人教版数学九年级下册第二十七章相似导学案
九年级数学下册第二十七章相似位似导学案新人教版
位似一、【自主学习】1.什么是相似图形？2.相似图形有哪些性质？3．图形的变换有哪些形式学习课本47---48页的内容，填空：1、概念：（1）位似图形定义：两个多边形不仅，而且的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做。
（位似变换是一种特殊的相似变换，位似是一种具有特殊位置关系的相似，所以位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形）（2）位似中心：。
2、位似图形的性质：（1）两个位似的图形上任意一对对应点到位似中心距离之比等于_____________，（2）位似图形对应点连线或延长线二、【合作探究】1.下列图形中位似中心在图形上的是( )D.C.B.A.2.下列说法中正确的是( )A、位似图形可以通过平移而相互得到B、位似图形的对应边平行且相等C、位似图形的位似中心不只有一个 D.位似中心到对应点的距离科目数学班级学生姓名课题 27.3 位似1 课型新授课时 1 主备教师高俊强范俊姣备课组长杨理学习目标 1、了解位似图形、位似中心的概念。
2、了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质3掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小学习重点位似图形的有关概念、性质与作图学习难点利用位似将一个图形放大或缩小12OC'B'A'CB A 之比都相等3. 如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若:2:3AB FG =，则下列结论正确的是( ) A.23DE MN = B.32DE MN =C.32A F =∠∠D.23A F =∠∠三、【展示交流】以点A 为位似中心，把图中的四边形ABCD 放大到原来的2倍。
四、[随堂检测]1、按如下方法将ABC ∆的三边缩小为原来的12,如图所示，任取一点O ，连AO ，BO ，CO ，并取 它们的中点D ，E ，F ，得DEF ∆，则下列说法中正确的个数是( )①ABC ∆与DEF ∆是位似图形；②ABC ∆与DEF ∆是相似图形； ③ABC ∆与DEF ∆的周长的比为2∶1; ④ABC ∆与DEF ∆面积比为4∶1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、如图，五边形ABCDE 与五边形'''''A B C D E 是位似图形，点O 为位似中心，12'OD OD =，则''A B :AB =___________.1题图 2题图 3、如图，五边形ABCDE 与五边形'''''A B C D E 是位似图形，且相似比为2，若五边形ABCDE 的面积为17 cm 2， 周长为20 cm ，那么五边形'''''A B C D E 的面积为________，周长为________.4、如图，''A B ∥AB ，''B C ∥BC ，且'OA ∶'A A =4∶3，则ABC ∆与________是位似图形，相似比为________；OAB ∆与________是位似图形，相似比为________.G FNMHDCBA FED CBAO E'D'C'B'A'EDCBA OE'D'C'B'A'EDCBA3题图 4题图3中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解析】试题分析：∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB=65°.∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE=∠CAD，AC=AD. ∴∠ADC=∠DCA="65°." ∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA="50°." ∴∠BAE=50°．故选C．考点：1.面动旋转问题； 2. 平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质．2．如图1是2019年4月份的日历，现用一长方形在日历表中任意框出4个数(如图2)，下列表示a，b，c，d之间关系的式子中不正确的是( )A．a﹣d＝b﹣c B．a+c+2＝b+d C．a+b+14＝c+dD．a+d＝b+c4【答案】A【解析】观察日历中的数据，用含a的代数式表示出b，c，d的值，再将其逐一代入四个选项中，即可得出结论．【详解】解：依题意，得：b＝a+1，c＝a+7，d＝a+1．A、∵a﹣d＝a﹣(a+1)＝﹣1，b﹣c＝a+1﹣(a+7)＝﹣6，∴a﹣d≠b﹣c，选项A符合题意；B、∵a+c+2＝a+(a+7)+2＝2a+9，b+d＝a+1+(a+1)＝2a+9，∴a+c+2＝b+d，选项B不符合题意；C、∵a+b+14＝a+(a+1)+14＝2a+15，c+d＝a+7+(a+1)＝2a+15，∴a+b+14＝c+d，选项C不符合题意；D、∵a+d＝a+(a+1)＝2a+1，b+c＝a+1+(a+7)＝2a+1，∴a+d＝b+c，选项D不符合题意．故选：A．【点睛】考查了列代数式，利用含a的代数式表示出b，c，d是解题的关键．3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①4a+2b＜0；②﹣1≤a≤23；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c ＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a，进而可得出4a+2b=0，结论①错误；②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a可得出a=-3c，56再结合抛物线与y 轴交点的位置即可得出-1≤a≤-23，结论②正确；③由抛物线的顶点坐标及a ＜0，可得出n=a+b+c ，且n≥ax 2+bx+c ，进而可得出对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立，结论③正确； ④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n 只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x 的方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．【详解】：①∵抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，n ）， ∴-2ba=1， ∴b=-2a ，∴4a+2b=0，结论①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1，0）， ∴a -b+c=3a+c=0，∴a=-3c ．又∵抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3， ∴-1≤a≤-23，结论②正确； ③∵a＜0，顶点坐标为（1，n ）， ∴n=a+b+c，且n≥ax 2+bx+c ，∴对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立，结论③正确；④∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，又∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．4．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（）A．参加本次植树活动共有30人B．每人植树量的众数是4棵C．每人植树量的中位数是5棵D．每人植树量的平均数是5棵【答案】D【解析】试题解析：A、∵4+10+8+6+2=30（人），∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；B、∵10＞8＞6＞4＞2，∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；78C 、∵共有30个数，第15、16个数为5， ∴每人植树量的中位数是5棵，结论C 正确；D 、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵）， ∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D 不正确． 故选D ．考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数． 5．如果1∠与2∠互补，2∠与3∠互余，则1∠与3∠的关系是（ ） A ．13∠=∠ B ．11803∠=-∠ C ．1903∠=+∠ D ．以上都不对【答案】C【解析】根据∠1与∠2互补，∠2与∠1互余，先把∠1、∠1都用∠2来表示，再进行运算． 【详解】∵∠1+∠2=180°∴∠1=180°-∠2 又∵∠2+∠1=90° ∴∠1=90°-∠2∴∠1-∠1=90°，即∠1=90°+∠1． 故选C ． 【点睛】此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．6．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°【答案】B【解析】根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，7．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【答案】D【解析】根据方差反映数据的波动情况即可解答.【详解】由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差．故选D．【点睛】本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m ＞1【答案】B【解析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=4-4m＞0，解之即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=4-4m＞0，9解得：m＜1．故选B．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．9．cos30°=（）A．12B ．22C．32D．3【答案】C【解析】直接根据特殊角的锐角三角函数值求解即可.【详解】3 cos302︒=故选C. 【点睛】考点：特殊角的锐角三角函数点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成.10．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（）A．115°B．120°C．130°D．140°【答案】A10【解析】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD 边上的点A′处，点B落在点B′处，∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°．∵∠2=40°，∴∠CFB'=50°，∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，故选A．二、填空题（本题包括8个小题）11．如果关于x的方程x2+2ax﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=_____．【答案】±1．【解析】根据根的判别式求出△=0，求出a1+b1=1，根据完全平方公式求出即可．【详解】解：∵关于x的方程x1+1ax-b1+1=0有两个相等的实数根，∴△=（1a）1-4×1×（-b1+1）=0，即a1+b1=1，∵常数a与b互为倒数，∴ab=1，∴（a+b）1=a1+b1+1ab=1+3×1=4，∴a+b=±1，故答案为±1．【点睛】本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a1+b1=1和ab=1是解此题的关键．12．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是11【答案】4【解析】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC长即可．【详解】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M为CD中点，OM过O，∴OM⊥CD，∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM=OC，∵⊙O直径AB=8，∴半径OC=4，即PM=4.【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.13．分解因式：3x2-6x+3=__．【答案】3(x-1)2【解析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．1213【详解】()()22236332131x x x x x -+=-+=-.故答案是：3(x-1)2. 【点睛】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 14．分解因式：3m 2﹣6mn+3n 2＝_____． 【答案】3（m-n ）2【解析】原式=2232)m mn n -+（=23()m n - 故填：23()m n -15．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是 ． 【答案】10%．【解析】设平均每次降价的百分率为x ，那么第一次降价后的售价是原来的()1x -，那么第二次降价后的售价是原来的()21x -，根据题意列方程解答即可.【详解】设平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得，()2100181x ⨯-=，解得10.110%x ==，2 1.9x =（不符合题意，舍去）， 答：这个百分率是10%. 故答案为10%. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为()21a x b ±=.16．如果抛物线y=（m ﹣1）x 2的开口向上，那么m 的取值范围是__．【答案】m＞2【解析】试题分析：根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣2＞2．解：因为抛物线y=（m﹣2）x2的开口向上，所以m﹣2＞2，即m＞2，故m的取值范围是m＞2．考点：二次函数的性质．17．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m．【答案】1 【解析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴AB BDEC CD=，即BD ECABCD⨯=，解得：AB=1205060⨯=1（米）．故答案为1．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．18．甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s （km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是__km/h．14【答案】3.6【解析】分析：根据题意，甲的速度为6km/h，乙出发后2.5小时两人相遇，可以用方程思想解决问题．详解：由题意，甲速度为6km/h．当甲开始运动时相距36km，两小时后，乙开始运动，经过2.5小时两人相遇．设乙的速度为xkm/h4.5×6+2.5x=36解得x=3.6故答案为3.6 点睛：本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义．解答这类问题时，也可以通过构造方程解决问题．三、解答题（本题包括8个小题）19．我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．平均分（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）初中部a 85b s初中2高中部85 c 100 16015（1）根据图示计算出a、b、c的值；结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．【答案】（1）85,85,80; （2）初中部决赛成绩较好；（3）初中代表队选手成绩比较稳定．【解析】分析:（1）根据成绩表，结合平均数、众数、中位数的计算方法进行解答；（2）比较初中部、高中部的平均数和中位数，结合比较结果得出结论；（3）利用方差的计算公式，求出初中部的方差，结合方差的意义判断哪个代表队选手的成绩较为稳定.【详解】详解: （1）初中5名选手的平均分75808585100a855++++==，众数b=85，高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c=80；（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，故初中部决赛成绩较好；（3）22222 2++++=5S初中（75-85）（80-85）（85-85）（85-85）（100-85）=70，∵22S S初中高中＜，∴初中代表队选手成绩比较稳定．16【点睛】本题是一道有关条形统计图、平均数、众数、中位数、方差的统计类题目，掌握平均数、众数、中位数、方差的概念及计算方法是解题的关键.20．如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝DC．求证：BC＝EF．【答案】证明见解析.【解析】想证明BC=EF，可利用AAS证明△ABC≌△DEF即可．【详解】解：∵AF＝DC，∴AF+FC＝FC+CD，∴AC＝FD，在△ABC 和△DEF 中，A DB EAC DF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△DEF（AAS）∴BC＝EF．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：本数(本) 频数(人数) 频率175 a0.26 18 0.367 14 b8 8 0.16合计c 1(1)统计表中的a=________，b=________，c=________；请将频数分布表直方图补充完整；求所有被调查学生课外阅读的平均本数；若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数. 【答案】（1）10，0.28，50（2）图形见解析（3）6.4（4）528 【解析】分析：（1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题；（2）根据a的值画出条形图即可；（3）根据平均数的定义计算即可；（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；详解：（1）由题意c=180.36=50，a=50×0.2=10，b=1450=0.28，c=50；故答案为10，0.28，50；18（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：（5×10+6×18+7×14+8×8）÷50=320÷50=6.4（本）．（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：（0.28+0.16）×1200=528（人）．点睛：本题考查频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？【答案】（1）35元/盒；（2）20%．【解析】试题分析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．1920试题解析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x 元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x ﹣11）元/盒，根据题意得：3500240011x x =-，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解．答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．（2）设年增长率为m ，2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）． 根据题意得：（60﹣35）×100（1+a ）2=（60﹣35+11）×100，解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：年增长率为20%．考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用；增长率问题． 23．如图，河的两岸MN 与PQ 相互平行，点A ，B 是PQ 上的两点，C 是MN 上的点，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.414，3≈1.732）【答案】17.3米.【解析】分析：过点C 作CD PQ ⊥于D ，根据3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，，得到30,ACB ∠=︒ 20AB BC ==，在Rt △CDB 中，解三角形即可得到河的宽度.详解：过点C 作CD PQ ⊥于D ，∵3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，21∴30,ACB ∠=︒ ∴20AB BC ==米， 在Rt △CDB 中，∵90BDC ，∠=︒ sin ,CDCBD BC∠=∴sin60,CDBC︒=∴,20CD =∴CD = ∴17.3CD ≈米．答：这条河的宽是17.3米．点睛：考查解直角三角形的应用，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键. 24．列方程解应用题：某市今年进行水网升级，1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m 3，求该市今年居民用水的价格． 【答案】2.4元/米3【解析】利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m 3，进而得出等式即可． 【详解】解：设去年用水的价格每立方米x 元，则今年用水价格为每立方米1.2x 元 由题意列方程得：301551.2x x-= 解得x 2=经检验，x 2=是原方程的解1.2x2.4=(元/立方米)答：今年居民用水的价格为每立方米2.4元．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出用水量是解题关键．25．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．求A市投资“改水工程”的年平均增长率；从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？【答案】 (1) 40%;(2) 2616.【解析】（1）设A市投资“改水工程”的年平均增长率是x．根据：2008年，A市投入600万元用于“改水工程”，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元，列方程求解；（2）根据（1）中求得的增长率，分别求得2009年和2010年的投资，最后求和即可．【详解】解：（1）设A市投资“改水工程”年平均增长率是x，则2600(1)1176x+=．解之，得0.4x=或 2.4x=-（不合题意，舍去）．所以，A市投资“改水工程”年平均增长率为40%．（2）600＋600×1.4＋1176＝2616（万元）．A市三年共投资“改水工程”2616万元．26．如图，抛物线y＝12x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B （4，0）与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x 轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交抛物线与点Q．求抛物线的解析式；当点P在线段OB上运动时，直线1交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD2223是平行四边形；在点P 运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】 (1) 213222y x x =--;(2) 当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形;(3) Q 1（8，18）、Q 2（﹣1，0）、Q 3（3，﹣2） 【解析】（1）直接将A （-1，0），B （4，0）代入抛物线y=12x 2+bx+c 方程即可；（2）由（1）中的解析式得出点C 的坐标C （0，-2），从而得出点D （0，2），求出直线BD ：y ＝−12x+2，设点M(m ，−12m+2)，Q(m ，12m 2−32m −2)，可得MQ=−12m 2+m+4，根据平行四边形的性质可得QM=CD=4，即−12m 2+m+4＝4可解得m=2；（3）由Q 是以BD 为直角边的直角三角形，所以分两种情况讨论，①当∠BDQ=90°时，则BD 2+DQ 2=BQ 2，列出方程可以求出Q 1（8，18），Q 2（-1，0），②当∠DBQ=90°时，则BD 2+BQ 2=DQ 2，列出方程可以求出Q 3（3，-2）．