用提公因式法进行因式分解

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小专题( 六 ) 因式分解的几种常见方法

小专题（六）因式分解的几种常见方法 -3-
4.十字相乘法:x2+( p+q )x+pq型的多项式的因式分解.这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1,常数项是两个数的积,一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x2+( p+q )x+pq=( x+p )( x+q ).mx2+px+q型的多项
( 1 )1.992+1.99×0.01; 解:原式=1.99×( 1.99+0.01 )=3.98.
( 2 )20162+2016-20172.
解:原式=2016×[( 2016+1 )]-20172=2016×2017-20172=2017×( 2016-2017 )=-2017.
小专题（六）因式分解的几种常见方法 -5-
m+n )2( m-n )2. 当 m=-3,n=2 时,原式 =( -3+2 )2×( -3-2 )2=( -1 )2×( -5 )2=1×25=25.
5.已知 x=156,y=144,求代数式12x2+xy+12y2 的值. 解:12x2+xy+12y2=12( x2+2xy+y2 )=12( x+y )2, 当 x=156,y=144 时, 原式=12×( 156+144 )2=45000.
小专题（六）因式分解的几种常见方法 -10-
根据上述论法和解法,思考并解决下列问题: ( 1 )分解因式:x3+x2-2; ( 2 )分解因式:x3-7x+6; ( 3 )分解因式:x4+x2+1. 解:( 1 )原式=( x3-1 )+( x2-1 )=( x-1 )( x2+x+1 )+( x-1 )·( x+1 )=( x-1 )( x2+2x+2 ). ( 2 )原式=x3-1-7x+7=( x-1 )( x2+x+1 )-7( x-1 )=( x-1 )( x2+x-6 )=( x-1 )( x-2 )( x+3 ). ( 3 )原式=x4+2x2+1-x2=( x2+1 )2-x2=( x2+1+x )·( x2+1-x ).

《用提公因式法进行因式分解》数学教学PPT课件(2篇)

结论总结
1.找出多项式各项公因式的方法：定系数：公因式的系数是多项式各项系数的
最大公约数。定字母：字母取多项式各项中都含有的相同
的字母。定指数：相同字母的指数取各项中最小的一
个，即字母最低次幂。
结论总结
2.提公因式法分解因式步骤：第一步，找出公因式；第二步，提公因式（把多项式化为两个因式的乘积）；
寻找公因式的关键: 1、定系数 2、定字母 3、定指数
3
系数：最大
2指数：取最低的 x
字母：
公约数
相同字
所以，公因式母是 3x2
公因式的系数：应该取各项系数的最大公约数。
公因式的字母：要取各项中的相同字母。
公因式的指数：相同字母取最低次数。
下列各多项式的公因式是什么？ (1) 3x + 6y (2) ab - 2ac (3) a2 - a3
下列各多项式的公因式是什么？
(4) 9m2n - 6mn
单项式
(5) -6x2y - 8xy2
公因式
(6) 4(m+n)2
+2(m+n)
多项式
例1.把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
第一步，找出公因式，把多项式各项写成公因式与一个因式的积；第二步，提取公因式，剩余的因式组成另一
式因式与多项式因式的积？ 2、结果中每个多项式是不是
例2.把 -4x3 –12x2 +4x 分解因式.
× =-2x(2x2+6x-2)
公因式要提尽
提公因式法中应注意什么？
（1）公因式要提尽（2）小心漏掉1 （3）当多项式的第一项为负数时，通常要先把符号提出来，注意括号内的各项都要变号。

