抛物线优秀经典例题讲解
初三抛物线试题大全及解析
初三抛物线试题大全及解析一、抛物线的基本概念抛物线是一种重要的几何图形，它在中考数学试题中占有重要地位。
抛物线通常由一条直线和一个二次曲线组成，它可以用来描述一些常见的数学问题，如二次函数、几何问题等。
二、抛物线试题类型1. 已知抛物线解析式求未知量2. 抛物线的性质与应用3. 抛物线的形状与开口方向、对称轴、顶点坐标的关系4. 抛物线与方程的综合题5. 与抛物线有关的实际问题三、抛物线试题解析【例1】（基础题）已知抛物线解析式为y=x²-2x-3，请回答下列问题：（1）求该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？【解析】（1）因为a=1>0，所以抛物线开口向上。
对称轴为直线x=-b/2a=-(-2)/2=1，顶点坐标为（1，-4）。
（2）因为对称轴为直线x=1，且开口向上，所以当x>1时，y随x的增大而增大。
【例2】（提高题）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A（1，0），B（0，-6），C（2，-4）三点，求这个二次函数的解析式。
【解析】由题意可设y=ax²+bx-6，把C（2，-4）代入得4a+2b-6=-4，即b-a=1。
再由点A（1，0）在抛物线上可求c值，即可得到二次函数的解析式。
【答案】解：由题意可设y=ax²+bx-6。
把C（2，-4）代入得4a+2b-6=-4，即b-a=1。
又因为图像经过A（1，0），B（0，-6），所以y=x²+x-6。
【例3】（压轴题）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A（0，5），B（1，3），C（-2，7）三点。
求这个二次函数的解析式和图像的对称轴。
【解析】这道题需要用到待定系数法。
首先根据条件确定系数可能取到的值，再代入求出解析式。
然后根据对称性求出对称轴。
【答案】设这个二次函数的解析式为y=a(x-h)²+k，将A（0，5），B（1，3），C（-2，7）三点代入得{c=5a+b+c=39a−2a+k=7解得{a=2k=5∴y=2(x−1)2+3图像的对称轴为直线x=1。
抛物线精讲精析(含解析)
抛物线精讲精析点点突破热门考点01 抛物线的焦点及准线1.平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2.图形标准方程 y 2=2px （p ＞0） y 2=－2px （p ＞0） x 2=2py （p ＞0） x 2=－2py （p ＞0）顶点 O （0，0） 范围 x≥0，y R ∈ x≤0，y R ∈y≥0，x R ∈ y≤0，x R ∈对称轴 x 轴y 轴焦点 ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭离心率 e=1准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =【典例1】（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【典例2】（2020·武威第六中学高三其他（理））已知抛物线()2:,0C y mx m R m =∈≠过点()14P -,，则抛物线C 的准线方程为______. 【答案】116y =- 【解析】由题, ()2414m m =⋅-⇒=,故221:44C y x x y =⇒=.故抛物线C 的准线方程为116y =-.故答案为：116y =- 【规律总结】求抛物线的焦点及准线方程的步骤： (1)把抛物线解析式化为标准方程形式； (2)明确抛物线开口方向；(3)求出抛物线标准方程中参数p 的值； (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．热门考点02 抛物线的标准方程【典例3】（2020·全国高三课时练习（理））抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且||4||MF OF =，MFO ∆ 的面积为43，则抛物线方程为（ ） A ．26y x = B ．28y x = C ．216y x = D ．2152y x = 【答案】B【解析】设),(11y x M ，则由OF MF 4=得2421pp x ⨯=+，即p x 231=，则2213p y =，则p y 31=，则343221=⨯⨯=∆p pS OMF ，解得4=p ，即抛物线的方程为28y x =． ．【典例4】（2020·全国高三课时练习（理））已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若FPM 为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为________. 【答案】26y x = 【解析】因为FPM 为等边三角形，所以PM PF =，由抛物线的定义可得PM 垂直于抛物线的准线，设2(,)2m P m p ，则点,2p M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，FPM 是等边三角形， 所以222622()622m pp p p m ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得2273m p ⎧=⎨=⎩. 因此抛物线方程为26y x =. 故答案为：26y x =【总结提升】1．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 2.求抛物线标准方程的方法：①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p ．②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝my ．热门考点03 抛物线定义的应用【典例5】（上海高考真题（文））抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则. 【答案】2 【解析】 设点点的坐标为，根据抛物线的定义，可得，当时，取得最小值，解得.【典例6】（2017·全国高考真题（理））已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________． 【答案】6 【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【总结提升】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．3.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．热门考点04 抛物线的实际应用【典例7】（2020·全国高一课时练习）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】6米【解析】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x =，故水面宽为26米，故答案为26米．【典例8】如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)图(1)【答案】水池的直径至少应设计为5 m ． 【解析】分析：图(2)是图(1)中位于直线O ′P 右边的部分，故O ′B 为水池的半径，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，则易得P 点坐标，再由P 在抛物线上求出抛物线方程，再由B 点纵坐标求出B 点的横坐标即可获解．详解：如图(2)所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． 依题意有P (－1，－1)在此抛物线上，代入得p ＝12． 故抛物线方程为x 2＝－y ．图(2)又B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2，即|AB |＝2，则|O ′B |＝|O ′A |＋|AB |＝2＋1， 因此所求水池的直径为2(1＋2)m ，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m ． 【总结提升】抛物线的实际应用问题，关键是建立坐标系，将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标，从而求得抛物线方程，再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论．热门考点05 抛物线的对称性【典例9】（2019·天山 新疆实验高二开学考试）已知抛物线的方程为22(0)y px p =>， O 为坐标原点，A ，B 为抛物线上的点，若OAB为等边三角形，且面积为p 的值为__________．【答案】2 【解析】设11(,)B x y ，22(,)A x y ， ∵||||OA OB =， ∴22221122x y x y +=+．又2112y px =，2222y px =，∴2221212()0x x p x x -+-=，即2112()(2)0x x x x p -++=．又1x 、2x 与p 同号， ∴1220x x p +=≠． ∴210x x -=，即12x x =．根据抛物线对称性可知点B ，A 关于x 轴对称， 由OAB 为等边三角形，不妨设直线OB的方程为3y x =，由22y x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得(6,)B p ，∴22(6)(23)43OB p p p =+=． ∵OAB 的面积为483，∴23(43)4834p =， 解得24p =，∴2p =．答案：2【典例10】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长. 【答案】43p 【解析】如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)则：y 21＝2px 1，y 22＝2px 2．又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0． ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2， 由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由于AB 垂直于x 轴，且∠AOx ＝30°．∴y 1x 1＝tan30°＝33，而y 21＝2px 1，∴ y 1＝23p ． 于是|AB |＝2y 1＝43p ． 【总结提升】1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线．热门考点06 抛物线的焦点弦1.通径过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p __． 2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A (x 0，y 0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为标准方程y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px(p >0)x 2＝2py(p >0)x 2＝－2py(p >0)焦半径|AF ||AF |＝__x 0＋p2__|AF |＝__p2－x 0__|AF |＝__y 0＋p2__|AF |＝__p2－y 0__3．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l ．(1)以AB 为直径的圆必与准线l __相切__； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋__p __；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2．【典例11】（2020·3C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【典例12】（2020·全国高三其他（文））已知抛物线()2:20E y px p =>恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，//AB DC ，AD 的延长线与抛物线E 的准线的交点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求抛物线E 的方程；（2）证明：BD 经过抛物线E 的焦点. 【答案】（1）22y x =；（2）证明见解析 【解析】（1）根据题意，1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭为抛物线E 的准线上的点， 所以122p =，即1p =， 所以抛物线E 的方程为22y x =.（2）抛物线E 的焦点为1,02，设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，设直线AD 的方程为12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立方程组2122y k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()2222204k k x k x +-+=， 则1214x x =，且120x x <<，所以1212x x <<， 设BD 与x 轴的交点坐标为()(),00n n >，直线BD 的方程为()11y y x n x n-=--， 与方程22y x =联立得()()()22222122111121220y y n y n x x x n x n x n ⎡⎤-++=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦， 则()()212121212221y n x n x x n y x n -==-，即214n =，解得12n =，即BD 经过点1,02， 所以BD 经过抛物线E 的焦点.【总结提升】解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．热门考点07 抛物线的最值问题【典例13】（2019·河南高考模拟（理））已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A.2D.12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.【典例14】（2019·贵州高三开学考试（文））已知抛物线24,y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线l :43110x y -+=为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A.3B.4【答案】A 【解析】抛物线上的点P 到准线的距离等于到焦点F 的距离， 所以过焦点F 作直线43110x y -+=的垂线， 则该点到直线的距离为12d d +最小值，如图所示；由(1,0)F ，直线43110x y -+=，所以12224011343d d -++==+，故选：A.【总结提升】1.求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的最值、求抛物线上一点到定直线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决．2. 常见题型及处理方法：(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离．可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题．(2)求抛物线上一点到定点的最值问题．可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．(3)方法：设P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，则x 0＝y 202p ，即P (y 202p ，y 0)．由两点间距离公式，点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解．(4)此类问题应注意抛物线几何性质的应用，尤其范围的应用．如：y 2＝2px (p >0)，则x ≥0，y 2≥0．热门考点08 与抛物线有关的综合问题【典例15】（2020·河北桃城�衡水中学高三其他（理））已知圆221x y +=与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C ，D 两点，且坐标原点O 是AC 的中点，则p 的值等于_________________. 25【解析】因为抛物线的准线方程为2p x =-，所以由对称性得点,2p A p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入圆的方程得()2212p p ⎛⎫+±= ⎪⎝⎭，解得25p =. 故答案为：25【典例16】（湖南高考真题）过抛物线22(0)x py p =＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,A B 两点，,A B 在x 轴上的正射影分别为,D C ．若梯形ABCD 的面积为122，则p = ．【答案】2 【解析】依题意知，焦点(0,)2p F ，则过抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点且斜率为1的直线方程为2py x =+.设11(,)A x y 、22(,)B x y .则易知1(,0)D x 、2(,0)C x ，所以21DC x x =-.又易知10y >，20y >.所以112pAD y x ==+、222pBC y x ==+.所以梯形ABCD 的面积12212222p px x AD BC S DC x x ++++=⋅=⋅-2122112()41222x x p x x x x ++=⋅+-=. 联立2222{202x pyx px p p y x =⇒--==+，所以122x x p +=，212x x p =-.代入S 中，可得2312p =，又0p >，所以2p =.巩固提升1．（2020·浙江鄞州 宁波华茂外国语学校高三一模）设抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，若F 到直线3y x =3p 为（ ）A ．2B ．4C ．23 D．43【答案】B 【解析】 依题意得，(,0)2pF ， 因为F 到直线3y x =的距离为3，|3|2331p ⨯=+，所以||4p =， 因为0p >，所以4p =. 故选：B.2.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C3．（2020·湖北武汉 高三其他（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的准线l 平分圆M ：()()22234x y +++=的周长，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】抛物线C ：()220y px p =>的准线l 的方程为2px =-， 圆M ：()()22234x y +++=的圆心(2,3)M --，因为抛物线C ：()220y px p =>的准线l 平分圆M ：()()22234x y +++=的周长，所以准线l 过圆心(2,3)M --， 所以22p-=-，解得4p =， 故选：C4．（2020·安徽黄山 高三二模（文））已知双曲线222(0)x ky k k -=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．2C D【答案】D 【解析】由抛物线28y x =的焦点坐标(2,0)，双曲线222(0)x ky k k -=>，得22122x y k -=，则2222k +=，得1k =，故焦距24c =，实轴长2a =，则离心率ce a==故选：D.5．（2019·宁波市第四中学高二期中）设抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为5，则||PF 等于（ ）．A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】因为抛物线方程212y x =，所以6P =， 由抛物线的定义可得：6||5822P P PF x =+=+=． 故选C ．6．（2020·黑龙江南岔 伊春二中高二月考（理））抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 等于( ) A ．32 B ．2 C ．52D ．3【答案】A 【解析】∵A,B 两点关于直线y ＝x ＋m 对称， ∴可设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b ， 由22y x by x⎧⎨⎩＝－＋＝消去y 整理得2x 2＋x －b ＝0， ∵直线AB 与抛物线交于两点， ∴Δ＝1＋8b ＞0，解得18b >-． 又由题意得12121,22b x x x x +=-=-， ∵1212x x =-， ∴b ＝1，满足题意． 设A ，B 的中点为P (x 0，y 0)， 则120124x x x +==-，∴00151144y x =-+=+=， 又点15(,)44-在直线y ＝x ＋m 上，∴5144m =-+，解得32m =． 故选A ．7．（2018·北京高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 【答案】(1,0) 【解析】由题意可得，点(1,2)P 在抛物线上，将(1,2)P 代入24y ax =中， 解得：1a =，24y x ∴=， 由抛物线方程可得：24,2,12pp p ===， ∴ 焦点坐标为(1,0).8．（2020·绍兴鲁迅中学高二期中）抛物线x 2＝y 的焦点F 的坐标为__________，若该抛物线上有一点P 满足|PF|＝54，且P 在第一象限，则点P 的坐标为___________. 【答案】10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1 【解析】抛物线的焦点F 的坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 其准线方程为y ＝－14， 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)， 根据抛物线定义，得y 0＋14＝54， ∴y 0＝1，代入20=x y ， 由于x 0＞0，∴x 0＝1. 故答案为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,1).9．（2020·宝山 上海交大附中高三其他）抛物线2y x 的准线方程为_______.【答案】14y =- 【解析】由抛物线的标准方程为x 2=y ，得抛物线是焦点在y 轴正半轴的抛物线，2p =1， ∴其准线方程是y=2p -，14y =-．故答案为14y =-． 10．（2020·江苏泰州 高三三模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为_______． 【答案】12【解析】设点P 的坐标为()00,x y ，则00x >，抛物线的准线方程为1x =-， 由于点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则0013x x +=，解得012x =. 因此，点P 的横坐标为12. 故答案为：12. 11．（2020·安徽相山 淮北一中高三月考（理））点A ，B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120,AFB AB ︒∠=中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则22||d AB 的最大值为_________. 【答案】13【解析】设||AF a =，||BF b =，则||||||||222AC BE AF BF a bd +++===，在三角形ABF 中，由余弦定理得222222cos AB a b ab AFB a b ab =+-∠=++， ∴22222()11311||4()223d a b ab ab AB a b ab a b ab ab +=++=++++， 当且仅当a b =时取等号，所以22||d AB 的最大值为13. 故答案为：13． 12．（2017·浙江）抛物线2y ax =的焦点为()0,1F ，P 为该抛物线上的动点，则a =________；线段FP 中点M 的轨迹方程为________． 【答案】142210x y -+= 【解析】 因为2y ax =，所以21x y a =，其焦点坐标是10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又因为抛物线2y ax =的焦点为()0,1F ，所以114a=， 解得14a =．设点()00,P x y ， (),M x y ， 所以20014y x =， 因为线段FP 中点为M ，所以00212x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得00221x x y y =⎧⎨=-⎩，代入20014y x =，化简得2210x y -+=． 所以线段FP 中点M 的轨迹方程是2210x y -+=.13.（2018·全国高考真题（理））已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________． 【答案】2 【解析】设()()1122A ,,B ,x y x y 则2112224{4y x y x ==所以22121244y y x x -=-所以1212124k y y x x y y -==-+取AB 中点()00M'x y ，,分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B'' 因为AMB 90∠︒=,()()'111MM '222AB AF BF AA BB ∴==+=+'， 因为M’为AB 中点， 所以MM’平行于x 轴 因为M(-1,1)所以01y =，则122y y +=即k 2= 故答案为2.14．（2020·山东聊城 高三二模）【多选题】已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P 则下列结论正确的是( )A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为210x y -+=D ．过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M ，N 点则直线MN 的斜率为定值 【答案】BCD 【解析】因为抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ， 所以12p =， 所以抛物线方程为：2y x =，焦点坐标为1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭对于A ，15144PF =+=，故A 错误. 对于B ，43PF k =，所以41:()34PF l y x =-，与2y x =联立得：24310y y --=，所以121231,44y y y y +==-，所以12111522432OPQ S OF y y =⋅-=⨯=，故B 正确.对于C ，依题意斜率存在，设直线方程为1(x 1)y k -=-，与2y x =联立得：210ky y k -+-=，()1410k k ∆=--=24410k k -+=，解得12k =， 所以切线方程为210x y -+=，故C 正确.对于D ， 依题意斜率存在，设:PM l 1(x 1)y k -=-，与2y x =联立得：210ky y k -+-=，所以11M y k +=，即11M y k =-，则211M x k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以点2111,1M k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理2111,1N k k ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22112111421111MNk k k k k k k ⎛⎫---- ⎪⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：BCD15．（2020·琼山 海南中学高三月考）【多选题】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC 【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确； 对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+, 联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误； 故选：ABC16．（2020·山东高三零模）【多选题】设A ，B 是抛物线2y x 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ）A ．若OA OB ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF = 【答案】ACD 【解析】B.设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，得20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b =-，OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确； C.O 到直线AB的距离1d =，即C 正确；A.||||OA OB ==．||||2OA OB ∴正确； D.由题得11111,4312y y +=∴=,所以211==12x x ∴±，x =.所以116k -==AB的方程为134y x =-+，所以14b =. 由题得212121211111||()2244222AB y y y y k x x b k b =+++=++=+++=++=1114++=3223. 所以41||133BF =-=.所以D 正确.故选：ACD ．。
