矩阵初等变换的一些性质及应用
矩阵的初等变换及其应用
3.矩阵的初等变换的应用
3.1求矩阵的秩
求矩阵秩的方法很多，一般有定义法、初等变换法、相关公式法、综合法、但当矩阵的具体元素为已知时，一般采用初等变换法即求非零行（列）的个数。
定义3.1.1 矩阵 中非零子式的最高阶数 称为矩阵 的秩.亦即， 中存在不为0的 阶子式，而所有 阶子式（若有的话）均为0，这时矩阵 的秩记作 (或 或秩 )
定义3.5.1 设 是一个 阶方阵，如果存在一个数 及一个 维非零列向量 ，使得
即
成立，则称数 为方阵 的一个特征值，非零列向量 称为方阵 的对应于（或属于）特征值 的特征向量.
定义3.5.2 行列式 （或 ）称为矩阵 的特征多项式（注：特征多项式是 的 次多项式.） 是矩阵 的特征方程，具体形式为：
总之，矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算手段，我们可以利用矩阵初等变换求矩阵的秩，求逆矩阵，求矩阵方程等各种计算实例。随着科学技术的不断发展，矩阵的应用已经深入到了自然，社会，工程，经济等各个领域，而且人工智能、手机通讯和一般的算法设计和阐发等，矩阵在其应用中是通讯优化。我们不能局限于书本的学习，要理论联系实际，更好的运用理论知识解决实际遇到的问题。
时，子块 就化为 ，使得 。此时，若令 ，则 化为标准形
例8 化二次型 为标准形。
解：二次型矩阵为
实施初等变换
这样，经坐标变换 ，其中
二次型化为标准形
注：二次型可以用多种方法化标准形，其标准形不唯一。
总 结
在解决代数方面的一些题目时，运用矩阵的初等变换可以使问题简单化，比如在化二次型为标准型时，除了可以用初等变换法，还可以用正交变换法和配方法来计算，相比较初等变换更为简单，易于计算，好理解。矩阵的初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处，一旦掌握了矩阵的运算，我们分析和解决方程组的能力将会大大增强。
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。
其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。
而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。
本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。
矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。
这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。
这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。
首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。
这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用的总结矩阵的初等变换是线性代数中非常重要的一个概念，它可以通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。
初等变换主要包括三种：行交换、行倍乘和行倍加。
在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。
一、行交换：行交换是将矩阵中的两行进行调换。
具体操作是互换两行的顺序，即将矩阵的第i行与第j行进行互换。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即单位矩阵中将第i行和第j行进行交换。
应用：在线性方程组的求解中，我们可以通过行交换将系数矩阵的行变换成一个上三角矩阵，从而方便进行后续的计算。
二、行倍乘：行倍乘是将矩阵中的其中一行的所有元素同时乘以一个非零常数k。
具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第i行的对角线位置上放置k。
应用：行倍乘在求解线性方程组时，可以用来将一些方程的系数标准化，使得系数矩阵变为一个拥有单位元的对角矩阵，从而简化方程组的求解。
三、行倍加：行倍加是将矩阵中的其中一行的每个元素都乘以一个非零常数k，并加到另一行的对应元素上。
具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k，然后加到矩阵的第j行的对应元素上。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第j行的第i列上放置k。
应用：行倍加在线性方程组的求解中，可以用来将一些方程的k倍加到另一个方程上，从而使一些方程的一些变量消失，达到消元的目的。
综上所述，矩阵的初等变换是通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。
初等变换主要包括行交换、行倍乘和行倍加。
在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。
在线性方程组的求解中，通过矩阵的初等变换可以将系数矩阵变为一个上三角矩阵，从而方便后续的计算。
同时，可以通过初等变换将方程组化为最简形式，从而得到方程组的解。
在计算矩阵的逆时，可以通过初等变换将原矩阵左边加上单位矩阵，并经过一系列的操作将原矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。
矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。
一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。
§1 矩阵的初等变换
1
E ( ij ( k )) .
