02018-2019学年湖南省永州市九年级（上）期末数学试卷答案和解析【答案】1. C2. C3. B4. B5. A6. C7. D8. C9. A10. D11. 112. 213. 314. 0 015. 3016. 317. 90018. 4519. 解：原式=2+1-2=1．20. 120人1821. 解：（1）∵正比例函数的图象经过点（6，15），∴正比例函数的解析式为y=x，∵反比例函数的图象经过点（6，15），∴反比例函数的解析式为：y=；（2）把y=3代入y=中得x=30，∴此次消毒后经过30分钟学生才可以安全进入教室．22. 解：（1）设每年生产成本的下降率为x，根据题意得：100（1-x）2=81，解得：x1=0.1=10%，x2=1.1（不合题意，舍去）．答：每年生产成本的下降率为10%．（2）81×（1-10%）=72.9（万元）．答：预测2019该公司的生产成本为72.9万元．23. 解：∵∠DFG=∠DEF+∠EDF，∠DFG=60°，∠DEF=30°，∴∠DEF=∠FDE=30°，∴EF=FD=20米，在Rt△DFG中，DG=DF•sin60°=20×=10（米），∵四边形AEGC是矩形，∴CG=AE=1.5米，∴CD=DG+CG=（1.5+10）米．24. 解：（1）根据题意得△=（-4）2-4（3-a）＞0，解得a＞-1；（2）a的最小整数为0，此时方程为x2-4x+3=0，（x-3）（x-1）=0，x-3=0或x-1=0，所以x1=3，x2=1；（3）∵方程x2-4x+3-a=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，∴等腰△ABC的腰长为3，底边长为1，∴等腰△ABC的周长=3+3+1=7．25. （1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠B=∠C=∠ADE=45°∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）由（1）得△ABD∽△DCE，∴=∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC=，CD=-x，EC=1-y，∴=，y=x2-x+1=（x-）2+，当x=时，y有最小值，最小值为；（3）当AD=DE时，△ABD≌△CDE，∴BD=CE，∴x=1-y，即x-x2=x，∵x≠0，∴等式左右两边同时除以x得：x=-1∴AE=1-x=2-，当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，所以，AE=；当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，AE的长为2-或．26. 8 4【解析】1. 解：将点（1，2）代入解析式得，，k=2．故选：C．将点（1，2）代入解析式即可求出k的值．本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，点的坐标符合函数的解析式，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．2. 解：∵=，∴=-1=-1=-，故选：C．由=-1，再代入计算可得．本题主要考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．3. 解：∵△=（-2）2-4×1×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选：B．先计算出△=（-2）2-4×1×1=0，然后根据△的意义进行判断方程根的情况．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4. 解：把A（3，y1），B（5，y2）代入y=中得y1=，y2==1，所以y1＞y2．故选：B．把A、B两点坐标代入反比例函数解析式可分别计算出y1，y2，从而可比较它们的大小．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．5. 解：A、cos60°=sin30°，错误；B、sin15°=cos75°，正确；C、tan30°•tan60°=1，正确；D、sin230°+cos230°=1，正确；故选：A．根据互余两角的三角函数关系判断即可．此题考查互余两角的三角函数关系，关键是根据互余两角的三角函数关系解答．6. 解：A、根据按大小排列这组数据，第10，11个数据的平均数是中位数，（6+6）÷2=6，故本选项错误；B、平均数=（4×4+5×5+6×7+8×3+13×1）÷20=6，故本选项错误；C、6出现了7次，出现的次数最多，则众数是6，故本选项正确；D、方差是：S2=[4（4-6）2+5（5-6）2+7（6-6）2+3（8-6）2+（13-6）2]=4.1，故本选项错误；故选：C．根据平均数、中位数、众数和方差的概念，对选项一一分析，选择正确答案．此题主要考查了平均数、中位数、众数和方差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．7. 解：当k＞0时，函数y=的图象在第一、三象限，函数y=kx+1在第一、二、三象限，故选项C错误，选项D正确，当k＜0时，函数y=的图象在第二、四象限，函数y=kx+1在第一、二、四象限，故选项A、B错误，故选：D．根据题意中的函数解析式和分类讨论的方法，可以判断哪个选项中的图象是正确的．本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8. 解：A、∠ABC=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误；B、∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误；C、不能判定△ADE∽△ACB，故C选项正确；D、，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误．故选：C．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．9. 