圆锥曲线方程-抛物线(知识点、典型例题、考点、练习)
抛物线 典例剖析知识点一 抛物线概念的应用已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．解将x=3代入抛物线方程 y 2=2x ，得y=〒6.6>2，∴点A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ： x=21的距离为d ，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d ， 当PA ⊥l 时，|PA|+d 最小， 最小值为27，即|PA|+|PF|的最小值为27， 此时P 点纵坐标为2，代入y 2=2x ，得x=2， ∴点P 坐标为(2,2)．知识点二 求抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．分析 设出抛物线的标准形式，依据条件求出p 的值．解 (1)设抛物线标准方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，则将点(－3,2)代入方程得2p ＝43，或2p ＝92，故抛物线的标准方程为y 2＝－43x ，或x 2＝92y .(2)①令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点为F (0，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py ，则由p2＝2，得2p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝－8y .②令y ＝0，由x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线方程为y 2＝2px ，由p2＝4，得2p ＝16.∴所求抛物线方程为y 2＝16x .知识点三 抛物线在实际中的应用汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？分析 确定抛物线方程，求出抛物线的焦点到其顶点的距离解 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图所示．因灯口直径|AB|=24.灯深|OP|=10， 所以点A 的坐标是(10,12)．设抛物线的方程为y 2=2px(p>0)．由点A(10,12)在抛物线上，得122=2p ×10， ∴p=7.2.抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0)．因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.知识点四 抛物线几何性质的简单应用抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程．分析 先确定抛物线方程的形式，再依条件求待定参数．解 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，得抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)， 又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则有|a4|＝3，∴|a |＝12，即a ＝±12.故所求抛物线方程为y 2＝12x ，或y 2＝－12x .知识点五 直线与抛物线已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解 焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.韦达定理得，y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p (1＋1k 2)＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)，或y ＝－2(x －p 2)．知识点六 抛物线的焦点弦问题AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，MN ⊥l ，N 为垂足．求证：(1)AN ⊥BN ； (2)FN ⊥AB ；(3)若MN 交抛物线于Q ，则Q 平分MN .证明 (1)作AC ⊥l ，垂足为C ，作BD ⊥l ，垂足为D ，在直角梯形ABDC 中， ∵|AF|=|AC|，|BF|=|BD|， ∴|MN|=21(|AC|+|BD|) =21(|AF|+|BF|) =21|AB|， 由平面几何知识可知△ANB 是直角三角形，即AN ⊥BN. (2)∵|AM|=|NM|， ∴∠MAN=∠MNA ， ∵AC ∥MN ，∴∠CAN=∠MNA ，∴∠MAN=∠CAN.在△ACN 和△AFN 中，|AN|=|AN|，|AC|=|AF|， 且∠CAN=∠FAN ，∴△ACN ≌△AFN ， ∴∠NFA=∠NCA=90°， 即FN ⊥AB.(3)在Rt △MNF 中，连结QF ， 由抛物线的定义及(2)的结论得 |QN|=|QF|⇒∠QNF=∠QFN ，且∠QFN=90°-∠QFM ，∠QMF=90°-∠QNF ， ∴∠QFM=∠QMF ，∴|QF|=|QM|， ∴|QN|=|QM|，即Q 平分MN.知识点七 抛物线的综合问题过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A 、B 两点，设△AOB 的面积为S (O 为原点)．(1)用θ、p 表示S ；(2)求S 的最小值；当最小值为4时，求抛物线的方程．解 (1)设直线y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫y k ＋p 2，即y 2－2pk y －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝ k 2＋1k 2·4p 2k2＋4p 2＝(1＋1k 2)2p ＝(1＋1tan 2θ)2p＝2p sin 2θ.① 当直线AB ⊥x 轴时，①也成立．∴S ＝12|OF ||AF |sin θ＋12|OF ||BF |sin(π－θ)＝12|OF ||AB |sin θ ＝12·p 22p sin 2θsin θ＝p 22sin θ. (2)当θ＝90°时，S min ＝12p 2.若S min ＝4，则12p 2＝4.∴p ＝2 2.∴此时抛物线的方程为y 2＝42x .考题赏析1．(辽宁高考)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5 D.92解析 如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.答案 A2．(全国Ⅰ高考)已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．解析 ∵y ＝ax 2－1，∴y ＋1＝ax 2.令y ＋1＝y ′，x ＝x ′，则y ′＝ax ′2，∴x ′2＝2×12ay ′，∴x ′2＝1a y ′的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，即y ＋1＝14a ， ∴y ＝ax 2－1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a －1. 又y ＝ax 2－1的焦点是原点，∴14a ＝1，∴a ＝14.∴y ＝14x 2－1.令x ＝0，得y ＝－1，令y ＝0，得x ＝±2.故y ＝14x 2－1与两坐标轴的三个交点为(0，－1)，(2,0)，(－2,0)，∴围成三角形面积为S ＝12×4×1＝2.答案 23．(全国Ⅱ高考)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积等于________．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22，∴S △ABF ＝12×22×42＝2.答案 21．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.|a |4 B.|a |2C ．|a |D ．－a2答案 B解析 因为y 2＝ax ，所以p ＝|a |2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a |2，故选B.2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p 2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p 答案 B解析 由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.3．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (－3，m )到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x 答案 B解析 点P (－3，m )在抛物线上，焦点在x 轴上，所以抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px (p >0)．由抛物线定义知|PF |＝3＋p2＝5.所以p ＝4，所以抛物线的标准方程是y 2＝－8x .应选B.4．抛物线y 2＝ax 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的左焦点重合，则这条抛物线的方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x 答案 D解析 因为x 23－y 2＝1的左焦点为(－2,0)，所以抛物线开口向左，所以a <0，且p ＝|a |2＝4，所以a ＝－8，所以抛物线方程为y 2＝－8x ，故选D.5．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．答案 3＋2 2解析 ∵y 2＝4x 的焦点坐标为 F (1,0)，准线方程为x ＝－1，∴过F 且斜率为1的直线方程为y = x - 1.将其代入y 2= 4x 得 x 2 - 6x + 1=0.∴x 1, 2 =62± = 3〒22.∵|FA|>|FB|，∴x A =3+22，x B =3-22.又|FA|= x +1，|FB|= x B +1，∴|FA||FB|== 3+22. 答案 －36. 过抛物线y 2 = 4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则· 的值是________．. 解析 当直线过焦点且垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，代入y 2＝4x ，y 1,2＝±2.A 、B 点的坐标分别为(1,2)，(1，－2)．∴·OB →＝1－4＝－3.当直线过焦点不垂直x 轴时，则直线的方程可设为y ＝k (x －1)，设A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)(x 2，y 2)．则y 21·y 22＝16x 1x 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，得k 2x 2－(2k ＋4)x ＋k 2＝0， ·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3. 7．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，若动圆C 与圆A 相外切，且与直线l 相切，求动圆圆心C 的轨迹方程．解 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则由题意知|CA |＝d ＋1从而可知圆心C 到点(－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等．所以动圆圆心C 的轨迹是抛物线，其焦点为(－2,0)，准线为x ＝2，故设动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝－2px (p >0)，由p2＝2，得p ＝4.因此动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝－8x .8．已知点M (－2,4)及焦点为F 的抛物线y ＝18x 2，在此抛物线上求一点P 使|PM |＋|PF |的值最小．分析 先根据已知条件画出图形，由定义知，抛物线上的点P 到焦点F 的距离等于P 到准线l 的距离d ，所以求|PM |＋|PF |的最小值问题可转化为求|PM |＋d 的最小值问题，让点P 在抛物线上运动，容易发现当点P 运动到过点M 且与x 轴垂直的直线与抛物线的交点处时，|PM |＋d 最小．解 如图，设MN ⊥x 轴，与准线交于N ，与抛物线交于点P ，在抛物线上任取一点P ′，连P ′M ，P ′F ，作P ′N 垂直于准线，垂足为N ′.由抛物线的定义，|PN|=|PF|，|P ′N ′|=|P ′F||P ′M|+|P ′N ′|=|P ′M|+|P ′F| |PN|+|PM|=|PM|+|PF|∵|P ′M|+|P ′N ′|≥|PN|+|PM| ∴|P ′M|+|P ′F|≥|PM|+|PF|这就是说，当P ′与P 重合时，|PM|+|PF|的值最小解方程组22,1,8x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得P(-2，12)． 9．已知抛物线y 2＝2x ，过点Q (2,1)作一条直线交抛物线于A 、B 两点，试求弦AB 中点的轨迹方程．解 设弦AB 的中点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝2y ，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1y，即k AB ＝1y .又k MQ ＝y －1x －2，由题意知k MQ ＝k AB .∴y －1x －2＝1y，整理， 得y 2－x －y ＋2＝0.所以，弦AB 中点的轨迹方程为y 2－x －y ＋2＝0.10．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解 如右图所示，依题意设抛物线方程为y 2=2px(p>0)，则直线方程为y=-x+12p. 设直线交抛物线于A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| =x 1+2P + x 2 + 2P ， 即x 1+x 2 +p=8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，将其代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 故抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .讲练学案部分2．4.1 抛物线及其标准方程.对点讲练知识点一 求抛物线的标准方程分别求出满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)．(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上． 解 (1)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p 1y (p 1＞0)，把点(3，－4)的坐标分别代入得(－4)2＝2p ×3,32＝－2p 1×(－4)即2p ＝163，2p 1＝94∴所求抛物线的方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15 ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－60x 或x 2＝－20y .【反思感悟】 求抛物线方程应首先确定焦点的位置，进而确定方程的形式，然后利用已知条件求p 的值．求满足下列条件的抛物线的方程．(1)以坐标轴为对称轴，且过点A (2,3)；(2)以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52.解 (1)由题意，方程可设为y 2＝mx 或x 2＝ny ， 将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2或22＝n ·3，∴m ＝92或n ＝43.∴所求的抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(2)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .知识点二 抛物线定义的应用已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．解 设抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则准线方程为x ＝p2.∵点M (－3，m )是抛物线上的点，根据抛物线定义，M 点到焦点的距离等于M 点到准线的距离∴|－3|＋p2＝5 ∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上故m 2＝－8×(－3) ∴m ＝±2 6.【反思感悟】 涉及抛物线上一点与焦点的距离问题要注意用定义转化为该点到准线的距离，可简化计算．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线答案 D解析 设动圆的圆心为M ，半径为r ，动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，则M 到定点(2,0)的距离为r ＋1，动圆与直线x ＝－1相切，则点M 到定直线x ＝－1的距离为r ，所以M 到定点(2,0)和到定直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义知，答案选D.知识点三 抛物线知识在实际中的应用喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5 m ，且与OA 所在的直线相距4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2= -2py(p>0)，点C(5， -5)在抛物线上，所以25= -2p ·(-5),2p=5，所以抛物线的方程为x 2= -5y ，点A(-4，y 0)在抛物线上，所以16= -5y 0，y 0 = -165，所以OA 的长为5 - 165=1.8 (m)．∴管柱OA 的长是1.8 m.【反思感悟】 根据题意，建立直角坐标系，用待定系数法求出抛物线方程，再利用抛物线方程解决实际问题．抛物线型拱桥顶距离水面2米，水面宽4米，当水下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析 可设抛物线方程为x 2＝－2py ，则点(－2，－2)在抛物线上，则有：4＝4p . ∴p ＝1，抛物线方程为x 2＝－2y ，当y ＝－3时，x ＝±6. ∴水面宽为2 6. 课堂小结：1.四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向.2.焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x 2=2py 通常又可以写成y=ax 2,这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y=ax 2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式.3.经过抛物线的焦点的弦称为抛物线的焦点弦，它有以下特性：设焦点弦AB 的端点坐标分别为A （x 1 , y 1）,B(x 2,y 2)，则y 1y 2= - p 2, x 1x 2 = 24p ，|AB|= x 1 + x 2 + p.课时作业一、选择题1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x 答案 D解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即(－2,0)、(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .2．抛物线y ＝mx 2(m <0)的焦点坐标是( )A ．(0，m 4)B ．(0，14m )C ．(0，－m 4)D ．(0，－14m)答案 B解析 由于抛物线方程可化为x 2＝1my (m <0)，所以抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且2p ＝－1m ，所以p 2＝－14m ，所以抛物线的焦点坐标是(0，14m)，答案选B.3．过点M (2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条 答案 C解析 容易发现点M (2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，l 与抛物线有一个公共点，或者l 在M 点上与抛物线相切，故选C.4．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上不同的两点，则y 1·y 2＝－p 2是直线P 1P 2通过抛物线焦点的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 设直线P 1P 2的斜率为k ，在x 轴上的截距为x 0，则P 1P 2的方程为y ＝k (x －x 0)， x ＝1ky ＋x 0(k ＝0时只有一个交点不合题意)， 所以y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1k y ＋x 0，即y 2－2pky －2px 0＝0. 当直线P 1P 2过焦点时，x 0＝p2，则y 1y 2＝－p 2.当y 1y 2＝－p 2时，即－2px 0＝－p 2，则x 0＝p2，直线过焦点．当斜率不存在时也可验证是充要条件．5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4 答案 B解析 方法一 由已知得抛物线焦点为(1,0)，过焦点的直线设为y ＝k (x －1)(由x 1＋x 2＝6知，此直线不平行于y 轴，因而k 存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2＝6，x 1·x 2＝1得k ＝±1.所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝2(x 1－x 2)2＝64，故|AB |＝8.方法二 由焦半径公式|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.二、填空题6．抛物线2y 2＋5x ＝0的焦点坐标为____________，准线方程为______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－58，0 x ＝58解析 化抛物线2y 2＋5x ＝0为标准方程y 2＝－52x,2p ＝52，p 2＝58，所以焦点坐标为(－58，0)，准线方程为x ＝58.7．设点M ⎝⎛⎭⎫3，103与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则当d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为____________．答案 (2,2)解析 当P 点是M 与焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0连线与抛物线交点时，d 1＋d 2最小，MF 的方程为y ＝43x －23，与抛物线y 2＝2x 联立得P (2,2)． 三、解答题8．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦恰被Q 平分，求AB 所在直线方程． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因点Q (4,1)为A ，B 的中点则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8y 1＋y 2＝2将A 、B 两点坐标代入y 2＝8x .则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1 ①y 22＝8x 2 ②①－②得：(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)，由y 1＋y 2＝2，则有y 1－y 2x 1－x 2＝4，∴k AB ＝4.∴所求直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.9．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一宽4米、高6米的矩形大木箱，问能否安全通过？解建立坐标系如图，设抛物线方程为 x 2= -2py ，则点(26， -6.5)在抛物线上， ∴262= -2p ·(-6.5)，∴p=52，抛物线的方程为x 2= -104y ，当y=-0.5时，x=〒213，则有413>4， 所以木箱能安全通过．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． 求证：(1)x 1x 2为定值；(2)1|F A |＋1|FB |为定值． 证明 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，当AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2 (k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px消去y ， 得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p2，x 1x 2＝p24也成立．