四、初等矩阵的应用
引例
2 1 3 1 0 0
1 0 5 2 2 0 0 2 1 6 0 1 0 3 4 5 2 2 5 2 2 6 5 10 30 0 4 3 0 4 1 0 0 2 5 2 2 5 2 0 1 0 1 2 6 1 2 6 5 0 1 3 0 4 13 25 11
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri krj ) 或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci ) 得到初等矩阵 E ( ij ( k ))
1 第i行 1 k E ( ij ( k )) 第j行 1 1
第三章
矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩 阵 的 初 等 变 换
一、矩阵的初等变换 二、消元法解线性方程组
一、矩阵的初等变换
1、定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri r j）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 ;
（第 i 行乘 k , 记作 ri k）
1 2
3
2
(1)
4
解
1 2 32
(1)
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x 2 x 2 x 0, 2 3 4 5 x 2 5 x 3 3 x 4 6, 3 x 2 3 x 3 4 x 4 3,
线性代数课件 矩阵的初等变换
第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点： （1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
矩阵的初等变换及其应用
㊀㊀㊀㊀㊀㊀矩阵的初等变换及其应用矩阵的初等变换及其应用Һ顾江永㊀（宿迁学院文理学院，江苏㊀宿迁㊀２２３８００）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵的初等变换在代数学中具有重要的地位，本文给出了运用初等变换求解方程组的基础解系㊁特征值㊁多项式的最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形相似变换矩阵等方法，这些方法具有直观㊁简捷㊁有效等特点．ʌ关键词ɔ初等变换；基础解系；最大公因式；相似变换矩阵ʌ基金项目ɔ２０１９江苏省高校教学研究一般项目（２０１９ＳＪＡ１９９７）一㊁引㊀言矩阵的初等变换包括矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换，矩阵的初等行（列）变换有三种形式［１］：（１）交换两行（列）；（２）任一行（列）的ｋ倍（ｋʂ０）；（３）任一行（列）的ｋ倍加到另一行（列）．在代数学中，矩阵的初等变换有着非常重要且广泛的应用，它常被应用于行列式的计算㊁方程组以及矩阵方程的求解㊁向量线性关系的判定㊁求矩阵的秩以及逆㊁λ－矩阵的不变因子和矩阵的Ｊｏｒｄａｎ标准形等．张家宝给出了初等变换求逆的几种方法［２］；石擎天等研究了初等变换求解方程组的特殊方法［３］；于莉琦等介绍了初等变换在行列式㊁矩阵和方程组中的应用［４］．本文给出了矩阵的初等变换求解方程组的基础解系㊁最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形的相似变换矩阵等方法及应用．二㊁预备知识引理１［５］㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，其中Ｐｍˑｍ，Ｑｎˑｎ为可逆矩阵，则有Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷．证明㊀因为Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，所以Ｅｒ０００æèçöø÷＝Ｐ－１ＡｍˑｎＱ－１，故Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＱ－１Ｑ－１æèçöø÷＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷，注：引理１给出了化一个矩阵为标准形的求Ｑ－１的方法．引理２㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，则矩阵ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２， ，βｒ，０， ，０Ｑ－１æèçöø÷，其中β１，β２， ，βｒ线性无关，且ＡＱ＝β１，β２， ，βｒ，０， ，０()．证明㊀因为Ａｍˑｎ的秩为ｒ，所以Ａｍˑｎ的列秩等于ｒ，即矩阵Ａｍˑｎ列向量组的最大线性无关组由ｒ个向量构成，不妨设为β１，β２， ，βｒ，故由初等变换的性质可得ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２， ，βｒ，０， ，０Ｑ－１æèçöø÷．引理３［６］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，将矩阵λＥ－Ａ经初等变换化为上三角形矩阵ｆ１（λ）０ ０∗ｆ２（λ）０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）æèççççöø÷÷÷÷，则ｆｉ（λ）＝０（ｉ＝１，２， ，ｎ）在数域Ｐ上的根即为矩阵Ａ的全部特征根．证明㊀根据初等变换的性质可知，初等变换不改变λＥ－Ａ＝０的根，故ｆ１（λ）０ ０∗ｆ２（λ） ０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）＝ｆ１（λ）ｆ２（λ） ｆｎ（λ）＝０的根即为矩阵Ａ的全部特征根．引理４㊀设ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）是数域Ｐ上的多项式，且ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）()Ｔ经初等行变换化为ｄ（ｘ），０， ，０()Ｔ，则ｄ（ｘ）即为ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）的最大公因式．证明㊀由辗转相除法原理直接可得［１］．