小学奥数 数形结合

专题二 数形结合【方法简介】数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。

我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。

由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性 【典型应用1】简易问题应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票 [略解]解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票.2083=+x x ,2084=x ,52=x .答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数. 【题2】一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车 [略解]解：设轿车开出小x 时后追上客车.x x 108903.090=+⨯，x 1827=，5.1=x答：轿车开出小时后追上客车.【技巧贴士】 这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系. 【题3】小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米 [略解]解：设x 分钟后两人还相距324米.150********=++x x ，8=x答：设8分钟后两人还相距324米.【技巧贴士】本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为32415007572-=+x x .【巩固练习】 第一期 第一部分 基础达标1. 商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵元，是平装集邮册价格的倍，这两种集邮册的售价分别是多少元2. 一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士 3. 上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A休息了小时，结果巴士车小时后与A 车在途中相遇.已知B 车平均每小时行驶92千米，A 车平均每小时行多少千米第二部分 强化训练4.动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只5.一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友这盒巧克力有多少颗6.甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米7.暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院8.甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米【典型应用2】几何应用应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。

有些平面图形从表面上看，根本不是长方形或正方形，但我们可以运用所学的知识将其转化为标准的长方形和正方形，再进行解答.遇到立体图形时，我们应该从图形的不同角度看问题，注意长宽高的变化.【题1】如图，把一张长19厘米，宽13厘米的长方形白纸折成右图形壮，EC=厘米，求阴影部分的面积．[略解] 解：（+13）×13÷2-（）×19÷2=×13÷×19÷2=（平方厘米）.答：阴影部分的面积是49平方厘米．【技巧贴士】求组合图形面积一般用割补法，弄清楚阴影部分是哪些图形的和或差.在这道题中，阴影部分的面积=梯形的面积-折过来的部分的面积，又因梯形的上底、下底和高分别为厘米、13厘米和19厘米，折过来的部分的两条直角边分别为=厘米、19厘米，从而利用梯形和三角形的面积公式即可求解．【题2】有个零件形状如图，这个零件的体积是多少立方厘米如果1立方厘米铁的重量为克，用铁制成的这种零件有多少重[略解]解：（1）零件的体积：6×3×2+（9-6）×3×6=36+54=90（立方厘米）答：这个零件的体积是90立方厘米．（2）90×=702（克）答：用铁制成的这种零件重702克．【技巧贴士】此题主要考查长方体的体积的计算方法在实际生活中的应用，关键是先将零件变成规则的图形再求其体积．这个零件由2个长方体组成，它们的长、宽、高分别为：6厘米、3厘米、2厘米；（9-6）厘米、3厘米、6厘米，利用长方体的体积V=abh即可求出这个零件的体积；再用这个零件的体积乘单位体积的铁的重量，就是这个零件的总重量．【巩固练习】第二期第一部分基础达标1.如图，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大30平方厘米，求DE的长．2.一块平行四边形的草地中有一条长米、宽1米的小路.这块草地的面积是多少平方米3.图中表示的小正方体的表面积为54平方米，则如图中用8个这样的小正方体组成的正方体的表面积是______平方米．4.一个长方形玻璃缸，从里面量长50厘米，宽30厘米，水深12厘米，把一个机器零件浸没在水中，这时水面高度15厘米，求零件的体积．第二部分强化训练5. 如图的长方形中有三个三角形，它们面积间的关系是（ ）A. 321S S S =+B. 31S S =C. 32S S =D. 123S S S -=6. 