【详解】（1）由题意知，∵点A （﹣1，0），B （4，0）在抛物线y ＝12x 2+bx+c 上， ∴210214402b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩解得：322b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴所求抛物线的解析式为 213222y x x =--24（2）由（1）知抛物线的解析式为213222y x x =--，令x ＝0，得y ＝﹣2∴点C 的坐标为C （0，﹣2） ∵点D 与点C 关于x 轴对称 ∴点D 的坐标为D （0，2）设直线BD 的解析式为：y ＝kx+2且B （4，0）∴0＝4k+2，解得：1k 2=-∴直线BD 的解析式为：122y x =+ ∵点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线1，交BD 于点M ，交抛物线与点Q∴可设点M 1m,22m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Q 213,222m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴MQ＝2142m m -++ ∵四边形CQMD 是平行四边形∴QM＝CD ＝4，即2142m m -++=4解得：m 1＝2，m 2＝0（舍去）∴当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形（3）由题意，可设点Q 213,222m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭且B （4，0）、D （0，2）∴BQ 2＝22213(4)222m m m ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭DQ 2＝22213422m m m ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭BD 2＝20①当∠BDQ＝90°时，则BD 2+DQ 2＝BQ 2，∴2222221313204(4)22222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫++--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：m 1＝8，m 2＝﹣1，此时Q 1（8，18），Q 2（﹣1，0）25②当∠DBQ＝90°时，则BD 2+BQ 2＝DQ 2，∴222222131320(4)242222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫+-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：m 3＝3，m 4＝4，（舍去）此时Q 3（3，﹣2）∴满足条件的点Q 的坐标有三个，分别为：Q 1（8，18）、Q 2（﹣1，0）、Q 3（3，﹣2）． 【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了平行四边形及直角三角形的定义，要注意第3问分两种情形求解．26中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为( )A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10. 故选B. 点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解.2．已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为（）A．100cm B10cm C．10cmD．1010cm【答案】C【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式可求得圆锥的母线长．【详解】设母线长为R，则圆锥的侧面积=236360R=10π，∴R=10cm，27故选C．【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握扇形面积是解题的关键. 3．如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解析】试题分析：∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB=65°.∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE=∠CAD，AC=AD. ∴∠ADC=∠DCA="65°." ∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA="50°." ∴∠BAE=50°．故选C．考点：1.面动旋转问题； 2. 平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质．4．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．606030(125%)x x-=+B．606030(125%)x x-=+2829C ．60(125%)6030x x⨯+-=D ．6060(125%)30x x ⨯+-= 【答案】C【解析】分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x+万平方米，依题意得：606030125%x x-=+，即()60125%6030x x⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．5．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( ) A ．平均数 B ．中位数C ．众数D ．方差 【答案】D【解析】解：A ．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A 与要求不符；B ．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B 与要求不符；C ．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C 与要求不符；D．原来数据的方差=222 (12)2(22)(32)4-+⨯-+-=12，添加数字2后的方差=222 (12)3(22)(32)5-+⨯-+-=25，故方差发生了变化．故选D．6．在六张卡片上分别写有13，π，1.5，5，0中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（）A．16B．13C．12D．56【答案】B【解析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有π2个，∴卡片上的数为无理数的概率是21=63.故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算.7．下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．BCD【答案】C30【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A、15=55，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；B 、0.5=22，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；C、5，是最简二次根式；故C选项正确；D．50=52，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；故选C．考点：最简二次根式．8．下列交通标志是中心对称图形的为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据中心对称图形的定义即可解答．【详解】解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；D、不是中心对称的图形，不合题意．故选C．【点睛】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．319．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（）A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2D．0＜x＜2【答案】C【解析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2=cx图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．10．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝kx在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是( )32。
2023年人教版九年级数学下册第二十七章《位似的基本概念》导学案
新人教版九年级数学下册第二十七章《位似的基本概念》导学案【明确目标】1．掌握位似图形的定义、性质、画法．2．使学生经历对位似图形的观察、画图、分析、交流，体验探索得出数学结论的过程．3．通过经历对位似图形的认识、操作、归纳等过程，激发学生探究问题的兴趣，得到解决问题的成功体验，培养同学们之间的合作交流意识．【自主预习】1．以前我们学习了解平移、对称、旋转变换，它们的特点是什么?2．展示一组图片，提出问题：其形状、大小是否发生变化?图形位置有什么关系?阅读教材P47—48，自学“思考”与“探究”，理解位似的概念，会找出位似图形的位似中心，并能按要求将图形进行放大或缩小的位似变换．并完成自主预习区．1．如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线__________，对应边互相__________，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做__________.2．如下图所示，下列图形中不是位似图形的是( )【合作探究】活动1 探究新知：(一)位似图形的定义(1)观察与思考：学生完成教材P47“思考”．(2)理解位似图形的定义：①两个图形相似；②对应点的连线交于一点；③对应边互相平行．(3)强化概念的理解．①下图是否是位似图形?如果是位似图形，请指出位似中心；如果不是，请说明理由．②下图中是位似图形的是( )③下列说法正确的是( )A．位似图形必须是两个直角三角形B．全等图形必是位似图形C．位似图形对应点的连线必相交于一点D．相似图形一定是位似图形④下列说法正确的是( )A．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等B．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似C．两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似D．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似⑤用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在( )A．原图形的外部B．原图形的内部C。
原图形的边上D．任意位置活动2 新知应用：(二)利用位似图形可以将一个图形放大或缩小例如图所示，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2：1．【当堂反馈】完成教材P48练习第1、2题．知识点一位似图形的概念1．下列各组图形中，不是位似图形的是( )2．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )A．点M B．点N C．点O D．点P3．下列是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．按如下方法将△ABC缩小为原来的12．如图，任取一点O，连接AO，BO，CO. 并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，得到△DEF，则下列说法正确的有( )①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF周长的比为2：1；④△ABC与△DEF面积的比为4：1．A．1个B．2个C．3个D．4个知识点二位似图形的性质5．两个图形中，对应点到位似中心线段的比为3：2，则这两个图形的位似比为( )A．3：2 B．9：4 C．3：2D．2：16．关于对位似图形的表述，下列命题正确的是__________．(只填序号)①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在直线都经过同一点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．7．如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，且OA=2AA'，S△ABC =8，则S△A'B'C'=________.【拓展提升】如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C'和△ABC位似，且位似比为1：2；(2)连接(1)中的AA'，求四边形AA'C'C的周长．(结果保留根号)【课后检测】一、选择题1．下列各组图形中，是位似图形的有( )A．2对B．3对C．4对D．5对2．已知点E是□ABCD中BC边延长线上的一点，连接AE交CD于点0，则图中的位似图形有( )A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题3．已知△ABC，点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作__________个，它们之间的关系是_________________________________．4．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后，得到五边形A'B'C'D'E'．已知OA＝10cm，OA'＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A'B'C'D'E'的周长的比值是__________．三、解答题5．用直尺画出下面位似图形的位似中心点O．6．如图，△OAB与△ODC是位似图形，试问：(1)AB与CD平行吗?请说明理由；(2)如果OB＝3，OC＝4，OD＝3.5，试求△0AB与△ODC的位似比及OA 的长．7．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.(1)画出位似中心点O；(2)求出△ABC与△A'B'C'的位似比；(3)以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于l：2.5．教师的职务是‘千教万教，教人求真’;学生的职务是‘千学万学，学做真人’。
部编RJ人教版 初三九年级数学 下册第二学期(导学案)第二十七章 相似 27.1 图形的相似
第二十七章 相似27.1 图形的相似学习目标：1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念． 了解成比例线段的概念，会确定线段的比．2.知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．3.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．学习重、难点：1.重点：相似图形的主要特征与识别．2.难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．学习过程：一、依标独学1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念 ．相似图形3 、如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?二、围标群学实验探究：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的比是多少？成比例线段：对于四条线段,,,a b c d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a c b d=（即ad bc =），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；线段的比是一个没有单位的正数；（2）四条线段,,,a b c d 成比例，记作a c b d=或::a b c d =； （3）若四条线段满足a c b d=，则有ad bc =． 小应用： 一张桌面的长 1.25a m =，宽0.75b m =，那么长与宽的比是多少？（1）如果125a cm =，75b cm =，那么长与宽的比是多少？（2）如果1250a mm =，750b mm =，那么长与宽的比是多少？三、探索1、如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．2．【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______． 反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中若1111;;D D A A B B C C ?行=行=行=?；．11111111D =AB BC C DA A B B C C D D A == 则四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1 D 1相似（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．四、自我检测1．在比例尺为1：10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm，求两地的实际距离．2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度．五、归纳小结。
人教版数学九年级下册第二十七章相似导学案
27.1图形的相像学习目标、要点、难点【学习目标】1．理解并掌握两个图形相像的观点；认识成比率线段的观点，会确立线段的比.2．知道相像多边形的主要特点，即：相像多边形的对应角相等，对应边的比相等；会依据相似多边形的特点辨别两个多边形能否相像，并会运用其性质进行有关的计算．【要点难点】1．相像图形的观点与成比率线段的观点；相像多边形的主要特点与辨别．2．成比率线段观点；运用相像多边形的特点进行有关的计算．知识概览图相像多边形的特点：对应角相等，对应边的比相等图形的相像判断两个多边形相像：对应角相等，对应边的比相等比率线段：有四条线段，此中两条线段的比与另两条线段的比相等，称这四条线段是比率线段新课导引【生活链接】以以下图所示，实用同一张底片洗出的不一样尺寸的照片，也有一辆汽车和它的模型，这些都给我们以形状同样的图形的形象．【问题研究】这类形状同样的图形叫做相像图形，两个图形相像，此中一个图形能够看作是由另一个图形放大或减小获得的．那么相像的图形拥有哪些性质呢?教材精髓知识点 1相像图形我们把形状同样的图形叫做相像图形．两个图形相像，此中一个图形能够看作是由另一个图形放大或减小获得的．比如：如图27－1 所示的几组图形都是形状同样、大小不一样的图形，所以这几组图形分别都是相像图形．1当两个图形的形状同样、大小也同样时，这两个图形也是相像图形，它们是特别的相像图形：全等形． 比如：如图 27－ 2 所示，△ ABC 与△ A ′B ′C ′的形状同样，而且大小也同样，所以这两个三角形相像，而且这两个三角形全等．拓展 所谓“形状同样”，就是与图形的大小、地点没关，与摆放角度、摆放方向也没关．有些图形之间固然只有很小的差别，但也不可以以为是“形状同样”．知识点 2比率线段对于四条线段 a ，b ，c ，d ，假如此中两条线段的比 ( 即它们长度的比 ) 与另两条线段的比相等，如 a c b d( 即 ab ＝ bc) ，我们就说这四条线段是成比率线段，简称比率线段．(1) 式子ac也能够写成 a ： b=c ：d ，往常这里的 a 叫做第一比率项， b 叫做第二比率项， cb d叫做第三比率项， d 叫做第四比率项．(2) 有时在 ac 中， ＝ ，比如： 4 6， 的比率中项，此时 b 2 ad ． b d b c6 9，这时我们把 b 叫做 a d(3) 在式子ac的两边同时乘以，得＝ cb ，在与比率有关的计算中，我们常经过上述变bdbdad形转变字母之间的关系．拓展 往常状况下，四条线段 a ，b ，c ，d 的单位应当一致，但有时为了计算方便，a ，b 的单位一致， c ，d 的单位一致也能够．知识点 3相像多边形对应边成比率，对应角相等的两个多边形叫做相像多边形．拓展 在多边形中，只有当“对应边成比率”、 “对应角相等”这两个条件同时成即刻，才能说明两个多边形是相像多边形．知识点 4相像多边形的性质相像多边形的对应角相等，对应边的比相等．比如：若△ ABC 与△ A ′B ′C ′相像，则∠ A ＝∠ A ′，∠B ＝∠ B ′，∠ C ＝∠ C ′，ABACBC.2知识点 5相像比相像多边形对应边的比称为相像比．拓展相像多边形面积的比等于相像比的平方．规律方法小结(1) 相像的两个图形之间大小、方向、地点能够同样，也能够不一样，但它们的形状一定同样．如：两张大小不一样的世界地图或中国地图；两面大小不一样的中国国旗；同一底片、尺寸不一样的两张照片．有些图形之间很相像，但不相像，如：哈哈镜中人的形象与自己不相像；阴历十五夜晚的月亮与十六夜晚的月亮固然很相像，但其实不相像．(2)学习本节知识时要充足运用转变思想，即把求证的线段之间的关系转变为易证、易求的线段间的另一种关系，同时，对于给出两条线段的比而没有指明两条线段的大小关系时，要分类议论．研究沟通当相像比为 1 时，相像的两个图形之间有什么关系 ?点拨相像比为 1 的两个图形是全等形．讲堂检测基本观点题1、以下多边形中，必定相像的是( )A．两个矩形B．两个菱形C．两个正方形D．两个平行四边形2、以下命题中，正确的选项是( )A．相像多边形是全等多边形B．不全等的多边形不是相像多边形C．全等多边形是相像多边形D．不相像的多边形可能是全等多边形3、假如线段 a 是线段 b、线段 c 的比率中项， b＝3，c＝12，那么线段 a 的长是多少 ?基础知识应用题4、假如两地的实质距离为750m，图上距离为 5 cm, 那么这张图的比率尺是多少?5、已知四边形 ABCD与四边形 A′B′C′D′相像，且 AB：BC：CD：DA＝20： 15：9：8，四边形 A′ B′ C′ D′的周长为 26，求四边形 A′B′C′D，的各边长．综合应用题6、等腰梯形 ABCD与等腰梯形 A′B′C′D′，相像，AD＝BC，∠A＝65°，AB＝8 cm，A′ B′＝ 6 cm，AD＝ 5 cm，求 A′D′的长及梯形 A′B′C′D′各内角的度数．7、已知同样时辰的物高与影长成比率，假如高为 1.5 m 的竹竿的影长为 2.5 m ，那么影长为30 m 的旗杆的高度为( )A． 20 m B．16 mC． 18 m D．15 m研究与创新题8、已知线段AB＝8，C为线段AB的黄金切割点，求A C: BC的值．体验中考在同一时辰，身高为1．6 米的小强在阳光下的影长为0．8 米，一棵大树的影长为4．8 米，则这棵树的高度为( )A ．4．8 米B．6．4 米C ．9．6 米D．10 米学后反省附：讲堂检测及体验中考答案讲堂检测1、剖析依据相像多边形的定义，两个矩形只知足对应角相等，而对应边不必定成比率；两个菱形只知足对应边成比率，而对应角也不必定相等；两个正方形的对应边成比率，对应角都是90°，必定相像；两个平行四边形的对应边不必定成比率，对应角也不必定相等．应选 C.【解题策略】判断两个多边形能否相像，一定同时具备对应角相等、对应边的比相等，这两个条件缺一不行．2、剖析全等多边形是特别的相像多边形．应选 C.【解题策略】假如两个多边形全等，则必定相像，可是假如两个多边形相像，则不必定全等．3、剖析四条线段 a，b，c，d 是成比率线段，若第二比率项和第三比率项是两条同样的线段，即 a： b＝ b：c，则把 b 叫做 a 和 c 的比率中项．将 a：b＝ c： d 变形，可获得 bc＝ ad，当 a：b＝b c 时，有 b2＝ac．:解：∵a是 b，c 的比率中项，且 b＝， c＝，312∴a2＝bc＝ 3× 12＝36，∴ a＝± 6．∵ a 是线段，∴线段 a 的长是 ．6【解题策略】假如线段 a 是线段 b ， c 的比率中项，那么 a 2 =bc ． ( 此中 a ，b ，c 均为正数 )4、剖析 图的比率尺是一种比率关系，是图上距离与实质距离的比，往常写成1：x 的形式，也就是说，图上的 1 cm 相当于实质的 x cm ，如某图的比率尺为 1：40000，就是说图上的 1 cm 相当于实质的 40000 cm ，即 400 m.