矩阵初等变换的一些性质及应用

矩阵初等变换的一些性质及应用

摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。文章证

明了矩阵初等变换的两个性质, 以此为基础, 归纳说明了矩阵的初等变

换在线性代数课程中的应用, 并给出了一些实例。

关键词：矩阵初等变换性质应用

Abstract: The elementary alternate of matrix is an important tool broadly

used in linear algebra. The paper discusses its properties and application.

Key w o rd: matrix, elementary alternate, properties, application

0 引言

矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换:

(1)交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←（记作←）；

(2)以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)；

(3)把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k

倍加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。

矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用, 只是在使用过程中有所区别。本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。

一、初等变换的性质证明

定理1 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。

证明: 设是为数域P上的m×n 矩阵(i= 1，2，…，m； j=1，2，…，n)

对矩阵A 施行第二、三种初等行变换:

上述矩阵B 与矩阵A 交换i 、j 两行后得到的矩阵是相同的。定理证毕。 定理2 设是数域P 上一个m ×n 矩阵, 其中 且 若A 经过初等行变换为矩阵,其中则有

证明: 由初等行变换的定义知道方程组与方程组同解，因此，若，则有 证毕。 上述定理1 说明只进行两种初等行变换就可以起到三种初等行变换的作用。定理2 说明求一个矩阵中列向量组的线性关系表达式可以通过初等行变换而得到。对于列变换的情形有类似结论。

二、初等变换的应用

1. 用初等变换求矩阵和向量组的秩

由于初等变换不改变矩阵的秩, 且任意一个n m ⨯矩阵均可以经过一系列行初等变换化为n m ⨯梯形矩阵; 因此, 我们要确定一个矩阵的秩, 首先要用行初等变换将其化为梯形矩阵, 然后再由梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩.

例1 设⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛------=03341431210110122413A , 求矩阵A 的秩.

解 ⎪⎪⎪

⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛------=03341431210110122413A ⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛------−−→−+--02

240422200110121

1102

42

3213r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--------−−−−→−↔↔++000008

62002111001

1014

3211

41

342r r r r r r r r 因此矩阵A 的秩为3. 如果我们要求向量组的秩, 可以把每一向量作为矩阵的一行, 从而向量组就转化为了一个矩阵, 使求向量组的秩转化成求矩阵的秩, 自然使问题简单化了。

例2 求向量组)4,2,0,1(1-=α, )2,1,3,1(2-=α, )4,5,1,3(3-=α)0,2,1,1(4-=α,

)3,5,1,2(5-=α的秩.

解： 以为列, 构造矩阵A , 再对A 进行行初等变换, 化为阶梯形矩阵:

314124123451131

2113120311103111(,,,,)2152501141424

030616411r r r r T T T T T A ααααα++--⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

-- ⎪ ⎪==

−−−→

⎪

⎪

----

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

1

2343

36113120021340114100102017r r r r r -------⎛⎫

⎪-- ⎪−−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛--------−−→−+↔378500

0413200

141102131134325r r r r

2. 用初等变换法求逆矩阵

如果A 是n 阶可逆矩阵, 我们将A 与E 并排放到一起, 形成一个n n 2⨯的矩阵

)|(E A , 因为)|()|(11--=A E E A A , 所以对矩阵)|(E A 作一系列行初等变换, 将其左

半部分化为单位矩阵, 这时右半部分就是1

-A 。

例3 设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛---=11

1142

251A ，求1-A . 解：21312152100152100(|)241010063210111001041101r r r r A E ----⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

=-−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭

2

1332

2312

1

1

6

2

14521251111001002362221111110100102366621212001100113

333

r r r r r r r r r +-++⎛

⎫⎛

⎫--

- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭

⎝

⎭ 因此, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=-13

23

121616121212

11

A

.