抛物线优秀经典例题讲解
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抛 物 线
基础过关 1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的 点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的 准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)． 2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 ① ，焦点为 ② ，焦点为 ③ ，焦点为 ④ ，准线为 ．
，准线为
．
，准线为
．
，焦点为 ，准线为 3．抛物线的几 何性质：对 进行讨论． ① 点的范围： ② 对称性：抛物线关于 轴对称． ③ 离心率
1.（2008·辽宁理，10）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点 P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 答案 .
变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2 ，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的 取值范围是 。 解： 例4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直 平分线． (1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结 论？ (2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围． 解：(1)F∈l
|FA|＝|FB| A、B两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1，y2不同时为 0．∴上述条件等价于 y1＝y2
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
(x1＋x2)(x1－x2)＝0 ∵x1≠x2 ∴x1＋x2＝0 即当且仅当x1＋x2＝0时，l过抛物线的焦点F． (2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b，过点A、B的 直线方程可写为y＝－ x＋m 所以x1、x2满足方程：2x2＋ x－m＝0 且x1＋x2＝－ ，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以△＝ ＋8m＞0，即m＞－ 设AB之中点为N(x0，y0)，则x0＝ y0＝－ x0＋m＝ ＋m 由N∈l得：
的焦点，P为抛物线上任意一点，求 的最小值及取得最小值时的P的坐标． 解：抛物线 的准线方程为 过P作PQ垂直于准线于Q点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF | ＋| PA |＝| PA |＋| PQ | 要使| PA |＋| PQ |最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直于准线，AQ 与抛物线的交点为P点 从而|PA|＋|PF|的最小值为 此时P的坐标为(2，2)
＝ (y1－y2) | BC |＝ (y12－y1＋4恒正) 由| CD |＝| BC |，有 (y1－y2)＝ ② 解①、② 得 y1＝2或y1＝3 当y1＝2时，有| BC |＝3 ，此时SABCD＝18 当y1＝3时，有| BC |＝5 ，此时SABCD＝50 ∴ 正方形的面积为18或50．
．
、
．
． ④ 焦半径公式Байду номын сангаас设F是抛物线的焦点，
是抛物线上一点，则 ． ⑤ 焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若 ， ，则 ＝ ，
． ii) 若AB所在直线的倾斜角为 ( 则 ＝ ． 特别地，当
时，AB为抛物线的通径，且 ＝ ． iii) S△AOB＝ iv) 为定值，且等于
＋m＝－ ＋b 于是b＝ ＋m＞ － ＝ 即l在y轴上 截距的取值范围是( ，＋ ) 变式训练4：正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两顶点 C、D在抛物线y2＝x上，求正方形的面积． 设C、D的坐标分别为(y12，y1)，(y22，y2)( y1> y2)，则直线CD的斜率 为1． ∴ ＝ ＝1，即y1＋y2＝1 又| CD |＝ ＝ ①
（表示成P与θ的关系式）．
． 典型例题
例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点 到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值． 解：设抛物线方程为 ，则焦点是F ∵点A(－3，n)在抛物线上，且| AF |＝5 故 解得P＝4， 故所求抛物线方程为 变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于 6的抛物线方程． 解：因为对称轴是 轴，可设抛物线方程为 或 ∵ ，∴p＝12 故抛物线方程为 或
[来源:学.科.网]
小结归纳 1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然 后用待定系数法． 2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化． 3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免 求交点坐标的复杂运算． 4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的 几何性质．
例2. 已知抛物线C： 的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B． (1) 若
，求直线l的方程． (2) 求 的最小值． 解：(1)解法一： 设直 线 的方程为： 代入 整理得， 设 则 是上述关于 的方程的两个不同实根，所以 根据抛物线的定义知：| AB |＝ ＝ 若 ，则 即直线
有两条，其方程分别为： 解法二：由抛物线的焦点弦长公式 |AB|＝ (θ为AB的倾斜角)易知sinθ＝± ， 即直线AB的斜率k＝tanθ＝± ， 故所求直线方程为： 或 . (2) 由(1)知， 当且仅当 时，|AB|有最小值4． 解法二：由(1)知|AB|＝ ＝ ∴ |AB|min＝4 (此时sinθ＝1，θ＝90°) 变式训练2：过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两 点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无数条 D．不存在 解：B 例3. 若A(3，2)，F为抛物线
基础过关 1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的 点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的 准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)． 2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 ① ，焦点为 ② ，焦点为 ③ ，焦点为 ④ ，准线为 ．
，准线为
．
，准线为
．
，焦点为 ，准线为 3．抛物线的几 何性质：对 进行讨论． ① 点的范围： ② 对称性：抛物线关于 轴对称． ③ 离心率
1.（2008·辽宁理，10）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点 P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 答案 .