解：∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°，设AB=2a，BC=a，则AC=a，∵CD=BC=a，∴AD=AC-CD=（-1）a，∵AP=AD，∴AP=（-1）a，∴=．故选：A．设AB=2a，BC=a，则AC=a，利用勾股定理求得AP的长，即可得出的值．本题考查了勾股定理以及黄金分割的运用，正确掌握勾股定理是解题的关键．10. 解：=-；则=+++…+=1-+-+-+…+-=1-=．故选：D．根据=-，结合题意运算即可．此题考查了分式的加减运算，解答本题的关键是运用=-，难度一般．11. 解：∵DE∥BC，AD=DB，∴AE=EC，∴DE=BC=1，故答案为1．利用三角形的中位线定理即可解决问题．本题考查三角形的中位线定理，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12. 解：设点P的坐标为（x，y）．∵P（x，y）在反比例函数y=-的图象上，∴xy=-4，∴S△POA=|xy|=2，故答案为：2．设出点P的坐标，△OAP的面积等于点P的横纵坐标的积的一半，把相关数值代入即可．题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．13. 解：∵AB的坡度为i=1：2.5，过B点作BC⊥AC，垂足为点C，大厅水平距离AC的长为7.5m，∴BC：AC=1：2.5，则BC=7.5÷2.5=3（m）．故答案为：3．直接利用坡度的定义进而得出BC：AC=1：2.5，求出答案即可．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．14. 解：根据题意，得9-9+q=0，解得，q=0；由韦达定理，知x1+x2=-3；则-3+x2=-3，解得，x2=0．故答案是：0，0．根据一元二次方程的解定义，将x=-3代入关于x的方程x2+3x+q=0，然后解关于q的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=-解出方程的另一个根．本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=-、x1•x2=来计算时，要弄清楚a、b、c的意义．15. 解：∵两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，∴两个三角形的相似比为5：3，设大三角形的周长为5x，则小三角形的周长为3x，由题意得，5x-3x=12，解得，x=6，则5x=30，故答案为：30．根据题意求出两个三角形的相似比，再根据题意列出方程，解方程即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的相似比即对应边的比，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．16. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AB=CD，∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ADE=∠ACD，∴tan∠ACD=tan∠ADE==，设AD=4k，CD=3k，则AC=5k，∴5k=5，∴k=1，∴CD=AB=3，故答案为3证明∠ADE=∠ACD，推出tan∠ACD=tan∠ADE==，设AD=4k，CD=3k，则AC=5k，构建方程求出k即可解决问题．本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．17. 解：如图，过点B作BD垂直于CA延长线于点D，∵∠BAC=150°，∴∠BAD=30°．∴BD=AB•sin30°=AB=3米．∴S阴影=AC•BD==9（平方米）则造价为：9×100=900（元）故答案是：900．如图，过点B作BD垂直于CA延长线于点D，构造直角△ABD，通过解直角三角形求得BD的长度，利用三角形的面积公式求得阴影部分的面积，然后根据造价求解．考查了解直角三角形的应用，培养学生通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力．18. 解：设等腰三角形的底角为x，∵△ABC是以A为顶点的“特征值”为的等腰三角形，根据定义可知顶角为2x．∴x+x+2x=180°，∴x=45°，即∠ABC=45°，∠BAC=90°，过C点作CH⊥DA垂足为H，交DB延长线于E，如图：∵∠ADB+∠DAB=∠ABC+∠CBE，∠ADB=∠ABC=45°，∴∠ADB=∠E=45°，∠DAB=∠EBC，∴△ADB∽△BEC，∴，∵△ABC是等腰直角三角形，∴，∵AD=4，BD=3，∴BE=4，CE=3，∴DE=3+4，∵△DHE是等腰直角三角形，∴DH=EH==，∴CH=，在Rt△DCH中，CD==．故答案为：45，．由等腰三角形的“特征值”定义可知，“特征值”为的等腰三角形由三角形内角和可计算出顶角为90°，底角为45°，故可知∠ABC=45°，由∠ADB=∠ABC=45°联想一线三等角构造相似三角形，过C点作CH⊥DA垂足为H，交DB延长线于E，得△ADE∽△BEC，再在Rt△AHE中，由勾股定理即可求出CD．本题综合考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质、相似三角形判断和性质、勾股定理，运用一线三等角构造相似三角形是解题关键，和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出4∠BAC=180°是解此题的关键．19. 直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20. 解：（1）本次抽查的人数为24÷20%=120（人），故答案为：120人；（2）扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为360°×=18°，故答案为：18；（3）良好的人数为120-（24+54+6）=36（人），补全图形如下：（4）估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”两个等级共有2000×=1000（人）．