RLC暂态过程的研究实验

实验二十 RLC 暂态过程的研究一、实验原理1．研究RC 、RL 、LC 、RLC 等电路的暂态过程； 2．理解时间常数τ的概念及其测量方法。

二、实验仪器THMJ -1型交流电路物理实验箱、双踪示波器。

三、实验原理R 、L 、C 组件的不同组合，可以构成RC 、RL 、LC 和RLC 电路，这些不同的电路对阶跃电压的响应是不同的，从而有一个从一种平衡态转变到另一种平衡态的过程，这个转变过程即为暂态过程。

（一）RC 电路的暂态特性电容器充电过程)(a电容器放电过程)(btt 63.037图20-1 RC 电路 图20-2 RC 电路的充放电曲线在由电阻R 及电容C 组成的直流串联电路中，暂态过程即电容器的充放电过程，如图20-1所示，当开关K 打向位置1时，电源对电容器C 充电，直到其两端电压等于电源E ，在充电过程中回路方程为RCEu RC I dt du C C =+ 考虑到初始条件t =0时，u C =0，得到方程的解)1(RCtC eE u --=上式表示电容器两端的充电电压是按指数规律增长的曲线，稳态时电容两端的电压等于电源电压E ，如图20-2(a )。

式中RC =τ具有时间量纲，称为电路的时间常数，是表征暂态过程进行快慢的一个重要的物理量。

电压u C 由0上升到0.63E ，对应的时间即为τ。

当把开关K 打向位置2时，电容C 通过电阻R 放电，回路方程为01=+C C u RCdt du 结合初始条件t =0时，u C =E ，得到方程的解τtC Eeu -=上式表示电容器两端的放电电压按指数规律衰减到零，τ也可由此曲线衰减到0.37E 所对应的时间来确定。

（二）RL 电路的暂态特性图20-3 RL 电路 图20-4 回路电流变化过程在由电阻R 及电感L 组成的直流串联电路中图20-3。

当开关K 置于1时，由于电感L 的自感作用，回路中的电流不能瞬间突变，而是逐渐增加到最大值E /R ，回路方程为E iR dtdiL=+ 考虑到初始条件t =0时，i =0，可得方程的解为)1(t L R e REi --= 可见，回路电流i 是经过一指数增长过程，逐渐达到稳定值E /R 的。

i 增长的快慢由时间常数τ=L /R 决定。

当开关K 打到位置2时，电路方程为0=+iR dtdiL由初始条件t =0，i =E /R ，可以得到方程的解为τt e RE i -= 上式表示回路电流从i =E /R 逐渐衰减到0。

（三）RLC 电路以上讨论的都是理想化的情况，即认为电容和电感中都没有电阻，可实际上不但电容和电感本身都有电阻，而且回路中也存在回路电阻，这些电阻是会对电路产生影响的，电阻是耗散性组件，将使电能单向转化为热能，可以想象，电阻的主要作用就是把阻尼项引入到方程的解中。

图20-5 RLC 串联电路充电过程：在一个由电阻R 、电容C 及电感L 组成的直流串联电路，如图20-5所示，当把开关K 置于1时，电源对电容器进行充电，回路方程为U CQiR dt di Lc =++ 对上式求微分得022=++i dtdiRC dt i d LC放电过程：当电容器被充电到U 时，将开关K 从1打到位置2，则电容器在闭合的RLC 回路中进行放电。

此时回路方程为0=++CQiR dt di LC令LCR 2=λ，λ称为电路的阻尼系数，那么由充放电过程的初始条件：充电，t =0时，i =0，u C =0；放电，t =0时，i =0，u C =U ，（20-10）式、（20-11）式的解可以有三种形式：（1）阻尼较小时，λ<1，即CLR 42<，此时方程的解为 充电过程：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-=-=---)cos()441()cos(44sin 44222ϕωϕωωτττt e C R L C U u t Ue CR L C u t Ue CR L C i tC tL t放电过程：)cos(44)cos(44sin 44222ϕωϕωωτττ--=+--=--=---t Ue CR L C u t Ue C R L C u t Ue CR L C i tC tL t其中，时间常数R L /2=τ，振荡角频率L CR LC 4112-=ω。