变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2 ，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的 取值范围是 。 解： 例4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直 平分线． (1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结 论？ (2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围． 解：(1)F∈l
|FA|＝|FB| A、B两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1，y2不同时为 0．∴上述条件等价于 y1＝y2
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(x1＋x2)(x1－x2)＝0 ∵x1≠x2 ∴x1＋x2＝0 即当且仅当x1＋x2＝0时，l过抛物线的焦点F． (2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b，过点A、B的 直线方程可写为y＝－ x＋m 所以x1、x2满足方程：2x2＋ x－m＝0 且x1＋x2＝－ ，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以△＝ ＋8m＞0，即m＞－ 设AB之中点为N(x0，y0)，则x0＝ y0＝－ x0＋m＝ ＋m 由N∈l得：
的焦点，P为抛物线上任意一点，求 的最小值及取得最小值时的P的坐标． 解：抛物线 的准线方程为 过P作PQ垂直于准线于Q点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF | ＋| PA |＝| PA |＋| PQ | 要使| PA |＋| PQ |最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直于准线，AQ 与抛物线的交点为P点 从而|PA|＋|PF|的最小值为 此时P的坐标为(2，2)
＝ (y1－y2) | BC |＝ (y12－y1＋4恒正) 由| CD |＝| BC |，有 (y1－y2)＝ ② 解①、② 得 y1＝2或y1＝3 当y1＝2时，有| BC |＝3 ，此时SABCD＝18 当y1＝3时，有| BC |＝5 ，此时SABCD＝50 ∴ 正方形的面积为18或50．
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． ④ 焦半径公式Байду номын сангаас设F是抛物线的焦点，
是抛物线上一点，则 ． ⑤ 焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若 ， ，则 ＝ ，
． ii) 若AB所在直线的倾斜角为 ( 则 ＝ ． 特别地，当
时，AB为抛物线的通径，且 ＝ ． iii) S△AOB＝ iv) 为定值，且等于
＋m＝－ ＋b 于是b＝ ＋m＞ － ＝ 即l在y轴上 截距的取值范围是( ，＋ ) 变式训练4：正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两顶点 C、D在抛物线y2＝x上，求正方形的面积． 设C、D的坐标分别为(y12，y1)，(y22，y2)( y1> y2)，则直线CD的斜率 为1． ∴ ＝ ＝1，即y1＋y2＝1 又| CD |＝ ＝ ①
（表示成P与θ的关系式）．
． 典型例题
例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点 到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值． 解：设抛物线方程为 ，则焦点是F ∵点A(－3，n)在抛物线上，且| AF |＝5 故 解得P＝4， 故所求抛物线方程为 变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于 6的抛物线方程． 解：因为对称轴是 轴，可设抛物线方程为 或 ∵ ，∴p＝12 故抛物线方程为 或
[来源:学.科.网]
小结归纳 1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然 后用待定系数法． 2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化． 3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免 求交点坐标的复杂运算． 4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的 几何性质．
例2. 已知抛物线C： 的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B． (1) 若
，求直线l的方程． (2) 求 的最小值． 解：(1)解法一： 设直 线 的方程为： 代入 整理得， 设 则 是上述关于 的方程的两个不同实根，所以 根据抛物线的定义知：| AB |＝ ＝ 若 ，则 即直线
有两条，其方程分别为： 解法二：由抛物线的焦点弦长公式 |AB|＝ (θ为AB的倾斜角)易知sinθ＝± ， 即直线AB的斜率k＝tanθ＝± ， 故所求直线方程为： 或 . (2) 由(1)知， 当且仅当 时，|AB|有最小值4． 解法二：由(1)知|AB|＝ ＝ ∴ |AB|min＝4 (此时sinθ＝1，θ＝90°) 变式训练2：过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两 点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无数条 D．不存在 解：B 例3. 若A(3，2)，F为抛物线