(2)由抛物线的定义知，|F A |＝x 1＋p 2，|FB |＝x 2＋p2.又由(1)得x 1x 2＝p24，所以1|F A |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋pp 2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p 24 ＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2)＋p 22＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p )＝2p(定值)． 2．4.2 抛物线的简单几何性质.对点讲练知识点一 由性质求方程已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．解 设所求抛物线方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(y 1>0，y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝23，由对称性知，y 2＝－y 1，代入上式得y 1＝3，把y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1.所以点(1，3)在抛物线y 2＝2px 上，点(－1，3)在抛物线y 2＝－2px 上，所以3＝2p 或3＝－2p ×(－1)．所以p ＝32，所以所求抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .【反思感悟】 (1)由已知的几何条件求抛物线方程，常用待定系数法．(2)由于抛物线是轴对称图形，所以与对称轴垂直的弦一定被对称轴平分．已知抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝2x ＋1被抛物线截得的线段长为15，求此抛物线的标准方程．解 ∵抛物线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为y 2＝2px由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2pxy ＝2x ＋1得4x 2＋(4－2p )x ＋1＝0.∴|x 1－x 2|＝(4－2p )2－164＝p 2－4p2.∴1＋22|x 1－x 2|＝52p 2－4p .∴52p 2－4p ＝15.∴p ＝6或p ＝－2. ∴抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .知识点二 与抛物线有关的证明问题过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．证明如图所示，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系． 设抛物线的方程为y 2=2px ，①点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，则直线OA 的方程为 y ＝2py 0x (y 0≠0)，②抛物线的准线方程是x ＝－p2.③联立②③，可得点D 的纵坐标为y ＝－p 2y 0④因为点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫p 2，0，当AB ⊥x 轴时，|y 0|＝p 此时，|OA |＝|OD |，∴DB ∥x 轴当AB 与x 轴不垂直时，即y 20≠p 2时，直线AF 的方程为y ＝2py 0y 20－p 2⎝⎛⎭⎫x －p 2，⑤ 联立①⑤，可得点B 的纵坐标为y ＝－p 2y 0.⑥由④⑥可知，DB ∥x 轴．【反思感悟】 因抛物线方程的独特形式，较之椭圆与双曲线，它上面的点便于用一个变量表示出来，如y 2＝2px 上任一点，可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22p ，y ，注意恰当运用．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，Q 是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO 交准线于P 点，过Q 且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R 点，求证：PF ⊥RF .证明如图所示，设点Q ⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，则R.（-2p，y 0 ） 直线OQ 的方程为y=02y p x ， 当x=-2p 时，解得y=-02y p，∴P ＝2,20p p y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又F （2p ，0），∴RF →＝⎝⎛⎭⎫p ，p 2y 0，RF →＝(p ，－y 0) ∴RF →·RF →＝0，∴PF ⊥RF .知识点三 直线与抛物线的交点问题已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解 由题意，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)y 2＝4x ，可得：ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① (1)当k ＝0时，由方程①得y ＝1.把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. (2)当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)． 1°由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1，或k ＝12.于是，当k ＝－1，或k ＝12时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l 与抛物线只有一个公共点．2°由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12.于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组有两个解．这时，直线l与抛物线有两个公共点．3°由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1，或k >12.于是，当k <－1，或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l与抛物线没有公共点．综上，我们可得当k ＝－1，或k ＝12，或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1，或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．【反思感悟】 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，抛物线和直线相交，只有一个交点．解决直线与抛物线位置关系问题时，不要忽视这一点，否则容易漏解．直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 分别相切、相交、相离？解 将l 和C 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1， ①y 2＝4x ， ②①式代入②式，并整理，得 k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.当k ≠0时，是一元二次方程， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．(1)当Δ＝0时，即k ＝1时，l 与C 相切． (2)当Δ>0时，即k <1时，l 与C 相交． (3)当Δ<0时，即k >1时，l 与C 相离．当k ＝0时，直线l ：y ＝1与曲线C ：y 2＝4x 相交．综上所述，当k ＝0或k <1时，l 与C 相交，当k ＝1时，l 与C 相切，当k >1时，l 与C 相离．课堂小结：1.在已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x 轴,求抛物线的标准方程时,为避免讨论张口的方向可设抛物线的方程为y 2=2ax (a ≠0).此时,不论a>0或a<0,焦点坐标都是（2a,0）,准线方程都为x=-2a . 2.抛物线y 2= 2px (p>0)上任一点的坐标可用一个量y 1表示为21(1),2y y p;x 2 = 2py (p>0)上任一点坐标可设为（x 1 , 212x p）.3.直线与抛物线的位置关系设直线l ：y=kx+m ，抛物线：y 2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程：ax 2+bx+c=0,(1)若a ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点.（2）若a=0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( )A ．|x 0－p 2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p | 答案 B解析 当p >0时，由抛物线定义得点P (x 0，y 0)到焦点的距离为x 0＋p2，当p <0时由抛物线定义知P (x 0，y 0)到焦点的距离为－p 2－x 0，综上得所求距离为|x 0＋p2|，故选B.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为4，则|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4 答案 A解析 设A 、B 两点的横坐标分别为x A 、x B ，则有x A ＋x B ＝8，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝8＋p ＝8＋2＝10.3．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为( )A.32 3B.25 5C.710 5D.172 答案 B解析 由已知得抛物线方程为y 2＝4x ，直线方程为2x ＋y －4＝0，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是F (1,0)，到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝|2＋0－4|22＋1＝255.4．若抛物线y 2＝2px (p >0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点的距离的关系是( )A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列 答案 A解析 设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3，因为2y 22＝y 21＋y 23， 所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |. 二、填空题5．抛物线的顶点在原点，准线垂直于x 轴，且焦点到顶点的距离为4，则其方程为______________________．答案 y 2＝16x 或y 2＝－16x解析 焦点到顶点的距离即p2＝4，p ＝8.6．抛物线y ＝x 2上的点到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是____________． 答案 (1,1)解析 设点A (x ，y )是符合题设条件的点，则由点到直线的距离公式，得d ＝55|2x －y －4|＝55|2x －x 2－4| ＝55|－(x －1)2－3|≥355. 当且仅当x ＝1时，d 取得最小值，故所求点为(1,1)．7．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是____________．答案 [－1,1]解析 Q 点坐标为(－2,0)，直线l 的斜率不存在时，不满足题意，所以可设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝k (x ＋2)．当k ＝0时满足．当k ≠0时，x ＝1ky －2，代入y 2＝8x ，得y 2－8k y ＋16＝0.Δ＝64k2－64≥0，k 2≤1，即－1≤k ≤1(k ≠0)．综上，－1≤k ≤1.三、解答题8．过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程． 解 显然，直线存在斜率k ， 设其方程为y －2＝k (x ＋3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x ＋3)y 2＝4x 消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0①(1)当k ＝0时，方程①化为－4y ＋8＝0，即y ＝2， 此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2，满足条件． (2)当k ≠0时，方程①应有两个相等实根． 由⎩⎪⎨⎪⎧ k ≠0Δ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠016－4k (8＋12k )＝0，得k ＝13或k ＝－1.∴直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3)，即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为： y ＝2，x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.9．A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，满足OA ⊥OB ，其中O 为抛物线顶点．求证： (1)A ，B 两点的纵坐标乘积为定值； (2)直线AB 恒过一定点． 证明(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1≠0，x 2≠0，则y 12=2px 1， y 22=2px 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2 + y 1y 2=0.∴y 12y 22、= 4p 2 x 1x 2 = 24p -y 1y 2.∴y 1y 2 =24p -为定值， x 1x 2=-y 1y 2=4p 2也为定值．∴A 、B 两点的纵坐标乘积为定值．(2)若AB ⊥x 轴，则易知直线AB 方程为x = 2p ， 过点(2p,0)；若AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，y 1+y 2≠0.由y 12-y 22=2p(x 1-x 2)，得1212122y y px x y y -++=. ∴直线AB 的方程是y= 122py y + (x -x 1)+y 1，即y = 211121222px px y y y y y ++-+。
抛物线曲线经典题目(含答案解析)
抛物线曲线经典题目(含答案解析)
问题描述
某物体被抛向空中，并沿着抛物线轨迹运动。
该抛物线由方程
y = ax^2 + bx + c 描述，其中 a、b、c 为常数。
给定 a = 2, b = -4, c = 1，求该抛物线的顶点坐标和对称轴方程。
解答分析
首先，我们需要确定抛物线的顶点坐标。
抛物线的顶点坐标可
以通过以下公式计算：
x = -b / (2a)
y = a * (x^2) + b * x + c
代入 a = 2, b = -4, c = 1，即可得到抛物线的顶点坐标。
其次，我们还需要确定抛物线的对称轴方程。
对称轴方程可以
通过以下公式计算：
x = -b / (2a)
代入 a = 2, b = -4，即可得到抛物线的对称轴方程。
计算过程与结果
根据计算公式，我们可以得到抛物线的顶点坐标和对称轴方程的具体计算过程如下：
1. 计算顶点坐标：
x = -(-4) / (2 * 2) = 1
y = 2 * (1^2) + (-4) * 1 + 1 = -1
因此，该抛物线的顶点坐标为 (1, -1)。
2. 计算对称轴方程：
x = -(-4) / (2 * 2) = 1
因此，该抛物线的对称轴方程为 x = 1。
结论
该抛物线的顶点坐标为 (1, -1)，对称轴方程为 x = 1。
以上是对题目的完整解答与分析。
通过计算，我们可以得到抛物线的顶点坐标和对称轴方程，进一步了解抛物线的特征和形态。
高中数学抛物线经典例题(含解析)
抛物线大题一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．【分析】（1）由题意，结合所给信息列出等式，求出p的值，进而可得抛物线C的方程；（2）（i）结合（1）中所得信息得到点P的坐标，设出A，B两点的坐标，利用斜率公式得到4（y1+y2）+y1y2+20＝0，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进而即可求解；（ii）设出A，B两点的坐标，分别讨论直线AB的斜率是否存在，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值，当直线AB的斜率不存在时，结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值，两者比较即可求解．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，可得抛物线C的方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l和抛物线C的方程，消元写出韦达定理，将OP⊥OQ用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得m的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．【分析】（1）由题意，先设出抛物线C的方程，将点P的坐标代入抛物线方程中，求出p的值，进而可得抛物线C的标准方程；（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，进而即可求解．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息建立有关p的等式，进而即可求解；（2）设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．【分析】（1）由题意，先求出的右焦点，根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合，可得，进而求出抛物线方程；（2）结合（1）中所得信息得到直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．【分析】（1）由题意，得到点A的坐标，代入抛物线方程中进行求解即可；（2）先得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用|PF|＝5，根据抛物线的定义，求出p的值，即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（s，0），直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理，根据k AM＝﹣k MB，求出s的值，即可得解．。
抛物线专题练习(含解析)
抛物线专题练习1．（2020·吉林省长春模拟）点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.163．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．85．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．56．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )7．A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.538．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．489．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l的斜率为( )A ．3B ．1C ．2D.1210．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝163，则k＝.15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A(2，y0)，且点A到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l：y＝x＋m与抛物线交于两个不同的点P，Q，若OP⊥OQ，求实数m的值．16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为⊥AGB的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥F A，垂足为N，求点N的坐标．1．（2020·吉林省长春模拟）点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y【答案】D【解析】将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，⊥a ＝112.当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，⊥a ＝－136. ⊥抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.16【答案】D【解析】由抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，可得p ＝3，则抛物线的标准方程为x 2＝13y ，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选D.]3．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y 【答案】C【解析】设所求抛物线方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，又点(－4,4)在抛物线上，则有－4k ＝16或4m ＝16，解得k ＝－4或m ＝4，所求抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故选C.]4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6.]5．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【解析】由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1，故选A.]6．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3 7．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.53【答案】A【解析】因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)，故|BF |＝|CF |＝p 2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px ，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8，故|AB ||CD |＝x Ax D ＝2pp 8＝16.故选A 8．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．48【答案】B【解析】由准线方程为x ＝－2，可知p ＝4，则抛物线C 的方程为y 2＝8x .由抛物线的定义可知，|MN |＝|MF |＋|NF |＝x 1＋x 2＋4＝8，则x 1＋x 2＝4，即y 218＋y 228＝4，故y 21＋y 22＝32.故选B.] 9．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l 的斜率为( )A ．3B ．1C ．2 D.12【答案】B【解析】由于R (2,1)为AB 中点，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．根据抛物线的定义|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝2×2＋p ＝5，解得p ＝1，抛物线方程为y 2＝2x .y 2A ＝2x A ，y 2B ＝2x B，两式相减并化简得y B－y A x B －x A ＝2y A ＋y B ＝22×1＝1，即直线l 的斜率为1.故选B.]10．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＞0，解得－1＜k ＜1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．x 1＋x 2＝8k 2－4.⊥ x 1x 2＝4.⊥ 根据抛物线的定义及|F A |＝2|FB |，得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2，⊥且x 1＞0，x 2＞0，由⊥⊥解得x 1＝4，x 2＝1，代入⊥得k 2＝89，k ＞0，⊥k ＝223.故选D.11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．【答案】－22【解析】⊥双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，⊥抛物线方程为y 2＝8x .⊥|AF |＝3，⊥x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.⊥点A 在第一象限，⊥A (1,22)，⊥直线AF 的斜率为221－2＝－2 2.]12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．【答案】9【解析】根据题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，点A 到准线的距离为10，故点A 到x 轴的距离是9.]13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．【答案】63【解析】如图，设⊥AOB 的边长为a ，则A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，⊥点A 在抛物线y 2＝3x 上，⊥14a 2＝3×32a ，⊥a ＝6 3.] 14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y ＝k (x －1)与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则k ＝ .【答案】±3【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163，所以x 1＋x 2＝103.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)得到k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝103，所以k ＝± 3.]15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值． 【解析】(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到准线的距离为4， ⊥2＋p2＝4，⊥p ＝4，⊥抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x 得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝8，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝8m . ⊥OP ⊥OQ ，⊥x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0， ⊥m ＝0或m ＝－8.经检验，当m ＝0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意． 当m ＝－8时，Δ＝(－24)2－4×64＞0，符合题意． 综上，实数m 的值为－8.16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为⊥AGB 的平分线． 【解析】(1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.⊥抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：⊥点A (2，m )在抛物线E 上，⊥m 2＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，F (1,0)， ⊥直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，⊥B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，⊥k GA ＝223，k GB ＝－223，⊥k GA ＋k GB ＝0， ⊥⊥AGF ＝⊥BGF .⊥GF 为⊥AGB 的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．【解析】(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2，于是4＋p 2＝5，⊥p ＝2. ⊥抛物线方程为y 2＝4x .(2)⊥点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又⊥F (1,0)，⊥k F A ＝43， ⊥MN ⊥F A ，⊥k MN ＝－34. ⊥F A 的方程为y ＝43(x －1)， ⊥ MN 的方程为y －2＝－34x ， ⊥联立⊥⊥，解得x ＝85，y ＝45， ⊥点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.。