提取公因式法分解因式的步骤

提取公因式法分解因式的步骤公因式法是一种常用的因式分解方法，它通过提取多个代数式的公因式，将其进行合并简化，从而得到原始代数式的因式分解形式。

下面将介绍公因式法分解因式的具体步骤。

1.观察多项式中的各个项，寻找它们之间的公因式。

公因式是指可以同时整除多个项的代数式。

2.将找到的公因式提取出来，并用括号括起来。

提取公因式时，需要将公因式的系数和变量一同提取出来。

3.将原始多项式中的每一项除以提取出来的公因式。

这一步可以通过将每一项的系数与公因式的系数进行除法运算来实现。

4.将提取出来的公因式与上一步得到的商相乘，并将结果写在括号外面。

这一步是将公因式和商相乘，重新得到原始多项式。

5.最后，将括号外面的结果与原始多项式进行比较，确保两者相等。

这一步是为了验证因式分解的正确性。

通过以上步骤，我们可以完成对多项式的因式分解。

下面通过一个具体的例子来说明公因式法的应用。

假设我们要对多项式3x^2 - 6x进行因式分解。

第一步，观察多项式中的各个项，发现它们之间的公因式是3x。

第二步，将公因式3x提取出来，并用括号括起来，得到3x( ).第三步，将原始多项式中的每一项除以公因式3x，得到(3x^2)/(3x) - (6x)/(3x)。

第四步，将提取出来的公因式3x与上一步得到的商相乘，并将结果写在括号外面，得到3x((3x^2)/(3x) - (6x)/(3x))。

第五步，化简括号内的表达式，得到3x(x - 2)。

将括号外面的结果与原始多项式进行比较，发现它们相等，因此得到的因式分解形式为3x(x - 2)。

通过以上步骤，我们成功地将多项式3x^2 - 6x分解为公因式3x和商(x - 2)的乘积形式。

总结起来，提取公因式法分解因式的步骤包括观察多项式中的各个项，寻找公因式，提取公因式并用括号括起来，将每一项除以公因式得到商，将公因式与商相乘得到因式分解形式，最后验证分解结果的正确性。

这一方法简单实用，可以帮助我们快速进行因式分解运算。

《提公因式法》分解因式

对于一元二次方程，如果二次项的系数为1，那么可以直接提取一次项的公因式；如果二次项的系数不为1，则可以先将方程化为一般形式，再提取公因式。
对于二元一次方程组，可以分别提取每个方程的公因式，得到一组新的方程，然后求解。
提取三角函数的公因式
01
对于三角函数表达式，可以先将有相同角或相反角的项组合在一起，然后提取公因式。
02
对于三角函数恒等式，可以运用公式进行化简，然后再提取公因式。
03
提公因式法的步骤
确定多项式的项数
确定多项式的项数
首先需要确定多项式的项数。多项式的项数是指构成多项式的单项式的个数。
例如
对于多项式 2x² + 3x - 4，我们可以看到它有三项，分别是 2x² 、3x 和 -4。
确定各项的系数和指数
当一个多项式的第一项和最后一项是同类项时，需要将整个多项式的符号放在公因式的外面。
如果不注意符号的变化，会导致分解因式出现错误。
注意一些特殊的项
在提公因式法中，还需要注意一些特殊的项。
例如，当一个多项式的第一项和最后一项都是负数时，需要将整个多项式的符号放在公因式的外
面。
如果不注意这些特殊的项，会导致分解因式出现错误。
提取公因式
将找出的公因式提取出来，得到一个或多个没有公因式的多项式。
公因式的重要性
简化多项式
通过提取公因式，可以将多项式简化为更容易处理的形式。
便于计算
在因式分解或化简时，提取公因式可以简化计算过程。
便于约分
提取公因式有助于将一个多项式约分成若干个简单分式。
公因式法的定义
公因式法
题目2
三角函数 $\cos(A+B)$ 中，公因式是 $\cos$。

