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人教版高中数学必修一期末测考试试题

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人教版高一数学必修1必修4期末测试卷附答案

人教版高一数学必修1必修4期末测试卷附答案

人教版高一数学必修1必修4期末测试卷附答案人教版高一数学必修1必修4期末测试卷姓名：__________ 班级：___________ 学号：____________ 分数：______________一、选择题（每题5分，共40分）1.集合A={x∈N*｜-1<x<3}的子集的个数是（。

）。

A。

4.B。

8.C。

16.D。

322.函数f(x)=1/(1-x)+lg(1+x)的定义域是（。

）。

A。

(-∞,-1)。

B。

(1,+∞)。

C。

(-1,1)U(1,+∞)。

D。

(-∞,+∞)3.设a=log2,c=5-1/3,b=ln22，则（。

）。

A。

a<b<c。

B。

b<c<a。

C。

c<a<b。

D。

c<b<a4.函数y=-x^2+4x+5的单调增区间是（。

）。

A。

(-∞,2]。

B。

[-1,2]。

C。

[2,+∞)。

D。

[2,5]5.已知函数f(x)=x^2-2ax+3在区间(-2,2)上为增函数，则a的取值范围是（。

）。

A。

a≤2.B。

-2≤a≤2.C。

a≤-2.D。

a≥26.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是（。

）。

A。

y=x-2.B。

y=x-1.C。

y=x^2.D。

y=x^37.若函数f(x)=x/(2x+1)(x-a)为奇函数，则a=（。

）。

A。

1/2.B。

2/3.C。

3/4.D。

1/88.已知α是第四象限角，XXX(π-α)=5/12，则sinα=（。

）。

A。

1/5.B。

-1/5.C。

5.D。

-59.若tanα=3，则sinαcosα=（。

）。

A。

3.B。

3/2.C。

3/4.D。

9/410.sin600°的值为（。

）。

A。

3/2.B。

-3/2.C。

-1/2.D。

1/211.已知cosα=3/5，π/4<α<π，则XXX(α+π/4)=（。

）。

A。

1.B。

-1.C。

5/8.D。

-5/812.在△ABC中，sin(A+B)=sin(A-B)，则△ABC一定是（。

高中数学必修一期末模拟试题及答案

高中数学必修一期末模拟试题及答案

一、选择题1．定义在R 上的奇函数f (x )满足条件(1)(1)f x f x +=-，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若函数g (x )＝()f x －a e －在区间2018,[]2018-上有4 032个零点，则实数a 的取值范围是 A ．(0，1) B ．(e ，e 3) C ．(e ，e 2)D ．(1，e 3)2．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()31xf x m =+-（m ∈R ，0m ≠）是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(),0-∞3．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kt e θθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）. A ．2B ．4C ．6D ．84．已知函数()()3,<1log ,1a a x a x f x x x ⎧--=⎨≥⎩的值域．．是R ，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,+∞C ．()()0,11,3D ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知()f x ，()g x 分别为定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2xf xg x +=，若对于任意的[]1,2x ∈，都有()()20f x a g x a -⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．317,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．155,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．函数()()221lg 21xxx f x -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．我们把定义域为[)0,+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：①对任意的[)0,x ∈+∞，总有()0f x ≥；②若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，给出下列四个结论：（1）若()f x 为“Ω函数”，则()00f =；（2）若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[)0,+∞上为增函数；（3）函数()0,1,x Qg x x Q∈⎧=⎨∉⎩在[)0,+∞上是“Ω函数”（Q 为有理数集）；（4）函数()2g x x x =+在[)0,+∞上是“Ω函数”；其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．下列命题中正确的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为(1,4)，则函数()2f x 的定义域为(2,1)(1,2)--⋃B ．1y x =+和2(1)y x =+C ．定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞和(,0)-∞上具有相反的单调性D ．若不等式220ax bx ++>恒成立，则280b a -<且0a >9．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-．给出下列结论：①函数{}x 的定义域是R ，值域为0,1；②方程{}12x =有无数个解；③函数{}x 是增函数；④函数{}x 为奇函数，其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．1或1-11．设全集{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}2,5B =，则()U AC B ⋂等于（ ） A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3D ．{}1,312．对于下列结论：①已知∅ 2{|40}x x x a ++=，则实数a 的取值范围是(],4-∞； ②若函数()1y f x =+的定义域为[)2,1-，则()y f x =的定义域为[)3,0-；③函数2y =(],1-∞；④定义：设集合A 是一个非空集合，若任意x A ∈，总有a x A -∈，就称集合A 为a 的“闭集”，已知集合{}1,2,3,4,5,6A ⊆，且A 为6的“闭集”，则这样的集合A 共有7个． 其中结论正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如表：2019年1月1日后个人所得税税率表个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人只有一个姐姐，且两人仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2020年5月份应缴纳个人所得税款为180元，那么他当月的工资、薪金税后所得是_____元.14．已知函数()22,0,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =-与x 轴有3个交点，则实数m 的取值范围是_________．15．已知(5)3,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围为_________16．已知函数()()log 21101a y x a a =-+>≠,的图象过定点A ，若点A 也在函数()2x f x b =+的图象上，则()2log 3f =________.17．函数()12x f x =-的定义域是__________．18．如图，是某个函数的图象，则该函数的解析式y =__________；19．集合1{}2|Ax x ≤＝＜，{|}B x x a ＝＜，若A B B ⋃=，则a 的取值范围是_______．20．若关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集 ，则实数a 的取值范围是_____.三、解答题21．中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台需要另投入成本()C x （万元）．当年产量不足80台时，21()402C x x x =+（万元），当年产量不小于80台时，8100()1012180C x x x=+-（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式．（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．22．此前，美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令，禁止各国及各国企业向华为出售含有美国技术或软件设计的产品，否则出售者本身也会受到制裁.这一禁令在9月15日正式生效，迫于这一禁令的压力，很多家企业被迫停止向华为供货，对华为电子设备的发展产生不良影响.为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人?（2）是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由. 23．化简与求值： （1）2ln 43(0.125)e-++；（2）若1122x x -+=1x x --的值. 24．已知函数()22x x f x k -=+. （1）若()f x 为偶函数，求实数k 的值；（2）若()4f x 在2[log x m ∈，2log (2)](m m +为大于0的常数)上恒成立，求实数k 的最小值.25．已知二次函数()2f x ax bx =+满足()20f =，且方程()f x x =有两个相等实根.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使()f x 的定义域是[],m n ，值域是[]3,3m n .若存在，求,m n 的值，若不存在，请说明理由.26．已知全集U =R ，集合{}2450A x x x =--≤，{}2124x B x -=≤≤．（1）求()UAB ；（2）若集合{}4,0C x a x a a =≤≤>，且满足C A A =，C B B =，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】根据满足条件(1)(1)f x f x +=-且为奇函数，可周期为4，当[0,1]x ∈时，()f x x =，根据()()m x f x =与()xn x ae -=图像，判断在一个周期内的焦点情况即可求解．【详解】因为()f x 满足条件(1)(1)f x f x +=-且为奇函数， 函数()(2)()f x f x f x =-=--，∴()f x 周期为4， ∵当[0,1]x ∈时，()f x x =，作()()m x f x =与()xn x ae -=图像，函数()()xg x f x ae-=-在区间2018,[]2018-上有4032个零点，即()()m x f x =与()xn x ae -=在[0,4]且仅有两个交点，∴(1)(1)(3)(3)m n m n <⎧⎨>⎩即3e a e <<.点睛：本题主要考查了函数的基本性质的应用及不等式的求解，周期的求解等知识点应用，其中正确合理运用函数的基本性质是解答关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．2．A解析：A 【分析】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，即存在0[1,1]x ∈-,满足00()()f x f x -=-，即02332x x m -=--+有根，即可求出答案．【详解】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，∴存在0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，003131x x m m -∴+-=--+， 002332x x m -∴=--+，构造函数00332x x y -=--+，0[1,1]x ∈-，令03x t =，1[,3]3t ∈，1122()y t t t t=--+=-+在1[,1]3单调递增，在(1,3]单调递减，所以1t =取得最大值0，13t =或3t =取得最小值43-，4[,0]3y ∴∈-，4203m ∴-<，032m ∴-<， 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是指数函数的性质、函数的值域，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义“倒戈函数”的含义，是解答的关键．3．B解析：B 【分析】根据题意将数据120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-，可得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，再将40θ代入即可得8t =，即可得答案.【详解】由题意知：120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-得：()4602010020ke-=+-，解得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当40θ时，()1440201002012t ⎛⎫ -⎪⎭=+⎝，解得：124114212t ⎛⎫== ⎛⎫ ⎝⎪⎭⎪⎭⎝， 所以8t =，所以再经过4分钟物体的温度是40C ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.4．A解析：A 【分析】当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，,从而可得答案. 【详解】由题意，()f x 的值域为R ，当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 所以不满足()f x 的值域为R .当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，， 所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，, 若3a =时，当1x <时，3y a =-=-，不满足()f x 的值域为R .若3a >时，当1x <时，()3y a x a =--单调递减，()332y a x a a =-->- 所以不满足()f x 的值域为R .若13a <<时，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 要使得()f x 的值域为R ，则320a -≥，即32a ≤ 所以满足条件的a 的取值范围是：312a <≤， 故选：A ． 【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，，属于中档题. 5．B解析：B 【分析】利用奇偶性求出()222x x f x -+=，()222x x g x --=，讨论()22x xh x -=+和()g x 的单调性求最值可得()()h x g x >恒成立，则不等式恒成立等价于()()max min g x a h x ≤≤. 【详解】()()2x f x g x +=，()()2x f x g x --+-=∴，()f x 是偶函数，()g x 分是奇函数，()()2x f x g x -=∴-，可得()222x xf x -+=，()222x xg x --=，则不等式为()()1222202x xx x a a --⎡⎤+-⋅--≤⎢⎥⎣⎦，令()22xxh x -=+，令2x t =，由对勾函数的性质可得1y t t=+在[]2,4单调递增， 则()22xxh x -=+在[]1,2单调递增，则()()()()min max 5171,224h x h h x h ====， 对于()222x xg x --=，因为2x y =单调递增，2x y -=-单调递增，()g x ∴在[]1,2单调递增，()()()()min max 3151,248g x g g x g ∴====， ()()h x g x ∴>恒成立，则不等式()()0h x a g x a --≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()g x a h x ≤≤，()()max min g x a h x ∴≤≤，即15582a ≤≤. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，根据函数的单调性求出最值将不等式等价为()()max min g x a h x ≤≤即可求解.6．B解析：B 【分析】求出函数()f x 的定义域，分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,1上的函数值符号，进而可得出合适的选项. 【详解】 函数()()221lg 21xxx f x -=+的定义域为{}0x x ≠，()()()()()()()22221lg 221lg 12lg 2112221x x x xx xxxx x x f x f x ---------====-+++，函数()f x 为奇函数，当01x <<时，201x <<，则2lg 0x <，210x ->，210x +>，()0f x ∴<.因此，函数()f x 的图象如B 选项中的图象. 故选：B. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．B解析：B 【分析】利用“Ω函数”的定义依次判断即可，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”. 【详解】解：对（1），由①得()00f ≥， 在②中令0x y ==， 即()()020f f =， 解得：()00f ≤，()00f ∴=，故（1）正确；对（2），当()0f x =时，满足①②，但在[)0,+∞不是增函数，故（2）错误； 对（3），当x ，y 都为正无理数时，不满足②，故（3）错误； 对（4），()2g x x x =+，当[)0,x ∈+∞时，min ()(0)00g x g ==≥， 即满足条件①，222()()()()20g x y g x g y x y x y x x y y xy +--=+++----=≥，即满足条件②，∴函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数”，故（4）正确.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解“Ω函数”的定义，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”.8．A解析：A 【分析】利用抽象函数的定义域列不等式判断A ；利用特例法判断BCD. 【详解】因为函数()f x 的定义域为(1,4)，由21412x x <<⇒<<或21x -<<-，所以函数()2f x 的定义域为(2,1)(1,2)--⋃，A 正确；1y x =+和1,11,1x x y x x +≥-⎧==⎨--<-⎩，对应法则不同，不表示同一函数，B 错； 偶函数()1f x =在(0,)+∞和(,0)-∞上不具有相反的单调性，C 错； 0a b 时，不等式220ax bx ++>恒成立，但280b a -<且0a >不成立，D 错； 故选：A.【点睛】方法点睛：若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出，若已知函数()()f g x 的定义域为[],a b ，则()f x 的定义域为()g x 在[],x a b ∈时的值域.9．B解析：B【分析】根据函数性质判断[]x 是一个常见的新定义的形式，按照新定义，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，由此可以得到函数的性质，又定义函数{}[]x x x =-，当0x ≥时，表示x 的小数部分，由于①③是错误的，举例可判断②，根据单调性定义可判断④.【详解】 ①函数{}x 的定义域是R ,但[]01x x ≤-<，其值域为)01⎡⎣，，故错误； ②由{}[]12x x x =-=，可得[]12x x =+，则 1.52.5x =，……都是方程的解，故正确； ③由②可得{}11.52=，{}12.52=……当 1.52.5x =，……时，函数{}x 的值都为12，故不是增函数，故错误；④函数{}x 的定义域是R ,而{}[]{}x x x x -=---≠-，故函数不是奇函数，故错误； 综上，故正确的是②.故选：B.【点睛】本题以新定义函数{}[]x x x =-的意义为载体，考查了分段函数和函数的值域、单调性等性质得综合类问题，在解答的过程中体现了分类讨论和数形结合的思想，还可以利用函数的图象进行解题．10．B解析：B【分析】根据集合相等以及集合元素的互异性可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，由此可求得20192019a b +的值.【详解】b a 有意义，则0a ≠，又{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，0b a ∴=，可得0b =， 所以，{}{}21,,00,,a a a =，21a ∴=， 由集合中元素的互异性可得1a ≠，所以，1a =-，因此，()2019201920192019101a b +=-+=-.故选：B.【点睛】本题考查利用集合相等求参数，同时不要忽略了集合中元素互异性的限制，考查计算能力，属于中等题. 11．D解析：D【解析】【分析】由集合的补集的运算，求得{1,3,4}U C B =，再利用集合间交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}2,5B =， 则{1,3,4}UC B =，所以(){}1,3U A C B ⋂=.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记的集合的运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．D解析：D【分析】A ．考虑方程有解的情况；B ．根据抽象函数定义域求解方法进行分析；C ．根据二次函数的取值情况分析函数值域；D ．根据定义采用列举法进行分析.【详解】①由∅ 2{|40}x x x a ++=可得²40x x a ++=有解，即2440a ∆=-，解得4a ≤，故①正确；②函数()1y f x =+的定义域为[)2,1-，则21x ，故112x -≤+<，故()y f x =的定义域为[)1,2-，故②错误；③函数21y ==[)1,+∞，故(]2,1y =-∞，故③正确；④集合{}1,2,3,4,5,6A ⊆且A 为6的“闭集”，则这样的集合A 共有{}3，{}1,5，{}2,4，{}1,3,5，{}2,4,6，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共7个，故④正确． 故正确的有①③④．故选：D ．【点睛】本题考查命题真假的判定，考查集合之间的包含关系，考查函数的定义域与值域，考查集合的新定义，属于中档题．二、填空题13．9720【分析】按题意从最低纳税额开始计算最高纳税同时考虑到专项附加扣除后可得【详解】设他的工资是元工资是8000元时纳税为由于他有专项附加扣1000元因此他工资是9000元时纳税90元纳税后收入为解析：9720【分析】按题意从最低纳税额开始计算最高纳税，同时考虑到专项附加扣除后可得．【详解】设他的工资是x 元，工资是8000元时纳税为30003%90⨯=，由于他有专项附加扣1000元，因此他工资是9000元时，纳税90元，(9000)10%18090x -⨯=-，9900x =，纳税后收入为9900－180＝9720（元）．故答案为：9720．【点睛】本题考查函数的应用，解题时根据分段函数的意义分段计算纳税额即可得．解题关键是正确理解题意，弄懂工资收入与纳税额之间的关系．14．【分析】先将函数与轴有个交点转化成与的交点问题再作出分段函数的图像利用数形结合求得范围即可【详解】依题意函数与轴有个交点即与有3个交点作分段函数的图像如下由图可知的取值范围为故答案为：【点睛】方法点 解析：()0,1【分析】先将函数()()g x f x m =-与x 轴有3个交点，转化成()y f x =与y m =的交点问题，再作出分段函数()y f x =的图像，利用数形结合求得m 范围即可.【详解】依题意，函数()()g x f x m =-与x 轴有3个交点， 即()y f x =与y m =有3个交点，作分段函数()22,0,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩的图像如下，由图可知，m的取值范围为()0,1.故答案为：()0,1.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.15．【分析】根据在上单调递增列出不等式组求解即可【详解】解：在上单调递增即解得：即故答案为：【点睛】易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时要注意上下段端点值的问题解析：5,5 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据()f x在R上单调递增，列出不等式组，求解即可.【详解】解：(5)3,1()log,1aa x a xf xx x--<⎧=⎨≥⎩在R上单调递增，即50153log1aaaa a->⎧⎪>⎨⎪--≤⎩，解得：55 4a≤<，即5,54a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故答案为：5,5 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时，要注意上下段端点值的问题.16．2【分析】先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点再将该定点的坐标代入函数中求出最后即可求出相应的函数值得到结果【详解】因为函数的图象恒过定点将代入得所以所以则故答案为：【点睛】该题考查的是有关函 解析：2【分析】先利用函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数()2x f x b =+中求出b ，最后即可求出相应的函数值2(log 3)f ，得到结果.【详解】因为函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点(1,1)，将1,1x y ==代入()2xf x b =+，得121b +=，所以1b =-， 所以()21x f x =-，则2log 32(log 3)21312f =-=-=，故答案为：2.【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题，点在函数图象上的条件，已知函数解析式求函数值，属于简单题目. 17．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞. 18．【分析】根据分段函数图象用待定系数法求解即可【详解】当时设函数为当时解得；当时设函数为当时时解得所以故答案为：【点睛】本题考查利用函数图象求解析式考查待定系数法是基础题 解析：2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【分析】根据分段函数图象，用待定系数法求解即可.【详解】当01x ≤<时，设函数为y kx =，当1x =时2y =，解得2k =；当13x ≤≤时，设函数为y ax b =+，当1x =时3y =，3x =时0y =，解得32a =-，92b =.所以2,01 39,1322x xyx x≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩.故答案为：2,0139,1322x xyx x≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩【点睛】本题考查利用函数图象求解析式，考查待定系数法，是基础题.19．【分析】根据可知A为B的子集利用数轴求解即可【详解】根据题意作图如下:由图可知实数的取值范围为【点睛】本题考查利用集合的并运算求参数的取值范围;数轴的合理运用是求解本题的关键;属于中档题常考题型解析：2a>【分析】根据A B B⋃=,可知A为B的子集,利用数轴求解即可.【详解】根据题意,作图如下:由图可知,实数a的取值范围为2a>.【点睛】本题考查利用集合的并运算求参数的取值范围;数轴的合理运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.20．【分析】由题意知关于的方程无实数解可得出由此可解出实数的取值范围【详解】由题意知关于的方程无实数解当时原方程为解得不合乎题意；当时则有解得综上所述实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查利用集合的解析：()1,+∞【分析】由题意知，关于x的方程2210ax x++=无实数解，可得出a≠⎧⎨∆<⎩，由此可解出实数a的取值范围.【详解】由题意知，关于x的方程2210ax x++=无实数解.当0a=时，原方程为210x+=，解得12x=-，不合乎题意；当0a ≠时，则有440a ∆=-<，解得1a >.综上所述，实数a 的取值范围是()1,+∞.故答案为：()1,+∞.【点睛】本题考查利用集合的子集个数求参数，将问题转化为方程无实解是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、解答题21．（1）2160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．【分析】（1）分别求080x <<和80x ≥时函数的解析式可得答案；（2）当080x <<时，21(60)13002y x =--+，配方法求最值、；当80x ≥时， 利用基本不等式求最值，然后再做比较.【详解】 （1）当080x <<时，2211100405006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭， 当80x ≥时，8100810010010121805001680y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是2160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由（1）可知当080x <<时，21(60)13002y x =--+， 此时当60x =时y 取得最大值为1300（万元），当80x ≥时，8100168016801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当8100x x=即90x =时y 取最大值为1500（万元）， 综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．（1）75人；（2）存在，m 的范围为{7}.【分析】（1）求出对应的100-x 名研发人员的年总投入，建立方程关系进行求解即可； （2）根据条件①②建立不等式利用参数分离法转化求最值问题即可．【详解】（1）由题意得：(100)(14%)100(0)x x a a a -+≥>，解得75x ≤，所以调整后的技术人员的人数最多75人.（2）由技术人员年人均投入不减少得（ⅰ）2 25a m x a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+， 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入得（ⅱ）2(100)(14%)25x x x a x m a ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭， 两边除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++，故有2100132525x x m x +≤≤++，10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时取等号，7m ∴≤， 又因为4575x ≤≤，当75x =时，令2125x y =+取得最大值7，7m ∴≥，77m ∴≤≤，即存在这样的m 满足条件，其范围为{7}m ∈.【点睛】本题考查了函数的应用问题，结合条件建立方程和不等式，利用参数分离法进行求解是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．23．（1）14；（2）【分析】（1）利用幂的运算法则和对数的运算法则计算；（2）利用完全平方公式求得1x x -+，再求得22x x -+，然后可求得1x x --．【详解】(1)原式=236342464⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭++=++＝14;-(2)由1122x x -+= 1+25x x -+=，所以13x x -+=所以2222+29=7x x x x --+=+，则1222()2=5x x x x ---=-+所以1=x x --【点睛】幂的运算法则从整数范围推广到有理数范围，实数范围后，乘法公式也随之推广过来， 即公式222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+，22()()a b a b a b +-=-中,a b 是是分数指数幂时，公式也适用，解题时要注意体会．24．（1）1k =；（2）当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为24m m -+.【分析】（1）根据函数是偶函数，利用偶函数的定义求解.（2）将()4f x ，转化为2(2)42x x k -+⨯，令2[x t m =∈，2]m +，构造函数2()4g t t t =-+，利用二次函数的性质求得其最大值即可..【详解】（1）()f x 为偶函数，()()f x f x ∴=-，2?22?2x x x x k k --∴+=+，即(1)(22)0x xk ---=，对任意的x 恒成立， 1k ∴=.（2）由()4f x ，可得2?24x x k -+，即2(2)42x x k-+⨯，令2[x t m =∈，2]m +， 2()4g t t t ∴=-+，当02m <<时，对称轴2[t m =∈，2]m +，则()max g t g =（2）4244=-+⨯=，当2m 时，对称轴2t m =，则2()()4max g t g m m m ==-+，故当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为24m m -+.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的和不等式恒成立的问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.25．（1）()212f x x x =-+；（2）存在，4,0m n =-=.【分析】（1）由()20f =得到,a b 的关系，根据()f x x =有两个相等实根求b ，即可写出()f x 的解析式；（2）将()f x 函数式化为顶点式知16n ≤，进而有[],m n 在1x =的左边，结合二次函数单调性列方程组求解即可知是否存在,m n 值.【详解】 （1）由()20f =得：420a b +=①；由()f x x =有等根得：()210ax b x +-=有等根， ∴()210b ∆=-=，得1b =， 将1b =代入①得：12a =-， ∴()212f x x x =-+； （2）()()221111222f x x x x =-+=--+， ∴132n ≤，即16n ≤，而()f x 对称轴为1x =，即[],m n 在1x =的左边， ∴由二次函数的性质知：()212f x x x =-+在区间[],m n 上单调递增， 则有()3()3m n f m m f n n <⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4,0m n =-=，故存在实数4,0m n =-=，使()f x 的定义域是[],m n ，值域是[]3,3m n .【点睛】关键点点睛：由有相等实根结合判别式求参数值，根据二次函数的性质：最值判断参数范围，在结合区间相对于对称轴的位置，并由其单调性列方程组求参数值确定存在性. 26．（1）()U {|12Ax B x =-≤<或45}x <≤．（2）514a ≤≤． 【分析】（1）解不等式确定集合,A B ，然后由集合运算法则计算；（2）由CA A =，CB B =，得BC A ⊆⊆，利用包含关系可得参数满足的不等关系，从而得出结论． 【详解】（1）{}2450{|15}A x x x x x =--≤=-≤≤，{}2124{|022}{|24}x B x x x x x -=≤≤=≤-≤=≤≤．∴{|2U B x x =<或4}x >，∴()U {|12A x B x =-≤<或45}x <≤．（2）∵CA A =，CB B =，∴BC A ⊆⊆， ∴12445a a -≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得514a ≤≤． 【点睛】关键点点睛：本题考查集合的综合运算，考查集合的包含关系．集合的运算中确定集合中的元素是解题关键．本题有两个结论值得注意：C A A C A =⇔⊆，C B B =B C ⇔⊆．。