三㊁主要结论定理１㊀设齐次线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０，其系数矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，又设Ｑ－１＝（η１， ，ηｒ，ηｒ＋１， ，ηｎ），则ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ是线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０的基础解系．证明㊀设Ｑｘ＝ｙ１︙ｙｒ︙ｙｎæèçççççöø÷÷÷÷÷＝ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷，由Ａｍˑｎｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝０，可得Ｙｒ＝ｙ１︙ｙｒæèççöø÷÷＝０，所以ｘ＝Ｑ－１ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝Ｑ－１０︙０ｙｒ＋１︙ｙｎæèççççççöø÷÷÷÷÷÷．㊀㊀㊀㊀㊀令Ｑ－１＝（η１， ，ηｒ，ηｒ＋１， ，ηｎ），则ｘ＝ｙｒ＋１ηｒ＋１＋ｙｒ＋２ηｒ＋２＋ ＋ｙｎηｎ．因为Ｑ是可逆矩阵，则ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ线性无关，所以ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ为方程组的一个基础解系．定理２［７］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，矩阵λＥｎ－ＡＥｎæèçöø÷经初等变换化为φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）Ｑ（λ）æèççççöø÷÷÷÷（其中初等行变换只能在前ｎ行进行）．设Ｑ（λ）的第ｊ列为ｑｊ（λ），若λ－λ０()ｋ为φｊ（λ）的初等因子，则Ａｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷＝ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷λ０１００λ００︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．证明㊀由题设知，存在可逆矩阵Ｐ（λ），Ｑ（λ），使得Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()Ｑ（λ）＝φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）æèççöø÷÷．因为ｑｊ（λ）是Ｑ（λ）的第ｊ列，所以Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０， ，０，φｊ（λ），０， ，０）Ｔ．又设ｑｊ（λ）的幂级数展开式为ｑｊ（λ）＝ｑｊ（λ０）＋ｑᶄｊ（λ０）１！λ－λ０()＋ｑᵡｊ（λ０）２！λ－λ０()２＋ ，代入Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０， ，０，φｊ（λ），０， ，０）Ｔ，得λ０Ｅｎ－Ａ()ｑｊ（λ０）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑᶄｊ（λ０）＋ｑｊ（λ）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！＋ｑｋ－２()ｊ（λ０）ｋ－２()！＝０．上面等式两边相加㊁移项并提取矩阵Ａ可得Ａ(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)＝(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)λ０１００λ０ ０︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．四㊁应用举例例１㊀求多项式ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式，其中ｆ１（ｘ）＝ｘ４＋２ｘ３＋４ｘ２＋３ｘ＋２，ｆ２（ｘ）＝ｘ４＋ｘ３＋３ｘ２＋ｘ＋２，ｆ３（ｘ）＝ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２．解㊀因为ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｆ１（ｘ）－ｆ２（ｘ）ｆ２（ｘ）－ｘｆ３（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘ－ｘ３－ｘ＋２ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２ｘ２＋ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２０æèççöø÷÷＝ｘ２＋ｘ＋２００æèççöø÷÷，所以由引理４知，ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式为ｄ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ＋２．例２㊀求齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＝０，３ｘ１＋２ｘ２＋ｘ３＋ｘ４－３ｘ５＝０，５ｘ１＋４ｘ２＋３ｘ３＋３ｘ４－ｘ５＝０{的基础解系．解㊀对系数矩阵Ａ施行初等行变换如下Ａ＝１１１１１３２１１－３５４３３－１æèççöø÷÷ ｒ２－３ｒ１ｒ３－５ｒ１１１１１１０－１－２－２－６０－１－２－２－６æèççöø÷÷ ｒ１＋ｒ２ｒ２ˑ（－１）ｒ３－ｒ２１０－１－１－５０１２２６０００００æèççöø÷÷．又１０－１－１－５０１２２６１０００００１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３＋ｃ１ｃ４＋ｃ１ｃ５＋５ｃ１１０００００１２２６１０１１５０１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３－２ｃ２ｃ４－２ｃ２ｃ５－６ｃ２１０００００１０００１０１１５０１－２－２－６００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷则由引理２知，方程组的基础解系为η１＝（１，－２，１，０，０）Ｔ，η２＝（１，－２，０，１，０）Ｔ，η３＝（５，－６，０，０，１）Ｔ．