《金融数学引论》PPT课件
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金融数学ppt课件
考虑T时刻到期的欧式期权，假定到期时，期 权的内在价值为V(T)=g(P(T));
设V(t,x)表示在t时刻股票价格为x时，期权的价值, 利用Ito公式可得到如下Black-Scholes方程
终V t端(t,条x 件) r V(T x x( ,tx,)x V ) g(1 2 x)2 x 2 V x(t x ,x ) r( V t,x () 5.2)
解上述联立方程可得
0 V S 1 1 ( ( H H ) ) V S 1 1 ( ( T T ) ) ,V 0 1 1 r 1 u r d d V 1 ( H ) u u ( 1 d r ) V 1 ( T ) *
注
0 称为套期保值比。 注意若取
向量自回归模型及其应用 14
1.投资组合理论简介
在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种 不同风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投 资若干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证 券投资组合。
证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好， 组合标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情 形是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最 优投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的 期望收益率，选择资产组合使其总风险最小。
15
Markowitz 提出的证券组合均值方差问题，是证券 组合理论的基本问题，可描述为有约束的线性规划问
题
mi
n2p
mi w
nwTw
s.t. 1Tw1
E(Xp) E(X)Tw
解上述问题可得最优资产组合w*的表达式，且最 优资产组合的方差为
p 2 a 2 2 b c
诺贝尔经济奖简介（3）
2003年度诺贝尔经济学奖授予 Robert F.Engle和 Clive Granger。
金融数学完整课件全辑
风险管理政策
制定明确的风险管理政策和流程，确保业务 操作的合规性。
危机应对计划
制定应对重大风险的应急预案，确保在危机 发生时能够迅速、有效地应对。
05
投资组合优化
马科维茨投资组合理论
总结词
该理论是现代投资组合理论的基石，它通过 数学模型和优化技术，为投资者提供了构建 最优投资组合的方法。
详细描述
债券是一种常见的固定收益证券，其价格与利率之间存在密切关系。债券定价模型用于确定债券的理 论价格，通常基于现值计算方法。不同类型的债券（如国债、企业债等）具有不同的风险和收益特征 ，因此需要采用不同的定价模型。
复杂衍生品定价
总结词
概述了复杂衍生品定价的难点和方法， 包括信用衍生品、利率衍生品和商品衍 生品等。
数据清洗
对数据进行预处理，去除异常值、缺 失值和重复值，提高数据质量。
数据存储
采用分布式存储系统，高效地存储和 管理大规模金融数据。
数据可视化
通过图表、图像等形式直观地展示数 据分析结果，帮助用户更好地理解数 据。
机器学习在金融中的应用
风险评估
信贷审批
利用机器学习算法对历史金融数据进行分 析，预测未来市场走势和风险状况。
微积分
微积分是研究函数、极限、导数和积 分的数学分支。在金融领域，微积分 用于计算金融衍生品的价格和风险度 量。
线性代数
线性代数是研究线性方程组、矩阵和 向量空间的数学分支。在金融领域， 线性代数用于数据处理、模型建立和 优化问题求解等方面。
03
金融衍生品定价
期权定价模型
总结词
详细描述了期权定价模型的基本原理、应用场景和优缺点。
通过机器学习模型对借款人的信用状况进 行评估，提高信贷审批的效率和准确性。
【金融数学】年金 ppt课件
解: 方式 A :在第十年底的一次还款为
500,000 (1.08) 1,079, 462.50
10
其中的利息为:
1,079, 462.50 500,000 579, 462.50
应付利息约为五十八万元
PPT课件 13
方式 B: 每年所付利息为 500,000 8% 40,000 总的利息付出为 40,000 10 400,000 应付利息为40万元
Rs
12 |.07
1, 000, 000
1, 000, 000 522, 45 19.14064
从而有 R
1, 000, 000 s 12 |.07
即:每年初投入5万2千元，到12 年底总累积值为 1百万元
PPT课件 20
递延年金（deferred annuity）
递延年金—— 若年金的首次发生是递延了一 段时间后进行的。 递延m期的递延年金时间流程图
方式 C: 设每年的还款额为 R ，价值方程
Ra 10 |.08
500,000
解出
PPT课件 14
R
500, 000 a 10 |.08
500, 000 74,514.54 6.710081
10 年的付款总额为
74,514.54 10 745,145.4
其中的利息总额为 745,145.4 500,000 245,145.4
(1 i ) n
例 ：Find the present value of an annuity which pays $500 at the end of each half-year for 20 years if the rate of interest is 9% convertible semiannually.