【人教版】高中数学必修一期末试题(含答案)

【人教版】高中数学必修一期末试题(含答案)

一、选择题1．已知函数22,2,()3, 2.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的函数()y f x k =-有且只有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()3,1-B ．()0,1C ．(]3,0-D ．()0,∞+2．已知函数()21,04,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若函数()y f x a =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x （123x x x <<），则123ax x x ++的取值范围是( ) A ．()2,0-B ．[]2,0-C ．[]2,0-D ．(]2,0-3．已知函数f (x )＝1,01,0x x x⎧⎪⎨>⎪⎩则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．(1，2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)4．已知：23log 2a =，42log 3b =，232c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<5．已知函数()y f x =与x y e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为 A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e6．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.14-=-，[]4.84=.则函数21()122x x f x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为（ ）A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-8．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数0(2)1y x x =--的定义域是（ ） A ．[1,5]B ．((1,2)(2,5) C ．(1,2)(2,3]⋃D ．[1,2)(2,3]⋃9．已知函数log ,0(),0a xx x f x a x >⎧=⎨≤⎩（0a >，且1a ≠），则((1))f f -=（ ） A ．1B ．0C ．-1D ．a10．对于非空集合P ，Q ，定义集合间的一种运算“★”：{P Q x x P Q =∈★∣且}x P Q ∉⋂．如果{111},{1}P x x Q x y x =-≤-≤==-∣∣，则P Q =★（ ）A ．{12}xx ≤≤∣ B ．{01xx ≤≤∣或2}x ≥ C ．{01xx ≤<∣或2}x > D ．{01xx ≤≤∣或2}x > 11．设集合{}21xA y y ==-，{}1B x x =≥，则()R A C B =（ ）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,1-D ．[)1,+∞12．设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的集合的子集个数有 A ．2B ．3C ．4D ．8二、填空题13．若函数244y ax a x =+-存在零点，则实数a 的取值范围是______． 14．若方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ，且110x -<<，201x <<，则实数k 的取值范围是__________.15．设函数123910()lg 10x x x x x af x +++++=,其中a 为实数,如果当(,1]x ∈-∞时()f x 有意义,则a 的取值范围是________.16．已知函数()()log 21101a y x a a =-+>≠,的图象过定点A ，若点A 也在函数()2x f x b =+的图象上，则()2log 3f =________.17．函数222421x x y x ++=+的值域为_________. 18．已知函数()f x 的定义域为[]2,2-，当[]0,2x ∈时，()1f x x =+，当[)2,0x ∈-时，()(2)f x f x =-+，求()f x =___________19．若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________20．若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有5,6，则b 的取值范围是______.三、解答题21．已知a R ∈，函数21()log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，求实数a 的取值范围； 22．已知函数()2()log 41xf x mx =++． （1）若()f x 是偶函数，求实数m 的值；（2）当0m >时，关于x 的方程()242148log 2log 41f x x m ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦在区间[1,上恰有两个不同的实数解，求m 的范围．23．已知指数函数()f x 的图象经过点()1,3-，()()2()23x g x f a x f =-+在区间[]1,1-上的最小值是()h a . （1）求函数()f x 的解析式；（2）若3a ≥时，求函数()g x 的最小值()h a 的表达式；（3）是否存在m 、n ∈R 同时满足以下条件：①3m n >>；②当()h a 的定义域为[],n m 时，值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由.24．已知函数()21log 1xf x x-=+. （1）求函数()f x 的定义域； （2）讨论函数()f x 的奇偶性；（3）证明：函数()f x 在定义域上单调递减.25．已知定义在R 上的函数()f x 的单调递增函数，且对∀x ，y ∈R ，都有()()()1f x y f x f y +=++，f (2)=5.（1）求f (0)，f (1)的值；（2）若对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀，都有2()(21)1f kx f x +-<成立，求实数k 的取值范围.26．设全集U R =，集合{|2A x x =≤-或}{}5,|2x B x x ≥=≤．求（1）()UA B ⋃；（2）记(){},|23U A B D C x a x a ⋃==-≤≤-，且C D C ⋂= ，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】函数()y f x k =-零点的个数，即为函数()y f x =与函数y k =图象交点个数，结合函数图象可得实数k 的取值范围． 【详解】因为关于x 的函数()y f x k =-有且只有三个不同的零点，所以函数()y f x =与函数y k =图象有三个不同的交点，画出图象，如图：由图可知，当01k <<时，函数()y f x =与函数y k =图象有三个不同的交点， 所以实数k 的取值范围是(0,1). 故选：B 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．D解析：D 【分析】作出函数()f x 的图象，由函数()f x 的图象与直线y a =的交点得123,,x x x 的范围与关系，从而可求得123ax x x ++的取值范围． 【详解】函数()y f x a =-的零点就是函数()y f x =的图象与直线y a =的交点的横坐标，作出函数()y f x =的图象，作出直线y a =，如图，由图可知122x x +=-，由241x =得12x =（12x =-舍去），∴3102x <≤，234x a =，∴23123334224(2,0]x ax x x x x ++=-+=-+∈-． 故选：D ．【点睛】本题考查函数的零点，解题关键是掌握转化与化归思想，函数零点转化为函数图象与直线的交点，由数形结合思想确定零点的性质，得出结论．3．D解析：D 【分析】分别讨论x ≤0和x >0，方程有解时，m 的取值. 【详解】当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即1x m x+=，解得m ≥2， 即实数m 的取值范围是(,1][2,)-∞⋃+∞故选：D 【点睛】本题考查了方程有解求参数的取值问题，考查了计算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.4．A解析：A 【分析】由换底公式和对数函数的性质可得112b a <<<，再由指数函数的性质可得102c <<，即可得解. 【详解】23ln3ln12log =02ln 2ln 2a ==>，4212ln ln 2ln1323log =03ln 4ln 2ln 2b ====<， a b ∴>22223231log log 410,239222a c -⎛⎫⎛⎫<===< ⎪ ⎪⎭=⎝>⎭=⎝，b c a ∴<<， 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.5．D解析：D 【分析】根据指数函数与对数函数的关系，以及函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，求得()ln g x x =-，再由()1g a =，即可求解. 【详解】由题意，函数()y f x =与xy e =互为反函数，所以()ln f x x =，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，所以()ln g x x =-， 又由()1g a =，即ln 1a -=，解得 1a e= 故选D. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，其中熟记指数函数与对数函数的关系，以及函数的对称性求得函数()g x 的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．D解析：D 【分析】先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案. 【详解】解：令()2ln 8x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ； 当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.7．C解析：C 【分析】先求出函数()21122x x f x =-+的值域，再根据题干中要求即可得出()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域. 【详解】()21121111=122122212x x x x xf x +-=--=-+++， ()121,x +∈+∞，()10,112x∴∈+， ()11,012x∴-∈-+， 1111,21222x ⎛⎫∴-∈- ⎪+⎝⎭， 即函数()21122x xf x =-+的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由高斯函数定义可知：函数()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为{}1,0- 故选：C. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.8．C解析：C 【分析】由函数定义域的定义，结合函数0(2)y x =-有意义，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()y f x =的定义域为[]0,4，即[]0,4x ∈，则函数0(2)y x =-满足0141020x x x ≤+≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得13x <≤且2x ≠，所以函数0(2)y x =+-的定义域是(1,2)(2,3]⋃. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据题设条件和函数的解析式有意义，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9．C解析：C 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可. 【详解】 因为log ,0(),0a xx x f x a x >⎧=⎨≤⎩， 所以11(1)f a a--==， 所以11((1))()log 1a f f f a a--===-，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用分段函数的解析式，求函数值，涉及指数函数与对数函数的运算，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先确定,P Q ，计算P Q 和P Q ，然后由新定义得结论．【详解】由题意{|02}P x x =≤≤，{|10}{|1}Q x x x x =-≥=≥， 则{|0}PQ x x =≥，{|12}P Q x x =≤≤，∴{|01P Q x x =≤<★或2}x >． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合新定义运算，解题关键是正确理解新定义，确定新定义与集合的交并补运算之间的关系．从而把新定义运算转化为集合的交并补运算．11．C解析：C 【解析】 【分析】化简集合A ，B 根据补集和交集的定义即可求出． 【详解】集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1}＝（﹣1，+∞），B ＝{x |x ≥1}＝[1，+∞）， 则∁R B ＝（﹣∞，1） 则A ∩（∁R B ）＝（﹣1，1）， 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12．D解析：D 【分析】先解方程得集合A ，再根据A B B =得B A ⊂，最后根据包含关系求实数a ，即得结果.【详解】{}2|8150{3,5}A x x x =-+==,因为AB B =，所以B A ⊂，因此,{3},{5}B =∅，对应实数a 的值为110,,35，其组成的集合的子集个数有328=，选D. 【点睛】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题13．【分析】将函数存在零点转化为与图像有交点作出图像观察图像得出实数的取值范围【详解】解：设则函数存在零点等价于与图像有交点如图：函数的图像恒过点当其和函数的图像相切时有解得由图像可知所以所以与的图像有解析：30,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】将函数244y ax a x =+--存在零点转化为()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】解：设()()4f x a x =+，2()4g x x =-，则函数244y ax a x =+--存在零点等价于()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交点， 如图：函数()()4f x a x =+的图像恒过点(4,0)-，当其和函数2()4g x x =-2421aa =+，解得3a =±，由图像可知，0a >，所以33a =，所以()()4f x a x =+与2()4g x x =-303a ≤≤. 故答案为：3⎡⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想，是中档题.14．【分析】将方程的根转化为函数零点问题再利用零点存在性定理求解【详解】由题知方程的两根为且故设则有故答案为:【点睛】本题考查二次函数根的分布问题需要学生熟悉二次函数的图像性质解决此类问题时常结合零点存解析：3(,1)4【分析】将方程的根转化为函数零点问题,再利用零点存在性定理求解. 【详解】由题知方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x , 且110x -<<,201x <<,故设()f x =22(1)1kx k x k +-+-,(0)k >则有(1)2210103(0)10114(1)221034f k k k f k k k f k k k k ⎧⎪-=-++->>⎧⎪⎪=-<⇒<⇒<<⎨⎨⎪⎪=+-+->⎩⎪>⎩, 故答案为:3(,1)4. 【点睛】本题考查二次函数根的分布问题,需要学生熟悉二次函数的图像性质,解决此类问题时常结合零点存在性定理解决.15．【分析】由题意可得对任意的恒成立分离变量后利用函数的单调性求得在上的范围即可得解【详解】根据题意对任意的恒成立即恒成立则因为函数在上为增函数所以故答案为：【点睛】本题考查对数函数的定义域指数函数的单 解析：[ 4.5,)-+∞【分析】由题意可得对任意的(,1]x ∈-∞，10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，分离变量a 后利用函数的单调性求得981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上的范围，即可得解. 【详解】根据题意对任意的(,1]x ∈-∞，123910010x x x x x a+++++>恒成立，即10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，则981101010x x xa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为函数981()101010xxxg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上为增函数，所以111981 4.5101010a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：[ 4.5,)-+∞【点睛】本题考查对数函数的定义域，指数函数的单调性，不等式恒成立问题，属于基础题.16．2【分析】先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点再将该定点的坐标代入函数中求出最后即可求出相应的函数值得到结果【详解】因为函数的图象恒过定点将代入得所以所以则故答案为：【点睛】该题考查的是有关函解析：2 【分析】先利用函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数()2xf x b =+中求出b ，最后即可求出相应的函数值2(log 3)f ，得到结果. 【详解】因为函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点(1,1)， 将1,1x y ==代入()2x f x b =+，得121b +=，所以1b =-， 所以()21xf x =-， 则2log 32(log 3)21312f =-=-=，故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题，点在函数图象上的条件，已知函数解析式求函数值，属于简单题目.17．【分析】将函数变形为关于的方程分析二次项的系数并结合与的关系求解出的取值范围从而值域可求【详解】因为所以所以当即时此时；当即时此时所以综上可知：所以的值域为故答案为：【点睛】易错点睛：利用判别式法求 解析：[]0,4【分析】将函数变形为关于x 的方程，分析二次项的系数并结合∆与0的关系求解出y 的取值范围，从而值域可求. 【详解】因为222421x x y x ++=+，所以222+42yx y x x +=+，所以()22420y x x y -++-=， 当20y -=，即2y =时，此时0x =；当20y -≠，即2y ≠时，此时()216420y ∆=--≥，所以[)(]0,22,4y ∈，综上可知：[]0,4y ∈，所以222421x x y x ++=+的值域为[]0,4， 故答案为：[]0,4. 【点睛】易错点睛：利用判别式法求解函数值域需要注意的事项： （1）原函数中分子分母不能约分； （2）原函数的定义域为实数集R .18．【分析】当时可得可求出结合可求出时的表达式进而可得出答案【详解】当时；当时所以则所以故答案为：【点睛】本题考查分段函数解析式的求法考查学生的推理能力属于中档题解析：1,023,20x x x x +≤≤⎧⎨---≤<⎩ 【分析】当[)2,0x ∈-时，可得[)20,2x +∈，可求出(2)3f x x +=+，结合()(2)f x f x =-+，可求出[)2,0x ∈-时，()f x 的表达式，进而可得出答案.【详解】当[]0,2x ∈时，()1f x x =+；当[)2,0x ∈-时，[)20,2x +∈，所以(2)3f x x +=+， 则()(2)3f x f x x =-+=--.所以1,02()3,20x x f x x x +≤≤⎧=⎨---≤<⎩. 故答案为：1,023,20x x x x +≤≤⎧⎨---≤<⎩.【点睛】本题考查分段函数解析式的求法，考查学生的推理能力，属于中档题.19．【分析】由f （x ）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a ＜0可得x2﹣2x+1＜a （x+1）﹣1即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1则满足题意结合图象即可求出【详解】f （x ）＝x2﹣（a+2）x+2﹣解析：12(,]23【分析】由f （x ）＝x 2﹣（a +2）x +2﹣a ＜0可得x 2﹣2x +1＜a （x +1）﹣1，即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1，则满足题意，结合图象即可求出． 【详解】f （x ）＝x 2﹣（a +2）x +2﹣a ＜0， 即x 2﹣2x +1＜a （x +1）﹣1， 分别令y ＝x 2﹣2x +1，y ＝a （x +1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1）， 分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A ＝{x ∈Z|f （x ）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得∴10{120 311a a a -≤--≤＜，解得1 2＜a23≤故答案为（12，23]【点睛】本题考查了二次函数的性质以及参数的取值范围，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题20．【分析】先求得不等式的解集根据不等式的解集中的整数有且仅有得出不等式组即可求解得到答案【详解】由题意不等式即解得要使得不等式的解集中的整数有且仅有则满足解得即实数的取值范围是故答案为【点睛】本题主要解析：[]16,17【分析】先求得不等式34x b-<的解集4433b bx-++<<，根据不等式34x b-<的解集中的整数有且仅有5,6，得出不等式组44534673bb-+⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，即可求解，得到答案.【详解】由题意，不等式34x b-<，即434x b-<-<，解得4433b bx-++<<，要使得不等式34x b-<的解集中的整数有且仅有5,6，则满足44534673bb-+⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得1617b≤≤，即实数b的取值范围是[]16,17.故答案为[]16,17.本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及集合的应用，其中解答中正确求解绝对值不等式，根据题设条件得到不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题21．（1）1(,)(0,)4-∞-+∞；（2）1{}[0,)4-+∞.【分析】（1）当5a =时，得到21()log (5)f x x =+，根据()0f x >，得出不等式151x+>，即可求解；（2）化简()221log ()g x a x x=+⋅（其中0x >），根据函数()g x 只有一个零点，得到方程210ax x +-=在(0,)+∞上只有一个解，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）当5a =时，21()log (5)f x x=+， 由()0f x >，即21log (5)0x +>，可得151x+>，解得14x <-或0x >，即不等式()0f x >的解集为1(,)(0,)4-∞-+∞. （2）由()()22222112log log ()2log log ()g x f x x a x a x xx=+=++=+⋅（其中0x >），因为函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，即()0g x =只有一个根， 即21()1a x x+⋅=在(0,)+∞上只有一个解， 即210ax x +-=在(0,)+∞上只有一个解，①当0a =时，方程10x -=，解得1x =，复合题意； ②当0a ≠时，设函数21y ax x =+-当0a >时，此时函数21y ax x =+-与x 轴的正半轴，只有一个交点，复合题意；当0a <时，要使得函数21y ax x =+-与x 轴的正半轴只有一个交点，则满足102140a a ⎧->⎪⎨⎪∆=+=⎩，解得14a =- ，综上可得，实数a 的取值范围是1{}[0,)4-+∞.根据函数的零点求参数的范围的求解策略：转化：把已知函数的零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况； 列式：根据函数零点的存在性定理或结合函数的图象、性质列出方程（组）或不等式（组）；结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围； 22．（1）1m =-；（2）8,19m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）根据偶函数的定义()()f x f x -=，求得实数m 的值；（2）首先观察函数的单调性和()01f =，可得()242148log 2log 40x x m++-=，再根据换元设2log x t =，30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用参变分离的方法转化为24224t t m -++=，根据函数2224y t t =-++的图象，求m 的取值范围.【详解】（1）()2()log 41xf x mx =++，()2()log 41x f x mx --=+-，()()f x f x =-即()()22log 41log 41xxmx mx -++=+-，化简得到22x mx =-，∴1m =-（2）0m >，函数()2()log 41xf x mx =++单调递增，且(0)1f =，()242148log 2log 41(0)f x f x m ⎡⎤++-==⎢⎥⎣⎦，故()242148log 2log 40x x m++-= 设2log x t =，30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即24224t t m -++=，画出2224y t t =-++的图像，如图所示：根据图像知4942m ≤<，解得819m <≤，即8,19m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.23．（1）1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）()126h a a =-；（3）不存在，理由见解析. 【分析】（1）设()xf x c =（0c >且1c ≠），由题意可得()13f -=，可求得c 的值，进而可求得函数()f x 的解析式；（2）令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，设()223k t t at =-+，分析当3a ≥时，函数()k t 的单调性，进而可得出()()min h a k t =，即可得解；（3）分析出函数()h a 在区间[],n m 上单调递减，可得出22126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩，将两个等式作差可得出6m n +=，结合3m n >>判断可得出结论. 【详解】（1）设()xf x c =（0c >且1c ≠），因为指数函数()f x 的图象经过点()1,3-，()113f c-∴-==，即13c =，因此，()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）令()13xt f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，[]1,1x ∈-，1,33t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， 所以，设()223k t t at =-+，对称轴为t a =.3a ≥，可知()k t 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3t =时，()k t 取最小值，即()g x 取最小值()()3126h a k a ==-； （3）由（2）知3m n >>时，()126h a a =-在[],n m 上单调递减，若此时()h a 的值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦，则22126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩，即()()()6m n m n m n -=-+，m n ≠，则0m n -≠，6m n ∴+=，又3m n >>，则6m n +>，故不存在满足条件的m 、n 的值. 【点睛】方法点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴动区间定，不论哪种类型，解决的关键就是考查对称轴于区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解. 24．(1) (1,1)- (2) 函数()f x 为奇函数 (3)证明见解析. 【分析】(1)由()f x 的定义域满足101xx->+可得答案. (2)直接判断()f x 与()f x -的关系可得答案. (3) 设1211x x -<<<，先作差判断出212111011--<<++x x x x ，再由对数函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增有，21222111log log 11x x x x --<++，即可得出结论. 【详解】解：（1）令101xx->+，可得()()110x x -+>，即()()110x x -+<，解得11x -<< 函数()f x 的定义域为(1,1)-（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称 由2211()log log ()11x xf x f x x x+--==-=--+，可得函数()f x 为奇函数 （3）设1211x x -<<<设()()()()()()()()()122112212112121111211111111+--+-----==++++++x x x x x x x x x x x x x x∵1211x x -<<<∴121210,10,0x x x x +>+>-< ∴212111011--<<++x x x x 利用对数函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增有，21222111log log 11x x x x --<++ 即()()21f x f x <故函数()f x 在(1,1)-上单调递减． 【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域、奇偶性的判断和用定义法证明单调性，解答本题的关键是先得出2211x x -+与1111x x -+的大小关系，再由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增得到21222111log log 11x x x x --<++，即()()21f x f x <，属于中档题. 25．（1）(0)1f =-；()12f =；（2）4k <. 【分析】（1）令0x y ==可得(0)f ，令1x y ==可得()1f ； （2）转化条件为222k x x <-对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀恒成立，换元后求得222x x -的最小值即可得解. 【详解】（1）令0x y ==，则(0)(0)(0)1f f f =++，所以(0)1f =-； 令1x y ==，则(2)(1)(1)15f f f =++=，所以()12f =；（2）由题意，不等式2()(21)1f kx f x +-<可转化为2()(21)12f kx f x +-+<，所以()()2211f kx x f +-<，因为函数()f x 单调递增，所以2211kx x +-<， 所以222k x x <-对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀恒成立， 令[]12,3t x =∈，则221122222t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以当2t =即12x =时，222t t -取最小值4， 所以4k <.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的单调性转化不等式为222k x x<-对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀恒成立，再转化为求222x x -的最小值即可得解.26．（1）{}|25x x <<；（2）()1,+∞. 【解析】试题分析：（1）根据题意和并集的运算求出A B ，再由补集的运算求出()U C A B ；（2）由（1）得集合D ，由C D C =得C D ⊆，根据子集的定义对C 分类讨论，分别列出不等式求出a 的范围． 试题(1)由题意知，A ＝x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝x |x ≤2}，则A ∪B ＝x |x ≤2或x ≥5}，又全集U ＝R ，∁U (A ∪B )＝x |2＜x ＜5}．(2)由(1)得D ＝x |2＜x ＜5}，由C ∩D ＝C 得C ⊆D ， ①当C ＝∅时，有－a ＜2a －3，解得a ＞1；②当C ≠∅时，有232325a aa a -≤-⎧⎪->⎨⎪-<⎩,解得a ∈∅.综上，a 的取值范围为(1，＋∞).。

【人教版】高中数学必修一期末试卷(附答案)

【人教版】高中数学必修一期末试卷(附答案)