ʌ参考文献ɔ［１］王萼芳，石生明．高等代数（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９：５．［２］张家宝．浅谈求逆矩阵的几种方法［Ｊ］．数学学习与研究，２０２０（１０）：４－５．［３］石擎天，黄坤阳．线性方程组求解及应用［Ｊ］．教育教学论坛，２０２０（１２）：３２５－３２７．［４］于莉琦，高恒嵩．初等变换概述［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（０６）：１１６．［５］徐仲，陆全，等．高等代数考研教案（第２版）［Ｍ］．西安：西北工业大学出版社，２００９．［６］卢博，田双亮，等．高等代数思想方法及应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７．［７］朱广化．关于‘相似变换矩阵的简单求法“的改进［Ｊ］．数学通报，１９９４（１１）：４４－４６．。
矩阵初等变换的若干应用及注意事项
矩阵初等变换的若干应用及注意事项
□王艳娥
【摘
要】 矩阵的初等变换在线性代数的学习中有着非常重要的地位 ，本文对初等变换在解线性方程组 、 求逆矩阵、 解矩阵方 程、 求矩阵的秩、 矩阵列向量组的最大无关组等方面作了详细分析 ， 对教材内容的学习是一个很好的补充 。
【关键词】 矩阵的初等变换； 线性方程组； 逆矩阵 【作者简介】 王艳娥（ 1980 ～ ） ， 女， 陕西师范大学计算机科学学院讲师
线性代数是理、 工、 农、 经类各专业的一门重要的基础课 程， 一般在一年级开设。 线性代数与高等数学、 概率统计等 基础数学课相比， 其特点在于内容抽象， 远没有像导数和积 定理多， 许多内容 分或事件概率等那样具有直观意义 ； 定义、 纵横交错、 环环相扣、 相互渗透。 因此， 很多同学在学习中感 到困难也就不足为奇了 。 如何提高这门课的学习效果是摆 在所有授课老师面前的一个重要问题 。 线性方程组的解可 认为是该课程的一个比较清晰的主线 ， 而矩阵的初等变换是 解决这个主线问题的最基本的方法 ， 贯穿线性代数学习的整 就矩阵的初等变换在 个过程。笔者想结合多年的教学实践 ， 线性代数学习中的若干应用 ， 系统地谈几点个人体会 。 在 97% 以上； 认真筹备党课， 谨慎选拔学员， 积极联系老师， 《张思德 》 、 《郑培民 》 并组织学员观看 等教育影片， 坚定了学 建设祖国的伟大志向； 积极推进组织发展工作 ， 生学好本领、 把最优秀的青年学生吸纳到了党组织工作中 ， 进一步壮大了 发展一个原则， 发展党员比例逐年 党的队伍； 坚持成熟一个、 截至 2011 年本科毕业班的学生党员比例为 45% ； 稳步提升， 在组织发展工作中， 坚持原则， 认真严谨， 公正公平， 从未出 重视对党员的再教育工 现过失； 开展主题鲜明的学习活动 ， 作， 使党员真正的从思想上和组织上入党 ； 对党员进行党性 教育和道德培养， 注重引导学生维护党员形象 ； 倡导党员学 风建设， 在党支部之间开展高年级对低年级的学习经验交流 “传、 ， 开展学习方法 帮、 带” 效果显著， 党员学生连续四年 会， 就业率达到 100% ， 违纪率为 0 ， 考研率达 50% 以上， 党员在 各项科技活动和比赛中屡获佳绩 ； 组织开展党员义务活动 ， 帮扶贫困儿童、 贫困学生 100 余人， 使学生党员真正起到了 先锋模范作用。 （ 三） 结合学院特色， 认真开展创先争优活动 。 响应中共 《关于在全校学生党支部和学生党 燕山大学委员会关于印发 通知的号召， 带领 员中深入开展创先争优活动的实施方案 》 学生通过支部大会等形式学习了《中央组织部、 中央宣传部 关于在党的基层组织和党员中深入开展创先争优活动的意 》 、 《胡锦涛在全国教育工作上的讲话 》 、 《温家宝在全国教 见
矩阵初等变换的性质及其应用
摘要本文探讨矩阵初等变换的性质及其在代数中的若干应用，主要从矩阵的逆、矩阵的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求一元多项式的最大公因式、求解指派问题等若干方面进行阐述。
关键词：矩阵的初等变换；矩阵的秩；可逆矩阵；线性方程组；最大公因式AbstractThis paper is mainly to discuss the application of the elementary transfor mation of matrix in algebra, using matrix elementary transformation to solve th e matrix inverse, matrix rank, solving linear equations and matrix equations, on e yuan polynomial greatest common divisor, solving assignment problem of the se aspects of the application.Keywords:Elementary transformation of matrix;Matrix rank;Invertible matrix;System of linear equations;Greatest common factor目录1 引言 ............................. 错误!未定义书签。
2 矩阵的初等变换及其性质 (1)2.1 矩阵初等变换的定义.......................... 错误!未定义书签。
2.2 矩阵初等变换相关性质 (2)3 矩阵初等变换的若干应用 (2)3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 (1)3.2 利用矩阵的初等变换来求矩阵的秩 (5)3.3 利用矩阵初等变换求解线性方程组及矩阵方程 (7)3.4 利用矩阵的初等变换求一元多项式最大公因式 (11)3.5 利用矩阵初等变换解决指派问题 (13)参考文献 (16)矩阵初等变换的性质及其应用矩阵及其理论在众多领域中都发挥着重要的作用,而矩阵的初等变换是矩阵理论的核心和灵魂。
§1.5 矩阵的初等变换
推论2证明
存在 n 阶可逆阵P和Q, 使 PAQ Er O , (r n), O O
则 A P 1 Er O Q1, 故有 P 1 Er O Q1B E,
O O
O O
即有 Er O Q1B P, 由此可断定 r = n, O O
1 1 4 2
行最简形及标准形.