解：∵ 750 m ＝75000 cm ，∴ 5:75000 ＝1:15000 ，即这张图的比率尺是 1:15000 ．【解题策略】 无论是将图形放大仍是减小，比率尺都是图上距离与实质距离的比．、剖析 依据四边形 ABCD 各边的比为 ： ： ： 8 可得四边形 A ′B ′C ′D ′各边的比也为 520 15 9 20： 15：9：8，再依据四边形 A ′B ′C ′D ′的周长为 26，可求出各条边的长．解：∵四边形 ABD 与四边形 A ′ B ′ C ′ D ′相像，且 AB: BC: CD: DA ＝ 20:15:9:8 ，∴ A ′ B ′： B ′C ′： C ′D ′： D ′A ′＝ 20： 15：9：8．又∵四边形 A ′B ′C ′D ′的周长为 ，26 ∴ A ′ B ′ =26×20=10，B ′C ′=26×15=7．5，20 15 9 15 98 20 8 C ′D ′ × 9 ． ，D ′A ′ × 20， =26 20 15 9 8 =4 5 =26 15 9 =420 8即四边形 A ′B ′C ′D ′的各边长分别为 A ′ B ′＝ 10，B ′C ′＝ 7．5，C ′D ′＝ 4．5，D ′A ′＝ 4．【解题策略】 相像多边形的相像比等于对应边的比．6、剖析 充足利用相像多边形的对应角相等、 对应边成比率的性质和等腰梯形的性质来解题．解：∵等腰梯形 ABCD 与等腰梯形 A ′B ′C ′D ′相像，∴∠ A ＝∠ A ′=65°， AB AD，A BA D即85 ，∴ A ′D ′=15(cm) ，6 A D4∴ B ′ C ′＝ 15，∠ A ′＝∠ B ′＝ °，4 cm65∴∠ C ′＝∠ D ′＝ 180°－ 65°＝ 115°．【解题策略】 本题是一道综合性题目， 在运用相像多边形性质的同时也运用了等腰梯形的性质．7、剖析 本题考察比率线段的基天性质．因为同一时辰物高与影长成比率，所以2.530，∴旗杆的高度＝30 1.5＝18(m)．应选 C．1.5旗杆的高度2.5【解题策略】解决此类问题时，也能够依据比率式列出方程，经过解方程求出旗杆的高度．8、剖析黄金切割点指的是线段上的某一点，它将线段所分红的两条线段中，较长的一条线段是较短的一条线段和整条线段的比率中项，此中较长的一条线段与整条线段的比值叫做黄金比，黄金比的近似值约为0.618 ，正确值是5 1．2解：当 AC＞ BC时，AC=5 1AB=4( 5－1) ，2∴BC=AB－AC=8－4( 5－ 1)=12－4 5 =4(3－5 ) ，∴AC：BC5－1)：4(3－ 5)=5 1 ．=4(25 1AB当AC＜ BC时， BC 5 －1)，=2=4(∴AC AB－BC－ 5)，==4(3∴ AC: BC=4(3 － 5 ):4( 5 －1)= 5 1 ．2【解题策略】对于给出两条线段的比，而没有指明两条线段的大小关系时，要分类议论．体验中考剖析设这棵树的高度为x 米，则 1.6 ：0.8 ＝x：4.8 ，解得 x＝9.6 ．应选 C．【解题策略】同样时辰的物高与影长成比率．27.2相像三角形应用举例学习目标、要点、难点【学习目标】1．进一步稳固相像三角形的知识．2．能够运用三角形相像的知识，解决不可以直接丈量物体的长度和高度（如丈量金字塔高度问题、丈量河宽问题、盲区问题）等的一些实质问题．3．经过把实质问题转变成有关相像三角形的数学模型，进一步认识数学建模的思想，培育分析问题、解决问题的能力．【要点难点】1．运用三角形相像的知识计算不可以直接丈量物体的长度和高度．2．灵巧运用三角形相像的知识解决实质问题（如何把实质问题抽象为数学识题）．知识概览图相像三角形的应用：灵巧掌握题意，把实质问题转变为数学识题，运用数学建模思想和数形联合思想灵巧地解决问题．新课导引【生活链接】王芳同学跳起来把一个排球打在离她 2 m远的地上，而后球反弹遇到墙上，假如王芳跳起击排球时的高度是 1.8m，排球落地址离墙的水平距离是 6m，假定排球向来沿直线运动，那么排球能遇到墙上离地多高的地方?【问题研究】由题意可获得如右图所示的图形．已知AB＝1.8 m，AP＝，P ＝，PQ⊥2 m C 6 mAC，那么如何求DC的长呢 ?由已知可证 Rt△ APB∽Rt△ CPD，由相像三角形的性质可知即1.8 2，所以DC＝5.4(m)．利用相像三角形的知识还可以解决很多实质问题．DC 6教材精髓知识点应用相像三角形的知识解决实质问题AB AP， DC PC相像三角形的知识在实质生产和生活中有着宽泛的应用，这一应用是成立在数学建模思想和数形联合思想的基础上，把实质问题转变为数学识题，经过求解数学识题达到解决实质问题的目的．拓展求线段的长度时，可依据已知条件并利用相像成立未知线段的比率关系式，从而求出所求线段的长．运用数学建模思想把生活中的实质问题抽象为数学识题，经过求解数学识题达到解决实质问题的目的．讲堂检测基础知识应用题1、如图 27—38 所示，为了估量河的宽度，我们能够在河对岸选定一个目标 P，在近岸取点 Q和 S，使点 P， Q， S共线且直线 PS与河垂直，接着在过点S 且与 PS垂直的直线 a 上选择适合的点T，确立 PT 与过点 Q且垂直 PS的直线 b 的交点 R，假如测得 QS＝45 m，ST＝90 m， QR＝60 m，求河的宽度 PQ．2 、古代一位数学家想出了一种丈量金字塔高度的方法，如图 27－39 所示，为了丈量金字塔的高度OB，先竖起一根已知长度的木棒 O′ B′，比较木棒的影长 A′B′与金字塔的影长 AB，即可近似地算出金字塔的高度 OB且已知 O′B′=1 米， A′ B′＝ 2 米， AB＝274 米，求金字塔的高度 OB．综合应用题3 、如图27－40 所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝240 mm，高AD＝160mm，要把它加工成正方形部件，使正方形的一边在BC上，其余两个极点分别在AB，AC上，则这个正方形部件的边长是多少 ?4、如图 27— 41 所示，在 Rt△ABC中，∠ B＝ 90°， BC=4 cm， AB＝8 cm，D，E，F 分别为 AB，AC，BC边的中点， P 为 AB边上一点，过 P 作 PQ∥BC交 AC于 Q，以 PQ为一边，在点 A 的另一侧作正方形 PQMN，若 AP＝3 cm，求正方形 PQMN与矩形 EDBF的公共部分的面积．研究与创新题5、教课楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为 1 m 的竹竿的影长为 0．9 m，在同一时辰他们丈量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教课楼的墙壁上，如图 27－ 42 所示，经过一番争辩，该小组的同学以为持续丈量也能够求出树高，他们测得落在地面上的影长为 2.7 m ，落在墙壁上的影长为 1.2 m ，请你计算树高为多少．体验中考小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪对准目标点 B 时，要使眼睛 O、准星 A、目标 B 在同一条直线上，如图－45所示，在射击时，小明有稍微的颤动，以致准星 A 偏离到 A′，27若 OA＝0．2 m，OB＝40 m，AA′＝ 0．0015 m，则小明射击到的点 B′，偏离目标点 B 的长度 BB′为 ( )A．3 m B．0．3 m C．0．03 m D．0．2 m学后反省附：讲堂检测及体验中考答案讲堂检测1、剖析可利用三角形相像的性质来求解．解：∵∠ PQR＝∠ PST＝90°，∠ P＝∠ P，∴ Rt△PQR∽ Rt△PST，∴PQQR ，PS ST即PQ QR ，∴PQ60 ，PQ QS ST PQ 4590PQ ×90=( PQ+45) ×60，解得 PQ ＝90．故河宽大概为 90 m ．【解题策略】利用相像三角形的性质能够丈量不方便抵达的两点间的距离．2、剖析 要求 OB 的长度，能够经过证明△ OAB ∽△ O ′A ′B ′，从而获得比率式从而求解．OB AB ， OBAB解：∵太阳光是平行光芒，∴∠ OAB ＝∠ O ′ A ′B ′．又∵∠ ABO ＝∠ A ′B ′ O ′＝ 90°，∴△ OAB ∽△ O ′ A ′B ′，∴ OB ：O ′B ′＝ AB ：A ′B ′，∴ OB=ABgO B 274 1=137(米) ．A B2故金字塔的高度为137 米．【解题策略】本题要点考察阅读理解能力和知识的迁徙运用能力， 从而计算出不可以直接丈量的物体的高度．3、剖析若四边形 PQMN 为正方形，则 AE ⊥PN ，这样△ APN 的高能够写成 A D －ED ＝ AD －PN ，再由△ APN ∽△ ABC ，即可找到 PN 与已知条件之间的联系．解：设正方形 PQMN 为加工成的正方形部件，边 QM 在 BC 上，极点 P ，N 分别在 AB ，AC 上，△ABC 的高 AD 与正方形 PQMN 的边 PN 订交于 E ，设正方形的边长为 x mm ．∵PN ∥ BC ，∴△ APN ∽△ ABC ，∴AE PN , AD BC ∴160 x= x, 解得 x=96(mm)，160240∴加工成的正方形部件的边长为96 mm ．【解题策略】 本题中相像三角形的知识有了一个实质意义，所以在解题时要擅长把生活中的问题转变为数学识题来解决．4、剖析因为 PQ ∥BC ，所以PQAP，从而可求出的长，而四边形是正方形，所以BC ABPQPQMNPN 的长及 DN 的长都能够求出来．因为正方形 FQMN 与矩形 EDBF 的公共部分是矩形，故只需求出 DN ，MN 的长，就能够求出矩形的面积．解：在 Rt △ ABC 中，∠ B ＝ 90°， AB=8 cm ，BC ＝4 cm ，D ，E ， F 分别为 AB ， AC ，BC 边的中点，则 AD ＝4 cm ，DE ∥ BC ，DE ⊥ AB ．又∵ PQ ∥BC ，∴△ APQ ∽△ ABC ， ∴ AP PQ ，即3 PQ ，∴ = 3 .AB BC8 4PQ 2由四边形 PQMN 是正方形，得 PN ＝ 3，2∴AN ＝ 9 ，DN ＝AN －AD ＝ 1，2 2∴正方形 PQMN 与矩形 EDBF 的公共部分的面积为：DN ·MN=DN · PQ= 1 × 3 = 3(cm 2) ．2 2 4【解题策略】 本题考察了直角三角形、正方形与相像三角形知识的综合应用，要娴熟掌握每一种几何图形的性质．5、剖析 第一依据题意画出表示图 ( 如图 27－43 所示 ) ，把实质问题抽象成数学识题， 从而利用△ PQR ∽△ DEC ，△ PQR ∽△ ABC 求出树高 AB ．解：如图 27－43(1) 所示，延伸 AD ， BE 订交于 C ，则 CE 是树的影长的一部分．由题意可得△ PQR ∽△ DEC ，∴PQQR ，DEEC即10.9，∴ CE=1.08(m) ，1.2 CE∴ BC ＝BE+CE ＝2.7+1.08 ＝3.78(m) ． 又∵△ PQR ∽△ ABC ，∴PQQR ， ABBC即1 0.9 AB 3.78，∴ AB=4.2(m) ，故树高为 4．2 m ．体验中考剖析 由三角形相像可得OAAA，∴ BB ′ =OB gAA =400.0015=0.3(m) ．应选 B.OB BBOA0.2【解题策略】解决本题的要点是依据 AA ′∥ BB ′，从相像三角形的周长与面积学习目标、要点、难点【学习目标】1．理解并初步掌握相像三角形周长的比等于相像比，面积的比等于相像比的平方．2．能用三角形的性质解决简单的问题．【要点难点】1．相像三角形的性质与运用．2．相像三角形性质的灵巧运用，及对“相像三角形面积的比等于相像比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相像比”的理解．知识概览图相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应角均分线的比都等于相像比相像三角形的周长与面相像三角形周长的比等于相像比( 相像多边形周长的比等于相像比)积相像三角形面积的比等于相像比的平方( 相像多边形面积的比等于相像比的平方)新课导引【生活链接】假如两个三角形相像，那么它们的周长之间有什么关系 ?它们的面积之间有什么关系 ?两个相像多边形呢 ?【问题研究】前方我们已经学习了相像图形的性质：相像图形的对应角相等，对应边的比相等．那么相像图形的周长与面积又拥有如何的性质呢?教材精髓知识点 1相像三角形对应高的比等于相像比如图－57所示，假如△ ABC∽△ A′B′C′，且AB＝ k，那么27A B△ABC 与△ A ′B ′C ′的相像比 k ， A 作 AD ⊥BC ， A ′作 A ′D ′⊥ B ′C ′，垂足分 D ，D ′，在△ ABD 与△ A ′ B ′ D ′中，∠B ＝∠ B ′，∠ADB ＝∠ A ′D ′B ′＝ 90°，所以 Rt △ABD ∽Rt △A ′B ′D ′，所以ADAB＝k ，即相像三角形 高的比等于相像比k ．A D A B知 点 2 相像三角形 中 的比、 角均分 的比都等于相像比如 27－ 58 所示，在△ ABC 和△A ′B ′C ′中，AD ，A ′D ′分 △ ABC 和△ A ′B ′C ′的中 ， BE ，B ′E ′分 △ ABC 和△ A ′B ′ C ′的角均分 ，若△ ABC ∽△ A ′B ′ C ′，ADAB＝k ．A D A B知 点 3 相像三角形周 的比等于相像比假如△ ABC ∽△ A ′B ′C ′，而且△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′的相像比 k ，那么ABBC AC＝ k ，A BB CA CAB＝ k·A′B′ ， BC k·B′C′ ，AC＝k·A′C′，所以=△ ABC 的周AB BC CAkA B kB C kA Ck( A B B C C A )k ，即相像三角形周 的比△ABC 的周AB BC CAAB BC CAAB BC CA等于相像比．比如：已知△ ABC ∽△ A ′B ′C ′，它 的周 分 60 cm 和 ，且 AB ＝，B ′C ′ 72 cm 15 cm＝24 cm ， 两个三角形的相像比 60 5 ，且 AB BC 5 ，因 AB ＝，B ′C ′＝ ， 726 A B B C 6 15 cm 24 cm 所以 A ′B ′＝ c ， BC ＝ c ，A ′ C ′＝18 20 ，所以 AC ＝ － － ＝ 25(cm) － － ＝ ．m m60 15 20 72 18 24 30(cm) 知 点 4 相像多 形周 的比等于相像比假如多 形A 1 A 2 ⋯ A n 与多 形A 1 ′ A 2′⋯ A n ′相像，而且多 形A 1A 2⋯ A n 与多 形A 1′2n′的相像比 k ，A 1A 2A 2A 3 ⋯A nA11 21 22 32 3A ′⋯ A A 1 A 2A 2 A 3A n A 1＝k ，∴ AA ＝ kA ′ A ′， A A ＝ kA ′ A ′，⋯，A A 1＝kAn ′ A 1 ′，∴A 1A 2 A 2A 3 ⋯ AA 1＝ k A 1′A 2′ A 2′A 3′ ⋯A ′A 1′ ) ，∴ A 1A 2 A 2A 3 ⋯A n A 1n+ + +n( + + +nA 1 A 2 A 2 A 3 A n A 1⋯＝k ，即相像多 形周 的比等于相像比.知 点 5相像三角形面 的比等于相像比的平方若△ ABC ∽△ A ′B ′C ′，△ ABC 与△ A ′B ′C ′的相像比是 k ，AD ，A ′D ′分 是 BC 与 B ′C ′S △ ABC 1BC gADBCAD上的高，2 2S △ABCBC AD= k ·k=k , 即相像三角形面 的比等于相像比的平方．1g2 BC AD知识点 6相像多边形面积的比等于相像比的平方对于两个相像的四边形，能够把它们分红两对相像的三角形，能够得出这两个四边形面积的比等于相像比的平方．对于两个相像的多边形，用近似的方法，能够把它们分红若干对相像的三角形，从而得出相像多边形面积的比等于相像比的平方．规律方法小结 (1) 假如两个三角形相像，那么它们对应高的比、对应角均分线的比、对应中线的比、对应周长的比都等于相像比．(2)相像三角形的面积比等于相像比的平方．(3)类比相像三角形的性质可知，相像多边形的周长比等于相像比，面积比等于相像比的平方．(4)本节内容中求相像三角形对应边的比和面积的比的问题能够相互转变，对于没有指明对应极点的相像三角形仍旧要分类议论．讲堂检测基本观点题1、 (1) 若两个相像三角形的面积比为 1：2，则它们的相像比为；(2)若两个相像三角形的周长比为 3：2，则它们的相像比为；(3)若△ ABC∽△ A′B′C′，且 AB＝ 5，A′B′＝ 3，△ A′B′C′的周长为 12，则△ ABC的周长为.基础知识应用题2、如图 27－59 所示，在△ ABC和△ DEF中， AB＝2DE，AC＝2DF，∠ A＝∠ D，△ ABC的周长是24，面积是 48，求△ DEF的周长和面积．3、如图 27－60 所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为 BC，AB边上的高，△ ABC和△BDE的面积分别为 18 和 2， DE＝2，求 AC边上的高．4、如图27－61所示，在△ ABC与△ CAD中，AD∥ BC，CD交AB于点E，且AE：EB＝1:2，EF∥BC交 AC于点 F，且 S△ADE＝1，求 S△BCE和 S△AEF．5、如图 27－62 所示， AD是△ ABC的角均分线， BH⊥AD于点 H， CK⊥AD于点 K，求证AB· DK＝AC·DH．17综合应用题6、如图 27－63 所示，在梯形 ABCD中，对角线 AC， BD订交于点 O，若△ COD的面积为 a2，△AOB的面积为 b2，此中 a＞0，b＞0，求梯形 ABCD的面积 S．研究与创新题7、如图－64所示，ABCD的对角线 AC，BD订交于点 O， E 是 AB延伸线上一点， OE交BC27于点 F，AB＝ a， BC＝b，BE＝c，求 BF 的长．8、如图 27－65 所示，在△ ABC中，D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与 AB订交于点 E， EC与 AD订交于点 F.(2)若 S△FCD＝5，BC＝ 10，求 DE的长体验中考1、已知△ ABC与△ DEF相像且面积比为4：25，则△ ABC与△ DEF的相像比为．2、如图27－67所示，在△ ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的均分线 CF交 AD于 F，点 E 是 AB的中点，连结EF．(1)求证 EF∥BC；(2)若四边形 BDFE的面积为 6，求△ ABD的面积．学后反省附：讲堂检测及体验中考答案讲堂检测、剖析(1)∵两个相像三角形的面积比等于相像比的平方，∴k2＝1，且 k＞，∴k＝ 2 ．120(2)2∵相像三角形的周长比等于相像比，且周长比为3:2 ，∴相像三角形的相像比为3：2．(3) ∵相像比5：3，∴△ ABC的周长5. 又∵△ A′ B′ C′的周长为12，∴△ABC的周长＝5，∴△ ABC的周△A BC的周长3123长为 20．答案： (1) 2 ：2 (2)3：2 (3)20【解题策略】解决此类题时，可直策应用相像三角形的周长比、面积比与相像比的关系来求解．2、剖析先说明△ ABC∽△ DEF，再运用相像三角形的性质——相像三角形的周长比等于相像比、面积比等于相像比的平方进行求解．解：在△ ABC和△ DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴DE DF 1.AB AC2又∵∠ D＝∠ A，∴△ DEF∽△ ABC，且相像比为1．2∴△ DEF 的周长1. 即△ DEF 的周长1，△ ABC的周长2242∴△ DEF的周长为 12．∴ S2，即S△DEF121，△ DEFS△ABC2482∴S△DEF＝12．即△ DEF的周长为 12，面积为 12．【解题策略】解决此类问题时，可利用相像三角形周长的比等于相像比、相像三角形面积的比等于相像比的平方来求解．3、剖析若求AC边上的高，就要把AC边上的高作出来，因为△ABC的面积为 18，所以只需求出 AC边的长，就能够求出AC边上的高．∵AD⊥BC，CE⊥ AB，∴∠ ADB＝∠ CEB＝ 90°，又∵∠ ABD＝∠ CBE，∴ Rt △ADB∽Rt △CEB．∴ BD AB,即 BD BE，且∠ ABC=∠ DBE，BE CBAB CB∴△ EBD∽△ CBA，∴S△BED2DE 2 ，S△BCA AC18又∵ DE＝ 2，∴ AC＝6．∵S△ABC＝1AC·BF＝ 18，∴ BF＝6．2【解题策略】解决本题的要点是依据已知条件说明△EBD∽△ CBA．4、剖析由 AD∥ BC，可得△ ADE∽△ BCE，求 S△BCE比较简单，而求 S△AEF不易利用相像三角形的面积关系来求解．由DA∥EF可知△AEF与△EAD是两个高相等的三角形，所以这两个三角形的面积比就等于底边长的比，求出 EF： AD就能够求出△ AEF的面积．解：∵ AD∥BC，∴△ ADE∽△ BCE，2 2∴S△ADE：S△BCE＝AE：BE．又∵ AE: BE＝ 1： 2，∴ S△ADE: S△BCE＝1:4 ，∵S△ADE＝1，∴ S△BCE＝4．又∵ EF∥ BC，∴△ AEF∽△ ABC，∴EF: BC＝AE：AB＝1:3 ．又∵△ ADE∽△ BCE，∴ AD：BC＝ AE：BE＝1： 2，∴BC＝2AD，∴ EF：AD＝2：3．又∵ AD∥ EF，∴△ ADE与△ AEF等高．∴S△AEF：S△ADE＝EF：AD＝2：3．∵S△ADE=1，∴ S△AEF＝2 .3【解题策略】利用相像三角形的性质进行有关面积的计算时，有时会用到等底等高的三角形面积相等、同底 ( 或等底 ) 三角形的面积之比等于对应高之比、同高(或等高)三角形的面积之比等于对应底边长之比等等．5、剖析由已知易证△ BHD∽△ CKD，△ ABH∽△ ACK，从而易得证明：∵ BH⊥ AD，CK⊥AD，∴ BH∥CK，AB BH DHAC CK DK, 即 AB·DK=AC·DH．∴△ BHD ∽△ CKD ，∴DHBH．①DK CK∵AD 均分∠ BAC ，∴∠ 1＝∠ 2．又∵∠ BHA=∠ CKA=90°，∴ R t △ ABH ∽Rt △ACK, ∴ AB BH．②ACCK由①②可知ABDH，∴ AB ·DK ＝AC ·DH ．AC DK【解题策略】在本题中，利用BH把AB和DH联系起来，往常把这里的BH叫做中间比， 它CKACDK CK起到桥梁的作用．、剖析 梯形的面积等于4 个三角形的面积之和，而△ AOB 和△ COD 的面积都已用 a ，b 表示6出来，所以要点是求出△ AOD 和△ BOC 的面积．由图可知△ AOD 和△ BOC 的面积相等，而△ AOD 和△ COD 在 AC 边上的高是同一条高， 所以△ AOD 和△ COD 的面积比就等于 AO ：OC ，这样就能够求出△ AOD 的面积．解：∵ AB ∥CD ，∴△ COD ∽△ AOB ，∴∴CO 2 S△ COD2a,AO 2S△ AOB2bCOa 2a2.AOb b又∵ S △ABC ＝ S △ ABD ，∴ S △ ABC －S △ AOB ＝S △ABD －S △ AOB ，即 S △BOC ＝ S △ AOD ．又∵S△ AOD=AOb ，S△ CODCO a∴ S △ AOD = b·S △COD = b· a 2=ab ．aa∴ S △ COB ＝S △ AOD ＝ab ．∴梯形 ABCD 的面积 S ＝ a 2+ab+ab+b 2＝ ( a+b) 2．【解题策略】 底在同一条直线上， 高同样的两个三角形面积的比等于底边长的比， 而相像三角形面积的比等于对应边的比的平方，要注意差别这两个性质．7、剖析 明显所求线段 BF 与已知线段 BE 在同一个三角形中，假如能找到一个与△ BEF 相像且有能直接找到，假如过 O 作 OC ∥BC 交 AB 于 G ，就能获得△ EBF ∽△ EGO ，本题可解．解：过点 O 作 OG ∥ BC 交 AB 于 G ，则△ EBF ∽△ EGO ．∵ ABCD 的对角线订交于点 O ，∴ OA ＝OC ，AG ＝ GB ．又∵△ EBF ∽△ EGO ，∴BFEB.GO EG∵ AG ＝GB ＝ 1AB ，∴ OG ＝ 1BC ．22又∵ AB ＝ a ， BC ＝b ，BE ＝ c ，∴ OG ＝ 1 b ，GB ＝ 1 a ，GE=1a+c ．2221∴ BFcBF bgc bc，∴ 2.1 1 =1a 2cccbaa222【解题策略】 解决此类题的要点是结构相像图形，而结构相像图形的一般方法是作平行线． 、剖析 由 E ⊥BC ， D 是 BC 的中点，可得∠ B ＝∠ ，由 AD ＝AC ，可得∠ ＝∠ ACD ，从而相8 D 1 2似可证．过 A 作 AM ⊥BC 垂足为 M ，求 DE 的长能够在 ED ∥M 的基础上利用比率线段求得．, A证明： (1) ∵DE ⊥ BC ，D 是 BC 的中点，∴EB ＝ EC ，∴∠ B ＝∠ 1．又∵ AD ＝AC ，∴∠ 2＝∠ ACB ，∴△ ABC ∽△ FCD ．解： (2) 过点 A 作 AM ⊥ BC ，垂足为 M ，∵△ ABC ∽△ FCD ，BC ＝2CD ，2∴S△ABC=BC=4．S △ FCD CD又∵ S △FCD ＝ 5，∴ S △ABC ＝20．∵ S △ ABC ＝ 1BC ·AM ，且 BC ＝10，2∴ 20= 1×10· AM ，∴ AM ＝4．2又∵ DE ∥ AM ，∴DEBD．AMBM∵ BM ＝BD+DM ，BD ＝ 1 BC ＝5，DM ＝ 1 DC ＝ 5，22 2∴ BM ＝5+ 5 ＝15，22∴ DE 5．∴ DE= 8 .415 32体验中考1、剖析相像三角形的面积之比等于相像比的平方．故填 2：5．2、证明： (1) ∵CF 均分∠ ACB ，∴∠ 1＝∠ 2．又∵ DC ＝AC ，∴ CF 是△ ACD 的中线，∴点 F 是 AD 的中点．又∵点 E 是 AB 的中点，∴EF ∥BD ，即 EF ∥BC解： (2) 由 (1) 知， EF ∥BD ，∴△ AEF ∽△ ABD ，2∴S△AEFAE．S △ ABDAB又∵ AE ＝ 1AB ，S △ AEF ＝S △ABD － S 四边形 BDFE ＝S △ ABD －6，2∴ S △ABD 61 2，S △ ABD2∴ S △ ABD ＝8，∴△ ABD 的面积为 8．27、 3 位似图形学习目标：1、能利用图形的位似将一个图形放大或减小.2、存心识地培育学生学习数学的踊跃感情，激发学生对图形学习的好奇心，形成多角度，多方法想问题的学习习惯 .学习过程：一、课前准备1．知识链接（1）什么叫位似图形？有哪几种位似的种类？（2）位似图形的性质是什么？2．预习检测（1）经过预习你能总结出利用位似把一个图形进行放缩的方法吗？（2）利用位似放缩图形用到了位似的哪些性质？二、学习过程研究 1请同学们察看以下图，要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为 2∶ 1，同学们在小组间相互沟通，看一看有几种方法？总结上述作法我们可概括出：（一）“利用位似将图形放大或减小的作图步骤. ”。