一、选择题1．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2332a << B ．213a < C ．9aD ．293a < 2．若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根1x ，2x ，且12x x <，则下列结论中错误的是（ ）A ．当0m =时，12x =，23x =B ．14m ≥-C ．当0m >时，1223x x <<<D ．二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为()2,0和()3,0 3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=- ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =，则函数()()()1g x x f x π=-- 在区间3-,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．4π4．定义：若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点对”，已知函数()23,02,0xx f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.A ．1B ．2C ．3D ．45．已知1311531log ,log ,363a b c π-===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a << 6．计算log 916·log 881的值为（ ） A ．18B ．118C ．83D ．387．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（ ） A ．](2-∞，B ．[)2，+∞C ．[]24-，D ．[]14，8．已知函数22|1|,7,()ln ,.x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[-1，+∞) B ．(-∞，-1]∪[3，+∞) C ．[-1，3] D ．(-∞，3]9．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 10．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1C ．-3或2D ．-1或211．若集合3| 01x A x x -=≥+⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{|10}B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎛-⎤⎥⎝⎦C ．(,1)[0,)-∞-+∞ D ．1[,0)(0,1)3-⋃12．已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）①1A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．已知f (x )＝23,123,1x x x x x +≤⎧⎨-++>⎩，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________． 14．（文）已知函数2cos ,1()21,1xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是________个．15．函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为______.16．若函数()()20.2log 1f x kx kx =-+的定义域是R ，则实数k 的取值范围是______.17．定义在R 上的减函数()f x 满足(0)4f =，且对任意实数x 都有()(2)4f x f x +-=，则不等式|()2|2f x -<的解集为____________.18．若函数()y f x = 的定义域为[-1,3]，则函数()()211f xg x x +=-的定义域 ___________19．已知集合{}1,2,5,7,13,15,16,19A =，设,i j x x A ∈，若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，则实数k 的所有可能取值是________20．若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________三、解答题21．中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台需要另投入成本()C x （万元）．当年产量不足80台时，21()402C x x x =+（万元），当年产量不小于80台时，8100()1012180C x x x=+-（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式．（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．22．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()241f x x x =-+．（1）求函数()f x 的解析式：（2）根据解析式在图画出()f x 图象． （3）讨论函数()()g x f x m =-零点的个数．23．已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=. （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()(2)(2)g x f x f x =++-的奇偶性，并说明理由.24．（1）求满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合；（2）求函数235()log (45)f x x x =--的单调递减区间.25．定义：满足()f x x =的实数x 为函数()f x 的“不动点”，已知二次函数()()20f x ax bx a =+≠，()1f x +为偶函数，且()f x 有且仅有一个“不动点”．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[](),m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ？若存在，请求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．26．已知集合{()(1)0}M xx t x =-+≤∣，{|21}N x x =|-|<. （1）当2t =时，求M N ⋃； （2）若N M ⊆，求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和1()2f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围． 【详解】解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32ax a-=， 当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23a >，且9a 或1a ，则213a <；当0a <时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅．综上可得，a 的取值范围是213a <．故选：B ． 【点睛】本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.2．C解析：C 【分析】画出函数()()23y x x =--的图像，然后对四个选项逐一分析，由此得出错误结论的选项. 【详解】画出二次函数()()23y x x =--的图像如下图所示，当0m =时，122,3x x ==成立，故A 选项结论正确. 根据二次函数图像的对称性可知， 当 2.5x =时，y 取得最小值为14-， 要使()()23y x x m =--=有两个不相等的实数根， 则需14m >-，故B 选项结论正确. 当0m >时，根据图像可知122,3x x <>，故C 选项结论错误.由()()23x x m --=展开得2560x x m -+-=， 根据韦达定理得12125,6x x x x m +=⋅=-. 所以()()()2121212y x x x x m x x x x x x m =--+=-+++()()25623x x x x =-+=--，故()()12y x x x x m =--+与x 轴的交点坐标为()()2,0,3,0. 故选：C. 【点睛】思路点睛：一元二次方程根的分布，根据其有两个不等的实根，结合根与系数的关系、函数图象，判断各选项的正误.3．D解析：D 【解析】函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点就是函数()y f x =与函数1()h x x π=-的交点的横坐标． ∵()()f x f x π+=-∴()()2f x f x π+=，即函数()f x 的周期为2π，且函数()f x 的图象关于直线2x π=对称．又可得()()2f x f x π+=--，从而函数()f x 的图象关于点(π,0)对称．函数1()h x x π=-的图象关于点(π,0)对称． 画出函数f(x),h(x)的图象（如下所示），根据图象可得函数f(x),h(x)的图象共有4个交点，它们关于点(π,0)对称． 所以函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为2π+2π=4π． 选D ．点睛：解答本题的关键是将函数()()()1g x x f x π=--零点问题转化为两个函数图象交点的横坐标问题，借助函数图象的直观性使得问题得到解答，这是数形结合在解答数学题中的应用，解题中要求正确画出函数的图象．同时本题中还用到了函数的周期性、对称性、奇偶性之间的互相转化，对于这些知识要做到熟练运用．4．C解析：C 【分析】由新定义可知探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】由题意可知，函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，因为()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，由y 轴左侧部分()3,0xy x =-<图像关于原点中心对称的图像3x y --=-，即3xy -=，()0x >，作函数3xy -=，()0x >和()22,0y x x x =-≥的图象如下：由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.5．D解析：D 【分析】根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较． 【详解】由对数函数性质知151log 16>，13log 03π<，由指数函数性质知13031-<<，∴b c a <<． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．6．C解析：C 【分析】根据对数的运算性质，换底公式以及其推论即可求出． 【详解】原式＝23443232448log 2log 3log 2log 3233⋅=⋅=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查对数的运算性质，换底公式以及其推论的应用，属于基础题．7．C解析：C 【分析】根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f （3）1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-（3）(|1|)f x f ⇒-（3）|1|3x ⇒-， 解之可得24x -， 故不等式的解集为[2-，4]． 故选：C ． 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.8．C解析：C 【分析】根据函数()f x 的图象，得出值域为[2-，6]，利用存在实数m ，使2()24f m a a =-成立，可得22246a a --，求解得答案． 【详解】作出函数22|1|,7()ln ,x x e f x x e x e --⎧+-<=⎨⎩的图象如图： (7)6f -=，2()2f e -=-，∴值域为[2-，6]，若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，22246a a ∴--，解得13a -，∴实数a 的取值范围是[1-，3]．故选：C【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数值域的求解方法，同时考查了数形结合思想的应用，属于中档题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．9．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 1243a ---=，x 223a-+=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴123a-＜2，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；10．C解析：C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项.11．A解析：A 【分析】先根据分式不等式求解出集合A ，然后对集合B 中参数a 与0的关系作分类讨论，根据子集关系确定出a 的范围. 【详解】因为301x x -≥+，所以()()10310x x x +≠⎧⎨-+≥⎩，所以1x <-或3x ≥，所以{|1A x x =<-或}3x ≥，当0a =时，10≤不成立，所以B =∅，所以B A ⊆满足， 当0a >时，因为10ax +≤，所以1x a≤-，又因为B A ⊆，所以11-<-a，所以01a <<， 当0a <时，因为10ax +≤，所以1x a ≥-， 又因为B A ⊆，所以13a -≥，所以103a -≤<， 综上可知：1,13a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.故选：A.【点睛】本题考查分式不等式的求解以及根据集合间的包含关系求解参数范围，难度一般.解分式不等式的方法：将分式不等式先转化为整式不等式，然后根据一元二次不等式的解法或者高次不等式的解法（数轴穿根法）求出解集. 12．C解析：C【分析】①②③都可以写成m a =+,a b 是否是有理数，④计算.【详解】①当1a +=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾，3==3a ∴+=，可得3,1a b == ，都是有理数，所以正确，1==，12a ∴+=-，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确，④2426=+=而(22222a a b +=++， ,a b Q ∈，(2a ∴+是无理数，不是集合M 中的元素，只有②③是集合M 的元素.故选：C【点睛】本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.二、填空题13．2【详解】把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数在同一坐标系中画出这两个函数的图象由图象可知函数g(x)＝f(x)－ex 的零点个数为2解析：2【详解】 把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，由图象可知，函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为2.14．5【分析】先解方程再根据图象确定实根个数【详解】或图象如图：则由图可知实根的个数是5个故答案为：5【点睛】本题考查函数与方程考查综合分析求解能力属中档题解析：5【分析】先解方程2()3()20f x f x -+=，再根据()f x 图象确定实根个数.【详解】2()3()20()1f x f x f x -+=∴=或()2f x =，2cos ,1()21,1x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩图象如图：则由图可知，实根的个数是5个故答案为：5【点睛】本题考查函数与方程，考查综合分析求解能力，属中档题.15．【分析】根据对数的性质可知且最小值为即可求得的值【详解】因为的值域为所以函数的最小值为即解得故答案为：【点睛】本题考查对数函数的值域考查对数的性质合理转化是解题的关键考查了运算能力属于中档题 解析：27【分析】根据对数的性质可知2240y ax x =-+>，且最小值为1，即可求得a 的值. 【详解】因为()()()212log 24f x ax x a R =-+∈的值域为(],1-∞，所以2240ax x -+>， 函数224y ax x =-+的最小值为12，即()20442142a a a >⎧⎪⎨⨯--=⎪⎩，解得27a =， 故答案为：27【点睛】本题考查对数函数的值域，考查对数的性质，合理转化是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.16．【分析】由题可知恒成立再分情况讨论即可【详解】由题可知恒成立当时成立当时当时不等式不恒成立故实数k 的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题属于中等题型解析：[)0,4【分析】由题可知210kx kx -+>恒成立.再分情况讨论即可.【详解】由题可知210kx kx -+>恒成立.当0k =时成立.当0k >时,24004k k k ∆=-<⇒<<. 当k 0<时，不等式不恒成立.故实数k 的取值范围是[)0,4.故答案为：[)0,4【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.17．【分析】由绝对值不等式可知利用中x 的任意性得再利用函数的单调性解不等式即可【详解】因为任意实数都有且令则故不等式解得即又函数为上的减函数解得故不等式的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查了解抽 解析：(0,2)【分析】由绝对值不等式可知0()4f x <<，利用()(2)4f x f x +-=中x 的任意性得(2)0f =，再利用函数的单调性解不等式即可.【详解】因为任意实数x 都有()(2)4f x f x +-=，且(0)4f =，令2x =，则(2)(0)4f f +=，故(2)0f =不等式|()2|22()22f x f x -<⇒-<-<，解得0()4f x <<，即(2)()(0)f f x f << 又函数()f x 为R 上的减函数，解得02x <<，故不等式|()2|2f x -<的解集为(0,2) 故答案为：(0,2)【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.18．【分析】由函数的定义域得出的取值范围结合分母不等于0可求出的定义域【详解】函数的定义域函数应满足：解得的定义域是故答案为：【点睛】本题考查了求函数定义域的问题函数的定义域是函数自变量的取值范围应满足 解析：[1,1)-【分析】由函数()y f x =的定义域，得出21x +的取值范围，结合分母不等于0，可求出()g x 的定义域．【详解】函数()y f x =的定义域[1-，3]，∴函数(21)()1f xg x x +=-应满足： 121310x x -≤+≤⎧⎨-≠⎩解得11x -≤< ()g x ∴的定义域是[1,1)-.故答案为：[1,1)-．【点睛】本题考查了求函数定义域的问题，函数的定义域是函数自变量的取值范围，应满足使函数的解析式有意义，是基础题．19．【分析】先将的可能结果列出然后根据相同结果出现的次数确定出的取值集合【详解】将表示为可得如下结果：其中为都出现了次所以若方程至少有三组不同的解则的取值集合为故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关 解析：{}3,6,14【分析】先将i j x x -的可能结果列出，然后根据i j x x -相同结果出现的次数确定出k 的取值集合.【详解】将i j x x k -=表示为(),,i j x x k ，可得如下结果： ()()()()()()()19,1,18,16,1,15,15,1,14,13,1,12,7,1,6,5,1,4,2,1,1，()()()()()()19,2,17,16,2,14,15,2,13,13,2,11,7,2,5,5,2,3，()()()()()()19,5,14,16,5,11,15,5,10,13,5,8,7,5,2,19,7,12，()()()()()()16,7,9,15,7,8,13,7,6,19,13,6,16,13,3,15,13,2，()()()19,15,4,16,15,1,19,16,3，其中k 为3，6，14都出现了3次，所以若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解， 则k 的取值集合为{}3,6,14，故答案为：{}3,6,14【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解的含义，即i j x x -的差值出现的次数不小于三次，由此可进行问题的求解.20．【分析】由f （x ）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a ＜0可得x2﹣2x+1＜a （x+1）﹣1即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1则满足题意结合图象即可求出【详解】f （x ）＝x2﹣（a+2）x+2﹣ 解析：12(,]23由f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0可得x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1，则满足题意，结合图象即可求出．【详解】f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，即x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，分别令y＝x2﹣2x+1，y＝a（x+1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A＝{x∈Z|f（x）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得∴10 {120 311aaa-≤--≤＜，解得12＜a23≤故答案为（12，23]【点睛】本题考查了二次函数的性质以及参数的取值范围，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题三、解答题21．（1）2160500,080281001680,80x x xyx xx⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．（1）分别求080x <<和80x ≥时函数的解析式可得答案；（2）当080x <<时，21(60)13002y x =--+，配方法求最值、；当80x ≥时， 利用基本不等式求最值，然后再做比较.【详解】 （1）当080x <<时，2211100405006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭， 当80x ≥时，8100810010010121805001680y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是2160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由（1）可知当080x <<时，21(60)13002y x =--+， 此时当60x =时y 取得最大值为1300（万元），当80x ≥时，8100168016801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当8100x x=即90x =时y 取最大值为1500（万元）， 综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．（1）()2241,00,041,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【分析】（1）当0x <时，0x ->，运用已知区间的解析式和奇函数的定义结合()00f =，即可求解；（2）根据（1）中的解析式作出图象即可；（3）()()g x f x m =-零点的个数即等价于()y f x =与y m =两个函数图象交点的个数，数形结合讨论m 的值即可.【详解】（1）当0x =时，()00f =，当0x <时，0x ->，()241f x x x -=++，因为()f x 时奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()241f x x x f x -=++=-，即()()2410f x x x x =---<，所以()2241,00,041,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩（2）()f x 图象如图所示：（3）由()f x 图象知：()23f -=，()23f =-，①当3m <-或3m >时，()y f x =与y m =两个函数图象有1个交点，函数()()g x f x m =-有1个零点；②当3m =±时，()y f x =与y m =两个函数图象有2个交点，函数()()g x f x m =-有2个零点；③当31m -<≤-或13m ≤<时，()y f x =与y m =两个函数图象有3个交点，函数 ()()g x f x m =-有3个零点；④当11m -<<且0m ≠时，()y f x =与y m =两个函数图象有4个交点，函数 ()()g x f x m =-有4个零点；⑤当0m =时，()y f x =与y m =两个函数图象有5个交点，函数()()g x f x m =-有5个零点；综上所述：当3m <-或3m >时，()g x 有1个零点；当3m =±时，，()g x 有2个零点；当31m -<≤-或13m ≤<时，()g x 有3个零点；当11m -<<且0m ≠时，()g x 有4个零点；当0m = 时，()g x 有5个零点；【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.23．（1）2()log f x x =（2）偶函数.见解析【分析】（1）根据(4)(2)1f f -=，代入到函数的解析式中可求得2a =，可求得函数()f x 的解析式; （2）由函数()f x 的解析式，求得函数()g x 的解析式，先求得函数()g x 的定义域，再由函数的奇偶性的判断方法证得函数的奇偶性.【详解】（1）因为()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=，所以log 4log 21a a -=，即log 21a =.，解得2a =，所以2()log f x x =;（2）因为()log a f x x =，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-,由2020x x +>⎧⎨->⎩,得22x -<<,所以()g x 的定义域为()22-，， 又因为22()log (2)log (2)()g x x x g x -=-++=，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-为偶函数.【点睛】本题考查对数函数的函数解析式的求解，函数的奇偶性的证明，属于基础题.24．（1）32x x⎧⎨⎩或}1x <- （2）(5,)+∞ 【分析】 （1）先使得()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,再由3x y =的单调性求解即可； （2）先求定义域,再根据复合函数单调性的“同增异减”原则求解即可.【详解】 解:（1）因为221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭,且()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()222133x x --->,因为3x y =在R 上单调递增,所以()2221x x -->-,解得32x >或1x <-, 则满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合为32x x ⎧⎨⎩或}1x <- （2）由题,2450x x -->,解得5x >或1x <-,则定义域为()(),15,-∞-+∞, 设245u x x =--,35log y u =, 因为35log y u =单调递减,若求()f x 的递减区间,则求245u x x =--的递增区间, 因为245u x x =--的对称轴为2x =,所以在()5,+∞上单调递增,所以函数()f x 的单调减区间为()5,+∞【点睛】本题考查解指数不等式,考查复合函数的单调区间.25．（1）21()2f x x x =-+（2）3,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）4,0m n =-=，证明见解析 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出2b a =-，再将()f x 有且仅有一个“不动点转化为方程()f x x =有且仅有一个解，从而得出()f x 的解析式；（2）当102k -=时，由一次含函数的性质得出12k =满足题意，当102k -≠时，讨论二次函数()g x 的开口方向，根据单调性确定112x k =-与区间()0,4端点的大小关系得出实数k 的取值范围；（3）由2111()(1)222f x x =--+得出16m n <，结合二次函数的单调性确定()f x 在区间[],m n 上是增函数，从而得出()3()3f m m f n n =⎧⎨=⎩，再解方程2132x x x -+=得出m ，n 的值.【详解】（1）22(1)(1)(1)(2)f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++为偶函数20,22a b b a a+∴=∴=-- 2()2f x ax ax ∴=-f x 有且仅有一个“不动点”∴方程()f x x =有且仅有一个解，即[](21)0ax x a -+=有且仅有一个解211210,,()22a a f x x x ∴+==-=-+ （2）221()()2g x f x kx k x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其对称轴为112x k =- 函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增∴当12k <时，1412k -，解得3182k < 当12k =时，()g x x =符合题意 当12k >时，1012k <-恒成立 综上，3,8k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ （3）221111()(1)2222f x x x x =-+=--+ f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ，113,26nn ∴，故16m n < ()f x ∴在区间[],m n 上是增函数()3()3f m m f n n =⎧∴⎨=⎩，即22132 132m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ∴,m n 是方程2132x x x -+=的两根，解得0x =或4x =- 4,0m n ∴=-=【点睛】关键点睛：已知函数21()2g x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在具体区间上的单调性求参数k 的范围时，关键是讨论二次项系数的值，结合二次函数的单调性确定参数k 的范围.26．（1）[1,3)-（2）[3,)+∞【分析】（1）可得出N ={x |1 <x <3 }，t =2时求出集合M ，然后进行并集的运算即可;（2）根据N M ⊆即可得出集合M ={x |-1≤x ≤t }，进而可得出t 的取值范围.【详解】（1）{|21}N x x =|-|<={13}xx <<∣， 当2t =时，{(2)(1)0}(1,2)M xx x =-+≤=-∣， [)1,3M N ∴⋃=-（2）N M ⊆，∴M ={x |-1≤x ≤t }，3t ∴≥，∴实数t 的取值范围[3,)+∞【点睛】本题主要考查了一元二次不等式和绝对值不等式的解法，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题.。

新教材高中数学必修一 期末考试模拟题目

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新教材高中数学必修一期末考试模拟题目考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若集合A={x|-1≤x≤2,x∈N},集合B={2,3},则A∪B等于()A.{-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.{2}解析:由题意知,集合A={x|-1≤x≤2,x∈N}={0,1,2},又因为集合B={2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.答案:B2.若命题p:∃x∈R,x2+2x+1≤0,则命题p的否定为 ()A.∃x∈R,x2+2x+1>0B.∃x∈R,x2+2x+1<0C.∀x∈R,x2+2x+1≤0D.∀x∈R,x2+2x+1>0解析:由命题p“∃x∈R,x2+2x+1≤0”得命题p的否定为:∀x∈R,x2+2x+1>0.答案:D3.若p:1<x<2,q:2x>1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由题意,得p:1<x<2,q:x>,所以p⇒q,q⇒/p,所以p是q的充分不必要条件.答案:A4．已知M＝{x|y＝x2＋1}，N＝{y|y＝x2＋1}，则M∩N＝(A) A．{x|x≥1} B．∅C．{x|x<1} D．R[解析]因为M＝{x|y＝x2＋1}＝R，N＝{y|y＝x2＋1}＝|y|y≥1|，所以M∩N＝{x|x≥1}，故选A．5.若集合A={x|x<-1,或x>3},B={x|x-2≥0},则A∪B= ()A.{x|x<-1,或x≥2}B.{x}C.{xD.R解析:B={x|x≥2},根据集合的并集运算可以得到A∪B={x|x<-1,或x≥2}.答案:A6.命题“对任意的x∈R,3x3-2x2+4<0”的否定是()A.任意的x∈R,3x3-2x2+4≥0B.存在x∉R,3x3-2x2+4≥0C.存在x∈R,3x3-2x2+4≥0D.存在x∈R,3x3-2x2+4<0解析:命题“对任意的x∈R,3x3-2x2+4<0”是全称量词命题,否定时将量词“对任意的”变为“存在”,再将不等号“<”变为“≥”即可,即“存在x ∈R,3x3-2x2+4≥0”.答案:C7.若集合A={-1,0,1,2},B={x|x≥1},则图中阴影部分所表示的集合为()A.{-1}B.{0}C.{-1,0}D.{-1,0,1}解析:阴影部分可表示为A∩(∁R B),因为∁R B={x|x<1}, 所以A∩(∁R B)={-1,0}.答案:C8．已知全集U＝R，M＝{x|x<－1}，N＝{x|x(x＋2)<0}，则图中阴影部分表示的集合是(A)A．{x|－1≤x<0} B．{x|－1<x<0}C．{x|－2<x<－1} D．{x|x<－1}[解析]题图中阴影部分为N∩(∁U M)，因为M＝{x|x<－1}，所以∁U M＝{x|x≥－1}，又N＝{x|x(x＋2)<0}＝{x|－2<x<0}，所以N∩(∁U M)＝{x|－1≤x<0}．故选A．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．下列命题中，是全称量词命题的有(BC)A．至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立B．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立C．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立[解析]A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题，B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题．故选BC．10．下列命题中真命题的是(AB)A．“a>b>0”是“a2>b2”的充分条件B．“a>b”是“3a>3b”的充要条件C．“a>b”是“|a|>|b|”的充分条件D．“a>b”是“ac2≤bc2”的必要条件[解析]当a>b>0时a2>b2，A正确；B正确；对于C，当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但|a|<|b|，故C不正确；对于D，“a>b”与“ac2≤bc2”没有关系，不能相互推出，因此不正确．故选AB．11．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{2，3}，B＝{1，2}，则(BD)A．当x＝2，y＝2，z＝1B ．x 可取两个值，y 可取两个值，z ＝(x ＋y )×(x －y )有4个式子C ．A ⊗B 中有4个元素D ．A ⊗B 的真子集有7个[解析] 当x ＝2，y ＝2时，z ＝(2＋2)×(2－2)＝0，A 错误；由于A ＝{2，3}，B ＝{1，2}，则z 有(2＋1)×(2－1)＝1，(2＋2)×(2－2)＝0，(3＋1)×(3－1)＝2，(3＋2)×(3－2)＝1四个式子，B 正确；由集合中元素的互异性，得集合A ⊗B 有3个元素，C 错误；集合A ⊗B 的真子集个数为23－1＝7，D 正确．故选BD ．12．在下列命题中，真命题有( BC )A ．∃x ∈R ，x 2＋x ＋3＝0B ．∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数C ．∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10D ．∀x ∈R ，x 2>|x |[解析] A 中，x 2＋x ＋3＝(x ＋12)2＋114>0，故A 是假命题；B 中，x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数，故B 是真命题；C 中，x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10成立，故C 是真命题；对于D ，当x ＝0时，左边＝右边＝0，故D 为假命题；故真命题有BC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知集合A ＝{1，a 2}，B ＝{a ，－1}，若A ∪B ＝{－1，a,1}，则a ＝__0__.[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ≠1，a ≠－1，解得a ＝0. 14．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |－3x ＋a ＝0}，若A ∩B ≠∅，则a 的值为__3或6或9__. [解析] 由题意可知B ＝{x |x ＝a 3}．若A ∩B ≠∅，则a 3＝1或a 3＝2或a 3＝3，得a ＝3或6或9.15．某校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，求m 范围．你认为，两位同学题中m 的范围是否一致？__是__(填“是”或“否”)．[解析] 因为命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”，而命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，则其否定“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”为真命题，所以两位同学题中m 的范围是一致的．16．在下列所示电路图中，下列说法正确的是__(1)(2)(3)__(填序号)．(1)如图①所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件；(2)如图②所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件；(3)如图③所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的充要条件；(4)如图④所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件．[解析](1)A闭合，B亮；而B亮时，A不一定闭合，故A是B 的充分不必要条件，因此正确；(2)A闭合，B不一定亮；而B亮，A 必须闭合，故A是B的必要不充分条件，因此正确；(3)A闭合，B 亮；而B亮，A必闭合，所以A是B的充要条件，因此正确；(4)A 闭合，B不一定亮；而B亮，A不一定闭合，所以A是B的既不充分也不必要条件，因此错误．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的值．[解析]由x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，因此M＝{2，－3}．①当a＝2时，N＝{2}，此时N⊆M；②当a＝－3时，N＝{2，－3}，此时N＝M；③当a≠2且a≠－3时，得N＝{2，a}，此时，N M.故所求实数a的值为2或－3.18．(本小题满分12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(2)末位是0的实数能被2整除；(3)∃x>1，x2－2>0；(4)存在实数没有算术平方根；(5)奇数的平方还是奇数．[解析](1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，真命题．(2)命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，真命题．(3)命题中含有存在量词“∃”，是存在量词命题，真命题．(4)命题“存在实数没有算术平方根”，是存在量词命题，真命题．(5)命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，真命题．19．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |－5<x <32}，C ＝{x |1－2a <x <2a }．(1)若C ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若C ≠∅且C ⊆(A ∩B )，求实数a 的取值范围．[解析] (1)因为C ＝{x |1－2a <x <2a }＝∅，所以1－2a ≥2a ，所以a ≤14，即实数a 的取值范围是{a |a ≤14}．(2)因为C ＝{x |1－2a <x <2a }≠∅，所以1－2a <2a ，即a >14.因为A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |－5<x <32}，所以A ∩B ＝{x |－1<x <32}，因为C ⊆(A ∩B )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ≥－1，2a ≤32，a >14，解得14<a ≤34，即实数a 的取值范围是{a |14<a ≤34}．20．(本小题满分12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |4x －1>x ＋2}，B ＝{x |－1<x <2m －3}．(1)当m ＝4时，求(∁U A )∩B ；(2)若A ∩B 恰好包含了两个整数，写出这两个整数构成的集合的所有子集．[解析] (1)因为全集U ＝R ，集合A ＝{x |4x －1>x ＋2}＝{x |x >1}， 当m ＝4时，∁U A ＝{x |x ≤1}，集合B ＝{x |－1<x <5}，所以(∁U A )∩B ＝{x |－1<x ≤1}．(2)因为A ＝{x |4x －1>x ＋2}＝{x |x >1}，B ＝{x |－1<x <2m －3}．A ∩B 恰好包含了两个整数，则这两个整数是2,3，则集合{2,3}的所有子集为：∅，{2}，{3}，{2,3}．21．(本小题满分12分)若集合A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |bx >1}，其中b 为实数且b ≠0，试写出：(1)A ∪B ＝R 的一个充要条件；(2)A ∪B ＝R 的一个必要不充分条件；(3)A ∪B ＝R 的一个充分不必要条件．[解析] 若b >0，则集合B ＝{x |x >1b }，若b <0，则集合B ＝{x |x <1b }．(1)若A ∪B ＝R ，则必有⎩⎨⎧ b <0，1b >－2，即⎩⎨⎧ b <0，b <－12，所以b <－12.故A ∪B ＝R 的一个充要条件是b <－12.(2)由(1)知A ∪B ＝R 充要条件是b <－12.所以A ∪B ＝R 的一个必要不充分条件可以是b <0.(3)由(1)知A ∪B ＝R 充要条件是b <－12.所以A ∪B ＝R 的一个充分不必要条件可以是b <－1.22．(本小题满分12分)(1)已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；(2)已知p ：A ＝{x |－1≤x ≤5}，q ：B ＝{x |－m <x <2m －1}，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．[解析] (1)p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．(2)因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，如图：则⎩⎪⎨⎪⎧－m <－1，2m －1>5，解得m >3.。