化为行阶梯形、
A
r
1 0
2 3
2 6
1 3
r
1 0
0 1
2 2
1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
C
0
1
0
0
0 0 0 0
矩阵化标准形步骤：先 用初等行变换化为行最简 形,再用初等列变换化为标 准形.
证明 (1) 由 A2 A 2E O , 得 A( A E) 2E, 即 A A E E,
2 故 A 可逆,且有 A1 1 ( A E ).
2 (2) 由 A2 A 2E O , 得 ( A 2E)( A 3E) 4E O,
即 ( A 2E) 1 (3E A) E,
(1) ri rj 的逆变换是 ri rj
(2)
ri
k
的逆变换是
ri
(1 k
)
(或记作
ri
k
).
(3) ri+krj 的逆变换是 ri+(k)rj (或记作 ri krj ).
3. 1) 若矩阵A经有限次初等行 (列) 变换变成矩阵B,
就称矩阵A与B行
(列)
等价,
矩阵 初等变换
矩阵初等变换矩阵初等变换：线性代数中的重要工具一、引言矩阵初等变换是线性代数中的重要工具，它通过对矩阵进行一系列特定的操作，可以改变矩阵的性质和形态。
矩阵初等变换在解线性方程组、求逆矩阵、求特征值等问题中具有广泛的应用。
二、矩阵初等变换的定义矩阵初等变换是指对矩阵进行一系列的行变换或列变换，使得矩阵的性质发生改变。
矩阵初等变换包括三种类型：交换两行（列）、某一行（列）乘以非零常数、某一行（列）乘以非零常数加到另一行（列）上。
三、矩阵初等变换的作用1. 解线性方程组利用矩阵初等变换可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。
通过对矩阵进行初等变换，可以使得方程组的系数矩阵变为单位矩阵或对角矩阵，从而可以直接得到方程组的解。
2. 求逆矩阵矩阵初等变换也可以用来求解矩阵的逆。
通过对矩阵进行一系列的初等变换，可以将原矩阵转化为单位矩阵，同时对应的初等变换作用于单位矩阵上，从而得到原矩阵的逆矩阵。
3. 求特征值和特征向量对于给定的矩阵，通过对其进行一系列的初等变换，可以将矩阵转化为对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵的特征值。
同时，通过初等变换得到的矩阵与原矩阵具有相同的特征向量。
四、矩阵初等变换的性质1. 可逆性矩阵初等变换是可逆的，即对矩阵进行初等变换后再进行逆变换，可以得到原矩阵。
2. 保持行（列）线性关系矩阵初等变换保持行（列）之间的线性关系不变，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的行（列）之间的线性组合关系保持不变。
3. 保持秩不变矩阵初等变换不改变矩阵的秩，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的秩保持不变。
5. 矩阵初等变换的运算规律矩阵初等变换具有一些运算规律，包括交换律、结合律和分配律。
六、矩阵初等变换的应用举例1. 解线性方程组的应用通过对系数矩阵进行初等变换，可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。
例如，对于如下线性方程组：2x + 3y = 74x + 5y = 9可以通过矩阵初等变换将其转化为如下形式：1 0 | a0 1 | b从而可以直接得到解x=a、y=b。
矩阵的初等变换及应用(吴礼斌)
对 B 进一步化为行简化矩阵
3. 求逆矩阵
版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，13955236046
2
线性代数
0 1 1 设矩阵 A = 1 1 2 ，求 A −1 。 2 −1 0
解：A 是 3 阶矩阵，在 A 的右边写上 3 阶单位矩阵，并对其施行初等行变换，得
版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，13955236046 5
线性代数
其中 c1 , c 2 为任意常数。 （2）求解齐次线性方程组
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0, 3x + 2 x + x + x − 3x = 0, 1 2 3 4 5 5 x1 + 4 x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = 0, x2 + 2 x3 + 2 x4 + x5 = 0.