九年级数学下册第二十七章相似图形的相似导学案新人教
1x77°α117°82°77°18121827.1图形的相似一、自主学习1.预习课本24页至26页.的图形叫做相似图形. 2.观察以下两组图片中的两个图形相似吗？3.说明(1)相似图形的_______一定要相同，______________无关。
(2)两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形______或______得到。
4.哈哈镜及平面镜中的形象与你本人相似吗？二、合作探究(自学课本26页至27页的内容)1.成比例线段的概念：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中______的比与 的比 ，就称这四条线段是 ，简称 .练习：若a=3,b=6,c=12,则a 、b 、b 、c 线段是成比例的吗？2.相似多边形：__________________________________.3.相似多边形的性质：相似多边形 相等边 。
说一说如何识别两个多边形相似？三、展示交流1.如图所示的相似四边形中，求未知边x 的长度和角度α的大小．学习目标1.通过观察图形，学生进行分析、归纳、体会、理解并掌握两个图形相似的概念．2.了解成比例线段的概念，会求线段的比． 学习重点 相似图形的概念与成比例线段的概念．学习难点成比例线段概念、求线段的比，注意线段长度的单位要统一．2.如图，△ABC与△DEF相似，求未知边x,，y的长度。
3.在比例尺为1:10 000 000的地图上，量的甲、乙两地的距离是30cm ,求两的实际距离.四、【随堂检测】1.下列说法正确的是（）A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似 C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似2.下列各组线段中（单位是cm），能成比例的是（）A、 1，3，4，6B、 30，12，0.8，0.2C、 0.1，0.2，0.3，0.4D、 12，16，45，603.△ABC与△DEF相似，如果AC=3，DF=1.8，则△DEF 与△ABC与的相似比是_________．4.观察下列图形，指出哪些是相似图形：5、在比例尺是1:10000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是.5.已知线段3，4，6与x是成比例线段，则_______x。
人教版九年级下册数学导学案 第二十七章 相 似
第二十七章 相 似第一课时 图形的相似课前自习1.同学们，我们以前学习过两个图形全等，如果两个图形可以完全重合，那么我们称这两个图形全等。
也就是说两个图形的 和 都相同。
2.那什么是相似呢？指的是两个图形的 相同，大小不一定相同的两个图形。
两个相似图形也可以看成是其中一个图形进行 或 得出另一个图形。
例如，在实际生活中我们都能抵到很我相似的例子，比如一个同学的相片与他本人，地球仪的现实的地球，请大家想想，说出一个与相似有关的例子：练习：P37第1、2题3.相似多边形是指形状相同的多边形，例如：边长为2cm 与一个边长为6cm 的正六边形，它们除了大小不一样外，形状都是一样的。
4.相似多边形的对应边成比例，这些线段是比例线段，对应角都 。
例如：4cm1.75cm 1cm 2cm 1.5cm8cm3.5cm2cm4cm3cmF'E'C'D'FBCDEB'这两个五边形的相似的，表示为：五边形'''''BC D E F BCDEF :五边形,其中“:”为相似符号，我们再不观察一下它们的边长，BF 的对应边是： BC 的对应边是： CD 的对应边是： DE 的对应边是： EF 的对应边是：''''''''''B F B C D C D E E F (____)=====BF BC DC DE EF (____)所以称这五条线段为比例线段。
我们报把这个对应边的比称为： ，例如这里的相似比为： 同学们也可以观察它们的对应角的关系。
对应角 。
5.同学们，我们以前学习的全等是用” ≅”表示的，从全等和相似的符号来看全等就比相似多了一个等号，它们是有一定关系的，例如，全等三角形对应边相等，对应用相等，而相似呢？是对应边成比例，对应角相等，如果两个图形的相似比为1时，就说时这两边也相等了，例如：''''''''''B F BCD C DE EF =====1BF BC DC DE EF那么就得出'''''''''',,,,BF B F BC B C DC D C DE D E EF E F =====，那么这两个五边形就全等了，所以全等可以视为相似比为 时的特殊情况。
新人教版初中数学9年级下册27章相似导学案(52页)
第二十七章相似课题27.1 图形的相似1班级：姓名：导学目标知识点：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似，理解相似图形概念.了解成比例线段的概念，会确定线段的比.课时1课时导学方法：整理、分析、归纳法导学过程：一、自主探究（课前导学）1、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点2、小组讨论、交流•得到相似图形的概念进行归纳吗？（课本图27.1-1）（课本图27.1-2）相似图形 ___________________________________________________3、思考：如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗、合作探究（课堂导学）实验探究：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段 AB 和CD ,那 么这两条线段的比是多少？ 归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比. 成比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a c a c（即ad 二bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段. b d【注意】（1 ）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统 一单位；线段的比是一个没有单位的正数；（2） 四条线段a,b,c,d 成比例，记作a =—或a : b = c : d ；b da c（3） 若四条线段满足—二一，则有ad 二be .b d例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（）例2 一张桌面的长a 二1.25m ，宽b 二0.75m ，那么长与宽的比是多少?观察思考，小组讨论回答:ABCD（1）如果a = 125cm, b =75cm，那么长与宽的比是多少？（2）如果a = 1250mm, b = 750mm，那么长与宽的比是多少？小结：上a面分别采用m,cm, mm三种不同的长度单位，求得的一的值是________________ 的，所b以说，两条线段的比与所采用的长度单位____________ ，但求比时两条线段的长度单位必须____ .三、讨论交流（展示点评）四、课堂检测（当堂训练）已知：一张地图的比例尺是1:32000000 ，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km?分析：根据比例尺=图上距离，可求出北京到上海的实际距离.实际距离拓展延伸（课外练习）：1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？2•如图，图形a〜f中，哪些是与图形（1）或⑵ 相似的?CL h3、 下列说法正确的是（）A. 小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似 .B. 商店新买来的一副三角板是相似的.C. 所有的课本都是相似的.D •国旗的五角星都是相似的. 4、 填空题形状 ______ 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一 个图形的 _______ 或 _______ 而得到的。
人教版九年级数学下《27.1.1相似图形》导学案
第二十七章相似27.1 图形的相似第1课时相似图形1.通过对事物的图形的观察、思考和分析，认识理解相似的图形.2.经历动手操作的活动过程，增强学生的观察、动手能力.3.体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识.阅读教材P24-25，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似；自学反馈学生独立完成后集体订正①把图形叫做相似图形.②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形和得到的.③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？⑤全等三角形相似吗？⑥生活中哪些地方会见到相似图形？研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形.活动1 小组讨论例下列各图中哪组图形是相似图形( C )观察图形，要从本质入手，如C，将小图的位置稍加旋转就可以发现它们是相似图形.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.下列说法中，不正确的是()A.两幅比例不同的中国行政地图是相似图形B.两个图形相似与形状有关而与位置无关C.哈哈镜中人的形象与本人是相似的D.同一底片洗出来的不同尺寸的照片是相似的2.下列各组多边形每一组中各取两个大小不同的多边形，一定是相似图形的是.①三角形；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦梯形；⑧直角三角形.活动3 课堂小结本节课学习的数学知识:形状相同的图形是相似图形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.本节学习的数学方法:观察类比法.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①形状相同的图形②放大缩小③相似④不相似⑤相似⑥略【合作探究】活动2 跟踪训练1.C2.②⑥。
九年级下27章相似导学案
合作学习：成比例线段的意义图27.1-4◆ 合作学习：探究相似多边形的性质 1、观察右图中的两个四边形是相似的（1）量一量：AB=_______，BC=_______，CD=_______，DA=_______，B A '' =_______，C B '' _______，D C ''=_______，D A '' =_______，∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______，∠D =_______。
（2）算一算______=''B A AB ，______=''C B BC ，______=''D C CD ，______=''A D DA。
（3）议一议：通过计算，当这两个四边形相似时，对应边与对应角有怎样的关系？【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______． 反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：在⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1中 若．则⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1相似（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比． 问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．111;;C C B B A A ∠=∠∠=∠∠=∠111111C A ACC B BC B A AB == 5c d、的长度．图1 例题2：上图中，若DE∥BC，AD=2cm，BD=3cm，BC=4cm.求DE的长.练习1、已知△ADE∽△ABC，下列比例式正确的是：( )5、在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x ，y ，m ，n 的值.6、(2009年甘肃定西)如上图，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（ ） A ．12m B ．10m C ．8m D ．7m◆ 学后反思：B DE A1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．2．难点：三角形相似的预备定理的应用．◆自学展示:（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）平行线分线段成比例定理及其推论的内容是什么？(3) 问题：如果△ABC∽△ADE,那么你能找出哪些角的关系？边呢？◆合作学习：如图27.2-3，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E。
九年级数学下册第二十七章相似相似三角形的判定导学案新人教版
1相似三角形的判定一．自主预习1、什么样的三角形是相似三角形？几何语言：（如右图） C C ’∵____________________∴____________________ A B A ’ B’2、平行线分线段成比例：l 1 l 2 l 3 已知：直线543////l l l ，直线1l 和直线2l A D l 4 分别与这三条平行线相交，你 B E 能发现什么？ C F l 5结论1：________________________________________________ A E DD E A B C B C如上图，你还得发现什么结论?结论2：_________________________________________________3、自学课本30页思考，并证明.三角形相似的定理一：_______________________________________________________二、合作探究1、如图，DE ∥BC ，若D 是AB 的中点，DE=6，试求BC 的值.学习目标1、掌握三角形相似的定义、利用平行线判定三角形相似的判定方法及应用2、经历探索相似三角形的判定方法的过程，锻炼学生观察探究、主动学习的能力，培养逻辑推理能力. 学习重点 掌握相似三角形的定义、判定方法1及应用 学习难点相似三角形判定方法1的推导及应用22、如图，DE ∥BC ，过点E 作EF ∥AB ，EF 交BC 于点F ， AD:DB=2：3， BC=10, 求（1）CFBF(2)CF 的长。
三、展示交流1.△ABC 与△DEF 相似，且相似比为32，则△DEF 与△ABC 的相似比是 2.如图，DE ∥BC.（1）AD =2，DB=1，DE=2.5，求BC ；（2）AD:DB=2:1,DE=2.5，求BC ；（3）DE:BC=3:5,AD=2, 求BD.四、随堂检测1.在△ABC 中，AB=6，AC=9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD=2，过点D 作DE ∥BC 交边AC 所在直线于点E ，则CE 的长为 ．2.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证△ADE ∽△EFC.3. 如图，DE ∥BC ，AE=50cm ，EC=30cm ，BC=70cm ，∠BAC=45º， ∠ACB=40º。
2023年人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形》导学案2
新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形》导学案【明确目标】1．了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的表示方法及判定方法．(平行线分线段成比例定理及预备定理)2．经历用类比三角形全等知识探究相似三角形的定义及表示方法的过程，进一步探索相似三角形的预备定理． 3．在观察、发现、探索相似三角形判定的过程中，感受在学习中合作交流的乐趣，增强学习数学的兴趣．【自主预习】1．阅读教材P29—31，自学“探究”与“思考”，弄懂相似三角形的概念，掌握平行线分线段成比例定理，理解相似三角形判定的预备定理．并尝试完成自主预习区．2．预习反馈：学生独自完成集体订正．①如图，△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，则△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为__________．第①题图 第②题图 第③题图②如图l 1、l 2分别被l 3、l 4、l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与_______对应，BC 与_______对应，DF 与_______对应；(___)(___)AB BC =，(___)(___)AB DF =，(___)(___)(___)(___)AB DE ==. ③如图所示，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( )A ．AD BC DF CE =B ．BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF=1．三个角分别__________，三条边__________的两个三角形相似．2．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________，平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段__________.3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形__________．4．如图，若AB ∥CD ，则△__________∽△__________，._________AB BO AO == 【合作探究】活动1 新知探究(预备定理)1．提出问题如图，在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，DE ∥BC ，DE 交AC 于点E ，△ADE与△ABC有什么关系?2．合作探究分析：观察上图，易知AD=12AB，AE=12AC，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=12BC即可，从而得出△ADE≌△ABC，相似比为12．3．延伸问题改变点D在AB上的位置，先让学生猜想△ADE与△ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证．4．知识归纳平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．活动2 新知运用例如图所示，直线l1∥l2，AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，试求AE：EC 的值．【当堂反馈】教材P31页练习1、2知识点一相似三角形的定义1．已知△ABC∽△A'B'C'，当AB：A'B'=l时，△ABC∽△A'B'C'__________．若AB：A'B'=1：2，则△A'B'C'与△ABC的相似比为__________．2．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2，若BC=1，则EF的长是( ) A．1 B．2 C．3 D．4知识点二平行线分线段成比例3．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A．AD BCDF CE=B．BC DFCE AD=C．CD BCEF BE=D．CD ADEF AF=第3题图 第4题图 第5题图4．如图，直线l 交△ABC 的边AB 、AC 的延长线于点D 、E ，且l ∥BC ．若53AD AB ，且AE=10，则AC=__________，EC=__________. 知识点三 相似三角形判定的引理5．如图，BC ∥DE ∥FG ，图中有_______对相似三角形．6．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE=1，AD=2，DB=3，则BC 的长是( )A ．12B ．32C ．52D ．72【拓展提升】1．如图所示，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形( )A ．1对B 2对C ．3对D ．4对2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ ，点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(t ≥0)．(1)直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝__________，PD ＝__________；(2)是否存在f 的值，使四边形PDBQ 为菱形，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．【课后检测】一、选择题1．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，它们相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ．则图中相似三角形共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对第1题图 第2题图2．如图，直线l 1∥l 2，AF ：FB ＝2：3，BC ：CD ＝2：1，则AE ：EC 为( )A ．5：2B ．4：1C ．2：lD ．3：2二、填空题3．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，则GH 的长为__________.第3题图 第4题图4．如图所示，尹颖在打网球时，击球点距球网的水平距离为4m ，已知网高为0.4m ，要使球恰好能打过网，而且落在离网2m 的位置，则球拍击球的高度h 为_______m ．三、解答题5．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，点A 在直线l 1上，D ，E 在直线l 2上，C 在直线l 3上，且AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.(1)求ABAD 的值； (2)求BC 的长．6．如图，△ABC 中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 、AD 于点E 、F 、G ，图中共有几对相似三角形?分别是哪几对?。
人教版九年级数学下册第27章相似三角形全章导学案设计