多项式的因式分解的方法

多项式的因式分解的方法
多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个因式的乘积的过程。

下面介绍几种常用的因式分解方法。

1.提取公因式法：
当多项式中的每一项都有一个公因式时，可以利用提取公因式的方法进行因式分解。

具体步骤如下：
找出多项式中每一项的最大公因子；
将每一项除以公因子，得到新的多项式；
将公因子和新的多项式相乘，得到因式分解的结果。

2.公式法：
常见的公式有平方差公式、完全平方公式、立方差公式等。

通过应用这些公式，可以将多项式转化为容易分解的形式。

3.分组分解法：
当多项式中存在某些项之间具有相同的因式时，可以利用分组分解的方法。

具体步骤如下：
将多项式中的项进行分组，使得每组的项存在公因式；
对每组的项进行提取公因式；
将提取出的公因式和每组的项相乘，得到因式分解的结果。

4.二次三角形式分解法：
对形如$a^2b^2$的二次差进行因式分解时，可以利用二次三角形式分解法。

具体步骤如下：
将二次差形式转化为$(a+b)(ab)$的形式，其中$a$和
$b$是变量；
将$(a+b)$和$(ab)$作为因子，得到因式分解的结果。

以上是常用的几种多项式因式分解的方法，实际运用时可以根据多项式的具体形式选择合适的方法进行因式分解。

因式分解提公因式

因式分解提公因式
当我们要因式分解一个多项式时，我们可以首先尝试提取公因式。

提取公因式是指将多项式中的一个公共因子提取出来。

例如，考虑多项式6x^2 + 9x。

我们可以看到这个多项式的公因子是3x，因为每一项都可以被3x整除。

所以我们可以将公因子3x提取出来：
6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)
这里，我们将公因子3x提取出来，并将剩余部分写在括号内。

这就是因式分解后的结果。

另一个例子是多项式12a^3b - 8ab^2。

这个多项式的公因子是4ab，因为每一项都可以被4ab整除。

所以我们可以将公因子4ab提取出来：
12a^3b - 8ab^2 = 4ab(3a^2 - 2b)
同样地，我们将公因子4ab提取出来，并将剩余部分写在括号内。

因式分解提取公因式是一种常见的因式分解方法，它可以帮助我们简化多项式并找到其因式分解形式。

(完整版)提公因式法分解因式典型例题

因式分解（1）一知识点讲解知识点一：因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。

2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形知识点二：寻找公因式1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法）例如：求20,36,80的最大公（约）数？最大公倍数？2、寻找公因式的方法：（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++ 3.提公因式的步骤：（1）确定公因式（2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）公因式原多项式另一个因式=4.注意事项：因式分解一定要彻底二、例题讲解模块1：考察因式分解的概念1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（） A 、x x x x x 6)3)(3(692+-+=+- B 、103)2)(5(2-+=-+x x x x C 、22)4(168-=+-x x x D 、b a ab 326⋅=2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（） A 、2)1(3222++=++x x x B 、22))((y x y x y x -=-+ C 、222)(y x y xy x -=+- D 、)(222y x y x -=- 3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（） A 、1)1(21222+-=+-a a a a B 、22))((y x y x y x -=+- C 、22)13(169-=+-x x x D 、xy y x y x 2)(222+-=+4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（） A 、15123-=-+x y x B 、2249)23)(23(b a b a b a -=-+C 、)11(22xx x x +=+ D 、)2)(2(28222y x y x y x -+=-5. （2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（） A 、ab a b a a -=-2)( B 、1)2(122+-=+-a a a a C 、)1(2-=-x x x x D 、)(222xy y x y x xy -=-6. （2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（） A 、23)2)(1(2+-=--x x x x B 、)2)(1(232--=+-x x x x C 、4)4(442+-=++x x x x D 、))((22y x y x y x -+=+模块2：考察公因式1. （2017春抚宁县期末）多项式3222320515n m n m n m -+的公因式是（） A 、mn 5 B 、225n m C 、n m 25 D 、25mn 2.（2017春东平县期中）把多项式332223224168bc a c b a c b a -+-分解因式，应提的公因式是（）A 、bc a 28-B 、3222c b aC 、abc 4-D 、33324c b a 3.（2017秋凉州区末）多项式92-a 与a a 32-的公因式是（） A 、3+a C 、3-a B 、1+a D 、1-a 4.（2017春邵阳县期中）多项式n m n my x y x 31128--的公因式是（）A 、nmy x B 、1-n myx C 、nmy x 4 D 、14-n myx5.（2016春深圳校级期中）多项式mx mx mx 1025523-+-各项的公因式是（）A 、25mxB 、35mx - C 、mx D 、mx 5- 6.下列各组代数式中没有公因式的是（） A 、)(5b a m -与a b - B 、2)(b a +与b a -- C 、y mx +与y x + D 、ab a +-2与22ab b a -7.观察下列各组式子：①b a +2和b a +；②)(5b a m -和b a +-；③)(3b a +和b a --；④22y x -和22y x +。