再由行简化形矩阵写出原方程组的同解方程组为
x1 − 2 x2 − 2 x4 = −4 +1 x =5 2 4 2 x3
移项得
x1 = −4 + 2 x 2 + 2 x 4 5 −1 x3 = 2 2 x4
令 x2 = c1 , x4 = c2 ，代入上面同解方程组得原方程组的通解（一般表示形式）为
线性代数
矩阵的初等行变换及应用
一、矩阵的初等行变换概念
定义。 初等行 定义。对矩阵进行下列三种变换，称为矩阵的初等 初等行变换。 变换 (1)交换矩阵某两行的位置； (2)用一个非零数乘以矩阵某一行的每一个元； (3)将矩阵某一行的元都乘以数 λ 后对应加到另一行上. 并称(1)为换法行变换，称(2)为倍法行变换，称(3)为倍加行变换. 若把对矩阵施行的三种“行”变换改为对“列”的三种变换，称为矩阵的初等列 变换。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换 初等变换。 初等变换。 为了表示的方便，我们引入如下的一组变换运算符号： ri ↔ rk 表示交换矩阵的第 i 行与第 k 行的位置；
3.1 矩阵的初等变换及其应用
在科学技术与经济管理领域，线性方程组是许多问题的数学模型，因此，线性方程组的求解问题十分重要，本章将研究更一般的线性方程组的求解问题。
一、矩阵的初等变换
用消元法求解简单线性方程组时，其消元步骤是对方程组施以下列变换：
(i) 对调某两个方程在方程组中的位置；
(ii) 以数 乘某一方程的两端；
(iii) 把某一方程的两端乘以数 后加到另一方程的两端.
这些变换称为线性方程组的初等变换，由此引出矩阵的初等行变换.
定义6 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
(i) 对调两行(对调 两行,记作 );
(ii) 以数 乘某一行中的所有元素(第 行乘 ,记作 );
(iii) 把某一行所有元素的 倍加到另一行对应的元素上去(第 行的 倍加到第 行上,记作 ).
.
解
上式中最后一个矩阵为行阶梯矩阵，由此即可看出 .
若Ｄ含有矩阵Ｂ的第 行元素，同时含有矩阵Ｂ的第 行元素，那么由行列式的性质知Ｄ与矩阵Ａ中的一个相应 阶子式相等，所以也有Ｄ＝０.
综上，则得 .
又因为，将Ｂ的第 行的乘以 加到第 行得到矩阵Ａ，所以同理可得 .故
由定理3知，求矩阵的秩只需利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，然后确定矩阵的秩.
例4 求矩阵Ａ的秩，其中
用 阶初等方阵 左乘矩阵 得
其结果相当于对矩阵Ａ施行第一种初等行变换:把Ａ的第 行与第 行对调( )；类似地可以验证：以 左乘矩阵Ａ,其结果相当于以数 乘Ａ得第 行( )；以 左乘矩阵Ａ,其结果相当于把Ａ的第 行乘 加到第 行上( ).
综上所述,可得下述定理.
定理1设Ａ是一个 矩阵,对Ａ施行一次初等行变换,相当于在Ａ的左边乘以相应的 阶初等方阵;对Ａ施行一次初等列变换,相当于在Ａ的右边乘以相应的 阶初等方阵.
高等数学：3-1 矩阵的初等变换
r
A B A B,
于是
1
1
A B
1
A B
初等行变换
E
例3 求 矩 阵 X , 使 AX B， 其 中 2 1 3 1 1 A 1 2 2 B 2 0 1 3 2 2 5 1 若 A 可逆，则 X A B. 解
举例证明 用3阶初等矩阵 E3 (2,3) 左乘矩阵 A34 (aij )34，得
E 3 ( 2,3) A34
1 0 0 a11 0 0 1 a 21 0 1 0 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
1 r1 3
3 0 2 1 4 9
4 A 1 1 0 3 0 0 6 4 6
6 3 4 1 A 4 2 3 9 4 6
2. 利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求
矩阵A1 B .
由于
A A E,
1
A~ E B ~ A 1 B
c
为证明定理1，我们引进初等矩阵的知识．
1、初等矩阵的概念
定义2 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵.