课题：27・1 •图形的相似（一）年级：九年级课题：相似课型：新授主备人：审核人—时间：2017」学习目标1.理解并掌握两个图形相似的概念.2.了解成比例线段的概念.会确定线段的比.3.知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等.对应边的比相等.4.会根据相似第边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算.■点与难点重点：相似图形的概念与成比例线段的概念.相似炙边形的主要特征与识别. 难点：成比例线段概念.运用相似多边形的特征进行相关的计算学习过程J课前預习］（课本p24—26）1.（1）请同学们先观察第27章章头图，他们的形状、大小有什么关系.（2）教材P24引入.（3） _________________________________________________________ 相似图形概念：•（4）让同学们再举几个相似图形的例子.2.成比例线段：对于四条线段a,b,c,d,如果其中_____________________________________ 相等，如三=£b d（即ad=b€）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.【注意】（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计凳时要注軽统一单位：（2）线段的比是一个没右单位的正数：（3）四条线段a,b.c,d成比例，记作r = T或a:b=c:d：（4）若阿条线段满足- = 则有ad=bc.b d课堂預习21.如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.2.问題：对F图中两个相似的四边形，它们的对应角.对应边的比是否相等. ______________________3.【结论】：（1） _________________________________________________________________ 相似多边形的特征：（2） _______________________________________________ 相似比：问題：相似比为1时.相似的两个图形有什么关系？____________________________________ 结论： _______________________________________________________________________二•自主探究一・、）观察图片，体会相似图形1、同学们，请观察下列儿幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗? （课本图27. 1-1）（课本图27. 1-2）2、小组讨论、交流.得到相似图形的概念・什么是相似图形？3、思考：如图27. 1-3是人们从平而镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？二、）成比例线段概念1.问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD,那么这两条线段的比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比.2、成比例线段：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如春琲（即ad=bc）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.三、）小组探讨什么是相似多边形，相似比应该注意什么？三.典例分析例1如图，下面右边的阿个图形中，与左边的图形相似的是（）O 0 O o oA BCDH2C知：F地图的比例尺是1:32000000・量得北京到上海的图匕距离大约为3.5cm・求北京到上海的实际跑离大约是多少km?四.课堂练习1.在比例尺是1 ：8000000的“中国政区”地图上，星得福州与上海之间的距离时7.5cm,那么福州与上海之间的实际距离是多少？22.AABC与ADEF相似，且相似比是则Z\DEF与ZiABC与的相似比是（）.A. ZB. 2C. 1D. i3 2 5 93.下列所给的条件中，能确定相似的有（）（1）两个半径不相等的岡：（2）所有的正方形：（3）所有的等腰三角形：（4）所有的等边三角形：（5）所有的等腰梯形：（6）所有的正六边形.A. 3个 B. 4个C. 5个 D. 6个4.已知四边形ABCD和四边形A,B|C|D|相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm.如果四边形A.B.C.D,的蜃短边的长是6cm,那么四边形A^.C.D,中垠长的边长是多少？课题：27・2・1相似三角形的判定（一）年级：九年级 课题：业 课型：新授 主备人： 审核人时间：2017」 1. 经历两个三角形相似的探索过程.体验分析归纳得出数学结论的过程.进一步发展同学们的探究、交 流能力. 2. 会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题.■点与难点教学霓点：理解学握平行线分线段成比例定理及应用.教学难点：学握平行线分线段成比例定理应用.学习过程一•课前预习导学1. 知识回顾（1） 相似多边形的主要特征是什么？（2） 在相似多边形中，最简取的就是相似三角形.在ZkABC 与ZkA' B # C r 中.如果ZA=ZA* , ZB=ZB‘ f ZC=ZC r .且 我们就说ZiABC 与ZkA' B 1 C r 相似.记作△ ABC S ^A 'C f • k 就是 它们的相似比•反之如果△ABC S /^A ' B‘ C 9 •则有ZA=ZA r , AB BC CA A 7?* BV^CA 7-（3）问题：如果这两个三角形何怎样的关系？二•自主探究教材P29的探究，并引导同学们探索.3. ___________________________________________________________________________ ［归纳］平行线分线段成比例定理： _________________________________________________________________________平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线〉， ____________________________________三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的貢线和其它两边相交.所构成的三角形与原三角形相（1） 写出对应边的比例式：（2） 写出所右相等的角：（3） 若 AB=10,BC=12,CA=6.求 AD 、DC 的长.例 2 如图.在ZkABC 中.DE/ZBCt AD=EC, DB=lcm ・AE=4cm- BC=5cm, DE 的长.四、课堂练习 1. 下列孑组三角形一定相似的是（ZB=ZB‘ , ZOZC', 且三、例JK 讲解例1 （补充）如图△ ABC^A?题因A.两个直角三角形B.两个钝角三角形C.两个等腰三角形D.两个等边三角形 2. 如图.DE 〃BC, EF 〃AB,则图中相似三角形一共有() A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对3. 如图.DE 〃BC,(1) 如果AD=2・ DB=3,求DE:BC 的值：(2) 如果 AD=8・ DB=12> AC=15・ DE=7.求 AE 和 BC 的长.4.如图.在Z7ABCD 中，EF 〃AB ・ DE:EA=2:3・ EF=4・求 CD 的长.课题：27.2.1相似三角形的判定(二) 年级：九年级 课题：相似 课型：新授2.如图. △ABC 求证：AABC3题图主备人：审核人时间：2017」学习目标1•初步韋握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法.以及*两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法.2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.重点与难点能够运用三角形相似的判定定理解决简单的问题一•课前预习导学1.复习提问:(1)两个三角形全等有哪些判定方法？ ________________________________________(2)我们学习过哪些判定三角形相似的方法？_______________________________(3)全等三角形与相似三角形有怎样的关系？_______________________________(4)如图，如果要判定AABC与△A，B・C相似.是不是一定盅要一一验证所有的对应角和对应边的关系？_________________________________________2.(1)思考：首先，由三角形全等的SSS判定方法.我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例.那么能否判定这两个三角形相似呢? 二•自主探究教材P32的探究•并引导同学们探索【归纳结论】三角形相似的判定方法1 _______________________________________________________I.(1)提出问题：怎样证明这个命題是正确的呢？(2)引领同学们探求证明方法.2.用上而同样的方法进一步探究三角形相似的条件：(1)提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这曲个三角形相似呢？(2)同学们画图，门主展开探究活动.(3)【归纳结论】三角形相似的勇I定方法2 _____________________________________________________三・例题讲解例1已知：如图.在四边形ABCD中，ZB=ZACD. AB=6. BC=4・ AC=5, CD=7丄.求AD 的长.2课型：斯授姓名四.课堂练习1.如果在ZkABC 中ZB=3（T ■ AB=5cm tAC=4an・在△A^B'C'中.ZB =30* A^B =10cm t A'C=8an. 这两个三角形一定相似吗？试看画一顾.看一看？2.如图.Z\ABC中.点D、E、F分别是AB、BC. CA的中点• 求证：△ABC S/XDEF.3.已知：如图.P为AABC中线AD上的一点.且BD^PD-AD.求证：△ADCs^CDP.课题：27.2.1相似三角形的判定（三）年级：九年级课範相似主备人：审核人时间：2017.1学习目标1.学握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.2.能够运岁三角形相似的条件解决简单的问题.带习■邮韋握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似.学莎洞：（1）三角形相似的条件归纳、证明：（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似.一•课前预习导学（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图.ZXABC中.点D在AB上.如果AC2=AD>AB.那么AACD与AABC相似吗？说说你的理由•二•自主探究（1）如（2）題图，AABC 中，点D 在AB±,如果ZACD=ZB.那么ZkACD与ZkABC相似吗？（2）教材P35的探究•三.例題讲解例1 （It材P35例2）.证明*略（见教材P35例2〉.例2 已知：如图.矩形ABCD中.E为BC±一点，DF丄AE于F.若AB=4・ AD=5・ AE=6・求DF的B长・解:四.课堂练习1.已知：如图.Zl=Z2=Z3> 求证：AABC^AADE.2.下列说法是否正确，并说明理由.(1)有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形:(2)冇一个角相等的两等腰三角形是相似三角形. 3•已知：如图，ZiABC的高AD、BE交于点F.求证: AF 三EF BF"FD4.已知：如图.BE是ZkABC的外接岡O的直径.CD是ZiABC的髙.(1)求证：AC*BC=BE>CD：(2)若CD=6. AD=3・ BD=8,求OO的直径BE的长.课题：27.2.2相似三角形的性质年级：九年级课题：相似课型：新授主备人：审核人—时间：2017.1洋习目栩1.理解并初步拿握相似三角形周长的比等于相似比.面枳的比等于相似比的平方•2.能用三角形的性质解决简瑕的问题.一•课前预习导学1.复习提问：已知：AABC^AA 根据相似的定义，我们有哪些结论？__________________________________________ 问：两个三角形相似.除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？2.思考：看教材p37（1）如果两个三角形相似，它们的对应边高、对应中线、对应角平分线的比与相似比之间何什么关系？（2） _______________________________________________________________________________ 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ _______________________________________________________（3） __________________________________________________________________________________ 如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？ _______________________________________________________（4）__________________________________________________________________________________ 两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？ __________________________________________________________ 二•合作与探究结论~~相似三角形的性质：itsti ______________________________________Oil ________________________________________________________________________________________________三.钏题讲解例l.p38例3例2已知：如图：ZiABC S* B' C',它们的周长分别是60 cm 和72 cm,且AB=15 cm, B' C* =24 cm・求BC、AB、A' B' 、A' C'的长.分析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以求出BC等边的长.四.课堂练习1.填空*（1）_____________________________________________________________ 如果两个相似三角形对应边的比为3 ：5 ,那么它们的相似比为______________________________________________ ，周长的比为_______ ，面枳的比为 _____ ・（2）__________________________________________________________ 如果两个相似三角形面枳的比为3：5・那么它们的相似比为________________________________________________ ，周长的比为___________ .（3）___________________________________________________________________________ 连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______________________________ ・面积比等于 _______ •（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm,若较大三角形的周长是42 cm ,而积是12cm2,则较小三角形的周长为cm,面枳为cm—AF 0(2)若S^=S. — = 过点E 作EF 〃AB 交BC 于F.求OBFED 的面税: EC 327.2.3相似三角形的应用举例 年级：九年级 课题：她 课型：新授主备人： 审核人— 时间：2017.1 学习目标1. 进一步巩固相似三角形的知识.2. 能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测虽物体的长度和高度（如测址金塔高度问题、测虽河 宽问题、肓区问题）等的一些实际问题.学习重点|：运用三角形相似的知识计算不能直接测址物体的长度和髙度.若送ECS^ABC =5,过EAABC学习难点|：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问題抽彖为数学问題）.舍作与探究一、问題1:学校操场上的国旗旗杆的奇度是多少？你有什么办法测虽?问题2：世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家•叫什么金字塔？胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一“ •塔的4个斜面正对东南西北四个方向•塔基呈正方形，每边长约230多米.据考证，为建成大金孑塔.共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低.在古希胎，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天.希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测呈一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难題.因为是很难杞到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测虽大金字塔的高度的吗？二例見讲H例1 （教材P39例4—测童金字塔高度问解：略（见教材P40）练习：在某一时刻.有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米.那么高楼的岛度是多少米？（在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例•）例2 （教材P40例一测童河妄问JK）解：略（见教材P40）R：你还可以用什么方法来河的尢度? 解法二*如图构造相仪三角形（解法踣）.例3 （教材PJ0例_盲区问JI）A分析，« （见教材P40）« （见教材P41）三.课堂练习1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在菜一时刻.有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一离楼的影长为60米.那么髙楼的髙度是多少米？2.小明要测虽一座古塔的髙度.从距他2米的一小块枳水处C看到塔顶的倒影.已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米■塔底中心B到枳水处C的距离是40米•求塔高？3•小明想利用树彩测呈树髙.他在某一时刻测得长为lm的竹竿彩长0.9m・但当他马上测址树影时，因树靠近一幢建筑物.彩子不全落在地面上.有一部分彩子在墙上. 如图，他先测得留在墙上的彩髙1.2m, 乂测得地面部分的彩氏2.7m,他求得的树髙是多少？27.3 位似（一）年级：九年级课邂：相似课型：新授主备人：审核人时间：2017」学习目标1 • 了解位似图形及其有关概念.了解位似与相似的联系和区别，京握位似图形的性质.2.学握位似图形的刚法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.一.魅引入1.观察：在日常生活中.我们经常见到下而所给的这样一类相似的图形.它们有什么特征?2•问：已知：如图.多边形ABCDE.把它放大为原來的2倍.即新图与原图的相似比为2.应该怎样做? 你能说出iffli 相似图形的一种方法吗？三、例Ji 讲解分析：位似图形是特殊位置匕的相似图形.因此判断两个图形是否为位似图形•肯先要看这两个图 形是否相似.再看对应点的连线是否都经过同一点.这两个方面缺一不可. 解：例2 （教材P47例题）把图1中的四边形ABCD 缩小到原来的 2分析：把原图形缩小到原來的丄.也就是使新图形上，顶点到位似中心的距离与原 2图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1 ：2 •四、课堂练习1.应出所给图中的位似中心.例1 （补(1)(2) (3) (4) ◎2.把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍.3.已知：如图，△ABC,顾Z\A' B' C .使AA' B' C' S^A BC・且使相似比为1.5,要求(1)位似中心在AABC的外部：(2)位似中心在AABC的内部：(3)位似中心在AABC的一条边上：(4)以点C为位似中心.27.3 位似(二)年级：九年级课顾：相似课型：新授主备人：审核人：时间：学习目标1.巩固位似图形及其有关概念.2.会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律.3.了解四种变换(平移、轴对称.旋转和位似)的异同.并能在复杂图形中找出这些变换.一.课堂引入1.如图.ZkABC三个顶点坐标分别为A(23), B(2J)> C(62), (1)将ZkABC向左平移三个单位得到厶A|B|C P写出人、B,> G三点的坐标： ___________________________________________________________________(2)写出ZkABC关于x轴对称的厶A2B2C2三个顶点A" B“ C2的坐标：__________________________________(3)将ZkABC绕点O旋转180・得到△ A3B3C3,写出Aj. B3. C3三点的坐标. ____________________________ 2・在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换，相似也是一种图形的变為一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示.二合作探究：(1)如图.在平而直角坐标系中，仔两点A(6.3), B(6,0).以原点O为位似中心.相似比为丄.把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化.你3有什么发现？ ___________________________________________________________(2)如图，ZkABC三个顶点坐标分别为A(2,3), B(2,l)・ C(62)，以点O为位似中心.相似比为2,将AABC放大，观察对应顶点坐标的变化.你有什么发现？_______________________________________________________________________［归纳］位似变换中对应点的坐标的变化規律， ____________________________三.例题讲解例1 (教材P49的例題) 解:刨你还可以得到其他图形吗？请你自己试一a |解法二：四.课堂练习1. AABO的定点坐标分别为A(・l,4), B(3,2), 0(0,0),试将AABO放大为使ZiEFO与厶ABO 的相似比为2.5 : k求点E和点F的坐标.2.如图，AAOB缩小后得到ACOD.观察变化前后的三角形顶点.坐标发生了什么变化.并求出苴相似比和面积比.3.如图.将图中的AABC以A为位似中心.放大到1.5 倍.请曲岀图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化・。
新人教版初中数学九年级下册27章精品导学案(52页)
课题 27.1 图形的相似 1班级：____________ 姓名：____________导学目标知识点：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比．课时：1课时导学方法：整理、分析、归纳法导学过程：一、自主探究（课前导学）1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ (课本图27.1-1)( 课本图27.1-2)2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念．相似图形3 、思考：如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?观察思考，小组讨论回答：二、合作探究（课堂导学）实验探究：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 成比例线段：对于四条线段,,,a b c d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即ad bc =），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；线段的比是一个没有单位的正数； （2）四条线段,,,a b c d 成比例，记作a cb d=或::a b c d =； （3）若四条线段满足a cb d=，则有ad bc =． 例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）例2一张桌面的长 1.25a m =，宽0.75b m =，那么长与宽的比是多少？（1）如果125a cm =，75b cm =，那么长与宽的比是多少？（2）如果1250a mm =，750b mm =，那么长与宽的比是多少？小结：上面分别采用,,m cm mm 三种不同的长度单位，求得的ab的值是________的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____．三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm ，求北京到上海的实际距离大约是多少km ？分析：根据比例尺=实际距离图上距离，可求出北京到上海的实际距离．拓展延伸（课外练习）：1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？2．如图，图形a ～f 中，哪些是与图形（1）或(2)相似的？3、下列说法正确的是（ ）A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B ．商店新买来的一副三角板是相似的.C ．所有的课本都是相似的.D ．国旗的五角星都是相似的. 4、填空题形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的 或 而得到的。