抛物线的简单几何性质典型例题
抛物线的简单几何性质典型例题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ典型例题一例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ，通过点Ｐ和抛物线顶点的直线交准线于点M ,如何证明直线MQ 平行于抛物线的对称轴？解：思路一:求出M 、Q 的纵坐标并进行比较，如果相等,则ＭQ//x 轴,为此,将方程)2(,22px k y px y -==联立,解出),)11(,2)11((2222k k p k k p P ++++))11(,2)11((2222k k p kk p Q +--+ 直线OP 的方程为,)11()11(2222x k k k y ++++=即.)11(22x kk y +--=令2px -=,得M 点纵坐标Q M y k k p y =+-=)11(2得证. 由此可见，按这一思路去证,运算较为繁琐.思路二:利用命题“如果过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为1y 、2y ，那么221p y y -=”来证.设),(11y x P 、),(22y x Q 、),(33y x M ，并从px y 22=及)2(px k y -=中消去x ，得到0222=--kp py ky ，则有结论221p y y -=，即122y p y -=.又直线O Ｐ的方程为x x y y 11=, 2px -=,得1132x py y -=．因为),(11y x P 在抛物线上,所以p yx 2112=．从而212211113)(2y y p y p py x py y =-=⋅-==．这一证法运算较小．思路三:直线MQ 的方程为o y y =的充要条件是),2(),,2(0200y p y Q y pM -.将直线M Ｏ的方程p y y 02-=和直线ＱF 的方程)2(2220px py py y o --=联立,它的解（ｘ ,y )就是点Ｐ的坐标，消去o y 的充要条件是点P 在抛物线上,得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维,运算量也较小.说明：本题中过抛物线焦点的直线与x 轴垂直时（即斜率不存在)，容易证明成立.典型例题二例２ 已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、Ｂ两点，点Ｒ是含抛物线顶点Ｏ的弧AB 上一点，求△RAB 的最大面积.分析:求RA Ｂ的最大面积，因过焦点且斜率为１的弦长为定值,故可以AB 为三角形的底,只要确定高的最大值即可.解：设A Ｂ所在的直线方程为2p x y -=． 将其代入抛物线方程px y 22=,消去x 得0222=--p py yp y y y y y y AB 44)(222122121=-+⋅=-=∴当过R 的直线l 平行于ＡＢ且与抛物线相切时，△ＲAB 的面积有最大值. 设直线l 方程为b x y +=．代入抛物线方程得0222=+-pb py y 由,0842=-=∆pb p 得2p b =，这时),2(p pR .它到A Ｂ的距离为p h 22= ∴△RAB 的最大面积为2221p h AB =⋅.典型例题三例3 直线1l 过点)0,1(-M ，与抛物线x y 42=交于1P 、2P 两点,P 是线段1P 2P 的中点,直线2l 过Ｐ和抛物线的焦点Ｆ，设直线1l 的斜率为k ．(1)将直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数)(k f ; （2）求出)(k f 的定义域及单调区间.分析：2l 过点Ｐ及F ,利用两点的斜率公式,可将2l 的斜率用k 表示出来，从而写出)(k f ,由函数)(k f 的特点求得其定义域及单调区间．解：(1)设1l 的方程为：)1(+=x k y ,将它代入方程x y 42=，得0)42(2222=+-+k x k x k设),(),(),(222111y x P y x P y x P 、、,则2222212,24k k x k k x x -=-=+ 将222k k x -=代入)1(+=x k y 得：ky 2=,即Ｐ点坐标为)2,2(22k k k -.由x y 42=,知焦点)0,1(F ,∴直线2l 的斜率22221122kk k k k k -=--= ∴函数211)(kk f -=． （2)∵2l 与抛物线有两上交点,∴0≠k 且04)42(422>--=∆k k 解得01<<-k 或10<<k∴函数)(k f =的定义域为{}1001<<<<-k k k 或 当)0,1(-∈k 时,)(k f 为增函数.典型例题四例4 如图所示:直线l 过抛物线px y 22=的焦点，并且与这抛物线相交于A 、Ｂ两点，求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线．分析：本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据ｌ上任一点到C 、Ｄ距离相等来得矛盾结论.证法一：假设直线l 是抛物线的弦CD 的垂直平方线,因为直线l 与抛物线交于Ａ、B 两点，所以直线l 的斜率存在,且不为零；直线CD的斜率存在,且不为0．设C 、D 的坐标分别为)2,2(121pt pt 与)2,2(222pt pt .则211t t k CD += ∴l 的方程为)2()(21px t t y -⋅+-=∵直线l 平分弦CD∴CD 的中点))(),((212221t t p t t p ++在直线l 上, 即]2)()[()(22212121p t t p t t t t p -++-=+,化简得:0)21)((222121=+++t t t t p由0)(21≠+t t p 知0212221=++t t 得到矛盾,所以直线l 不可能是抛物线的弦C Ｄ的垂直平分线. 证法二：假设直线l 是弦CD 的垂直平分线∵焦点F 在直线l 上,∴DF CF =由抛物线定义，),(),,(2211y x D y x C 到抛物线的准线2px -=的距离相等. ∵2121,y y x x -==,∴CD 的垂直平分线l ：0=y 与直线l 和抛物线有两上交点矛盾，下略.典型例题五例5 设过抛物线)0(22>=p px y 的顶点Ｏ的两弦OA 、O Ｂ互相垂直，求抛物线顶点O 在ＡＢ上射影N 的轨迹方程．分析：求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N 看成定点),(00y x ；待求得00y x 、的关系后再用动点坐标)(y x ，来表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算．解法一：设),,(),,(),,(002211y x N y x B y x A则:2221212,2px y px y ==,22221214p y y x x ⋅=∴OB OA ⊥ ,1-=⋅∴OB OA k k 即02121=+y y x x042122221=+∴y y py y 021≠y y ,2214p y y -=∴ ①把N 点看作定点，则AB 所在的直线方程为:),(000x x y x y y --=-显然00≠x 0200)(x y x y y x -+-=∴代入,22px y =化简整理得：0)(222020020=+-+y x p y py y x 00≠∴x ，0202021)(2x y x p y y +-=∴ ②由①、②得：020202)(24x y x p p +-=-，化简得)0(02002020≠=-+x px y x 用x 、y 分别表示00y x 、得:)0(0222≠=-+x px y x解法二:点N 在以O Ａ、OB 为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上，设)2,2(2pt pt A ,则以OA 为直径的圆方程为:)()()(242222t t p pt y pt x +=-+-022222=--+pty pt y x ①设)2,2(121pt pt B ，O Ａ⊥ＯＢ,则tt t t 1111-=⇒-=在求以ＯB 为直径的圆方程时以t1-代1t ，可得022)(222=+-+pty px y x t ②由①+②得：0)2)(1(222=-++px y x t)0(0222≠=-+∴x px y x典型例题六例6如图所示，直线1l 和2l 相交于点M ，1l ⊥2l ，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点Ｎ的距离相等,若△AMN 为锐角三角形,7=AM ，3=AN ，且6=BN ,建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.分析:因为曲线段C 上的任一点是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确定Ｃ所满足的抛物线方程．解:以1l 为ｘ轴，MN 的中点为坐标原点O ，建立直角坐标系．由题意，曲线段C 是Ｎ为焦点,以2l 为准线的抛物线的一段,其中A 、Ｂ分别为曲线段的两端点．∴设曲线段Ｃ满足的抛物线方程为:),0,)(0(22>≤≤>=y x x x p px y B A 其中A x 、B x 为A 、Ｂ的横坐标令,p MN =则)0,2(),0,2(pN p M -，3,17==AN AM ∴由两点间的距离公式,得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++92)2(172)2(22A A A Apx p x px p x解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22A x p∵△ＡMN 为锐角三角形，∴A x p>2,则4=p ，1=A x 又B 在曲线段C 上，4262=-=-=∴pBN x B 则曲线段C 的方程为).0,41(82>≤≤=y x x y典型例题七例7如图所示,设抛物线)10(22<<=p px y 与圆9)5(22=+-y x 在ｘ轴上方的交点为Ａ、Ｂ，与圆27)6(22=+-y x 在x 由上方的交点为C 、Ｄ,P 为AB 中点，Q 为C Ｄ的中点.（1)求PQ ．(2）求△AB Ｑ面积的最大值.分析：由于P 、Q 均为弦ＡB 、CD 的中点,故可用韦达定理表示出Ｐ、Q 两点坐标，由两点距离公式即可求出PQ ．解:(1)设),(),,(),,(),,(),,(),,(2211y x Q y x P y x D y x C y x B y x A D D C C B B A A由⎪⎩⎪⎨⎧==+-pxy y x 29)5(222得：016)5(22=+--x p x , P x x x BA -=+=∴5212198)5(222222)(222p p p p x x x x p x x p y y y BA B A B A B A -=+-=++=+=+=由⎪⎩⎪⎨⎧==+-pxy y x 227)6(222得09)6(22=+--x p x ， p x x x DC -=+=∴622 )(2222D C DC x x py y y +=+=同1y 类似,229p p y -=则0,12121=-=-y y x x ，1=∴PQ（２）B A B A APQ ABQ x x P y y PQ S S S BPQ -=-⋅=+=∆∆∆2221)1(821022p p p P-=--=10<<p ,∴当21=p 时,ABQ S ∆取最大值21． 典型例题八例８ 已知直线l 过原点,抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上,且点)0,1(-A 和点)8,0(B 关于直线l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程.分析：设出直线l 和抛物线C 的方程,由点A 、B 关于直线l 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程.或设α=∠Ox B ',利用对称的几何性质和三角函数知识求解.解法一:设抛物线C 的方程为px y 22=)0(>p ，直线l 的方程为kx y =)0(≠k ， 则有点)0,1(-A ,点)8,0(B 关于直线l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅+-⋅=,11,2121111k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=;12,1121221k k y k k x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-⋅=+,18,2282222k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.1)1(8,11622222k k y k k x 如图，'A 、'B 在抛物线上∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+-+-⋅=+.1162)1()1(64,112)1(42222222222k k p k k k k p k k 两式相除,消去p ，整理，得012=--k k ，故251±=k , 由0>p ,0>k ,得251+=k .把251+=k 代入，得552=p . ∴直线l 的方程为x y 251+=,抛物线C 的方程为x y 5542=． 解法二:设点A 、B 关于l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ， 又设α=∠Ox B ',依题意,有1'==OA OA ,8'==OB OB . 故αcos 82=x ，αsin 82=y ． 由︒=∠90BOA ，知︒=∠90''OA B ．∴ααsin )90cos(1=︒-=x ,ααcos )90sin(1-=︒-=y .又01>x ,02>x ，故α为第一象限的角．∴)cos ,(sin 'αα-A 、)sin 8,cos 8('ααB ．将'A 、'B 的坐标代入抛物线方程,得⎪⎩⎪⎨⎧==.cos 16sin 64,sin 2cos 22ααααp p ∴αα33cos sin 8=，即21tan =α从而55sin =α，552cos =α, ∴552=p ，得抛物线C 的方程为x y 5542=. 又直线l 平分OB B '∠,得l 的倾斜角为︒+=-︒+452290ααα． ∴251sin 1cos )90cos(1)90sin()452tan(+=-=︒++︒+=︒+=αααααk ． ∴直线l 的方程为x y 251+=． 说明：(１)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大,若不仔细、沉着,难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解,它的技巧性较强，一时难于想到．(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法,需要重点掌握．典型例题九例9 如图，正方形ABCD 的边AB 在直线4+=x y l ：上，C 、D 两点在抛物线x y =2上，求正方形ABCD 的面积．分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系,方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力．解：∵直线4+=x y AB ：,CD AB //,∴设CD 的方程为b x y +=，且),(11y x C 、),(22y x D .由方程组⎩⎨⎧+==bx y x y 2，消去x ,得02=+-b y y ，于是 121=+y y ,b y y =21,∴21211y y k CD -+=(其中1=k ) ∴)41(24)(221221b y y y y CD -=-+⋅=.由已知,ABCD 为正方形,AD CD =，∴CD 可视为平行直线AB 与CD 间的距离，则有24bCD -=,于是得24)41(2bb -=-.两边平方后,整理得,01282=++b b ,∴6-=b 或2-=b .当6-=b 时,正方形ABCD 的面积50)241(22=+==CD S ．当2-=b 时，正方形ABCD 的面积18)81(22=+==CD S .∴正方形ABCD 的面积为１8或5０.说明：运用方程（组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法,本题应充分考虑正方形这一条件．典型例题十例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为410⨯d km 时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为︒30，求这彗星与地球的最短距离.分析:利用抛物线有关性质求解．解：如图，设彗星轨道方程为px y 22=，0>p ,焦点为)0,2(p F , 彗星位于点),(00y x P 处.直线PF 的方程为)2(33p x y -=.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==),2(33,22p x y px y 得2)347(p x ±=, 故2)347(0p x ±=． p p p p x PF )324(|22)347(|332|2|3320±=-±=-=. 故d p =±)324(,得d p 232±=． 由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为d p 4322±=，所以彗星与地球的最短距离为410432⨯+d km 或410432⨯-d km ，（P 点在F 点的左边与右边时,所求距离取不同的值)． 说明：（1)此题结论有两个，不要漏解；（２)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设),(00y x P 为抛物线px y 22=上一点,焦点为)0,2(p F ，准线方程为2p x -=,依抛物线定义,有220p x p PF ≥+=)0(0≥x ,当00=x 时，PF 最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点．典型例题十一例11 如图,抛物线顶点在原点,圆x y x 422=+的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2,直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点，求CD AB +的值.分析:本题考查抛物线的定义,圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力,本题的关键是把CD AB +转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.解：由圆的方程x y x 422=+,即4)2(22=+-y x 可知，圆心为)0,2(F ,半径为２,又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为)0,2(F ,设抛物线方程为x y 82=,BC AD CD AB -=+ ∵BC 为已知圆的直径，∴4=BC ，则4-=+AD CD AB ．设),(11y x A 、),(22y x D ，∵FD AF AD +=，而A 、D 在抛物线上，由已知可知,直线l 方程为)2(2-=x y ，于是,由方程组⎩⎨⎧-==).2(2,82x y y 消去y ，得0462=+-x x ，∴621=+x x ． ∴1046=+=AD ，因此,6410=-=+CD AB ．说明:本题如果分别求AB 与CD 则很麻烦，因此把CD AB +转化成4-=-AD BC AD 是关键所在,在求AD 时，又巧妙地运用了抛物线的定义,从而避免了一些繁杂的运算.。
抛物线的简单几何性质讲解与例题
抛物线的简单几何性质一、抛物线几何性质的应用 活动与探究1已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上．若抛物线上一动点P 到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，F 两点距离之和的最小值为4，且A 为抛物线内一点，求抛物线方程．迁移与应用1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 的纵坐标为－42，该点到准线的距离为6，则抛物线方程为________________．2．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝__________． 注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．二、抛物线的焦点弦 活动与探究2已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 迁移与应用1．过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )．A ．45°B ．90° C．60° D．120°2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，求1|AF |＋1|BF |的值．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 称为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有下列性质：|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24等．三、直线与抛物线的位置关系 活动与探究3已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．迁移与应用1．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为( )．A ．－1B ．2C ．2或－1D ．42．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若AB 恰被Q 平分，求AB 所在的直线方程．1．直线与抛物线位置关系的判定：直线方程与抛物线方程联立得方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当a ＝0时，直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，且只有一个交点；当a ≠0时，两者位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可，即①相交：两个不同交点⇔a ≠0且Δ＞0；②相切⇔a ≠0且Δ＝0；③相离⇔a ≠0且Δ＜0．2．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点问题，要注意“点差法”的运用，体现“设而不求”的优越性．当堂检测1．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为|PF|＝( )．A．．8 C．．162．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为( )．A．1 B．1或3 C．0 D．0或13．过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为，则p＝__________．4．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________．5．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．线OA与l的距离等于5答案：课前²预习导学 【预习导引】1．⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 x ＝－p 2 y ＝p2 x ≤0y ≤0 x 轴 y 轴 (0,0)预习交流1 提示：抛物线与双曲线的一支不相同．双曲线的一支有渐近线，离心率e ＞1；抛物线没有渐近线，它的离心率是唯一的，e ＝1．2．x 0＋p2x 1＋x 2＋p 2p预习交流2 提示：抛物线方程化为y 2＝13x ，2p ＝13，故其通径长为13．预习交流3 提示：不正确，若直线与抛物线相切，则它们只有一个公共点，但当直线与抛物线只有一个公共点时，直线不一定与抛物线相切，还可能是相交，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合．这一点与圆、椭圆是不同的，要注意区别．课堂²合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：先根据题目条件设出抛物线方程，再结合图形，探讨抛物线上的动点P 满足到A ，F 两点距离之和取最小值时的条件，进而列出等量关系．解：设所求的抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p2．如图所示，若A 点在“抛物线所包含的区域之内”， 过点P 作准线的垂线，垂足为H ，由抛物线定义可知|PF |＝|PH |． 当H ，P ，A 在同一条直线上时， |PA |＋|PF |取最小值|AH |＝2＋2p ＝4，解得p ＝4，故所求的抛物线方程为y 2＝8x ． 迁移与应用 1．y 2＝16x 或y 2＝8x 解析：由于抛物线的准线方程是x ＝－p2，而点M 到准线的距离为6，所以M 点的横坐标是6－p 2，于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p 2，－42，代入方程得32＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p2，解得p ＝8或p ＝4，故方程为y 2＝16x 或y 2＝8x ．