高一数学必修一试题(带答案)

高一数学必修一试题(带答案)

高中数学必修1检测题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（非选择题）两部分、共120分，考试时间90分钟、第Ⅰ卷（选择题，共48分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分、 在每小题给出得四个选项中，只有一项就是符合题目要求得、1．已知全集(}.7,5,3,1{},6,4,2{},7.6,5,4,3,2,1{ A B A U 则===B C U ）等于 （ ）A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C ．{2，4，5}D ．{2，5}2．已知集合}01|{2=-=x x A ，则下列式子表示正确得有（ ） ①A ∈1 ②A ∈-}1{ ③A ⊆φ ④A ⊆-}1,1{A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若:f A B →能构成映射，下列说法正确得有 （ ） （1）A 中得任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中得多个元素可以在B 中有相同得像； （3）B 中得多个元素可以在A 中有相同得原像； （4）像得集合就就是集合B 、A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 得取值范围就是 （ ）A 、3a -≤B 、3a -≥C 、a ≤5D 、a ≥5 5、下列各组函数就是同一函数得就是 （ ）①()f x =()g x =()f x x =与()g x =； ③0()f x x =与01()g x x=；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。

A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④6．根据表格中得数据，可以断定方程02=--x e x 得一个根所在得区间就是 （ ）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）7．若=-=-33)2lg()2lg(,lg lg yx a y x 则 （ ）A ．a 3B ．a 23C ．aD ．2a 8、 若定义运算ba ba b aa b<⎧⊕=⎨≥⎩，则函数()212log log f x x x =⊕得值域就是（ ） A [)0,+∞ B (]0,1 C [)1,+∞ D R9．函数]1,0[在x a y =上得最大值与最小值得与为3，则=a （ ）A ．21 B ．2 C ．4 D ．41 10、 下列函数中，在()0,2上为增函数得就是（ ）A 、12log (1)y x =+ B、2log y =C 、21log y x = D、2log (45)y x x =-+ 11．下表显示出函数值y 随自变量x 变化得一组数据，判断它最可能得函数模型就是（ ）A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．指数函数模型D ．对数函数模型12、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好得顺序为 （ ）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于就是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只就是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。

高一数学必修一期末试卷及答案

高一数学必修一期末试卷及答案

高一数学必修1复习检测试题一、选择题。

（共10小题，每题4分） 1、设集合A={x ∈Q|x>-1}，则（ ）A 、A ∅∉B 、2A ∉C 、2A ∈D 、{}2 ⊆A2、设A={a ，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B=（ ）A 、{1，2}B 、{1，5}C 、{2，5}D 、{1，2，5} 3、函数21)(--=x x x f 的定义域为（ ） A 、[1，2)∪(2，+∞） B 、(1，+∞） C 、[1，2) D 、[1，+∞)4、设集合M={x|-2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）5、三个数70。

3，0。

37，，㏑0.3，的大小顺序是（ ）A 、 70。

3，0.37，，㏑0.3,B 、70。

3，，㏑0.3, 0.37C 、 0.37, , 70。

3，，㏑0.3,D 、㏑0.3, 70。

3，0.37，6、若函数f(x)=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.438)=0.165f(1.4065)=-0.052那么方程x 3+x 2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A 、1.2 B 、1.3 C 、1.4 D 、1.57、函数2,02,0x x x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≥=< 的图像为（ ）8、设()log a f x x =（a>0，a ≠1），对于任意的正实数x ，y ，都有（ ）A 、f(xy)=f(x)f(y)B 、f(xy)=f(x)+f(y)C 、f(x+y)=f(x)f(y)D 、f(x+y)=f(x)+f(y)9、函数y=ax 2+bx+3在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，+∞)上是减函数，则（ ） A 、b>0且a<0 B 、b=2a<0 C 、b=2a>0 D 、a ，b 的符号不定 10、某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是 （ ）（年增长率=年增长值/年产值）A 、97年B 、98年C 、99年D 、00年二、填空题（共4题，每题4分）11、f(x)的图像如下图，则f(x)的值域为 ；12、计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低1/3，现在价格为8100元的计算机，则9年后价格可降为 ；13、若f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=x,则当x<0时，f(x)= ；14、老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性质： ①此函数为偶函数；②定义域为{|0}x R x ∈≠； ③在(0,)+∞上为增函数.老师评价说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确。

人教版高中数学选择性必修第一册-第4章 数列 章末测试卷(含解析)

人教版高中数学选择性必修第一册-第4章 数列 章末测试卷(含解析)

第四章数列章末检测（原卷版）(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2021年郑州模拟)已知数列1，3，5，7，…，2n－1，若35是这个数列的第n项，则n＝()A．20B．21C．22D．232．已知3，a＋2，b＋4成等比数列，1，a＋1，b＋1成等差数列，则等差数列的公差为()A．4或－2B．－4或2C．4D．－43．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n－1>12764(n∈N*)成立，某初始值至少应取()A．7B．8C．9D．104．公差不为0的等差数列{a n}，其前23项和等于其前10项和，a8＋a k＝0，则正整数k ＝()A．24B．25C．26D．275．(2021年长春模拟)已知等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝()A．10B．16C．24D．326．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8＝6＋a11，则S9＝()A．54B．45C．36D．277．已知各项都为正数的等比数列{a n}中，a2a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足a n·a n＋1·a n＋2＞19的最大正整数n的值为()A．3B．4C ．5D ．68．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，则S 1＋S 2＋…＋S 2021＝()A ．12021B ．12022C ．20202021D ．20212022二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知n ∈N *，则下列表达式能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是()A ．a n ，n 为奇数，，n 为偶数B ．a n ＝1＋(－1)n2C ．a n ＝1＋cos n π2D ．a n ＝|sinn π2|10．(2022年宿迁期末)设等差数列{a n }前n 项和为S n ，公差d >0，若S 9＝S 20，则下列结论中正确的有()A ．S 30＝0B ．当n ＝15时，S n 取得最小值C ．a 10＋a 22>0D ．当S n >0时，n 的最小值为2911．已知等比数列{a n }的公比为q ，满足a 1＝1，q ＝2，则()A ．数列{a 2n }是等比数列B C ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a n }中，S 10，S 20，S 30仍成等比数列12．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 2019a 2020>1，a 2019－1a 2020－1<0，下列结论正确的是()A ．S 2019<S 2020B．a2019a2021－1<0C．T2020是数列{T n}中的最大值D．数列{T n}无最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n(n∈N*)，S n为{a n}的前n项和，则S8＝________．14．(2022年北京一模)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝________，a n＝________(注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”，五五数之余三是指此数被5除余3，例如“8”)．15．(2021年淮北期末)已知数列{a n}的通项公式为a n＝[lg n]([x]表示不超过x的最大整数)，T n为数列{a n}的前n项和，若存在k∈N*满足T k＝k，则k的值为__________．16．(2022年武汉模拟)对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列△A＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为a n＋1－a n.假定序列△(△A)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(2022年北京二模)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，________．是否存在正整数k(k＞1)，使得a1，a k，S k＋2成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．－2a n＝0；②S n＝S n－1＋n(n≥2)；③S n＝n2这三个条件中任选一个，补充在上面从①a n＋1问题中并作答．18．(12分)(2022年平顶山期末)在等差数列{a n}中，设前n项和为S n，已知a1＝2，S4＝26.(1)求{a n}的通项公式；}的前n项和T n.(2)令b n＝1a n a n＋1，求数列{b n19．(12分)设a>0，函数f(x)＝ax＝1，a n＋1＝f(a n)，n∈N*.a＋x，令a1(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．20．(12分)(2022年潍坊模拟)若数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n－λ(λ>0，n∈N*)．(1)求证：数列{a n}为等比数列，并求a n；(2)若λ＝4，b n n ，n 为奇数，2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .21．(12分)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .22．(12分)数列{a n }是公比为12的等比数列且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝nλ·b n ＋1(λ为常数且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值；(2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．第四章数列章末检测（解析版）(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2021年郑州模拟)已知数列1，3，5，7，…，2n －1，若35是这个数列的第n 项，则n ＝()A ．20B ．21C ．22D ．23【答案】D【解析】由2n －1＝35＝45，得2n －1＝45，即2n ＝46，解得n ＝23.2．已知3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，则等差数列的公差为()A ．4或－2B ．－4或2C ．4D ．－4【答案】C【解析】∵3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，∴(a＋2)2＝3(b ＋4)，2(a ＋1)＝1＋b ＋1＝－2，4＝4，＝8.＝－2，＝－4时，a ＋2＝0与3，a ＋2，b ＋4＝4，＝8时，等差数列的公差为(a ＋1)－1＝a＝4.3．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，某初始值至少应取()A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【解析】1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12>12764，整理得2n >128，解得n >7，所以初始值至少应取8.4．公差不为0的等差数列{a n }，其前23项和等于其前10项和，a 8＋a k ＝0，则正整数k ＝()A ．24B ．25C ．26D ．27【答案】C【解析】由题意设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0，∵其前23项和等于其前10项和，∴23a 1＋23×222d ＝10a 1＋10×92d ，变形可得13(a 1＋16d )＝0，∴a 17＝a 1＋16d ＝0.由等差数列的性质可得a 8＋a 26＝2a 17＝0，∴k ＝26.5．(2021年长春模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝()A ．10B ．16C ．24D ．32【答案】B【解析】设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4.因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2，则a 5＝2×23＝16.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝()A ．54B ．45C ．36D ．27【答案】A【解析】∵2a 8＝a 5＋a 11，2a 8＝6＋a 11，∴a 5＝6，∴S 9＝9a 5＝54.7．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2＞19的最大正整数n 的值为()A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】∵a 2a 4＝4，a n ＞0，∴a 3＝2，∴a 1＋a 2＝12，1＋a 1q ＝12，1q 2＝2，消去a 1，得1＋q q2＝6.∵q ＞0，∴q ＝12，∴a 1＝8，∴a n ＝8－1＝24－n ，∴不等式a n a n ＋1a n ＋2＞19化为29－3n ＞19，当n ＝4时，29－3×4＝18＞19，当n ＝5时，29－3×5＝164＜19，∴最大正整数n ＝4.8．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，则S 1＋S 2＋…＋S 2021＝()A ．12021B ．12022C ．20202021D ．20212022【答案】D【解析】∵n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，∴(S n ＋1)[n (n ＋1)S n －1]＝0.又∵S n >0，∴n (n ＋1)S n －1＝0，∴S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 1＋S 2＋…＋S 2021…20212022.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知n ∈N *，则下列表达式能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是()A ．a n ，n 为奇数，，n 为偶数B ．a n ＝1＋(－1)n2C ．a n ＝1＋cos n π2D ．a n ＝|sinn π2|【答案】ABC 【解析】检验知A ，B ，C 都是所给数列的通项公式．10．(2022年宿迁期末)设等差数列{a n }前n 项和为S n ，公差d >0，若S 9＝S 20，则下列结论中正确的有()A ．S 30＝0B ．当n ＝15时，S n 取得最小值C ．a 10＋a 22>0D ．当S n >0时，n 的最小值为29【答案】BC 【解析】由S 9＝S 20⇒9a 1＋12×9×8d ＝20a 1＋12×20×19d ⇒a 1＋14d ＝0⇒a 15＝0.因为d >0，所以有S 30＝30a 1＋12×30×29d ＝30·(－14d )＋435d ＝15d ＞0，故A 不正确；因为d >0，所以该等差数列是单调递增数列，因为a 15＝0，所以当n ＝15或n ＝14时，S n 取得最小值，故B 正确；因为d >0，所以该等差数列是单调递增数列，因为a 15＝0，所以a 10＋a 22＝2a 16＝2(a 15＋d )＝2d >0，故C 正确；因为d >0，n ∈N *，所以由S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n (－14d )＋12n (n －1)d ＝12dn (n －29)>0，可得n >29，n ∈N *，因此n 的最小值为30，故D 不正确．故选BC ．11．已知等比数列{a n }的公比为q ，满足a 1＝1，q ＝2，则()A ．数列{a 2n }是等比数列BC ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a n }中，S 10，S 20，S 30仍成等比数列【答案】AC【解析】等比数列{a n }中，由a 1＝1，q ＝2，得a n ＝2n －1，∴a 2n ＝22n －1，∴数列{a 2n }是等比数列，故A B 不正确；∵log 2a n ＝n －1，故数列{log 2a n }是等差数列，故C 正确；数列{a n }中，S 10＝1－2101－2＝210－1，同理可得S 20＝220－1，S 30＝230－1，不成等比数列，故D 错误．12．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 2019a 2020>1，a 2019－1a 2020－1<0，下列结论正确的是()A ．S 2019<S 2020B ．a 2019a 2021－1<0C ．T 2020是数列{T n }中的最大值D ．数列{T n }无最大值【答案】AB 【解析】若a 2019a 2020>1，则a 1q 2018×a 1q 2019＝a 21q 4037>1.又由a 1>1，必有q >0，则数列{a n }各项均为正值．又由a 2019－1a 2020－1<0，即(a 2019－1)(a 2020－1)<0，则有2019<1，2020>1或2019>1，2020<1，又由a 1>1，必有0<q <1，2019>1，2020<1.有S 2020－S 2019＝a 2020>0，即S 2019<S 2020，则A正确；有a 2020<1，则a 2019a 2021＝a 22020<1，则B 2019>1，2020<1，则T 2019是数列{T n }中的最大值，C ，D 错误．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和，则S 8＝________．【答案】255【解析】由a 1＝1，a n ＋1＝2a n 知{a n }是以1为首项、2为公比的等比数列，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝1·(1－28)1－2＝255.14．(2022年北京一模)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n }，则a 1＝________，a n ＝________(注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”，五五数之余三是指此数被5除余3，例如“8”)．【答案】815n －7【解析】被3除余2的正整数可表示为3x ＋2，被5除余3的正整数可表示为5y ＋3，其中x ，y ∈N *，∴数列{a n }为等差数列，公差为15，首项为8，∴a 1＝8，a n ＝8＋15(n －1)＝15n －7.15．(2021年淮北期末)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[lg n ]([x ]表示不超过x 的最大整数)，T n 为数列{a n }的前n 项和，若存在k ∈N *满足T k ＝k ，则k 的值为__________．【答案】108【解析】a n，1≤n ＜10，，10≤n ＜100，，10k ≤n ＜10k ＋1.当1≤k ＜10时，T k ＝0，显然不存在；当10≤k ＜100时，T k ＝k －9＝k ，显然不存在；当100≤k ＜1000时，T k ＝99－9＋(k －99)×2＝k ，解得k ＝108.16．(2022年武汉模拟)对任一实数序列A ＝(a 1，a 2，a 3，…)，定义新序列△A ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列△(△A )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________．【答案】100【解析】令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b 1＋(n －1)×1，a 1＝a 1，a 2－a 1＝b 1，a 3－a 2＝b 2，…，a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n －1＝a 1＋(n －1)b 1＋(n －1)(n －2)2.分别令n ＝12，n ＝22，得a 2－10a 1＋55＝0①，a 2－20a 1＋210＝0②，①×2－②，得a 2＝100.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(2022年北京二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，________．是否存在正整数k (k ＞1)，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．从①a n ＋1－2a n ＝0；②S n ＝S n －1＋n (n ≥2)；③S n ＝n 2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．解：若选①a n ＋1－2a n ＝0，则a 2－2a 1＝0，说明数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 1＝1，a k ＝2k －1，S k ＋2＝1－2k ＋21－2＝2k ＋2－1.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则(2k －1)2＝1×(2k ＋2－1)＝2k ＋2－1.左边为偶数，右边为奇数，即不存在正整数k (k ＞1)，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．若选②S n ＝S n －1＋n (n ≥2)，即S n －S n －1＝n ⇒a n ＝n (n ≥2)且a 1＝1也适合此式，∴{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，∴a k ＝k ，S k ＋2＝(k ＋2)(k ＋3)2.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则k 2＝1×(k ＋2)(k ＋3)2⇒k 2－5k －6＝0⇒k ＝6(k ＝－1舍去)，即存在正整数k ＝6，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．若选③S n ＝n 2，∴a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ≥2)，且a 1＝1适合上式．若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则(2k －1)2＝1×(k ＋2)2⇒3k 2－8k －3＝0⇒k ＝＝－13舍去即存在正整数k ＝3，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．18．(12分)(2022年平顶山期末)在等差数列{a n }中，设前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S 4＝26.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知得4×2＋4×32d ＝26，解得d ＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1.(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1(3n －1)(3n ＋2)＝所以T n…＝16－13(3n ＋2)＝n 6n ＋4.19．(12分)设a >0，函数f (x )＝axa ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *.(1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．(1)解：∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a，a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ，a 4＝f (a 3)＝a3＋a ，猜想a n ＝a(n －1)＋a.(2)证明：①易知n ＝1时，猜想正确；②假设n ＝k 时，a k ＝a (k －1)＋a成立，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a k a ＋a k ＝a ·a (k －1)＋a a ＋a (k －1)＋a＝a (k －1)＋a ＋1＝a [(k ＋1)－1]＋a ，∴n ＝k ＋1时成立．由①②知，对任何n ∈N *，都有a n ＝a (n －1)＋a.20．(12分)(2022年潍坊模拟)若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －λ(λ>0，n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等比数列，并求a n ；(2)若λ＝4，b nn ，n 为奇数，2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .(1)证明：∵S n ＝2a n －λ，当n ＝1时，得a 1＝λ.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－λ，∴S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是以λ为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝λ·2n －1.(2)解：∵λ＝4，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b nn ＋1，n 为奇数，＋1，n 为偶数，∴T 2n ＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋…＋22n ＋2n ＋1＝(22＋24＋…＋22n )＋(3＋5＋…＋2n ＋1)＝4－4n ·41－4＋n (3＋2n ＋1)2＝4n ＋1－43＋n (n ＋2)，∴T 2n ＝4n ＋13＋n 2＋2n －43.21．(12分)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q .∵a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，∴a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18，∴q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2.又∵2a 1＋a 1＝9，∴a 1＝3，∴a n ＝3·2n －1，n ∈N *.(2)∵b n ＝na n ＝3n ·2n －1，∴13S n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1①，∴23S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ②，①－②，得－13S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ＝1－2n 1－2－n ×2n ＝(1－n )2n －1，∴S n ＝3(n －1)2n ＋3.22．(12分)数列{a n }是公比为12的等比数列且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝nλ·b n ＋1(λ为常数且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值；(2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．解：(1)由题意，得(1－a 2)2＝a 1(1＋a 3)，∴(1－a 1q )2＝a 1(1＋a 1q 2)．∵q ＝12，∴a 1＝12，∴a n.1＝λb 2，2＝2λb 3，＝λ(8＋d )，＋d ＝2λ(8＋2d )，∴λ＝12，d ＝8.(2)由(1)得b n ＝8n ，∴T n ＝4n (n ＋1)，∴1T n ＝令C n ＝1T 1＋1T 2＋…＋1T n ＝…∴18≤C n ＜14.∵S n ＝21－12＝1，∴12S n ＝121∴14≤12S n ＜12，∴C n ＜12S n 即1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n ＜12S n .。