人教版九年级数学下册第27章相似复习导学案设计
第27章相似复习导学案学习目标： 1. 掌握三角形相似的判定方法。
2. 会用相似三角形的判定方法和性质来判断及计算重点：三角形相似的判定性质及其应用。
难点：三角形相似的判定和性质的灵活运用。
学法指导：设置问题、探究讨论、例题讲解、小组讨论。
一．知识梳理1.平行线分线段成比例定理：___________________________________2. 相似三角形的性质与判定:（1）相似三角形的对应边_______ 相似三角形的对应角_____（2）相似三角形的周长比等于_______，相似三角形的面积比等于______ , 三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于_____ 。
（3）相似三角形的判定:__________________________.3.在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于__________________________二、跟踪训练一级训练1．如图6－4－17，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC∶S△ABC＝() A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶4图6－4－17图6－4－19图6－4－202．如图6－4－19，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为() A．9B．6C．3D．43．如图6－4－20，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为(1,0)，则E点的坐标为()A．(2，0) B.32，32 C．(2，2) D．(2,2)4．如图6－4－21，在平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC，边AD分别交于点E和F，过点E作EG∥BC，交AB于点G，则图中相似三角形有()A．4对B．5对C．6对D．7对图6－4－21 图6－4－225．如图6－4－22，已知在△ABC 中，P 是AB 上的一点，连接CP ，要使△ACP ∽△ABC ，只需添加条件____________(只要写出一种合适的条件)．6．如果两个相似三角形的相似比是3∶5，周长的差为4 cm ，那么较大三角形的周长为______cm.二级训练7． 如图，∠ACB ＝∠ADC ＝900，AC ＝6，AD ＝2。
九年级数学下册第二十七章相似位似导学案新人教
位似一、【自主学习】（1）△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标；A1（），B1（），C1（）。
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标；A2（），B2（），C2（）。
（3）将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标．A3（），B3（），C3（）学习课本48页的探究，得出结论：在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k ,那么位似图形对应点的坐标的比等于1、在直角坐标系中，ABC∆的各个顶点的坐标为A（－1，1），B（2，3），C（0，3）.现要以坐标原点O为位似中心，相似比为23，作ABC∆的位似图形'''A B C∆，则点'A，'B，'C的坐标分别是 . 2、如图，AOB∆以O为位似中心，扩大到COD∆，各点坐标分别为A（1，2），B（3，0），D（4，0）则点C坐标为 .3、某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼和小鱼是位似图形（如图所示），则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点( )A.（2a-，2b-） B.（a-，2b-） C.（2b-，2a-） D.（2a-，b-）二、【合作探究】如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(31)(21)-，，，．学习目标 1．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换2、掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．学习重点用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换学习难点把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律21yx4321DCBAOyx21O（1）以O 点为位似中心在y 轴的左侧．．将OBC △放大到两倍（即新图与原图的相 似比为2），画出新图形；（2）分别写出B ，C 两点的对应点B '，C '的坐标；（3）如果OBC △内部一点M 的坐标为()x y ，， 写出M 的对应点M '的坐标．三、【随堂检测】如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A'B'C'是 以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O ；（2）直接写出△ABC 与△A′B′C′的位似比； （3）以位似中心O 为坐标原点，以格线所在 直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O 中心对称的△A″B″C″， 并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．一、单选题在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差【答案】C【解析】由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．【详解】由于总共有7个人，且他们的成绩各不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前3名，故应知道中位数的多少．故选C．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．2．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝1．则∠BDC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】只要证明△OCB 是等边三角形，可得∠CDB=12∠COB即可解决问题.【详解】如图，连接OC，∵AB=14，BC=1，∴OB=OC=BC=1，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠CDB=12∠COB=30°，故选B．【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型．3．若关于x的不等式组255332xxxx a+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有5个整数解，则a的取值范围( )A．1162a-<-B．116a2-<<-C．1162a-<-D．1162a--【答案】A【解析】分别解两个不等式得到得x＜20和x＞3-2a，由于不等式组只有5个整数解，则不等式组的解集为3-2a＜x＜20，且整数解为15、16、17、18、19，得到14≤3-2a＜15，然后再解关于a的不等式组即可．【详解】255332xxxx a+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩①②解①得x＜20解②得x＞3-2a，∵不等式组只有5个整数解，∴不等式组的解集为3-2a＜x＜20，∴14≤3-2a＜15，1162a∴-<-故选：A【点睛】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能求出不等式14≤3-2a＜15是解此题的关键．4．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①12AFFD=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③【答案】D【解析】∵在▱ABCD中，AO=12AC，∵点E是OA的中点，∴AE=13CE ，∵AD∥BC， ∴△AFE∽△CBE， ∴AF AE BC CE ==13， ∵AD=BC，∴AF=13AD ，∴12AF FD =；故①正确； ∵S △AEF =4，AEF BCESS=（AF BC ）2=19， ∴S △BCE =36；故②正确； ∵EF AEBE CE = =13， ∴AEF ABES S=13， ∴S △ABE =12，故③正确； ∵BF 不平行于CD ，∴△AEF 与△ADC 只有一个角相等，∴△AEF 与△ACD 不一定相似，故④错误，故选D ．5．如图，已知正五边形ABCDE 内接于O ，连结BD ，则ABD ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．144︒【答案】C【解析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD=CB ，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可． 【详解】∵五边形ABCDE 为正五边形 ∴()1552180108ABC C ∠=∠=-⨯︒=︒ ∵CD CB = ∴181(8326)010CBD ∠=︒-︒=︒ ∴72ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒ 故选：C ． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．6．若正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m等于（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【答案】B【解析】利用待定系数法求出m，再结合函数的性质即可解决问题．【详解】解：∵y＝mx（m是常数，m≠0）的图象经过点A（m，4），∴m2＝4，∴m＝±2，∵y的值随x值的增大而减小，∴m＜0，∴m＝﹣2，故选：B．【点睛】本题考查待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．下列说法中，错误的是（）A．两个全等三角形一定是相似形 B．两个等腰三角形一定相似C．两个等边三角形一定相似 D．两个等腰直角三角形一定相似【答案】B【解析】根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案．【详解】解：A、两个全等的三角形一定相似，正确；B、两个等腰三角形一定相似，错误，等腰三角形的形状不一定相同；C、两个等边三角形一定相似；正确，等边三角形形状相同，只是大小不同；D、两个等腰直角三角形一定相似，正确，等腰直角三角形形状相同，只是大小不同.故选B．【点睛】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．特别注意，本题是选择错误的，一定要看清楚题．8．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（）A ．2332π-B ．233π-C．32π-D．3π-【答案】B【解析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．【详解】连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB是等边三角形，∵AB=2，∴△ABD的高为3，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，在△ABG和△DBH中，2{34AAB BD∠=∠=∠=∠，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-S△ABD=26021233602π⨯-⨯⨯=233π-．故选B．9．如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DEF ABFS S425∆∆=：：，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE ∴△DEF∽△BAF∴()2DEF ABF S S DE AB ∆∆=：：∵DEF ABF S S 425∆∆=：：， ∴DE：AB=2：5 ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3 故选B10．下列条件中不能判定三角形全等的是( ) A ．两角和其中一角的对边对应相等 B ．三条边对应相等 C ．两边和它们的夹角对应相等 D ．三个角对应相等【答案】D【解析】解:A 、符合AAS ，能判定三角形全等； B 、符合SSS ，能判定三角形全等；； C 、符合SAS ，能判定三角形全等；D 、满足AAA ，没有相对应的判定方法，不能由此判定三角形全等； 故选D ．二、填空题（本题包括8个小题）11．观察下列图形：它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第n 个图形共有___个★.【答案】13n +【解析】分别求出第1个、第2个、第3个、第4个图形中★的个数，得到第5个图形中★的个数，进而找到规律，得出第n 个图形中★的个数，即可求解． 【详解】第1个图形中有1+3×1=4个★， 第2个图形中有1+3×2=7个★， 第3个图形中有1+3×3=10个★， 第4个图形中有1+3×4=13个★， 第5个图形中有1+3×5=16个★， …第n 个图形中有1+3×n=（3n+1）个★．故答案是：1+3n.【点睛】考查了规律型：图形的变化类；根据图形中变化的量和n的关系与不变的量得到图形中★的个数与n的关系是解决本题的关键．12．如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m，n于点B、C，连接AC、BC，若∠1=30°，则∠2=_____．【答案】75°【解析】试题解析：∵直线l1∥l2，∴130.A∠=∠=,AB AC=75.ACB B∴∠=∠=2180175.ACB∴∠=-∠-∠=故答案为75.13．下列图形是用火柴棒摆成的“金鱼”，如果第1个图形需要8根火柴，则第2个图形需要14根火柴，第n根图形需要____________根火柴. 【答案】62n+【解析】根据图形可得每增加一个金鱼就增加6根火柴棒即可解答.【详解】第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，……∴组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n-1）=6n+2.故答案为6n+2【点睛】本题考查数字规律问题，通过归纳与总结，得到其中的规律是解题关键.14．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________．【答案】44°【解析】首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．【详解】连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBA+∠CBP=90°，∵OC⊥O A，∴∠A+∠APO=90°，∵OA=OB，∠OAB=22°，∴∠OAB=∠OBA=22°，∴∠APO=∠CBP=68°，∵∠APO=∠CPB，∴∠CPB=∠ABP=68°，∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，故答案为44°【点睛】此题考查了切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．15．如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域的概率为__________.【答案】14【解析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，观察发现：图中阴影部分面积=14S四边形，∴针头扎在阴影区域内的概率为14；故答案为：14．【点睛】此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 16．将23x =代入函数1y x =-中，所得函数值记为1y ，又将11x y =+代入函数1y x=-中，所得的函数值记为2y ，再将21x y =+代入函数中，所得函数值记为3y …，继续下去．1y =________；2y =________；3y =________；2006y =________． 【答案】32-2 13- 2 【解析】根据数量关系分别求出y1，y2，y3，y4，…，不难发现，每3次计算为一个循环组依次循环，用2006除以3，根据商和余数的情况确定y2006的值即可．【详解】y 1=32-，y 2=−1312-+=2，y 3=−112+=13-， y 4=−1113-+=32-，…，∴每3次计算为一个循环组依次循环， ∵2006÷3=668余2，∴y2006为第669循环组的第2次计算，与y2的值相同， ∴y2006=2， 故答案为32-；2；13-；2. 【点睛】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是多运算找规律.17．在ABC 中，A ∠：B ∠：C ∠=1：2：3，CD AB ⊥于点D ，若AB 10=，则BD =______【答案】2.1【解析】先求出△ABC 是∠A 等于30°的直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解．【详解】解：根据题意，设∠A、∠B、∠C 为k 、2k 、3k ， 则k+2k+3k=180°， 解得k=30°， 2k=60°， 3k=90°， ∵AB=10， ∴BC=12AB=1，∵CD⊥AB，∴∠BCD=∠A=30°，∴BD=12BC=2.1．故答案为2.1．【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半、求出△ABC是直角三角形是解本题的关键．18．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为____．【答案】1【解析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．【详解】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=1，因为6-6＜1＜6+6，所以能构成三角形；故腰长为1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；在图2中画出线段AB的垂直平分线．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题．试题解析：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．（2）线段AB的垂直平分线如图所示，点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．考点：作图—应用与设计作图．20．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：3，（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB＝10米，AE＝15米，求点B到地面的距离；求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）【答案】（1）2；（2）宣传牌CD高（20﹣3m．【解析】试题分析：（1）在Rt△ABH中，由tan∠BAH=BHAH33∠BAH=30°，于是得到结果BH=ABsin∠BAH=1sin30°=1×12=2；（2）在Rt△ABH中，AH=AB3Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE，即tan60°=15DE，得到3B作BF⊥CE，垂足为F，求出3，于是得到DF=DE﹣EF=DE﹣32．在Rt△BCF 中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣42°=42°，求得∠C=∠CBF=42°，得出3，即可求得结果．试题解析：解：（1）在Rt△ABH中，∵tan∠BAH=BHAH33∴∠BAH=30°，∴BH=ABsin∠BAH=1sin30°=1×12=2．答：点B距水平面AE的高度BH是2米；（2）在Rt△ABH中，AH=AB3Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE，即tan60°=15DE3B作BF⊥CE，垂足为F3，DF=DE﹣EF=DE﹣32．在Rt△BCF中，∠C=90°3，∴CD=CF﹣DF=23+12﹣（123﹣2）=20﹣13（米）．答：广告牌CD的高度约为（20﹣13）米．21．嘉淇同学利用业余时间进行射击训练，一共射击7次，经过统计，制成如图12所示的折线统计图．这组成绩的众数是；求这组成绩的方差；若嘉淇再射击一次（成绩为整数环），得到这8次射击成绩的中位数恰好就是原来7次成绩的中位数，求第8次的射击成绩的最大环数．【答案】（1）10；（2）87；（3）9环【解析】（1）根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数，结合统计图得到答案．（2）先求这组成绩的平均数，再求这组成绩的方差；（3）先求原来7次成绩的中位数，再求第8次的射击成绩的最大环数．【详解】解：（1）在这7次射击中，10环出现的次数最多，故这组成绩的众数是10；（2）嘉淇射击成绩的平均数为：()1107101098997++++++=，方差为：()()()()22221[109791091097-+-+-+-()()()2228998999]7+-+-+-=.（3）原来7次成绩为7 8 9 9 10 10 10，原来7次成绩的中位数为9，当第8次射击成绩为10时，得到8次成绩的中位数为9.5，当第8次射击成绩小于10时，得到8次成绩的中位数均为9，因此第8次的射击成绩的最大环数为9环.【点睛】本题主要考查了折线统计图和众数、中位数、方差等知识．掌握众数、中位数、方差以及平均数的定义是解题的关键．22．某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，A 、B 两地相距10千米，甲班从A 地出发匀速步行到B 地，乙班从B 地出发匀速步行到A 地.两班同时出发，相向而行.设步行时间为x 小时，甲、乙两班离A 地的距离分别为1y 千米、2y 千米，1y 、2y 与x 的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：直接写出1y 、2y 与x 的函数关系式；求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A 地多少千米？甲、乙两班相距4千米时所用时间是多少小时?【答案】（1）y 1=4x ，y 2=-5x+1．（2）409km ．（3）23h ．【解析】（1）由图象直接写出函数关系式； （2）若相遇，甲乙走的总路程之和等于两地的距离.【详解】(1)根据图可以得到甲2.5小时,走1千米,则每小时走4千米,则函数关系是：y 1=4x ，乙班从B 地出发匀速步行到A 地,2小时走了1千米,则每小时走5千米,则函数关系式是：y 2=−5x+1.(2)由图象可知甲班速度为4km/h ，乙班速度为5km/h ， 设甲、乙两班学生出发后，x 小时相遇，则 4x+5x=1， 解得x=109. 当x=109时,y 2=−5×109+1=409， ∴相遇时乙班离A 地为409km. (3)甲、乙两班首次相距4千米， 即两班走的路程之和为6km ，故4x+5x=6， 解得x=23h. ∴甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是23h.23．如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF⊥AM，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N ．求证：△ABM∽△EFA；若AB=12，BM=5，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）4.1【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=10°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=10°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=10°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）∵∠B=10°，AB=12，BM=5，∴AM=22125+=13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=12AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴BM AMAF AE=，即5136.5AE=，∴AE=16.1，∴DE=AE-AD=4.1．