2．2 解析：圆x 2＋y 2－6x －7＝0的圆心为(3,0)，半径为4，抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋p 2＝4，得p ＝2或－14(舍)．活动与探究2 思路分析：(1)由倾斜角可知斜率，从而得到l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义可求得|AB |的值；(2)由|AB |＝9求得弦AB 中点的横坐标即可求得M 到准线的距离．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3．又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3．又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92．迁移与应用 1．B 解析：如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1．又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO ． 同理∠BFB 1＝∠B 1FO ．于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1．故∠A 1FB 1＝90°．2．解：已知抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 对于直线AB ，分两种情况考虑： (1)若直线AB 的倾斜角为90°， 则有|AF |＝|BF |＝p ，所以112||||AF BF p+=； (2)若直线AB 的倾斜角不等于90°， 设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 与抛物线方程联立并消去y ，整理得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋224k p ＝0，由韦达定理得，x 1＋x 2＝22(2)k p k +，x 1x 2＝24p ．另一方面，由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2p ，|BF |＝x 2＋2p． 于是121111||||22p p AF BF x x +=+++ ＝()122121224x x pp p x x x x +++++＝()()22222222=2424k pp k p k p p p pk ++++⋅+． 活动与探究3 思路分析：要求弦AB 的长，只需求出A ，B 两点的坐标．为此，设出A ，B 两点的坐标，利用OA ⊥OB 以及A ，B ，P 三点共线的条件求解．解：∵A ，B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2． ∵OA ⊥OB ，∴OA ²OB ＝0．由OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，OB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0．∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36．①∵点A ，B 与点P (4,2)在一条直线上， ∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226，化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24． 将①代入，得y 1＋y 2＝－6．②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610．迁移与应用 1．B 解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于两点，∴k ≠0． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝4k ＋8k2．而AB 中点的横坐标为2， ∴4k ＋8k2＝4，解得k＝－1或k ＝2．而当k ＝－1时，方程k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A ，B 两点重合，∴k ≠－1． 2．解：方法1：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －4)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －4)，y 2＝8x ，消去x ，整理得ky 2－8y －32k ＋8＝0．此方程的两根是弦AB 的端点A ，B 的纵坐标，由韦达定理得y 1＋y 2＝8k．又Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2．∴k ＝4． 故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0．方法2：设弦AB 的端点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 则有2118y x ＝，2228y x ＝，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． 由于Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2，于是y 1－y 2x 1－x 2＝4， 即直线AB 的斜率k ＝4，故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0．当堂检测1．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为|PF |＝( )．A ．．8C ．．16答案：B 解析：如图，直线AF 的方程为2)y x =-，与准线方程x ＝－2联立得A (－2，．设P (x 0，，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6． ∴|PF |＝x 0＋2＝8．2．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则k 的值为( )． A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．0或1答案：D 解析：联立22,8y kx y x=+⎧⎨=⎩得(kx ＋2)2－8x ＝0．整理得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0．当k ＝0时，方程变为－8x ＋4＝0，只有一解，这时直线与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，由Δ＝0得(4k －8)2－16k 2＝0，解得k ＝1． 综上，k ＝0或1．3．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B在x 轴上的正射影分别为D ，C ．若梯形ABCD 的面积为，则p ＝__________．答案：2 解析：如图，抛物线焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB ：y －2p ＝x ，即y ＝x ＋2p ．联立x 2＝2py ，得2,22,p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 得x 2－2px －p 2＝0，∴x 1＝(1p ，x 2＝(1p ．∴|AD |＋|BC |＝y 1＋y 2＝x 1＋2p ＋x 2＋2p＝2p ＋p ＝3p ，|CD |＝|x 1－x 2|＝． 由S 梯形ABCD ＝12(|AD |＋|BC |)²|CD |＝132p ⋅⋅=p 2＝4，∴p ＝±2．∵p ＞0，∴p ＝2．4．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．答案：－4 解析：由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴212242(2)2y y ⎧=⎨-=⎩,①,② ∴128,2,y y =⎧⎨=⎩∴P (4,8)，Q (－2,2)． 又∵抛物线可化为212y x =， ∴y ′＝x ，∴过点P 的切线斜率为4'4x y ==． ∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8． 又∵过点Q 的切线斜率为2'2x y =-=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2． 联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4．5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；答案：解：将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ²1，∴p ＝2．故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l l 的方程；若不存在，说明理由． 答案：假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ． 由22,4y x t y x=-+⎧⎨=⎩得y 2＋2y －2t ＝0． ∵直线l 与抛物线C 有公共点， ∴Δ＝4＋8t ≥0，解得12t ≥-．另一方面，由直线OA 与l 的距离5d ==，解得t ＝±1． ∵11,2⎡⎫-∉-+∞⎪⎢⎣⎭，11,2⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，∴符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0．用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本。
高中数学抛物线经典考点及例题讲解
抛物线考纲解读 1.利用抛物线的定义及简单性质求抛物线的标准方程；2.根据抛物线标准方程求其几何性质；3.利用抛物线几何性质研究与直线有关的综合问题．[基础梳理]1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内．(2)与一个定点F 和一条定直线l 距离相等． (3)l 不经过点F .2．抛物线的标准方程与几何性质O (0,0)[三基自测]1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78 D ．0 答案：B2．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则其方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x答案：D3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点P 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个 答案：C4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝－8x 或x 2＝－y5．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)过y 2＝8x 的焦点F 垂直于x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，求|MN |.答案：8考点一 抛物线的定义及应用|方法突破[例1] (1)(2018·河北三市联考)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53 B.75 C.97D ．2(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．25－1B ．25－2 C.17－1D.17－2(3)与y 轴相切并与圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0也相切的圆的圆心的轨迹方程为________． [解析] (1)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，分别过点A 、B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D 、E (图略)．∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3(x 1＋2)＝x 2＋23y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.(2)由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C.(3)当动圆在y 轴右侧时，如图，动圆圆心P 到(3,0)的距离等于P 到定直线x ＝－3的距离(3＋r )，所以P 点的轨迹是以(3,0)为焦点的抛物线． 其方程为y 2＝12x (x >0)．当动圆在y 轴左侧时，其圆心在x 轴的负半轴上，其方程为y ＝0(x <0)． [答案] (1)A (2)C (3)y 2＝12x (x >0)或y ＝0(x <0) [方法提升][母题变式]1．将本例(1)改为过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2 C ．3D ．4解析：AB 的中点到抛物线准线的距离为|AB |2＝5，所以AB 的中点到y 轴的距离为5－1＝4.答案：D2．将本例(2)改为已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，求|MA |＋|MF |的最小值．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1，由抛物线的定义得|MF |等于M 到准线的距离d ，所以|MA |＋|MF |的最小值等于圆心C 到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.考点二 抛物线标准方程及性质|方法突破[例2] (1)(2018·沈阳模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)(2)(2018·保定模拟)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x(3)经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，如果A 、B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1、B 1，那么∠A 1FB 1等于( )A.π6B.π4C.π2D.2π3[解析] (1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM →＝⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4.由|MF |＝5，得⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5. 又p >0，解得p ＝2或p ＝8.(3)由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AF A 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OF A 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AF A 1＝∠OF A 1，所以∠OF A 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.[答案](1)B(2)C(3)C[方法提升]求抛物线方程的方法[跟踪训练]1．(2018·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y解析：若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a ＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b ＝－8，所以抛物线的标准方程为x 2＝－8y .故所求抛物线的标准方程是y 2＝－x 或x 2＝－8y .答案：D2．(2018·重庆渝中区模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，双曲线C 的渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，△OAB (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝43x解析：∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴双曲线C 为等轴双曲线，即a ＝b ，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±x .又∵双曲线C 的渐近线与抛物线y 2＝2px 交于A ，B 两点，如图所示，设点A (x ，y )，∴|OM |＝x ，|AM |＝y .又 ∵△OAB 的面积为xy ＝4，∴x ＝2，y ＝2.又∵点A 在抛物线上，∴22＝2p ·2.解得p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x .故选C.答案：C3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3D ．2 解析：∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C. 答案：C考点三 直线与抛物线综合问题|方法突破[例3] (2016·高考浙江卷) 如图，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值．(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．[解析] (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离， 由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2,2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以B ⎝⎛⎭⎫1t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2tt 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t ，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2 t . 设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m ＝2t ＋2t t 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t 2t 2－1＝2＋2t 2－1，所以m <0或m >2.经检验，m <0或m >2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． [方法提升][跟踪训练]如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．以点F 为圆心，|F A |为半径的圆与x 轴负半轴的交点为点B ，与抛物线C 在第四象限的交点为点C .(1)若点O 到直线l 的距离为32，求直线l 的方程； (2)试判断直线AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明． 解析：(1)由题易知，抛物线C 的焦点为F (1,0)， 当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1，不符合题意.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以|－k |1＋k 2＝32，解得k ＝± 3. 即直线l 的方程为y ＝±3(x －1)． (2)直线AB 与抛物线C 相切，证明如下： 设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0.因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)， 整理得，x ＝2x 0y y 0－x 0，把上式代入y 2＝4x 得y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0，Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0，所以直线AB 与抛物线C 相切．1.[考点一](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.答案：B2.[考点一、二](2016·高考全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：由题意得点P 的坐标为(1,2)．把点P 的坐标代入y ＝kx (k >0)得k ＝1×2＝2，故选D.答案：D3.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k 2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k 2＋4＋4k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16，故选A.答案：A4.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析：如图，过M 、N 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M 1、N 1，设抛物线的准线与x 轴的交点为F 1，则|NN 1|＝|OF 1|＝2，|FF 1|＝4.因为M 为FN 的中点，所以|MM 1|＝3，由抛物线的定义知|FM |＝|MM 1|＝3，从而|FN |＝2|FM |＝6.答案：65.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率：(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.。
专题70：抛物线基础知识和典型例题(解析版)
专题70：抛物线基础知识和典型例题（解析版）抛物线1、定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：标准方程范围顶点对称轴轴轴焦点准线方程离心率，越大，抛物线的开口越大焦半径通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：焦点弦长公式3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．4、关于抛物线焦点弦的几个结论：设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则⑴⑵⑶以为直径的圆与准线相切；⑷焦点对在准线上射影的张角为⑸四、直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。
①.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
②.若，设。
③..时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。
c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
五、弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。
即当直线与圆锥曲线交于点，时，则====题型一：求抛物线的解析式例1求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，焦点是(0,5)F ； （2）顶点在原点，准线是4x =； （3）焦点是8(0,)F -，准线是8y =；（4）顶点在原点，关于x 轴对称，顶点与焦点的距离等于6．例1（1）220x y =；（2）216y x =-；（3）232x y =-；（4）224y x =±. 【解析】 【分析】（1）判断焦点位置，设出抛物线方程，根据焦点求解出抛物线的标准方程；（2）根据准线判断焦点位置，设出抛物线方程，根据准线方程求解出抛物线的标准方程； （3）根据焦点和准线设出抛物线方程，根据焦点坐标即可求解出抛物线的标准方程； （4）先判断出顶点位置，然后设出抛物线的标准方程，利用已知条件求解出抛物线的标准方程. 【详解】（1）因为焦点在y 轴正半轴，设抛物线方程22x py =，所以52p=，所以10p =， 所以抛物线的标准方程为220x y =；（2）因为准线4x =，所以焦点在x 轴负半轴，设22y px =-，所以42p=，所以8p =， 所以抛物线的标准方程为216y x =-；（3）由条件可知抛物线的焦准距被坐标原点平分，所以抛物线的顶点在坐标原点，设抛物线方程22x py =-， 所以82p=，所以16p =，所以抛物线的标准方程为232x y =-；（4）设抛物线的标准方程为22y px =，所以62p=，所以12p =±， 所以抛物线的标准方程为：224y x =±. 【点睛】本题考查根据已知条件求解抛物线的标准方程，主要考查学生的分析与计算能力，难度较易. 例2：已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率2e =求椭圆E 的方程． 例3：2214x y +=.【解析】 【分析】由点抛物线焦点F 是椭圆的一个顶点可得1b =，由椭圆离心率e =c a =椭圆方程可求． 【详解】设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，半焦距为c ．由已知条件，()0,1F ，1b ∴=，c a =222a b c =+， 解得2a =，1b =．所以椭圆E 的方程为2214x y +=．【点睛】本题考查了利用待定系数法求椭圆方程，属于基础题.题型二：求抛物线的轨迹例3：已知曲线()2C :2y x =+上有一点A ，定点()B 2,0，求线段AB 中点P 的轨迹方程。
高考数学解题方法微专题(28)抛物线中的最值问题(含解析)
