矩阵初等变换及其应用技术

以数乘某一方程的两端；

把某一方程的两端乘以数后加到另一方程的两端

对调两行记作);

以数乘某一行中的所有元素第行乘,记作);

把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去第行的倍加到第行上).

变换的逆变换就是其变换的逆变换为 (或记作);变换的逆变换为( ).

传递性：若，，则.

任意一个矩阵Ａ经过初等行把单位阵中第两行对调(),

）以数乘某行（或某列）

以数乘单位阵的第行(),

）以数乘某行

以乘的第行加到第行上()

用阶初等方阵左乘矩阵得

把Ａ的第行与第行对调()

验证：以左乘矩阵Ａ其结果相当于以数乘Ａ得第行()；以左乘矩阵

其结果相当于把Ａ的第行乘加到第行上().

设Ａ是一个矩阵相当于在Ａ的左边乘以相应的阶初等

相当于在Ａ的右边乘以相应的阶初等方阵

，使得

，

其中为的行最简形矩阵

当Ａ为可逆方阵时，注意到初等方阵的可逆性，得，即Ｕ是可逆的，.

，

表明：

那么经过这同一系列的初等行变换就将单位阵Ｅ化为了，即

. 设,求.

.

判断方阵是否可逆，若可逆，求.

因为，所以，故Ａ不可逆，即不存在

设,

因为，由于初等行变换不改变矩阵的可逆性，所以当时矩阵Ａ可逆

由于对矩阵施行对调两行和以数乘某一行中的所有元素的变换均不改变子式是否为

零，因此这两类初等行变换均不改变矩阵的秩．下面证明把矩阵某一行所有元素的倍加到另一行对应

设，且.

将Ａ的第行的乘以加到第行得到矩阵

，

又设Ｄ是矩阵Ｂ的任意一个阶子式

若Ｄ不含有矩阵Ｂ的第行元素，那么Ｄ也是矩阵Ａ的一个阶子式，从而Ｄ＝０

若Ｄ含有矩阵Ｂ的第行元素，但不含有矩阵Ｂ的第行元素，那么由行列式的性质知

，其中是的两个阶子式，因而由知道．所以Ｄ＝０；

若Ｄ含有矩阵Ｂ的第行元素，同时含有矩阵Ｂ的第行元素，那么由行列式的性质知Ｄ与矩阵Ａ

中的一个相应阶子式相等，所以也有Ｄ＝０

综上，则得.

又因为，将Ｂ的第行的乘以加到第行得到矩阵Ａ，所以同理可得.

.

上式中最后一个矩阵为行阶梯矩阵，由此即可看出.

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