金融数学课件--(11)随机利率40页PPT
45、自己的饭量自己知道。——苏联
金融数学课件--(11)随机利率
1、合法而稳定的权厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
金融数学课件--(11)随机利率
1、合法而稳定的权厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
金融数学引论课件第七章利率风险分析
24,000+206,226.00 = 230,226.00
利息理论与应用
第7章 — 15
风险 不确定性与利率
问题的提出 在前面的所有讨论中 都假定未来的现金流的金额
和时间是确定的 但是在现实情况中 通常存在发生时间和数量不确
定的现金流
例如 简单的标准借贷业务 也存在以下这些风险 不能按期支付 提前支付或是对抵押贷款的再融资风 险 再投资利率变化的风险和早赎的风险等
利息理论与应用
第7章 — 23
由此可得概率 p= 0.94 注 没有任何收益的风险概率为 6%
在风险概率 6%下 该债券的期望收益率与市场 上的无风险利率相等 即有
14.89%×0.94+( 100%)×0.06 =8%
这表明 存在无风险利率 8%的投资条件下 投 资于违约风险 6%的投资是不一定合算的 注 与投资者对风险的偏好有关
以名义利率 i 计算的现值公式为
R [(1+ r) +(1+ r)2v2+
利息理论与应用
+ (1+r)nvn]
第7章 — 12
1 ( 1+ r )n =R(1+r) 1+i
ir 如果用i'表示上式 则应有
R[(1+i ) 1+(1+i ) +2 +(1+i ) n ] = Ran | i
2 终值的计算 例 某投资者以利率 i 投资 A 元 n 期 则到期 时的收益为
利息理论与应用
第7章 — 19
解 如果按以前的方法直接计算后一种债券的年收 益率 则有
940 = 1080(1+i) 1 由此可得
利息理论与应用
第7章 — 15
风险 不确定性与利率
问题的提出 在前面的所有讨论中 都假定未来的现金流的金额
和时间是确定的 但是在现实情况中 通常存在发生时间和数量不确
定的现金流
例如 简单的标准借贷业务 也存在以下这些风险 不能按期支付 提前支付或是对抵押贷款的再融资风 险 再投资利率变化的风险和早赎的风险等
利息理论与应用
第7章 — 23
由此可得概率 p= 0.94 注 没有任何收益的风险概率为 6%
在风险概率 6%下 该债券的期望收益率与市场 上的无风险利率相等 即有
14.89%×0.94+( 100%)×0.06 =8%
这表明 存在无风险利率 8%的投资条件下 投 资于违约风险 6%的投资是不一定合算的 注 与投资者对风险的偏好有关
以名义利率 i 计算的现值公式为
R [(1+ r) +(1+ r)2v2+
利息理论与应用
+ (1+r)nvn]
第7章 — 12
1 ( 1+ r )n =R(1+r) 1+i
ir 如果用i'表示上式 则应有
R[(1+i ) 1+(1+i ) +2 +(1+i ) n ] = Ran | i
2 终值的计算 例 某投资者以利率 i 投资 A 元 n 期 则到期 时的收益为
利息理论与应用
第7章 — 19
解 如果按以前的方法直接计算后一种债券的年收 益率 则有
940 = 1080(1+i) 1 由此可得
《金融数学》ppt课件(1-2)利息度量
重新整理得
1-
d
1
d (m) m
m
d
1-
1
d (m) m
m
d(m)
1 1
m1-(1-d)mm1-vm
a
20
Example：Find the present value of $1000 to be paid at the end of six year at 6% per annum payable in advance and convertible semiannually.