微专题(二十八) 抛物线中的最值问题求解与抛物线有关的最值问题方法较多，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法[例1] 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，B (－1,1)，点P 到直线l ：x ＝－12的距离为d ，求d ＋|PB |的最小值．解析：由题意得抛物线y 2＝2x 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l 是抛物线的准线，如图，连接BF ，PF ，所以d ＝|PF |，则d ＋|PB |＝|PF |＋|PB |≥|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋(1－0)2＝132，当且仅当B ，P ，F 三点共线时取等号，所以d ＋|PB |的最小值为132. 名师点评 与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算.[例2] 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．解析：解法一 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝|8－43|5＝43.解法二 由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.答案：43名师点评 若抛物线上的点P 到直线l 的距离最小，则过点P 与l 平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离．3．函数法针对上面的例2，我们给出第三种解决方法：解法三 设P (x ，－x 2)，则点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4x －3x 2－8|16＋9＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋43，在抛物线y ＝－x 2中，x ∈R ，所以当x ＝23时，d 取得最小值43，即抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.[例3] 若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A (3,0)，则|PQ |≥|PA |－|AQ |＝|PA |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号，所以当|PA |取得最小值时，|PQ |最小．设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|PA |＝(x 0－3)2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|PA |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1. 答案：112－1 名师点评 解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标．。
(完整版)《抛物线》典型例题12例(含标准答案解析)
《抛物线》典型例题12 例典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．22（1）x24 y （2）x ay2（a 0）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）p 2 ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：y 12 1 1（2）原抛物线方程为：y2 1 x， 2 p 1 a a①当 a 0时，p 1，抛物线开口向右，2 4a11∴焦点坐标是（1 ,0），准线方程是：x 1．4a 4a②当a 0 时，p 1，抛物线开口向左，2 4a11∴焦点坐标是（ ,0），准线方程是：x ．4a 4a2 1 1 综合上述，当a 0时，抛物线x ay2的焦点坐标为（1 ,0），准线方程是：x14a 4a 典型例题二例 2 若直线y kx 2与抛物线y28x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求 k ．故所求直线方程为： y 2x 2 ．则所求直线方程为： y 2x 2 ．典型例题三例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为 y 2 2px(p 0)．如图所示，只须证明 A 2B MM 1 ，解法一：设 A(x 1, y 1) 、 B(x 2, y 2 ) ，则由：y kx 22y 28x可得：k 2x 2 (4k 8)x 4 0．∵直线与抛物线相交， k 0 且 0， 则k1．∵AB 中点横坐标为： x 1 x 2 4k 82 k 22，解得： k 2 或 k 1舍去)．解法二： 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2) ，则有 y 1 28x 12y28x 2 ．两式作差解： ( y 1 y 2)(y 1 y 2) 8(x 1 x 2) ，即y 1 y 2 x 1x28 y 1 y 2x 1 x 2 4 y 1y 2 kx 1 2 kx 2 2 k( x 1 x 2) 4 4k 4 ，k 4k 8 4 故 k2或 k 1 (舍去)．1MM 1AB ，故以 AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．12说明：类似有： 以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离， 以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线 y 2 4x 被直线 y 2x k 截得的弦长为 3 5，求 k 值．为 9 时，求 P 点坐标．求 P 点坐标．k 2x 1 x 2 1 k, x 1 x 242 解：（ 1）由 yy4x 2x 得： 4x 2 k2(4k 4)x k 2 0AB (1 22)( x 1 x 2)2 5( x 1 x 2)2 4x 1x 2 5 (1 k)2 k 2 5(1 2k)AB 3 5, 5(1 2k) 3 5 ，即 k 4 2）S 9 ，底边长为 3 5 ，∴三角形高 h 2 9 6 535 ∵点 P 在x 轴上，∴设 P 点坐标是 （x 0,0） 则点 P 到直线 y 2x 4的距离就等于 h ，即 0 2 2 22 12655x1或 x 0 5，即所求 P 点坐标是（－ 1，0）或（ 5，0）．典型例题五MM 111 12( AA 1 BB 1) 12(AF2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积 分析：（1）题可利用弦长公式求 k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离设直线与抛物线交于 A （x 1,y 1）与B （x 2,y 2） 两点．则有：BF )范文 范例 指导 参考例5 已知定直线 l 及定点 A (A 不在 l 上)，n 为过A 且垂直于 l 的直线，设 N 为 l 上任一点， AN 的垂直平分线交 n 于 B ，点 B 关于 AN 的对称点为 P ，求证 P 的轨迹为抛物线．分析：要证 P 的轨迹为抛物线， 有两个途径， 一个证明 P 点的轨迹符合抛物线的 定义，二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程， 可先用第一种方法，由 A 为定点， l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明 PA PN 且 PN l 即可． 证明： 如图所示，连结 PA 、PN 、NB ．由已知条件可知： PB 垂直平分 NA ，且 B 关于 AN 的对称点为 P ． ∴ AN 也垂直平分 PB ．则四边形 PABN 为菱形．即有 PA PN ．AB l. PN l.则 P 点符合抛物线上点的条件：到定点 A 的距离与到定直线的距离相等，所以 P 点的轨迹为抛物线．典型例题六例6 若线段 P 1P 2为抛物线 C:y 2 2px(p 0)的一条 分析： 此题证的是距离问题，如果把它们用两点间 的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用 抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：F(2p ,0)，若过 F 的直线即线段 P 1P 2所在直线斜率不存在时，则有 P 1F P 2F p,111 1 2P 1F P 2F p p p焦点弦， F 为 C 的焦点，求证：1 12 P 1F P 2F p若线段P1P2 所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为：y k(x 2p)(k 0) ，且设P1(x1,y1),P2(x2,y2) ．k(x p )2得：k(x p )2 k2x2p(k22)xk2p24x 1 x22p(k 22)k2x 1 x 2根据抛物线定义有：P1 F x1 2p,P2F x12p , P1P2 x1 x2 p则 1 1 P1F P2F P1F P2 F P1F P2Fx1x2(x1 2p)(x2 2 )x2 p2p4x1x1x2 2p (x1 x2)1请将①②代入并化简得：112P1F P2F p证法二：如图所示，设P1、P2 、F点在C的准线l 上的射影分别是P1 、P2 、F ，且不妨设P2P2 n m P1P1 ，又设P2 点在FF P1P1 上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知，P2 F n, P1F m, FF p又P2 AF ∽P2 BP1 ，AF P2 F BP1 P2P1p(m n ) 2mn 112 m n p即 AB 2psin 2故原命题成立．典型例题七例 7 设抛物线方程为 y 2 2px(p 0) ，过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为 焦点弦长为 AB 2 2p ．sin分析： 此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题． 证法一： 抛物线 y 2 2px( p 0)的焦点为 (2p ,0)， 过焦点的弦 AB 所在的直线方程为： y tan ( x 2p ) 由方程组 y tan (x 2p)消去 y 得： y 2 2 px2 2 2 2 24 x 2 tan 2 4 p(tan 2 ) p 2 tan 2，求证：x 1 x2设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2) ，则x1x2p(tan 22)tan 22p4p(1 2cot 2 )又 y 1 y 2 tan ( x 1 x 2 )AB (1 tan 2 )( x 1 x 2)2 (1 tan 2 ) (x 1 x 2) 2 4x 1x 2 (1 tan 2 ) p 2 (1 cot 2 ) 4 p4sec 2 4p 2 cot 2 (1 cot 2 )2p 2 sin1 4 sin证法二： 如图所示，分别作 AA 1、 BB 1垂直于准线 l ．由抛物线定义有：AFAA 1 AF cos p BFBB 1pBF cos典型例题八例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点 P （3,2 3） ，它的一个焦点为 F （1，0），对应于该 焦点的准线为 x 1，过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB ，若弦 AB 的长度不超过 8， 且直线 AB 与椭圆 3x 2 2y 2 2 相交于不同的两点，求 （ 1） AB 的倾斜角 的取值范围．（2）设直线 AB 与椭圆相交于 C 、 D 两点，求 CD 中点 M 的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线， AB 为抛物线的焦点弦，设其 斜率为 k ，弦 AB 与椭圆相交于不同的两点， 可求出 k 的取值范围， 从而可得 的 取值范围，求 CD 中点 M 的轨迹方程时，可设出 M 的坐标，利用韦达定理化简即 可．于是可得出：AFp1 cosBFp1 cosABAF BFpp1 cos1 cos2p21 cos2p2sin故原命题成立．解：(1)由已知得PF 4 ．故P到x 1 的距离 d 4 ，从而PF d ∴曲线C是抛物线，其方程为y24x ．设直线AB的斜率为k，若k 不存在，则直线AB与3x2∴k 存在．设AB的方程为y k ( x 1)4 x 2可得：ky24 y 4k 0 k( x 1)2 y22 无交点．2 由y2y设A、B坐标分别为(x1,y1)、(x2, y2)，则：y1y2y1y2 4AB12 (1 k2 )(y1y2)2 1k k2 (y1 y2)2 k4(1 k2 )4y1 y2 k2∵弦AB的长度不超过8，24(1 k 2)k28即k2由y2k(x21)得：(2k23x22 y223)x24k 2x 2(k21)∵AB与椭圆相交于不同的两点，k2由k21和k2 3可得： 1 k故1 tan 3 或 3 tan又0 ，∴所求的取值范围是：3或232) 设CD中点M ( x, y) 、C( x3, y3 )、D(x4,y4)由y2k(x21)得：(2k23)x24k2x3x22 y222(k 21) 0典型例题九例 9 定长为 3的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y 2 x 上移动，求 AB 的中点到 y 轴的距离的最小值，并求出此时 AB 中点的坐标．分析： 线段 AB 中点到 y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐 标问题，因此只要研究 A 、 B 两点的横坐标之和取什么最小值即可．解：如图，设 F 是y 2 x 的焦点， A 、 B 两点到准线的垂线分别是 AC 、BD ， 又M 到准线的垂线为 MN ， C 、 D 和N 是垂足，则x34k 22, x 3 x 12k 232 x3 x 42k 2 2k 2 3 1 232k 2 3 k 2 322k 23 9x42(k 2 1) 2k 2 3则2 51 2k 21 2223即25yx12k 2 2k 2322 y 2 2 (x 1)2 22 y 22 ( x 1) 2化简得： 3x 2 2 y 2 3x∴所求轨迹方程为： 3x 22y 23x 0( 2 x 2) 531 3 1 设M 点的横坐标为 x ，纵坐标为 y ， MN x ，则 x 42 4等式成立的条件是 AB 过点 F ．2 2 21(y 1 y 2) y 1 y 2 2y 1y 2 2x 2 2，y 1 y 2 2 ， y5 2 5 所以 M(54, 22) ，此时 M 到y 轴的距离的最小值为 45 ．说明：本题从分析图形性质出发， 把三角形的性质应用到解析几何中， 解法较简．典型例题十例 10 过抛物线 y 2 px 的焦点 F 作倾斜角为 的直线，交抛物线于 A 、B 两点， 求 AB 的最小值．分析：本题可分 2 和 2两种情况讨论．当 2 时，先写出 AB 的表达式， 再求范围．解：(1) 若 2 ，此时 AB 2p ．11 12( AC BD) 21( AFBF)12AB当x 45时， y 1y 2 P 214，故MN1AB ：y tan (x 2p )，即 x ta y n说明：(2) 若 2 ，因有两交点，所以 0．代入抛物线方程，有 ta 2 3n p y tan p 2 0 ．故 ( y 2 y 1 ) 2 4 p 2tan 2 4p 2 4p 2 csc( x 2 x 1) 2 ( y 2 y 1)2tan 2 22 csc4 p 2 2tan 故 AB 22 4 p csc (1 12 ) 4p 2 csc 4 tan 2所以 AB 2p 2 sin 2p ．因 2 ，所以这里不能取“=” 综合(1)(2) ，当 2 时， AB 最小值 2p ．(1) 此题须对 分 2 和 2两种情况进行讨论；的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点 A 在抛物线上，由抛物线定义，则 AA ' AF 1 2， 又 AA ' // x 轴 1 3 ． ∴ 2 3，同理 4 6 ， 而 2 3 6 4 180 ，∴ 3 6 90 ，∴ A 'FB ' 90 ．选 C ．②过AB 中点 M 作MM ' l ，垂中为 M '，∴以 AB 为直径的圆与直线 l 相切，切点为 M ' ．又 F ' 在圆的外部，∴ AF 'B 90 ． 特别地，当 AB x 轴时， M '与 F '重合， AF 'B 90 ．即 AF 'B 90 ，选 B ．典型例题十二例 12 已知点 M(3,2)， F 为抛物线 y 2 2x 的焦点，点 P 在该抛物线上移动， 当 PM PF 取最小值时，点 P 的坐标为 __________ ．分析： 本题若建立目标函数来求 PM PF 的最小值是困难的，若巧妙地利用抛则 MM1(AA ' BB ' ) 2 1 12( AF BF ) 1 AB 2物线定义，结合图形则问题不难解决．1 由定义知PF PE ，故PM PF PF PM ME MN 3 ．取等号时，M 、P、E三点共线，∴ P点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P点坐标为(2, 2) ．。
高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版
目录目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11抛物线大题专练（一）1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．3．如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．5．已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．6．已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．7．已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．8．抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．抛物线大题专练（二）10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．11．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．12．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．13．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．14．如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）当直线过点M（p，0）时，证明y1．y2为定值；（2）如果直线过点M（p，0），过点M再作一条与直线垂直的直线l′交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．16．（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．17．（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．18．（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．19．（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．20．（2014•江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．抛物线大题专练（三）21．（2014•杭州二模）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．22．（2014•包头一模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．（1）若∠BFD=120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；（2）在（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．23．（2014•长春三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．24．（2014•长沙二模）已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值．25．（2015•上海模拟）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．26．（2014•乌鲁木齐三模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点过F，过H（﹣，0）引直线l交此抛物线于A，B两点．（1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；（2）若p=2，点M在抛物线上，且+=t，求t的取值范围．27．（2014•太原二模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l1与抛物线交于不同的两点A、B，直线l2与抛物线交于不同的两点C、D．（Ⅰ）当l1过F时，在l1上取不同于F的点P，使得=，求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若l1与l2相交于点Q，且倾斜角互补时，|QA|•|QB|=a|QC|•|QD|，求实数a的值．28．（2014•合肥一模）已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+ny﹣m=0（m，n为常数且m≠0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）O为抛物线的顶点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别记为S1、S2、S3，求证：为定值．29．（2014•呼和浩特一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l过定点A（4，0）且与抛物线C交于P、Q两点，若以弦PQ为直径的圆E过原点O．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当圆E的面积最小时，求E的方程．30．（2014•普陀区一模）已知点P（2，0），点Q在曲线C：y2=2x上．（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值．抛物线大题专练参考答案与试题解析1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1，与抛物线方程联立，求出k的范围，利用，即可求出点A的纵坐标y1的取值范围．解答：解：（1）由定义得，则抛物线C的方程：x2=y（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1联立方程得x2﹣kx+k﹣1=0，A（k﹣1，（k﹣1）2），△1＞0即k≠2同理B（﹣k﹣1，（﹣k﹣1）2），△2＞0即k≠﹣2，令，则所以k＞2或，所以点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．2．（2015•淮安一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．解答：解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y=kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，所以．由，得．所以，故的为定值2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．（2014•九江三模）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）利用•+•=64，结合韦达定理，基本不等式，即可求直线l1、l2的方程．解答：解：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴•+•=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．4．（2014•浙江二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出A，B的坐标，可得三角形ABO是Rt△，从而可求过A，B，O三点的圆方程；（Ⅱ）直线AB的方程为：x=my+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合α+β=，可得b=﹣2p﹣2mp，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，∴直线x=2p与抛物线y2=2px的两个交点坐标分别是：A（2p，2p），B（2p，﹣2p），∴三角形ABO是Rt△，∴过A，B，O三点的圆方程是：（x﹣2p）2+y2=4p2；（Ⅱ）设点，直线AB的方程为：x=my+b，它与抛物线相交，由方程组消去x可得y2﹣2mpy﹣2pb=0，故y1+y2=2mp，y1y2=﹣2pb，这样，tan==即1=，所以b=﹣2p﹣2mp，∴直线AB的方程可以写成为：x=my﹣2p﹣2mp，即x+2p=m（y﹣2p），∴直线AB过定点（﹣2p，2p）．点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查和角的正切公式，考查直线过定点，属于中档题．5．（2014•广州二模）已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，可求a的值；（2）y=kx+1代入抛物线方程，利用韦达定理，确定S，T的坐标，根据|ST|=2，即可求直线l1的方程；（3）确定以线段ST为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标．解答：解：（1）∵点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，∴a=4．…（1分）（2）由（1）得抛物线E的方程为x2=4y．设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意，，y=kx+1代入抛物线方程，消去y得x2﹣4kx﹣4=0，解得．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．…（2分）直线AB的斜率，故直线AB的方程为．…（3分）令y=﹣1，得，∴点S的坐标为．…（4分）同理可得点T的坐标为．…（5分）∴=．…（6分）∵，∴．由，得20k2=16k2+16，解得k=2，或k=﹣2，…（7分）∴直线l1的方程为y=2x+1，或y=﹣2x+1．…（9分）（3）设线段ST的中点坐标为（x0，﹣1），则=．…（10分）而|ST|2=，…（11分）∴以线段ST为直径的圆的方程为=．展开得．…（12分）令x=0，得（y+1）2=4，解得y=1或y=﹣3．…（13分）∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，﹣3）．…（14分）点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（2015•兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．考点：抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；②分类讨论，求出△ABS面积的表达式，即可求得其最大值．解答：解：①设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，∴又得，∴所以依题意，∴p=4∴抛物线方程为y2=8x﹣﹣﹣﹣（6分）当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y2=8x②当直线的斜率存在时，由（2，y0）及，令y=0，得又由y2=8x和得：∴=﹣﹣﹣﹣（12分）当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，△ABS面积为∵，∴△ABS面积的最大值为．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（2015•路南区二模）已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）联立得y2+8y﹣8b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．（Ⅱ）由直线l与y轴负半轴相交，得﹣1＜b＜0，由点O到直线l的距离d=，得S△AOB=|AB|d=4．由此利用导数性质能求出△AOB的面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）联立得：y2+8y﹣8b=0．依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．