把一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体截成两个小长方体，表面积最多增加（ ）.A. 20平方厘米B. 30平方厘米C. 40平方厘米D. 60平方厘米7. 一个长6分米、宽4分米、高2分米的木箱．用三根铁丝捆起来（如图），打结处要用1分米铁丝．这根铁丝总长至少为多少分米8. 将15个棱长为1的正方体堆放在桌面上（如图），喷上红色后再将它们分开．涂上红色的部分，面积是多少平方厘米9. 如图，AD=DE=EC ，F 是BC 中点，G 是FC 中点，如果三角形ABC 的面积是24平方厘米，则阴影部分是多少平方厘米10. 一张长方形纸板，长24厘米，宽16厘米．现在在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒．当剪去的正方形边长为多少厘米时（取整厘米数），这个纸盒的容积最大（纸板的厚度忽略不计）．这时纸盒的容积是多少立方厘米【典型应用3】统计与可能性应用3：统计初步分为四个步骤：数据收集、数据整理、数据呈现和数据分析.做统计题目就是要懂得去看图分析，总结统计图所给的信息，通常情况下，我们用条形统计图表示各类数量的多少，用折线统计图表示数量增减变化的情况，平均数是最常用的统计量,不但可以反映一组数据的总体情况，也可以用来分析不同数量的几组同类数据.【题1】五年级全体学生参加活动，上周到图书馆借书情况如条形统计图. （1）第_____天借书大于或等于70本（2）这周平均每天借书多少本（按5天计算，计算结果用四舍五入法凑整到个位）[略解] 通过观察统计图，可知：（1）第二天借书等于70本；第三天（77本）和第五天（90本）借书大于70本； （2）用这一周总共借书的本数除以5即得这一周平均每天借书的本数．【技巧贴士】此题先读出统计图中已知的条件，再根据求平均数的方法求出这一周平均每天借书的本数.【题2】小红到离家6千米的一个风景区游玩，请根据如图的折线图回答：（1）小红在风景区玩了多长时间（2）如果一直走不休息，她几时几分可到达风景区 （3）小红骑车回家时每小时行多少千米[略解] 解：（1）因为9点到10点分平均分2个时间段，每段30分钟．所以小红在风景区玩了30分钟．（2）因为8点到9点之间分成了3段，60÷3=20（分钟），中间休息了20分钟，如果不休息，8点40分就可以到达.（3）因为9点到10点平均分2个时间段，60÷2=30（分钟），所以小红回家用了30分钟=21小时．6÷21=12（千米）；答：小红骑车回家时每小时行12千米．【技巧贴士】本题考查折现统计图，看学生能不能运用统计图提供的信息解决实际问题.【巩固练习】 第三期 第一部分 基础达标1.根据统计图信息完成下列问题(1) 上面统计图表示小巧本学期4次数学测验成绩增减变化的情况，它是_______统计图． (2) 小巧第3次数学测验成绩是_______分．(3) 小巧第5次数学测验成绩得_______分，才能使这5次数学测验的平均成绩是91分． 2.新华书店第一、第二季度各类图书销售情况如下表，请根据此表完成下面的统计图．(1) 新华书店第一、第二季度各类图书销售情况统计图(2)如果书店想进一些新书，你有什么好推荐3.小芳统计了全班同学的体重，并将数据记录在下表中．从这个班中任选一个同学，他的体重在28～30kg之间的可能性是多少4.下面记录的是五（3）班第1组女生的一次跳远成绩．（单位：m）（1）这组数据的中位数，平均数各是多少（2）用哪个数代表这个组数据的一般水平更合适（3）如果以上为及格，有多少名同学及格了，超过半数了吗第二部分强化训练5.教练陪小明练习100米蛙泳，他们两人游泳的距离和时间的关系如下图，请看图回答问题．（1）小明比教练先游______秒．（2）小明游到______米时，速度明显慢了下来．（3）两人都到达终点时，教练游的时间是小明的() ().6.小丁和小华进行800米赛跑的时间与路程关系如下图．（1）______赢得了比赛的胜利．（2）小华的平均速度是每分钟_______米．（结果保留整数）（3）跑完500米，小丁用了_______分钟，小华用了______分钟7.林科院技术员为了比较两棵不同树木的生长情况，每2年测量一次树的高度，情况如下：（1）根据上表，在下面绘制这两种树的生长情况统计图．（2）请根据统计图，描述一下这两种树的生长情况．（3）当两种树的生长速度几乎为0时，乙树的高度是甲树的几分之几（4）生长到第几年两树的高度一样8.某电器城2011年下半年空调和冰箱销售台数如下：（1）根据上表中的数据制成折线统计图（如图1）．（2）平均每月销售空调多少台（3）如果每台冰箱获利100元，那么这个电器城2011年下半年冰箱销售中共获利多少万元（4）下面是某啤酒厂2009～2012年啤酒产量情况统计图如图2．请根据统计图完成下面的统计表．某啤酒厂2009～2012年啤酒产量情况【方法小结】纵观多年来的试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和在将来要学的解不等式问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数几何问题化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参数、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.解题中，主要有三种类型：以数化形、以形化数和数形结合.解决问题的基本思路：明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似或相同于已学过的基本公式或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解的目标去解决问题。