i(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年末获得i(m)/m利息 d(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年初获得d(m)/m利息
a
27
思考题
某人2006年1月1日在银行存入10000元，期限为1年，年利 率为3%。1月末，银行的1年期存款利率上调了100个基点。 请分析此人是否有必要对该笔存款转存？假设活期存款利 率不变，为0.72%。 1年按360天计算，每月按30天计算。
a
29
回顾：
年实际利率度量了资金在一年内的增长强度（年平均）。
名义利率度量了资金在一个小区间内（如一个月）的增长 强度（月平均）。
问题：
哪一个更能准确度量资金的增值速度？名义利率还是实 际利率？
如何度量资金在每一个时点上的增长强度？
在名义利率中，如果时间区间无穷小，名义利率就度量了 资金在一个时点上的增长强度。
a
25
nominal annual rate of discount is 10%
Compounding times per year 1(每年)
2(每半年) 4(每季) 12(每月) 52(每周)
《金融数学》ppt课件(9)利率风险.ppt
MacD
t Rtet
t0
t0
t
Rt
1
y m
mt
P
P
马考勒久期越大，加权到期时间越长，从而资产价格对
收益率的敏感性越高，资产的利率风险越大。
马考勒久期是一个时间概念，可以用年、月等时间单位 计量。
5
例：一笔贷款的本金为L，期限为n，年实际利率为y，按年 等额分期偿还。试求该笔贷款的马考勒久期。
修正久期：ModD P( y) P( y)
凸度：C P( y) P( y)
注：不叫修正凸度 21
债券价格对收益率求二阶导数可得
P( y)
d dy
t0
Rt
1
y
/ m mt
t0
tRt
1
y
/ m mt1
P( y)
t0
t
mt 1 m
Rt
1
y m
mt 2
所以凸度可按下式计算：
P (y) 1
1
y mt 2
C
P( y)
t(t P( y) t 0
m)Rt 1
m
可以证明，凸度是收益率的减函数。
22
凸度对债券价格的影响 P
A
B
y
凸度是对债券价格曲线的弯曲程度的一种度量，债券A的凸
度大于债券B的凸度：
当利率下降时，A的价格上升快
当利率上升时，A的价格下降慢
23
马考勒凸度
用利息力（连续复收益率） 代替名义收益率 y，即可
MacD P( ) P( )
2
d(MacD)
d
P(
)P( ) P(
P2 ( )
)2
P( ) P( )
《金融数学》课件
，防范系统性风险等。
03
金融市场法规
为了实现监管目标，政府或监管机构会制定一系列的金融市场法规，包
括证券法、银行法、保险法等，对市场参与者的行为进行规范和约束。
CHAPTER
06
金融数学案例分析
基于金融数学的资产组合优化
总结词
通过数学模型和优化算法，对资产组合进行 合理配置，实现风险和收益的平衡。
《金融数学》PPT课件
CONTENTS
目录
• 金融数学概述 • 金融数学基础知识 • 金融衍生品定价 • 风险管理 • 金融市场与机构 • 金融数学案例分析
CHAPTER
01
金融数学概述
定义与特点
定义
金融数学是一门应用数学方法来 研究金融经济现象的学科，旨在 揭示金融市场的内在规律和预测 未来的发展趋势。
数值计算方法
数值积分
数值积分是用于计算定积分的近似值的方法，它在金融领域中用于计算期权价格和风险 值等。
数值优化
数值优化是用于寻找函数最优解的方法，它在金融领域中用于投资组合优化和风险管理 等。
CHAPTER
03
金融衍生品定价
期权定价模型
总结词
描述期权定价模型的基本原理和计算方法。
详细描述
期权定价模型是金融数学中的重要内容，用于确定期权的合理价格。常见的期权定价模型包括Black-Scholes模 型和二叉树模型。这些模型基于无套利原则和随机过程，通过求解偏微分方程或递归公式，得出期权的理论价格 。
金融市场的分类
按照交易标的物，金融市 场可分为货币市场、资本 市场、外汇市场和衍生品 市场等。