用提公因式法进行因式分解“三步曲”

用提公因式法进行因式分解“三步曲”提公因式法是因式分解的基本方法.为了避免出现错误，我们常常采取“三步走”的方法，即：“一定、二提、三看”的方法进行因式分解：1、“一定”就是确定公因式，其方法是：系数取各项整数系数的最大公约数；字母取各项含有的相同字母（有时是多项式）；各字母次数取各相同字母的最低次数。

2、“二提”就是将各项的公因式提出，并同时确定各项的另一个因式，这个过程实质上是用原多项式除以公因式的过程。

3、“三看”就是提取公因式后，要对结果认真观察：括号内有同类项时要合并同类项；括号内的多项式化简后如果产生了新的公因式要继续提取；有相同的因式相乘时要写成幂的形式。

例1 把多项式y x y x y x 22236126-+因式分解分析：6、12、6的最大公约数是6，各项都有相同的字母xy ，字母x 最低次数为2，字母y 的最低次数是1，所以多项式y x y x y x 22236126-+的公因式是y x 26解原式=y x 26()12++y x注意：当一个多项式的各项公因式是其中的单独一项时，提取公因式后该项应用1补上，不能漏掉。

例2 把多项式m mn m 182792-+-分解因式.分析：9、27、18的最大公约数是9，各项都有相同的字母m ，字母m 的最低指数是1，同时由于多项式的首项是负的，所以m mn m 182792-+-可确定提取公因式m 9-解：原式=m 9-()23+-n m注意：如果多项式按一定顺序排列后，首项为负时，一般要连同 “－”号提出，使括号内的第一项的系数为正的，但在提出“－”后括在括号内的各项与原来相比要改变符号。

例3 把多项式()()()b a b b a b a +-++32分解因式分析：在确定公因式时，要充分关注“多项式”公因式，本题中()b a -可作为一个整体，作为公因式提出。

解：原式＝()()b b a b a -++32=()()b a b a 22++=()22b a + 注意：提取公因式后要对括号内的项进行适当的化简，有同类项时要合并同类项；又产生了新的公因式时要再次提取，相同的多项式要写成幂的形式。

因式分解常用的六种方法详解

一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。

例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。

常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

提公因式法因式分解教案

提公因式法因式分解教案今天我们要研究的因式分解,与整式乘法有什么不同呢?请看下面的例子：示范】(x+2)(x+3)=x^2+5x+6这是一个整式乘法的例子,现在我们来看一个因式分解的例子：示范】x^2+5x+6=(x+2)(x+3)你们可以看到,这两个式子的形式是一样的,但是它们的意义不同,整式乘法是求出多项式的积,而因式分解则是把一个多项式拆分成几个整式的积的形式.这就是因式分解与整式乘法的区别.设计意图】通过比较整式乘法和因式分解的例子,让学生理解因式分解的概念和与整式乘法的区别.师】那么,如何进行因式分解呢?我们来看下面这个例子：示范】6x^2+9x=3x(2x+3)这个式子是如何得出的呢?我们先找到这个多项式的公因式3x,然后把剩下的部分因式分解成2x+3的形式,最后把公因式和因式分解的部分相乘.这就是提公因式法因式分解的方法.设计意图】通过示范例子,让学生了解提公因式法因式分解的方法,并培养寻找公因式的能力.三）巩固练问题3：对下列多项式进行因式分解：1)4x^2+4x2)6a^2-9ab设计意图】巩固提公因式法因式分解的方法,让学生掌握应用.师】请大家自己尝试对这两个多项式进行因式分解.学生】(1)4x^2+4x=4x(x+1)2)6a^2-9ab=3a(2a-3b)师】非常好,你们已经掌握了提公因式法因式分解的方法.那么,我们来看下面这个问题：问题4：用提公因式法因式分解下列多项式：1)ax+bx+ay+by2)2x^2-2xy-3x+3y设计意图】提高难度,让学生运用提公因式法因式分解多项式.师】请大家尝试对这两个多项式进行因式分解.学生】(1)ax+bx+ay+by=(a+b)x+(a+b)y=(a+b)(x+y)2)2x^2-2xy-3x+3y=2x(x-y)-3(x-y)=(2x-3)(x-y)师】非常好,你们已经掌握了提公因式法因式分解多项式的方法.问题3：填写下列式子的右边空白部分。