设A（x1，y1），B（x2，y2），设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0==﹣4．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y1|=4，又|AB|==．所以|AB|=2r，即=8，解得b=﹣．所以x0==2b+8=，所以圆心为（，﹣4）．故所求圆的方程为（x﹣）2+（y+4）2=16．．（Ⅱ）因为直线l与y轴负半轴相交，∴b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知b＞﹣2，∴﹣2＜b＜0，直线l：y=﹣x+b整理得x+2y﹣2b=0，点O到直线l的距离d==，所以∴S△AOB=|AB|d=﹣4b=4．令g（b）=b3+2b2，﹣2＜b＜0，g′（b）=3b2+4b=3b（b+），∴g（b）在（﹣2，﹣）增函数，在（﹣，0）是减函数，∴g（b）的最大值为g（﹣）=．∴当b=﹣时，△AOB的面积取得最大值．点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．8．（2015•大庆二模）抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出椭圆左焦点坐标，得到抛物线准线方程，从而求得p值，则抛物线方程可求；（Ⅱ）写出A的坐标，由|OA|=t列式求得t与A的坐标间的关系，求出直线BC的方程，把A代入BC方程，得到a，c的关系，然后直接代入斜率公式求直线CD的斜率．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆N：+y2=1，∴c2=a2﹣b2=﹣1=，∴椭圆的左焦点为F1（﹣，0），∴﹣=﹣，则p=1．故M：y2=2x；（Ⅱ）由题意知，A（a，2a），∵|OA|=t，∴a2+2a=t2．由于t＞0，故有t=①由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为+=1．又∵A在直线BC上，故有+=1．将①代入上式，得：+=1，解得c=a+2+．又∵D（a+2，2），∴直线CD的斜率为：k CD====﹣1．点评：本题主要抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，解答此题的关键是对抛物线定义的灵活应用，是高考试卷中的压轴题．9．（2015•黄冈模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x求得c=1．设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由于椭圆C过点（1，），代入椭圆方程结合a2=b2+c2，联立解得即可；（II）设l：x=ky+1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由λ∈[﹣2，﹣1）可得到k2的取值范围．由于=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），通过换元，令t=∈[，]，即可得出|+|2的最小值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1，设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆C过点（1，），∴，又a2=b2+1，联立解得b2=1，a2=2．故椭圆C的标准方程为椭圆方程为+y2=1…（5分）（Ⅱ）由题意可设l：x=ky+1，由得（k2+2）y2+2ky﹣1=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有将①2÷②得+2=﹣⇒λ++2=…（8分）由λ∈[﹣2，﹣1]得﹣≤λ++2≤0⇒﹣≤≤0，0≤k2≤…（9分）=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），+=（x1+x2﹣4，y1+y2）x1+x2﹣4=k（y1+y2）﹣2=﹣，|+|=+==16﹣+令t=∈[，]，|+|2=8t2﹣28t+16∴t=时|+|2的最小值是4点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2，进而求出x1x2，根据向量数量积运算公式，可得•的值与k1无关；（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y1y3=﹣4，同理可得y2y4=﹣4，根据斜率公式可把表示成关于y1与y2的表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明．解答：证明：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2（m≠0）．…（1分）将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4my﹣8=0．…（2分）从而y1y2=﹣8，于是，…（3分）∴与k 1无关．…（5分）（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4）．则．…（8分）设直线AM的方程为x=ny+1（n≠0），将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4ny﹣4=0∴y1y3=﹣4．同理可得y2y4=﹣4．…（10分）故，…（11分）由（Ⅰ）知，y1y2=﹣8，∴为定值．…（12分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．11．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x 1+4x2+5+5=9，当且仅当x1=4x2时取得最小值9．由于x1x2=1，则解得，x2=（负的舍去），代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（），将B的坐标代入直线x=my+1，得m=．则直线l：x=y+1，即有4x+y﹣4=0或4x﹣y﹣4=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．12．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由（1）得，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，则（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=16（1+m2），|AB|2=（y1﹣y2）2+（x1﹣x2）2=（y1﹣y2）2+（）2=y1﹣y2）2[1+（）2]=16（1+m2）2，即有|AB|=4（1+m2），由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|﹣|CD|=|AB|﹣|CD|，又CD为圆x2+y2﹣2x=0的直径，即有|CD|=2，则4（1+m2）=6，解得，m=，则直线l的方程是x+y﹣=0或x﹣y﹣=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•衡水模拟）已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．可得k1+k2=m，k1•k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14．（2015•郴州二模）如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．利用抛物线的定义及梯形的中位线定理可得可得r====|O1O2|，即可证明；（2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4=0，可得根与系数的关系，由x2=4y，可得．可得k MA•k MB==﹣1，可得△MAB为直角三角形，可得△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得圆心P（2，3），半径r=|MP|=|3﹣（﹣1）|=4，即可得出所求的△MAB的外接圆的方程．（3）假设存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，设=λ，可得，，设C（x3，y3），D （x4，y4）．利用向量的坐标运算可得x1=﹣λx2，x4=﹣λx3．把x1=﹣λx2代入根与系数的关系可得．把y=kx+1代入椭圆方程可得（3k2+6）x2+6kx﹣1=0，把根与系数的关系与x4=﹣λx3联立可得，联立解得即可．解答：（1）证明：如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．则r====|O1O2|，∴r=|O1O2|，∴以AF为直径的圆与x轴相切；（2）解：设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．。
高中数学选择性必修一精讲精炼 抛物线(精讲)(教师含解析)(2)
3.3 抛物线(精讲)考法一 抛物线的定义及应用【例1】(1)(2021·全国)若点P 为抛物线2:2C y x =上的动点，F 为抛物线C 的焦点，则PF 的最小值为( ) A ．1B ．12C ．14D ．18(2)(2021·全国高二课时练习)已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( ) A B ．2 C ．115D ．3(3)(2021·全国)已知点P 是抛物线24x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是()8,7，则PA PQ +的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】(1)D(2)B(3)C【解析】(1)由22y x =，得212x y =，∴122p =，则128p =，所以焦点10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭，由抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小，得PF 的最小值为18.故选：D ．(2)由题可知2:1l x =-是抛物线24y x =的准线，设抛物线的焦点为F ，则()1,0F ，所以动点P 到2l 的距离等于PF ，所以动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为焦点F 到直线1:4360l x y -+=的距离，所以其最小值是40625-+=，故选：B.(3)易知抛物线的焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-.连接PF ，延长PQ 交准线于点M ，如图所示.根据抛物线的定义，知1PF PM PQ ==+.所以1119PA PQ PA PF AF +=+-≥-==，当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，所以PA PQ +的最小值为9. 故选：C. 【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)若抛物线22(0)y px p =>上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M 的横坐标和p 的值分别为( ) A ．9，2 B ．1，18C ．9，2或1，18D ．9，18或1，2【答案】C【解析】因为点M 到对称轴的距离为6， 所以不妨设()0,6M x ． 因为点M 到准线的距离为10，所以20062102px px ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 解得092x p =⎧⎨=⎩或0118x p =⎧⎨=⎩，故选：C ．2．(2021·全国)已知M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，F是抛物线C 的焦点，过M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，若120MFO ∠=︒(O 为坐标原点)，MNF 的周长为12，则||NF =( )A ．4BC ．D ．5【答案】A【解析】因为120MFO ∠=︒， 所以60FMN ∠=︒. 又M 是抛物线C 上一点，所以||||FM MN =，则FMN 是等边三角形. 又FMN 的周长为12， 所以12||43NF ==， 故选：A3．(2021·全国高二课时练习)过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，若33AF BF ==，则p =( )A ．3B ．2C ．32D ．1【答案】C【解析】方法一：如图，分别过点A ，B 作准线l 的垂线1AA ，1BB ，垂足分别为1A ，1B ，过点B 作1BD AA ⊥于点D ，BD 交x 轴于点E ．由已知条件及抛物线的定义，得11BB BF ==，13AA AF ==，所以312AD =-=．在Rt ADB 中，因为AB 4=，2AD =，所以30ABD ∠=︒，所以1122EF BF ==，所以焦点F 到准线的距离为13122+=，即32p =．方法二：依题意，直线AB 不与x 轴垂直，设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将其代入抛物线C 的方程22y px =，得()22222204k p k x p k x -++=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2124p x x =．因为33AF BF ==，所以123322p p x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即132p x =-，212p x =-，所以231224p p p ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得32p =．故选：C.考法二 抛物线的标准方程【例2】(1)(2021·全国高二课时练习)以x 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是( ) A ．28y x =B ．28y x =-C ．28y x =或28y x =-D ．28x y =或28x y(2)(2021·全国高二课时练习)已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 的纵坐标为-，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为( ) A ．216y x = B ．28y x =或24y x = C ．28y x =-D ．216y x =或28y x =(3)(2021·全国高二课时练习)在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为侧面11ABB A 所在平面上的一个动点，且点M 到平面11ADD A 的距离与到直线BC 的距离相等，则动点M 的轨迹为( ) A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线【答案】(1)C(2)D(3)D【解析】(1)依题意设抛物线方程为()220y px p =±>．因为焦点与原点之间的距离为2，所以22p=，所以28p =，所以抛物线方程为28y x =或28y x =-．故选：C ．(2)抛物线的准线方程是2px =-，而点M 到准线的距离为6∴点M 的横坐标是62p -，于是6,2p M ⎛-- ⎝代入22y px =，得32262p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得8p =或4p =，故该抛物线的标准方程为216y x =或28y x =．故答案选：D (3)正方体1111ABCD A B C D -中BC ⊥平面11ABB A ，∴MB 等于点M 直线BC 的距离. ∵平面11ADD A ⊥平面11ABB A ，∴点M 到平面11ADD A 的距离等于点M 到直线1AA 的距离. ∵点M 到平面11ADD A 的距离与到直线BC 的距离相等，∴MB 等于点M 到直线1AA 的距离. 根据抛物线的定义，可知动点M 的轨迹为抛物线. 故选：D.【一隅三反】1．(2021·全国)设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点()0,2，则抛物线C 的方程为( ) A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x = D ．22y x =或216y x =【答案】C【解析】抛物线C ：()220y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()00,M x y ，由抛物线的定义，知052p MF x =+=，得052p x =-，则以MF 为直径的圆的圆心横坐标为52，而圆的半径为52，于是得该圆与y 轴相切于点()0,2，得圆心的纵坐标为2，则点M 的纵坐标为4，即(5,4)2pM -， 从而有242(5)2p p =-，整理得210160p p -+=，解得2p =或8p =，所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =. 故选：C2．(2021·全国高二课前预习)已知动圆M 与直线y ＝3相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A ．x 2＝－12y B ．x 2＝12yC ．y 2＝12xD ．y 2＝－12x【答案】A【解析】设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意可得M 到C (0，－3)的距离与到直线y ＝3的距离相等. 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .3(2021·江西景德镇一中高二期中(文))抛物线2:2(0)C y px p =>上一点()01,M y 到焦点F 的距离为3，则p 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由抛物线的定义可知，0||2p MF x =+， ||3MF =， 132p∴+=，所以4p =，4．(多选)(2021·全国高二课前预习)(多选)经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－8x D ．x 2＝－8y【答案】AD【解析】当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .故选：AD考法三 直线与抛物线的位置关系【例3】(1)(2021·全国)过点(0,1)作直线，使它与抛物线22y x =仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条(2)(2021·全国高二课时练习)已知抛物线y 2＝4x ，直线l 与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 中点的纵坐标为2，则直线AB 的斜率为( )A ．2B C D ．1【答案】(1)C(2)D【解析】(1)当直线的斜率不存在时，直线0x =符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为1y kx =+，由212y kx y x=+⎧⎨=⎩，得22(22)10k x k x +-+=． 当0k =时，符合题意；当0k ≠时，由0∆=，可得12k =， 即当12k =时，符合题意．综上，满足条件的直线有3条． 故选：C(2)设直线l 的方程为x ＝my +n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线l 与抛物线方程24x my ny x =+⎧⎨=⎩，化简可得，y 2﹣4my ﹣4n ＝0，由韦达定理可得，y 1+y 2＝4m ， ∵1222y y +=， ∴4m ＝4，即m ＝1， ∴直线l 的方程为y ＝x ﹣n ，故选：D 【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)已知直线y kx k =-及抛物线22(0)y px p =>，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点【答案】C【解析】直线(1)y kx k k x =-=-，∴直线过定点(1,0)．∴当0k =时，直线0y =与抛物线有一个公共点，即顶点；当0k ≠时，点(1,0)在抛物线的内部，所以直线与抛物线有两个公共点， 综上所述，直线与抛物线有一个或两个公共点. 故选：C .2(2021·全国)若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝x 只有一个公共点，则实数k 的值为( ) A ．18B ．0C ．18或0D ．8或0【答案】C【解析】由22y kx y x =+⎧⎨=⎩得ky 2－y ＋2＝0，若k ＝0，直线与抛物线只有一个交点，则y ＝2； 若k ≠0，则Δ＝1－8k ＝0，所以k ＝18.综上可知k ＝0或18.故选：C ．考法四 弦长【例4】(1)．(2021·云南省楚雄天人中学高二月考(理))已知直线:2l y x =-与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，则||AB 的长为( )A ．12B ．16C ．7D ．8(2)(2021·合肥艺术中学 高二期中(理))已知抛物线2:2(0)C y px p =>，直线l 过其焦点且与x 轴垂直，交C 于,A B 两点，若||10,AB P =为C 的准线上一点，则ABP △的面积为( )A ．20B ．25C ．30D ．50【答案】(1)B(2)B【解析】由抛物线2:8C y x =，可得其焦点坐标为(2,0)F ，准线方程为2x =-， 又由直线:2l y x =-，可得直线AB 过抛物线的焦点F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，根据抛物线的定义可得122,2AF x BF x =+=+ 所以124AB AF BF x x =+=++，又由228y x y x =-⎧⎨=⎩，整理得21240x x -+=，则1212x x +=，所以12412416AB x x =++=+=． 故选：B ．(2)抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭直线l 过其焦点且与x 轴垂直，交C 于,A B 两点，则:2pl x = 由222p x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得y p =±，故2AB p = 由210,AB p == 即5p =所以抛物线2:10C y x =，其准线方程为：52x =-P 为C 的准线上一点，所以P 到直线5:2l x =-的距离为：5 则15252ABPSAB =⨯⨯=故选；B 【一隅三反】1．(2021·梁河县第一中学高二月考(文))已知抛物线()220y px p =>的准线方程为1x =-，直线:1l y x =-交抛物线于A 、B 两点，则弦长AB =______. 【答案】8【解析】因为抛物线()220y px p =>的准线方程为1x =-，所以12p=，解得2p =， 所以抛物线方程为24y x =，所以抛物线的焦点坐标为()1,0F ，所以直线:1l y x =-过焦点，联立 214y x y x =-⎧⎨=⎩，消去y 得 2610x x -+=，则 126x x +=，所以12628AB x x p =++=+=，故答案为：82．(2021·南昌市新建区第一中学高二开学考试(理))过点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与抛物线22y x =交于AB 、两点，(2,0)C ，则△ABC 面积的最小值为_______________.【答案】32【解析】设直线l 的方程为：12x ty =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程2122x ty y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得：2210y ty --=， 122y y t ∴+=，121y y =-，12113322244ABCSy y ⎛⎫∴=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭∴当0t =时，ABCS的值取到最小值，最小值为32，故答案为：32．考法五 综合运用【例5】(2021·全国)已知抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，点(,)()P m n m p >在抛物线T 上，且FOP △(O 为坐标原点)的外接圆圆心到准线的距离为34．(1)求抛物线T 的方程；(2)若直线PF 与抛物线T 交于另一点A ，证明：MP MA k k +为定值；(3)过点P 作圆22:(1)1G x y -+=的两条切线，与y 轴分别交于D ，E 两点，求PDE △面积取得最小值时对应的m 的值．【答案】(1)22y x =；(2)证明见解析 ；(3) 4m =． 【解析】(1)抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线:2pl x =-．由FOP △的外接圆圆心在OF 的垂直平分线上，得圆心的横坐标为4p ． 由FOP △的外接圆圆心到准线的距离为34，得3424p p +=，解得1p =．∴抛物线T 的方程为22y x =．(2)由(1)得1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设21,2A t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线1:2PF x sy =+， 联立2212y x x sy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，可得2210y sy --=， 2n t s ∴+=，1nt =-． 又21,2P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2211112222MP MA n t k k n t +=+++． 上式通分后得分子为11()()022n t nt n t s s +++=-=， 故0MP MA k k +=，为定值．(3)如图，记两个切点分别为B ，C ．连接BG ，PG ，DG ，EG ．由题意，得21||2PB n ===． 由切线长定理，知||||PB PC =，||||EO EC =，||||DO DB =，2211||||224PDE n S DE n DE ∴=⨯=△， 又PDE DPG PEG DEG S S S S =++△△△△，111||1||1||1222DP EP DE =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， 1(||||||||||||)2DB BP EC CP DO OE =+++++， 1(2||2||2||)2DO EO PB =++||||DE PB =+21||2DE n =+， 解得222||4n DE n =-，()42221116148(248)824242PDE n S n n n ⎡⎤∴=⨯=-++≥⨯⨯+=⎢⎥--⎣⎦△， 当且仅当244n -=，即n =± 此时2142m n ==． 故当PDE △面积取得最小值时，4m =．【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线10x y +-=与抛物线交于A ，B两点，且AB =． (1)求抛物线的标准方程．(2)在x 轴上是否存在一点，使ABC 为正三角形？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2411y x =；(2)不存在，理由见解析. 【解析】(1)由题意，设所求抛物线的标准方程为()220y px p =>．