期末复习综合测试题(2)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册

期末复习综合测试题(2)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册

模块一复习测试题二一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是46．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为()A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+-三．填空题（共4小题）13．化简32a b-= （其中0a >,0)b >．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是 ． 15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为 ． 16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为 ．四．参考解答题（共8小题） 17．已知0x >,0y >,且440x y +=． （Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值． 18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x=>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围; （Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围． 19．解方程 （1）231981xx-=（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++20．设函数33()sin cos 2323x x f x ππ=-． （1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．22．已知函数2()3sin 2cos 12xf x x =-+． （Ⅰ）若()23()6f παα=+,求tan α的值;（Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围．模块一复习测试题二参考正确答案与试题详细解析一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【详细分析】利用元素与集合的关系直接求解．【参考解答】解:集合{|15}{0A x N x =∈=,1,2,3},a =a A ∴∉．故选:D ．【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意元素与集合的关系的合理运用．2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【详细分析】根据充分必要条件的定义以及基本不等式的性质判断即可． 【参考解答】解:1a >,1b >, 2log 0a ∴>,2log 0b >,2a b ab +,4a b +,故4ab ,222222222log log log ()log 4log log ()[]()1222a b ab a b +⋅==,反之,取16a =,152b =,则1522224log log log 16log 215a b ⋅=⋅=<, 但4a b +>,故4a b +是22log log 1a b ⋅的充分不必要条件, 故选:A ．【点评】本题考查了充分必要条件,考查基本不等式的性质,是一道基础题．3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞【详细分析】直接利用命题的否定和一元二次方程的解的应用求出结果．【参考解答】解:命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则命题“[0x ∃∈,3],使得220x x m --= “成立是真命题, 故222(1)1m x x x =-=--． 由于[0x ∈,3],所以[1m ∈-,3]． 故选:C ．【点评】本题考查的知识要点:命题的否定的应用,一元二次方程的根的存在性的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]【详细分析】判断出在区间[3,5)上单调递增,(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩得出即1090m m -⎧⎨->⎩即可．【参考解答】解:函数2()44f x x x m =--+,对称轴2x =,在区间[3,5)上单调递增 在区间[3,5)上有零点,∴(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩即1090m m -⎧⎨->⎩ 解得:19m <, 故选:C ．【点评】本题考查了二次函数的单调性,零点的求解方法,属于中档题． 5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是4【详细分析】直接利用不等式的基本性质和关系式的恒等变换的应用求出结果． 【参考解答】解:已知2x >,所以20x ->,故11222(2)2422y x x x x x =+=-++-=--（当3x =时,等号成立）． 故选:B ．【点评】本题考查的知识要点:不等式的基本性质,关系式的恒等变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题．6．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=【详细分析】设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点,则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,(,)P y x '关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,代入详细解析式变形可得．【参考解答】解:设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点, 则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,又函数()y f x =的图象与函数12x y +=的图象关于直线0x y +=对称,(,)P y x ∴'关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,∴必有12x y -+-=,即12x y -+=-,()y f x ∴=的反函数为:12x y -+=-;故选:C ．【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D 【详细分析】由11sin sin[()]33ααππ=+-,结合已知及两角差的正弦公式即可求解．【参考解答】解:cos()3παα+=为锐角）,∴1sin()3απ+=,则11111sin sin[()]sin())33233ααππαπαπ=+-=++,1(2=-,=故选:C ．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式,诱导公式,难度不大,属于基础题．8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为( )A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 【详细分析】把已知函数详细解析式利用辅助角公式化积,求得函数值域,再由a 的范围可知方程()f x a =有两根1x ,2x ,然后利用对称性得正确答案．【参考解答】解:1()sin 2(sin )2sin()23f x x x x x x π=+=+=+,[0x ∈,2]π,()[2f x ∴∈-,2],又01a <<,∴方程()f x a =有两根1x ,2x ,由对称性得12()()33322x x πππ+++=,解得1273x x π+=．故选:D ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数,考查函数零点的判定及应用,正确理解题意是关键,是基础题．二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆【详细分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解． 【参考解答】解:集合M N ⊆,∴在A 中,M N M =,故A 错误;在B 中,M N N =,故B 正确;在C 中,()M M N ⊆,故C 错误;在D 中,M N N N =⊆,故D 正确．故选:BD ．【点评】本题考查了子集、并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题． 10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 【详细分析】结合基本不等式的一正,二定三相等的条件检验各选项即可判断．【参考解答】解:不等式2a b ab +恒成立的条件是0a ,0b ,故A 不正确;当a 为负数时,不等式12a a+成立．故B 正确; 由基本不等式可知C 正确;对于212144()(2)4428y x y x x y x y x y x y x y+=++=+++=, 当且仅当4y x x y =,即12x =,14y =时取等号,故D 正确． 故选:BCD ．【点评】本题考查基本不等式的应用,要注意应用条件的检验．11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根【详细分析】根据函数的奇偶性判断A ,根据函数的单调性判断B ,结合图象判断C ,D 即可．【参考解答】解:对于||:()()1x A f x f x x --=≠--+,()f x 不是奇函数,故A 错误; 对于:0B x 时,1()111x f x x x ==-++在[0,)+∞递增,故B 正确; 对于C ,D ,画出函数()f x 和21y x =-的图象,如图示:,显然函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞,故C 正确,()f x 和21y x =-的图象有3个交点,故D 错误;故选:BC ．【点评】本题考查了函数的单调性,奇偶性问题,考查数形结合思想,转化思想,是一道中档题．12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+- 【详细分析】求出11sin()6π-的值．利用二倍角的余弦求值判断A ;利用两角和的余弦求值判断B ;利用二倍角的正弦求值判断C ;利用两角和的正切求值判断D ．【参考解答】解:111sin()sin(2)sin 6662ππππ-=-+==． 对于A ,22cos 1531cos30o -=︒=对于B ,1cos18cos42sin18sin 42cos(1842)cos602︒︒-︒︒=︒+︒=︒=; 对于C ,12sin15sin 752sin15cos15sin302︒︒=︒︒=︒=; 对于D ,tan30tan15tan(3015)tan 4511tan30tan15o oo o+=︒+︒=︒=-．∴与11sin()6π-的值相等的是BC ． 故选:BC ．【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数,是基础题．三．填空题（共4小题）13．化简32a b -= a （其中0a >,0)b >．【详细分析】根据指数幂的运算法则即可求出．【参考解答】解1311132322()b b bb ⨯=== 原式2111()3322a b a ---==,故正确答案为:a ．【点评】本题考查了指数幂的运算,属于基础题．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是 {1-,0,1} ．【详细分析】先利用分离常数法将函数化为92()51x f x e =-+,进而求出()f x 的值域,再根据[]x 的定义可以求出[()]f x 的所有可能的值,进而得到函数的值域．【参考解答】解:212(1)212192()215151551x x x x x x e e f x e e e e+-=-=-=--=-++++, 0x e >,11x e ∴+>,∴2021x e <<+,∴19295515x e -<-<+, 即19()55f x -<<,①当1()05f x -<<时,[()]1f x =-, ②当0()1f x <时,[()]0f x =,③当91()5f x <<时,[()]1f x =, ∴函数[()]y f x =的值域是:{1-,0,1},故正确答案为:{1-,0,1}．【点评】本题主要考查了新定义运算的求解,关键是能通过分离常数的方式求得已知函数的值域,是中档题．15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为 2 ． 【详细分析】根据对数的基本运算,结合不等式的解法即可得到结论．【参考解答】解:1lgx lgy +=,1lgxy ∴=,且0x >,0y >,即10xy =, ∴25251022210x y x y +=, 当且仅当25x y =,即2x =,5y =时取等号, 故正确答案为:2【点评】本题主要考查不等式的应用,利用对数的基本运算求出10xy =是解决本题的关键,比较基础．16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为 16- ．【详细分析】直接利用三角函数的性质和关系式的恒等变换的应用及二次函数的性质的应用求出结果．【参考解答】解:若42x ππ<<,则tan (1,)x ∈+∞, 另22tan tan 21tan x x x=-, 设tan x t =,(1)t >, 则422222244416111111()()24t y t t t t ===-----,当且仅当t =时,等号成立．故正确答案为:16-．【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的变换,关系式的变换和二次函数的性质,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题．四．参考解答题（共8小题）17．已知0x >,0y >,且440x y +=．（Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值． 【详细分析】（1）由已知得,40424x y xy =+=解不等式可求,（2）由题意得,11111()(4)40x y x y x y +=++,展开后结合基本不等式可求． 【参考解答】解:（1）0x >,0y >,40424x y xy ∴=+=当且仅当4x y =且440x y +=即20x =,5y =时取等号,解得,100xy ,故xy 的最大值100．（2）因为0x >,0y >,且440x y +=．所以111111419()(4)(5)(540404040y x x y x y x y x y +=++=+++=, 当且仅当2x y =且440x y +=即403x =,203y =时取等号, 所以11x y +的最小值940． 【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,属于中档题18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x =>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围;（Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围．【详细分析】（Ⅰ）对式子变形后,利用基本不等式即可求得结果;（Ⅱ）先由题设把问题转化为:2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,构造函数2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],利用其最大值求得a 的取值范围;（Ⅲ）由题设把问题转化为:方程21a x =-在[0a ∈,2]有解,解出x 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）当2a =时,2()41111()22212222f x x x y x x x x -+===+-⨯-=-（当且仅当1x =时取“= “),1min y ∴=-;（Ⅱ）由题意知:221x ax a a --+对于任意的[0x ∈,2]恒成立,即2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,令2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],则(0)10(2)340g g a =-⎧⎨=-⎩,解得:34a , a ∴的取值范围为3[4,)+∞; （Ⅲ）由()2f x ax =-可得:210x a -+=,即21a x =-, [0a ∈,2],2012x ∴-,解得:11x -,即x 的取值范围为[1-,1]．【点评】本题主要考查基本不等式的应用、函数的性质及不等式的解法,属于中档题．19．解方程 （1）231981x x -= （2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++【详细分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则求解方程的解即可．（2）利用对数运算法则,化简求解方程的解即可．【参考解答】解:（1）231981x x -=,可得232x x -=-,（2分） 解得2x =或1x =;（4分）（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++,可得44log (3)log (21)(3)x x x -=++,3(21)(3)x x x ∴-=++,（2分）得4x =-或0x =,经检验0x =为所求．（4分）【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系,对数方程的解法,考查计算能力．20．设函数3()cos 323x x f x ππ=-． （1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值． 【详细分析】（1）利用辅助角公式化积,再由周期公式求周期;（2）由对称性求得()g x 的详细解析式,再由x 的范围求得函数最值．【参考解答】解:（1）3()cos sin()32333x x f x x ππππ=-=-． ()f x ∴的最小正周期为263T ππ==;（2）函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,()()3sin()33x g x f x ππ∴=-=-． [0x ∈,3]2,∴[333x πππ-∈-,]6π, sin()[33xππ∴-∈,1]2,()[g x ∈,3]2． ∴当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值为32． 【点评】本题考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质,考查三角函数最值的求法,是中档题．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．【详细分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A ,B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,可得函数的详细解析式,再根据余弦函数的图象的对称性,得出结论． （Ⅱ）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,得出结论．【参考解答】解:（Ⅰ）由函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象知: 1(3)22A --==,1(3)12B +-==-,72212T πππωω-==⇒=, ()2cos(2)1f x x ϕ∴=+-,把点(,1)12π代入得:cos()16πϕ+=, 即26k πϕπ+=,k Z ∈． 又||2πϕ<,∴6πϕ=-,∴()2cos(2)16f x x π=--． 由图可知(,1)3π-是其中一个对称中心, 故所求对称中心坐标为:(,1)32k ππ+-,k Z ∈． （Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,可得1cos(2)62y x π=--的图象,再向右平移6π个单位,可得11cos(2)sin 2222y x x π=--=- 的图象, 最后将图象向上平移1个单位后得到1()sin 22g x x =+的图象． 由22222k x k ππππ-++,k Z ∈,可得增区间是[4k ππ-,]4k ππ+,当3[,]124x ππ∈时,函数的增区间为[,]124ππ． 则32[,]62x ππ∈,当22x π=即,4x π=时,()g x 有最大值为32, 当322x π=,即34x π=时,()g x 有最小值为11122-+=-． 【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求详细解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A 、B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,余弦函数的图象的对称性．函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,属于中档题．22．已知函数2()2cos 12x f x x =-+．（Ⅰ）若()()6f παα=+,求tan α的值; （Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围． 【详细分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换,化简()f x 的详细解析式,根据条件,求得tan α的值． （Ⅱ）根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,求得()g x 的详细解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得()g x 的范围,可得m 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）2()2cos 1cos 2sin()26x f x x x x x π-+-=-,()()6f παα=+,∴sin()6παα-=,∴1cos 2ααα-=,即cos αα-=,∴tan α=（Ⅱ）把()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象, 所以函数()g x 的详细解析式为()(2)2sin(2)6g x f x x π==-, 关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解, 等价于求()g x 在[0,]2π上的值域, 因为02x π,所以52666x πππ--, 所以1()2g x -,故m 的取值范围为[1-,2]．【点评】本题主要考查三角恒等变换,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题．。

高中数学 期末检测试卷(B)精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

高中数学 期末检测试卷(B)精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

期末检测试卷(B)C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．设f (x )为偶函数，且x ∈(0,1)时，f (x )＝－x ＋2，则下列说法正确的是( )A ．f (0.5)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π6>f (sin 0.5)C ．f (sin 1)<f (cos 1)D ．f (sin 2)>f (cos 2)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下面各式中，正确的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋32cos π4B ．cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos π4cos π3＋64D ．cos π12＝cos π3－cos π4 10．函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，那么( ) A ．f (x )在(1，＋∞)上递增且无最大值 B ．f (x )在(1，＋∞)上递减且无最小值 C ．f (x )在定义域内是偶函数 D ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称 11．下面选项正确的有( ) A ．存在实数x ，使sin x ＋cos x ＝π3B ．α，β是锐角△ABC 的内角，是sin α>cos β的充分不必要条件C ．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2是偶函数D ．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象12．若函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象不可以是( )三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为________．14．设x >0，y >0，x ＋y ＝4，则1x ＋4y的最小值为________．15．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝3x －1(－3<x ≤0)，f (x )＝f (x ＋3)，则f (2 019)＝________.16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0－x 2－2x ＋1，x <0，函数f (x )有________个零点，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值X 围是________．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)设函数f (x )＝6＋x ＋ln(2－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |2x＞1}． (1)求A ∪B ；(2)若集合{x |a ＜x ＜a ＋1}是A ∩B 的子集，求a 的取值X 围．18.(12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝15，cos (α＋β)＝－13，其中0<α<π2，0<β<π2. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．19．(12分)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≤0，log 2x ＋1，x >0.(1)作出函数f (x )的图象，并写出单调区间；(2)若函数y ＝f (x )－m 有两个零点，某某数m 的取值X 围．期末检测试卷(B)1．解析：因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2xx －2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －2>0＝{x |x <－2或x >2}，B ＝{x |1<2x <8}＝{x |0<x <3}，因此A ∩B ＝{x |2<x <3}．故选A.答案：A2．解析：要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋1≠0，解得x ≥－3，且x ≠－1，∴f (x )的定义域为{x |x ≥－3，且x ≠－1}． 答案：A3．解析：sin 140°cos 10°＋cos 40°sin 350° ＝sin 40°cos 10°－cos 40°sin 10° ＝sin (40°－10°)＝sin 30°＝12.答案：C4．解析：∵f (2)＝log 32－1<0，f (3)＝log 33＋27－9＝19>0，∴f (2)·f (3)<0，∴函数在区间(2,3)上存在零点． 答案：C5．解析：若命题p 是假命题，则“不存在x 0∈R ，使得x 20＋2ax 0＋a ＋2≤0”成立， 即“∀x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋a ＋2>0”成立，所以Δ＝(2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)＝4(a ＋1)(a －2)<0，解得－1<a <2， 所以实数a 的取值X 围是(－1,2)，故选B. 答案：B6．解析：x ＝ln π>ln e＝1，y ＝log 52<log 55＝12，z ＝1e >14＝12，且z <1，故y <z <x . 答案：C7．解析：因为函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3， 因为g (x )为偶函数，所以φ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋k π(k ∈Z )，因为φ＝π6可以推导出函数g (x )为偶函数，而函数g (x )为偶函数不能推导出φ＝π6，所以“φ＝π6”是“g (x )为偶函数”的充分不必要条件．答案：A8．解析：x ∈(0,1)时，f (x )＝－x ＋2，则f (x )在(0,1)上单调递减，A ：0.5<π6，所以f (0.5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，A 错误；B ：0.5<π6，∴0<sin 0.5<sin π6<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f (sin 0.5)，B 错误；C ：∵0<cos 1<sin 1<1，∴f (sin 1)<f (cos 1)，C 正确；D ：－1<cos2<0，f (cos 2)＝f (－cos 2)，sin 2－(－cos 2)＝sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2＋π4>0，所以1>sin2>(－cos 2)>0，所以f (sin 2)<f (－cos 2)＝f (cos 2)，D 错误．故选C.答案：C9．解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝sin π4cos π3＋32cos π4，∴A 正确；∵cos 5π12＝－cos 7π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝22sin π3－cos π4cos π3，∴B 正确；∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π3＝cos π4cos π3＋64，∴C 正确；∵cos π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4≠cos π3－cos π4，∴D 不正确．故选ABC.答案：ABC10．解析：由|x －1|>0得，函数y ＝log a |x －1|的定义域为{x |x ≠1}．设g (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >1－x ＋1，x <1，则g (x )在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，D 正确；因为f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，所以a >1，所以f (x )＝log a |x －1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A 正确，B 错误； 又f (－x )＝log a |－x －1|＝log a |x ＋1|≠f (x )，所以C 错误．故选AD. 答案：AD11．解析：A 选项：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则sin x ＋cos x ∈[－2， 2 ]．又－2<π3<2，∴存在x ，使得sin x ＋cos x ＝π3，可知A 正确； B 选项：∵△ABC 为锐角三角形，∴α＋β>π2，即α>π2－β∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，可知B 正确；C 选项：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2＝cos 2x 3，则cos2－x 3＝cos 2x 3，则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2为偶函数，可知C 正确；D 选项：y ＝sin 2x 向右平移π4个单位得：y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x ，可知D 错误．本题正确选项ABC.答案：ABC12．解析：函数y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 由函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数， 得0<a <1.当x >1时，函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以通过函数y ＝log a x 的图象向右平移1个单位得到，结合各选项可知只有D 选项符合题意．故选ABC.答案：ABC13．解析：设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为3π8，半径为1，∴3π8＝12·α·12，∴α＝3π4. 答案：3π414．解析：∵x ＋y ＝4，∴1x ＋4y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ，又x >0，y >0，则y x＋4xy≥2y x ·4x y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝43，y ＝83时取等号， 则1x ＋4y ≥14×(5＋4)＝94. 答案：9415．解析：∵f (x )＝f (x ＋3)， ∴y ＝f (x )表示周期为3的函数， ∴f (2 019)＝f (0)＝3－1＝13.答案：1316．解析：作出函数f (x )的图象如下图所示，由图象可知，函数f (x )有且仅有一个零点，要使函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则需函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象有且仅有三个交点，则1＜m ＜2.答案：1 (1,2)17．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧6＋x ≥02－x >0得，－6≤x ＜2；由2x＞1得，x ＞0；∴A ＝[－6,2)，B ＝(0，＋∞)；∴A ∪B ＝[－6，＋∞)； (2)A ∩B ＝(0,2)；∵集合{x |a ＜x ＜a ＋1}是A ∩B 的子集； ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0a ＋1≤2；解得0≤a ≤1；∴a 的取值X 围是[0,1]．18．解析：(1)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝22(sin β－cos β)＝15，所以sin β－cos β＝25， 所以(sin β－cos β)2＝sin 2β＋cos 2β－2sin βcos β＝1－sin 2β＝225，所以sin 2β＝2325.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝15，cos(α＋β)＝－13， 其中0<α<π2，0<β<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝265，sin(α＋β)＝223， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×265＋223×15＝22－615.19．解析：(1)画出函数f (x )的图象，如图所示：由图象得f (x )在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增． (2)若函数y ＝f (x )－m 有两个零点， 则f (x )和y ＝m 有2个交点，结合图象得1<m ≤2. 20．解析：(1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－12.21．解析：(1)由题意可得处理污染项目投放资金为(100－x )百万元， 所以N (x )＝0.2(100－x )，所以y ＝50x10＋x ＋0.2(100－x )，x ∈[0,100]．(2)由(1)可得，y ＝50x 10＋x ＋0.2(100－x )＝70－⎝ ⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋x 5＝72－⎝⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋10＋x 5≤72－20＝52，当且仅当50010＋x ＝10＋x5，即x ＝40时等号成立．此时100－x ＝100－40＝60.∴y 的最大值为52百万元，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40百万元，60百万元．22．解析：(1)若y ＝f k (x )是偶函数，则f k (－x )＝f k (x )，即2－x＋(k －1)·2x ＝2x＋(k －1)·2－x即2－x －2x ＝(k －1)·2－x －(k －1)·2x ＝(k －1)(2－x －2x)，则k －1＝1，即k ＝2； (2)∵f 0(x )＋mf 1(x )≤4，即2x －2－x ＋m ·2x ≤4，即m 2x ≤4－2x ＋2－x， 则m ≤4－2x＋2－x2x＝4·2－x ＋(2－x )2－1，设t ＝2－x， ∵1≤x ≤2，∴14≤t ≤12.word- 11 - / 11 设4·2－x ＋(2－x )2－1＝t 2＋4t －1，则y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5， 则函数y ＝t 2＋4t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为增函数， ∴当t ＝12时，函数取得最大值y max ＝14＋2－1＝54，∴m ≤54. 因此，实数m 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54； (3)f 0(x )＝2x －2－x ，f 2(x )＝2x ＋2－x ，则f 2(2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x －2－x )2＋2， 则g (x )＝λf 0(x )－f 2(2x )＋4＝λ(2x －2－x )－(2x －2－x )2＋2，设t ＝2x －2－x ，当x ≥1时，函数t ＝2x －2－x 为增函数，则t ≥2－12＝32， 若y ＝g (x )在[1，＋∞)有零点，即g (x )＝λ(2x －2－x )－(2x －2－x )2＋2＝λt －t 2＋2＝0在t ≥32上有解，即λt ＝t 2－2，即λ＝t －2t， ∵函数y ＝t －2t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，则y min ＝32－2×23＝16，即y ≥16.∴λ≥16，因此，实数λ的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，＋∞.。

高中数学必修一期末试卷带答案

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一、选择题1．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（ ）A ．4.25米B ．4.5米C ．3.9米D ．4.05米2．对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在()0,x -∞和()0,x +∞上与 x 轴都有交点，则称0x 为函数()f x 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是( ) A ．()22xf x x =-B ．()()22f x x bx b R =+-∈C ．()12f x x =--D ．()sin x x x f -=3．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当||x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++） A ．1.27B ．1.26C ．1.23D ．1.224．已知函数()()2log 23a f x x x =--+，若()00f <，则此函数的单调递增区间是（ ） A ．(],1-∞-B ．[)1,-+∞C ．[)1,1-D ．(]3,1--5．已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增的函数，且满足对任意的实数x 都有[()3]4x f f x -=，则()()f x f x +-的最小值等于（ ）.A ．2B ．4C ．8D ．126．函数213()log 4f x x =-的单调减区间是（ ）A ．(]()2,02,-+∞B ．(]2,0-和(2,)+∞C ．(),20,2[)-∞-D ．(,2)-∞-和[0,2)7．已知函数(1)f x +为偶函数，当0x >时，23()f x x x =+，则(2)f -=（ ） A ．4-B ．12C ．36D ．808．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（ ）A ．](2-∞，B ．[)2，+∞C ．[]24-，D ．[]14， 9．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2018 B ．2019 C ．4036D ．403810．下列表示正确的个数是（ ） （１）{}{}2100;(2)1,2;(3){(,)}3,435x y x y x y +=⎧∉∅∅⊆=⎨-=⎩；（４）若A B ⊆则A B A =A ．０B ．１C ．２D ．３11．集合{}*|421A x x N =--∈，则A 的真子集个数是（ ）A ．63B ．127C ．255D ．51112．对于非空实数集A ，定义{|A z *=对任意},x A z x ∈≥．设非空实数集(],1C D ≠⊆⊂-∞．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必有D C **⊆；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必有C D *≠∅；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必有CD *=∅；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必存在常数a ，使得对任意的b C *∈，恒有a b D *+∈．以上命题正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为________14．某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费P (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成反比，而每月库存货物的运费K (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成正比.如果在距停车库18公里处建仓库，这两项费用P 和K 分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x = ________ 公里.15．已知0x >且1x ≠，0y >且1y ≠，方程组58log log 4log 5log 81xy x y +=⎧⎨-=⎩的解为11x x y y =⎧⎨=⎩或22x x y y =⎧⎨=⎩，则()1212lg x x y y =________. 16．已知12512.51000x y ==，则11x y＝_____.17．已知函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=-，若()113f =- ，则()2019f = _________.18．已知集合{1,A B ==2，3}，f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种.19．已知集合A ={x |x ≥2}，B ={x ||x ﹣m |≤1}，若A ∩B =B ，则实数m 的取值范围是______．20．关于x 的不等式组10ax x a <⎧⎨-<⎩的解集不是空集，则实数a 的取值范围是_____.三、解答题21．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图①的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图②的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式()f t ；写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式()g t ；（Ⅱ）若记市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg ，时间单位：天）． 22．按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满12h h现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙 (1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； (2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由． 23．已知函数()11x af x e =++为奇函数. （1）求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数；（2）求不等式()()2230f t f t +-≤的解集.24．（1）求满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合；（2）求函数235()log (45)f x x x =--的单调递减区间. 25．已知函数()2112f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠. （1）设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；（2）设0m n <<且0a > 时，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值；（3）若1≥x 时不等式()22a f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.26．设集合(){lg 1A x y x ==-，{}230B x x x a =-+=.（1）若2a =时，求AB ；（2）若A B A ⋃=，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】可设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将(5,5)-代入可得n ，可得抛物线的方程，再令3.5x =，求得y ，计算70.5y --，可得所求值．【详解】解：如右图，设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将点(5,5)-代入抛物线的方程可得，255n =-，解得5n =-， 即抛物线的方程为25x y =-，令 3.5x =，可得23.55y =-，解得 2.45y =-，则通过隧道的车辆限制高度为7 2.450.5 4.05--=（米)． 故选：D ．【点睛】利用坐标法思想，建立适当的直角坐标系，得到抛物线的方程，从而解决问题.2．D解析：D 【分析】由“界点”定义可知，存在“界点”要求函数至少有2个零点．通过对四个函数零点个数的判断，得到最终结果． 【详解】A 选项：令3n an n b a =，即22x x =，根据2x y =与2y x =图像如图所示：可知当0x >时，有2x =与4x =两个交点 当0x <时，有1个交点因此两函数共有3个交点，故()f x 必有“界点”；B 选项：令220x bx +-=，可知280b ∆=+>，方程恒有2个不等式根，即()f x 必有2个零点，故()f x 必有“界点”；C 选项：令120x --=，解得3x =或1x =，即()f x 有2个零点，故()f x 必有“界点”；D 选项：令sin 0x x -=，令()sin g x x x =-，则()1cos g x x =-'又cos 1≤x ，所以()0g x '≥()g x ∴在(),-∞+∞上单调递增又()00g =，即()g x 只有0x =一个零点，故()f x 不存在“界点”． 本题正确选项：D 【点睛】本题属于新定义问题，考查转化化归的数学思想．解题关键在于明确“界点”的定义，从而转化为零点个数问题．3．B解析：B 【分析】把已知数据代入公式计算12E E ． 【详解】由题意211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-，12lg 0.1E E =, ∴0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈． 故选：B ． 【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．4．C解析：C 【分析】由()00f <求得01a <<，求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的单调递增区间. 【详解】由题意可得()0log 30log 1a a f =<=，01a ∴<<.对于函数()()2log 23a f x x x =--+，2230x x --+>，可得2230x x +-<，解得31x -<<.所以，函数()f x 的定义域为()3,1-.由于内层函数223u x x =--+在区间(]3,1--单调递增，在区间[)1,1-单调递减. 外层函数log a y u =单调递减，由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[)1,1-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 5．B解析：B 【分析】根据()3x f x -为定值，可假设()3x f x m =+，然后计算()()f x f x +-，并计算m 的值，然后使用基本不等式，可得结果. 【详解】由题可知：()3x f x -为定值故设()3x f x m -=，即()3x f x m =+ 又[()3]4x f f x -=，所以()341m f m m m =+=⇒= 则()31x f x =+()()3131x x f x f x -+-=+++则1()()32243x x f x f x +-=++≥=当且仅当133xx=时，取等号 所以()()f x f x +-的最小值为：4故选：B 【点睛】本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于()3x f x -为定值，审清题意，细心计算，属中档题.6．B【分析】先分析函数的定义域，然后根据定义域以及复合函数的单调性判断方法确定出()f x 的单调递减区间. 【详解】因为240x ->，所以定义域为()()(),22,22,-∞--+∞，令()24u x x =-，13log y u =在()0,∞+上单调递减，当(),2x ∈-∞-时，()u x 单调递减，所以()f x 单调递增； 当(]2,0x ∈-时，()u x 单调递增，所以()f x 单调递减； 当()0,2x ∈时，()u x 单调递减，所以()f x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()u x 单调递增，所以()f x 单调递减； 综上可知：()f x 的单调递减区间为(]2,0-和()2,+∞. 故选：B. 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调区间的求解，难度一般.分析复合函数的单调性，注意利用判断的口诀“同增异减”，当内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数，当内外层函数单调性相反时，整个函数为减函数.7．D解析：D 【分析】首先根据函数(1)f x +为偶函数，得到(1)(1)f x f x +=-+，所以有(2)(4)f f -=，结合题中所给的函数解析式，代入求得结果. 【详解】∵函数(1)f x +为偶函数，所以图象关于y 轴对称，即(1)(1)f x f x +=-+， 构造(2)(31)(31)(4)f f f f -=-+=+=，而40>， 所以23(4)4+4=16(14)80f =⨯+=. 故选：D. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题思路如下： （1）根据函数(1)f x +为偶函数，得到(1)(1)f x f x +=-+； （2）根据(1)(1)f x f x +=-+，得到(2)(4)f f -=； （3）结合当0x >时，23()f x x x =+，将4x =代入求得结果.8．C【分析】根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f （3）1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-（3）(|1|)f x f ⇒-（3）|1|3x ⇒-， 解之可得24x -， 故不等式的解集为[2-，4]． 故选：C ． 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.9．A解析：A 【分析】根据函数解析式可验证出()()12f x f x +-=，采用倒序相加法可求得结果. 【详解】()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，()()12f x f x ∴+-=，令122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则201712019201922018019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相加得：222018S =⨯，2018S ∴=.故选：A . 【点睛】本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定()()1f x f x +-为常数.10．D解析：D 【解析】选项（1）中元素与空集的关系是不属于，正确；（2）空集是非空集的子集正确；（3）集合前后不相等，一个是方程的根构成的集合，有一个元素，一个是两个实数构成的集合，故不正确；（4）根据集合子集的意义知若A B ⊆则A B A =正确.11．B解析：B 【分析】先求得{}*|421A x x N =--∈的元素个数,再求真子集个数即可.【详解】由{}*|421A x x N =--∈,则421x --为正整数.则21x -可能的取值为0,1,2,3, 故210,1,2,3x -=±±±,故x 共7个解.即{}*|421A x x N =--∈的元素个数为7故A 的真子集个数为721127-= 故选：B 【点睛】本题主要考查集合中元素个数的求解与知识点：元素个数为n 的集合的真子集有21n -个. 属于基础题型.12．B解析：B 【分析】根据题干新定义{|A z *=对任意},x A z x ∈≥，通过分析举例即可判断。