用提公因式法进行因式分解(说课)

《用提公因式法进行因式分解》说课稿各位评委、老师：我说课的题目是青岛版八年级（上册）第二章第三节《用提公因式法进行因式分解》，我将从教材分析、教学目标、教法学法、教学过程四个方面对本节课的设计进行说明.一、（方面）教材分析1、教材的地位和作用本节课是在学生掌握了乘法公式的基础上学习的，主要研究用提公因式法进行因式分解，它是乘法分配律和整式乘法知识的延续，也是本章后继内容的基础，更为今后学习分式，一元二次方程提供了知识铺垫.通过本节课的学习，既培养了学生逆向思维的能力和严谨的学习态度，又向学生渗透了“由特殊到一般”和“换元”的思想.2、教学重点、难点：基于以上的教材分析，我确定本节课的教学重点为：用提公因式法进行因式分解.重点：用提公因式法进行因式分解.因为因式分解与整式乘法是两个互逆过程，这两种变形学生容易混淆，所以把“明确二者的区别和联系”定为本节课的一个难点；又因为本节的重点“用提公因式法进行因式分解”是以先找公因式为前提，所以把“正确找出一个多项式各项的公因式”定为本节课的另一个难点.难点：1、明确因式分解与整式乘法的区别和联系.2、正确找出一个多项式各项的公因式.二、（方面）教学目标根据八年级学生有较强的自我发展意识，对于有“挑战性”的问题较感兴趣等心理特点和新课程标准的学段目标要求，制订以下两个教学目标：1、了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系，培养学生逆向思维的能力；2、理解公因式的概念，会用提公因式法进行因式分解.三、（方面）教法学法新课程标准要求：学生是学习的主体，教师应成为学生学习的组织者、引导者、合作者。

因此本节课我遵循启发式教学原则，引导学生自主探索、合作交流，使学生积极主动地参与教学的全过程，从而获得成功的体验，增强学习的主动性和自信心.四、（方面）教学过程（分以下五个环节）(一)创设情境，引入新课(二)合作交流，探究新知(三)巩固练习，提升能力(四)知识总结，提炼升华(五)布置作业，巩固提高教学过程（一）创设情境，引入新课首先出示一张生活中的图片，意在让学生感知数学来源于生活，应用于生活，并激发学生积极探索的兴趣.如图：现有三块长都为m ，宽分别为a,b,c 的长方形菜地，它们的总面积是多少？1、把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.（课本41页）为了加深学生对因式分解概念的理解，突破明确因式分解与整式乘法的区别和联系这个难点，设置了一个练习，让学生判断下列各式的变形哪些是因式分解？2、巩固练习（下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？）（1）()()22x y x y x y +-=-; （2）244(4)4a a a a -+=-+;(3)29(3)(3)m n n n m m -=+-; (4)2242(2)2x x x ++=+-.通过这个练习，使学生体会因式分解是将“多项式变形为几个整式乘积”的形式，而整式乘法是与其互逆的.（二）合作交流、探究新知1、思考多项式ma+mb+mc 各项的因式分别有哪些？有哪些相同的因式？学生容易得出：ma 的因式有m,a;mb 的因式有m,b ；mc 的因式有m,c.各项有相同的因式m ，这时我提出把m 叫做这个多项式的公因式，并明确公因式的概念：多项式的各项都含有的相同因式叫做这个多项式各项的公因式.2、继续观察等式ma+mb+mc=m(a+b+c)是怎样化为乘积形式的？这时学生如果有困难可小组交流后再总结：把公因式提出来，作为多项式的一个因式，其余部分作为另一个因式，这种因式分解的方法，叫做提公因式法.我再引导学生观察提出m 后，括号中的各项不再有公因式，为后面内容埋下伏笔. 为了突破本节课的另一难点（找公因式）和解决重点（提公因式法）设计以下例题，第（1）小题学生容易找出公因式并分解；为了强调因式分解是恒等变形，特增加了第（2）小题，这一小题学生可能会出现两种错误现象：（1）公因式提不净（提不彻底）的现象，（2）分解后丢项的情况，所以可在学生独立思考后再小组交流合作完成。