由上述各式可知，电路中的电压、电流均按正弦律作衰减（或称欠阻尼）振荡状态，见图20-6中的a 的周期性衰减振荡曲线。

（2）临界阻尼状态，当λ=1时，即CLR 42=，此时方程的解为 充电过程：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==---τττττtC t L t e t U u e t U u te LU i 111放电过程：τττττtC tL t e t U u e t U u teLU i ---⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=11由上各式可见，此时电路中各物理量的变化过程不再具有周期性，振荡状态如图20-6中的b 曲线所见，这时的电阻值称为临界阻尼电阻。

（3）过阻尼状态，λ>1，即CLR 42>，方程解为 充电过程：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+--=-=---ϕβϕββτττt sh Ue L C R C U u t sh Ue LC R L u t sh Ue LC R C i tC tL t4414444222放电过程：()()ϕβϕββτττ+-=+---=--=---t sh Ue LC R C u t sh Ue L C R L u t sh Ue LC R C i tC tL t444444222式中1412-=LCR LCβ，此时为阻尼较大的情况，此时电路的电压电流不再具有周期性变化的规律，而是缓慢地趋向平衡值，且变化率比临界阻尼时的变化率要小（见图20-6中曲线c ）。

t图20-6 RLC 电路对阶跃电压的响应四、 实验内容（一）RC 电路的暂态过程1．按图20-7接线，令方波信号输出频率f =500Hz ，将方波信号接入示波器CH 1输入端，观察记录方波波形。

2．观察电容器上电压随时间的变化关系。

将u C 接到示波器CH 2输入端，电容C 取0.047μF 。

改变R 的阻值，使τ分别为τ<<T/2，τ=T /2，τ>>T/2，T 是输入方波信号的周期，观察并记录这三种情况下u C 的波形，并分别解释u C 的变化规律。

图20-7 RC 电路的暂态过程接线图3．测量时间常数τ，先以信号发生器为标准信号来校准双踪示波器的x 时基轴。

改变R的阻值，分别使T /2=3τ、4τ、5τ、6τ、7τ，利用示波器的x 轴时基，测量每种情况下的τ值，用作图法讨论τ随R 的变化规律，并与τ的定义τ=RC 进行比较。

（二）RL 电路的暂态过程按照图20-8所示连接电路，固定方波频率f =500Hz ，电感L 为10mH ，电阻R 的取值范ΩΩK 10~100可调。

参照实验内容1中的步骤，观测三种不同τ值情况下，u R 和u L 的波形，并讨论τ值随R 变化的规律，并与理论公式进行比较。

图20-8 RL 电路的暂态过程接线图 图20-9 RLC 串联电路的暂态过程接线图（三）RLC 电路的暂态过程1．电路连接如图20-9所示，用示波器观察u C 为了清楚地观察到RLC 阻尼振荡的全过程，需要适当调节方波发生器的频率，电感L 取10mH ，电容C 取0.047μF ，计算三种不同阻尼状态对应的电阻值范围。

2．合适的R 值，使示波器上出现完整的阻尼振荡波形。

（1）测量振荡周期T 及衰减常数时间τ。

（2）改变R 的值，观察振荡波形的变化情况，并加以讨论。

3．观察临界阻尼状态逐步加大R 值，当u C 的波形刚刚不出现振荡时，即处于临界状态，此时回路的总电阻就是临界电阻，与用公式CLR 42>所计算出来的总阻值进行比较。

4．观察过阻尼状态继续加大R ，即处于过阻尼状态，观察不同R 对u C 波形的影响。

五、实验数据处理1、不同的RC 时的UC 波形及其时间常数的测量 方波频率169（HZ ）；τ测 =T 21/㏑2序号 R （Ω） C （μf ） τ理（S ）T 21的长度X （cm ）扫描速率（ms/cm ）T 21(s)τ测(s) 相对误差1 1K 0.4 4×10-4 0.29 1 2.9×10-4 4.2×10-4 4.5%2 1.2K 0.3 3.6×10-4 0.27 1 2.7×10-4 3.9×10-4 8.1%3 2K 0.3 6×10-4 0.44 1 4.4×10-4 6.4×10-4 6.6%UC 的波形图 1图2图3 2、RLC电路三种阻尼振荡的波形L=6mH, C=0.5μf(1)欠阻尼振荡（R=10Ω）（2）临界阻尼振荡（R=220Ω）tU CU Ct (3)过阻尼振荡（R=420Ω）。