金融市场的功能
金融市场的主要功能包括 价格发现、风险管理、资 源配置和宏观调控等。
金融数学-第6章
200 ,000 200 ,000 R 9046 a24| 8% 22 .1105
A
12
利息理论应用
第六章-23
如果选择B ，则每月的还款为：
200 ,000 (1 8%) 184 ,000 R 8491 a24|10% 21.6709
B
12
结论： 从购车人角度看，方式B 的成本要低于方式 A，所以应该选择方式B 2） 比较融资成本 2.1） 从APR 来看，由于方式A 为8% ，而方式B 为10% ，从而方式A 的融资成本较低
注： 在十九世纪之前该方法为常用的计息方法 ，而 本质上即为单利计算 注：商人计息法对于短期业务比较适用， 但是对于 长期贷款则可能会出现不合逻辑的结果
利息理论应用
第六章-4
例：1000 元两年期贷款年利率9%， 如果第一年
底还款1085 元，问第二年底应还款多少？
解： 设第二年底应还款K 用商人计息法，在第二
利息理论应用
第六章-6
1) 在每次的贷款偿还时刻，或有新的贷款余额计入的 时刻，都要进行贷款本金和利息的结算
2) 借款人的付款应当首先用来支付任何应计利息，超 过的部分，用来抵消未偿还贷款余额
3) 贷款余额为上一次结算时的余额与应计利息(单利计 算)之和，再扣除（或加上）本次的还款(贷款)金额 注： 美国计息法本质上是单利和复利的混合， 每次 新的还款(贷款)都将重新开始贷款余额的计息，利息 力将随之变大
按月还贷，另一种是按季还贷，则两种贷款的实际
贷款利率是不同的
利息理论应用
第六章-14
诚实信贷要求：区分开放型信贷(open-end credit) 与封闭型信贷(closed-end credit) 开放型信贷——贷款期限没有事先规定，贷款的财 务费用每个周期（如一个月）公布一次，贷款人在 一定限度内可以随时贷款或还贷。例如信用卡 封闭型信贷—— 即为传统意义上的贷款，贷款期 限、额度等都要事先明确规定。例如分期偿还的贷 款
《金融数学》ppt课件(4)收益率
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15
例：有一笔1000万元的贷款，期限为10年，年实际利率为 9%， 有下面三种还款方式： 本金和利息在第10年末一次还清； 每年末偿还当年的利息，本金在第10年末归还。 在10年内每年末偿还相同的金额。
假设偿还给银行的款项可按7％的利率再投资，试比较在这
三种还款方式下银行的年收益率。
价值方程： 1000(1i)102243.48 i=8.42%
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18
（3）所有付款在第10年末的累积值为 a 110 0|0 0.0 09s10|0.07(155.82)(13.8164)2152.88
价值方程： 1000(1i)102152.85
i=7.97%
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19
3. 基金的利息度量：
精选课件ppt
11
解：该题的资金净流入可列示如下：
时间：
0
1
2
净流入： –1000 2150 –1155
假设收益率为i，则根据题意可建立下述方程：
–1000+ 2150(1 + i)–1 – 1155(1 + i)–2 = 0
上述方程两边同时乘以(1 + i)2，并变形可得：
5 [ 2 ( 1 0 i) 2 ]1 1 [ ( 1 0 i) 1 ] 1 0
5
10v3 vt 4v6 0 t2
投资项目的资金流出和资金流入
资金流出
10 1 1 1 1 1
15
资金净流 资金流入 资金净流入R t 入的累积
值
10
–10.00
1
–10.91
4
3
–8.43
4
3
–6.17
4
金融数学-第三章
例: 甲以年利率10%从乙处融资1 万元，期限一年。 同时甲将这笔资金投资于年利率12%的项目。问： 在这个投融资项目中, 甲的收益率为多少？