因式分解的常用方法

因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 2 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 2+b 2+c 2-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .例5、分解因式：652++x x例6、分解因式：672+-x x练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --练习8、分解因式(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +-（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222五、换元法。

因式分解的常用方法7种

因式分解的常用方法(7种)把一个多项式化成几个整式积的形式这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式) 因式分解X2-1 ---------- * (X+1)(X-1)I y整式乘法一■、提公因式法.：ma+mb+mc = m(a+b+c)如何找公因式？(1)取各项系数的最大公约数；(2)取各项都含有的相同字母；(3)取相同字母的最低次赛.二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)(a+b)(a-b) = a2-b2(2)(a±b)2 = a2±2ab+b2(3)(a+b)(a2-ab+b2) = a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3= a3+b3(4)(a-b)(a2+ab+b2) = a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3= a3-b3下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=(a+b) 2+2(a+b)c +c 2=[(a+b)+c] 2=(a+b+c) 2 ；(6)a3+b3+c3-3abc=(a3+ab2+ac2-a2b-abc-ca2) + (a2b+b3+bc2-ab2-b2c-abc) + (a2c+b2c+c3-abc-bc2-c2a) = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);例.已知a，b, c是A ABC的三边，且a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca，则A ABC的形状是() 人.直角三角形8等腰三角形C等边三角形口等腰直角三角形解：a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca n 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 = 2 ab + 2 bc + 2 can (a一b)2 + (b一c)2 + (c一a)2 = 0 n a = b = c三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式：am + an + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部” 看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