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质．24．如图1为某教育网站一周内连续7天日访问总量的条形统计图，如图2为该网站本周学生日访问量占日访问总量的百分比统计图．请你根据统计图提供的信息完成下列填空：这一周访问该网站一共有万人次；周日学生访问该网站有万人次；周六到周日学生访问该网站的日平均增长率为．【答案】（1）10；（2）0.9；（3）44%【解析】（1）把条形统计图中每天的访问量人数相加即可得出答案；（2）由星期日的日访问总量为3万人次，结合扇形统计图可得星期日学生日访问总量占日访问总量的百分比为30%，继而求得星期日学生日访问总量；（3）根据增长率的算数列出算式，再进行计算即可．【详解】（1）这一周该网站访问总量为：0.5+1+0.5+1+1.5+2.5+3=10（万人次）；故答案为10；（2）∵星期日的日访问总量为3万人次，星期日学生日访问总量占日访问总量的百分比为30%，∴星期日学生日访问总量为：3×30%=0.9（万人次）；故答案为0.9；（3）周六到周日学生访问该网站的日平均增长率为：330% 2.525%2.525%⨯-⨯⨯=44%；故答案为44%．考点：折线统计图；条形统计图25．如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度AB的长，他过A B、两点画两条相交于点O的射线，在射线上取两点D E、，使13OD OEOB OA==，若测得37.2DE=米，他能求出A B、之间的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案．【答案】可以求出A、B之间的距离为111.6米.【解析】根据OD OEOB OA=，AOB EOD∠=∠（对顶角相等），即可判定AOB EOD∽，根据相似三角形的性质得到13DE OEAB OA==，即可求解.【详解】解：∵OD OEOB OA=，AOB EOD∠=∠（对顶角相等），∴AOB EOD∽，∴13DE OEAB OA==，∴37.213AB=，解得111.6AB=米．所以，可以求出A、B之间的距离为111.6米【点睛】考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 26．某市政府大力支持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量Y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+1．设李明每月获得利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月获得利润最大？根据物价部门规定，这种护眼台灯不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润2000元，那么销售单价应定为多少元？【答案】 (1)35元；(2)30元．【解析】(1)由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=(定价-进价)×销售量，从而列出关系式，利用配方法得出最值；(2)令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价．【详解】解：(1)由题意，得：W=(x-20)×y=(x-20)(-10x+1)=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250∴当x=35时，W取得最大值，最大值为2250，答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润为2250元；(2)由题意，得：210700100002000x x-+-=，解得：130x=，240x=，销售单价不得高于32元，∴销售单价应定为30元．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元．【点睛】本题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．学完分式运算后，老师出了一道题“计算：23224x xx x +-++-”. 小明的做法：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；小亮的做法：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-；小芳的做法：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++．其中正确的是（ ） A ．小明 B ．小亮 C ．小芳 D ．没有正确的【答案】C【解析】试题解析：23224x xx x +-++- =()()32222x x x x x +--++- =3122x x x +-++ =3-12x x ++ =22x x ++ =1．所以正确的应是小芳． 故选C ．2．下列交通标志是中心对称图形的为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据中心对称图形的定义即可解答．【详解】解：A 、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意； B 、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；C 、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；D 、不是中心对称的图形，不合题意． 故选C ． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．3．若x ﹣2y+1＝0，则2x ÷4y ×8等于（ ） A ．1 B ．4 C ．8 D ．﹣16【答案】B【解析】先把原式化为2x÷22y×23的形式，再根据同底数幂的乘法及除法法则进行计算即可．【详解】原式＝2x÷22y×23，＝2x﹣2y+3，＝22，＝1．故选：B．【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法及除法运算，根据题意把原式化为2x÷22y×23的形式是解答此题的关键．4．如图，正六边形ABCDEF内接于O，M为EF的中点，连接DM，若O的半径为2，则MD的长度为()A．7B ．5C．2 D．1【答案】A 【解析】连接OM、OD、OF，由正六边形的性质和已知条件得出OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，由三角函数求出OM，再由勾股定理求出MD即可．【详解】连接OM、OD、OF，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，∴OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，∴∠MOD=∠OMF=90°，∴OM=OF•sin∠MFO=2×32=3，∴MD=()2222327OM OD+=+=，故选A．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．5．通过观察下面每个图形中5个实数的关系，得出第四个图形中y的值是（）A．8 B．﹣8 C．﹣12 D．12【答案】D【解析】根据前三个图形中数字之间的关系找出运算规律，再代入数据即可求出第四个图形中的y值．【详解】∵2×5﹣1×（﹣2）=1，1×8﹣（﹣3）×4=20，4×（﹣7）﹣5×（﹣3）=﹣13，∴y=0×3﹣6×（﹣2）=1．故选D．【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据图形中数与数之间的关系找出运算规律是解题的关键．6．甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为40km．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法不正确的是( ) A．甲的速度是10km/h B．乙的速度是20km/hC．乙出发13h后与甲相遇D．甲比乙晚到B地2h【答案】B【解析】由图可知，甲用4小时走完全程40km，可得速度为10km/h；乙比甲晚出发一小时，用1小时走完全程，可得速度为40km/h．故选B7．以坐标原点为圆心，以2个单位为半径画⊙O，下面的点中，在⊙O上的是( ) A．(1，1) B．22C．(1，3) D．(12【答案】B【解析】根据点到圆心的距离和半径的数量关系即可判定点与圆的位置关系. 【详解】A选项,(1,1)2因此点在圆内,B选项22到坐标原点的距离为2=2,因此点在圆上,C选项 (1,3) 10>2,因此点在圆外D选项(123因此点在圆内,故选B.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系,解决本题的关键是要熟练掌握点与圆的位置关系.8．下列事件中必然发生的事件是（）A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数【答案】C【解析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．【详解】A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．9．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是A．8a2b=2a·4ab B．-ab3-2ab2-ab=-ab(b2+2b)C．4x2+8x-4=4x12-xx⎛⎫+⎪⎝⎭D．4my-2=2(2my-1)【答案】D【解析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．10．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤3a b2=．你认为其中正确信息的个数有A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【解析】试题分析：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜1．∵对称轴xb12a3=-=-，∴2b a3=-＜1．∴ab＞1．故①正确．②如图，当x=1时，y＜1，即a+b+c＜1．故②正确．③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞1，∴2a﹣2b+2c＞1，即3b﹣2b+2c＞1．∴b+2c ＞1．故③正确．④如图，当x=﹣1时，y＞1，即a﹣b+c＞1，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞1．∵b＜1，∴c﹣b＞1．∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞1，即a﹣2b+4c＞1．故④正确．⑤如图，对称轴b12a3=-=-，则3a b2=．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．二、填空题（本题包括8个小题）11．已知a＋b＝1，那么a2－b2＋2b＝________．【答案】1【解析】解：∵a+b=1，∴原式=()()()2122 1.a b a b b a b b a b b a b+-+=⨯-+=-+=+=故答案为1.【点睛】本题考查的是平方差公式的灵活运用.12．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是．【答案】50°．【解析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可：。
苏人教版九年级数学下册第二十七章《图形的相似》导学案
C 1cABB 1A 1B 1D 1BDACA 1C 1苏人教版九年级数学下册第二十七章《图形的相似》导学案编制人：审核人：执教老师：使用日期：学生姓名：学习 目标1．正确理解图形相似、相似多边形、相似比等概念.2．了解相似多边形的性质和判定，并会用性质进行相关的计算.学习重点 能正确识别相似的图形，会用相似多边形性质进行的计算. 学习难点能正确识别相似的图形，会用相似多边形性质进行的计算.学习过程学生笔记（教师二次备课）一、自主学习 了解新知（独学）（一）、观察下列图形的形象你有什么发现？⑴每组中的一个图形可由另一个图形放在或缩小面得到吗？⑵每组中的两个图形的样子相同吗？（二）操场上的国旗的长2.4米，宽1.6米，教室里的国旗的长60厘米，宽40厘米，它们长与宽的比相等吗？表示两个比相等的式子叫 .（三）请用刻度尺和量角器量一量，两个相似的图形的对应角有什么关系？对应边呢？ABCDABCD二、合作探究掌握新知（对学、群学、展示）（１）我们把的图形叫做相似图形.相似多边形对应边的比叫做 .（2）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如a cb d=(即ac=bd)，我们就说a,b,c，d这四条线段 .（3）相似多边形的对应的角；对应边的比 .三、应用新知例如图，四边形ABCD和EFGH相似,求角αβ、的大小和EF的长度x.四、发现总结(1)如果两个图形相似，则对应的相等；对应比相等.(2)如果两个图形的相似比为1，则这两个图形 .(3)如果两个图形的相似由已知的边和角，求未知的边和角时一定要注意 .(4)求两线段的比一定要统一 .五、应用巩固：完成课后练习六、课堂检测1．已知△ABC与△DEF的相似比是23，则△DEF与△ABC的相似比是（）A．23B．32C．25D．492．若线段AB=1m，CD=30㎝,则ABCD=（）A．13B．130C．103D． 303．已知线段1、2、3与x成比例线段，则x= .4．如图，△ABC与△DEF相似，点A的对应点为点F，求未知边x、y的长度.5．如图，DE∥BC,1）求ADAB、AEAC、DEBC2）证明△ADE与△ABC相似。
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27.1 图形的相似学习目标、重点、难点【学习目标】1．理解并掌握两个图形相似的概念；了解成比例线段的概念，会确定线段的比 .2．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等；会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．【重点难点】1．相似图形的概念与成比例线段的概念；相似多边形的主要特征与识别．2．成比例线段概念；运用相似多边形的特征进行相关的计算．知识概览图相似多边形的特征：对应角相等，对应边的比相等判断两个多边形相似：对应角相等，对应边的比相等比例线段：有四条线段，其中两条线段的比与另两条线段的比相等，称这四条线段是比例线段新课导引【生活链接】如下图所示，有用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，也有一辆汽车和它的模型，这些都给我们以形状相同的图形的形象．【问题探究】这种形状相同的图形叫做相似图形，两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．那么相似的图形具有哪些性质呢?教材精华知识点1 相似图形我们把形状相同的图形叫做相似图形．两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．例如：如图27－1所示的几组图形都是形状相同、大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形．图形的相似当两个图形的形状相同、大小也相同时，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等形．例如：如图27－2所示，△ABC 与△A ′B ′C ′的形状相同，并且大小也相同，因此这两个三角形相似，并且这两个三角形全等．拓展 所谓“形状相同”，就是与图形的大小、位置无关，与摆放角度、摆放方向也无关．有些图形之间虽然只有很小的差异，但也不能认为是“形状相同”．知识点2 比例线段对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如ac bd =(即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． (1)式子ac bd =也可以写成a ：b =c ：d ，通常这里的a 叫做第一比例项，b 叫做第二比例项，c 叫做第三比例项，d 叫做第四比例项．(2)有时在a c b d =中，b ＝c ，例如：4669=，这时我们把b 叫做a ，d 的比例中项，此时b 2＝ad ． (3)在式子ac b d=的两边同时乘以bd ，得ad ＝cb ，在与比例有关的计算中，我们常通过上述变形转化字母之间的关系．拓展 通常情况下，四条线段a ，b ，c ，d 的单位应该一致，但有时为了计算方便，a ，b 的单位一致，c ，d 的单位一致也可以．知识点3 相似多边形 对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形．拓展 在多边形中，只有当“对应边成比例”、“对应角相等”这两个条件同时成立时，才能说明两个多边形是相似多边形．知识点4 相似多边形的性质相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．例如：若△ABC 与△A ′B ′C ′相似，则∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，AB AC BC A B A C B C==''''''. 拓展 如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．知识点5 相似比相似多边形对应边的比称为相似比．拓展相似多边形面积的比等于相似比的平方．规律方法小结 (1)相似的两个图形之间大小、方向、位置可以相同，也可以不同，但它们的形状必须相同．如：两张大小不同的世界地图或中国地图；两面大小不同的中国国旗；同一底片、尺寸不同的两张照片．有些图形之间很相像，但不相似，如：哈哈镜中人的形象与本人不相似；农历十五晚上的月亮与十六晚上的月亮虽然很相像，但并不相似．(2)学习本节知识时要充分运用转化思想，即把求证的线段之间的关系转化为易证、易求的线段间的另一种关系，同时，对于给出两条线段的比而没有指明两条线段的大小关系时，要分类讨论．探究交流当相似比为1时，相似的两个图形之间有什么关系?点拨相似比为1的两个图形是全等形．课堂检测基本概念题1、下列多边形中，一定相似的是 ( )A．两个矩形 B．两个菱形C．两个正方形 D．两个平行四边形2、下列命题中，正确的是 ( )A．相似多边形是全等多边形 B．不全等的多边形不是相似多边形C．全等多边形是相似多边形 D．不相似的多边形可能是全等多边形3、如果线段a是线段b、线段c的比例中项，b＝3，c＝12，那么线段a的长是多少?基础知识应用题4、如果两地的实际距离为750m，图上距离为5 cm,那么这张图的比例尺是多少?5、已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA＝20：15：9：8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D，的各边长．综合应用题6、等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′，相似，AD＝BC，∠A＝65°，AB＝8 cm，A′B′＝6 cm，AD＝5 cm，求A′D′的长及梯形A′B′C′D′各内角的度数．7、已知相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5 m的竹竿的影长为2.5 m，那么影长为30 m的旗杆的高度为 ( )A．20 m B．16 mC．18 m D．15 m探索与创新题8、已知线段AB＝8，C为线段AB的黄金分割点，求AC:BC的值．体验中考在同一时刻，身高为1．6米的小强在阳光下的影长为0．8米，一棵大树的影长为4．8米，则这棵树的高度为 ( )A．4．8米 B．6．4米C．9．6米 D．10米学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析根据相似多边形的定义，两个矩形只满足对应角相等，而对应边不一定成比例；两个菱形只满足对应边成比例，而对应角也不一定相等；两个正方形的对应边成比例，对应角都是90°，一定相似；两个平行四边形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等．故选C.【解题策略】判断两个多边形是否相似，必须同时具备对应角相等、对应边的比相等，这两个条件缺一不可．2、分析全等多边形是特殊的相似多边形．故选C.【解题策略】如果两个多边形全等，则一定相似，但是如果两个多边形相似，则不一定全等．3、分析四条线段a，b，c，d是成比例线段，若第二比例项和第三比例项是两条相同的线段，即a：b＝b：c，则把b叫做a和c的比例中项．将a：b＝c：d变形，可得到bc＝ad，当a：b＝b:c时，有b2＝ac．解：∵a是b，c的比例中项，且b＝3，c＝12，∴a2＝bc＝3×12＝36，∴a＝±6．∵a 是线段，∴线段a 的长是6．【解题策略】 如果线段a 是线段b ，c 的比例中项，那么a 2=bc ．(其中a ，b ，c 均为正数)4、分析 图的比例尺是一种比例关系，是图上距离与实际距离的比，通常写成1：x 的形式，也就是说，图上的1 cm 相当于实际的x cm ，如某图的比例尺为1：40000，就是说图上的1 cm 相当于实际的40000 cm ，即400 m.解：∵750 m ＝75000 cm ，∴5:75000＝1:15000，即这张图的比例尺是1:15000．【解题策略】 不论是将图形放大还是缩小，比例尺都是图上距离与实际距离的比．5、分析 根据四边形ABCD 各边的比为20：15：9：8可得四边形A ′B ′C ′D ′各边的比也为20：15：9：8，再根据四边形A ′B ′C ′D ′的周长为26，可求出各条边的长．解：∵四边形ABD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似，且AB :BC :CD :DA ＝20:15:9:8，∴A ′B ′：B ′C ′：C ′D ′：D ′A ′＝20：15：9：8．又∵四边形A ′B ′C ′D ′的周长为26，∴A ′B ′=26×20201598+++=10，B ′C ′=26×15201598+++=7．5， C ′D ′=26×9201598+++=4．5，D ′A ′=26×20201598+++=4， 即四边形A ′B ′C ′D ′的各边长分别为A ′B ′＝10，B ′C ′＝7．5，C ′D ′＝4．5，D ′A ′＝4．【解题策略】 相似多边形的相似比等于对应边的比．6、分析 充分利用相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质和等腰梯形的性质来解题． 解：∵等腰梯形ABCD 与等腰梯形A ′B ′C ′D ′相似，∴∠A ＝∠A ′=65°，AB AD A B A D =''''， 即856A D =''，∴A ′D ′=154(cm)， ∴B ′C ′＝154cm ，∠A ′＝∠B ′＝65°， ∴∠C ′＝∠D ′＝180°－65°＝115°．【解题策略】 本题是一道综合性题目，在运用相似多边形性质的同时也运用了等腰梯形的性质．7、分析 本题考查比例线段的基本性质．因为同一时刻物高与影长成比例，所以2.5301.5=旗杆的高度，∴旗杆的高度＝30 1.52.5⨯＝18(m)．故选C ． 【解题策略】 解决此类问题时，也可以根据比例式列出方程，通过解方程求出旗杆的高度．8、分析 黄金分割点指的是线段上的某一点，它将线段所分成的两条线段中，较长的一条线段是较短的一条线段和整条线段的比例中项，其中较长的一条线段与整条线段的比值叫做黄金比，黄金比的近似值约为0.618解：当AC ＞BC 时，AC AB 1)，∴BC =AB －AC =8－4(－1)=12－=4(3)，∴AC ：BC =4(－1)：4(3．当AC ＜BC 时，BC AB 1)，∴AC =AB －BC =4(3－)，∴AC :BC =4(3－－． 【解题策略】 对于给出两条线段的比，而没有指明两条线段的大小关系时，要分类讨论． 体验中考分析 设这棵树的高度为x 米，则1.6：0.8＝x ：4.8，解得x ＝9.6．故选C ．【解题策略】 相同时刻的物高与影长成比例．27.2 相似三角形应用举例学习目标、重点、难点【学习目标】1．进一步巩固相似三角形的知识．2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．【重点难点】1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．知识概览图相似三角形的应用：灵活把握题意，把实际问题转化为数学问题，运用数学建模思想和数形结合思想灵活地解决问题．新课导引【生活链接】王芳同学跳起来把一个排球打在离她2 m远的地上，然后球反弹碰到墙上，如果王芳跳起击排球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的水平距离是6m，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方?