1、 交换两行 (或两列 ) 交换 E 中第 i , j 两行，得初等方阵
1 1 0 1 1 j) 1 1 0 1 1
0 0 1 cr ,r 1 crn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
例 用初等行变换将下面矩阵化为行最简形矩阵
线性代数 第四讲 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换
显然，三种初等变换都是可逆的， 显然，三种初等变换都是可逆的，且其变 换是同一类型的初等变换。变换r 换是同一类型的初等变换。变换 i↔rj的逆变换 就是本身； 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换 ri+krj 的逆变换为 i− k rj。 的逆变换为r 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B， ， 是等价的， 称矩阵 A与 B是等价的，记为 ↔ B 。 与 是等价的 记为A 矩阵的等价关系有如下性质： 矩阵的等价关系有如下性质： 反身性： 反身性： A ↔ A 对称性： 对称性： A ↔ B ，则B ↔ A 传递性： 传递性： A ↔ B， B ↔ C，则A ↔ C ， ，
2x1 − x2 − x3 + x4 = 2 (1) x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4 (2) 4x1 − 6x2 + 2x3 − 2x4 = 4 (3)
2 −1 −1 1 方程组的增广矩阵B = 1 1 −2 1 4 −6 2 −2
2 4 4
一、矩阵的初等变换
1 3 0 2 0 (1) 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 1 2 0 −2 (2) 0 0 0 0 1 3 4 1 1 2 0 0 1 0 2 −1 (3) 0 1 4 1 0 0 0 0
√
×
√
二、阶梯形矩阵
1 1 1 1 4 ( A| b) = 2 3 1 1 9 −3 2 −8 −8 −4
→
r3 + 3× r1
r2 − r1
1 1 1 1 4 0 1 −1 −1 1 0 5 −5 −5 8
→
r3 − 5× r2
《线性代数》第五节初等变换初等矩阵
1
1
0
1
1
Rij
Cij
1
1
0
1
1
第i行 第j行
1
1
Ri ( ) Ci ( )
1
第i行
1
1
1
第i行
Rij
(k
)
C
ji
(k
)
k1
第j行
1
行初等矩阵与列初等矩阵统称为初等[矩]阵
初等变换与初等矩阵有以下定理表出的一些性质
定理7 对 m n 矩阵 A , 做一次行 (列) 初等变换
3 y1
y3 10
解 注意到这两个方程组具有全同的
利用分块技巧，可将其看成单个矩阵方
乍看起来，对于 n×n 方程组 Ax = b ，先求出
解 A-1 b 与用行初等变换法直接算出解 A-1 b 除了增
证明 充分证性明 若充分A 性可表示若成A有可限表个示初成等有阵限的 定理 13乘积n（阶不矩妨阵乘均A积为看非（作退不为化妨行阵均初的看等充作阵分为）必行，则要初可条等将件阵A是）看，则作
可通过对是A对作单有位限阵次是I行对作(单有列位限)初阵次等行I变作初换有等后限变化次换成行的单初结位等果阵变，. 换因
例 18 证明方阵
1 3 7
A
2
4 3
3 7 2
是非退化阵，并算出其逆阵.
解
例 19 (一种密码法)密码法是信息编码与解码的
技巧，其中的一种是基于利用可逆矩阵的方法。 先在 26 个英文字母与数字间建立起一一对应， 例如可以是
A B… Y Z
…
1 2 … 25 26 若要发出信息action，使用上述代码，则信息的编 码是：1，3，20，9，15，14 . 可写成两个向量 [1 3 20 ]T、 [9 15 14 ]T, 现任选一可逆阵，
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矩阵初等变换的一些性质及应用
摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。
文章证
明了矩阵初等变换的两个性质, 以此为基础, 归纳说明了矩阵的初等变
换在线性代数课程中的应用, 并给出了一些实例。
关键词：矩阵初等变换性质应用
Abstract: The elementary alternate of matrix is an important tool broadly
used in linear algebra. The paper discusses its properties and application.
Key w o rd: matrix, elementary alternate, properties, application
0 引言
矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换:
(1)交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←（记作←）；
(2)以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)；
(3)把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k
倍加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。
矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。
矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用, 只是在使用过程中有所区别。
本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。
一、初等变换的性质证明
定理1 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。
证明: 设是为数域P上的m×n 矩阵(i= 1，2，…，m； j=1，2，…，n)
对矩阵A 施行第二、三种初等行变换:
上述矩阵B 与矩阵A 交换i 、j 两行后得到的矩阵是相同的。
定理证毕。
定理2 设是数域P 上一个m ×n 矩阵, 其中 且 若A 经过初等行变换为矩阵,其中则有
证明: 由初等行变换的定义知道方程组与方程组同解，因此，若，则有 证毕。
上述定理1 说明只进行两种初等行变换就可以起到三种初等行变换的作用。
定理2 说明求一个矩阵中列向量组的线性关系表达式可以通过初等行变换而得到。
对于列变换的情形有类似结论。
二、初等变换的应用
1. 用初等变换求矩阵和向量组的秩
由于初等变换不改变矩阵的秩, 且任意一个n m ⨯矩阵均可以经过一系列行初等变换化为n m ⨯梯形矩阵; 因此, 我们要确定一个矩阵的秩, 首先要用行初等变换将其化为梯形矩阵, 然后再由梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩.