解 对甲来说有 B0 = 10000 -10000 = 0 C1 = 10000× 1.10 -10000 × 1.12 = -2000 B1 = 0 ×(1+ i) - 2000 = -2000
P(i ) v t Rt dt
0 n
利息理论应用
第二章-8
例 考虑一个 10年的投资项目，第一年初投资者投 入10000元，第二年初投入 5000元，然后，每年 初只需维护费用1000元。
该项目期望从第六年底开始有收益 最初为 8000 元 然后每年增加 1000元
用DCF方法讨论该项目的投资价值
利息理论应用 第二章-34
流程图如下： 原始投资 1
| | | | 0 1 2 ... ... n i i ...... i 利息收入
本金回收
1
思考：投资结束时（第n年底）的总收益=？
从而对于任何收益率 i 都无法使得 B2 0 该项目的收 益情况无法由内部收益率刻画。
利息理论应用 第二章-33
再投资分析
再投资——本金第一次计息后的利息收入以新的投资利率进 行的投资。
一次性投资的再投资分析
1 ）设初始投资为1 元，每年（1 个计息期）的
直接投资利率为i 2 ）投资的回报方式为逐年（1 个计息期）收 回利息，结束时收回本金 3 ） 将每年的利息收入以再投资利率j进行再投资
利息理论应用
第二章-3
C(contribution) 如果C >0表示投资者有一笔净流出（投资基金有一 笔净流入) 如果C <0则表示投资者有一笔净流入(投资基金有 一笔净流出) R( return) 如果R >0则表示投资者有一笔净流入(投资基金 有一笔净流出) 如果R <0则表示投资者有一笔净流出(投资基金 有一笔净流入)
金融数学PPT课件
80506015v020112利息理论应用第二章35交易商期望提供一个执行价为65美元一年后到期的看涨期权无风险利率为0048所以s060u15r0048su80所以a12v0616美元交易商的报价为635美元卖出看涨期权600美元买入635和600之间的差为交易商的差价假设一客户以每股635美元的价格购入10涨期权则现在交易商手中一个风险非常大的头寸所以可以购买股票对冲利息理论应用第二章3620112利息理论应用第二章36应该买入10万股股票12所以该交易商以300万美元的成本买入50万股股票该交易商以看涨期权收到63510万股635万美元所以该交易商以0048的利率借入2375万美元用于购买股票当股价上升到80美元4000000为股票价值1500000为赎回看涨期权2375000e0048为赎回贷款则此时的净头寸为4000000150000024937506250美元利息理论应用第二章3720112利息理论应用第二章37股价下跌到50美元股票价值为50500002500000看涨期权价赎回贷款为2493750所以净头寸为
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利息理论应用
第二章-16
例题：看涨期权 我们有一股股票，现价为100美元 ，在一年以后，股价可以是90美元或120美元， 概率并未给定，即期利率是5%（1美元今天投资 ，一年后价值1.05美元），一年之后的到期执行 价格为105美元的股票期权的价格是多少？
另外虽然从理论上如此，但是市场会自动的 调节从而使得无风险的套利机会丧失
2.2.4博弈论方法---一般公式
假设股票在时间t只有两个价值，如果股票处
于上涨的状态SU,那么衍生品的价格为U，
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利息理论应用
第二章-16
例题：看涨期权 我们有一股股票，现价为100美元 ，在一年以后，股价可以是90美元或120美元， 概率并未给定，即期利率是5%（1美元今天投资 ，一年后价值1.05美元），一年之后的到期执行 价格为105美元的股票期权的价格是多少？
另外虽然从理论上如此，但是市场会自动的 调节从而使得无风险的套利机会丧失
2.2.4博弈论方法---一般公式
假设股票在时间t只有两个价值，如果股票处
于上涨的状态SU,那么衍生品的价格为U，
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