2020-2021学年高中数学新教材人教版必修一期末复习题目

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18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|－1<x≤5}，U＝R.(1)求A∩B，A∪B；(2)求(∁R A)∩B.19.(本小题满分12分)设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若A＝{x∈Z|－2≤x≤5}，求A的非空真子集的个数；(2)若A∩B＝B，求实数m的取值范围．20．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax ＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．21．(本小题满分12分)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．22．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．(1)若－1∈B，求a的值；(2)若B⊆A，求a的值．16.已知集合A={x|1<x<3},B={x|-1<x<m+2},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是m≥1.解析:因为x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,所以A⫋B,所以m+2≥3,所以m≥1.四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;(2)对任意非零实数x1,x2,若x1<x2,则>;(3)对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(4)∃x∈R,使得x2+1=0.解:(1)存在量词命题.因为99既能被11整除,又能被9整除,所以是真命题.(2)全称量词命题.存在x1=-1,x2=1,x1<x2,但<,所以是假命题.(3)全称量词命题.因为存在x=0使x2+x+1=0不成立,故是假命题.(4)存在量词命题.因为对任意x∈R,x2+1>0,所以是假命题.18.(12分)已知命题p:3a<m<4a(a>0),命题q:1<m<,且q是p 的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解:因为q是p的必要不充分条件,所以p⇒q,q⇒/p,从而有或解得≤a≤.所以实数a的取值范围是≤a≤.19.(12分)设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.(1)若a=,试判断集合A与B的关系;(2)若B⊆A,求实数a的值.解:(1)A={3,5},当a=时,由已知可得B={5},所以B是A的真子集.(2)当B=⌀时,满足B⊆A,此时a=0;当B≠⌀时,集合B=,又因为B⊆A,所以=3或=5,解得a=或a=.综上,a的值为0或或.20.(12分)已知集合A={x|1<x<6},B={x|2<x<10},C={x|5-a<x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若C⊆B,求实数a的取值范围.解:(1)因为A={x|1<x<6},B={x|2<x<10},所以A∪B={x|1<x<10},∁R A={x|x≤1,或x≥6},所以(∁R A)∩B={x|6≤x<10}.(2)因为C⊆B,①当C=⌀时,满足题意,此时有5-a≥a,所以a≤;②当C≠⌀时,则有解得<a≤3.所以a的取值范围是a≤3.21.(12分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多只有一个元素,求a的取值范围.解:(1)若A是空集,则方程ax2-3x+2=0无解,此时Δ=9-8a<0,即a>.(2)若A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0有且只有一个实根,当a=0时方程为一元一次方程,满足条件.当a≠0,此时Δ=9-8a=0,解得:a=.所以a=0或a=.若a=0,则有A=,若a=,则有A=.(3)若A中至多只有一个元素,则A为空集,或有且只有一个元素.由(1),(2)得满足条件的a的取值范围是a=0或a≥.22.(12分)设全集是实数集R,集合A=x≤x≤2,B={x|x-a<0}.(1)当a=1时,分别求A∩B与A∪B;(2)若A⊆B,求实数a的取值范围;(3)若(∁R A)∩B=B,求实数a的最大值.解:(1)当a=1时,B={x|x<1},所以A∩B=,A∪B={x|x≤2}.(2)因为A⊆B,所以a>2,所以实数a的取值范围为a>2.(3)因为(∁R A)∩B=B,所以B⊆∁R A.又因为∁R A=,所以a≤,所以实数a的最大值为.2020-2021学年高中数学新教材人教版必修一 第一章集合与常用逻辑用语 单元测试1．解析：A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |0≤x <2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选C.答案：C2．解析：由题意得，B ＝{1,4,7,10}，所以A ∩B ＝{1,4}． 答案：D 3．解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得命题“∃x 0∈(0，＋∞)，x 20＋1≤2x 0”的否定为“∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>2x ”，故选A.答案：A4．解析：联立A 与B 中方程得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，y ＝x ＋4，消去y 得：3x －2＝x ＋4，解得：x ＝3， 把x ＝3代入得：y ＝9－2＝7，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝7，∵A ＝{(x ，y )|y ＝3x －2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋4}， ∴A ∩B ＝{(3,7)}，故选B. 答案：B5．解析：全集U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{0,2}，则A ＝{1,3}，故集合A 的真子集共有22－1＝3个．故选A.答案：A6．解析：∵x >1，∴x 3>1.又x 3－1>0，即(x －1)(x 2＋x ＋1)>0，解得x >1，∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件，故选C.答案：C7．解析：由P ∪M ＝P ，可知M ⊆P ，即a ∈P ，因为集合P ＝{x |－1≤x ≤1}，所以－1≤a ≤1.答案：C8．解析：∵b a 为分式，∴a ≠0，∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，∴b a ＝0，即b ＝0，∴{a,0,1}＝{a 2，a,0}，∴当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝a时，a ＝－1或a ＝1，当a ＝1时，即得集合{1,0,1}，不符合元素的互异性，故舍去，当a ＝－1时，即得集合{－1,0,1}，满足．当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1a 2＝a时，a ＝1，即得集合{1,0,1}，不符合元素的互异性，故舍去，综上，a ＝－1, b ＝0.∴a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1，故选C. 答案：C9．解析：10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}，故A 正确；由集合中元素的无序性知{1,2,3}和{3,1,2}表示同一集合，故B 正确；方程x 2－2x ＋1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C 错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D 错误．故选CD.答案：CD10．解析：∵A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{2,0,1,8}，C ＝{1,9,3,8}， ∴B ∩C ＝{1,8}∴A ⊆(B ∩C )⇒A ⊆(1,8)，故选AC. 答案：AC 11．解析：根据venn 图，可直接得出结果．由venn 图可知，ABCD 都是充要条件．故选ABCD. 答案：ABCD 12．解析：A 中，－1∈B,1∈B ，但是－1－1＝－2∉B ，B 不是“完美集”，故A 说法不正确；B 中，有理数集满足“完美集”的定义，故B 说法正确；C 中，0∈A ，x 、y ∈A ，∴0－y ＝－y ∈A ，那么x －(－y )＝x ＋y ∈A ，故C 说法正确；D 中，对任意一个“完美集”A ，任取x 、y ∈A ，若x 、y 中有0或1时，显然xy ∈A ，若x 、y 均不为0、1，而1xy ＝12xy ＋12xy ＝1(x ＋y )2－x 2－y 2＋1(x ＋y )2－x 2－y 2，x 、x －1∈A ，那么1x －1－1x ＝1x (x －1)∈A ，∴x (x －1)∈A ， 进而x (x －1)＋x ＝x 2∈A .同理，y 2∈A ，则x 2＋y 2∈A ，(x ＋y )2∈A ，∴2xy ＝(x ＋y )2－(x 2＋y 2)∈A .∴1(x ＋y )2－x 2－y 2∈A ，结合前面的算式，知xy ∈A ，故D 说法正确；故选：BCD. 答案：BCD13．解析：因为A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >0}，所以A ∩B ＝{x |0<x <2}，(∁R B )∪A ＝{x |x <2}．答案：{x |0<x <2} {x |x <2} 14．答案：必要不充分15．解析：因为集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，且3∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2＝3，2m 2＋m ≠3，或⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m ＝3，m ＋2≠3.解得m ＝－32. 答案：－3216．解析：由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，当N ＝∅时，2t ＋1≤2－t ，即t ≤13，此时M ∪N ＝M 成立． 当N ≠∅时，由下图可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t <2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13<t ≤2.综上可知，实数t 的取值范围是{t |t ≤2}． 答案：{t |t ≤2}17．解析：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，綈p ：存在一个x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立，即“∃x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立”；(2)由于“∃x ∈R ”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，綈p ：对任意一个x 都有x 2＋2x ＋5≤0，即“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0”．18．解析：(1)由题意，集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |－1<x ≤5}， 所以A ∩B ＝{x |－1<x <4}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤5}．(2)由题意，可得∁R A ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，所以(∁R A )∩B ＝{x |4≤x ≤5}．19．解析：(1)∵A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴A 的非空真子集有28－2＝254(个)．(2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，∴m <2；当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.综上可知，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．20．解析：∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12.综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12. 21．解析：x 2－x －2>0的解集是{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0得x <－p 4.要想使x <－p 4时，x >2或x <－1成立，必须有－p 4≤－1，即p ≥4.所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．22．解析：(1)由题意，因为－1∈B ，即x ＝－1是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的根，可得1－2(a ＋1)＋a 2－1＝0，即a 2－2a －2＝0，解得a ＝1±3；(2)由题意，集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，因为B ⊆A ，可得①当B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1；②当B ＝{0}或{－4}时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{x |x 2＝0}＝{0}满足题意；③当B ＝{0，－4}时，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2(a ＋1)＝－4a 2－1＝0，解得a ＝1， 综上可得，a ＝1或a ≤－1.。

精品 高中数学 必修1 期末复习综合测试题题典

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必修一 期末复习题练习01 高一数学必修1期末测试题一、选择题：1.设全集U=R ，A={x|x ＞0}，B={x|x ＞1}，则A ∩U B=( )．A ．{x|0≤x ＜1}B ．{x|0＜x ≤1}C ．{x|x ＜0}D ．{x|x ＞1}2.下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是( )．A B C D3.已知函数 f(x)=x 2＋1，那么f(a ＋1)的值为( )．A ．a 2＋a ＋2B ．a 2＋1C ．a 2＋2a ＋2D ．a 2＋2a ＋1 4.下列等式成立的是( )．A.log 2(8-4)=log 2 8-log 2 4B.4log 8log 22=48log 2C.log 2 23=3log 2 2 D.log 2(8+4)=log 2 8+log 2 45.下列四组函数中，表示同一函数的是( )．A ．f(x)=|x|，g(x)=2xB ．f(x)=lg x 2，g(x)=2lg xC ．f(x)=1－1－2x x ，g(x)=x ＋1 D ．f(x)=1＋x ·1－x ，g(x)=1－2x6.幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( ).A.一定经过点(0，0)B.一定经过点(1，1)C.一定经过点(－1，1)D.一定经过点(1，-1) 7．国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km 的某地，他应付的邮资是( ).A.5.00元B.6.00元C.7.00元D.8.00元8.方程2x＝2－x 的根所在区间是( ).A.(－1，0)B.(2，3)C.(1，2)D.(0，1)9.若log 2 a ＜0，b⎪⎭⎫ ⎝⎛21＞1，则( ). A.a ＞1，b ＞0 B.a ＞1，b ＜0 C.0＜a ＜1，b ＞0 D.0＜a ＜1，b ＜010.函数y=x 416－的值域是( ).A.[0，＋∞)B.[0，4]C.[0，4)D.(0，4)11.下列函数f(x)中，满足“对任意x 1，x 2∈(0,＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f(x 1)＞f(x 2)的是( ).A.f(x)=x1B.f(x)=(x －1)2C.f(x)=e xD.f(x)=ln(x ＋1)12.奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，若f(－1)＝0，则不等式f(x)＜0的解集是( ).A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞) 13.已知函数f(x)=⎩⎨⎧0≤ 30log 2x x f x x )，＋(＞，，则f(-10)的值是( ).A ．-2B ．-1C ．0D ．114.已知x 0是函数f(x)=2x＋x－11的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则有( ). A.f(x 1)<0，f(x 2)<0 B.f(x 1)<0，f(x 2)>0 C.f(x 1)>0，f(x 2)<0 D.f(x 1)>0，f(x 2)>0 二、填空题：15.A={x|－2≤x ≤5}，B={x|x ＞a}，若A ⊆B ，则a 取值范围是 ． 16.若f(x)=(a-2)x 2＋(a-1)x ＋3是偶函数，则函数f(x)的增区间是 ． 17.函数y=2－log 2x 的定义域是 ． 18.求满足8241－x ⎪⎭⎫⎝⎛＞x －24的x 的取值集合是 ．三、解答题：19.已知函数f(x)=lg(3+x)+lg(3-x)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．20.已知函数f(x)＝2|x ＋1|＋ax(x ∈R )．(1)证明：当 a ＞2时，f(x)在 R 上是增函数． (2)若函数f(x)存在两个零点，求a 的取值范围．21.某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案1．B 解析：U B={x|x ≤1}，因此A ∩U B ＝{x|0＜x ≤1}．2．C 3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D9．D 解析：由log 2 a ＜0，得0＜a ＜1，由b⎪⎭⎫⎝⎛21＞1，得b ＜0，所以选D 项．10．C 解析：∵ 4x＞0，∴0≤16-4x＜16，∴x 416－∈[0，4)．11．A 解析：依题意可得函数应在(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A 正确． 12．A 13．D 14．B 解析：当x=x 1从1的右侧足够接近1时,x－11是一个绝对值很大的负数，从而保证f(x 1)<0；当x=x 2足够大时,x－11可以是一个接近0的负数，从而保证f(x 2)>0．故正确选项是B ． 15．参考答案：(-∞，-2)． 16．参考答案：(-∞，0)．17．参考答案：[4，＋∞)． 18．参考答案：(-8，＋∞)．19．参考答案：(1)由⎩⎨⎧0303＞－＞＋x x ，得－3＜x ＜3，∴ 函数f(x)的定义域为(－3，3)．(2)函数f(x)是偶函数，理由如下：由(1)知，函数f(x)的定义域关于原点对称， 且f(-x)=lg(3-x)+lg(3＋x)=f(x)， ∴ 函数f(x)为偶函数．20．参考答案：(1)证明：化简f(x)=⎩⎨⎧1221 ≥22＜－，－)－(－，＋)＋(x x a x x a 因为a ＞2，所以，y 1=(a+2)x+2 (x ≥－1)是增函数，且y 1≥f(-1)=-a ；另外，y 2=(a-2)x-2 (x ＜－1)也是增函数，且y 2＜f(-1)=-a ． 所以，当a ＞2时，函数f(x)在R 上是增函数．(2)若函数f(x)存在两个零点，则函数f(x)在R 上不单调，且点(－1，－a)在x 轴下方，所以a 的取值应满足⎩⎨⎧0022＜－)＜－)(＋(a a a 解得a 的取值范围是(0，2)．21．参考答案：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为500003600 3－=12，所以这时租出了100-12=88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f(x)=⎪⎭⎫ ⎝⎛50000 3100－－x (x-150)-50000 3－x ×50=-501(x-4 050)2+307050．所以,当x=4050时,f(x)最大，其最大值为f(4 050)=307 050．当每辆车的月租金定为4 050元时，月收益最大，其值为307 050元．练习02 高一年级必修1考核试卷一、选择题:1.已知U 为全集，集合P ⊆Q ，则下列各式中不成立．．．的是（ ） A.P ∩Q=P B.P ∪Q=Q C.P ∩(ðU Q) =∅ D.Q ∩(ðU P)=∅ 2.函数()lg(31)f x x =-的定义域为（ ）A.RB.1(,)3-∞ C.1[,)3+∞ D.1(,)3+∞3.如果二次函数21y ax bx =++的图象的对称轴是1x =，并且通过点(1,7)A -，则（ ） A.a=2，b=4 B.a=2，b=-4 C.a=-2，b= 4 D.a=-2，b=-44.函数||2x y =的大致图象是 （ ）5.如果(01)a b a a =>≠且，则（ ）A.2log 1a b = B.1log 2ab = C.12log a b = D.12log b a = 6.已知定义在R 上的函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f (x)一定存在零点的区间是（ ）A.(－∞，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，+∞) 7.下列说法中，正确的是 （ ）A.对任意x ∈R ，都有3x＞2x； B.y=(3)－x是R 上的增函数；C.若x ∈R 且0x ≠，则222log 2log x x =；D.在同一坐标系中，y=2x与2log y x =的图象关于直线y x =对称.8.如果函数2(1)2y x a x =+-+在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≥9 B ．a ≤－3 C ．a ≥5 D ．a ≤－7 二、填空题:9.已知函数()y f n =，满足(1)2f =，且(1)3()f n f n n ++=∈，N ，则 (3)f 的值为________.10.计算3log 23612432lg3100⋅⋅-＋的值为______________. 11.若奇函数f(x)在(,0)-∞上是增函数，且f(-1)=0，则使得f(x)>0的x 取值范围是_________.12．函数23()log (210)f x x x =-+的值域为______________.13．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a ，则通过3块玻璃板后的强度变为________________.14．数学老师给出一个函数()f x ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质 甲：在(,0]-∞上函数单调递减； 乙：在[0,)+∞上函数单调递增； 丙：在定义域R 上函数的图象关于直线x=1对称； 丁：(0)f 不是函数的最小值.老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确. 那么，你认为_________说的是错误的. 三、解答题:15.已知函数21()1f x x =-.（1）设f(x)的定义域为A ，求集合A ；（2）判断函数f(x)在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明.16.有一个自来水厂，蓄水池有水450吨. 水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t 小时内供水量为1605t 吨. 现在开始向池中注水并同时向居民供水. 问多少小时后蓄水池中水量最少?并求出最少水量。

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【新教材】2020新人教版A高中数学必修第一册期末复习高中数学必修第3章测试卷