提取公因式法分解因式的步骤

提取公因式法分解因式的步骤一、引言在代数学中，我们经常需要对多项式进行因式分解，以便更好地理解和处理问题。

其中一种常用的因式分解方法就是提取公因式法。

本文将详细介绍提取公因式法分解因式的步骤和方法。

二、什么是公因式在开始介绍提取公因式法之前，我们首先要了解什么是公因式。

在一个多项式中，如果某一个因子能够被所有的项整除，那么它就是这些项的公因式。

例如，在多项式2x+4y中，2是这两项的公因式。

三、步骤一：观察多项式中的公因式在使用提取公因式法分解因式之前，我们首先要仔细观察多项式，找出其中的公因式。

公因式可以是一个常数或者一个变量，也可以是它们的乘积。

四、步骤二：提取公因式一旦我们找到了多项式中的公因式，我们就可以开始提取公因式。

具体来说，我们需要将公因式提取出来，然后将其乘以剩下的部分。

五、步骤三：简化多项式在提取公因式后，我们需要对剩下的部分进行简化。

具体来说，我们需要将剩下的部分通过除以公因式来得到一个简化的表达式。

六、步骤四：检查是否还有公因式在简化多项式后，我们需要再次观察是否还有公因式。

如果还有公因式，我们需要继续提取公因式并简化多项式，直到没有公因式为止。

七、例题演示为了更好地理解提取公因式法的步骤，我们来看一个例题的演示。

例题：将多项式4x^2y+8xy^2分解因式。

解：首先，观察多项式中的公因式。

我们可以发现4是这两项的公因式。

然后，我们提取公因式4，得到4(x^2y+2xy^2)。

接下来，我们简化剩下的部分(x^2y+2xy^2)。

在这个剩下的部分中，我们可以发现xy是这两项的公因式。

我们提取公因式xy，得到最终的分解结果4xy(x+y)。

八、总结通过以上的例题演示，我们可以清楚地看到提取公因式法的步骤。

首先，我们观察多项式中的公因式；然后，提取公因式并简化多项式；最后，重复以上步骤，直到没有公因式为止。

这种方法简单而有效，可以帮助我们快速分解因式。

九、应用和扩展提取公因式法不仅可以用于分解因式，还可以应用于其他代数运算中。

《用提公因式法进行因式分解》

ax+2bx-mx=x(a+2b-m)
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（1）确定下列各多项式中的公因式？
1) a c+ b c
2)3 x2 +9xy
公因式为：c 公因式为：3x
3) 6a4 b – 12a3 b2 + 9a2b 公因式为：3a2b
2
2
2
当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
把下列多项式分解因式：（1）12x2y+18xy2；（2）-x2+xy-xz；（3）2x3+6x2+2x
现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：甲同学：乙同学：丙同学：
解:12x2y+18xy2 解:-x2+xy-xz 解:2x3+6x2+2x =-x(x+y-z) =3xy(4x+6y) =2x(x2+3x) 你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
2.把下列各多项式因式分解
• 1)-4a3b3+6a2b-2ab • 2）-9a2b3-12ab4+15ab5 • 3)-4x3y+2x2y2+xy3 4 ) -x4y2-2x2y-xy
个，即字母最低次幂
例: 找 – 3 x
5
+ 6 x4y 的公因式。
定系数
-3
定字母
x
4 定指数
所以，公因式是 -3x4 。
注意：如果多项式的第一项为负时，公因式就是负的。思考：如何确定各项提公因式后剩余的因式？

提公因式法分解因式

因式分解——提公因式法学习目标：1、学会找多项式的公因式2、学会用提公因式法分解因式学习重点：用提公因式法分解因式学习难点：用提公因式法分解因式一、温故知新〔一〕、计算以下各式:〔1〕 x(x+1)=〔2〕 2x(x+2) =〔3〕 (m+4)(m-4)=〔4〕 (x-3)2=反过来，请把以下多项式写成整式的乘积的形式:〔1〕x2+x =__________ ;〔2〕 2x2+4x=__________.〔3〕m2-16=_________〔4〕 x2-6x+9= __________〔二〕、因式分解的概念上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法是相反方向的变形。

〔三〕、对应训练以下代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；〔〕(2)2m(m-n)=2m2-2mn ；〔〕(3)4x2-4x+1=(2x-1)2；〔〕(4)3a2+6a=3a(a+2)；〔〕二、合作探究〔一〕、探索发现因式分解： x 2+x 因式分解整式乘法 x(x+1) pcpb pa ++多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式，如上式中的p 就是公因式。

把公因式提出来，多项式就可以分解成两个因式p 和的乘积。

像这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。

〔二〕、说说以下多项式中各项的公因式：〔1〕ax+ay (2)3m-6y(3)5ab-10ac (4)8m2n+2mn(5)8a3b2+12ab3c (6)12xyz-9x2y2〔三〕、总结找公因式的方法：小组讨论：说一说找公因式的方法。

1、找系数：取系数的最大公因数2、找字母：取各项中都含有的字母3、找指数：取相同字母中较小的指数作为公因式中该字母的指数三、稳固练习〔一〕、找出以下多项式中各项的公因式并分解因式。

〔1〕 8x+64 〔2〕 2ab 2+ 4abc〔3〕 m 2n 3 -3n 2m 3 ( 4) a 2b-2ab 2+ab〔5) 4kx － 8ky (6) 5y 3+20y 2四、课堂小结用提公因式法分解因式的步骤：第一步. 找出公因式；第二步. 提取公因式；第三步. 将多项式化成两个因式乘积的形式注意：⑴提取公因式后，另一个因式不能再含有公因式；⑵另一个因式的项数与原多项式的项数一致。

培优专题1_用提公因式法把多项式进行因式分解(含答案)

1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 )243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987+++⨯= =⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