（1）由优秀的人数及其所占百分比可得总人数；（2）用360°乘以不及格人数所占比例即可得；（3）根据各等级人数之和等于总人数求得良好的人数，据此可补全条形图；（4）用总人数乘以样本中“优秀”和“良好”人数和占被调查人数的比例可得．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21. （1）由于在药物燃烧阶段，y与x成正比例，因此设函数解析式为y=kx（k≠0），然后由（6，15）在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧时y与x的函数解析式；由于在药物燃烧阶段后，y与x成反比例，因此设函数解析式为y=（a≠0），然后由（6，15）在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧阶段后y与x的函数解析式；（2）将y=3分别代入反比例函数解析式，即可求得x的值，则可求得答案．本题考查一次函数、反比例函数的定义、性质与运用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．22. （1）设每年生产成本的下降率为x，根据2017年、2018年的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由2019年该公司的生产成本=2018该公司的生产成本×（1-下降率），即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．23. 首先证明FE=FD=20米，解直角三角形求出DG即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24. （1）根据判别式的意义得到△=（-4）2-4（3-a）＞0，然后解不等式即可；（2）在（1）中a的范围内确定a的最小整数为0，此时方程为x2-4x+3=0，利用因式分解法解方程；（3）根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系得到等腰△ABC的腰长为3，底边长为1，从而得到等腰△ABC的周长．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．25. （1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式，根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值．（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE=DE，AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．此题综合考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，但难度适中，是一道好题．26. 解：（1）①∵点D的坐标为（4，2），∴点B的坐标为（8，4），∴OA=8，AB=4．故答案为：8；4．②EF∥AC，理由如下：∵反比例函数y=的图象经过点D（4，2），∴k=4×2=8．∵点B的坐标为（8，4），BC∥x轴，AB∥y轴，∴点F的坐标为（2，4），点E的坐标为（8，1），∴BF=6，BE=3，∴=，=，∴=．∵∠ABC=∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠BCA=∠BFE，∴EF∥AC．③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P，此时PD+PE的值最小，如图所示．∵点E的坐标为（8，1），∴点E′的坐标为（8，-1），∴DE′==5．设直线DE′的解析式为y=ax+b（a≠0），将D（4，2），E′（8，-1）代入y=ax+b，得：，解得：，∴直线DE′的解析式为y=-x+5．当y=0时，-x+5=0，解得：x=，∴当点P的坐标为（，0）时，PD+PE的值最小，最小值为5．（2）∵点D的坐标为（m，n），∴点B的坐标为（2m，2n）．∵反比例函数y=的图象经过点D（m，n），∴k=mn，∴点F的坐标为（m，2n），点E的坐标为（2m，n），∴BF=m，BE=n，∴=，=，∴=．又∵∠ABC=∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴==．（1）①由点D的坐标可得出点B的坐标，再利用矩形的性质可得出OA，AB的长；②由点D的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值，结合点B的坐标可得出点E，F的长度，进而可得出BE，BF的长，由各线段的长度可得出=，结合∠ABC=∠EBF可证出△ABC∽△EBF，再利用相似三角形的性质及平行线的判定定理可得出EF∥AC；③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P，此时PD+PE的值最小，由点E的坐标可得出点E′的坐标，利用两点间的距离公式可求出DE′的长，由点D，E′的坐标，利用待定系数法可求出直线DE′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当PD+PE的值取最小值时点P的坐标；（2）由点D的坐标可求出点B的坐标及k的值，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点E，F的长度，由各线段的长度可得出=，结合∠ABC=∠EBF可证出△ABC∽△EBF，再利用相似三角形的性质可求出的值．本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及轴对称：最短路线问题，解题的关键是：（1）①由点B的坐标利用矩形的性质求出OA，AB的长；②利用相似三角形的判定定理找出△ABC∽△EBF；③利用两点之间线段最短，确定当PD+PE的值最小时点P的位置；（2）利用相似三角形的判定定理找出△ABC∽△EBF．。