第三章 函数的概念与性质考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝x 2＋1的值域是( B ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)[解析] 由题意知，函数y ＝x 2＋1的定义域为R ，则x 2＋1≥1，∴y ≥1. 2．已知f (12x －1)＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( B )A ．－74B ．74C ．43D ．－43[解析] 设12x －1＝t ，则x ＝2t ＋2，t ∈R ，∴f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，∴f (x )＝4x －1.由f (a )＝6得4a －1＝6，即a ＝74.3．(2019·山东烟台高一期中测试)已知函数y ＝f (x )的部分x 与y 的对应关系如下表：则f [f (4)]A ．－1 B ．－2 C ．－3D ．3[解析] 由图表可知，f (4)＝－3，∴f [f (4)]＝f (－3)＝3.4．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，12)，则函数g (x )＝(x －2)f (x )在区间[12，1]上的最小值是( C )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4[解析] 由已知得2α＝12，解得α＝－1，∴g (x )＝x －2x ＝1－2x 在区间[12，1]上单调递增，则g (x )min ＝g (12)＝－3，故选C ．5．(2019·吉林榆树一中高一期中测试)已知函数f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值是( B ) A ．－2B ．6C．1 D．0[解析]解法一：令x－1＝2，则x＝3，∴f(2)＝32－3＝6.解法二：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2－3＝t2＋2t－2，∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.6．(2019·吉林乾安七中高一期测试)已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋m2－7m＋12为偶函数，则m的值是(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由题意得m－2＝0，∴m＝2.7．“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1和s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，s为路程，则下列图象中与故事情节相吻合的是(D)[解析]根据题意：s1是匀速运动，路程一直在增加，s2有三个阶段：开始是路程增加，中间睡觉，路程不变；醒来时发现乌龟快到终点了急忙追赶，路程增加；但是乌龟还是先到终点，即s1在s2上方，故选D．8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)且在区间[0,2]上是增函数，则(D)A．f(－1)<f(3)<f(4) B．f(4)<f(3)<f(－1)C．f(3)<f(4)<f(－1) D．f(－1)<f(4)<f(3)[解析]因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(4)＝－f(0)＝0，又f(x)＝－f(－x)且f(x－4)＝－f(x)，所以f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)，即f (1)>0，所以f (－1)＝－f (1)<0，f (3)＝f (1)>0，可得f (－1)<f (4)<f (3)，故选D ． 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．下列幂函数中，其图象过点(0,0)，(1,1)，且为偶函数的是( BD )A ．y ＝x 12B ．y ＝x 2C ．y ＝x－14D ．y ＝x 4[解析] 由题设知该幂函数为偶函数，且幂指数大于0，故选BD ．10．若奇函数f (x )在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[－7，－3]上( AB ) A ．是增函数 B ．最大值是－1 C ．是减函数D ．最小值是－1[解析] ∵奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数．∴y ＝f (x )在[－7，－3]上有最大值－1且为增函数．故选AB ．11．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )(若f (x )≥g (x ))f (x )(若f (x )<g (x ))，则F (x )( BC )A ．最小值－1B ．最大值为7－27C ．无最小值D ．无最大值[解析] 作出F (x )的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选BC ．12．已知f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f (x )是增函数的是( CD )A ．对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )B ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≥x 2，都有f (x 1)≥f (x 2)C ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0D ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0[解析] 根据题意，依次分析选项：对于选项A ，对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B ，当f (x )为常数函数时，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，都有f (x 1)＝f (x 2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0，符合题意；对于选项D ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，设x 1>x 2，若f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，必有f (x 1)－f (x 2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 13．(2019·陕西黄陵中学高一期末测试)函数f (x )＝4－2x ＋1x ＋1的定义域是__{x |x ≤2且x ≠－1}__.[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ≥0x ＋1≠0，解得x ≤2且x ≠－1，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤2且x ≠－1}．14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f (－43)＋f (43)等于__4__.[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，∴f (－43)＝f (－43＋1)＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝23×2＝43，f (43)＝2×43＝83，∴f (－43)＋f (43)＝43＋83＝4.15．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9,3)，则f (12)＝2，函数f (1x －1)的定义域为__(0,1]__.[解析] 幂函数f (x )的图象经过点(9,3)，所以3＝9α，所以α＝12，所以幂函数f (x )＝x ，故f (12)＝22，故1x－1≥0，解得0<x ≤1.16．设α∈{1,2,3，－1}，则使y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α的值为__1或3__.[解析] 当α＝1时，y ＝x 为奇函数，且在R 上单调递增，满足题意；当α＝2时，y ＝x 2为偶函数不满足题意；当α＝3时，y ＝x 3为奇函数，且在R 上单调递增，满足题意；当α＝－1时，y ＝1x为奇函数，但在(0，＋∞)上单调递减，不满足题意．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax ＋b ，且f (1)＝2，f (2)＝－1. (1)求f (m ＋1)的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明．[解析] (1)由f (1)＝2，f (2)＝－1，得a ＋b ＝2,2a ＋b ＝－1，即a ＝－3，b ＝5，故f (x )＝－3x ＋5，f (m ＋1)＝－3(m ＋1)＋5＝－3m ＋2.(2)f (x )在R 上是减函数．证明：任取x 1<x 2(x 1，x 2∈R )，则f (x 2)－f (x 1)＝(－3x 2＋5)－(－3x 1＋5)＝3x 1－3x 2＝3(x 1－x 2)，因为x 1<x 2，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即函数f (x )在R 上单调递减． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)． (1)若a >0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(0,1]上单调递减，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当a >0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3a ，即函数f (x )的定义域是(－∞，3a ]．(2)当a －1>0，即a >1时，要使f (x )在(0,1]上单调递减，则需3－a ×1≥0，此时1<a ≤3. 当a －1<0，即a <1时，要使f (x )在(0,1]上单调递减，则需－a >0，且3－a ×1≥0，此时a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．19．(本小题满分12分)某商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30(t ∈N *)．设商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大时是第几天．[解析] 设日销售金额为y 元，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800(0<t <25，t ∈N *)，t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30，t ∈N *). 当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900.①当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125.②结合①②得y max ＝1 125.因此这种商品日销售金额的最大值为1 125元，且在第25天日销售金额最大．20．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围．[解析] (1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )关于直线x ＝1对称，又函数f (x )的最小值为1， 故可设f (x )＝a (x －1)2＋1，由f (0)＝3，得a ＝2. 故f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)要使函数不单调，则2a <1<a ＋1， 则0<a <12.故实数a 的取值范围(0，12)．21．(本小题满分12分)如果函数y ＝f (x )(x ∈D )满足： ①f (x )在D 上是单调函数；②存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使f (x )在区间[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]． 那么就称函数y ＝f (x )为闭函数．试判断函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是否为闭函数．如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a ，b ]；如果不是闭函数，请说明理由．[解析] 设x 1，x 2是[－1，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且－1≤x 1<x 2，则有f (x 2)－f (x 1)＝(x 22＋2x 2)－(x 21＋2x 1)＝(x 22－x 21)＋2(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)． ∵－1≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋x 2＋2>0. ∴(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)>0. ∴f (x 2)>f (x 1)．∴函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是增函数． 假设存在符合条件的区间[a ，b ]，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝a f (b )＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＝ab 2＋2b ＝b. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1.又∵－1≤a <b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0.∴函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是闭函数，符合条件的区间是[－1,0]．22．(本小题满分12分)已知函数y ＝x ＋tx 有如下性质：如果常数t >0，那么该函数在(0，t )上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数．(1)已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的值．[解析] (1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8，设u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，∴1≤u ≤3，则y ＝u ＋4u －8，u ∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )单调递减，所以单调减区间为[0，12]；当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )单调递增，所以单调增区间为[12，1]；由f (0)＝－3，f (12)＝－4，f (1)＝－113，得f (x )的值域为[－4，－3]．(2)g (x )＝－x －2a 为减函数，故g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0,1]．由题意知，f (x )的值域是g (x )的值域的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a ≤－4，－2a ≥－3，∴a ＝32.。

最新高中数学必修一期末试题含答案

最新高中数学必修一期末试题含答案

一、选择题1．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A ．80,11⎛⎫⎪⎝⎭B ．110,8⎛⎫⎪⎝⎭C ．80,19⎛⎫⎪⎝⎭D ．190,8⎛⎫⎪⎝⎭2．已知函数给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.其中，所有正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（ ） A ．25B ．35C ．42D ．504．函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为（ ）.A ．(0,+∞)B ．(-,0)C ．(2,+∞)D ．(-,-2)5．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3 6．实数,a b 满足2510a b ==，则下列关系正确的是（ ）A ．212a b+= B ．111a b+= C ．122a b+= D ．1212a b += 7．已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+．设()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =（其中{}max ,p q 表示p ，q中较大值，{}min ,p q 表示p ，q 中较小值），记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=（ ） A ．16-B ．16C ．8aD ．816a -8．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，22()f x x a a =--，若对任意实数x 有()()f x a f x -≤成立，则正数a 的取值范围为（ ） A ．)1,4⎡+∞⎢⎣B ．)1,2⎡+∞⎢⎣C ．(10,4⎤⎥⎦D ．(10,2⎤⎥⎦9．已知函数()2f x x ax b =-+-（a ，b 为实数）在区间[]22-,上最大值为M ，最小值为m ，则M m -（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，但与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关10．由实数x ，﹣x ，|x | ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．若{}|28A x Z x =∈≤<，{}5|log 1B x R x =∈<，则R A C B ⋂的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．在整数集Z 中,被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[]k ,即[]{5|}k n k n Z =+∈,0,1,2,3,4k =;给出四个结论:（1）2015[0]∈;（2）3[3]-∈;（3）[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃;（4）“整数,a b ”属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22xg x =-，若满足x R ∀∈，()0f x <和()0g x <至少有一个成立，则m 的取值范围是______．14．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为________15．已知函数()1122,121,1x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则关于x 的不等式()()10f x f x -+≤的解集为___________________．16．定义{},,max ,,x x y x y y x y≥⎧=⎨<⎩，设{}()max ,log xa f x a a x=--(),1x R a +∈>.则不等式()2f x ≥的解集是_____________.17．已知函数()1f x x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若[]11,2x ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是______.18．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()0)(f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”．0x 是它的一个均值点，若函数()2f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是___________．19．若集合{}2210,A x ax x a R =++=∈至多有一个元素，则a 的取值范围是___________．20．已知集合{}1,2,3,4,5P =，若,A B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(,)A B 的个数为____．三、解答题21．某市出租汽车的收费标准如下：在3km 以内（含3km ）的路程统一按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km ；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为20km 时，折旧费为0.1元.现设一次载客的路程为x km. （1）试将出租汽车一次载客的收费F 与成本C 分别表示为x 的函数；（2）若一次载客的路程不少于2km ，则当x 取何值时，该市出租汽车一次载客每千米的收益y 取得最大值？（每千米收益计算公式为)F Cy x-=22．已知函数()()22()1,20f x ax x g x x bx x =-+=+->，()()()5101x h x f x x x -=-<-． （1）()()1,3,0x f x ∀∈>恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，若函数()g x 的图象上存在,A B 两个不同的点与()h x 图象上的'',A B 两点关于y 轴对称，求实数b 的取值范围．23．已知函数()()()ln 1ln 1f x x k x =++-，0k ≠. （1）当()f x 分别为奇函数和偶函数时，求k 的值；（2）若()f x 为奇函数，证明：对任意的m 、()1,1n ∈-，()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+=⎪+⎝⎭.24．已知函数()442xx f x =+；（1）若01a <<，求()()1f a f a +-的值； （2）求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 25．设函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且对任意的正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已知(2)1f =，且1x >时，()0f x >．（1）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）判断()y f x =在(0,)+∞上的单调性，并给出你的证明；（3）解不等式2()(86)1f x f x >--．26．已知集合A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，集合1228xB x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭. (1)求AB ；(2)若集合{}21C x a x a =≤≤+，且()A B C ⋂⊇，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先由条件①②，得到函数()f x 是周期为4的周期函数；根据③求出函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，根据④得到()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象，结合图象，即可求出结果. 【详解】因为函数()f x 是偶函数，由()()220f x f x +--=得()()()222f x f x f x +=-=-，即()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数；若[]2,0x ∈-，则[]0,2x ∈；因为当[]0,2x ∈时，()f x x =， 所以[]0,2x -∈时，()f x x -=-，因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x x f x -=-=， 即()f x x =-，[]2,0x ∈-，则函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，因为()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，所以函数()()()48f x f x =，*n N ∈，故()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象如图：易知过()1,0M -的直线l 斜率存在，设过点()1,0-的直线l 的方程为()1y k x =+， 则要使直线l 与()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则0MA k k <<，因为7,24A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以20871114MA k -==+，故8011k <<. 故选：A.【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到()()4f x 的图象，再由函数交点个数，利用数形结合的方法，即可求解.2．C解析：C 【分析】①画出函数的图象，直接判断函数的单调性；②分0,0,0a a a >=<三种情况讨论函数的图象，分析函数是否有最小值，得到实数a 的取值范围；③首先令()f x b =，解出三个零点，进而判断结论. 【详解】①当2a =-时，()21,0ln ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，画出函数的图象，如下图，由图象可知当(),0x ∈-∞时，函数单调递减，当()0,1x ∈时函数单调递减，但函数在(),1-∞时，函数并不单调递减，故①不正确；②当0a >时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递增，并且当x →-∞时，y →-∞，所以函数没有最小值；当0a =时，()1,0ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，ln 0x ≥，函数的最小值是0；当0a <时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递减，函数的最小值是1，当0x >时，ln 0x ≥，ln y x =的最小值是0，综上可知函数的最小值是0，综上，若函数没有最小值，只需满足0a >，故②正确；对于③，令()f x b =，当0x ≤时，1ax b +=，当0x >时，ln x b =， 不妨设1230x x x ≤<<，110b x a-=≤，2b x e -=，3b x e =， 则231x x =，令111b x a-==-，可得1b a =-， 当0a <时，11b a =->，则三个零点1231x x x =-， 当01a <<时，011b a <=-<，则三个零点1231x x x =-. 综上可知③正确； 故选：C思路点睛：本题考查分段函数，函数性质和函数图象的综合应用，本题的关键是对a 的讨论，画出函数的图象，比较容易判断前两个命题，最后一个命题的关键是解出3个零点，并能判断231x x =，从而只需验证是否11x =-即可.3．C解析：C 【分析】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x ，8月份产量去年同期水平为a ，则21(1)2a x a +=．由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点． 【详解】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x ，8月份产量去年同期水平为a ，则21(1)2a x a +=．解得10.41442%x =≈≈．∴该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点．故选：C ． 【点睛】本题考查百分点的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．D解析：D 【分析】求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，因为函数()f x 是由12log y u =和24u x =-复合而成，而12log y u =在定义域内单调递减，24u x =-在(),2-∞-内单调递减，所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-， 故选：D. 【点睛】易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.5．A解析：A先求得()1f 的值，然后根据()f a 的值，求得a 的值. 【详解】由于()1212f =⨯=，所以()()20,2f a f a +==-，22a =-在()0,∞+上无解，由12a +=-解得3a =-，故选A.【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.6．B解析：B 【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得11lg2,lg5a b==，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】因为2510a b ==，可得25log 10,log 10a b ==，所以11lg2,lg5a b==， 则11lg 2lg5lg101a b +=+==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.7．A解析：A 【分析】根据()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+，由()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =，得到max ()412B g x a ==-+，min ()44A f x a ==--求解.【详解】因为函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+， 所以()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+， 如图所示：当2x a =+时，()()44f x g x a ==--， 当2=-x a 时，()()412f x g x a ==-+， 因为max ()412g x a =-+，所以()()2max ()412H x g x g x a ≤≤=-+， 因为min ()44f x a =--，所以()()1min ()44H x f x f x a ≥≥=--， 所以44,412A a B a =--=-+， 所以16A B -=-， 故选：A 【点睛】方法点睛：(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．8．C解析：C 【分析】由于22()f x x a a =--有绝对值，分情况考虑2x a ≥和2x a <，再由()y f x =是奇函数画出图象，再根据()()f x a f x -≤考虑图象平移结合图形可得答案. 【详解】由题得， 当0x ≥时，22()f x x a a =--，故写成分段函数222222,0(),x a a x a f x x a a x a ⎧-+-≤≤=⎨-->⎩，化简得222,0()2,x x a f x x a x a ⎧-≤≤=⎨->⎩， 又()y f x =为奇函数，故可画出图像：又()f x a -可看出()y f x =往右平移a 个单位可得，若()()f x a f x -≤恒成立，则222(2)a a a ≥--，即24a a ≤，又a 为正数，故解得104a <≤. 故选：C . 【点睛】本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换，图象的平移，属于中档题.9．B解析：B 【解析】函数()2f x x ax b =-+-的图象是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线， ①当22a -＞ 或22a-<-，即4a -＜ ，或4a ＞时， 函数f x （） 在区间[]2,2-上单调， 此时224M m f f a -=--=（）（）， 故M m - 的值与a 有关，与b 无关 ②当022a≤-≤ ，即40a -≤≤ 时， 函数f x （）在区间[2]2a --， 上递增，在[2]2a -， 上递减， 且22f f -<（）（） ， 此时2322424a a M m f f a -=---=--（）（），故M m - 的值与a 有关，与b 无关③当202a-≤-≤，即04a ≤≤时， 函数f x （）在区间[2]2a-，上递减，在[2]2a --，上递增， 且22f f <-（）（）此时222424a a M m f f a -=--=-+（）（），故M m - 的值与a 有关，与b 无关 综上可得M m - 的值与a 有关，与b 无关故选B【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．10．A解析：A 【分析】根据绝对值的定义和开平方、立方的方法,应对x 分0,0,0x x x >=<三种情况分类讨论,根据讨论结果可得答案. 【详解】当0x >时，0x x x ===-<，此时集合共有2个元素，当0x =时，0x x x ====-=，此时集合共有1个元素，当0x <时，0x x -===>，此时集合共有2个元素，综上所述，此集合最多有2个元素. 故选：A . 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断及根式的化简求值,其中解答本题的关键是利用分类讨论思想,对x 分三种情况进行讨论,是基础题.11．D解析：D 【分析】化简集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出RA B ，即可得出结论．【详解】集合{|28}{2A x Z x =∈<=，3，4，5，6，7}，51{||log |1}{|5}5B x R x x R x =∈<=∈<<，1{|5R B x R x ∴=∈或5}x ， {5RAB ∴=，6，7}．∴其中元素个数为3个．故选：D ． 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．12．C解析：C 【分析】根据新定义,对每个选项逐一判断,即可得到答案. 【详解】对于（1）,因为20155403÷=,余数为0,所以2015[0]∈,故（1）正确; 对于（2）,因为()3512-=⨯-+,所以33[]-∉,故（2）错误; 对于（3）,因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类,故[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃,故（3）正确;对于（4）,因为整数,a b 属于同一“类”,所以整数,a b 被5除的余数相同,从而-a b 被5除的余数为0,反之也成立,故“整数,a b ”属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故（4）正确．综上所述,正确的个数为:3个. 故选C ． 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是理解被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”,考查了分析能力和计算能力.二、填空题13．【分析】先判断函数的取值范围然后根据和至少有一个成立则可求得的取值范围【详解】解：当时又或在时恒成立即在时恒成立则二次函数图象开口只能向下且与轴交点都在的左侧即解得实数的取值范围是：故答案为：【点睛 解析：()4,0-【分析】先判断函数()g x 的取值范围，然后根据()0f x <和()0<g x 至少有一个成立．则可求得m 的取值范围.【详解】 解：()22x g x =-，当1x 时，()0g x ，又x R ∀∈，()0f x <或()0<g x ，()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x 时恒成立，即(2)(3)0m x m x m -++<在1x 时恒成立，则二次函数(2)(3)y m x m x m =-++图象开口只能向下，且与x 轴交点都在(1,0)的左侧，∴03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩，即0412m m m ⎧⎪<⎪>-⎨⎪⎪<⎩，解得40m -<<， ∴实数m 的取值范围是：(4,0)-．故答案为：(4,0)-． 【点睛】利用指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x 时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．14．3【分析】根据题意求得的周期；画出的图象数形结合根据函数图象交点个数即可求得零点个数【详解】当时则此时有∵∴∴函数是周期为2的周期函数令则由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数在解析：3 【分析】根据题意，求得()f x 的周期；画出(),ln y f x y x ==的图象，数形结合，根据函数图象交点个数即可求得零点个数. 【详解】当10x -<时，则011x +<， 此时有()(1)1f x f x x =-+=--， ∵()()1f x f x +=-，∴()()21[()]()f x f x f x f x +=-+=--=，∴函数()y f x =是周期为2的周期函数. 令()()ln 0g x f x x =-=，则()ln f x x =， 由题意得函数()()ln g x f x x =-的零点个数即为函数()y f x =的图象与函数y ln x =的图象交点的个数.在同一坐标系内画出函数()y f x =和函数y ln x =的图象（如图所示），结合图象可得两函数的图象有三个交点， ∴函数()()ln g x f x x =-的零点个数为3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查数形结合判断函数零点个数的问题，涉及函数周期性的求解，属综合中档题.15．【分析】对自变量分情况讨论即然后对各种情况分别解不等式最后取并集；【详解】当时所以由此时不等式恒成立；当时则由则此时不等式恒成立；当时符合题意；当时解得∴综上可得不等式的解集为故答案为：【点睛】关键解析：7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】对自变量分情况讨论，即1x ≤，12x <≤，23x <<，3x ≥，然后对各种情况分别解不等式，最后取并集； 【详解】当1x ≤时，10x -≤，121x -≤，121x -≥，所以()11220x x f x --=-≤由2122x -≤，222x -≥，()221220x xf x ---=-<， 此时不等式()()10f x f x +-≤恒成立；当12x <≤时，()212110f x x x x =--=--=-<，011x <-≤，则()22122x xf x ---=-，由221x -≤，221x -≥，则()10f x -≤此时不等式()()10f x f x +-≤恒成立；当23x <<时，()()12131f x f x x x +-=--+--213110x x =--+--=-<， 符合题意；当3x ≥时，()()12131270f x f x x x x +-=--+--=-≤，解得72x ≤， ∴732x ≤<． 综上可得，不等式()()10f x f x +-<的解集为7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故答案为：7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】关键点睛：本题考查分别函数解不等式的问题，涉及分类讨论思想的应用，解答本题的关键是对自变量x 的范围进行分类，即1x ≤，12x <≤，23x <<，3x ≥，从而得出()f x 和()1f x -的表达式，从而求解不等式，属于中档题.16．【分析】利用分段函数列出不等式求解即可【详解】解：在上为单调递增函数又当时当时不等式或解得或故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用函数值的求法考查转化思想以及计算能力解析：21(0,][log (2),)a a a ++∞ 【分析】利用分段函数列出不等式求解即可. 【详解】解：()log log xxa a a a x a a x ---=-+，1a >，()log xa g x a a x =-+在()0,∞+上为单调递增函数，又1(1)log 10a g a a =-+=， 当()0,1x ∈时，log 0xa a a x -+<，当()1,x ∈+∞时，log 0xa a a x -+>，,1()log ,01x a a a x f x x x ⎧->∴=⎨-<<⎩不等式()2f x ≥，21x a a x ⎧-≥∴⎨>⎩或log 201a x x -≥⎧⎨<<⎩，解得log (2)a x a ≥+或210x a<≤， 故答案为：21(0,][log (2),)a a a++∞. 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力.17．【分析】转化为可求得结果【详解】因为在上单调递增所以当时因为在上单调递减所以当时若使只要使即可即解得所以实数的取值范围为故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题可按如下规则转化：解析：3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】转化为()()12min min f x g x ≥可求得结果. 【详解】因为()f x 在[1,2]上单调递增， 所以当[]11,2x ∈时，()1522f x ≤≤， 因为()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[1,1]-上单调递减，所以当[]21,1x ∈-时，()2122m g x m -≤≤-. 若[]11,2x ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使()()12f x g x ≥， 只要使()()12min min f x g x ≥即可. 即122m -≤，解得32m ≥-，所以实数m 的取值范围为3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．18．【分析】根据新定义可得在区间上有解利用分离变量法即可求出答案【详解】解：设∴在区间上有解即在区间上有解∵令单调递减时单调递增所以所以实数的取值范围是故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的新定 解析：[)0,+∞【分析】根据新定义可得2x mx m +=在区间()1,1-上有解，利用分离变量法即可求出答案． 【详解】解：设11x -<<，()()()()1111f f f x m --==--，∴2x mx m +=在区间()1,1-上有解，即21x m x=-在区间()1,1-上有解，∵()()()()22212112211121111x x x x x y x x x x x-+----+====-+-----， 令()10,2x t -=∈，12y t t∴=+-，(]0,1t ∈单调递减，[)1,2t ∈时单调递增，所以120y t t=+-≥，所以实数m 的取值范围是[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的新定义题目，解题的关键是将问题转化为2x mx m +=在区间()1,1-上有解，分离参数求解，意在考查了分析能力、数学运算.19．或【分析】根据讨论方程解的情况即得结果【详解】时满足题意；时要满足题意需综上的取值范围是或故答案为：或【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数考查基本分析求解能力属中档题解析：{0a a =或}1a ≥ 【分析】根据a 讨论2210ax x ++=方程解的情况，即得结果 【详解】0a =时，21212102ax x x x ++=+=∴=-，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意；0a ≠时，要满足题意，需4401a a ∆=-≤∴≥综上a 的取值范围是{0a a =或}1a ≥ 故答案为：{0a a =或}1a ≥ 【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.20．49【分析】分中的最大数为中的最大数为中的最大数为中的最大数为四种情况根据题意列举出满足条件的集合即可得出结果【详解】当中的最大数为即时；所以满足题意的集合对的个数为个；当中的最大数为即时；即满足题解析：49 【分析】分A 中的最大数为1，A 中的最大数为2，A 中的最大数为3，A 中的最大数为4，四种情况，根据题意列举出满足条件的集合,A B ，即可得出结果. 【详解】当A 中的最大数为1，即{1}A =时，{2}B =，{3}，{4}，{5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，{2,3,4,5}；所以满足题意的集合对(,)A B 的个数为15个；当A 中的最大数为2，即{2},{1,2}A =时，{3}=B ，{4}，{5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，{3,4,5}；即满足题意的集合对(,)A B 的个数为2714⨯=个；当A 中的最大数为3，即{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}A =时，{4},{5},{4,5}B =，即满足题意的集合对(,)A B 的个数4312⨯=个；当A 中的最大数为4，即{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}A =时，{5}B =，即满足题意的集合对(,)A B 的个数为8个； 所以总共个数为49个． 【点睛】本题主要考查集合的应用，灵活运用子集的概念，用列举法表示集合即可，属于常考题型.三、解答题21．（1）7,032.40.2,3x F x x <≤⎧=⎨->⎩，212.3 1.6(0)4000C x x x =++>；（2）100km. 【分析】（1）根据在3km 以内（含3km ）的路程统一按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费求得F ，设折旧费2z kx =，由路程为20km 时，折旧费为0.1元.代入求得k ，再根据运输成本包含固定费用，二是燃油费和折旧费求得C . （2）根据F Cy x-=，结合（1）求得y ，再根据分段函数的最值的求法求解. 【详解】（1）由题意得：7,037 2.4(3),3x F x x <≤⎧=⎨+->⎩，.即7,032.40.2,3x F x x <≤⎧=⎨->⎩.设折旧费2z kx =，将(20,0.1)代入， 得0.1400k =，解得14000k =. 所以212.3 1.6(0)4000C x x x =++>. （2）因为F Cy x-=， 所以 4.7 1.6,2340002.50.8,34000x x x y x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩，当3x >时，由基本不等式，得0.80.75y ≤-=， 当且仅当100x =时取等号.当23x ≤≤时，由y 在[2,3]上单调递减， 当2x =时，得max 10.750.752000y =-<. 综上所述，该市出租汽车一次载客路程为100km 时，每千米的收益y 取得最大值. 【点睛】方法点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 22．（1）14a >；（2）51b <<. 【分析】（1）讨论0a =、0a >、0a <满足恒成立情况下a 的取值范围，取并集； （2）由题意知()g x 关于y 轴对称的函数为()k x 必与()h x 在0x <上有两个不同的交点，利用二次函数的性质求b 的取值范围． 【详解】（1）当0a =时，()1f x x =-，在()1,3x ∈上有()(2,0)f x ∈-，故不符题意； 若0a ≠有()f x 对称轴为12x a=，14a ∆=-，要使()()1,3,0x f x ∀∈>恒成立， 当0a >时，102a >且(1)0f a => ，即∆<0或112a ≤或132(3)0a f ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，解得14a >；当0a <时，102a <，即仅需(3)0f ≥即可，无解； 综上，有14a >； （2）0x <时，()g x 关于y 轴对称的函数为2()2k x x bx =--，由题意知()h x 与()k x 有两个不同的交点.由1a =时，()25111x h x x x x -=-+--，令()()k x h x =，整理得2(1)(1)20b x b x --+-=，∴令2()(1)(1)2t x b x b x =--+-，即()t x 在0x <上有两个不同的零点，而(0)20t =-<，∴()()()2101{0211810b b x b b b -<+=<-∆=++->，解得51b <<，【点睛】思路点睛：()g x 存在两点关于y 轴对称点在()h x 上，将其转化为函数交点问题. 确定()g x 关于y 轴对称的函数解析式()k x . 有()h x 、()k x 有两个不同交点. 结合二次函数的性质求参数的范围.23．（1）()f x 为奇函数时，1k =-，()f x 为偶函数时，1k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义列等式即可求得k 的值； （2）根据函数解析式分别求得()()+f m f n ，1m n f mn +⎛⎫⎪+⎝⎭，即可证明结论. 【详解】 （1）由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，得函数()f x 的定义域为()1,1-，当()f x 为奇函数时，()()0f x f x +-=，即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++-+-++=， 整理可得()()()1ln 1ln 10k x x +-++=⎡⎤⎣⎦， 因为上式恒成立，所以10k +=，所以1k =-； 当()f x 为偶函数时，()()0f x f x --=，即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++----+=， 整理得()()()1ln 1ln 10k x x -+--=⎡⎤⎣⎦， 因为上式恒成立，所以10k -=，所以1k =.综上，当()f x 为奇函数时，1k =-，当()f x 为偶函数时，1k =； （2）由（1）知，1k =-，()()()1ln 1ln 1ln1xf x x x x+=+--=-， ()()()()()()1111lnln ln 1111m n m nf m f n m n m n +++++=+=----， ()()()()11111ln ln ln 111111m nm n m n mn m n mn f m n mn mn m n m n mn++++++++⎛⎫+=== ⎪+++----⎝⎭-+， 所以()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭. 【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：（1）利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=（偶函数）或()()f x f x -=-（奇函数），从而建立方程，使问题获得解决；（2）取一对互为相反数的自变量的函数值，建立等式求出参数的值，但同时要对此时函数的奇偶性进行验证. 24．（1）1；（2）1010． 【分析】（1）根据4()42xx f x =+的表达式，求出()(),1f a f a -的表达式，再进行分式通分运算，可得()()11f a f a +-=． （2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把S 的表达式运用加法交换律改写成20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把两式相加利用()(1)1f x f x +-=求出S 的值． 【详解】 （1）4()42xxf x =+，x ∈R ． ∴()()1f a f a +-1144444442424224aaaa a a a a--=+=+++++4214224a a a=+=++，（2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则 20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相加得：12[][][]92022020220120201202120212022120211021S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由（1）得：20202201109211,1,,221202120212021202120220101f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴220201010S S =⇒=.【点睛】本题考查指数幂运算，分式运算，利用函数的性质进行式子求值，考查运算求解能力. 25．（1）1-； （2）函数单调递增，证明见解析； （3）3{|14x x <<或3}x >. 【分析】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可； （3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()f x 对任意的正实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立， 令1x y ==，可得(1)(1)(1)f f f =+，所以()10f =， 令12,2x y ==，可得1(1)(2)()2f f f =+，即11()02f +=，解得1()12f =-. （2）函数()f x 为增函数，证明如下： 设12,(0,)x x ∈+∞且12x x <， 令211,x x x y x ==，根据题意，可得2121()()()x f x f f x x +=，即2211()()()x f x f x f x -=，又由1x >时，()0f x >， 因为211x x >，可得21()0x f x >，即21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 所以函数()y f x =在(0,)+∞上的单调性.（3）由题意和（1）可得11(86)1(86)()[(86)](43)22f x f x f f x f x --=-+=-=-， 又由不等式2()(86)1f x f x >--，即2()(43)f x f x >-，可得243430x x x ⎧>-⎨->⎩，解得314x <<或3x >，即不等式2()(86)1f x f x >--的解集为3{|14x x <<或3}x >. 【点睛】求解函数有关的不等式的方法及策略： 解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 26．(1)()3,0-；(2)312a -<<-或1a >. 【分析】(1)由已知条件分别计算出集合A 和集合B ,然后再计算出AB 的结果.(2)由已知条件()A B C ⋂⊇,则分类讨论C =∅和C ≠∅两种情况,求出实数a 的取值范围. 【详解】(1)已知集合A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩,则230x x -->,解得30x -<<,即()3,0A =-,集合1228x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭,解得31x -<<,即()3,1B =-,所以()3,0A B ⋂=-(2)因为集合{}21C x a x a =≤≤+,且()A B C ⋂⊇,由(1)得()3,0A B ⋂=-, 则当C =∅时,21a a >+,即1a >,当C ≠∅时,212310a a a a ≤+⎧⎪>-⎨⎪+<⎩,得312a -<<-,综上,312a -<<-或1a >.【点睛】本题考查了集合的交集运算和子集运算,在含有参量的子集题目中需要注意分类讨论,尤其不要漏掉空集情况,然后求解不等式组得到结果.本题较为基础.。