因式分解16种方法

因式分解16种方法因式分解是代数学中的一项重要内容，它是将一个多项式写成几个因子相乘的形式。

在代数中，我们可以使用不同的方法来进行因式分解，下面将介绍16种常用的因式分解方法。

一、常数公因子法：当多项式中的每一项都有一个相同的因子时，可以将这个公因子提取出来。

二、提公因式法：可以将多项式中的公因子提取出来，并分别乘在每一项的前面。

三、平方差公式：平方差公式可以将两个平方差分解为两个因子相乘的形式。

四、求和差公式：求和差公式可以将两个数的和或差分解为两个因子相乘的形式。

五、特殊公式：特殊公式是一些特定形式的因式分解规律，如完全平方公式、立方差公式等。

六、分组法：将多项式中的项分成若干组，每一组内部有一个公因子，然后进行合并、提公因子的操作。

七、配方法：如果多项式中存在二次项或一次项，可以使用配方法将其转化为完全平方或完全立方。

八、三项因式分解法：将三个项的多项式进行因式分解，可以根据其特征进行分解，如完全平方三项式、卷积三项式等。

九、因式分解公式：在代数学中，有一些常见的因式分解公式，如平方差公式、和差的立方公式等。

十、分式因式分解法：将分式分解为最简形式，可以进行因式分解，然后进行约分、合并等操作。

十一、二次三项式分解法：将二次三项式进行因式分解，可以根据特定的形式进行分解，如完全平方三项式、卷积三项式等。

十二、差的立方公式：差的立方公式可以将两个数的差分解为两个因子相乘的形式。

十三、平方根的平方差公式：平方根的平方差公式可以将平方根的平方差分解为两个因子相乘的形式。

十四、特殊三项式分解法：特殊三项式分解法是针对特定形式的三项式进行因式分解，如完全平方三项式、卷积三项式等。

十五、分场因子法：将多项式中的每一项提取出一个因子，并按照对应的规律进行提取。

十六、根与系数的关系：多项式的根与系数之间存在一定的关系，可以通过观察根与系数之间的关系进行因式分解。

以上是常用的16种因式分解方法，每一种方法都适用于特定的情况和形式的多项式。

因式分解三种方法

因式分解三种方法因式分解是指将一个多项式表达式写成若干个乘积的形式。

它是数学中的重要内容之一，广泛应用于各个领域。

在因式分解的过程中，有三种常见的方法可以使用，分别是公因式提取法、配方法和特殊因式公式法。

一、公因式提取法：公因式提取法的核心思想是找出表达式中的公因式，将其提取出来。

这方法适用于多项式中存在公因式的情况。

例子1：对于多项式2x+4xy，我们可以提取出公因式2x，得到2x(1+2y)。

例子2：对于多项式6x^2-9x^3，我们可以提取出公因式3x^2，得到3x^2(2-3x)。

公因子提取法的步骤如下：1.找到表达式中的最大公因子；2.将公因子提取出来；3.原表达式除以公因子，得到去除公因子的部分。

二、配方法：配方法适用于二次多项式或含有平方项的多项式。

它的核心思想是通过构造适当的两个二次项互补，然后将其相加或相减，从而得到可以进行因式分解的形式。

例子1：对于多项式x^2-6x+9，我们可以通过配方法将其分解为(x-3)^2配方法的步骤如下：1.将一次项系数求出来，设为a；2.将常数项求出来，设为c；3.计算二次项系数的一半，设为b；4.构造两个二次项（x+b）^2；5.将两个二次项相加或相减，得到可以因式分解的形式。

三、特殊因式公式法：特殊因式公式法适用于一些特殊的多项式，这些多项式按照一定的形式可以直接进行因式分解。

1.平方差公式：(a^2-b^2)=(a-b)(a+b)。

例子：对于多项式x^2-4，可以直接写为(x-2)(x+2)。

2. 完全平方公式：(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2例子：对于多项式x^2+4x+4，可以直接写为(x+2)^23.差平方公式：a^2-b^2=(a-b)(a+b)。

例子：对于多项式x^2-4^2，可以直接写为(x-2)(x+2)。

4. 立方差公式：a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)。

例子：对于多项式x^3-8，可以直接写为(x-2)(x^2+2x+4)。