由2210y px x y ⎧=⎨+-=⎩，消去y ，得()22110x p x -++=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则()1221x x p +=+，121=x x ． 由AB =， 得2121242480p p +-=，解得211p =或2411p =-(舍去)， ∴抛物线的标准方程为2411y x =． (2)设AB 的中点为点D ，则132,1111D ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 假设在x 轴上存在满足条件的点()0,0C x ，连接CD ．∵ABC 为正三角形， ∴CD AB ⊥，即()020********x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⋅-=--， 解得01511x =，∴15,011C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴CD ==．又CD ==≠ ∴在x 轴上不存在一点C ，使ABC 为正三角形．2．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，点(),2P t -在C 上，且2PF OF=(O 为坐标原点)．(1)求C 的方程；(2)若,A B 是C 上的两个动点，且,A B 两点的横坐标之和为8．(ⅰ)设线段AB 的中垂线为l ，证明：l 恒过定点．(ⅱ)设(ⅰ)中定点为D ，当AB 取最大值时，且P ，D 位于直线AB 两侧时，求四边形PADB 的面积．【答案】(1)24y x =；(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ).【解析】(1)由抛物线的性质得0t >， 所以根据抛物线的定义得：22242p p t pt⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，解得21p t =⎧⎨=⎩， 所以C 的标准方程为24y x =．(2)设()()1122,,,A x y B x y ，且128x x +=．(ⅰ)证明：设AB 中点为(),E m n ，则1242x x m +==，122y y n +=， 当12x x =时，0l y =：；当12x x ≠时，2121222121214()42AB y y y y k x x y y y y n --====--+， 则2l n k =-，:(4)2n l y n x -=--， 令0y =，得6x =，故直线过定点()6,0综上，l 恒过定点()6,0．(ⅱ)由(ⅰ)知直线2:(4)AB y n x n -=-，即()42n x y n =-+， 所以直线AB 与抛物线24y x =联立方程消去x ，整理得2222160y ny n -+-=，由0∆>，得21216,2n y y n +<=，212216y y n =-，2212416|||102n n AB y y ++--=，当且仅当26n =时等号成立，所以AB 的最大值为10，此时直线AB 的方程为:220AB x ±-=．对于直线220x -=，(2602)21(2)20⎡⎤⨯-⨯-->⎣⎦，所以点,P D 在同侧，不合题意，对于直线220x +-=，满足P ，D 位于直线AB 两侧，所以直线:220AB x -=，点P 到直线AB 的距离1d =，点D 到直线AB 的距离2d所以()1212PADB S AB d d =⋅+=3．(2021·全国高二专题练习)已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，Q 1(2在抛物线C 上，且|QF |=32. (1)求抛物线C 的方程及t 的值；(2)若过点M (0，t )的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且3AOB MON SS =，求直线l 的方程.【答案】(1)y 2=4x ，2；(2)2y x =-+或123=+y x .【解析】(1)因抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，则其准线为：2p x =-，又Q 1(2在抛物线C 上， 由抛物线定义知：13()222Q p F =--=，解得p =2，即抛物线C 的方程为y 2=4x ，将Q 1(2的坐标代入y 2=4x ，得t =2， 所以抛物线C 的方程为y 2=4x ，t 的值是2；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，由(1)知M (0，2)，显然直线l 的斜率存在，设直线l ：y =kx +2(k ≠0)，由242y x y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得k 2x 2-4(1-k )x +4=0，显然，k ≠0，2216(1)1616(12)0k k k ∆=--=->，解得12k <，且0k ≠，于是得1212224(1)4,k x x x x k k -+==，而3AOB MON S S =，且点A ，B ，M ，N 都在直线l 上，从而得||3||AB MN ，120|0|x x x --，又N 是AB 的中点，即x 0=122x x +，从而得1212|||x x x x -=+，即221212123()4()4x x x x x x +-=+，整理得21212()16x x x x +=， 因此有2224(1)64[]k k k -=，解得1k =-或13k =，均满足题意， 所以直线l 的方程为2y x =-+或123=+y x .。
《抛物线》典型例题12例(含标准答案解析]
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《抛物线》典型例题12例典型例题一例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）2=p ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a y 12=，ap 12=∴ ①当0>a 时，ap 412=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41-=． ②当0<a 时，a p 412-=，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=． 综合上述，当0≠a 时，抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=． 典型例题二例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k ．解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：⎩⎨⎧=-=xy kx y 822可得：04)84(22=++-x k x k ．∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：2842221=+=+∴kk x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ．解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22212188x y x y ==． 两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即2121218y y x x y y +=--． 421=+x x 444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ，448-=∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ．典型例题三例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明12MM AB =，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切． 证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知：BF BB AF AA ==11,在直角梯形A A BB 11中：AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21111=+=+=AB MM 211=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值． （2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．分析：（1）题可利用弦长公式求k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标．解：（1）由⎩⎨⎧+==kx y x y 242得：0)44(422=+-+k x k x设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点．则有：4,122121k x x k x x =⋅-=+[][])21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴53)21(5,53=-∴=∴k AB ，即4-=k （2）9=∆S ，底边长为53，∴三角形高5565392=⨯=h ∵点P 在x 轴上，∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ，即55612402220=+--x 10-=∴x 或50=x ，即所求P 点坐标是（－1，0）或（5，0）． 典型例题五例5 已知定直线l 及定点A （A 不在l 上），n 为过A 且垂直于l 的直线，设N 为l 上任一点，AN 的垂直平分线交n 于B ，点B 关于AN 的对称点为P ，求证P 的轨迹为抛物线．分析：要证P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点，l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PN PA =且l PN ⊥即可． 证明：如图所示，连结PA 、PN 、NB ．由已知条件可知：PB 垂直平分NA ，且B 关于AN 的对称点为P ．∴AN 也垂直平分PB ．则四边形PABN 为菱形．即有PN PA =．..l PN l AB ⊥∴⊥则P 点符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线．典型例题六例6 若线段21P P 为抛物线)0(2:2>=p px y C 的一条焦点弦，F 为C 的焦点，求证：p F P FP 21121=+． 分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：)0,2(pF ，若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时， 则有p F P F P ==21,p p p F P FP 2111121=+=+∴． 若线段21P P 所在直线斜率存在时，设为k ，则此直线为：)0)(2(≠-=k px k y ，且设),(),,(222111y x P y x P ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2()2(p x k y px k y 得：04)2(22222=++-p k x k p x k 2221)2(k k p x x +=+∴ ①4221p x x =⋅ ②根据抛物线定义有：p x x P P px F P p x F P ++=∴+=+=21211211,2,2则F P F P F P F P F P F P 21212111⋅+=+4)(2)2)(2(22121212121p x x p x x p x x p x p x p x x +++++=++++= 请将①②代入并化简得：p F P FP 21121=+ 证法二：如图所示，设1P 、2P 、F 点在C 的准线l 上的射影分别是'1P 、'2P 、F '，且不妨设1122P P m n P P '=<='，又设2P点在F F '、11P P '上的射影分别是A 、B 点，由抛物线定义知，p F F m F P n F P ='==,,12又AF P 2∆∽12BP P ∆，1221P P F P BP AF =∴即nm nn m n p +=-- pn m m nn m p 2112)(=+∴=+∴ 故原命题成立．典型例题七例7 设抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点F 的弦AB 的倾斜角为α，求证：焦点弦长为α2sin 2pAB =． 分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．证法一：抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,2(p，过焦点的弦AB 所在的直线方程为：)2(tan px y -=α由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2α消去y 得：0tan )(tan 4tan 422222=+-αααp p x设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+=+=+4)cot 21(tan )2(tan 22122221p x x p p x x ααα 又)(tan 2121x x y y -=α[]ααααααααα242222222222122122212sin 2sin 14)cot 1(cot 4sec 44)cot 1()tan 1(4)()tan 1())(tan 1(pp p p p x x x x x x AB =⋅=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++=-++=-+=∴即α2sin 2pAB =证法二：如图所示，分别作1AA 、1BB 垂直于准线l ．由抛物线定义有：ααcos cos 11⋅-==+⋅==BF p BB BF p AF AA AF于是可得出：αcos 1-=p AF αcos 1+=pBFαααα22sin 2cos 12cos 1cos 1p pp p BFAF AB =-=++-=+=∴ 故原命题成立．典型例题八例8 已知圆锥曲线C 经过定点)32,3(P ，它的一个焦点为F （1，0），对应于该焦点的准线为1-=x ，过焦点F 任意作曲线C 的弦AB ，若弦AB 的长度不超过8，且直线AB 与椭圆22322=+y x 相交于不同的两点，求 （1）AB 的倾斜角θ的取值范围．（2）设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点，求CD 中点M 的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设其斜率为k ，弦AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出k 的取值范围，从而可得θ的取值范围，求CD 中点M 的轨迹方程时，可设出M 的坐标，利用韦达定理化简即可．解：（1）由已知得4=PF ．故P 到1-=x 的距离4=d ，从而d PF = ∴曲线C 是抛物线，其方程为x y 42=．设直线AB 的斜率为k ，若k 不存在，则直线AB 与22322=+y x 无交点． ∴k 存在．设AB 的方程为)1(-=x k y由⎩⎨⎧-==)1(42x k y x y 可得：0442=--k y ky 设A 、B 坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则：442121-=⋅=+y y ky y222122122212)1(44)(1))(11(k k y y y y k k y y kAB +=-++=-+=∴∵弦AB 的长度不超过8，8)1(422≤+∴k k 即12≥k 由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k∵AB 与椭圆相交于不同的两点，32<∴k 由12≥k 和32<k 可得：31<≤k 或13-≤<-k 故3tan 1≤≤θ或1tan 3-<<-θ 又πθ<≤0，∴所求θ的取值范围是：34πθπ<≤或4332πθπ≤< （2）设CD 中点),(y x M 、),(33y x C 、),(44y x D由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k 9325313231322232)1(2,324222224322132243<+≤∴<≤+-=∴+=+=+-=⋅+=+∴k k k x k k x x x k k x x k k x x则323211522<+-≤k 即3252<≤x ． 3)1(2)1(23221222222+-⋅-⋅=+=∴-=x y x y k k x x y k 化简得：032322=-+x y x∴所求轨迹方程为：)3252(032322<≤=-+x x y x典型例题九例9 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 的中点到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标．分析：线段AB 中点到y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究A 、B 两点的横坐标之和取什么最小值即可． 解：如图，设F 是x y =2的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，又M 到准线的垂线为MN ，C 、D 和N 是垂足，则2321)(21)(21=≥+=+=AB BF AF BD AC MN ． 设M 点的横坐标为x ，纵坐标为y ，41+=x MN ，则454123=-≥x ．等式成立的条件是AB 过点F ． 当45=x 时，41221-=-=P y y ，故 22122)(212221221=-=++=+x y y y y y y ， 221±=+y y ，22±=y ． 所以)22,45(±M ，此时M 到y 轴的距离的最小值为45． 说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．典型例题十例10 过抛物线px y 2=的焦点F 作倾斜角为θ的直线，交抛物线于A 、B 两点，求AB 的最小值． 分析：本题可分2πθ=和2πθ≠两种情况讨论．当2πθ≠时，先写出AB 的表达式，再求范围． 解：(1)若2πθ=，此时p AB 2=． (2)若2πθ≠，因有两交点，所以0≠θ． )2(tan p x y AB -=θ：，即2tan py x +=θ．代入抛物线方程，有0tan 222=--p y py θ． 故θθ22222212csc 44tan 4)(p p p y y =+=-， θθθ2222212212tan csc 4tan )()(p y y x x =-=-． 故θθθ422222csc 4)tan 11(csc 4p p AB =+=． 所以p p AB 2sin 22>=θ．因2πθ≠，所以这里不能取“=”． 综合(1)(2)，当2πθ=时，p AB 2=最小值． 说明：(1)此题须对θ分2πθ=和2πθ≠两种情况进行讨论； (2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为θ2sin 2pl =； (3)当2πθ=时，AB 叫做抛物线的通径．通径是最短的焦点弦． 典型例题十一例11 过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 作弦AB ，l 为准线，过A 、B 作l 的垂线，垂足分别为'A 、'B ，则①''FB A ∠为（ ），②B AF '∠为（ ）．A ．大于等于︒90B ．小于等于︒90C ．等于︒90D 不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点A 在抛物线上，由抛物线定义，则21'∠=∠⇒=AF AA ，又x AA //'轴31∠=∠⇒．∴32∠=∠，同理64∠=∠，而︒=∠+∠+∠+∠1804632，∴︒=∠+∠9063，∴︒=∠90''FB A ．选C ．②过AB 中点M 作l MM ⊥'，垂中为'M ， 则AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21'''=+=+=．∴以AB 为直径的圆与直线l 相切，切点为'M ．又'F 在圆的外部，∴︒<∠90'B AF ．特别地，当x AB ⊥轴时，'M 与'F 重合，︒=∠90'B AF ．即︒≤∠90'B AF ，选B ．典型例题十二例12 已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PF PM +取最小值时，点P 的坐标为__________．分析：本题若建立目标函数来求PF PM +的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．解：如图，由定义知PE PF =，故213=≥≥+=+MN ME PM PF PF PM ．取等号时，M 、P 、E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P 点坐标为)2,2(．。
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小结归纳 1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然 后用待定系数法． 2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化． 3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免 求交点坐标的复杂运算． 4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的 几何性质．
的焦点，P为抛物线上任意一点，求 的最小值及取得最小值时的P的坐标． 解：抛物线 的准线方程为 过P作PQ垂直于准线于Q点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF | ＋| PA |＝| PA |＋| PQ | 要使| PA |＋| PQ |最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直于准线，AQ 与抛物线的交点为P点 从而|PA|＋|PF|的最小值为 此时P的坐标为(2，2)
（表示成P与θ的关系式）．
． 典型例题
例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点 到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值． 解：设抛物线方程为 ，则焦点是F ∵点A(－3，n)在抛物线上，且| AF |＝5 故 解得P＝4， 故所求抛物线方程为 变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于 6的抛物线方程． 解：因为对称轴是 轴，可设抛物线方程为 或 ∵ ，∴p＝12 故抛物线方程为 或
＝ (y1－y2) | BC |＝ (y12－y1＋4恒正) 由| CD |＝| BC |，有 (y1－y2)＝ ② 解①、② 得 y1＝2或y1＝3 当y1＝2时，有| BC |＝3 ，此时SABCD＝18 当y1＝3时，有| BC |＝5 ，此时SABCD＝50 ∴ 正方形的面积为18或50．
抛 物 线
基础过关 1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的 点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的 准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)． 2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 ① ，焦点为 ② ，焦点为 ③ ，焦点为 ④ ，准线为 ．
，准线为
．
，准线为
．
，焦点为 ，准线为 3．抛物线的几 何性质：对 进行讨论． ① 点的范围： ② 对称性：抛物线关于 轴对称． ③ 离心率
1.（2008·辽宁理，10）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点 P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 答案 .
பைடு நூலகம்
变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2 ，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的 取值范围是 。 解： 例4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直 平分线． (1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结 论？ (2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围． 解：(1)F∈l
例2. 已知抛物线C： 的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B． (1) 若
，求直线l的方程． (2) 求 的最小值． 解：(1)解法一： 设直 线 的方程为： 代入 整理得， 设 则 是上述关于 的方程的两个不同实根，所以 根据抛物线的定义知：| AB |＝ ＝ 若 ，则 即直线
有两条，其方程分别为： 解法二：由抛物线的焦点弦长公式 |AB|＝ (θ为AB的倾斜角)易知sinθ＝± ， 即直线AB的斜率k＝tanθ＝± ， 故所求直线方程为： 或 . (2) 由(1)知， 当且仅当 时，|AB|有最小值4． 解法二：由(1)知|AB|＝ ＝ ∴ |AB|min＝4 (此时sinθ＝1，θ＝90°) 变式训练2：过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两 点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无数条 D．不存在 解：B 例3. 若A(3，2)，F为抛物线
．
、
．
． ④ 焦半径公式：设F是抛物线的焦点，
是抛物线上一点，则 ． ⑤ 焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若 ， ，则 ＝ ，
． ii) 若AB所在直线的倾斜角为 ( 则 ＝ ． 特别地，当
时，AB为抛物线的通径，且 ＝ ． iii) S△AOB＝ iv) 为定值，且等于
|FA|＝|FB| A、B两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1，y2不同时为 0．∴上述条件等价于 y1＝y2
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
(x1＋x2)(x1－x2)＝0 ∵x1≠x2 ∴x1＋x2＝0 即当且仅当x1＋x2＝0时，l过抛物线的焦点F． (2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b，过点A、B的 直线方程可写为y＝－ x＋m 所以x1、x2满足方程：2x2＋ x－m＝0 且x1＋x2＝－ ，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以△＝ ＋8m＞0，即m＞－ 设AB之中点为N(x0，y0)，则x0＝ y0＝－ x0＋m＝ ＋m 由N∈l得：
＋m＝－ ＋b 于是b＝ ＋m＞ － ＝ 即l在y轴上 截距的取值范围是( ，＋ ) 变式训练4：正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两顶点 C、D在抛物线y2＝x上，求正方形的面积． 设C、D的坐标分别为(y12，y1)，(y22，y2)( y1> y2)，则直线CD的斜率 为1． ∴ ＝ ＝1，即y1＋y2＝1 又| CD |＝ ＝ ①