高一上学期数学期末考测试卷(提升)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

高一上学期数学期末考测试卷(提升)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

的值可以是（
）
A．3
B．4
C．5
D． 16 3
【答案】BC
【解析】作出函数 f x 的图象，如图所示，
设 f x1 f x2 f x3 f x4 t ， 由图可知，当 0 t 1时，直线 y t 与函数 f x 的图象有四个交点，
交点的横坐标分别为 x1, x2 , x3, x4 ，且 x1 x2 x3 x4 ，
因为
x
0,
π 3
,
2x
π 6
π, 6
5π 6
，函数
y
sint
在
π 6
,
5π 6
上不单调，故
D
错误．
故选：ABC．
10．（2023 秋·江苏南通 ）下列命题中，真命题的是（ ）
A． x R ，都有 x2 x x 1
B．
x 1,
，使得
x
x
4
1
6
.
C．任意非零实数 a,b ，都有 b a 2 ab
f x 在 , 上不具单调性，故 B 错误；
f x 图象与 x 轴只一个交点，即有且只有一个零点，故 C 正确；
令
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
，解得
x
3 2
，从图象看，
f
(x)
关于
3 2
,
0
对称，下面证明：
由 f x x 1 x 2 ，
得
f
3 2
x
x
1 2
x1 2
，
f
3 2
x
x
1 2
x 1 2
x 1 2
x 1， 2
则
f
3 2

2020-2021学年高中数学新教材人教版必修一期末复习题目

2020-2021学年高中数学新教材人教版必修一期末复习题目

18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|－1<x≤5}，U＝R.(1)求A∩B，A∪B；(2)求(∁R A)∩B.19.(本小题满分12分)设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若A＝{x∈Z|－2≤x≤5}，求A的非空真子集的个数；(2)若A∩B＝B，求实数m的取值范围．20．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax ＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．21．(本小题满分12分)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．22．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．(1)若－1∈B，求a的值；(2)若B⊆A，求a的值．16.已知集合A={x|1<x<3},B={x|-1<x<m+2},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是m≥1.解析:因为x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,所以A⫋B,所以m+2≥3,所以m≥1.四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;(2)对任意非零实数x1,x2,若x1<x2,则>;(3)对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(4)∃x∈R,使得x2+1=0.解:(1)存在量词命题.因为99既能被11整除,又能被9整除,所以是真命题.(2)全称量词命题.存在x1=-1,x2=1,x1<x2,但<,所以是假命题.(3)全称量词命题.因为存在x=0使x2+x+1=0不成立,故是假命题.(4)存在量词命题.因为对任意x∈R,x2+1>0,所以是假命题.18.(12分)已知命题p:3a<m<4a(a>0),命题q:1<m<,且q是p 的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解:因为q是p的必要不充分条件,所以p⇒q,q⇒/p,从而有或解得≤a≤.所以实数a的取值范围是≤a≤.19.(12分)设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.(1)若a=,试判断集合A与B的关系;(2)若B⊆A,求实数a的值.解:(1)A={3,5},当a=时,由已知可得B={5},所以B是A的真子集.(2)当B=⌀时,满足B⊆A,此时a=0;当B≠⌀时,集合B=,又因为B⊆A,所以=3或=5,解得a=或a=.综上,a的值为0或或.20.(12分)已知集合A={x|1<x<6},B={x|2<x<10},C={x|5-a<x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若C⊆B,求实数a的取值范围.解:(1)因为A={x|1<x<6},B={x|2<x<10},所以A∪B={x|1<x<10},∁R A={x|x≤1,或x≥6},所以(∁R A)∩B={x|6≤x<10}.(2)因为C⊆B,①当C=⌀时,满足题意,此时有5-a≥a,所以a≤;②当C≠⌀时,则有解得<a≤3.所以a的取值范围是a≤3.21.(12分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多只有一个元素,求a的取值范围.解:(1)若A是空集,则方程ax2-3x+2=0无解,此时Δ=9-8a<0,即a>.(2)若A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0有且只有一个实根,当a=0时方程为一元一次方程,满足条件.当a≠0,此时Δ=9-8a=0,解得:a=.所以a=0或a=.若a=0,则有A=,若a=,则有A=.(3)若A中至多只有一个元素,则A为空集,或有且只有一个元素.由(1),(2)得满足条件的a的取值范围是a=0或a≥.22.(12分)设全集是实数集R,集合A=x≤x≤2,B={x|x-a<0}.(1)当a=1时,分别求A∩B与A∪B;(2)若A⊆B,求实数a的取值范围;(3)若(∁R A)∩B=B,求实数a的最大值.解:(1)当a=1时,B={x|x<1},所以A∩B=,A∪B={x|x≤2}.(2)因为A⊆B,所以a>2,所以实数a的取值范围为a>2.(3)因为(∁R A)∩B=B,所以B⊆∁R A.又因为∁R A=,所以a≤,所以实数a的最大值为.2020-2021学年高中数学新教材人教版必修一 第一章集合与常用逻辑用语 单元测试1．解析：A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |0≤x <2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选C.答案：C2．解析：由题意得，B ＝{1,4,7,10}，所以A ∩B ＝{1,4}． 答案：D 3．解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得命题“∃x 0∈(0，＋∞)，x 20＋1≤2x 0”的否定为“∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>2x ”，故选A.答案：A4．解析：联立A 与B 中方程得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，y ＝x ＋4，消去y 得：3x －2＝x ＋4，解得：x ＝3， 把x ＝3代入得：y ＝9－2＝7，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝7，∵A ＝{(x ，y )|y ＝3x －2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋4}， ∴A ∩B ＝{(3,7)}，故选B. 答案：B5．解析：全集U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{0,2}，则A ＝{1,3}，故集合A 的真子集共有22－1＝3个．故选A.答案：A6．解析：∵x >1，∴x 3>1.又x 3－1>0，即(x －1)(x 2＋x ＋1)>0，解得x >1，∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件，故选C.答案：C7．解析：由P ∪M ＝P ，可知M ⊆P ，即a ∈P ，因为集合P ＝{x |－1≤x ≤1}，所以－1≤a ≤1.答案：C8．解析：∵b a 为分式，∴a ≠0，∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，∴b a ＝0，即b ＝0，∴{a,0,1}＝{a 2，a,0}，∴当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝a时，a ＝－1或a ＝1，当a ＝1时，即得集合{1,0,1}，不符合元素的互异性，故舍去，当a ＝－1时，即得集合{－1,0,1}，满足．当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1a 2＝a时，a ＝1，即得集合{1,0,1}，不符合元素的互异性，故舍去，综上，a ＝－1, b ＝0.∴a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1，故选C. 答案：C9．解析：10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}，故A 正确；由集合中元素的无序性知{1,2,3}和{3,1,2}表示同一集合，故B 正确；方程x 2－2x ＋1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C 错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D 错误．故选CD.答案：CD10．解析：∵A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{2,0,1,8}，C ＝{1,9,3,8}， ∴B ∩C ＝{1,8}∴A ⊆(B ∩C )⇒A ⊆(1,8)，故选AC. 答案：AC 11．解析：根据venn 图，可直接得出结果．由venn 图可知，ABCD 都是充要条件．故选ABCD. 答案：ABCD 12．解析：A 中，－1∈B,1∈B ，但是－1－1＝－2∉B ，B 不是“完美集”，故A 说法不正确；B 中，有理数集满足“完美集”的定义，故B 说法正确；C 中，0∈A ，x 、y ∈A ，∴0－y ＝－y ∈A ，那么x －(－y )＝x ＋y ∈A ，故C 说法正确；D 中，对任意一个“完美集”A ，任取x 、y ∈A ，若x 、y 中有0或1时，显然xy ∈A ，若x 、y 均不为0、1，而1xy ＝12xy ＋12xy ＝1(x ＋y )2－x 2－y 2＋1(x ＋y )2－x 2－y 2，x 、x －1∈A ，那么1x －1－1x ＝1x (x －1)∈A ，∴x (x －1)∈A ， 进而x (x －1)＋x ＝x 2∈A .同理，y 2∈A ，则x 2＋y 2∈A ，(x ＋y )2∈A ，∴2xy ＝(x ＋y )2－(x 2＋y 2)∈A .∴1(x ＋y )2－x 2－y 2∈A ，结合前面的算式，知xy ∈A ，故D 说法正确；故选：BCD. 答案：BCD13．解析：因为A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >0}，所以A ∩B ＝{x |0<x <2}，(∁R B )∪A ＝{x |x <2}．答案：{x |0<x <2} {x |x <2} 14．答案：必要不充分15．解析：因为集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，且3∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2＝3，2m 2＋m ≠3，或⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m ＝3，m ＋2≠3.解得m ＝－32. 答案：－3216．解析：由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，当N ＝∅时，2t ＋1≤2－t ，即t ≤13，此时M ∪N ＝M 成立． 当N ≠∅时，由下图可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t <2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13<t ≤2.综上可知，实数t 的取值范围是{t |t ≤2}． 答案：{t |t ≤2}17．解析：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，綈p ：存在一个x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立，即“∃x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立”；(2)由于“∃x ∈R ”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，綈p ：对任意一个x 都有x 2＋2x ＋5≤0，即“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0”．18．解析：(1)由题意，集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |－1<x ≤5}， 所以A ∩B ＝{x |－1<x <4}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤5}．(2)由题意，可得∁R A ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，所以(∁R A )∩B ＝{x |4≤x ≤5}．19．解析：(1)∵A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴A 的非空真子集有28－2＝254(个)．(2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，∴m <2；当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.综上可知，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．20．解析：∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12.综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12. 21．解析：x 2－x －2>0的解集是{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0得x <－p 4.要想使x <－p 4时，x >2或x <－1成立，必须有－p 4≤－1，即p ≥4.所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．22．解析：(1)由题意，因为－1∈B ，即x ＝－1是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的根，可得1－2(a ＋1)＋a 2－1＝0，即a 2－2a －2＝0，解得a ＝1±3；(2)由题意，集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，因为B ⊆A ，可得①当B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1；②当B ＝{0}或{－4}时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{x |x 2＝0}＝{0}满足题意；③当B ＝{0，－4}时，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2(a ＋1)＝－4a 2－1＝0，解得a ＝1， 综上可得，a ＝1或a ≤－1.。

高一数学必修1期末试卷及答案

高一数学必修1期末试卷及答案

高一数学必修1期末试卷及答案高中数学必修一期末试卷一、选择题。

（共12小题，每题5分）1、设集合A={x| x>-1}，则（）A、XXXB、2 ∉AC、2∈AD、2 ∈ { }改写：集合A由所有大于-1的实数x组成。

2．下列四组函数中，表示同一函数的是( )．A．f(x)=|x|，g(x)=x-1/x-1B．f(x)=log2(x+1)，g(x)=2log2(x-1)C．f(x)=x2-1/x2-1，g(x)=x-1D．f(x)=g(x)改写：哪一组函数表示同一个函数？3、设A={a，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B=（）A、{1，2}B、{1，5}C、{2，5}D、{1，2，5}改写：如果A和B的交集是{2}，那么A和B的并集是什么？4、函数f(x)=(x-1)/(x-2)的定义域为（）A、[1，2)∪(2，+∞）B、(1，+∞）C、[1，2)D、[1，+∞)改写：函数f(x)=(x-1)/(x-2)的x的取值范围是什么？5、设集合M={x|-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是（）删除：题目中的图形6、三个数7.3，0.3，㏑0.3，的大小顺序是（）A、7>0.3>㏑0.3B、7>0.3>㏑0.3C、0.3>7>㏑0.3D、㏑0.3>7>0.3>3改写：将三个数按照从大到小的顺序排列。

7、若函数f(x)=x+x-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)=-2f(1.25)=-0.984f(1.438)=0.165f(1.5)=0.625f(1.375)=-0.260f(1.4065)=-0.052那么方程x+x-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A、1.2B、1.3C、1.4D、1.5改写：使用二分法逐次计算函数f(x)=x+x-2x-2的一个正数零点附近的函数值，给出下表：x。

人教B版高中数学必修一--高一期末试题答案

人教B版高中数学必修一--高一期末试题答案

5
18. 解：（本题满分 12 分）
2
（1） T
= 4 ……… 2 分
1
2
当 2sin( x
) 1，即 x
2k
23
23
大值 2. ……… 5 分
，即 x 4k 2
, k Z 时， y 取得最 3
∴ y 取得最大值 2 时， x 的取值集合为 x | x 4k
, k Z ……… 6 分 3
左移 个单位
2 1, 又 f ( x ) 为偶函数 , 所以 x
f ( x)= f ( x)
2 1 . ……… 7 分
x
(3) 设 x1， x2 是 (0 ，+∞ ) 上的两个任意实数，且 x1<x2，
则
x=x1- x2<0，
1 y=f ( x1)- f ( x2)= -2-(
1
-2)=
1
-
1 = x2
x1 .
a 1……… 2 分
f ( a), a 0
f ( a ), a 0 3
2a2,a 0
2 a2 ,a 0
3
当 x a 时， f ( x) x2 2ax a2 , f ( x)min
f ( a), a 0 f ( a), a 0
2a2, a 0 2a2 ,a 0
综上 f ( x) min
2a 2, a 2a 2
x1
x2
x1 x2 x1 x2
因为 x2- x1=- x>0， x1x2>0, 所以 y>0.
因此 f ( x)= 1 -2 是(0 ， +∞) 上的减函数 . ……… 12 分 x
21：（本题满分 12 分）
解：∵ y
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期末测试题
考试时间：90分钟
试卷满分：100分
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩U B ＝( )． A ．{x |0≤x ＜1}
B ．{x |0＜x ≤1}
C ．{x |x ＜0}
D ．{x |x ＞1}
2．下列四个图形中，不是．．
以x 为自变量的函数的图象是( )．
A B C D 3．已知函数 f (x )＝x 2＋1，那么f (a ＋1)的值为( )． A ．a 2＋a ＋2
B ．a 2＋1
C ．a 2＋2a ＋2
D ．a 2＋2a ＋1
4．下列等式成立的是( )． A ．log 2(8－4)＝log 2 8－log 2 4 B ．
4log 8log 22＝4
8
log 2 C ．log 2 23＝3log 2 2
D ．log 2(8＋4)＝log 2 8＋log 2 4
5．下列四组函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝|x |，g (x )＝2x B ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x
C ．f (x )＝1
－1
－2x x ，g (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝1＋x ·1－x ，g (x )＝1－2x 6．幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( ). A ．一定经过点(0，0) B ．一定经过点(1，1) C ．一定经过点(－1，1)
D ．一定经过点(1，－1)
7．国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：
如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km 的某地，他应付的邮资是( ). A ．5.00元
B ．6.00元
C ．7.00元
D ．8.00元
8．方程2x ＝2－x 的根所在区间是( ). A ．(－1，0)
B ．(2，3)
C ．(1，2)
D ．(0，1)
9．若log 2 a ＜0，b
⎪⎭
⎫
⎝⎛21＞1，则( ).
A ．a ＞1，b ＞0
B ．a ＞1，b ＜0
C ．0＜a ＜1，b ＞0
D ．0＜a ＜1，b ＜0
10．函数y ＝x 416－的值域是( ). A ．[0，＋∞)
B ．[0，4]
C ．[0，4)
D ．(0，4)
11．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( ).
A ．f (x )＝
x
1 B ．f (x )＝(x －1)
2 C ．f (x )＝e x
D ．f (x )＝ln (x ＋1)
12．奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，若f (－1)＝0，则不等式f (x )＜0的解集是( ).
A ．(－∞，－1)∪(0，1)
B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C ．(－1，0)∪(0，1)
D ．(－1，0)∪(1，＋∞)
13．已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧0≤ 30
log 2x x f x x )，＋(＞，，则f (－10)的值是( ).
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
14．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋x
－11
的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则有( ).
A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0
B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0
C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0
D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上．
15．A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|x＞a}，若A⊆B，则a取值范围是．16．若f(x)＝(a－2)x2＋(a－1)x＋3是偶函数，则函数f(x)的增区间是．17．函数y＝2
－
log2x的定义域是．
18．求满足
8
2
4
1－
x
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
＞x
－2
4的x的取值集合是．
三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．(8分)已知函数f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．
20．(10分)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋ax(x∈R)．
(1)证明：当a＞2时，f(x)在R上是增函数．
(2)若函数f(x)存在两个零点，求a的取值范围．
21．(10分)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
参考答案
一、选择题 1．B
解析：U B ＝{x |x ≤1}，因此A ∩U B ＝{x |0＜x ≤1}． 2．C
3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．D
解析：由log 2 a ＜0，得0＜a ＜1，由b
⎪⎭
⎫
⎝⎛21＞1，得b ＜0，所以选D 项．
10．C
解析：∵ 4x ＞0，∴0≤16－ 4x ＜16，∴x
416－∈[0，4)．
11．A
解析：依题意可得函数应在(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A 正确． 12．A 13．D 14．B
解析：当x ＝x 1从1的右侧足够接近1时，x
－11
是一个绝对值很大的负数，从而保证 f (x 1)＜0；当x ＝x 2足够大时，x
－11
可以是一个接近0的负数，从而保证f (x 2)＞0．故正确选项是B ．
二、填空题
15．参考答案：(－∞，－2)． 16．参考答案：(－∞，0)． 17．参考答案：[4，＋∞)．
18．参考答案：(－8，＋∞)． 三、解答题
19．参考答案：(1)由⎩
⎨⎧030
3＞－＞＋x x ，得－3＜x ＜3，
∴ 函数f (x )的定义域为(－3，3)． (2)函数f (x )是偶函数，理由如下：
由(1)知，函数f (x )的定义域关于原点对称， 且f (－x )＝lg (3－x )＋lg (3＋x )＝f (x )， ∴ 函数f (x )为偶函数．
20．参考答案：(1)证明：化简f (x )＝⎩
⎨⎧
1221 ≥22＜－，－)－(－，＋)＋(x x a x x a
因为a ＞2，
所以，y 1＝(a ＋2)x ＋2 (x ≥－1)是增函数，且y 1≥f (－1)＝－a ； 另外，y 2＝(a －2)x －2 (x ＜－1)也是增函数，且y 2＜f (－1)＝－a ． 所以，当a ＞2时，函数f (x )在R 上是增函数．
(2)若函数f (x )存在两个零点，则函数f (x )在R 上不单调，且点(－1，－a )在x 轴下方，所以a 的取值应满足⎩
⎨⎧00
22＜－)＜－)(＋(a a a 解得a 的取值范围是(0，2)．
21．参考答案：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为50
000
3600 3－＝12，所以这时租出了100－12＝88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为
f (x )＝⎪⎭⎫ ⎝
⎛
50000 3100－－x (x －150)－
50000 3－x ×50＝－501(x －4 050)2＋307 050． 所以，当x ＝4 050 时，f (x )最大，其最大值为f (4 050)＝307 050． 当每辆车的月租金定为4 050元时，月收益最大，其值为307 050元．。

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