例1 设⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=03341431210110122413A , 求矩阵A 的秩.
解 ⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛------=03341431210110122413A ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛------−−→−+--02
240422200110121
1102
42
3213r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--------−−−−→−↔↔++000008
62002111001
1014
3211
41
342r r r r r r r r 因此矩阵A 的秩为3. 如果我们要求向量组的秩, 可以把每一向量作为矩阵的一行, 从而向量组就转化为了一个矩阵, 使求向量组的秩转化成求矩阵的秩, 自然使问题简单化了。
例2 求向量组)4,2,0,1(1-=α, )2,1,3,1(2-=α, )4,5,1,3(3-=α)0,2,1,1(4-=α,
)3,5,1,2(5-=α的秩.
解： 以为列, 构造矩阵A , 再对A 进行行初等变换, 化为阶梯形矩阵:
314124123451131
2113120311103111(,,,,)2152501141424
030616411r r r r T T T T T A ααααα++--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪==
−−−→
⎪
⎪
----
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
1
2343
36113120021340114100102017r r r r r -------⎛⎫
⎪-- ⎪−−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛--------−−→−+↔378500
0413200
141102131134325r r r r
2. 用初等变换法求逆矩阵
如果A 是n 阶可逆矩阵, 我们将A 与E 并排放到一起, 形成一个n n 2⨯的矩阵
)|(E A , 因为)|()|(11--=A E E A A , 所以对矩阵)|(E A 作一系列行初等变换, 将其左
半部分化为单位矩阵, 这时右半部分就是1
-A 。
例3 设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛---=11
1142
251A ，求1-A . 解：21312152100152100(|)241010063210111001041101r r r r A E ----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
2
1332
2312
1
1
6
2
14521251111001002362221111110100102366621212001100113
333
r r r r r r r r r +-++⎛
⎫⎛
⎫--
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭ 因此, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=-13
23
121616121212
11
A
.
同理, 如果A 是n 阶可逆矩阵, 我们将A 与E 并列放到一起, 形成一个n n ⨯2 的矩
阵⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛E A , 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11A E E A A , 所以对矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛E A 作一系列列初等变换, 将其上半部分化为单位矩阵, 这时下半部分就是1
-A . 用初等变换法求逆矩阵是一种通用而较简便的方法. 正确地选择和使用它们能更快更好地解决各类求逆矩阵问题。
3. 用初等变换化二次型为标准形
对任意二次型
AX X x x x f n '=),,,(21 一定存在可逆非退化线性替换CY X =将其化
为标准形, 即为对称矩阵A 找一个可逆矩阵C , 使得D AC C ='为对角矩阵, 而可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积, 所以存在初等矩阵s P P P ,,,21 有s P P P C 21=， 从
而有
D P P AP P P P s s =''' 2112是一个对角矩阵。
由上式可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下:
首先, 写出二次型的矩阵, 构造n n ⨯2矩阵⎪⎪⎭⎫
⎝⎛E A , 然后对矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛E A 每进行一次行初等变换后, 就对⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛E A 进行一次同样的列初等变换, 当矩阵A 化为对角矩阵时, 单位矩阵E 将化为可逆矩阵C , 此时D AC C =', 最后得到可逆矩阵C 和非退化线性变换CY X =, 在这个变换下二次型化为标准形DY Y f '=。
例4 化二次型
32312123213216442),,(x x x x x x x x x x x f ++++=
为标准形, 并写出所用的非退化线性替换。
解： 题中二次型的矩阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=232302221A , 由上面的初等变换法化二次型为标准形
的步骤可知:
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛100
100020312320221−−−−→−----131312122222c c r r c c r r ⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛------1001
002221101040
01
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----−−→−--10
0411023214700040001
23234
14
1
c c r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛-----−→−40011062128000400013344c r 从而非退化线性替换为=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---321400110621y y y , 原二次型化为
2
3
2221284y y y f --=。
在运用矩阵初等变换来化二次型为标准形的关键: 对矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛E A 进行的行初等变换和列初等变换必须是一致的。
参考文献
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[3]同济大学数学系编.工程数学线性代数 (第五版)[M]. 北京:高等教育出版社, 2007. 59 [4] 欧启通．矩阵初等变换的应用[J]．甘肃联合大学学报,2007,(2) [5] 李哲．矩阵初等变换在解题中的作用[J]．丹东师专学报,1994,(3)。