【问题探究】由题意可得到如右图所示的图形．已知AB＝1.8 m，AP＝2 m，P C＝6 m，PQ⊥AC，那么如何求DC的长呢?由已知可证Rt△APB∽Rt△C PD，由相似三角形的性质可知AB AP=，DC PC即1.82=，所以DC＝5.4(m)．利用相似三角形的知识还能解决许多实际问题．DC6教材精华知识点应用相似三角形的知识解决实际问题相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，这一应用是建立在数学建模思想和数形结合思想的基础上，把实际问题转化为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的．拓展求线段的长度时，可根据已知条件并利用相似建立未知线段的比例关系式，从而求出所求线段的长．运用数学建模思想把生活中的实际问题抽象为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的．课堂检测基础知识应用题1、如图27—38所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R，如果测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，求河的宽度PQ．2、古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法，如图27－39所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖起一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似地算出金字塔的高度OB且已知O′B′=1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB．综合应用题3、如图27－40所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝240 mm，高AD＝160mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少?4、如图27—41所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC=4 cm，AB＝8 c m，D，E，F分别为AB，AC，BC边的中点，P为AB边上一点，过P作PQ∥BC交AC于Q，以PQ为一边，在点A的另一侧作正方形PQMN，若AP＝3 c m，求正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积．探索与创新题5、教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1 m的竹竿的影长为0．9 m，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图27－42所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为2.7 m，落在墙壁上的影长为1.2 m，请你计算树高为多少．体验中考小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、目标B 在同一条直线上，如图27－45所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA ＝0．2 m ，OB ＝40 m ，AA ′＝0．0015 m ，则小明射击到的点B ′，偏离目标点B 的长度BB ′为 ( )A ．3 mB ．0．3 mC ．0．03 mD ．0．2 m学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 可利用三角形相似的性质来求解． 解：∵∠PQR ＝∠PST ＝90°，∠P ＝∠P ，∴Rt △PQR ∽Rt △PST ，∴PQ QRPS ST=， 即PQ QR PQ QS ST =+，∴604590PQ PQ =+，PQ ×90=(PQ +45)×60，解得PQ ＝90． 故河宽大约为90 m ．【解题策略】 利用相似三角形的性质能够测量不方便到达的两点间的距离． 2、分析 要求OB 的长度，可以通过证明△OAB ∽△O ′A ′B ′，从而得到比例式OB ABO B A B =''''，进而求解．解：∵太阳光是平行光线， ∴∠OAB ＝∠O ′A ′B ′． 又∵∠ABO ＝∠A ′B ′O ′＝90°，∴△OAB ∽△O ′A ′B ′， ∴OB ：O ′B ′＝AB ：A ′B ′， ∴OB =27412AB O B A B ''⨯=''=137(米)． 故金字塔的高度为137米．【解题策略】 本题重点考查阅读理解能力和知识的迁移运用能力，从而计算出不能直接测量的物体的高度．3、分析 若四边形PQMN 为正方形，则AE ⊥PN ，这样△APN 的高可以写成AD －ED ＝AD －PN ，再由△APN ∽△ABC ，即可找到PN 与已知条件之间的联系．解：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，△ABC 的高AD 与正方形PQMN 的边PN 相交于E ，设正方形的边长为x mm ． ∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC ， ∴AE PNAD BC=, ∴160160x -=240x,解得x =96(mm)， ∴加工成的正方形零件的边长为96 mm ．【解题策略】 本题中相似三角形的知识有了一个实际意义，所以在解题时要善于把生活中的问题转化为数学问题来解决．4、分析 由于PQ ∥BC ，所以PQ APBC AB=，从而可求出PQ 的长，而四边形PQMN 是正方形，所以PN 的长及DN 的长都可以求出来．由于正方形FQMN 与矩形EDBF 的公共部分是矩形，故只要求出DN ，MN 的长，就可以求出矩形的面积．解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB =8 cm ，BC ＝4 cm ，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 边的中点，则AD ＝4 c m ，DE ∥BC ，DE ⊥AB ． 又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ， ∴AP PQ AB BC =，即384PQ =，∴PQ =32. 由四边形PQMN 是正方形，得PN ＝32， ∴A N ＝92，DN ＝AN －AD ＝12，∴正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积为： DN ·MN =DN ·PQ =12×32=34(cm 2)．【解题策略】 本题考查了直角三角形、正方形与相似三角形知识的综合应用，要熟练掌握每一种几何图形的性质．5、分析 首先根据题意画出示意图(如图27－43所示)，把实际问题抽象成数学问题，从而利用△PQR ∽△DEC ，△PQR ∽△ABC 求出树高AB ．解：如图27－43(1)所示，延长AD ，BE 相交于C ，则CE 是树的影长的一部分．由题意可得△PQR ∽△DEC ，∴PQ QRDE EC=， 即10.91.2CE=，∴CE =1.08(m)， ∴BC ＝BE +CE ＝2.7+1.08＝3.78(m)． 又∵△PQR ∽△ABC ，∴PQ QRAB BC=， 即10.93.78AB =，∴AB =4.2(m)， 故树高为4．2 m ． 体验中考分析 由三角形相似可得OA AA OB BB '='，∴BB ′=OB AA OA'=400.00150.2⨯=0.3(m)．故选B. 【解题策略】 解决此题的关键是根据AA ′∥BB ′，从27.2.3 相似三角形的周长与面积学习目标、重点、难点【学习目标】1．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 2．能用三角形的性质解决简单的问题． 【重点难点】1．相似三角形的性质与运用．2．相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解． 知识概览图相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比(相似多边形周长的比等于相似比)相似三角形面积的比等于相似比的平方(相似多边形面积的比等于相似比的平方)新课导引【生活链接】 如果两个三角形相似，那么它们的周长之间有什么关系?它们的面积之间有什么关系?两个相似多边形呢?【问题探究】 前面我们已经学习了相似图形的性质：相似图形的对应角相等，对应边的比相等．那么相似图形的周长与面积又具有怎样的性质呢? 教材精华知识点1 相似三角形对应高的比等于相似比 ABA B''＝k ，那么 如图27－57所示，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似三角形 的周长与面 积△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，过A 作AD ⊥BC ，过A ′作A ′D ′⊥B ′C ′，垂足分别为D ，D ′，在△ABD 与△A ′B ′D ′中，∠B ＝∠B ′，∠ADB ＝∠A ′D ′B ′＝90°，所以Rt △ABD ∽Rt △A ′B ′D ′，所以AD ABA D AB =''''＝k ，即相似三角形对应高的比等于相似比k ． 知识点2 相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 如图27－58所示，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AD ，A ′D ′分别为△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，BE ，B ′E ′分别为△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，若△ABC ∽△A ′B ′C ′，则AD ABA D AB =''''＝k ． 知识点3 相似三角形周长的比等于相似比如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，并且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，那么AB BC ACA B B C A C ==''''''＝k ，则AB ＝k ·A ′B ′，BC =k ·B ′C ′，AC ＝k ·A ′C ′，因此()ABC AB BC CA kA B kB C kA C k A B B C C A k A B C A B B C C A A B B C C A A B B C C A ''''''''''''++++++===='''''''''''''''''''''++++++△的周长△的周长，即相似三角形周长的比等于相似比．例如：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别为60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，则这两个三角形的相似比为605726=，且56AB BC A B B C ==''''，因为AB ＝15cm ，B ′C ′＝24 cm ，所以A ′B ′＝18 c m ，BC ＝20 c m ，所以AC ＝60－15－20＝25(cm)，A ′C ′＝72－18－24＝30(cm)．知识点4 相似多边形周长的比等于相似比如果多边形A 1A 2…A n 与多边形A 1′A 2′…A n ′相似，并且多边形A 1A 2…A n 与多边形A 1′A 2′…A n ′的相似比为k ，则2311212231n n A A A A A A A A A A A A ==''''''…＝k ，∴A 1A 2＝kA 1′A 2′，A 2A 3＝kA 2′A 3′，…，A n A 1＝kAn ′A 1′，∴A 1A 2+A 2A 3+…+A n A 1＝k (A 1′A 2′+A 2′A 3′+…+A n ′A 1′)，∴1223112231n n AA AA AA A A A A A A +++''''''+++……＝k ，即相似多边形周长的比等于相似比.知识点5 相似三角形面积的比等于相似比的平方若△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是k ，AD ，A ′D ′分别是BC 与B ′C ′边上的高，则122ABCA B C BC ADS BC AD S B C A D B C A D '''===''''''''△△ =k ·k =k 2,即相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似多边形面积的比等于相似比的平方对于两个相似的四边形，可以把它们分成两对相似的三角形，可以得出这两个四边形面积的比等于相似比的平方．对于两个相似的多边形，用类似的方法，可以把它们分成若干对相似的三角形，从而得出相似多边形面积的比等于相似比的平方．规律方法小结 (1)如果两个三角形相似，那么它们对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、对应周长的比都等于相似比．(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方．(3)类比相似三角形的性质可知，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(4)本节内容中求相似三角形对应边的比和面积的比的问题可以互相转化，对于没有指明对应顶点的相似三角形仍然要分类讨论．课堂检测基本概念题1、(1)若两个相似三角形的面积比为1：2，则它们的相似比为；(2)若两个相似三角形的周长比为3：2，则它们的相似比为；(3)若△ABC∽△A′B′C′，且AB＝5，A′B′＝3，△A′B′C′的周长为12，则△ABC的周长为 .基础知识应用题2、如图27－59所示，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．3、如图27－60所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE 的面积分别为18和2，DE＝2，求AC边上的高．4、如图27－61所示，在△ABC与△CAD中，AD∥BC，CD交AB于点E，且AE：E B＝1:2，EF∥BC交AC于点F，且S＝1，求S△BCE和S△AEF．△ADE5、如图27－62所示，AD是△ABC的角平分线，BH⊥AD于点H，CK⊥AD于点K，求证AB·DK ＝AC·DH．综合应用题6、如图27－63所示，在梯形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△COD的面积为a2，△AOB的面积为b2，其中a＞0，b＞0，求梯形ABCD的面积S．探索与创新题7、如图27－64所示，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB延长线上一点，OE交BC 于点F，AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长．8、如图27－65所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证△ABC∽△FCD；＝5，BC＝10，求DE的长(2)若S体验中考1、已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为．2、如图27－67所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．(1)求证EF∥BC；(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 (1)∵两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴k 2＝12，且k ＞0，∴k．(2)∵相似三角形的周长比等于相似比，且周长比为3:2，∴相似三角形的相似比为3：2．(3)∵相似比5：3，∴53ABC A B C ='''△的周长△的周长.又∵△A ′B ′C ′的周长为12，∴12ABC △的周长＝53，∴△ABC 的周长为20．答案：(1) 2 (2)3：2 (3)20【解题策略】 解决此类题时，可直接应用相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系来求解．2、分析 先说明△ABC ∽△DEF ，再运用相似三角形的性质——相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方进行求解． 解：在△ABC 和△DEF 中，∵AB =2DE ，AC =2DF ，∴1.2DE DF AB AC == 又∵∠D ＝∠A ，∴△DEF ∽△ABC ，且相似比为12． ∴12DEF ABC =△的周长△的周长.即1242DEF =△的周长，∴△DEF 的周长为12．∴212DEF ABC S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，即21482DEF S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△， ∴S △DEF ＝12．即△DEF 的周长为12，面积为12．【解题策略】 解决此类问题时，可利用相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方来求解．3、分析 若求AC 边上的高，就要把AC 边上的高作出来，由于△ABC 的面积为18，因此只要求出AC 边的长，就可以求出AC 边上的高． 解：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为点F ．∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CE B ＝90°， 又∵∠ABD ＝∠CBE ，∴Rt △ADB ∽Rt △CE B ．∴BD AB BE CB =,即BD BEAB CB=，且∠ABC =∠DBE ， ∴△EBD ∽△CBA ，∴2218BED BCA S DE S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△， 又∵DE ＝2，∴AC ＝6．∵S △ABC ＝12AC ·BF ＝18，∴BF ＝6．【解题策略】 解决此题的关键是根据已知条件说明△EBD ∽△CBA ．4、分析 由AD ∥BC ，可得△ADE ∽△BCE ，求S △BCE 比较容易，而求S △AEF 不易利用相似三角形的面积关系来求解．由DA ∥EF 可知△AEF 与△EAD 是两个高相等的三角形，所以这两个三角形的面积比就等于底边长的比，求出EF ：AD 就可以求出△AEF 的面积． 解：∵AD ∥BC ，∴△ADE ∽△BCE ， ∴S △ADE ：S △BCE ＝AE 2：BE 2．又∵AE :BE ＝1：2，∴S △ADE :S △BCE ＝1:4， ∵S △ADE ＝1，∴S △BCE ＝4． 又∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF :BC ＝AE ：AB ＝1:3．又∵△ADE ∽△BCE ，∴AD ：BC ＝AE ：BE ＝1：2，∴BC ＝2AD ，∴EF ：AD ＝2：3． 又∵AD ∥EF ，∴△ADE 与△AEF 等高． ∴S △AEF ：S △ADE ＝EF ：AD ＝2：3．∵S △ADE =1，∴S △AEF ＝23.【解题策略】 利用相似三角形的性质进行有关面积的计算时，有时会用到等底等高的三角形面积相等、同底(或等底)三角形的面积之比等于对应高之比、同高(或等高)三角形的面积之比等于对应底边长之比等等．5、分析 由已知易证△BHD ∽△CKD ，△ABH ∽△ACK ，从而易得AB BH DHAC CK DK==,即AB ·DK =AC ·DH ． 证明：∵BH ⊥AD ，CK ⊥AD ，∴BH ∥CK ，∴△BHD ∽△CKD ，∴DH BHDK CK=．① ∵AD 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2． 又∵∠BHA =∠CKA =90°， ∴Rt △ABH ∽Rt △ACK ,∴AB BHAC CK=．② 由①②可知AB DHAC DK=，∴AB ·DK ＝AC ·DH ． 【解题策略】 在本题中，利用BH CK 把AB AC 和DH DK 联系起来，通常把这里的BHCK叫做中间比，它起到桥梁的作用．6、分析 梯形的面积等于4个三角形的面积之和，而△AOB 和△COD 的面积都已用a ，b 表示出来，因此关键是求出△AOD 和△BOC 的面积．由图可知△AOD 和△BOC 的面积相等，而△AOD 和△COD 在AC 边上的高是同一条高，因此△AOD 和△COD 的面积比就等于AO ：OC ，这样就可以求出△AOD 的面积．解：∵AB ∥CD ，∴△COD ∽△AOB ，∴2222,COD AOB S CO a AO S b ==△△∴.CO aAO b== 又∵S △ABC ＝S △ABD ，∴S △ABC －S △AOB ＝S △ABD －S △AOB ， 即S △BOC ＝S △AOD ． 又∵AOD OD S S △△C =AO bCO a=， ∴S △AOD =b a ·S △COD =b a·a 2=ab ． ∴S △COB ＝S △AOD ＝ab ．∴梯形ABCD 的面积S ＝a 2+ab +ab +b 2＝(a +b )2．【解题策略】 底在同一条直线上，高相同的两个三角形面积的比等于底边长的比，而相似三角形面积的比等于对应边的比的平方，要注意区别这两个性质．7、分析 显然所求线段BF 与已知线段BE 在同一个三角形中，如果能找到一个与△BEF 相似且有已知边的三角形，问题便可解决，但在图中不能直接找到，如果过O 作OC ∥BC 交AB 于G ，就能得到△EBF ∽△EGO ，此题可解． 解：过点O 作OG ∥BC 交AB 于G ，则△EBF ∽△EGO ．∵ABCD 的对角线相交于点O ，∴OA ＝OC ，AG ＝G B ． 又∵△EBF ∽△EGO ，∴BF EBGO EG =. ∵AG ＝GB ＝12AB ，∴OG ＝12BC ． 又∵AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ， ∴OG ＝12b ，GB ＝12a ，GE=12a +c ．∴1122BF c b a c =+，∴BF =12122b cbc a c a c =++. 【解题策略】 解决此类题的关键是构造相似图形，而构造相似图形的一般方法是作平行线． 8、分析 由E D ⊥BC ，D 是BC 的中点，可得∠B ＝∠1，由AD ＝AC ，可得∠2＝∠ACD ，从而相似可证．过A 作AM ⊥BC ,垂足为M ，求DE 的长可以在ED ∥A M 的基础上利用比例线段求得． 证明：(1)∵DE ⊥BC ，D 是BC 的中点， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠1．又∵AD ＝AC ，∴∠2＝∠ACB ， ∴△ABC ∽△FCD ．解：(2)过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，∵△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，∴ABC FCD S S △△=2BC CD ⎛⎫ ⎪⎝⎭=4． 又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20． ∵S △ABC ＝12BC ·AM ，且BC ＝10， ∴20=12×10·AM ，∴AM ＝4． 又∵DE ∥AM ，∴DE BDAM BM=． ∵BM ＝BD +DM ，BD ＝12BC ＝5，DM ＝12DC ＝52，∴BM ＝5+52＝152， ∴51542DE =．∴DE =83. 体验中考1、分析 相似三角形的面积之比等于相似比的平方．故填2：5．2、证明：(1)∵C F 平分∠ACB ，∴∠1＝∠2． 又∵DC ＝AC ，∴CF 是△ACD 的中线，∴点F 是AD 的中点．又∵点E 是AB 的中点，∴EF ∥BD ，即EF ∥BC解：(2)由(1)知，EF ∥BD ，∴△AEF ∽△ABD ，∴2AEF ABD S AE S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△． 又∵AE ＝12AB ，S △AEF ＝S △ABD －S 四边形BDFE ＝S △ABD －6，∴2612ABDABD S S -⎛⎫= ⎪⎝⎭△△， ∴S △ABD ＝8，∴△ABD 的面积为8．27、3 位似图形学习目标：1、能利用图形的位似将一个图形放大或缩小.2、有意识地培养学生学习数学的积极情感，激发学生对图形学习的好奇心，形成多角度，多方法想问题的学习习惯.学习过程：一、课前准备1．知识链接（1）什么叫位似图形？有哪几种位似的类型？（2）位似图形的性质是什么？2．预习检测（1）通过预习你能总结出利用位似把一个图形进行放缩的方法吗？（2）利用位似放缩图形用到了位似的哪些性质？二、学习过程探究1请同学们观察下图，要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1，同学们在小组间互相交流，看一看有几种方法？总结上述作法我们可归纳出：（一）“利用位似将图形放大或缩小的作图步骤.”。